Trabalho - Calculo 2 - 2◦ Semestre 2016

Nome : Ra : MI PMN

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Orientacoes Gerais:

• Data de entrega: prevista em calendario.

• Podera ser realizado em grupos de ate no maximo 5 integrantes.

• Todo tipo de copia nao referenciada sera considerada plagio.

• O relatorio final devera conter: Esta pagina como capa, Breve Introducao, Breve desenvolvimento teorico,Discussao/Resultados/Conclusao e Bibliografia.

• O trabalho pode ser escrito a mao ou impresso, porem em ambos os casos em folha sulfite.

Exercıcio 1: Quando uma viga de comprimento L fica sujeita a uma carga q(x) sob o seu domınio, esta irasofrer uma deflexao, ou seja, uma deformacao vertical, tambem denominado linha elastica. A equacao dalinha elastica e determinada pela solucao de um problema de valor de contorno (PVC) aplicados a algumassituacoes de vigas sujeitas a carregarmentos diferentes e condicoes de contornos diferentes.

Foram definidos cinco problemas sendo que cada grupo ficou designado por resolver um deles.

(a) Resolva o PVC para o problema definido para o seu grupo apresentando a equacao da linha elastica y(x).

(b) Utilizando L = 6, E = 200 × 109, I = 1010 × 10−6 e q = 50, determine o grafico da solucao do PVC.

(c) Utilizando L = 6, E = 200 × 109, I = 1010 × 10−6 e q = 50, determine a deflexao maxima, ou seja,ymax(x). Para isto, utilize o metodo numerico da Bisseccao ou de Newton-Raphson.

Exercıcio 2: Na mecanica classica, o centro de massa de uma lamina e um ponto (x, y) ao qual toda sua massa estaconcentrada. Foram definidos cinco problemas com regioes distintas sendo que cada grupo ficou designadopor resolver um deles.

(a) Determine o valor do ponto (x, y) do centro de massa da lamina do seu problema.

(b) Faca o grafico da regiao e o respectivo ponto do centro de massa. Utilize um dos softwares matematicosapresentados em aula.

(c) Construa esta lamina com um material do seu desejo e marque o ponto (x, y) do centro de massa paramostrar na pratica que este e o ponto em que a lamina se mantem em equilıbrio.

2 Marcio Rodrigues Sabino

PVC 1: Considere o seguinte PVC:

Figura 1: Viga sujeita a uma carga q constante

A equacao da linha elastica neste caso e definido pelo PVC abaixo:

E · I · y′′(x) =q · L

2· x− q

2· x2 (0.1)

onde E, I e q sao constantes, y(x) o deslocamento vertical da viga, L o comprimento e x uma posicao qualquersobre o domınio [0, L].

As condicoes de contorno para o problema sao as seguintes:

• y(0) = 0

• y(L) = 0

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PVC 2: Considere o seguinte PVC:

Figura 2: Viga sujeita a uma carga q constante

A equacao da linha elastica neste caso e definido pelo PVC abaixo:

E · I · y′′(x) = −q · L2

2+ q · L · x− q

2· x2 (0.2)

onde E, I e q sao constantes, y(x) o deslocamento vertical da viga, L o comprimento e x uma posicao qualquersobre o domınio [0, L].

As condicoes de contorno para o problema sao as seguintes:

• y(0) = 0

• y′(0) = 0

4 Marcio Rodrigues Sabino

PVC 3: Considere o seguinte PVC:

Figura 3: Viga sujeita a uma carga q constante

A equacao da linha elastica neste caso e definido pelo PVC abaixo:

E · I · y′′(x) = (q · L−R) · x−(q · L2

2−R · L

)− q

2· x2 (0.3)

onde E, I e q sao constantes, y(x) o deslocamento vertical da viga, L o comprimento e x uma posicao qualquersobre o domınio [0, L].

As condicoes de contorno para o problema sao as seguintes:

• y′(0) = 0

• y(0) = 0

• y(L) = 0

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PVC 4: Considere o seguinte PVC:

Figura 4: Viga sujeita a uma carga q constante

A equacao da linha elastica neste caso e definido pelo PVC abaixo:

E · I · y′′(x) = −q

2· x2 (0.4)

onde E, I e q sao constantes, y(x) o deslocamento vertical da viga, L o comprimento e x uma posicao qualquersobre o domınio [0, L].

As condicoes de contorno para o problema sao as seguintes:

• y′(L) = 0

• y(L) = 0

6 Marcio Rodrigues Sabino

PVC 5: Considere o seguinte PVC:

Figura 5: Viga sujeita a uma carga q linear

A equacao da linha elastica neste caso e definido pelo PVC abaixo:

E · I · y′′(x) = − q

6L· x3 (0.5)

onde E, I sao constantes, o carregamento q(x) e linear (OBS. q e o valor maximo do carregamento q(x)),y(x) o deslocamento vertical da viga, L o comprimento e x uma posicao qualquer sobre o domınio [0, L].

As condicoes de contorno para o problema sao as seguintes:

• y(0) = 0

• y′(L) = 0

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Regiao 1: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

8 Marcio Rodrigues Sabino

Regiao 2: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

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Regiao 3: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

10 Marcio Rodrigues Sabino

Regiao 4: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

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Regiao 5: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

12 Marcio Rodrigues Sabino

Regiao 6: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

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Regiao 7: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

14 Marcio Rodrigues Sabino

Regiao 8: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

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Regiao 9: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine o centrode massa:

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Regiao 10: Dada uma lamina fina com densidade constante e regiao definida pela figura abaixo, determine ocentro de massa: