10 transformada zcee.uma.pt/people/faculty/amandio.azevedo/disciplinas/s... · 2005. 9. 15. · 10...

10

TRANSFORMADA Z

10.1 INTRODUÇÃO

A transformada Z é a principal ferramenta para o processamento de sinais discretos, sendo a transformada correspondente à de Laplace para análise de sistemas. Ao contrário da transformada de Fourier, que permite lidar com a mesma simplicidade tanto com sinais contínuos como com sinais discretos, a transformada de Laplace é mais adequada para lidar com sinais contínuos e a transformada Z para sinais discretos. O motivo desta distinção deve-se à utilização de variáveis diferentes para as duas transformadas, com a de Laplace a utilizar a variável complexa s e a transformada Z a variável complexa z.

A transformada Z pode ser deduzida a partir da definição de transformada de Laplace, pois existe uma relação entre as duas transformadas. Por conseguinte, mantém-se, também, a relação já apresentada no capítulo anterior com a transformada de Fourier.

2 Teor ia Vector ial do Sinal

10.2 TRANSFORMADA DIRECTA

Como a transformada Z corresponde à transformada de Laplace para sinais discretos, a definição de transformada Z directa pode ser obtida tendo em conta a expressão de um sinal discreto e a definição de transformada de Laplace. De (9.2) e (2.43) tem-se que

∞

∞−

−∞

−∞=

∞

∞−

−

−=

=

dtenTtnTu

dtetusU

st

n

st

)()(

)()(

δ

(10.1)

Retirando o somatório do integral, fica que

∞

∞−

−∞

−∞=−= dtenTtnTusU st

n

)()()( δ (10.2)

Sabendo que o integral de uma função multiplicada pelo impulso de Dirac é igual ao valor da função na posição do impulso de Dirac, resulta para a expressão anterior que

nTs

n

enTusU −∞

−∞=

= )()( (10.3)

Efectuando a mudança de variável,

Tsez = (10.4)

obtém-se a definição da transformada Z directa,

n

n

znTuzU −∞

−∞=

= )()( (10.5)

ou

n

n

znuzU −∞

−∞=

= )()( (10.6)

Esta equação define a transformada Z bilateral, dado que n toma valores de menos a mais infinito, ou seja, o eixo temporal toma todos os valores da variável. De forma semelhante à transformada de Laplace, existe uma outra definição em que a soma só contém a parte positiva do eixo temporal,

Transformada Z 3

n

n

n

n

znu

znTuzU

−∞

=

−∞

=

=

=

0

0

)(

)()(

(10.7)

conhecida por transformada Z unilateral. Esta expressão é importante para analisar sistemas especificados por equações às diferenças, de coeficientes constantes e com condições iniciais diferentes de zero. Para sinais causais as duas definições dão o mesmo resultado.

A relação que a transformada de Z estabelece entre u(t) e a sua imagem U(z) pode ser representada por

[ ])()(

)()(

tuzU

zUtu

=→←

(10.8)

para a transformada bilateral, ou

[ ])()(

)()(

I

I

tuzU

zUtu

= →←

(10.9)

para a transformada unilateral.

Como para a transformada de Laplace, há uma relação entre a transformada Z e a transformada de Fourier. Para o verificar, consideremos a variável definida em (10.4), que pode ser posta na forma

TjTjTTs reeeez ωωσ === (10.10)

com r=eσT. A expressão (10.5) fica

( )

∞

−∞=

−−

∞

−∞=

−

=

=

n

jnTn

n

nTjTj

ernTu

renTureU

ω

ωω

)(

)()(

(10.11)

Comparando este resultado com (8.168), U(z) identifica-se com a transformada de Fourier do sinal u(nT)r-n,

( ) [ ]nTj rnTureU −= )(ω (10.12)

Na transformada de Laplace viu-se que esta reduz-se à transformada de Fourier quando a parte real da variável da transformada é nula, ou seja, σ=0. Desta forma, a transformada de Fourier é representada pelo eixo imaginário do plano s. Por seu lado, também a transformada Z se reduz à transformada de Fourier quando σ=0. No entanto, isto corresponde a que o módulo da variável da transformada tome o valor


unitário, uma vez que fica r=1. Daqui resulta que a transformada de Fourier é representada pelo circulo unitário do plano z.

♦ Exemplo 10.1: Determinar a transformada Z do sinal apresentado na figura 10.1.

n3

u(n)

210-1-2 n3

u(n)

210-1-2

Fig. 10.1 – Sinal para o exemplo 10.1.

A transformada Z de u(n) é

1

32

1

52

4

0

)2(

2

2

1

1

1

)()(

−

−

−

−

=

−−

−=

−

−∞

−∞=

−−=

−−=

=

=

=

z

zz

z

zz

z

z

znuzU

r

r

n

n

n

n

(10.13)

Notar que u(n) tem transformada Z para todos os valores de z. ♦

10.3 TRANSFORMADA INVERSA

Para determinar a expressão da transformada inversa vai-se utilizar a relação com a transformada de Fourier, expressão (10.12). Com referência a esse resultado, a transformada inversa de U(rejωT) é

( )[ ]Tjn reUrnTu ω1)( −− = (10.14)

Utilizando a definição de transformada de Fourier de um sinal discreto, equação (8.178), tem-se que

( )

−

− = T

T

jnTTjn dereUT

rnTuπ

πωω ω

π2)( (10.15)

Transformada Z 5

Multiplicando ambos os lados da igualdade por rn,

( )

( )

( )( )

−

−

−

=

=

=

T

T

njTTj

T

T

jnTnTj

T

T

jnTnTj

drereUT

derreUT

derreUT

nTu

π

πωω

π

πωω

π

πωω

ωπ

ωπ

ωπ

2

2

2)(

(10.16)

Esta expressão deve ser convertida para a variável z, utilizando-se a mudança de variável z=rejωT. É de observar que quando ω varia entre -π/T e π/T, isso corresponde a fazer com que z dê uma volta completa no plano z, com amplitude igual a r. Tendo em conta que a derivada é dz=jTrejωTdω, resolvendo em ordem a dω retira-se

dzjT

z

dzjTre

dTj

1

1

−

=

= ωω

(10.17)

Substituindo este resultado em (10.16), a transformada Z inversa é dada por

−= dzzzUj

nTu n 1)(2

1)(

π (10.18)

em que o percurso de integração é realizado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, devido à substituição dos limites de integração da variável ω. Outra forma de apresentar (10.18) é

−= dzzzUj

nu n 1)(2

1)(

π (10.19)

o que significa lidar com os índices das amostras.

Como para a transformada de Laplace, aprofundar-se-á posteriormente técnicas de cálculo da transformada inversa sem ter que se recorrer à definição.

10.4 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA

De modo semelhante ao que acontece para a transformada de Laplace, a transformada Z deve convergir para uma sequência de valores da variável z. Essa gama de valores define a região de convergência (ROC) da transformada.

