Universidade Estadual de LondrinaCAMILA SOUZA AZEVEDO

ARCOS

Trabalho apresentado como forma parcial de avaliao bimestral da disciplina de Mecnica das Estruturas II do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Londrina. Docente: Gerson Cendes Saragosa

LONDRINA 2011

1 INTRODUO

Os arcos comearam a ser utilizados na Antiguidade, entretanto, no Egito Antigo, na Babilnia, Grcia Antiga e Assria tenham utilizado apenas em construes subterrneas, como estruturas de drenagem, por exemplo. Sua arquitetura exterior combina o uso de colunas e vigas horizontais. Para reduzir o impulso sobre os blocos de pedra, comearam a ser utilizadas colunas sucessivas e de colocao prxima, de modo a suportar tais cargas. Porm, s mais tarde os romanos comearam a utilizar os arcos para atravessar grandes vos e em edifcios de alturas monumentais, onde se propagaram os arcos semicirculares assentados em colunas. Este tipo de arco caracterizou as obras do Estilo Romnico e do Renascimento. Pouco depois, difundiu-se um tipo de arco, que acredita-se j ter sido utilizado pelos assrios, os arcos ogivais, tambm conhecidos como arcos quebrados. Na arquitetura islmica comum o uso do arco especialmente por motivaes decorativas onde sobressaem o arco de ferradura e diversos arcos decorativos com a insero de lbulos rendilhados. Na China usava-se j desde dinastias antigas o arco aplicado construo de pontes. Ao longo do tempo, as tipologias formais foram se adaptando, nos variados movimentos arquitetnicos. Entretanto, independente do tipo de curva de cada arco, a metodologia de clculo dos esforos internos solicitantes a mesma, variando de acordo com a curva do arco.

2 ARCOS

Arco um elemento construtivo formado por uma barra, cujo eixo formado por uma curva que emoldura a parte superior de um vo suportando o peso vertical da parede em que se encontra. Os arcos so estruturas versteis, j que podem ser utilizados em portas, janelas, pontes, aquedutos, podem ser elementos de composio tridimensional de abbodas, ou ainda em paredes de reteno e barragens. Tambm podem aparecer em formaes geolgicas e minerais como resultado da eroso. So utilizados para vencer grandes vos, e ainda apresentam grande importncia na histria da arquitetura.

2.1 COMPONENTES E FUNCIONAMENTO DOS ARCOS

Na figura 1 pode ser vista uma representao esquemtica de um arco, onde esto indicados todos os componentes de um arco.

Figura 1 - Representao esquemtica de um arco

1. Chave: bloco superior que trava a estrutura, pode ser decorada. Tambm pode ser o ponto onde os arcos que compem uma abbada se cruzam; 2. Aduela: bloco em cunha que compe a zona curva do arco e colocada em sentido radial, com a fase cncava no interior e a fase convexa no exterior; 3. Extradorso: face exterior e convexa do arco;

4. Imposta: bloco superior do pilar que separa o p direito da aduela de arranque (bloco em que comea a curva); 5. Intradorso: face interior e cncava do arco; 6. Flecha: distncia entre a linha de arranque (delimitada pela imposta e pela aduela de arranque) e a face inferior da chave; 7. Luz: vo ou largura do arco, geralmente maior que sua profundidade. Geralmente a relao entre a flecha e a luz traduzida por uma frao (1/2, 1/3, etc.); 8. Contraforte: muro que suporta os esforos sofridos pelo arco. Quando no h um muro, os esforos podem ser transmitidos para outro arco lateral.

Arcos so estruturas que funcionam compresso transmitindo os esforos sofridos pelas cargas para os pilares de suporte e para os lados, de modo a permitir a abertura de grandes vos sem risco de colapso da estrutura. Geralmente so construdos em pedra, tijolo, ou outro material similar. Os blocos em forma de cunha so colocados de forma que travemse uns aos outros, sendo possvel, dessa forma seu funcionamento compresso. A chave a ltima pea a ser colocada, proporcionando o travamento definitivo da estrutura. Antes de ser colocado o ltimo bloco, colocada uma armao provisria que serve como molde para a visualizao da forma do intradorso do arco. O solo sobre o qual se apia um arco deve ter estabilidade suficiente para resistir s reaes horizontais e verticais. Em alguns casos, as reaes horizontais podem causar esforos de trao na base. Uma soluo possvel para reduzir esse problema o atirantamento do arco, ou seja, ligar as extremidades do arco com um material resistente trao.

