topografia prof: antônio pegado
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FACI – FACULDADE IDEAL
DEPARTAMENTO DE TRANSPORTES
TOPOGRAFIA
Prof: Antônio Pegado
email: [email protected]
email: [email protected]
Belém 2011
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SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO.............................................................................................................5
1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................6 CAPÍTULO 1........................................................................................................................6 1 CONCEITOS GERAIS.....................................................................................................7 1.1 TOPOGRAFIA.............................................................................................................7 1.2 DEFINIÇÃO.................................................................................................................7 1.3 GEODÉSIA.................................................................................................................8 1.3.1 LEVANTAMENTOS GEODÉSICOS..........................................................................8 1.3.1.1 FINALIDADES.......................................................................................................8 1.3.1.2 CLASSIFICAÇÃO..................................................................................................8 1.4 LIMITES DE APLICAÇÃO DA TOPOGRAFIA................................................................9 1.5 DIFERENÇA ENTRE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA......................................................9 1.6 ÁREAS DE ATUAÇÃO.................................................................................................11 1.7 DIVISÃO DA TOPOGRAFIA........................................................................................11 1.8 APLICAÇÕES DA TOPOGRAFIA................................................................................12 1.9 LEVANTAMENTO........................................................................................................13 1.10 LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS......................................................................14 1.11 MODELOS DE SUPERFÍCIE TERRESTRE...............................................................15 1.12 DIMENSÕES DA TERRA...........................................................................................19 1.13 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO......................................................19 CAPÍTULO 2......................................................................................................................21 2 PLANIMETRIA E ALTIMETRIA......................................................................................21 2.1 REPRESENTAÇÃO DO TERRENO.............................................................................21 2.2 REPRESENTAÇÃO POR PONTOS COTADOS..........................................................21 2.3 REPRESENTAÇÃO POR CURVAS DE NÍVEL...........................................................22 2.4 FORMAS DE TERRENO REPRESENTADAS PELAS CURVAS.................................24 2.5 ALGUNS ACIDENTES DO TERRENO E SUA REPRESENTAÇÃO............................25 2.6 MÉTODOS DE OBTENÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL...............................................28 2.7 DESENHO DAS CURVAS MÉTODO DE INTERPOLAÇÃO GRÁFICA........................31 2.8 DESENHO DAS CURVAS MÉTODO DA INTERPOLAÇÃO ANALÍTICA.....................32 2.9 MÉTODO UTILIZADO EM TERRENO DE GRANDE DIMENSÃO................................33 2.10 REPRESENTAÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL..........................................................33 2.11 LEVANTAMENTOS DE CAMPO................................................................................34 CAPÍTULO 3......................................................................................................................39 ESCALAS .......................................................................................................................39 3.1 DEFINIÇÃO DE ESCALA.............................................................................................39 3.2 TIPOS DE REPRESENTAÇÃO....................................................................................40 3.3 INTERPRETAÇÃO DAS ESCALAS.............................................................................40 3.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESCALAS...............................................................................41 3.5 APRESENTAÇÃO DAS ESCALAS..............................................................................41 3.6 DETERMINAÇÃO DE UMA ESCALA PARA DESENHO DO TERRENO.....................48 3.7 PRECISÃO GRÁFICA DE UMA ESCALA..................................................................49 CAPÍTULO 4 .....................................................................................................................50 4 MEDIDAS E EQUIPAMENTOS TOPOGRÁFICOS.........................................................50 4.1 GRANDEZAS ANGULARES......................................................................................50 4.2 UNIDADES EMPREGADAS EM TOPOGRAFIA.........................................................51 4.3 GRANDEZAS LINEARES..........................................................................................52 4.4 MÉTODOS DE MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS......................................52 4.5 TRANSPOSIÇÃO DE OBSTÁCULOS........................................................................55 4.6 PRECISÃO E CUIDADOS NA MEDIDA DIRETA DAS DISTÂNCIAS...........................55
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CAPÍTULO 5....................................................................................................................56 5 MEDIDAS DE ÂNGULOS.............................................................................................56 5.1 ÂNGULOS HORIZONTAIS........................................................................................56 5.2 ÂNGULOS Verticais...................................................................................................57 5.3 ÂNGULOS DE ORIENTAÇÃO DE PLANTA TOPOGRÁFICA......................................57 CAPÍTULO 6....................................................................................................................61 6 ERROS TOPOGRÁFICOS............................................................................................61 6.1 NATURAIS.................................................................................................................61 6.2 INSTRUMENTAIS......................................................................................................61 6.3 PESSOAIS.................................................................................................................61 CAPÍTULO 7....................................................................................................................63 7 MEDIÇÃO DEÂNGULOS COM BÚSSOLA E DECLINAÇÃO MAGNÉTICA...................63 7.1 RUMOS MEDIDOS COM BÚSSOLA...........................................................................63 7.2 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA........................................................................................63 7.3 MÉTODO DE DETERMINAÇÃO DAS DECLINAÇÕES................................................63 7.4 PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DA DECLINAÇÃO DE UM PONTO......................64 7.5 RUMOS E AZIMUTES MAGNÉTICOS........................................................................65 CAPÍTULO 8....................................................................................................................68 8COORDENADASCARTESIANAS E POLARES...............................................................68 8.1 COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES..........................................................68 8.2 COORDENADAS POLARES........................................................................................68 8.3 COORDENADAS RETANGULARES...........................................................................69 8.4 COORDENADAS RELATIVAS E ABSOLUTAS...........................................................69 CAPÍTULO 9......................................................................................................................76 9 DEFINIÇÃO DOS COMPONENTES DO TEODOLITO...................................................76 9.1 DEFINIÇÃO DOS COMPONENTES DO TEODOLITO (Theo 020)..............................76 CAPÍTULO 10...................................................................................................................76 10 LISTA DE EXERCÍCIOS...............................................................................................76 CAPÍTULO 11....................................................................................................................81 11 MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS......................................................................81 11.1 DETERMINAÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS.................................................81 11.2 DETERMINAÇÃO DAS DISTÂNCIAS VERTICAIS....................................................83 CAPÍTULO 12..................................................................................................................86 12 CURVAS DE CONCORDÂNCIA E DE TRANSIÇÃO....................................................86 12.1 TIPOS DE CURVAS................................................................................................86 12.2 CURVA CIRCULAR HORIZONTAL DE CONCORDÂNCIA........................................87 CAPÍTULO 13....................................................................................................................93 13 CURVAS VERTICAIS DE CONCORDÂNCIA...............................................................93 13.1 CURVA VERTICAL SIMÉTRICA POR ARCO DE PARÁBOLA..................................93 CAPÍTULO 14....................................................................................................................98 14 LOCAÇÃO DE OBRAS...............................................................................................98 14.1 LOCAÇÃO DE TÚNEIS...........................................................................................98 14.2 LOCAÇÃO DE EIXOS DE PONTES........................................................................98
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APRESENTAÇÃO
O presente trabalho tem por finalidade ocupar um espaço inexistente sobre esta
matéria, com o desenvolvimento de assuntos, pertinentes aos cursos, onde a Topografia
existe em todas as atividades da Engenharia que necessitam dela, como um “meio e
não como um “fim”. Aplicada que é em todos os trabalhos de Engenharia Civil, em
menor ou maior escala ela é utilizada também em várias atividades das Engenharias
afims.
O que se pretende com isso é a transmissão de conhecimentos teóricos e práticos
necessários, para que o aluno que está iniciando o curso consiga facilmente resolver os
problemas do quotidiano, e futuros na sua vida profissional.
Por esses motivos, a intenção do autor é a de não entrar em preciosismos científicos,
mas sim o de transformar esta apostilha em um grande “ guia prático”.
Nosso intuito é de que este trabalho venha a ser um bom auxiliar para os estudantes da
disciplina de Topografia dos cursos superiores.
O autor Profº Antonio Pegado Eng. Civil/Esp. Engª Ambiental Urbana E-mail : [email protected] [email protected]
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1 INTRODUÇÃO
Qual a posição da Topografia em Engenharia?
Resposta relativamente simples: a Topografia existe em todas as atividades da Engenharia que necessitam dela, como um “meio” e não como um “fim”. Ninguém cursa Topografia por cursar, e sim porque ela serve de meio para outras finalidades. Pode-se afirmar que ela é aplicada em todos os trabalhos de Engenharia Civil, em menor ou maior escala. É utilizada em várias atividades de Engenharia Mecânica, Eletrotécnica, de Minas, e raramente em algumas atividades das Engenharias Química, Metalúrgica e Eletrônica. Para entendermos o porquê dessas afirmações é necessário saber o que a Topografia consegue fazer e as outras Ciências não: medir ou calcular distâncias horizontais e
verticais, calcular ângulos horizontais e verticais com alta ou altíssima precisão. Quem mais pode medir distâncias horizontais com erro provável de 1/100. 000? Quem mais pode calcular altitudes (cotas) com precisão de um décimo de milímetro? Quem mais pode medir ângulos horizontais e verticais com precisão de um segundo sexagesimal? Por isso os métodos e equipamentos topográficos constituem um recurso para as atividades de Engenharia. Por tudo isso, é lamentável que a Engenharia atualmente praticada em nosso país ainda coloque a Topografia em posição secundária, com tristes conseqüências: via urbana
expressa com curvas maltraçadas que ocasionam acidentes, complexos viários
com espirais de transição ao contrário, viadutos e “elevados” com terríveis
sinuosidades, imprevisão nos locais de colocação indispensável de guard-rail
(defensas), colocação imprópria de sinalização. Em apoio ao que foi afirmado, podem testemunhar os engenheiros responsáveis pela execução de projetos que constatam incoerências de medidas entre o projeto e a obra, sempre como conseqüência de levantamentos mal feitos. Toda atividade prática contém erro, e a Topografia não pode ser exceção. O que pretendemos, portanto, é que a Topografia seja praticada com erros aceitáveis e, para isso, é necessário que a tomemos como uma atividade importante dentro da Engenharia. E será, pondo seu estudo em nível realmente universitário, que se conseguirá aplicá-la dentro dos limites de erro aceitáveis. (BORGES,1921).