Sendo z=rejωT, a região de convergência é obtida por


∞<

≤

=

−∞

=

−∞

=

n

n

n

n

rnu

znuzU

0

0

)(

)()(

(10.20)

Analogamente à transformada de Laplace, a região de convergência é de extrema importância no cálculo da transformada Z, dado que podem haver zonas do domínio z onde a transformada não exista.

Também de forma paralela ao que foi realizado para a transformada de Laplace, existem algumas propriedades da região de convergência que serão úteis no cálculo da transformada:

1 – A ROC consiste em anéis centrados na origem do plano z. Só a parte real de z é responsável pela ROC.

2 – A ROC não contém quaisquer singularidades. A transformada Z é analítica em toda a região de convergência, o que significa que pode ser continuamente diferenciável.

3 – Se u(nT) é uma sequência limitada à esquerda, ou seja, u(n)=0 para n<n0, a ROC está para fora do pólo mais exterior relativamente à origem.

4 – Se u(nT) é uma sequência limitada à direita, ou seja, u(n)=0 para n>n0, a ROC está para dentro do pólo mais interior relativamente à origem.

5 – Se u(nT) tem duração finita então U(z) converge em todo o plano z, excepto possivelmente em z=0 e z=∞.

♦ Exemplo 10.2: Determinar a transformada em Z do sinal:

)()( nhnu Hnα= (10.21)

Este sinal consiste na exponencial. A sua transformada Z é dada por

( )

∞

=

−

−∞

=

−∞

−∞=

=

=

=

0

1

0

)()(

n

n

n

n

n

n

n

z

z

znuzU

α

α

(10.22)

Para o somatório convergir é necessário que |αz-1|<1, retirando-se que |z|>|α|. Esta condição vai impor a região de convergência. Resolvendo o somatório, a transformada de u(n) é

ααα

α >−

=−

→← − zz

z

znhH

n ,1

1)(

1 (10.23)

Transformada Z 7

A figura 10.2 apresenta a ROC. Pode-se comprovar a terceira propriedade da região de convergência, em que uma sequência limitada à esquerda tem a ROC para fora do pólo.

Re

Imα

Re

Imα

Fig. 10.2 – ROC do sinal referente ao exemplo 10.2.

♦


)1()( −−−= nhnu Hnα (10.24)

A transformada Z deste sinal é

( )

∞

=

−

∞

=

−

−−

−∞=

−=

−=

−=

0

1

1

1

1

)(

n

n

n

n

n

n

n

n

z

z

zzU

α

α

α

(10.25)

Para o somatório convergir é necessário que |α-1z|<1, ficando |z|<|α|. Resolvendo (10.25), obtém-se

ααα

α <−

=−

−→←−−− − zz

z

znhH

n ,1

11)1(

1 (10.26)

A figura 10.3 mostra a ROC. Pode-se constatar a quarta propriedade da região de convergência, em que uma sequência limitada à direita tem a ROC para dentro do pólo.


Re

Imα

Re

Imα


♦

É interessante notar que a transformada do sinal (10.26) é igual à do sinal (10.23), havendo diferença apenas na região de convergência. Visto que a transformada é biunívoca, é de salientar a importância da região de convergência no cálculo da transformada.


)()()( nhbnhanu Hn

Hn −+= (10.27)

A transformada de u(n) é

( ) ( )

( )( ) bzazbzaz

abbzz

bzazzbaz

zbaz

zbzazU

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

<>−−+−=

<>−

+−

=

+=

+=

−−

∞

=

−∞

=

−

−

−∞=

−∞

=

e ,2

e ,1

1

1

1

)(

2

11

0

1

0

1

0

0

(10.28)

Se |a|<|b| u(n) não tem transformada Z. Para |a|>|b| a figura 10.3 mostra a região de convergência.

Re

Imab

Re

Imab


♦

Transformada Z 9

10.5 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z

De forma semelhante às transformadas apresentadas até aqui, as propriedades da transformada Z podem permitir obter com facilidade a transformada directa ou inversa de determinados sinais.

Como para a transformada de Laplace, na maior parte dos casos, as propriedades da transformada unilateral são similares às da bilateral. Deste modo, quando não for referida qual a definição de transformada em causa, a propriedade é válida para as duas formas.

10.5.1 L inear idade

Se u1(nT) forem as componentes de um sinal discreto u1(t), com U1(z) a sua transformada Z e ROC1, e u2(nT) as componentes de um sinal discreto u2(t), com U2(z) a sua transformada Z e ROC2, então

212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩+→←+ zbUzaUnTbunTau (10.29)

A demonstração segue directamente da definição de transformada Z, sendo o mesmo resultado obtido, quer para a transformada bilateral quer unilateral. A região de convergência inclui, pelo menos, a intercepção da região de convergência de u1(t) com u2(t).

10.5.2 Translação nos Tempos

Se u(nT) forem as componentes de um sinal discreto e U(z) a sua transformada Z, com ROC=ROCu, tem-se para a transformada Z bilateral que

[ ] ∞=→←− − ou origem excepto ROCROC )()( 00 u

n zUzTnnu (10.30)

e para a transformada em Z unilateral

[ ] [ ][ ]

0)1(...)()0()(

0)(...)1()()()(

00)1(

0)1(

01

00

000

00

I <+−−−−>−++−−+−+

→←− +−−−

−−−−

nTnzuTuzuzzUz

nTuzTnuzTnuzUzTnnu

nnn

nn

(10.31)

Comecemos por demonstrar (10.30), utilizando a transformada bilateral,

[ ] [ ] n

n

zTnnuTnnu −∞

−∞=

−→←− )()( 00 (10.32)

Fazendo a mudança de variável k=n-n0, obtém-se

[ ] )()()( 00 )(0 zUzzkTuTnnu nnk

k

−+−∞

−∞==→←− (10.33)


Se n0 for maior do que zero, a transformada é U(z)/zn0, o que implica que a região de convergência não pode incluir a origem, como aparece na primeira excepção de (10.30). Se n0 for negativo, a transformada fica U(z)zn0 e a região de convergência é a especificada pela segunda excepção de (10.30).

Para demonstrar (10.31), considerando a definição de transformada unilateral, tem-se que

[ ] [ ]

k

nk

n

nk

nk

n

n

zkTuz

zkTuzTnnuTnnu

−∞

−=

−

+−∞

−=

−∞

=

=

=−→←−

0

0

0

0

)(

)()()( )(

000

(10.34)

Se n0>0, a expressão anterior toma a forma,

[ ]

[ ] )()(...)1()(

)()(...)1()()(

00

000

0

0

)1(100

0

100

zUzzTuzTnuTnu

zkTuzTuzTnuzTnuzzkTuz

nn

k

knnn

nk

kn

−−−−

∞

=

−−−∞

−=

−−

+−++−−+−=

+−++−−+−=

(10.35)

e, se n0<0,

[ ]

[ ] 000

00

0

0

)0()(...)1()(

)0()(...)1()()(

)1(0

110

0

nnn

n

k

kn

nk

kn

zuzTuzTnuzUz

uzTuzTnuzkTuzzkTuz

−+−−

−+∞

=

−−∞

−=

−−

−−−+−−=

+−−+−−=

(10.36)

Como veremos posteriormente, esta propriedade para a transformada unilateral é importante para a análise de sistemas com condições iniciais diferentes de zero.

♦ Exemplo 10.5: Determinar a transformada Z de δ(n-m).

A transformada do impulso de Dirac é

1)()( =→← −∞

−∞=

n

n

znn δδ (10.37)

Para o impulso de Dirac atrasado, da propriedade da translação nos tempos,

mzmn −→←− )(δ (10.38)

A região de convergência é definida por z≠0 se m>0 e z≠∞ se m<0. ♦

Transformada Z 11

10.5.3 Translação nas Frequências

Se u(nT) forem as componentes de um sinal discreto e U(z) a sua transformada Z, com ROC=ROCu, então

( ) ujznjz zeUnTue ROCROC )( 00 =→← − (10.39)

Para o demonstrar, apliquemos a definição de transformada Z bilateral,

n

n

njznjz znTuenTue −∞

−∞=

→← )()( 00 (10.40)

Após manipulação da expressão obtém-se

( ) ( )zeUzenTu jz

n

njz 00)( −∞

−∞=

−− =

(10.41)

Se fosse aplicada a expressão da transformada unilateral obter-se-ia o mesmo resultado, como facilmente se depreende da demonstração apresentada, uma vez que isso só equivale a mudar o índice inferior do somatório.

♦ Exemplo 10.6: Determinar a transformada Z do sinal:

)()cos()( 0 nhrnu Hn Ω= (10.42)

Este sinal pode ser posto na forma:

)(2

)(2

)(2

)(

00

00

nhr

enhr

e

nhee

rnu

H

nj

H

nj

H

jjn

Ω−Ω

Ω−Ω

+=

+=

(10.43)

Tendo em conta a transformada (10.24),

rzrz

znhr H

n >−

→← ,)( (10.44)

Aplicando a (10.43) a propriedade da translação nas frequências, tem-se o resultado

2210

10

20

20

2

)cos(21

)cos(1

)cos(2

)cos(

2

1

2

1)(

0

0

0

0

−−

−

Ω

Ω

Ω−

Ω−

+Ω−Ω−

=

+Ω−Ω−

=

−+

−=

zrzr

zr

rrzz

rzz

rze

ze

rze

zezU

j

j

j

j

(10.45)


Se a distância entre amostras, T, fosse especificada, isso corresponderia a lidar com u(nT), em que poderíamos ter r=αT e Ω0=ω0T. Neste caso, a transformada Z do sinal teria o resultado apresentado em (10.45) com essas substituições de parâmetros.

♦

10.5.4 Mudança de Escala nas Frequências


aa

zUnTua un ROC

ROC )( =

→← (10.46)

Para demonstrar esta propriedade, consideremos qualquer uma das definições de transformada. Utilizando a bilateral,

( ) n

n

n

n

nn zanTuznTuanTua−−

∞

−∞=

−∞

−∞=

=→← 1)()()( (10.47)

Este resultado corresponde a considerar

( ) =

−−∞

−∞=

a

zUzanTu

n

n

1)( (10.48)

Quanto à região de convergência, z pertence à ROC se z/a pertencer à ROCu. Para perceber melhor a determinação da região de convergência, vejamos o exemplo seguinte.

♦ Exemplo 10.7: Determinar a transformada Z do sinal

)()( nhanu Hnn β= (10.49)

De (10.23) retira-se que

( ) ββ

β azaz

znha H

n >−

→← ,)( (10.50)

Aplicando a propriedade da mudança de escala a (10.23),

ββ

β >−

→←a

z

a

za

z

nha Hnn ,)( (10.51)

obtendo-se

Transformada Z 13

ββ

β aaz

znha H

nn >−

→← z ,)( (10.52)

que é igual a (10.50) como era de prever. ♦

10.5.5 Reversão do Sinal

A mudança de escala nos tempos pode ser interpretada como a variação no intervalo entre os impulsos de Dirac que representam o sinal discreto, passando de T para aT, com a real. Daqui resulta que o factor a aparece nas frequências embebido em z, como se comprova por (10.4). Desta forma, a mudança de escala nos tempos que faz sentido é a reversão do sinal. Dado que o reverso de um sinal causal passa a anti-causal, esta propriedade só tem significado para a transformada bilateral.


( )u

zUnTuROC

1ROC )( 1 =→←− −

(10.53)

Da definição de transformada bilateral tem-se que

n

n

znTunTu −∞

−∞=

−→←− )()( (10.54)

Fazendo a mudança de variável k=-n,

( )( )1

1)(

)()(

−

−−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

=

=

=−

zU

zkTu

zkTuznTu

k

k

k

k

n

n

(10.55)

Um ponto em z pertence à ROC se z-1 pertencer à ROCu.

10.5.6 Der ivação no Domínio Z


udz

zdUznTnu ROCROC

)()( =−→← (10.56)

Derivando a expressão da transformada Z bilateral, obtém-se


( )

n

n

n

n

znTnuz

nznTudz

zdU

−∞

−∞=

−

−−∞

−∞=

−=

−=

)(

)()(

1

1

(10.57)

multiplicando ambos os lados da igualdade por z, resulta que

n

n

znTnudz

zdUz −

∞

−∞=

=− )(

)( (10.58)

Seguindo o mesmo procedimento para a transformada unilateral tem-se o mesmo resultado.

♦ Exemplo 10.8: Determinar a transformada Z do sinal

)()( nhnnu Hnα= (10.59)

Tendo em conta (10.23),

( )21

1

111

1)(

−

−

− −=

−−→←

z

z

zdz

dznhn H

n

αα

αα (10.60)

A região de convergência é |z|>|α|. ♦

10.5.7 Convolução

Se u1(nT) forem as componentes de um sinal discreto u1(t), com U1(z) a sua transformada Z e ROC1, e u2(nT) as componentes de um sinal discreto u2(t) com U2(z) a sua transformada Z e ROC2, então

212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩→←⊗ zUzUnTunTu (10.61)

Para a definição de transformada Z unilateral, os sinais devem ser causais.

Para demonstrar esta propriedade, consideremos m=-∞ para a transformada bilateral e m=0 para a unilateral. Da convolução entre dois sinais discretos,

[ ] [ ] =−→←− ∞

=

−∞

=

∞

= mn

n

mkmk

zTknukTuTknukTu )()()()( 2121

[ ] ∞

=

−∞

=−=

mk

n

mk

zTknukTu )()( 21 (10.62)

O segundo somatório pode ser identificado como o sinal u2(nT) atrasado de kT. Da propriedade da translação nos tempos e uma vez que para a transformada unilateral os sinais são causais,

Transformada Z 15

[ ]

)()(

)()()()()()(

12

122121

zUzU

zkTuzUzzUkTuTknukTumk

k

mk

k

mk

=

=→←− ∞

=

−∞

=

−∞

=

(10.63)

Foi referido que, quando se lidar com a definição de transformada Z unilateral, a propriedade da convolução para sinais discretos só está definida para sinais causais. Esta implicação pode ser averiguada pelos valores dos limites do somatório que aparecem na demonstração anterior. De facto, se os sinais forem causais, o limite inferior do somatório da definição de convolução é zero, o que possibilita a troca de somatórias realizada em (10.62). No entanto, é de notar que os sinais físicos têm de ser causais, o que permite utilizar a propriedade da convolução, com grande importância na análise de sistemas. Para a definição de transformada Z bilateral, a propriedade da convolução pode ser aplicada a qualquer tipo de sinal.

