Matemática em ambiente TI-Nspire

Escola Secundária de Camões

Abril/Maio 2011

Josefina Calapez - Isabel Baldé - Célia Martins - António Borges

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Questão – Problema 1

“Qual a relação entre o alcance e a velocidade inicial de um projéctil lançado horizontalmente?”

Objectivo 1Considerando os resultados experimentais (tabela I) obtidos no lançamento horizontal de uma bola, pretende-se encontrar a relação entre a velocidade inicial da bola e o seu alcance.

Objectivo 2Extrapolar (aplicando a relação obtida) velocidades iniciais a partir do alcance e vice-versa

Exemplo: “Determinar a velocidade inicial da bola para que o alcance seja de 6,00m”

DadosAlcance (m) 1,87 2,32 2,66 3,27 3,68 4,09

Intervalo de tempo marcado no contador digital quando a esfera bloqueia a célula (ms) 3,26 2,42 1,97 1,66 1,50 1,36

tabela I

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Diâmetro da bola = 1,90 cm

Resolução do problema1. Abrir uma folha de cálculo e inserir os valores experimentais ( colunas A e C ) representando

respectivamente o alcance (alc) e o tempo marcado no contador digital (tem).

2. Definir a variável vel na coluna B como sendo o quociente entre 0,019 e a variável tem (diâmetro da bola a dividir pelo tempo) e multiplicar por 1000 (conversão para segundos).

3. Executar a regressão linearmenu + Estatística + Cálculos estatísticos + Regressão linear (mx+b)…

Definindo na regressão linear:Lista X: a1:a6Lista Y: b1:b6Guardar a equação (por exemplo f2)Guardar os resultados numa coluna não preenchida da tabela (por exemplo g[ ])

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Os parâmetros da regressão linear efectuada ficarão registados na tabela

4. Abrir uma página de gráfico e representar o gráfico da função f2 ( por selecção) e representar os pontos da dispersão.

menu + Tipo de gráfico + Gráfico de dispersão

escolher a variável vel para abcissa (x) e a variável alc para ordenada (y)

5. Ajustar a janela de visualização

menu + janela + zoom-ajustar

Nesta fase são já visíveis os valores experimentais assim como a recta de regressão e sua equação.

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Extrapolação

6. Seleccionar um ponto sobre a recta de regressão, representar as coordenadas desse ponto e depois alterar a ordenada para o valor pretendido.

menu + Pontos e Rectas + Ponto sobre um objecto(escolher um ponto sobre a recta de regressão)

Sobre o ponto premir ctrl + menu + Coordenadas e equações

Sobre a ordenada do ponto premir duas vezes sobre a ordenada e alterar o valor para 6.

A velocidade correspondente a esse alcance será a abcissa desse ponto.

Novas extrapolações, ou interpolações poderão ser efectuadas, alterando ou a abcissa ou a ordenada do ponto.

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Questão – Problema 2

“Determinar o valor do ângulo de refracção de um feixe que atravessa dois meios com índices de refracção distintos”

ObjectivosUtilizando as capacidades gráficas da TI-nspire:

Representar graficamente o feixe incidente e o seu valor.

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Representar graficamente o feixe reflectido e o seu valor.

Representar graficamente o feixe refractado e o seu valor.

Apresentar o valor do ângulo crítico na possibilidade de reflexão total

Possibilitar ao utilizador a selecção do valor do ângulo de incidência e dos índices de refracção de cada um dos meios.

1. Abrir uma página de gráficos

doc + Ficheiro + Novo documento + Adicionar Gráficos

2. Representar a superfície de separação dos dois meios.(segmento horizontal largo de cor cinzenta)

menu + Pontos e Rectas + Segmento

Seleccionar o primeiro ponto na extremidade esquerda do eixo das abcissas e o segundo ponto na extremidade direita do eixo das abcissas.

Colocar o cursor sobre o segmento e premir sequencialmenteCtrl + menu + Atributos (alterar a Espessura da linha para grossa)

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Colocar novamente o cursor sobre o segmento e premir sequencialmenteCtrl + menu + Cor + Cor da recta (alterar a cor para cinzento)

Colocar o cursor sobre os dois pontos que limitam o segmento e premir sequencialmenteCtrl + menu + Ocultar (fazer para ambos os pontos)

3. Representar a direcção normal à superfície de separação dos dois meios.(segmento vertical com largura média, descontínuo e de cor cinzenta)menu + Pontos e Rectas + Segmento

seleccionar o primeiro ponto na extremidade de cima do eixo das ordenadas e o segundo ponto na extremidade de baixo do eixo das ordenadas.

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Colocar o cursor sobre o segmento e premir sequencialmenteCtrl + menu + Atributos (alterar a espessura da linha para grossa)

(alterar a estilo da linha para quebrada)

Colocar novamente o cursor sobre o segmento e premir sequencialmenteCtrl + menu + Cor + Cor da recta (alterar a cor para cinzento)

Colocar o cursor sobre os dois pontos que limitam o segmento e premir sequencialmenteCtrl + menu + Ocultar (fazer para ambos os pontos)

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4. Definir o ângulo de incidência (θinc) e configurar selectormenu + Acções + Inserir selectorDefinir como variável θinc

Com o cursor sobre o selector premir sequencialmentectrl + menu + Definições

Definir como limites de θinc os valores 0 (mínimo) e 90 (máximo).Seleccionar a opção Minimizado colocando um visto.