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CAPÍTULO 1
1 CONCEITOS GERAIS No nosso dia a dia, deparamos frequentemente com situações nas quais é necessário determinar as posições relativas de pontos sobre a superfície terrestre, bem como suas representações gráficas através de plantas, mapas, cartas ou perfis. Primeiramente,é importante o conhecimento do significado da palavra Mensuração. Etimologicamente, Mensuração é uma palavra de origem latina, mensuratione. Segundo o dicionário do Aurélio, a palavra Mensuração significa o ato de medir ou de mensurar, em sentido mais amplo “é a área de conhecimento humano que agrupa as ciências e as técnicas de medições, do tratamento e da representação dos valores medidos”. O uso do termo Mensuração, tal como apresentado acima, não é do uso corrente entre os profissionais da área em nosso país. Na maioria das vezes, é freqüente o uso das palavras Agrimensura, Geodésia ou até mesmo Topografia. Estas palavras apresentam um siginificado um pouco restrito e fazem, simplesmente, partes da Mensuração. Apresenta-se a seguir algumas ciências e técnicas que fazem parte da Mensuração:
► Geodésia ► Topografia ► Cartogragia ► Hidrografia ► Fotogrametria
O objetivo do nosso curso é o de realizar-se a representação gráfica, em plantas, dos limites de uma propriedade com suas divisões internas e os detalhes que estão no seu interior ( cercas, edificações, áreas cultivadas, benfeitorias em geral, rios, córregos, vales, espigões, etc.), tornando-se necessário recorrer a TOPOGRAFIA. Pode-se afirmar que a TOPOGRAFIA e a GEODÉSIA, apesar de terem os mesmos objetivos, apresentam diferenças quanto aos fundamentos matemáticos em que se fundamentam, ou seja, enquanto a TOPOGRAFIA apóia-se na geometria aplicada e trigonometria plana a GEODÉSIA apóia-se na trigonometria esférica 1.1 TOPOGRAFIA Etimologicamente, a palavra TOPOGRAFIA é de origem grega, onde topos indica o lugar e graphein, descrever. Significa, portanto, a descrição minuciosa de um lugar.Logo, podemos, definir classicamente a TOPOGRAFIA como sendo a ciência que estuda a representação detalhada de um trecho da terra, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre. .
1.2 DEFINIÇÃO Conjunto dos princípios, métodos, aparelhos e convenções utilizados para a determinação do contorno, das dimensões e da posição relativa de uma porção limitada da superfície da terra, do fundo dos mares ou do interiores das minas.
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Consiste, portanto, no conhecimento dos instrumentos e métodos que se destinam a efetuar a representação do terreno sobre uma superfície plana. Não sendo a crosta terrestre uma superfície plana, a TOPOGRAFIA supõe um plano horizontal, tangente ao geóide, num ponto central à área a ser levantada, plano este onde são projetados todos os acidentes do terreno. 1.3 GEODÉSIA "Ciência aplicada que estuda a forma, as dimensões e o campo de gravidade da Terra”. É a parte da MENSURAÇÃO que tem por objetivo o estudo da forma e dimensões da terra e a implantação de pontos geodésicos para apoio nos levantamentos topográficos. A GEODÉSIA desenvolve as soluções para transformar a superfície do elipsóide em uma superfície plana como as das cartas. A GEODÉSIA mapeia grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade. A GEODÉSIA ( do grego daiein, dividir), é uma ciência que tem por finalidade a determinação da forma da terra e o levantamento de glebas tão grandes que não permitem o desprezo da curvatura da Terra. A aplicação da GEODÉSIA nos levantamentos topográficos é justificada quando da necessidade de controle sobre a locação de pontos básicos no terreno, de modo a evitar o acúmulo de erros quando da realização do levantamento.
1.3..1 LEVANTAMENTOS GEODÉSICOS 1.3.1.1 FINALIDADES Embora a finalidade primordial da Geodésia seja cientifica, ela é empregada como estrutura básica do mapeamento e trabalhos topográficos, constituindo estes fins práticos razão de seu desenvolvimento e realização, na maioria dos países. Os levantamentos geodésicos compreendem o conjunto de atividades dirigidas para as medições e observações que se destinam à determinação da forma e dimensões do nosso planeta (geóide e elipsóide). É a base para o estabelecimento do referencial físico e geométrico necessário ao posicionamento dos elementos que compõem a paisagem territorial. 1.3.1.2 CLASSIFICAÇÃO
a) Levantamentos Geodésicos de Alta Precisão (Âmbito Nacional)
• Científico: dirigido ao atendimento de programas internacionais de cunho científico e a Sistemas Geodésicos Nacionais.
• Fundamental (1ª Ordem): pontos básicos para amarração e controle de trabalhos
geodésicos e cartográficos, desnvolvido segundo especificações internacionais, constituindo o sistema único de referência.
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b) Levantamentos Geodésicos de Precisão (Âmbito Nacional)
• Para áreas mais desenvolvidas (2ª ordem): insere-se diretamente no grau de desenvolvimento sócio-econômico regional. É uma densificação dos Sistemas Geodésicos Nacionais à partir da decomposição de Figuras de 1ª ordem.
• Para áreas menos desenvolvidas (3ª ordem): dirigido às áreas remotas ou
aquelas em que não se justifiquem investimentos imediatos.
c) Levantamentos Geodésicos para fins Topográficos (Local)
● Tem características locais. Dirigem-se ao atendimento dos levantamentos no
horizonte topográfico. Tem a finalidade de fornecer o apoio básico indispensável
às operações topográficas de levantamento, para fins de mapeamento com base
em fotogrametria. Os levantamentos irão permitir o controle horizontal e vertical
através da determinação de coordenadas geodésicas e altimétricas.
1.4 LIMITES DE APLICAÇÃO DA TOPOGRAFIA W. Jordan, estabeleceu um limite de 55 km² = 55.000.000 m² Acima deste limite, a curvatura da terra produzirá erros que não poderão ser evitados nem pelo operador, ou pela precisão dos aparelhos (equipamentos topográficos).
1.5 DIFERENÇA ENTRE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA É imortante que fique claro as diferenças entre geodésia e topografia Topografia: mapeia uma pequena porção daquela superfície (área de raio até 50 Km); Geodesia: mapeia grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as deformações devido a sua esfericidade.
A hipótese do plano topográfico exige certa restrição no que se refere à extensão da área a ser levantada, uma vez que todas as medidas são realizadas partindo do princípio da Terra ser plana, ou seja, não considerando a sua curvatura. Deste modo, a adoação da hipótese do plano topográfico implica na substituição do arco pela tangente, contendo assim um erro, denominado de erro de esfericidade. A tangente pode ser calculada pela expressão:
E o arco pode ser calculado pela expressão:
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Se levarmos em consideração o raio da terra, aproximadamente 6.371,00 Km, se pode dizer que para medidas de distâncias muito pequenas, seus valores medidos sobre a superfície esférica serão aproximadamente iguais àqueles medidos sobre um plano.
Limites do Plano Topográfico
(Adapatado de Segantine, Paulo – Notas de Aula de Topografia)
A tabela apresenta os valores da tangente e do arco em função do ângulo central
Erro de Esfericidade absoluto e relativo
De acordo com a tabela acima teoricamente chegou-se a conclusão que o efeito da curvatura da terra nos levantamentos planimétricos, para um arco próximo de de 10 Km, o erro de esfericidade é de aproximadamente 6 mm (0,006m), apresentando, neste caso, um erro relativo aproximado da ordem de um milionésimo (0,000.001), erro este que pode ser totalmente desprezível em TOPOGRAFIA. Na prática, aceitam-se levantamentos que apresentem uma precisão relativa da ordem de 1:200.000, o qual se indica a adoção do raio do campo topográfico da ordem de 25 a 30 Km. Acima destes limites não se recomenda o emprego dos métodos topográficos. Assim conclui-se que: 1- Para levantamentos de grande precisão, deve-se dividir a área em triângulos com área menor que 40 Km² e os seus lados não devem exceder 10 Km; 2- Para serviços de normal precisão, pode-se limitar a área cuja planta pode-se levantar, a um círculo de aproximadamente 50 Km de raio; 3- Nos casos de levantamentos para estudos de construção de estradas, linha de transmissão de energia elétrica, onde o comprimento excede em muito a largura, isto é, representando uma estreita faixa da superfície terrestre, asoperações topográficas estão sujeitas a limites, epodem estender-se indefinidamente.
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1.6 ÁREAS DE ATUAÇÃO
1.6.1 Engenharia Civil 1.6.1.1 Edificação levantamento plani-altimétrico do terreno para execução de projeto; locação de projeto; controle de prumadas, níveis e alinhamentos.
1.6.1.2 Estradas (rodovias e ferrovias): reconhecimento do terreno; levantamento plani-altimétrico; locação da linha básica; faz o projeto do traçado geométrico; projeta a terraplenagem (volume de corte ou aterro); controle a execução e pavimentação; implantação de sinalização horizontal e vertical. 1.6.1.3 Barragem levantamento plani-altimétrico para a elaboração do projeto, loca-o, determina o contorno da área inundada, controle e execução de prumadas, níveis e alinhamentos.
1.6.1.4 Outras Atribuições Saneamento de água e esgoto; construção de pontes, viadutos, túneis, portos, canais, arruamentos e loteamentos.
1.6.2 Engenharia Mecânica Locação de base de máquinas e nas montagens mecânicas de alta precisão.
1.6.3 Engenharia Eletrotécnica Utilizada nas hidrelétricas, subestações e linhas de transmissão.
1.6.4 Engenharia de Minas Levantamentos de galerias de mineração.
1.6.5 Agricultura Definição das curvas de nível e desnível para as plantações e irrigações.
1.7 DIVISÃO DA TOPOGRAFIA
1.7.1 Topometria Tem por objetivo o estudo e aplicação dos processos de medidas, baseado na geometria aplicada, onde os elementos geométricos (ângulos e distâncias) são obtidos por instrumentos topográficos. 1.7.1.1 Planimetria Consiste na obtenção dos ângulos e distâncias horizontais para a determinação das projeções dos pontos do terreno para representação no plano topográfico (bidimensional).
1.7.1.2 Altimetria Trata dos métodos e instrumentos empregados no estudo e representação do relevo do solo (tridimensional).
