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ÁLGEBRA Transformações lineares - 1

Transformações lineares

Transformação linear (TL)

Sejam V e W espaços vectoriais.Uma função T : V → W é chamada

transformação linear de V em W

se para todo o x, y ∈ V e c ∈ F se verifica:

(a) T(x + y) = T(x) + T(y)

(b) T(cx) = cT(x)

Uma transformação linear preserva a estrutura de espaço vectorial.


Transformações lineares

Para uma transformação linear T : V → W verifica-se:

(a) se T é linear T(O) = O

(b) T é linear se e só se T(cx + y) = cT(x) + T(y)

(c) T é linear se e só se T( ∑ aixi) = ∑ ai T(xi)

Exemplos de TL

• Transformação identidade IV : V → VIV(x) = x, para todo o x

• Transformação zero T0 : V → WT0 (x) = O, para todo o x


Núcleo e Imagem de uma TL

Conjuntos importantes associados a uma TL

Seja T : V → W

• Núcleo de T (ou espaço nulo de T) = N(T)

N(T) = { x ∈ V : T(x) = O}

• Imagem de T (ou contradomínio de T) = R(T)

R(T) = { T(x) : x ∈ V}

O núcleo e a imagem de uma transformação linear sãosubespaços vectoriais de V e W, respectivamente.


Imagem de uma TL

Determinação de uma base para R(T)

Seja T : V → W e β = {x1, x2, ..., xn} uma base para V.

Então R(T) = span ({T(x1), T(x2), ..., T(xn)}).

Podemos também concluir que os vectores de W

T(x1), T(x2), ..., T(xn)

linearmente independentes formam uma base para R(T), isto é,

{T(x1), T(x2), ..., T(xn)} ⊇ base para R(T)


Característica de uma TL

Característica de uma TL

é a dimensão da imagem da transformação R(T) = dim (R(T))

Teorema da dimensão

Sejam V, W espaços vectoriais e T : V → W.

Se V for de dimensão finita, então

dim (N(T)) + característica(T) = dim(V)


Base ordenada

Base ordenada para um espaço vectorial V

base do espaço vectorial na qual se estabelece uma ordemdeterminada entre os vectores

Se β = {x1, x2, ..., xn} for uma base ordenada para um espaçovectorial de dimensão finita V, então γ = {x2, x1, ..., xn} é umabase ordenada distinta.


Representação de elementos de EV

Representação de vectores numa base

Seja β = {x1, x2, ..., xn} uma base ordenada para um espaçovectorial de dimensão finita V. Para qualquer elemento x de V,define-se a representação de x em β, [x]β, como

[x]β é também designado por vector das coordenadas de xrelativamente a β.

[ ] ∑=

=

=n

1iii

n

2

1

β xaxonde,

a

a

a

x�


Representação matricial de uma TLRepresentação matricial de uma TL

Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com basesordenadas β = {x1, x2, ..., xn} e γ = {y1, y2, ..., ym},respectivamente.Seja T: V → W linear. Então existem escalares únicos aij ∈ Ftais que

A matriz m×n A definida como Aij = aij é designada arepresentação matricial de T nas bases ordenadas β e γ eescreve-se

Se V = W e β = γ,

nj1paraya)x(Tm

1iiijj ≤≤= ∑

=

[ ]γβTA =

[ ]βTA =


Representação matricial de uma TL

Resultado fundamental da definição de representaçõesmatriciais

Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com basesordenadas β = {x1, x2, ..., xn} e γ = {y1, y2, ..., ym},respectivamente, e T: V → W linear.

Então, para cada x ∈ V e y = T(x)∈ W temos que

[ ] ( )[ ] [ ] [ ] βγβγ xTxTy ⋅==γ



Outras consequências importantes ...

Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com basesordenadas β e γ, respectivamente.

Sejam T, U: V → W duas transformações lineares.

A adição das duas transformações lineares

T + U: V → W

é linear.

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] γβγβ

γβ

γβ

γ

β

TaaT

UTUT

=

+=+




Sejam V, W e Z espaços vectoriais de dimensão finita combases ordenadas α, β e γ, respectivamente.

Sejam T: V → W e U: W → Z duas transformações lineares.

A composição das transformações lineares U e T ,

UT: V → Z

é linear.

[ ] [ ] [ ] βαγβ

γ TUUTα

=




Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com basesordenadas β e γ, respectivamente.

Sejam T: V → W linear.

A transformação inversa da transformação linear T, quandoexiste

T-1: W → V

também é linear.

[ ] [ ]( ) 1γβ

β

γ1 TT

−− =




Sejam V e W espaços vectoriais.V é isomorfo de W se existe uma transformação linearT: V → W que seja invertível.Uma transformação linear nestas condições diz-se umisomorfismo de V em W.

Exemplos:

• M2(R) é isomorfo com R4

• F2 é isomorfo com P1(F)

• P3(R) é isomorfo com M2(R)


Mudança de baseRepresentação de um vector em bases diferentes

Sejam β e β’ duas bases ordenadas para o mesmo espaço V e amatriz .

Então:

- Q é invertível

- para todo o x ∈ V,

A matriz Q assim definida é designada:• matriz que muda coordenadas β’ para coordenadas β, ou• matriz de mudança da base β para a base β’.

[ ]ββ'VIQ =

[ ] [ ]β'β xQx =


Mudança de baseRepresentação de uma TL em bases diferentes

Sejam β e β’ duas bases ordenadas para o mesmo espaço V,e T: V → V uma transformação linear.Seja Q a matriz de mudança da base β para a base β’ (ou demudança de coordenadas β’ em coordenadas β).

Então

As matrizes [T]β e [T]β’ são matrizes semelhantes.

[ ] [ ] QTQT β1

β'−=


Mudança de baseRepresentação de uma TL em bases diferentes

Sejam β e β’ bases ordenadas para V, γ e γ’ base ordenadaspara W e T: V → W uma transformação linear.

Então

onde:

• Q é a matriz de mudança da base β para a base β’;

• P é a matriz de mudança da base γ para a base γ’.

[ ] [ ] QTPT γ1γ'ββ'

−=

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