10.5.8 Somatór io

O correspondente discreto à integração é o somatório ou acumulador. Se u(nT) forem as componentes de um sinal discreto e U(z) a sua transformada Z, com ROC=ROCu, então

1ROC contém ROC 1

)()( 11

>∩−

→← −−∞=

z

z

UmTu

n

m

ω (10.64)

para a transformada bilateral

1ROC contém ROC 1

)()( 11

0

I >∩−

→← −=

z

z

UmTu

n

m

ω (10.65)

para a transformada unilateral. Neste caso, o sinal é causal.

Para comprovar estes resultados basta considerar que o somatório pode ser obtido através da convolução de um sinal discreto com o degrau de Heaviside discreto. Dado que, pela propriedade da convolução, se tem uma multiplicação das respectivas transformadas, comecemos por calcular a transformada Z do degrau de Heaviside. Se em (10.23) fizermos α=1,

1 ,1

1)(

1>

−→← − z

znhH (10.66)

Como se pode verificar, a região de convergência deste resultado aparece na intercepção de (10.64). Para a definição de transformada bilateral, tem-se

11

)()()()( −

−∞= −→←⊗=

z

zUnThnTumTu H

n

m

(10.67)

Para a definição de transformada unilateral, decorrente da propriedade da convolução, o sinal u(nT) deve ser causal. A demonstração segue o mesmo


procedimento da transformada bilateral, o que dá o resultado apresentado em (10.65).

10.6 TEOREMAS DO VALOR INICIAL E FINAL

Os teoremas de valor inicial e final permitem determinar o valor inicial e final de uma função discreta, desconhecida, quando se conhece a sua transformada U(z). Por conseguinte, estes teoremas têm a vantagem de permitir obter os valores da função na origem dos tempos e para onde ela tende, sem que se tenha de calcular a transformada inversa.

10.6.1 Teorema do Valor I nicial

Se u(nT) forem as componentes de um sinal causal, verifica-se que

)(lim)0(0

zUuz→

= (10.68)

Dado que o sinal é causal, pode-se utilizar qualquer definição da transformada em Z para demonstrar este teorema. Deste modo, consideremos a definição de transformada unilateral, que, por simplicidade, vai ser aqui repetida:

∞

=

−=0

)()(n

nznTuzU (10.69)

Se aplicarmos o limite com z a tender para infinito em ambos os lados desta expressão,

∞

=

−

∞→∞→=

0

)(lim)(limn

n

zzznTuzU (10.70)

e desenvolvermos o somatório, resulta que

[ ] +++++=

+++++=

∞→

−−−

∞→∞→

...)(

...)2()(

)0(lim

...)(...)2()()0(lim)(lim

2

21

zz

n

zz

z

nTu

z

Tu

z

Tuu

znTuzTuzTuuzU

(10.71)

Facilmente se depreende que, ao fazer z→∞ no lado direito da igualdade, todos os termos se anulam excepto o primeiro, ficando

[ ] )0()(lim ussUs

=∞→

(10.72)

comprovando (10.68).

Transformada Z 17

10.6.2 Teorema do Valor Final

Se u(nT) forem as componentes de um sinal causal, e se existir o limite de u(nT) quanto n tende para infinito, então

[ ])()1(lim)(lim1

zUznTuzn

−=→∞→

(10.73)

Comecemos por substituir em (10.31), que caracteriza a propriedade da translação, n0=-1, ficando

[ ] )0()()1( zuzzUTnu −→←+ (10.74)

Por outro lado, tem-se a igualdade

)()()()1( zUzzUzUz −=− (10.75)

Se retirarmos zU(z) de (10.74) e substituirmos esse resultado (10.75), depois de considerar (10.69), obtém-se

[ ]

[ ][ ] )1(1

)1()2(1

2121

00

)1(...)()0(

)0()()1(...)2()(lim

...)2()()0()0(...)3()2()(

)()0()1()()1(

−−−

−−−−−

∞→

−−−−

∞

=

−∞

=

−

−−−−−

−++−+++=

−−−−++++=

−++=−

n

nn

n

n

n

n

n

zTnuzTuu

zuznTuzTnuzTuTu

zTuzTuuzuzTuzTuTu

znTuzuzTnuzUz

(10.76)

Se aplicarmos o limite de z a tender para 1 a ambos os lados da igualdade, os valores de z elevado a qualquer factor ficam iguais a um. Como resultado, todos os termos anulam-se excepto o factor u(nT),

[ ] )(lim)()1(lim1

nTuzUznz ∞→→

=− (10.77)

Fazer o limite de n a tender para infinito de u(nT) consiste em obter o valor final da função.

10.7 CASOS PARTICULARES DE INTERESSE

10.7.1 Cálculo da Transformada Z Inversa

Dado o tipo de sinal que, normalmente, é encontrado em sistemas, serão apresentados métodos alternativos à fórmula de integração para se determinar a transformada Z inversa.


Veremos três métodos de cálculo da transformada inversa, que têm em conta que a maior parte das expressões da transformada Z, de interesse prático, são racionais. O primeiro método consiste em dividir o numerador pelo denominador, de modo a obter uma sequência em potências de z, e em identificar os coeficientes da expressão obtida com os termos da sequência temporal. O segundo assenta em utilizar a técnica dos resíduos, de forma semelhante ao que foi feito para a transformada de Laplace. O terceiro método baseia-se na expansão em série de potências, podendo ser aplicado a funções racionais ou outro tipo de funções.

Uma vez que na prática, num sistema discreto, o termo z-1 corresponde a implementar um atraso, as expressões da transformada serão definidas em potências negativas de z.

10.7.1.1 Método da Divisão de Polinómios

O método da divisão de polinómios tem em conta a forma polinomial da expressão da transformada Z, definida por (10.6) ou (10.7). Se a região de convergência está para fora do pólo mais exterior, u(nT) é uma sequência limitada à esquerda, ou seja, consiste num polinómio em z-n com n≥0. Se a região de convergência está para dentro do pólo mais interior, u(nT) é uma sequência limitada à direita, isto é, consiste num polinómio em z-n com n<0.

Neste método começa-se por expandir U(z), dividindo o numerador pelo denominador e, a seguir, identificam-se os coeficientes de z-n, de modo a relacioná-los como os coeficientes u(nT). Veremos a sua aplicação através de exemplos.