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1.7.2 Topologia A Topologia, complemento indispensável à Topometria, tem por objetivo de estudo a conformação e representação de terrenos, suas modificações através dos tempos e as leis que as regem. A principal aplicação da Topologia dá-se na representação cartográfica do terreno pelas curvas de nível, que são as interseções obtidas por planos eqüidistantes, paralelos com o terreno a representar. Os trabalhos da altimetria juntado a planimetria dão origem às plantas planialtiméticas. A altimetria isoladamente da origem ao perfil longitudinal do terreno. 1.7.3 Taqueometria A Taqueometria tem por finalidade o levantamento de pontos do terreno, pela resolução de triângulos retângulos, dando origem às plantas cotadas ou com curvas de nível. A sua principal aplicação é em terrenos altamente acidentados, por exemplo: morros, montanhas, vales, etc..., sobre o qual oferece reais vantagens em relação aos métodos topométricos, já que os levantamentos são realizados com maior rapidez e economia. È a parte da topografia que trata das medidas indiretas das distâncias horizontais e verticais.
1.7.4 Fotogrametria Levantamento por meio de fotografia tomada de pontos elevados da superfície terrestre ou tomada por avião equipado com câmera fotográfica apropriada.
Os levantamentos dependem das especificações do projeto. A Fotogrametria Terrestre é aquela que é realizada por aparelhos chamados fototeodolitos (fotogrâmetros), instalados convenientemente em pontos do terreno que fornecem fotografias orientadas (fotogramas), que permitem levantar com precisão suficiente os detalhes do terreno. A Aerofotogrametria é o método de levantamento utilizado para grandes glebas de terra. Emprega aparelhagens moderníssimas, e dada vez mais aperfeiçoadas, acopladas em aviões, fornecendo fotografias orientadas da superfície da Terra, que podem ser de dois tipos: eixos verticais e inclinados. Atualmente está sendo substituída pelas fotos de satélites. 1.8. Aplicações da Topografia • Projeto e construções de edifícios; • Projeto e construção de redes de água e esgoto; • Planejamento urbano; • Traçado de estradas, ruas e avenidas; • Construção de parques, praças; • Construção de pontes; • Estudo de relevo;
1.9 LEVANTAMENTO
Segundo IBGE (1998) compreende-se por levantamento o conjunto de operações destinado à execução de medições para a determinação da forma e dimensões do planeta.
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Dentre os diversos levantamentos necessários à descrição da superfície terrestre em suas múltiplas características, podemos destacar: 1.9.1 Fotogrametria Os levantamentos irão permitir o controle horizontal e vertical através da determinação de coordenadas geodésicas e altimétricas. 1.9.2 Levantamento Planimétrico Dentre os levantamentos planimétricos clássicos, merecem destaque:
• Triangulação: obtenção de figuras geométricas à partir de triângulos formados através da medição dos ângulos subtendidos por cada vértice. Os pontos de triangulação são denominados vértices de triangulação (VVTT). É o mais antigo e utilizado processo de levantamento planimétrico.
• Trilateração: Método semelhante à triangulação e, como aquele, baseia-se em
propriedades geométricas a partir de triângulos superpostos, sendo que o levantamento será efetuado através da medição dos lados.
• Poligonação: É um encadeamento de distâncias e ângulos medidos entre
pontos adjacentes formando linhas poligonais ou polígonos. Partindo de uma linha formada por dois pontos conhecidos, determinam-se novos pontos, até chegar a uma linha de pontos conhecidos.
Desenvolveu-se na forma de circuitos, servindo por ramais às cidades, vilas e povoados às margens das mesmas e distantes até 20 Km. Os demais levantamentos estarão referenciados ao de alta precisão. 1.9.3 Levantamento Altimétrico
• Nivelamento Geométrico: É o método usado nos levantamentos altimétricos de alta precisão que se desenvolvem ao longo de rodovias e ferrovias. No SGB, os pontos cujas altitudes foram determinadas a partir de nivelamento geométrico são denominados referências de nível (RRNN).
• Nivelamento Trigonométrico: Baseia-se em relações trigonométricas. É menos
preciso que o geométrico, fornece apoio altimétrico para os trabalhos topográficos.
• Nivelamento Barométrico: Baseia-se na relação inversamente proporcional entre pressão atmosférica e altitude. É o de mais baixa precisão, usado em
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regiões onde é impossível utilizar-se os métodos acima ou quando se queira maior rapidez.
1.10 LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS São operações através das quais se realizam medições, com a finalidade de se determinar a posição relativa de pontos da superfície da Terra no horizonte tropográfico (correspondente a um círculo de raio 10 km).
1.10.1 Etapas do Levantamento: • Reconhecimento da área de estudo (Levantamento Expedito); • Definição dos pontos e elementos notáveis (postes, árvores, etc.); • Definição do Tipo de Levantamento: Interseção, caminhamento, Irradiação; • Coleta de dados com instrumentos apropriados (Teodolito, Nível, GPS, Estação Total); • Tratamento de dados (desenho de plantas e perfis longitudinais).
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1.10.2 Representação Topográfica
SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA – PLANTA TOPOGRÁFICA
1.11 MODELOS DE SUPERFÍCIE TERRRESTRE 1.11.1 Modelo Real: • Permite a representação da Terra tal qual ela se apresenta na realidade, sem as deformações que os outros modelos apresentam; • Modelo sem definições matemáticas, devido à complexidade da Terra; • Necessidade de simplificação; não levando-se em consideração as irregularidades da superfície terreste; • Simplificações são razoáveis quando se considera o raio da Terra
Ex: Pico Everest → 8.838 ≈ 1/1.000 RT
1.11.2 Modelo Esférico: • Modelo mais distante da realidade; • Modelo mais simples, onde a Terra é representada como se fosse uma esfera; • Utilizado para fins didáticos; • Bastante ineficaz para estudos geodésicos. 1.11.3 Modelo Geoidal • Referência de medidas topográficas; • “Prolongamento” do nível médio dos mares (NMM) por sobre os continentes; • Superfície terrestre não homogênea → difícil modelagem da Terra; • Modelo de difícil determinação teórica, utilizando para isto medidas gravimétricas, realizadas sobre a superfície terrestre, área de estudo da Geodésia; 1.11.4 Modelo Elipsoidal • É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados; •Representa a Terra como uma superfície elíptica, chamada de ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO, com deformações relativamente maiores que o modelo geoidal; • No Brasil é utilizado o Elipsóide de Referencia Internacional – 1967; • Apresenta a vantagem de ser uma figura conhecida da matemática, onde seus elementos são perfeitamente dedutíveis; IMPORTANTE: Fornece as bases para as Coordenadas Geográficas e UTM.
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Geóide
ELIPSOIDE DE REVOLUÇÃO
SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA vs ELIPSOIDAL vs GEOIDAL
FONTE: BRANDALIZE (2003) SISTEMAS DE COORDENADAS
Coordenadas Geográficas Latitude (ø) - (0ºA 90º) Elementos de Coordenadas Longitude
Superfície física
Elipsóide
Normal Vertical
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Serve de base para estimação do DATUM: ● É um sistema de referência utilizado para o cômputo ou correlação dos resultados de um levantamento. ● Tipos de datums: vertical (altitude) e o horizontal (através das coordenadas geográficas e pelos parâmetros a, b e f);
SAD: South American Datum, oficializado para uso no Brasil em 1969, é representado
pelo vértice Chuá, situado próximo à cidade de Uberaba-MG.
Coordenadas UTM – Universal Transversa de Mercator. (E, N): Projeção de abscissa (E) e ordenada (N) sobre um cilindro tangente ao elipsóide de referência da superfície da Terra.
O sistema é limitado em latitude para os pontos situados entre φ = +84º e φ= -80º.
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PROCESSO DE MEDIÇÃO DAS COORDENADAS
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1.12 Dimensões da Terra 1.12.1 Histórico ANAXÁGORAS DE CLAZÔMENES (500 - 428 a.C.): foi condenado à prisão por afirmar que “O Sol é uma pedra incandescente, maior que o Peloponeso (sul da Grécia) e a Lua é feita de terra e não tem luz própria”. ARÍSTARCO DE SAMOS (século II a.C.): astrônomo e matemático grego, foi acusado de molestar os deuses por afirmar “da existência dos movimentos de rotação e translação da Terra”. ARISTÓTELES (384-322 a.C.): filósofo e matemático grego, admitia a esfericidade da Terra, considerando-a imóvel. NEWTON e CASSINI (1620) - estudos comprovaram que a Terra se assemelha a um elipsóide de revolução, sendo o menor eixo o de rotação. LISTING (1987): a forma da Terra é o Geóide, superfície de nível médio das águas dos mares, em equilíbrio, prolongada através dos continentes e normal em cada ponto à direção da gravidade. Em Madrid (1924) foi aprovado os estudos de Hayford (1909) e adotado para o elipsóide internacional da Terra:
• Semi-eixo maior: 6.378 km • Semi-eixo menor: 6.356 km • Achatamento: 1/297 • Raio médio: 6.371 km • Raio médio (cálculos topográficos): 6.370 km
Elementos utilizados pelo Sistema Geodésico Sul-Americano (SAD - South American Datum - 1967):
• Semi-eixo maior: a = 6.378.160 m • Achatamento: f = 1/ 298,25
1.13 Elementos do Elipsóide de Revolução 1.13.1 Eixo da Terra (linha dos pólos): Reta em torno da qual a Terra gira e fura a
superfície terrestre no pólo norte (PN) e pólo sul (PS); 1.13.2 Equador Círculo máximo da Terra, cujo plano (plano equatorial) é normal à linha
dos pólos; 1.13.3 Paralelos
Círculos da esfera terrestre cujos planos são paralelos ao equador; 1.13.4 Meridianos
São as seções elípticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais aos paralelos;
1.13.5 Vertical do Lugar
É a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção ao centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo Geóide naquele ponto;
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1.13.6 Normal ao Elipsóide É toda linha reta perpendicular à superfície do elipsóide de referência;
1.13.7 Latitude (φ) de um ponto da superfície da terra
Ângulo formado pelo paralelo deste ponto com o plano do equador (varia de 0° a 90° para norte e para sul);
1.13.8 Longitude (λ) de um ponto da superfície da terra
Ângulo diedro entre o meridiano de Greenwich (Inglaterra), tomado como origem e o meridiano do lugar (varia de 0° a 180°, positivo para oeste e negativo para leste).