5. Definir os índices de refracção dos dois meios (n1 e n2)menu + Acções + TextoPremir sobre o 1º Quadrante e escrever o valor do índice do meio 1 ( 1.7 por exemplo)

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Premir sobre o 4º Quadrante e escrever o valor do índice do meio 2 ( 1.3 por exemplo)

Relacionar cada um dos valores inseridos com n1 e n2

Com o cursor sobre o primeiro valor inserido premir emVar + Guardar Var e definir a variável como n1

Com o cursor sobre o segundo valor inserido premir emVar + Guardar Var e definir a variável como n2

6. Representar as rectas que definem a direcção dos feixes incidente, reflectido e refractado

Incidente: (segmento obliquo no 2º quadrante com inclinação θinc relativamente ao eixo vertical)

Reflectido: (segmento obliquo no 1º quadrante com inclinação θrefl relativamente ao eixo vertical)

Refractado: (segmento obliquo do 4º quadrante com inclinação θrefr relativamente ao eixo vertical)

Definir a função f1

Definir a função f2

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Definir a função f3

Nesta fase poder-se-á ocultar as expressões das funções f1, f2 e f3, bastando para isso colocar o cursor sobre cada uma das expressões e premir ctrl + menu + Ocultar

7. Definir os pontos que possibilitam a representação dos diferentes feixes.Para melhor visualização, estes pontos serão equidistantes à origem do referencial.menu + Formas + Circunferência

Selecciona-se como centro da circunferência a origem do referencial e deslizando o cursor escolhe-se uma circunferência de forma a aproveitar a amplitude vertical do ecrã.

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Menu + Pontos e Rectas + Ponto(s) de intersecçãoMarcam-se sucessivamente, os pontos de intersecção entre cada uma das rectas e a circunferência.

Nesta fase poder-se-á ocultar o traçado dos eixos, o traçado das rectas, o traçado da circunferência, três dos pontos de intersecção e as etiquetas associadas aos limites dos eixos

menu + Acções + Ocultar

8. Definir os segmentos representativos dos feixes.menu + Pontos e Rectas + Segmento

“Raio incidente” segmento definido entre o ponto do 3º Quadrante e a origem do referencial) “Raio reflectido” segmento definido entre o ponto do 3º Quadrante e a origem do referencial) “Raio refractado” segmento definido entre o ponto do 3º Quadrante e a origem do referencial)

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Configurar o traçado dos “segmentos”ctrl + menu + Atributos (alterar a estilo da linha para quebrada)

9. Apresentar legenda e outras informações. Com o cursor sobre cada um dos pontos terminais premir sequencialmentectrl + menu + Etiqueta (definir a legenda associada aos três raios)

Identificar os meios de separação menu + Acções + TextoInserir o texto “Meio 1” e posicionar a caixa de texto no 2º Quadrante junto ao eixo das abcissas.Inserir o texto “Meio 2” e posicionar a caixa de texto no 3º Quadrante junto ao eixo das abcissas.

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Apresentar o valor do ângulo de reflexão menu + Medição + ÂnguloSeleccionar como primeiro ponto um que se situe no semi-eixo positivo das ordenadas, o segundo como sendo a origem do referencial e o terceiro sobre o segmento que representa a reflexão.

Apresentar o valor do ângulo de refracção menu + Medição + ÂnguloSeleccionar como primeiro ponto um que se situe no semi-eixo negativo das ordenadas, o segundo como sendo a origem do referencial e o terceiro sobre o segmento que representa a refracção.

Seleccionar o valor ângulo referente à reflexão e premir var + Guardar VarIdentificar a variável como θrefl e posicionar a caixa no canto superior direito.

Seleccionar o valor ângulo referente à refracção e premir var + Guardar VarIdentificar a variável como θrefr e posicionar a caixa no canto inferior direito.

Apresentar o valor do ângulo crítico menu + Acções + Texto

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Com o cursor na caixa de texto premir em trig e seleccionar sin-1 e escrever n2/n1 entre parêntesis

Seleccione a caixa de texto e prima sequencialmente ctrl + menu + CalcularOculte a expressão sin-1(n2/n1) ctrl + menu + OcultarSeleccione o valor do ângulo crítico e prima sequencialmente var + Guardar VarIdentificar a variável como θcr e posicionar a caixa no canto inferior esquerdo.

10. Apresentação gráfica a partir de três vectores do sentido dos diferentes raios.

menu + Pontos e Rectas + Vector

(Para o raio incidente)Seleccionar o ponto inicial do raio incidente e o ponto médio desse mesmo segmento.

(Para o raio reflectido)Seleccionar a origem do referencial e o ponto médio desse mesmo segmento.

(Para o raio refractado)Seleccionar a origem do referencial e o ponto médio desse mesmo segmento.

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Configurar o traçado dos “vectores”Seleccionar cada um dos vectores e premir sequencialmentectrl + menu + Atributos (alterar a estilo da linha para quebrada)

Ocultar os pontos adjacentes às setas dos vectores e os que se apresentam no eixo vertical assim como os arcos de circunferência ainda visíveis.menu + Acções + Ocultar

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Alterar os atributos dos pontos ainda visíveis (não se podem ocultar devido às etiquetas associadas que desempenham o papel de legenda)Seleccionar os pontos e premir sequencialmentectrl + menu + Atributos (alterar para Ponto)

Depois de concluída, esta aplicação “dinâmica” permite alterar quer o valor do ângulo de incidência, quer os índices de refracção dos dois meios.

No caso de se verificar reflexão total, o raio refractado obviamente não existe, e no caso de não ser possível a reflexão total não há ângulo (θcr = indef)

Alguns exemplos