♦ Exemplo 10.9: Determinar a transformada Z inversa dos seguintes sinais:

α

α

αα

<−

=

>−

=

zz

zzU

zz

zzU

,)(

,)(

2

1

(10.78)

Para U1(z), como a região de convergência está para fora do pólo, na divisão de polinómios devemos obter uma sequência limitada à esquerda. A figura 10.5a) mostra a forma de realizar a divisão, no sentido de se obter este tipo de sequência, o que dá

......1

,1

1

,)(

221

1

1

+++++=

>−

=

>−

=

−−−

−

nn zzz

zz

zz

zzU

ααα

αα

αα

(10.79)

Comparando esta equação com (10.6), retira-se que

)()(1 nhnu Hnα= (10.80)

Transformada Z 19

Para U2(z), como a região de convergência está para dentro do pólo, na divisão de polinómios devemos obter uma sequência limitada à direita. A figura 10.5b) apresenta a forma de realizar a divisão, resultando

......

,1

1)(

221

12

+−−−−=

<−

=

−−−

−

nn zzz

zz

zU

ααα

αα (10.81)

Comparando esta equação com (10.6), retira-se que

)1()(2 −−−= nhnu Hnα (10.82)

Comparar este resultado com (10.24).

1 11 −− zα11 −+− zα1−zα

221 −− +− zz αα22 −zα

...1 221 +++ −− zz αα

1 11 +− −zαz11 −+− α

z1−α221 zz −− +− αα22 z−α

...221 +−− −− zz αα

a)

b)

1 11 −− zα11 −+− zα1−zα

221 −− +− zz αα22 −zα

...1 221 +++ −− zz αα

1 11 +− −zαz11 −+− α

z1−α221 zz −− +− αα22 z−α

...221 +−− −− zz αα

a)

b)

Fig. 10.5 – Divisão de polinómios: a) para se obter uma sequência limitada à esquerda; b) para se obter uma sequência limitada à direita.

♦

♦ Exemplo 10.10: Utilizando o método de divisão de polinómios, determinar a transformada Z inversa do sinal:

αα

>−

−= −

−

zz

zzU ,

1

1)(

22

1

(10.83)

Dado o tipo de região de convergência, deve-se obter uma sequência limitada à esquerda. Assim, a divisão de polinónimos dá

...1)( 544432221 +−+−+−= −−−−− zzzzzzU αααα (10.84)

Comparando com a expressão (10.6), retira-se que


−

= − ímpar )(

par )()(

1 nnh

nnhnu

Hn

Hn

αα

(10.85)

♦

10.7.1.2 Método da Decomposição em Fracções Simples

O método da decomposição em fracções simples utiliza a técnica dos resíduos, como foi apresentada na transformada de Laplace para determinar os termos da decomposição. Os exemplos seguintes elucidam a forma de aplicação deste método.

♦ Exemplo 10.11: Resolver o exemplo 10.10 utilizando o método da decomposição em fracções simples.

Comecemos por colocar U(z) na forma

( )( )11

1

22

1

11

1

1

1)(

−−

−

−

−

+−−=

−−=

zz

z

z

zzU

αα

α

(10.86)

Nota-se que a função tem dois pólos, um em z1=α e outro em z2=-α. A sua decomposição em fracções simples é dada por

11 11

)( −− ++

−=

z

B

z

AzU

αα (10.87)

Aplicando a técnica dos resíduos, os coeficientes são

αα

α

αα

α

α

α

2

1

1

1

2

1

1

1

11

1

11

1

1

1

+=−−=

−=+−=

−=−

−

=−

−

−

−

z

z

z

zB

z

zA

(10.88)

donde

11 1

1

2

1

1

1

2

1)( −− +

++−

−=zz

zUαα

ααα

α (10.89)

A transformada inversa é determinada comparando a expressão anterior com (10.23), dando

)()(2

1

2

1)( nhnu H

nn −++−= α

ααα

αα

(10.90)

Transformada Z 21

Verifiquemos que o resultado é o mesmo que o obtido em (10.85). Assim, para n par (10.90) fica

)(

)(2

1

2

1)(

par

nh

nhnu

Hn

Hn

n

α

αα

αα

α

=

++−=

(10.91)

e para n ímpar,

)(

)(

)(2

1

2

1)(

1

ímpar

nh

nh

nhnu

Hn

H

n

Hn

n

−−=

−=

+−−=

αα

α

αα

αα

α

(10.92)

Deste modo, os resultados de (10.91) e (10.92) comprovam os de (10.85). ♦

♦ Exemplo 10.12: Determinar a transformada inversa de

3 ,651

)(21

21

>+−

−= −−

−−

zzz

zzzU (10.93)

Como foi referido no cálculo da transformada inversa, é usual lidar-se na transformada Z com potências negativas da variável z, já que estas correspondem à implementação de blocos de atraso. Daí a forma apresentada para a expressão (10.93). No entanto, a técnica dos resíduos foi desenvolvida com potências positivas da variável independente. O exemplo anterior já introduziu a abordagem com potências negativas de z. Vejamos como proceder para determinar as raízes do denominador.

Quanto à determinação dos pólos da função, pode-se passar o denominador para a forma habitual de potências de z positivas e depois aplicar as técnicas conhecidas de determinação dos zeros de um função. Neste caso ficaria z-2(z2-5z+6), o que dá os pólos z1=2 e z2=3. O denominador fica z-2(z-2)(z-3). Multiplicando cada um dos termos por z-1, obtém-se (1-2z-1)(1-3z-1). Por isso, (10.93) fica

( )( )11

21

3121)( −−

−−

−−−=

zz

zzzU (10.94)

Como em potências negativas o grau do numerador é igual ao do denominador, fazendo a divisão de polinómios em (10.93), obtém-se


( )( )11

1

21

1

21

21

3121

1

6

1

6

1

651

1

6

1

6

1

651)(

−−

−

−−

−

−−

−−

−−++−=

+−++−=

+−−=

zz

z

zz

z

zz

zzzU

(10.95)

Decompondo o segundo termo em fracções simples,

( )( ) 1111

1

31

4

21

3

3121

1−−−−

−

−+

−−=

−−+

zzzz

z

(10.96)

a função U(z) toma a forma

11

11

31

1

3

2

21

1

2

1

6

131

4

6

1

21

3

6

1

6

1)(

−−

−−

−+

−−−=

−+

−−+−=

zz

zzzU

(10.97)

Tendo em conta a região de convergência apresentada e o resultado (10.23), a transformada inversa deste sinal é

)(32)(2)(6

1

)(33

2)(2

2

1)(

6

1)(

11 nhnhn

nhnhnnu

Hn

Hn

Hn

Hn

−− ×+−−=

+−−=

δ

δ

(10.98)

Se, contudo, for pretendido lidar com polinómios de potências positivas de z, outra maneira de se determinar a transformada inversa consiste em considerar

)3)(2(

165

1651

)(

2

21

21

−−−=

+−−=

+−−= −−

−−

zz

zzz

zzz

zzzU

(10.99)

e decompor em fracções simples.