C
C
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CAPÍTULO 2
PLANIMETRIA E ALTIMETRIA A Planimetria é a parte da Topografia que estuda os métodos e procedimentos que serão utilizados na representação do terreno. Adotando-se uma escala adequada, todos os pontos de interesse são projetados ortogonalmente sobre um plano (plano horizontal de referência), que permite uma visão imaginária geral da sinuosidade do terreno. A Altimetria é parte da Topografia que estuda os métodos e procedimentos que levam a representação do relevo. Para tal, é necessário medir apropriadamente o terreno, calcular as alturas (cotas ou altitudes) dos pontos de interesse e representá-los em planta ou perfil por uma linha (vista lateral; vista de elevação; corte; etc.) mediante uma convenção altimétrica adequada.
2.1 Representação do terreno Existem vários procedimentos para se representar o terreno em planta; não mencionaremos aqui aqueles destinados à representação planimétrica. Neste momento o interesse está centrado na representação altimétrica do terreno que, usualmente pode ser levada a efeito usando-se dois procedimentos consagrados: através das curvas de nível e dos pontos cotados.
2.2 Representação por pontos cotados
Este é o procedimento mais simples; após o cálculo das alturas de todos os pontos de
interesse do terreno, os mesmos são lançados em planta através de suas coordenadas
topográficas (X;Y) ou UTM (N;E) registrando-se ao lado do ponto, o número
correspondente a sua altura relativa (cota) ou absoluta (altitude). No sistema de pontos
cotados, os diversos pontos do terreno são projetados ortogonalmente sobre um plano
de referência (cotas) ou sobre a superfície de referência (altitudes). O conjunto de
pontos projetados constitui a projeção horizontal que, reduzida a uma escala adequada,
se distribuem sobre o papel, substituindo a situação 3D (espaço) por uma 2D (projeção).
Ponto cotado
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A representação deverá ser reversível, ou seja, que da projeção possamos deduzir novamente a situação real do terreno (3D). Para isso, é necessário conhecer a distância AA’ ; esta distância é a cota ou altitude do ponto. Na representação altimétrica do terreno, a escolha do plano de referência (cotas) deve ser tal que evite a ocorrência de valores negativos. No caso das altitudes esta preocupação não procede, tendo em vista que o referencial adotado é oficial em todo o país. Todos os pontos de igual altura (cota ou altitude) estão sobre um mesmo plano, que é paralelo ao de comparação. Este é o princípio fundamental do sistema de pontos cotados. No plano cotado, todos os pontos relativos ao perímetro, bem como os que caracterizam os acidentes internos da propriedade levantada, deverão ser devidamente cotados; daí o nome do processo. Embora não representando a forma do terreno, este processo se constitui no elemento básico para o traçado das curvas de nível por interpolação, principalmente quando se trata de levantamento de área relativamente extensa. A figura ilustra um exemplo de desenho por pontos cotados, com os elementos representativos da altimetria do terreno.
Planta de pontos cotados
Em Topografia, as alturas dos pontos são expressas em metros; assim, um número 10 junto à projeção do ponto indica que este está a 10 metros sobre o plano de comparação adotado. Um plano cotado apresenta o inconveniente de oferecer uma idéia não muito clara do relevo do terreno que representa. A representação ficará mais visível usando-se o procedimento das curvas de nível.
2.3 Representação por curvas de nível
Curvas de nível são curvas planas que unem pontos de igual altura; portanto, as curvas de nível são resultantes da intersecção da superfície física considerada com planos paralelos ao plano de comparação. A figura ilustra conceitualmente a geração das curvas de nível através da intersecção do terreno por planos horizontais eqüidistantes.
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Curvas de nível: conceito
A distância vertical que separa duas seções horizontais consecutivas deve ser constante e denomina-se eqüidistância numérica ou simplesmente eqüidistância entre curvas de nível. Ao empregar as curvas de nível na representação do relevo, deve-se ter em mente algumas propriedades essenciais:
• Toda curva de nível fecha-se sobre si mesma, dentro ou fora dos limites do papel, não podendo aparecer repentinamente;
• Duas curvas de nível jamais se cruzarão;
• Várias curvas de nível podem chegar a ser tangentes entre si; trata-se do caso do terreno em rocha viva;
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• Uma curva de nível não pode bifurcar-se;
• Terrenos planos apresentam curvas de nível mais espaçadas; em terrenos acidentados as curvas de nível encontram-se mais próximas uma das outras. • Intervalo entre curvas deve ser constante na mesma representação gráfica.
2.4 Formas de terreno representadas pelas curvas
• Terreno plano uniformemente inclinado.
• Terreno em curva com inclinação uniforme.
• Terreno com declinação desuniforme.
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• Elevação, as curvas de nível de menor valor envolvem as de maior valor.
• Depressão, as curvas de valor maior envolvem as curvas de valor menor.
• Espigão é a superfície de altitude mais alta da linha de cumiada (linha divisória de água).
2.5 Alguns acidentes do terreno e sua representação
A representação do terreno mediante o emprego das curvas de nível, deve ser um reflexo fiel do mesmo. Para tal é necessário observar-se algumas regras relacionadas aos acidentes elementares do terreno, ou formas fundamentais, a saber: divisor de águas e thalweg. Para uma melhor compreensão destas regras, é conveniente realizar um ligeiro estudo de como se processa a modificação da crosta terrestre ao longo do tempo pela ação contínua de agentes externos através da erosão, do transporte de materiais e da sedimentação dos mesmos. São os fatores climáticos e biológicos que intervêem diretamente na erosão. Entre os fatores climáticos se destacam as correntes de água (superficiais e subterrâneas), o mar, o frio intenso em algumas regiões do planeta, o vento que transporta as partículas arenosas, etc. Entre os fatores biológicos, que modificam o aspecto da superfície terrestre, observa-se fundamentalmente a ação do homem, assim como as plantas e animais. De todos, os cursos d’água são o principal agente externo modificador. Por isso, o interesse em estudar a forma com que este processo vem ocorrendo.
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Elevação e depressão do terreno: uma elevação do terreno, como mostra a figura 2, de pequena altitude e com forma aproximadamente cônica em sua parte superior, denomina-se morrote ou morro. As superfícies laterais deste tipo de elevação recebem o nome de ladeira ou vertente. Se estas ladeiras ou vertentes são aproximadamente verticais (caso das serras), recebem o nome de escarpas. A representação desta forma de terreno teria o aspecto mostrado na figura. Observe que a representação é formada por uma série de curvas de nível concêntricas, de forma que as curvas de menor altitude envolvem completamente as de maior altitude.
Curvas de nível: elevação do terreno
O contrário de morro (elevação) é a depressão. Em sua representação, de maneira análoga observa-se que neste caso as curvas de maior altitude envolvem as de menor altitude. Este tipo de topografia é raramente encontrado, uma vez que formações deste tipo geralmente de grande dimensão e contendo água permanente, são conhecidas como lagoas.
Curvas de nível: depressão do terreno
Interceptando (cortando) a projeção da figura por um plano perpendicular à figura, independentemente da parte que observarmos, obtém-se uma representação conforme mostra a figura. Da mesma maneira que nas depressões, aqui as curvas de maior altitude envolvem as de menor altitude. A linha que resulta da união dos pontos A, B, C, D,... de maior curvatura (pontos de inflexão da curva) denomina-se linha de thalweg. Esta linha representa a linha de intersecção de duas ladeiras opostas e por onde escorrem as águas que descem das mesmas.
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Curvas de nível (depressão)
A, B, C, D, ... linha de Thalweg
Interceptando (cortando) a projeção da por um plano perpendicular à figura, independentemente da parte que observarmos, obtém-se uma representação conforme mostra a figura. Aqui, observa-se que as curvas de menor altitude envolvem as de menor altitude, a exemplo das elevações. A união dos pontos A, B, C, D,... produz uma linha denominada linha divisória ou divisor de águas. É esta linha a responsável pela divisão das águas da chuva que caem no terreno. O conhecimento desta linha é muito importante nos estudos de bacias hidrográficas; elas representam os limites entre bacias. O divisor e os thalwegs são, portanto formas contrárias. Sempre, entre dois thalwegs existe um divisor e entre dois divisores haverá um thalweg. Os divisores apresentam, vez por outra, uma depressão, dando lugar a uma passagem entre dois vales. De acordo com a forma da depressão, recebe denominação específica: garganta, quando extenso e estreito; desfiladeiro, quando é profundo e ladeado por ladeiras íngremes.
Linha divisor de águas
Forma do terreno - garganta
A figura ilustra a representação de uma garganta; veja que, a falha (depressão) no divisor permite, por exemplo, uma passagem interligando dois vales. Esta situação topográfica é muito explorada em implantação de rodovias, pois evita a execução de outras obras mais onerosas (túneis) para a transposição do maciço.
A ilustra o caso da representação de um rio através das curvas de nível. Observe que, dependendo da velocidade das águas, na parte posterior da curva do rio, estas criam vertentes mais pronunciadas enquanto na parte mais interior ocorre o depósito de sedimentos. Nesta, as curvas de nível são mais espaçadas enquanto no lado oposto as curvas se apresentam mais próximas uma das outras.
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Representação de trecho de um rio
Na seqüência, são mostradas algumas figuras mostrando situações de interesse no entendimento das formas de relevo e maneiras de representá-los através das curvas de nível.
Divisor e dois thalwegs
Garganta
Mudança de direção do divisor
2.6 MÉTODOS DE OBTENÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL
2.6.1 Processo de obtenção e traçado das curvas de nível A primeira providência para a obtenção das curvas de nível é calcular as alturas de todos os pontos envolvidos nos nivelamentos geométrico e taqueométrico (cálculo das planilhas).
Após o cálculo das alturas (cotas ou altitudes) confeccionam-se os perfis de todos os alinhamentos da poligonal e das irradiações levantadas em campo. Denomina-se perfil
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de um terreno, a linha irregular que delimita a intersecção de um plano vertical com a superfície do terreno. A figura ilustra esta situação.
