–

2

1.INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 3

2. DEFINIÇÕES E DEMONSTRAÇÕES ...................................................................................... 4

2.1 FUNÇÃO HARMÔNICA ......................................................................................................... 4

2.2 EXISTÊNCIA DA CONJUGADA HARMÔNICA ........................................................................ 4

3.A FUNÇÃO ANALÍTICA DO POTENCIAL ............................................................................... 7

4.O MAPEAMENTO CONFORME ........................................................................................ 10

5.EXEMPLOS ...................................................................................................................... 11

6.CONCLUSÃO ................................................................................................................... 15

7.REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 16

3

O conceito de conformidade teve sua origem muito cedo na história,

relacionado ao desenvolvimento de mapas que representassem fielmente as

direções, contudo, passou a ser mais explorado em suas inúmeras

aplicações físicas como dinâmica dos fluídos, teoria de campos magnéticos

e eletrostáticos, que são a base das aplicações apresentadas nesse estudo.O

cálculo de potenciais eletrostáticos é uma área fundamental da Engenharia

Elétrica, contando com teorias físicas, este tipo de cálculo pode ser

realizado manualmente quando feito em superfícies simétricas, porém, se

torna inviável quando a região do cálculo não apresenta simetria, para

efetuá-lo então, pode-se transformar essa área “amorfa” numa simples,

onde o problema se torna trivial.Nesse trabalho apresentamos as bases

desse método e alguns exemplos de sua aplicação.

4

2.1 FUNÇÃO HARMÔNICA

Diz-se que uma função u(x,y) é harmônica numa região R se nesta

região ela possui derivadas de segunda ordem e satisfaz a equação de

Laplace:

2 2

( ( ))u u

u div grad ux y

Ou seja, uma função harmônica é uma solução para a equação de Laplace.

2.2 EXISTÊNCIA DA CONJUGADA HARMÔNICA

Seja f(z)=u(x,y)+iv(x,y) uma função analitica numa região R.Sabe-se

então que f(z) possui derivadas de todas as ordens, as quais, por sua vez

também são analiticas em R e podem ser obtidas da fórmula de Cauchy por

derivação sob o sinal de integração.

Demonstração:Seja z um ponto qualquer de R e C um contorno

fechado simples todo contido em R, cujo interior seja simplesmente

conexo,contenha o ponto z e esteja todo contido em R.Vale então a fórmula

de Cauchy:

1 ( )( )

2C

ff z d

i w z

Podemos obter então o termo da n-ésima derivada:

( )

( 1)

!( )

2 ( )C

n

n

n ff z d

i z

onde n é um inteiro positivo.

Vemos assim que como ( )

d

dz x iy as derivadas sucessivas de

f podem ser calculadas derivando repetidamente em relação a x ou a

iy.Logo vemos que u(x,y) e v(x,y) possuem derivadas contínuas de todas as

ordens em R.Podemos então derivar as equações de Cauchy-Riemann:

5

u v

x y e

u v

y x

tantas vezes quantas forem necessárias.Derivando pela primeira vez, a

primeira em relação a x e a segunda em relação a y, e somando ambos os

resultados, obtemos:

2 2

2 20

u v

x y

Fazendo o mesmo, agora derivando a primeira em relação a y e a

segunda em relação a x, obtemos:

2 2

2 20

v v

x y

Derivando sucessivamente as equações acima, observa-se que ambas

possuem derivadas parciais de qualquer ordem que são também harmônicas

em R.Como uma ferramenta extremamente versátil, nota-se que qualquer

função harmônica pode ser vista como a parte real ou imaginária de uma

função analítica complexa.Para efeitos de clareza um exemplo é ilustrado

abaixo:

Tendo 2 2

( , )u x y x y y , verifica-se de imediato sua

harmonicidade, logo, pode-se associar a esta função harmônica u(x,y) uma

função chamada conjugada harmônica, que seria uma v(x,y) no caso de

termos a função analítica f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Para encontrar v(x,y) basta que apliquemos as equações de Cauchy-

Riemann:

2y x

v u x 2 1x y

v u y

Integrando então a primeira equação em relação a y e derivando o

resultado em relação a x, obtemos

2 ( )v xy h x 2

x

dhv y

dx

Comparando ambos vx observa-se que dh

dx = 1, disso:

( )h x x c → 2v xy x c

Tendo u(x,y) e v(x,y) tem-se então f(z):

6

2 2 2( ) (2 )f z u iv x y y i xy x c z iz ic

Logo, a função analítica composta pelas duas harmônicas é: 2

( )f z z iz ic

Para o caso genérico da determinação da conjugada harmônica:

x y y xdv v dx v dy u dx u dy

Integrando,

0 0

( , )

0

( , )

( , ) ( )

x y

y x

x y

v x y v u dx u dy

Onde 0 0 0( , )v v x y e 0 0

( , )x y é um ponto arbitrario de R.Se a

integral acima for independente do caminho de integração,a função v que

ela define possui derivadas contínuas em R, satisfazendo, juntamente com

u, as equações de Cauchy-Riemann;logo, f = u + iv é analítica em

R.Mostrando então que essa integral ao longo de um caminho fechado é

nula,verificaremos a existência da conjugada harmônica.Chamando então

de R’ a região delimitada pela curva C e utilizando o teorema do divergente

de Green, temos:

'

( ) ( ) 0y x xx yy

C R

u dx u dy u u dxdy

Sabendo que a função u(x,y) é harmônica, a integral de fato existe,

comprovando então a existência da conjugada harmônica e assim a

existência da analítica composta por u(x,y) e v(x,y).