Como sabemos, a decomposição em fracções simples dá coeficientes constantes no numerador para um denominador definido por uma única raiz. No entanto, a forma da transformada Z apresentada em (10.23) contém um termo em z no numerador. Para se chegar a tal expressão, antes de se aplicar a técnica de decomposição divide-se U(z) por z,

Transformada Z 23

32

)3)(2(

1)(

−+

−+=

−−−=

z

C

z

B

z

A

zzz

z

z

zU

(10.100)

Aplicando a técnica dos resíduos,

3

1

3

2

2

1

2

11

6

1)(

−+

−−−=

zzzz

zU (10.101)

Multiplicando ambos os lados da igualdade por z, obtém-se

33

2

22

1

6

1)(

−+

−−−=

z

z

z

zzU (10.102)

sendo agora cada fracção semelhante à expressão (10.23). Aplicando esse resultado, a transformada inversa é

)(32)(2)(6

1

)(33

2)(2

2

1)(

6

1)(

11 nhnhn

nhnhnnu

Hn

Hn

Hn

Hn

−− ×+−−=

+−−=

δ

δ

(10.103)

Com esta abordagem, a decomposição em fracções simples é mais parecida com a da transformada de Laplace.

♦

10.7.1.3 Método da Expansão em Série de Potências

A expressão da transformada Z consiste numa série de potências na variável z, o que sugere poder-se aplicar a uma determinada função a expansão em série de Taylor. Esta técnica também pode ser utilizada com funções que não sejam racionais.

Nesta técnica, começamos por encontrar uma expansão em série de Taylor com características similares à função da transformada Z do problema em causa. Como a expansão em série de Taylor permite obter polinómios em Z, os coeficientes são as componentes procuradas para o sinal discreto no domínio dos tempos. Vejamos como aplicar esta técnica através de exemplos.

♦ Exemplo 10.13: Resolver o exemplo 10.10, utilizando o método da expansão em série de potências.

Uma expansão em série de Taylor com interesse para este caso é

∞

=<=

− 0

1 ,1

1

n

n xxx

(10.104)

A expressão (10.83) pode ser posta na forma


ααα

>−

−−

= −

−

− zz

z

zzU ,

11

1)(

22

1

22 (10.105)

Se na expressão (10.104) fizermos x=α2z-2, obtém-se um resultado idêntico aos dos dois termos da expressão anterior. Com esta relação de variáveis, (10.105) fica

( ) ( )

∞

=

+−∞

=

−

∞

=

−−∞

=

−

−=

−=

0

)12(2

0

22

0

221

0

22)(

n

nn

n

nn

n

n

n

n

zz

zzzzU

αα

αα

(10.106)

O primeiro somatório só dá potências pares de z e o segundo só potências ímpares.

Antes de continuar, é necessário verificar a região de convergência. Para que a expansão em série de Taylor seja, efectivamente, a desejada, falta comprovar se a condição apresentada conduz à região de convergência da função do exemplo. De (10.104) e da relação de variáveis, retira-se que |α2z-2|<1, o que dá |z|>|α|, sendo o resultado pretendido. Comparando (10.106) com a definição da transformada Z, tem-se

−

= − ímpar )(

par )()(

1 nnh

nnhnu

Hn

Hn

αα

(10.107)

que é o resultado já encontrado em (10.85). ♦

♦ Exemplo 10.14: Determinar a transformada inversa de

α

α>

−=

−z

zzU ,

1

1)(

1 (10.108)

A decomposição em série de Taylor de uma função semelhante à pretendida é

1 ,!)!2(

!)!12()1(

1 ...,642

531

42

31

2

11

1

1

0

32

<−−=

<+××××−

××+−=

+ ∞

=

xxn

n

xxxxx

n

n

n

(10.109)

em que k!!=k(k-2)(k-4)..., com k(-1)!!=1 e k(0)!!=1. Comparando as duas expressões anteriores, se considerarmos x=-αz-1, (10.108) fica

Transformada Z 25

( ) ( )

( )

nn

n

n

n

n

n

n

zn

n

zn

n

zn

nzU

−∞

=

−∞

=

−∞

=

−=

−=

−−−=

α

α

α

0

1

0

1

0

!)!2(

!)!12(

!)!2(

!)!12(

!)!2(

!)!12(1)(

(10.110)

Da condição de (10.109), e para a relação de variáveis indicada, tem-se que |-αz-1|<1, o que dá |z|>|α|. Esta relação consiste na região de convergência apresentada em (10.108), o que valida a função utilizada para a expansão em série de Taylor.

Por comparação com a expressão da transformada Z, obtém-se

)(!)!2(

!)!12()( nh

n

nnu H

nα−= (10.111)

que é a função pretendida para a transformada inversa. ♦

10.7.2 Análise de Sistemas Utilizando a Transformada Z

O correspondente discreto das equações diferenciais dos sistemas contínuos são as equações às diferenças, que traduzem as características de um determinado sistema discreto. Do mesmo modo que a transformada de Laplace desempenha um papel importante na análise de sistemas contínuos, a transformada de Z é uma ferramenta poderosa para analisar sistemas discretos, lineares e invariantes no tempo (LIT).

10.7.2.1 Função de Transferência do Sistema

Para um sistema LIT, se x(nT) forem as componentes do sinal de entrada do sistema e h(nT) as componentes da resposta impulsional, a saída é definida pela sua convolução. Pela propriedade da convolução, resulta que

)()()()()()( zXzHzYnTxnThnTy =→←⊗= (10.112)

donde se define a função de transferência,

)(

)()(

zX

zYzH = (10.113)

Um sistema físico discreto é, normalmente, caracterizado pela equação às diferenças,


[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] )()1(...)(

)()1(...)1()(

01

011

nTxbTnxbTMnxb

nTyaTnyaTNnyaTNnya

M

NN

+−++−==+−++−−+− −

(10.114)

ou, na forma mais compacta,

[ ] [ ]==

−=−M

kk

N

kk TknxbTknya

00

)()( (10.115)

Aplicando a transformada Z, pela propriedade da translação nos tempos, com condições iniciais nulas, tem-se que

=

−

=

− =M

k

kk

N

k

kk zbzXzazY

00

)()( (10.116)

Neste caso, a função de transferência fica

=

−

=

−

=N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

0

0)( (10.117)

Para um sistema descrito desta forma, a região de convergência só é conhecida quando forem definidas as propriedades dos sistemas, tais como causalidade e a estabilidade. Como se observou pelas propriedades da região de convergência, para um sistema causal a ROC está para fora do pólo mais exterior.

10.7.2.2 Estabilidade do Sistema

A região de convergência de H(z) permite fornecer dados importantes do mesmo, como seja a causalidade e a estabilidade.

Para que um sistema seja estável, a sua transformada de Fourier deve existir. A transformada de Fourier de um sistema discreto corresponde ao circulo unitário do plano z. Por isso, um sistema causal e estável deve ter todos os pólos dentro do circulo unitário. A figura 10.5 mostra a região de convergência para este tipo de sistema.

×××

×Re

Im

1××

×

×Re

Im

1

Transformada Z 27

Fig. 10.6 – Sistema discreto causal e estável.