Perfil A, B, C, ...
A figura ilustra a obtenção do perfil a partir das curvas de nível. Problema de interesse em Engenharia, quando se deseja implantar uma obra em terreno de topografia irregular. Como pode ser visto em todas as figuras apresentadas, as curvas de nível representam pontos de altura inteira. Na prática, o que se obtém a partir dos cálculos, são valores fracionários. Assim, como próximo passo, é necessário interpolar, a partir dos perfis, os pontos de altura cheia (valor inteiro) cujo valor deverá ser definido em função dos objetivos do trabalho e da escala usada no desenho. Geralmente, o espaçamento entre as curvas de nível, denominado eqüidistância, adotado em trabalhos topográficos obedece às recomendações mostradas na Tabela 1. Em algumas situações este valor pode ser alterado, sempre dependendo dos objetivos do trabalho e da extensão do levantamento.
Tabela 1: Relação entre escala e eqüidistância entre curvas de nível
Escala Eqüidistância Escala Eqüidistância Escala Eqüidistância 1:500 0,25 a 0,50 m 1:2.000 2,0 m 1:10.000 10,0 m
1:1.000 1,0 m 1:5.000 5,0 m 1:50.000 25,0 m 1:100.000 50,0 m
Em cartas batimétricas, que representam o relevo submarino, a eqüidistância varia de 1 a 2 metros perto da costa, até atingir valores maiores (50, 100, 200 m) com o aumento da profundidade.
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Seção A, B, C, ... e curvas de nível
Perfil da seção A, B, C,...
Uma vez adotada a escala para a elaboração dos perfis, intercepta-se os mesmos com linhas paralelas ao eixo horizontal numa eqüidistância igual à eqüidistância adotada para as curvas de nível. Anotam-se os valores da altura e da distância correspondente daquele ponto para a sua localização em planta. Assim, para cada alinhamento da poligonal e para cada irradiação levantada em campo, confecciona-se um perfil e interpolam-se os pontos de altura cheia. Obtidos todos os pontos de altura cheios e lançados em planta, o próximo passo é unir todos os pontos de mesma altura com uma linha contínua. Estas linhas são denominadas curvas de nível e representam o relevo do terreno levantado. A figura ilustra a representação altimétrica através das curvas de nível do terreno. A rigor, existem dois métodos que podem ser empregados para a obtenção dos pontos de passagem das curvas de nível nas plantas:
a) Pela interpolação: por cálculo ou por aproximação; b) Partindo dos perfis das seções niveladas no terreno.
Representação altimétrica por curvas de nível
Os métodos topográficos para traçar numa planta as curvas de nível são:
• Quadriculação;
• Irradiação taqueométrica;
• Seções transversais.
2.6.2 Método da quadriculação: É um processo de grande precisão, porém demorado e dispendioso, e aplicável em pequenas áreas.
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2.6.2.1 Atividades no Campo
Demarcar as quadrículas no terreno, colocando estacas em cada vértice dos quadrados, onde se utiliza o teodolito para dar a direção, e a trena, para a marcação das distâncias:
• Escolhe-se uma direção básica (alinhamento) e colocam-se as estacas de ´d´ em ´d´ metros;
• De cada estaca marcada, tiram-se perpendiculares que também receberão estacas a cada ´d´ metros;
• No croqui, utilizam-se letras para definir as linhas em uma determinada direção, e algarismos nas outras direções perpendiculares;
• Executar o nivelamento geométrico de todas as estacas.
2.6.2.2 Escolha do valor ´d´:
Quanto menor for ´d´, menores são as quadrículas e mais preciso ficará o trabalho (melhor sinuosidade do terreno). O melhor valor será determinado em função de:
• Sinuosidade da superfície;
• Dimensões do terreno;
• Maior ou menor necessidade de precisão; e
• Tamanho da trena disponível (trena = 20m → d = 20m)
2.6.3 Atividades de escritório
• Define-se o tamanho da planta (papel);
• Escolhe-se a escala do desenho;
• Procede a interpolação para marcar no desenho os pontos de cotas inteiras;
• Ligam-se os pontos de mesma cota, e traçam as curvas de nível.
2.7 Desenho das curvas pelo Método de Interpolação Gráfica
• Por 02 pontos de cotas conhecidas A e B (CA = 10,5 e C B = 11,6) são traçadas 02 retas perpendiculares ao alinhamento AB;
• Nestas perpendiculares são marcados os pontos C e D, com os valores que excede e falta para a cota inteira: 0,5 (10,5 + 0,5 = 11) e 0,6 (11,6 – 0,6 = 11);
• Traçando a reta CD, a qual cruza o alinhamento AB em um ponto E de cota 13.
A(Cota 10,5)
B(Cota 11,6)
0,5 C
E (Cota 0,6
D
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2.8 Desenho das curvas pelo Método da Interpolação Analítica
O método consiste em determinar os pontos de cotas inteiras e múltiplas da eqüidistância vertical por semelhança de triângulos:
Por semelhança de triângulo, têm-se:
CC
CB
AA
AB
′′=
′´´´
, ou ainda, mCB
0,156,1
2,1.20
8,14168,144,16
20=→
−=
−
Exercício Traçar as curvas de nível de cotas 11, 12, 13 e 14. (Método analítico) X1/( 11 – 10,5) = 10/(11,3 – 10,5) → X1/0,5 = 10/0,8 → X1 = 6,25; X2/ (12 - 11,6) = 10/( 12,7 – 11,6) → X2/ 0,4 = 10/ 1,1 → X2 = 3,64; X3/ (13 – 12,4) = 10/ ( 13,3 – 12,4) → X3/0,6 = 10/0,9 → X3 = 6,67; Y1/ (11 – 10,5) = 10/ (11,6 – 10,5) → Y1/ 0,5 = 10/1,1 → Y1 = 4,54; Y2/ (12 – 11,6) = 10/ (12,4 – 11,6) → Y2/ 0,4 = 10/0,8 → Y2 = 5.
A´´ D´´ C´´
D C A B
A´(16,4) C´(16,0)
D´(15,0)
B´(14,8)
20m
Y1
10m
10,5
X1
10m 10m X2
X3
Y2
11,3
11,6 12,4 13
14,3 13,3 12,7
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2.9 MÉTODO UTILIZADO EM TERRENO DE GRANDE DIMENSÃO.
2.9.1 Procedimentos de Campo
a) Materialização e levantamento das poligonais principais e secundárias
• Marca-se as estacas da poligonal principal no limite do terreno e em seguida
localiza as poligonais secundários. • Os pontos destas poligonais são marcados livremente de forma que as estacas
possam ser atingidas e não ultrapassem o alcance do aparelho (≈ 80 m).
• Por caminhamento medi-se os ângulos horizontais com o teodolito e as distâncias horizontais com a trena (ida e volta). A tolerância do erro para a poligonal principal é de √ n (n˚. de estacas) e na secundária é de 2.√ n.
b) Nivelamento geométrico das estacas das poligonais As estacas das poligonais devem ser niveladas uma vez que irão servir de base para a irradiação taqueométrica, não necessitando que seja realizado um contranivelamento.
c) Irradiação taqueométrica
• Estaciona o taqueômetro em uma das estacas secundárias e observa a estaca anterior para servir de origem para os ângulos horizontais. • Coloca-se a mira em pontos escolhidos anteriormente onde o terreno muda de declividade. • São realizadas as leituras dos 03 fios estadimétricos e os ângulos horizontal e vertical em cada ponto que a mira for posicionada.
2.10 Representação das Curvas de Nível
• Cálculo e desenho das poligonais O desenho das poligonais será feito por coordenadas totais em papel com quadriculação. • Locação dos pontos irradiados
A(7)
C (7)
A(5)
A(6)
C(5)
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Estes pontos são localizados no desenho através dos ângulos horizontais e distâncias obtidas pelos levantamentos em campo. • Interpolação entre os pontos irradiados Como os pontos estão dispostos de forma desordenada, deve-se interpolar somente pontos próximos. As direções de interpolação não podem se cruzar, nem passarem perto de pontos de cota conhecida. • Traçado das curvas de nível Após determinadas as cotas dos pontos nivelados, liga-se os pontos de mesmas cotas, formando as curvas de nível. Esta ligação deve ser através de uma linha contínua e intuitiva, sem mudanças bruscas de direção.
• Seções Transversais Método usado para a obtenção de curvas de nível em faixas. Ou seja, terreno com grande comprimento e largura pequena. Exemplo: projeto de estradas, linhas de transição, adutoras, oleodutos, etc.
2.11 Levantamento de campo
2.11.1 Levantamento planimétrico da poligonal • São medidos os ângulos horizontais com o teodolito pelo processo da repetição,
e materializado a poligonal com estacas a cada 20 m (ou a critério do técnico). • A cada 5 km deve-se realizar uma verificação do meridiano (norte verdadeiros)
para evitar os desvios angulares, uma vez que a poligonal é aberta.
2.11.2 Nivelamento e contranivelamento geométrico das estacas da poligonal • Quando a extensão da área a ser levantada for muito extensa, o nivelamento é
realizado em sub-trechos de 3 a 5 km. • O erro aceito é de 1 cm por quilômetro.
2.11.3 Levantamento plani-altimétrico das seções transversais
Para o levantamento dos pontos dentro de cada faixa perpendicular a linha da poligonal, estaciona o taqueômetro nas estacas na poligonal e com visada de 90O com esta poligonal, realiza-se as leituras da mira e ângulos verticais para obtenção das distâncias e cotas nestas faixas. 2.11.4 Outros equipamentos de baixa precisão a) Pantômetros: cilindro com 02 conjuntos de pínulas formando 02 linhas de vista perpendiculares que se acopla sobre um tripé, possibilitando uma linha de vista na direção da poligonal e a outra linha mostrado o alinhamento da seção transversal.