7

Para estudarmos o Potencial Eletrostático, precisamos primeiro

descrever sua origem, o Campo Elestrostático.Da Física básica, sabe-se

que uma carga elétrica exprime uma determinada força sobre outra carga

elétrica, a chamada Força Elétrica, logo, numa região que contenha cargas

elétricas, possuímos um campo de vetores Força Elétrica, o chamado

Campo Eletrostático.Uma definição didática deste campo é a seguinte, todo

ponto no espaço está sujeito a ação de uma Força Elétrica resultante se

neste for colocado uma carga, essa força “pré-definida” é o chamado

Campo Eletrostático, que possui determinados valores para determinados

pontos espaciais, isto é, conhecendo o vetor Campo Eletrostático num

ponto, pode-se conhecer o vetor Força Elétrica que atuará numa

determinada carga antes de inseri-lá naquele local.

Das Equações de Maxwell temos:

( )div E

onde é a densidade de carga presente na superfície considerada,

quando a carga no ponto considerado é zero, tem-se:

( ) 0yx

EEdiv E

x y

O que significa que pontualmente o Campo Eletrostático não possui

caráter rotacional, e que seu fluxo através de uma superfície fechada é zero.

Quando uma carga pontual q é inserida numa região com Campo

Elétrico, devido às forças geradas por este, essa carga irá ser atraída ou

repelida para alguma direção, o Trabalho necessário para isso, é igual à

Energia Potencial adquirida pela carga ao ser posta em meio à esse campo,

essa energia é a Energia Potencial Eletrostática, sendo chamada também

de Potencial Eletrostático.

Supondo que não há variações temporais das grandezas abordadas,

podemos definir um potencial escalar V do qual deriva o Campo

Eletrostático conservativo, tal que ( )E grad V .Temos então:

( ) ( ( ))rot E rot grad V

E é simples demonstrar que :

( ( )) 0rot grad V

Para qualquer função escalar, logo:

8

( ) 0y x

E Erot E

x y

Analisando ambas as equações observa-se que ambas são as

Equações de Cauchy-Riemann para as funções xE e y

E , e, nota-se

também que elas nos mostram que a equação formada pelas funções

citadas, a função x yE iE , é analítica, com isto podemos estabelecer

aplicações entre as teorias das funções analíticas e as teorias dos campos

eletrostáticos.

De outra das quatro Equações de Maxwell temos:

( )d B

rot Edt

Como não há variações no tempo, tem-se :

( ) 0rot E

o que corresponde com a equação 5.

Podemos agora analisar novamente a equação 2:

2 2

2 2

( ) 0

( ( )) 0

. . 0

0

div E

div grad V

V V

x x y y

V V

x y

Definindo então uma função Φ que descreve o comportamento do

potencial V, podemos verificar que Φ é uma função harmônica, pois como

já foi mostrado, V possui derivadas de segunda ordem e obedece à equação

de Laplace (para o caso de duas dimensões):

9

2 2

( ( ))div gradx y

Como uma função harmônica, Φ possui uma função conjugada

harmônica Ψ, logo, pode-se definir:

( ) ( , ) ( , )F z x y i x y

uma função analítica de z = x + iy, chamada de Potencial Complexo.Essa

função passa a ser uma ferramenta de grande uso, já que agora podemos

aplicar métodos da análise complexa, como havíamos citado

anteriormente.Fisicamente, Ψ representa curvas que interceptam

perpendicularmente as linhas equipotenciais (quando o valor de Ψ é

constante, exceto quando F’(z)=0), sendo estas curvas chamadas de linhas

de força, que seguem a direção da força elétrica.

10

O Mapeamento Conforme, ou Transformação Conforme de um

Domínio em outro, é uma transformação que preserva ângulos e direção, se

a transformação é dada por uma função analítica, então essa transformação

é conforme.

Essa aplicação do Cálculo é de grande utilidade para fins Físicos

como dinâmica dos fluídos, teoria de campos magnéticos e eletrostáticos,

pois, através de um método baseado nessas transformações, pode-se

simplificar problemas que envolvam esses campos da Física.Como o foco

deste trabalho são as aplicações no Cálculo de Potenciais, nos

restringiremos à esta área.