♦ Exemplo 10.15: Analisar a estabilidade do sistema definido pela seguinte função de transferência:

221

0

10

)cos(21

)cos(1)( −−

−

+Ω−Ω−

=zrzr

zrzH (10.118)

Os pólos desta função são z1=rejΩ0 e z2=re-jΩ0. Se o sistema for causal e r real, a ROC é |z|>r. Assim, se r<1 o sistema é estável e se r>1 ele é instável. Para r=1 o sistema está no limiar de estabilidade. Esta situação não desejável para sistemas estáveis, dado que qualquer pequena variação dos parâmetros do sistema pode torná-lo instável.

♦

10.7.2.3 Diagrama de Blocos de um Sistema Discreto

O diagrama de blocos de um sistema discreto é definido de forma semelhante ao contínuo, com a diferença que os integradores são agora substituídos pelos blocos de atraso, caracterizados por z-1.

Sendo assim, o diagrama de blocos apresenta a constituição dos principais elementos de um determinado sistema. Como pretendemos determinar a saída do mesmo, (10.116) pode ser posta na forma,

−=

=

−

=

−N

k

kk

M

k

kk zazYzbzX

azY

100

)()(1

)( (10.119)

O diagrama de blocos é obtido por leitura da equação. A figura 10.7 apresenta uma representação possível. Existem outras que poupam o número de blocos do diagrama e que podem ser obtidas manipulando a expressão anterior. No entanto, esta representação mostra de uma forma directa o fluxo de sinal.


+ +

x(n) y(n)

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

b0

b1

b2

bM

1/a0

-a1

-a2

-aN

+ +

x(n) y(n)

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

b0

b1

b2

bM

1/a0

-a1

-a2

-aN

Fig. 10.7 - Digrama de blocos de um sistema discreto, definido pela equação às diferenças.

♦ Exemplo 10.16: Representar a função (10.118) por um diagrama de blocos, supondo que H(z)=Y(z)/X(z).

Retirando dessa expressão Y(z),

[ ] [ ]2210

10 )cos(2)()cos(1)()( −−− −Ω+Ω−= zrzrzYzrzXzY (10.120)

O diagrama de blocos da figura 10.8 esquematiza esta função.

+ +

-rcos(Ω0)z-1 z-1

z-1

2rcos(Ω0)

-r2

x(n) y(n)+ +

-rcos(Ω0)z-1 z-1

z-1

2rcos(Ω0)

-r2

x(n) y(n)

Fig. 10.8 – Diagrama de blocos referente ao exemplo 10.16.

♦

10.7.3 Resolução de Equações às Diferenças com Condições Iniciais

Existem dois processos para se determinar a saída de um sistema definido pela sua equação às diferenças, com coeficientes constantes e condições iniciais diferentes de zero. O primeiro consiste em obter a saída do mesmo através de um processo de recorrência. O segundo processo utiliza a transformada Z.

Transformada Z 29

10.7.3.1 Resolução nos Tempos

O processo de resolução de equações às diferenças no domínio dos tempos utiliza (10.115). Ao resolver-se essa expressão em ordem à variável de saída,

[ ] [ ] −−−=

==

N

kk

M

kk TknyaTknxb

anTy

100

)()(1

)( (10.121)

A saída pode ser obtida por conhecimento das condições iniciais, da entrada e das saídas anteriores. Deste modo, para k=0, a saída depende das condições iniciais y(-1), y(-2), ..., y(-N) e da entrada x(k). Para os valores seguintes de k, a saída dependerá dos valores de x(k) e das saídas passadas.

♦ Exemplo 10.17: Calcular a saída do sistema definido pela seguinte equação às diferenças:

)(2)()1(2

1)3(

4

1nxnynyny =+−−− (10.122)

com y(-1)=-1, y(-2)=y(-3)=0, para a entrada x(0)=x(1)=x(2)=x(3)=1 e x(n)=0 para n>3.

Aplicando o processo apresentado, y(n) é dado por

)3(4

1)1(

2

1)(2)( −−−+= nynynxny (10.123)

Por recorrência obtém-se

...64

25)2(

4

1)4(

2

1)5(2)5(

32

33)1(

4

1)3(

2

1)4(2)4(

16

55)0(

4

1)2(

2

1)3(2)3(

8

29)1(

4

1)1(

2

1)2(2)2(

4

11)2(

4

1)0(

2

1)1(2)1(

2

3)3(

4

1)1(

2

1)0(2)0(

−=−+=

=−+=

=−+=

=−−+=

=−−+=

=−−−+=

yyxy

yyxy

yyxy

yyxy

yyxy

yyxy

(10.124)

A figura 10.9 mostra o sinal de entrada e de saída para o exemplo apresentado.


n0

x(n)a)

1 2 3 4 n0

y(n)

1 2 3 4

1

b)

1

2

3

n0

x(n)a)

1 2 3 4 n0

y(n)

1 2 3 4

1

b)

1

2

3

Fig. 10.9 – Entrada e saída do sistema referentes ao exemplo 10.17. ♦

Como se pode verificar é simples obter a solução da equação às diferenças, através de um processo de recorrência. Este processo de cálculo é de fácil implementação num computador digital.

10.7.3.2 Utilização da Transformada Z

Outro processo de se determinar a solução da equação às diferenças consiste em utilizar a transformada Z, de forma semelhante ao que foi feito para sistemas contínuos. A definição de transformada Z mais apropriada é a unilateral. Por conseguinte, em primeiro lugar aplica-se a (10.115) a transformada Z unilateral, tendo em conta a propriedade da translação nos tempos, definida por (10.31). Determina-se a transformada do sinal de entrada e retira-se Y(z). A solução é obtida pela transformada inversa.

♦Exemplo 10.18: Resolver o exemplo 10.17 através da transformada Z unilateral.

A transformada do sinal (10.122) é

[ ] [ ] )(2)()1()(

2

1)3()2()1()(

4

1 1123 zXzYyzYzyyzyzzYz =+−+−−+−+−+ −−−−

(10.125)

Substituindo pelos valores iniciais, tem-se

[ ] [ ] )(2)(1)(2

1)(

4

1 123 zXzYzYzzzYz =+−−− −−− (10.126)

Resolvendo em ordem a Y(z),

31

2

31

4

1

2

11

2

1

4

1

4

1

2

11

)(2)(

−−

−

−− +−

−+

+−=

zz

z

zz

zXzY (10.127)

Como o sinal de entrada pode ser definido por x(n)=hH(n)-hH(n-4), a sua transformada Z é

Transformada Z 31

1

4

1

4

1

1

1

11

1)(

−

−

−

−

−

−−=

−−

−=

z

z

z

z

zzX

(10.128)

Substituindo este resultado em (10.127), a saída do sistema fica

( )( )

4321

4321

31

2

311

4

4

1

4

1

2

1

2

31

24

1

4

1

2

1

2

3

4

1

2

11

2

1

4

1

4

1

2

111

12)(

−−−−

−−−−

−−

−

−−−

−

−++−

−−++=

+−

−+

+−−

−=

zzzz

zzzz

zz

z

zzz

zzY

(10.129)