90o A
B
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b) Prisma: trata-se de um esquadro de pequeno porte munido de um prisma de 45o. segura-se o prisma com as mãos estando-se sobre a estaca da poligonal, de forma que a linha de vista B vise ao longo da poligonal, e a vista A ficará perpendicular, onde se alinha outra baliza por fora do prisma. c) Nível de mão: acessório de baixa precisão, procura os pontos de cotas inteiras diretamente no campo. Ou seja, segura-se o nível com a mão, de forma que a bolha fique centrada no retículo. Afasta ou aproxima a mira de forma a obter a cota inteira, ou seja:
d) Clinômetros: aparelho semelhante ao nível de mão, com linhas de vista inclinadas, permitindo medir a inclinação do aparelho (α) com a direção horizontal. Para utilização no campo, segura-se o aparelho junto com a baliza na altura de 1,50 m e visa-se outra baliza na mesma altura, o aparelho fica inclinado, permitindo ler o ângulo de inclinação (α):
Baliza vista por fora do prisma – vista A
Baliza vista por dentro do prisma –
Cota 15,26
1,50
Cota = 15
Leitura = (15,26 + 1,50) – 15 = 1,50
Leitura = (15 + 1,50) – 14 = = 2,50
Cota = 14
α
α
Linha de vista 0º
90º
90º
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2.11.5 Atividades de Escritório
2.11.5.1 Cálculo e desenho da poligonal
O desenho da poligonal será com as coordenadas totais, tomando como origem um ponto inicial a leste.
a) Desenho das seções transversais
• É a representação no plano vertical dos elementos altimétricos, obtidos através de levantamento de campo (diferença de nível, cotas e altitudes).
• As linhas ou curvas que unem estes elementos constituem a representação gráfica do perfil da superfície do terreno levantado.
b) Interpolação
Serão executadas pelos métodos gráficos ou analíticos. Deve-se interpolar pontos da mesma seção e excepcionalmente entre pontos de seções consecutivas.
c) Traçado das curvas de nível
A ligação de pontos de mesma cota formará as curvas de nível
d) Traçado dos perfis transversal e longitudinal
Dependendo na finalidade do trabalho realizado, é necessário realizar um nivelamento longitudinal e transversal no terreno, a fim de obter os perfis transversal e longitudinal.
• Perfil longitudinal: obtido por meio do nivelamento ao longo do eixo que representa a poligonal básica lançada no terreno; e
• Perfil transversal: resultante dos dados do nivelamento das seções que atravessam aquele eixo da poligonal básica.
Obs.: Para salientar bem as condições de elevações e depressões, são utilizadas duas escalas no desenho do perfil. Ou seja, a escala vertical deve ser 10 vezes maior que a escala horizontal.
• Eixo ´X´ representa as distâncias horizontais entre os pontos nivelados na superfócie do terreno;
• Eixo ´Y´ representa os valores correspondentes às diferenças de nível, cotas ou altitudes;
Exemplo: Escala da distância horizontal for de 1:1000, para representar as distâncias verticais utiliza-se a escala 1:100. Obs.: Quando as distâncias horizontais representam valores próximos às distâncias vertical, poderá ser usada no desenho uma única escala.
0
6
5
4
3
2
1
transversal
longitudinal
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Exercício: A título de exercício, será apresentado o método da interpolação, utilizando-se a figura. O método da interpolação é empregado partindo-se de um desenho cotado. É usado quando se procede a um levantamento planialtimétrico de áreas relativamente extensas. Para aplicação do método, parte-se da hipótese que as declividades entre os pontos topográficos sejam constantes. Por isso, quanto mais criterioso for o porta-mira no que diz respeito ao local que deverá ser colocada a mira, melhores serão os resultados no processo de interpolação. A partir da figura, oriunda de um levantamento planialtimétrico, será mostrado o procedimento a ser adotado para a interpolação pelo cálculo.
Planta topográfica com pontos cotados
Supondo que se deseja traçar curvas de nível neste desenho com eqüidistância de 1,0 metro, verifica-se que uma das curvas passará exatamente sobre a estaca 0 (zero), uma vez que interessam apenas as curvas de cotas/altitudes denominadas inteiras (cheias). Do vértice 0 ao vértice 1 constata-se uma diferença de nível de 8,50 m e uma distância horizontal de 32,50 m. Como a eqüidistância estabelecida é de 1 metro, para subir da cota/altitude 100 m para a 108,50 m, passa-se por uma série de planos intermediários. Estes planos são os de cota/altitude 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107 e 108. Em função destes planos, deve-se determinar em planta, a distância horizontal entre os pontos de passagem no alinhamento 0-1. Para tal, utiliza-se uma regra de três e chega-se ao valor 3,82 m. Interpretação: para cada metro (eqüidistância) de deslocamento vertical, ter-se-á um deslocamento horizontal de 3,82 m. Como a planta foi desenhada na escala 1:500, o comprimento gráfico correspondente ao deslocamento horizontal será: 3,82 x 0,002 = 0,0076 m = 0,76 cm. Marcando-se no desenho, a partir do vértice 0 (zero), a distância horizontal de 0,76 cm, se obtém o ponto de passagem, em planta, da curva de nível 101 m. A partir do ponto de passagem da curva 101 marcando mais 0,76 cm, obter-se-á o ponto de passagem da curva 102 m, e assim sucessivamente até o final do alinhamento (vértice 1).
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De maneira análoga procede-se para determinar os pontos de cotas/altitudes inteiras no intervalo 1-2. Neste alinhamento a diferença de nível é de 1,70 m e a distância horizontal 27,0 m. Dentro do intervalo em questão, são de interesse as curvas 109 e 110. A separação horizontal entre as curvas será de 15,882 m e na escala do desenho 3,17 cm. Voltando ao desenho, nota-se que a cota do vértice 1 é 108,50 m e a próxima cota de interesse é de 109 m; existe, portanto, uma diferença de nível de 0,5 m correspondendo a uma separação horizontal de 1,58 cm (em planta) a partir do vértice 1. O próximo ponto de passagem (curva 110 m) estará a 3,17 cm deste último. Determinados todos os pontos de passagem das curvas de nível, no perímetro, procede-se à determinação dos pontos de passagem no interior da área levantada. Por exemplo, no exemplo apresentado, foram considerados os alinhamentos 0-a, a-b, a-c, b-c, 2-b e b-1. Quanto maior for o número de alinhamentos utilizados, melhor a representação do relevo, considerando, é claro, a hipótese de declividade regular para o terreno estudado. Na situação de um terreno muito irregular, recomenda-se levantar o maior número de minúcias (detalhes) durante as operações topográficas de campo.
Relevo através das curvas de nível
Marcados todos os pontos de passagem das curvas inteiras, na planta, o próximo passo será ligar aqueles de mesma cota/altitude. Ter-se-á o desenho com as suas curvas de nível, mostrando todos os acidentes do terreno (elevações e depressões). A figura acima ilustra o exemplo apresentado, já com as curvas de nível traçadas. Outro exemplo de obtenção e traçado das curvas de nível é ilustrado na figura abaixo.
Curvas de nível obtidas a partir da interpolação
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CAPÍTULO 3
ESCALAS
3.1 DEFINIÇÃO DE ESCALA É a relação matemática constante entre o comprimento de uma linha medida na planta (d) e o comprimento de sua medida homóloga no terreno (D). Por exemplo,na representação de uma parcela da superfície da terra, (dimensões horizontais e verticais grandes) sobre uma folha de papel (dimensões pequenas), usa-se o Princípio da Proporcionalidade entre os lados homólogos das figuras semelhantes. Como apresentado na equação.
N é o módulo da escala, fator de redução entre a grandeza gráfica e sua h = homóloga no terreno. Onde:
� Numerador e denominador têm que ter a mesma unidade de medida. � Assim, quanto MAIOR o denominador, MENOR será a escala
Assim, todo mapa/carta/planta é uma representação esquemática da realidade, dando-se segundo proporções entre o desenho e a medida real. Como segue exemplo na figura abaixo.
mapa carta Planta
Representação esquemática de mapa/carta/planta
ND
dEscala
1==
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3.2 TIPOS DE REPRESENTAÇÃO Como exemplificado na figura 17 as representações de escalas podem ser:
3.2.1 Mapa
• Considerado um documento simples, com fins ilustrativos.
• Escala empregada geralmente é pequena.
• Propicia uma visão global aproximada e a simbologia aparece em destaque.
� Exemplos de Mapas: Turísticos e Geográficos
3.2.2 Carta
• Representa parte da superfície terrestre, objeto da Geodésia, onde a forma da Terra é considerada.
3.2.3 Planta • Representação de parte da superfície terrestre, objeto da
•Topografia, onde a forma da Terra não é considerada.
3.3 INTERPRETAÇÃO DAS ESCALAS Uma escala de 1:500 informa que o comprimento de uma linha representada em uma planta, no terreno, este comprimento é quinhentas vezes maior. Ou seja, na escala de 1:500, têm-se: 1m em planta representa uma linha de 500m no terreno: 10 cm em planta representa uma linha de 5.000cm (= 50m) no terreno: • • Quanto maior for o denominador da relação 1/N, tanto menor será a escala e menor o desenho.
Escala Grande (EG): são aquelas que apresentam os menores denominadores (escalas topográficas); Escala Pequena (EP): são aquelas que apresentam os maiores denominadores (escalas cartográficas ou geodésicas)
mcmcmDD
cmEscala 505000500.10
500
110===→==
39
3.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESCALAS
3.4.1 Escala de Ampliação Quando as dimensões do desenho (d) são maiores que as dimensões homólogas do objeto original (D) (terreno) ( d > D) ;
3.4.2 Escala Natural Quando as dimensões do modelo (d) são iguais às dimensões homólogas do objetooriginal (D): ( d = D)
3.4.3 Escala de Redução Quando as dimensões do desenho (d) são menores que as dimensões reais do terreno (D): ( d < D ):
3.5 APRESENTAÇÃO DAS ESCALAS Em função de sua utilização no desenho, a escala classifica-se em:
3.5.1 Escalas Numéricas
Usualmente são representadas por uma fração de mesmo valor, com numerador igual à unidade.