Para calcularmos o potencial em diferentes regiões do espaço,

existem teoremas físicos que podem ser aplicados com facilidade quando a

região apresenta simetria, porém, quando se deseja efetuar esse cálculo em

uma superfície (caso 2D) assimetrica, a aplicação desses teoremas para o

cálculo “braçal” se torna inviável.Para resolver esse tipo de problema, o

que se faz, é transformar a região assimetrica D numa outra região D*,

através de uma Transformação Conforme, onde se possa calcular o

potencial através de um Problema de Valor de Contorno de Dirichlet,

calculado este, deve-se voltar para a região inicial, e isso pode ser feito sem

problemas pois sabe-se que uma Função Harmônica permanece harmônica

quando sofre uma Transformação Conforme.

11

o Seja D o retângulo da figura abaixo, a<y<b, -∞ < x < ∞.Deve-

se encontrar uma função harmônica que satisfaça Φ(x,a)= Φ1 e

Φ(x,b)= Φ2 para -∞ < x < ∞.

Como D é uma faixa circulada pelas linhas y = a e y = b, sendo

que ambas se estendem ao infinito e que Φ(x,y) não depende

de x quando y = a ou y = b.Sabendo que a função deve ser

harmônica, esta deve satisfazer a Equação de Laplace, temos

que f’’(y) = 0 para y em D.Consequentemente, Φ(x,y) = f(y) =

Ay + B.As condições Φ(x,a) = Φ1 e Φ(x,a) = Φ2 nos mostram

que:

1

Aa B

2Ab B

1 2

2 1

Aa b

a bB

a b

Logo:

1 2 2 1

1( , ) [( ) ( )]x y y a b

a b

Que é então a função que nos da o potencial em um

determinado ponto do domínio D.

12

o Sabendo que a transformação z = eπw/a

realiza o seguinte

mapeamento, de D para D* :

Região D Região D*

Logo, do exemplo anterior, sabemos que:

1 2 2 1

1( , ) [( ) ( )]x y y a b

a b

Para esse caso:

1 2 1

1( , ) [( ) ( )]x y v a

a

Como a transformação é z = eπw/a

, podemos achar v:

1 0

0

cotxa

vy

Então:

1 0

1 2 1

0

1 0

2 1 1

0

1( , ) ( ) cot ( )

1( , ) ( ) cot ( )

xax y a

a y

xax y a

a y

Onde x0 e y0 são as coordenadas do ponto onde se deseja

calcular o potencial na região D.

13

o Sabendo que a transformação:

2

(1 )

(1 )

zw

z

Leva de D em D*, como calculamos no exemplo anterior o

potencial para regiões como D*

Região D Região D*

Como numa transformação conforme os ângulos se preservam,

podemos fazer:

( 1) ( 1)y vtg tg

x u

E utilizando a fórmula do exemplo anterior para calcular o

potencial numa região como D*, manipulando-a

algebricamente, temos:

2 1 1

( 1)1( , ) ( )

vu v V V tg V

u Da transformação, podemos escrever:

2 2

( 1)

2 2 2 2

( 1)

2 2

1 1 2arg( ) 2 arg 2 arg

1 (1 ) (1 )

22

1

v z x y ytg w i

u z x y x y

ytg

x y

( 1)

22 1 2 1

2 2( , ) ( )

1

yu v V V tg V

x y

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Que é a fórmula para o cálculo do potencial numa região da

forma de D.

o Nesse exemplo queremos calcular o potencial entre dois

cilindros não coaxiais, como na região D, para isso, podemos

transformar a região D na região D* com a seguinte

transformação:

Região D Região D*

2 1( )

2

zw f z

z Para isso, precisamos de uma função harmônica para o cálculo

do potencial em D*.Como vemos na região D* Φ depende

apenas de r0, e a Equação de Laplace se torna:

'' ' 0r Que podemos integrar e obter:

lna r b Sendo que “a” e “b” são determinadas pelos valores de Φ em

cada cilindro.

Assim:

* ( , )u v aln w k

Onde Φ* é o Potencial Complexo.Com os valores dados dos

potenciais nos cilindros, podemos encontrar: k = 0 e a = -

158.7.

Então, nosso potencial real é dado:

2 1( , ) 158, 7 ln

2

zx y

z

15

Observando alguns exemplos das Transformações Conformes

apresentadas no decorrer desse trabalho, pode-se notar a versatilidade que

estas atribuem ao Cálculo de Potenciais, pois, calculando alguns tipos de

Potenciais Harmônicos, pode-se por “desencadeamento” calcular

potenciais em inúmeros tipos de regiões, transformando umas nas outras

sucessivamente.Apesar de ser tão versátil, através das pesquisas realizadas

para esse trabalho, descobriu-se que este método, com os adventos e

evolução do Cálculo Numérico, acabou sendo deixado de lado, por não

apresentar vantagens sobre o Cálculo Computacional.

16

Arthur A. Hause, Jr. Complex Variables with Physical Applications.

Ávila, Geraldo. Variáveis Complexas e aplicações. 3ª edição.

Churchill, Ruel Vance. Variáveis Complexas e suas Aplicações.

Kreyszig, Erwin. Matemática Superior para Engenharia. Volume 2.

Bastos, João Pedro Assumpção. Eletromagnetismo para Engenharia:

Estática e Quase – Estática.