Como o grau do denominador é igual ao do numerador, fazendo uma divisão de polinómios obtém-se

( )

−−

+− +−

−−+−+=

−++−

−−+−+=

−−−−

−−−

−−−−

−−−

1111

321

4321

321

22

11

22

11

2

111

4

9

4

15

2

25

2

13

8

4

1

4

1

2

1

2

31

4

9

4

15

2

25

2

13

8)(

zj

zj

zz

zzz

zzzz

zzzzY

(10.130)

e, decompondo em fracções simples,

111

22

11

10

41

10

23

22

11

10

41

10

23

2

11

10

19

8)(−−−

−−

−−

+−

+−

+−=

zj

j

zj

j

zzY (10.131)

em que é nulo o coeficiente referente ao pólo em z=1. A transformada inversa desta função é

)(22

1

10

41

10

23

22

1

10

41

10

23

2

1

10

19)(8)( nh

jj

jjnny H

nnn !"#

− !"#

−+ !"#

+ !"#

++ !"#

−−= δ

(10.132)

ou, noutra forma,


−−

−−

−

−

=

=

+−−

+−−

+−−

−−

ímpar /2)1( eímpar )1(210

64

par /2)1( eímpar )1(210

18

ímpar /2 epar )1(210

41

par /2 epar )1(210

23

02

3

)(

4

1

2

1

4

3

2

1

4

2

2

2

42

2

nn

nn

nn

nn

n

ny

nn

nn

nn

nn

(10.133)

Como se pode verificar, esta abordagem pode ser mais morosa que a apresentada no secção anterior. Contudo, consegue-se obter uma expressão directa para o sinal de saída.

♦

10.8 RESUMO DA TRANSFORMADA Z

Segue-se um resumo das relações, propriedades e sinais mais usados na transformada Z.

10.8.1 Definição

• Transformada bilateral:

−

−∞

−∞=

=

=

dzzzUj

nu

znuzU

n

n

n

1)(2

1)(

)()(

π

[ ][ ])()(

)()(1 zUtu

tuzU−=

=

• Transformada unilateral:

−

−∞

=

=

=

dzzzUj

nu

znuzU

n

n

n

1

0

)(2

1)(

)()(

π

[ ][ ])()(

)()(1

I

zUtu

tuzU

I−=

=

10.8.2 Transformadas de Sinais Impor tantes

• 1)( →←nδ

Transformada Z 33

• 1 ,1

1)(

1>

−→← − z

znhH

• αα

α >−

→← − zz

nhHn ,

1

1)(

1

• αα

α <−

→←−−− − zz

nhHn ,

1

1)1(

1

• ( )( ) bzazbzaz

abbzznhbnha H

nH

n <>−−+−→←−+ e ,

2)()(

2

• ( ) αα

αα >−

→←−

−

zz

znhn H

n ,1

)(21

1

• rzzrzr

zrnhr H

n >+Ω−

Ω−→←Ω −−

−

,)cos(21

)cos(1)()cos(

2210

10

0

• 1

)1(

1)( −

+−

−−→←

z

zznP

NN

N

10.8.3 Propr iedades

• 212121 ROCROC contém ROC )()()()( ∩+→←+ zbUzaUnTbunTau

• aa

zUnTua un ROC

ROC )( =

→←

• [ ] ∞=→←− − ou origem excepto ROCROC )()( 0

0 un zUzTnnu

•

[ ] [ ][ ]

0)1(...)()0()(

0)(...)1()()()(

00)1(

0)1(

01

00

000

00

I <+−−−−>−++−−+−+

→←− +−−−

−−−−

nTnzuTuzuzzUz

nTuzTnuzTnuzUzTnnu

nnn

nn

• ( ) u

jznjz zeUnTue ROCROC )( 00 =→← −

• ( )u

zUnTuROC

1ROC )( 1 =→←− −

• 1ROC contém ROC 1

)()( 11

>∩−

→← −−∞=

z

z

UmTu

n

m

ω


• 1ROC contém ROC 1

)()( 11

0

I >∩−

→← −=

z

z

UmTu

n

m

ω

• udz

zdUznTnu ROCROC

)()( =−→←

• 212121 ROCROC contém ROC (z)(z))()( ∩→←⊗ UUnTunTu • )(lim)0(

0zUu

z→=

• [ ])()1(lim)(lim

1zUznTu

zn−=

→∞→

Transformada Z 35

10.9 EXERCÍCIOS

10.9.1 Calcule a transformada Z dos sinais:

a) )2()()( −+= nannu δδ

b) [ ])10()(2

1)( −−

= nhnhnu HH

n

c) <−≥

=0

0)(

nb

nanu

n

n

10.9.2 Calcule a transformada Z inversa, usando o método da divisão de polinómios e o método dos resíduos:

2

1 ,

2

11

1)(

1

>+

=−

zz

zU

10.9.3 Calcule a transformada Z inversa de:

2

1 ,

81

43

1

2

11

)(21

1

>++

−=

−−

−

zzz

zzU

10.9.4 Um sistema discreto tem a função de transferência:

321

1

015,023,09,01

2,01)( −−−

−

++++=

zzz

zzH

Esboce os 5 primeiros termos da resposta impulsional do sistema.

10.9.5 Considerando que a saída dum sistema LIT é dada por

)1()()(2

3)1(

2

5)2( −+=−−+− nxnxnynyny

)1()()(3)1(2)2( −+=+−+− nxnxnynyny

a) Determine a função de transferência H(z).

b) Obtenha a resposta impulsional, de modo a que o sistema seja estável.

10.9.6 Considere um sistema LIT caracterizado pela equação às diferenças:

)1(2)()2(6

1)1(

6

1)( −++−+−= nxnxnynyny .

a) Determine uma expressão para a função de transferência do sistema, H(z).


b) Sabendo que o sistema é causal, faça um esboço do lugar dos pólos e zeros de H(z) no plano z, indicando a sua região de convergência.

c) Determine a resposta impulsional do sistema. Diga, justificando, se se trata ou não de um sistema estável.

d) Indique a resposta impulsional de um sistema não causal que satisfaça a equação às diferenças anterior.

10.9.7 Um sistema discreto causal tem a seguinte função de transferência:

21

1

64,08,01

4,01)( −−

−

+−−=

zz

zzH

a) Localize os pólos e zeros no plano z e a região de convergência.

b) Determine a resposta impulsional.

c) Determine a equação às diferenças do sistema.

10.9.8 Um sistema discreto é definido pela equação às diferenças:

)1()(2)(4)2( −−=−− nxnxnyny

Determine a saída do sistemas tendo em conta as condições iniciais y(-1)=1 e y(-2)=0,5, para a entrada x(n)=0,5n para n≥0 e x(n)=0 para n<0.

10 transformada zcee.uma.pt/people/faculty/amandio.azevedo/disciplinas/s... · 2005. 9. 15. · 10...

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