3.5.1.1 Problemas relativos à relação matemática
Conhecido “N” (módulo) e “d” (dimensões do desenho), obtém-se “D” (dimensões no terreno)
Conhecido “N” e “D” , obtém-se “d” Conhecido “D” e “d” , obtém-se “N”
1tan >== teconsD
dEscala
1tan === teconsD
dEscala
1tan <== teconsD
dEscala
NDdD
dEEscala
11)( ===
ND
d 1=
40
3.5.2 Escala Gráfica Seu uso acompanha a dilatação ou retração do papel, sofrendo a mesma influência do calor ou da umidade que as dimensões do papel, resultando em maior precisão nas determinações gráficas no qual o desenho foi realizado.
• As escalas gráficas são representações gráficas que, geralmente, vêm desenhadas nas margens das cartas geográficas e/ou plantas topográficas; • É muito utilizada em desenho cartográfico, onde o denominador da escala numérica é um número elevado;
• As escalas gráficas possibilitam a realização de determinações rápidas no desenho; • As escalas gráficas apresentam a grande vantagem de experimentar, sob a influência do calor ou da umidade, as mesmas variações que as dimensões do desenho. Isto propicia maior precisão nas determinações gráficas.
A exemplo de uma escala gráfica tem-se a figura.
3.5.2.1 Elementos da escala gráfica Título: fração 1/N indicativa da escala numérica.
Divisão Principal: grandeza tomada para representar a unidade de comprimento escolhida no desenho.
Talão: particionando-se a divisão principal em dez partes iguais, obtém-se o talão da escala gráfica. EXEMPLO: • Título da escala gráfica é 1/500 • Divisão principal é 10 m • O segmento AB é o talão da escala, que permite determinações precisas de 1m.
41
3.5.3 Escalas Usuais Nas plantas, para a planimetria, e nos perfis, para a altimetria, necessitamos usar uma escala para reduzir as medidas reais a valores que caibam no papel para a representação. Essa escala como já vimos anteriormente é a relação entre dois valores, o real e o do desenho. Assim, quando usamos a escala 1:100 (fala-se um para cem), cada cem unidades reais serão representadas, no papel, por uma unidade, ou seja, 100m corresponderão, no desenho, apenas 1m. As escalas mais comuns usadas em Topografia são citadas a seguir. 3.5.3.1 Planimetria
• representação em plantas, de pequenos lotes urbanos, escalas 1:100 ou 1:200;
• plantas de arruamentos e loteamentos urbanos, escalas 1:1000;
• plantas de propriedades rurais, dependendo de suas dimensões, escalas 1:1000, 1:2000, 1:5000;
• escalas inferiores a essas são aplicadas em geral nas representações de grandes regiões, encaixando-se no campo dos mapas geográficos.
3.5.3.2 Altimetria
Geralmente as escalas são diferentes para representar os valores horizontais e os valores verticais; para realçar as diferenças de nível, a escala vertical costuma ser maior que a horizontal; por exemplo, escala horizontal 1:1000 e escala vertical 1:100. Para sabermos com que valor se representa uma medida no desenho, bastará dividi-la pela escala. Exemplos: 1- Representar, no desenho, o comprimento de 324m em escala de 1:500.
d= 324/500 = 0,648m, ou seja, 64,8cm.
2- Numa planta em escala 1:250, dois pontos A e B, estão afastados de 43,2cm. Qual deve ser a distância real entre eles?
d= 0,432m x 250 = 108m
Quando se trata de áreas, os valores obtidos na planta devem ser multiplicados pelo quadrado da escala, para se obter a grandeza real. 3- Medindo-se uma figura retangular sobre uma planta em escala 1:200, obtiveram-se lados de 12cm e 5cm. Qual a medida de superfície do terreno que o retângulo representa?
Área da planta = a m² = 0,12m x 0,05m = 0,006m² Área real = A = 0,006m² x 200² = 240m²
Para facilidade de representação no desenho e, depois, para simplificar sua interpretação, é hábito usar escalas cujos valores sejam de multiplicação e divisão fáceis, ou seja:
1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, etc...
42
Algumas vezes, podem ser empregadas, ainda, escalas 1:250, 1:300, 1:400. Nunca, porém, se emprega 1:372 ou valores semelhantes, pois haveria muita dificuldade em realizar o desenho e, depois, em converter as distâncias gráficas em valores reais. Se, no desenho, aparecerem valores marcados (cotados), poderemos determinar a escala dividindo a distância indicada pela distância obtida graficamente no desenho. 4- Numa planta, verificamos que os ponto 1 e 2 têm uma distância indicada de 820m e que aparecem, no desenho, afastados 37cm. Qual o valor da escala?
E= 820m/0,37m = 2216,2;
Portanto a escala é 1:2216,2. Dessa forma, qualquer outra distância, não cotada na planta poderá ser calculada desde que se obtenha a distância no desenho e se multiplique por 2216,2. ● Plantas Topográficas: – utilizadas para diversos fins em obras de engenharia. → Construção civil : 1/20; 1/50; 1/100; 1/200 → Obras de engenharia: 1/500; 1/1.000; 1/2.000; 1/10.000 ● Plantas Cadastrais: - são plantas que definem limites de propriedades e indicam o uso do solo. Utilizadas em cadastro de imóveis rurais e urbanos, e podem ser usadas escalas de 1/20 a 1/10.000. ● Cartas: - utilizadas em planejamento local e regional. Escalas de 1/10.000 a 1/100.000.
● Mapas: - u6tilizadas em planejamento regional e nacional. Escalas de 1/100.000 ou mais.
� Estados brasileiros: 1/100.000 � Brasil: 1/1.000.000 (ao milionésimo)
3.5.4 CRITÉRIOS PARA ESCOLHA DE UMA PLANTA Não existem regras rígidas para a escolha da escala. Normalmente compete ao Engenheiro Projetista sua determinação de acordo com as características e natureza do trabalho. 3.5.4.1 A escala do desenho topográfico depende:
– precisão do levantamento; – finalidade do desenho; – precisão dos instrumentos de medidas utilizados; – métodos empregados.
43
Papel na posição horizontalPapel na posição vertical
N
N
3.5.4.2 Fatores que influenciam a escolha da escala
– a extensão do terreno a representar; – a extensão da área levantada, quando comparada com as dimensões do
apel do desenho; – a natureza e quantidade de detalhes que devem constar na planta
topográfica; – a precisão gráfica do desenho.
3.5.4.3 O Tamanho da Folha Utilizada
– Medição das distâncias reais em uma porção bidimensional (área) do
terreno; – Medição das dimensões x e y do papel onde a porção será projetada; – Aplicação da relação fundamental de escala para duas direções; – Escolha da escala: aquela que apresentar maior módulo M.
3.5.5 DIMENSÕES DO PAPEL: Devem ser suficientes para conter o desenho na escala especificada, cujo formato do papel é regulamentado pela Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT, conforme ilustra a tabela.
Formato X (mm) Y (mm) A – 4 210 297
A – 3 297 420 A – 2 420 594 A – 1 594 841 A – 0 841 1189 2 A0 1189 1682 4 A0 1682 2378
3.5.5.1 Escolha da escala e formato do papel → dx como medida útil do papel no sentido das abscissas (X); → dy como medida útil do papel no sentido das ordenadas (Y). A escala mais provável para X e Y, pode ser determinada do seguinte modo:
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Epx = escala provável para abscissas; Epy = escala provável para as ordenadas; XM e YM = abscissas e ordenadas máximas respectivamente; Xm e Ym = abscissas e ordenadas mínimas respectivamente. A escala adotada deverá ser a de menor valor numérico ou de maior denominador.
3.5.5.2 Escolha da Escala Deve ter em conta basicamente a finalidade do levantamento este pode exigir que certo detalhe de dimensão D seja representado com uma dimensão mínima d.
EXEMPLO: 1 – Por exemplo, se quisermos que uma parede de 15 cm de espessura, por onde passa uma tubulação,seja representada no desenho com uma largura mínima de 3 mm, devemos ter:
Portanto, a escala será:
3.5.5.3 As Dimensões do Papel Estas devem ser suficientes para conter o desenho na escala especificada, obedecendo na medida do possível, à padronização de órgãos oficiais (ABNT). Tem-se: A e B – dimensões do terreno; a e b – dimensões no papel, na escala escolhida. ● Para efeito de raciocínio e cálculo, tomar sempre:
Epx = dx / (XM – Xm) Epy = dy / (YM – Ym)
M ≤ D / d
x ≥ a = A / M y ≥ b = B / M
M ≤ 15 / 0,30 = 50
E = 1/50 ; 1/20 ; 1/10 ...
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● Em caso de necessidade, pode-se proceder o desdobramento em várias folhas, e em casos particulares (estradas, por exemplo) empregam-se outros formatos. Como regra geral, os eixos norte (N) e este (E) devem ser paralelos às margens do desenho. EXEMPLO: 1 – Num formato de papel foram obtidas as medidas: dx = 287 mm e dy = 200 mm; e ainda XM = 1036 m e Xm = 916 m; e YM = 1055 m e Ym = 985 m. Qual a escala a ser utilizada ? Solução: Epx = 0,287 / (1036 – 916) Epy = 0,200 / (1055 – 985) Epx = 0,287 / 120 Epy = 0,200 / 70 EXERCÍCIOS 1 - Qual a maior escala admissível se a incerteza na determinação dos pontos em campo atinge: a) 10 cm; b) 50 cm; c) 1 m. 2 - Qual a melhor escala para representação de um terreno, de dimensões aproximadamente 600 x 1.000 m, nas folhas A0, A1, A2, A3 e A4 da ABNT ? 3 - Na escala 1/20.000, qual a representação que tem na carta uma distância de 1.150 m no terreno ? EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1 – Determinar a precisão mínima requerida em levantamentos, nas escalas 1:500, 1:1.000 e 1:10.000, para que as imprecisões de campo não apareçam no desenho. 2 – Fornecidas na tabela abaixo as coordenadas máximas e mínimas de alguns levantamentos. Determinar o formato do papel a ser utilizado tendo em conta também a escala desejada. Indicar também se a maior dimensão da folha coincide com a direção norte (vertical da folha) ou este (horizontal da folha).