2.2 PRINCIPAIS TIPOS DE ARCOS

Arco semicircular, ou arco romano: um arco biapoiado, no aconselhvel para grandes vos, pois a relao entre flecha e luz 1/2 o torna invivel; Arco elptico: pode ter dois ou mais apoios, este tipo de arco pode ser utilizado para pequenos ou grandes vos, sendo respectivamente arco elptico estreito e arco elptico largo.

Arco parablico: um dos mais adequados do ponto de vista estrutural, por apresentar a mesma forma do diagrama parablico de momentos fletores,

fazendo com que as tenses de flexo sejam eliminadas; Arco Moorish ou cebola: pode ser considerado um arco tridimensional composto por grandes arcos de vrios crculos; Arco gtico: comum nas grandes catedrais europias, apresenta forma de ponta ou ogiva. Tal forma possui explicao religiosa, pois acreditava-se que, com a ponta apontando para o alto seria mais fcil alcanar Deus. Arco ogival: substituiu o arco semicircular utilizado no perodo Romnico. Geometricamente, a ogiva mais difcil de ser projetada, no entanto, distribui melhor as foras, aumentando a eficincia do complexo. Trata-se de uma estrutura com dois elementos instveis (pois cada arco tende a cair em uma direo diferente) que ao se oporem, fortalecem-se, proporcionando vos maiores. Neste tipo de arco a altura do arco (flecha) maior do que a largura (luz).

2.3 ANLISE ESTRUTURAL

Para a resoluo de um arco isosttico plano, no h alteraes mecnicas na resoluo da estrutura. Utilizam-se as trs equaes da esttica para determinao das reaes de apoio, e, posteriormente calculam-se os Esforos Internos Solicitantes. Entretanto, devido forma curva das barras, h algumas modificaes de origem matemtica, para este problema, conforme ser observado no exemplo 01.

Exemplo 01: Obter os diagramas dos Esforos Internos Solicitantes do prtico da figura abaixo:

Da figura, sabemos que:

As reaes de apoio sero obtidas atravs das 3 equaes da esttica:

Os Esforos Internos Solicitantes sero obtidos atravs do mtodo das sees. Numa seo genrica , entre A e C, definida pelo ngulo , obtm-se: ( Mas: , ento: ( ( ) ) )

Substituindo valores numricos nas expresses obtidas para os esforos internos solicitantes, obtm-se:

Para Para Para

As equaes acima so vlidas apenas para o trecho AC, j que no ponto C h a aplicao de uma carga concentrada, o que modifica as equaes acima obtidas. Entretanto, devido simetria da estrutura e de seu carregamento, no h necessidade de obter as equaes que definem o trecho CB, pois os diagramas de momento fletor e fora normal so simtricos, e para fora cortante os diagramas so anti-simtricos.

Para facilitar o traado dos diagramas, eles podem ser traados a partir de uma reta auxiliar, ao invs de tra-los segundo o eixo curvo da estrutura, conforme ser demosntrado no exemplo 02.

Exemplo 02: Traar o diagrama de momentos fletores para a barra curva abaixo:

As reaes de apoio calculadas utilizando as trs equaes da esttica fornecem como resultado:

O momento fletor ser calculado traando-se uma seo , distante tem-se:

na vertical,

A forma do diagrama de momentos fletores devido a uma fora horizontal ser a mesma curva do eixo da barra, multiplicada pelo valor da fora horizontal.

Mas as estruturas com barras curvas podem apresentar vrios tipos de carregamento. Nesse caso a estrutura pode ser resolvida atravs do mtodo da superposio de efeitos, como poder ser visto no exemplo 03.

Exemplo 03: Traar o diagrama de momentos fletores para o prtico abaixo:

Obteno das reaes de apoio a partir das trs equaes da esttica:

Obteno dos momentos fletores: Barra AC: posicionando uma seo entre A e C:

Barra BD: posicionando uma seo entre B e D, obteremos a seguinte equao:

Barra CD: um mtodo de anlise simples para barras curvas ser empregado na barra CD. Inicialmente, isola-se a barra curva CD do restante da estrutura aplicando em C e em D, os respectivos esforos internos solicitantes nos dois pontos, de modo a preservar seu equilbrio. Por superposio de efeitos, teremos:

Da mesma forma que no exemplo 02, o diagrama de momentos fletores referenciado reta horizontal para cargas horizontais ser da mesma forma que a curva da barra, nesse caso, uma parbola. Resolvendo de forma anloga ao exerccio anterior, obtemos a seguinte equao para :

Substituindo os valores numricos: Para: Para: Para:

As cargas verticais e momentos so resolvidas fazendo uma seo em qualquer ponto da barra curva. Ento: Olhando esquerda da seo :

Substituindo os dados do exerccio, obtido:

Para: Para:

possvel observar que o diagrama de uma barra curva devido s cargas verticais e aos momentos o mesmo que o de uma viga biapoiada submetida ao mesmo carregamento. Pelo princpio da superposio, sabemos que o diagrama de momentos fletores para a barra CD ser a soma dos diagramas obtidos para cargas horizontais, e o obtido para cargas verticais e dos momentos. Sendo assim:

Obteno do valor do momento fletor mximo atuando na barra CD. A equao total do momento fletor ser: ( ) logo logo logo ( ) ( ) .

Mas Para Para Para

:

Dessa forma, obtemos um sistema de equaes com 2 equaes e 2 incgnitas: { Substituindo (2) em (1), temos:

Substituindo o valor de

em (2): ( )

Substituindo os valores para ,

e :

Agora possvel substituir o valor de

na equao dos momentos fletores: ( )

O momento fletor mximo ocorrer no ponto em que:

O momento fletor mximo ocorrer em

, e ser dado por:

O diagrama final para a estrutura ser:

2.4 ARCOS TRIARTICULADOS

O estudo dos arcos triarticulados submetidos a carregamentos em todas as direes pode ser feito utilizando os princpios gerais da esttica, e a obteno dos diagramas de esforoe internos solicitantes ser feito pelo mtodo dos pontos. No entanto, se o arco triarticulado estiver submetido apenas a carregamentos verticais, seu estudo pode recair sobre o estudo de uma viga biapoiada, conforme ser visto a seguir.

No prtico da figura acima, temos os dois apoios A e B, que so de segundo gnero esttico, nos quais surgiro reaes de apoio RA e RB, que podem ser decompostas em duas direes quaisquer. Neste caso, elas sero decompostas na direo vertical e a direo AB, para facilitar os clculos. O clculo das reaes de apoio fornecem:

Para as reaes verticais, possvel constatar que as reaes so iguais s reaes e , respectivamente, da viga

e

de mesmo vo e

submetida ao mesmo carregamento ao qual o arco triarticulado est submetido. A

viga

chamada de viga de substituio. As reaes

e

foram

calculadas a partir das equaes de foras verticais e momentos estticos. As reaes de apoio na direo AB sero calculadas da condio que o momento fletor seja nulo na rtula G. A reao de apoio ser dada por:

Sendo que o momento viga de substituio.

o momento fletor que atua em

, na

Conhecidas as reaes de apoio, possvel determinar os esforos internos solicitantes no arco triarticulado. Escolhendo uma seo genrica definida pelo eixo horizontal , medida a partir do eixo da esquerda e por uma abscissa temos:

vertical , medida a partir da linha de fechamento

( (

) )

Onde

,

e

so, respectivamente, momento fletor, e esforos genrica do prtico triarticulado AGB e e ,

cortante e normal, em uma seo

respectivamente momento fletor e esforo cortante na seo , que a projeo da seo na viga de substituio.

CONCLUSO

Atravs deste trabalho, constata-se a versatilidade do arco. Tal elemento bastante til, tanto para se atravessar tanto grandes vos quanto pequenos vos. Por exemplo, utiliza-se o arco para atravessar grandes rios ou estradas ou ainda, para servir de soleira de portas e janelas.

REFERNCIAS

SUSSEKIND, Jos Carlos. Curso de Anlise Estrutural vol.1. Edio. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1974. Arco - Arquitetura. Disponvel em:< http://pt.wikipedia.org/wiki/Arco_(arquitetura)>. Acesso em: 22 nov. 2011. Tipos de Arco. Disponvel em: . Acesso em: 22 nov. 2011.