Epx = dx / (XM – Xm) Epy = dy / (YM – Ym)
a < b e x < y
Epx = 1 / 481,10 Epy = 1 / 350
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Dados em metros:
N (máx.) N (mín.) E (máx.) E (mín.) Escala desejada
98,25 0,00 58,32 0,00 250 1.458,00 1.253,30 10.180,50 9.983,20 500 6.681,00 5.730,00 350,00 -880,00 1.000
16.070,00 10.240,00 17.090,00 9.170,00 10.000 Solução:
Escala (m) (m) (mm) (mm) Formato direção (M) ∆N ∆E ∆N/M ∆E/M (ABNT) vertical (V)
horizontal(H) 250 98,25 58,32 393 233 A3V V 500 204,70 197,30 410 395 A2 H ou V
1.000 951,00 1.230,00 951 1.230 2 A0 H 10.000 5.830,00 7.920,00 583 792 A1 H
3.6 Determinação de uma escala para desenho de um terreno Exemplo: Dimensões da folha de papel
Dimensões do terreno
Resolução:
Escolha da escala para as dimensões horizontais:
Escolha da escala para as dimensões verticais:
200
m
60 m
0,80 m
0,40 m
250
1
200
80,01→→=
ND
d
150
1
60
40,01→→=
ND
d
47
3.7 Precisão gráfica de uma escala É a menor dimensão gráfica percebida pela vista humana, ou seja, menor dimensão capaz de ser representada em planta. Norma Técnica - mínima representação gráfica = 0,0002 m Erro admissível: (ea) = 0,0002.N Onde, N = denominador da escala adotada. Exemplos: Se N = 100 è (ea) = 0,0002x100 = 0,02 m
Escala Erro gráfico (ea) 1/100 0,02 m 1/500 0,10 m
1/1000 0,20 m 1/5000 1,00 m
Conclusão: Não é possível representar detalhes com dimensões inferiores aos dos erros da tabela acima. Exemplo: Dimensão no terreno = 0,02m = 2 cm Escala = 1/100 Dimensão no papel:
cmdd
ND
d02,0
100
1
2
1=→=→=
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CAPÍTULO 4 4 MEDIDAS E EQUIPAMENTOS TOPOGRÁFICOS
4.1 GRANDEZAS ANGULARES
4.1.1 Ângulo Horizontal (Hz): Medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano horizontal.
4.1.2 Ângulo Vertical ( α) Medido entre um alinhamento do terreno e o plano do horizonte.
Pode ser ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive) deste plano.
4.1.3 Ângulo Zenital (V ou Z) ou Nadiral (V’ ou Z’).
49
4.2 UNIDADES EMPREGADAS NA TOPOGRAFIA As grandezas mais freqüentes na Topografia são distâncias e ângulos; além destas aparecem áreas e volumes. Para as distâncias, a unidade universalmente empregada é o metro com seus submúltiplos: o decímetro, centímetro e milímetro. Excepcionalmente pode-se empregar o quilômetro, porém, raramente, pois a Topografia se destina a grandes distâncias. Para a expressão das áreas usa-se o metro quadrado, salvo em propriedades de zonas rurais; para os volumes usa-se o metro cúbico. Para ângulos, a Topografia só emprega os graus sexagesimais; para fins militares o milésimo. O grau sexagesimal é 1 / 360 da circunferência, sendo cada grau dividido em 60min e cada minuto em 60seg. Portanto, já que a circunferência tem 360 graus e cada grau tem 60min, a circunferência tem 360 x 60 = 21600 min; e tem 21600 x 60 = 1296000seg. Os cálculos militares empregam o milésimo. O milésimo é abertura angular resultante da paralaxe de 1 a 1000m de distância Uma circunferência com raio de 1000m tem como comprimento C=2πR = 6283,185308m; um metro representa pois uma fração da circunferência igual a 1 /6283,185308. Significa que a circunferência tem 6283,185308 milésimos. Este é o valor exato do milésimo. Acontece que o grande emprego do milésimo está no setor militar por razões de rapidez de cálculos. EXEMPLO 1- Um binóculo apresenta gravação de retículos de milésimo em milésimo nas duas direções, horizontal e vertical. Observando uma torre que sabemos ter 40m de altura, vemos que ela se encaixa em 5 milésimos. Qual à distância entre o observador e a torre? Solução: se 40m correspondem a 5 milésimos quantos metros de altura corresponderão a 1 milésimo?
h= 40 / 5 = 8m Já que 1 milésimo correspondem 1m para a distância de 1000m, o mesmo milésimo
corresponderá a 8m para uma distância de 8000m. Resposta: Estamos à cerca de 8000m da torre. Nota: todo o cálculo é apenas aproximado.
4.2.1 Unidades de Medida Angulares (Convenções)
50
4.2.2 Métodos de Medição de Ângulos: Uso de Goniômetros
TEODOLITO
4.3 GRANDEZAS LINEARES
4.3.1 Distância Horizontal (DH) Distância medida entre dois pontos, no plano horizontal.
4.3.2 Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN) Distância medida entre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal.
4.3.3 Distância Inclinada (DI) É a distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno.
Grandezas Horizontais – Desenho em Planta
Grandezas Verticais – Desenho em Perfil
4.4 MÉTODOS DE MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS 4.4.1 Diastímetros
TRENA DE FIBRA DE VIDRO TRENA DE FITA DE AÇO Fonte: BRANDALIZE (2003) 4.4.2 Equipamentos Acessórios:
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Fichas
Balizas
Fonte: BRANDALIZE (2003)
Nível de Cantoneira
4.4 MÉTODOS DE MEDIDA COM DIASTÍMETROS 4.4.1 Lance Único – Visíveis Vários Lances – Pontos Visíveis
4.4.2 Aplicações de Medição de Distâncias 4.4.2.1 Amarração de Detalhes A amarração dos detalhes pode ser feita: Por perpendiculares tomadas a olho
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4.4.3 Por Triangulação
4.4.4 Alinhamentos Perpendiculares É possível levantar uma perpendicular a um alinhamento, utilizando-se um diastímetro, através dos seguintes métodos:
4.4.4.1 Triângulo Retângulo
4.4.4.2 Triângulo Eqüilátero
Obs: para a marcação de triângulos no campo, normalmente utilizam-se comprimentos menores equivalentes aos citados ou esquadros de madeira.
53
4.5 Transposição de Obstáculos
Após estabelecer a relação de semelhança entre os triângulos CAB e CDE, à distância AB será dada por:
4.6 PRECISÃO E CUIDADOS NA MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS A precisão das distâncias obtidas depende, principalmente: Do dispositivo de medição utilizado, dos acessórios, e dos cuidados tomados durante a operação. Cuidados a serem tomados: Que os operadores se mantenham no alinhamento a medir, que se assegurem da horizontalidade do diastímetros, e que mantenham tensão uniforme nas extremidades.
PRECISÃO DOS DIASTÍMETROS
54
CAPÍTULO 5
5 MEDIDAS DE ÂNGULOS
5.1 ÂNGULOS HORIZONTAIS: 5.1.1 Internos
5.1.2 Externos
5.1.3 Deflexão:
para Hzi > 180º
para Hzi < 180º
55
5.2 ÂNGULOS VERTICAIS
5.3 ÂNGULOS DE ORIENTAÇÃO DE PLANTA TOPOGRÁFICA
5.3.1 Azimutes É o ângulo que a linha faz com a direção norte-sul, medido a partir do norte ou do sul, para a direita ou para esquerda, e variando de 0º a 360º. 5.3.1.1 Azimute a Vante de uma linha
5.3.1.2 Azimute a Ré de uma linha
56
5.3.2. Rumos É o ângulo horizontal entre a direção norte-sul e a linha, medido a partir do norte ou do sul na direção da linha, porém não ultrapassando 90º.
5.3.2.1 Rumo de Vante de uma linha Ângulo que o alinhamento A-B forma com a linha N-S ou S-N.
5.3.2.2 Rumo a Ré de uma linha
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EXEMPLO
Exercício: Dada a tabela acima determinar os azimutes à esquerda e os rumos ré do caminhamento.
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EXERCÍCIO PROPOSTOS 1- Dados os Rumos vante das linhas da Tabela 1, encontrar os azimutes a vante e a ré, à direita.
2- Calcular o erro de fechamento angular do polígono pelos rumos calculados e pela somatória dos ângulos
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6 ERROS TOPOGRÁFICOS
6.1 Naturais Também chamados de sistemáticos; Ocasionados por fatores ambientais, como temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc.
6.2 Instrumentais Ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições. Podem ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e calibração constante dos aparelhos. 6.3 Pessoais
Ocasionados pela falta de cuidado do operador;
São classificados como erros grosseiros e não devem ocorrer jamais, pois não são passíveis de correção. 6.3.1 Erros na leitura
• dos ângulos, da régua graduada, medição de distãncia, ponto visado errado, aparelho fora de prumo, aparelho fora de nível, etc.
6.3.2 Erros na Medida Direta de Distâncias 6.3.3 Distorções do Comprimento do Diastímetro 6.3.4 Desvio vertical ou falta de horizontalidade
Catenária:
Verticalidade da baliza:
Desvio lateral do alinhamento
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6.3.5 DESENHO TOPOGRÁFICO Projeção de todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel.
6.3.6 TIPOS E REPRESENTAÇÕES
6.3.6.1 Angulares: verdadeira grandeza;
6.3.6.2 Lineares: reduzidas segundo uma razão constante → ESCALA
6.3.7 ERROS ANGULARES
6.3.8 CRITÉRIOS DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS
6.3.8.1 Ponderação dos ângulos
6.3.8.2 Critério dos Pesos • Baseado na seguinte propriedade: o erro angular é inversamente proporcional ao comprimento da visada; • Fator de ponderação: média dos dois lados que formam um ângulo. Exemplo:
2x + y + z = 4’
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CAPÍTULO 7
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS COM BÚSSOLA E DECLINAÇÃO MAGNÉTICA
7.1 Rumos Medidos com Bússola
7.2 Declinação Magnética
Norte Magnético Versus Norte Verdadeiro
• Para observador em ´A´, a declinação magnética é igual ao ângulo ´α´, e o PNM está para leste; • Para observador em ´D´, a declinação magnética é igual ao ângulo ´α´, e o PNM está para oeste; • Para observador em C´, a declinação magnética é nula porque o ´C´ está no prolongamento do PNM e do PNV. Obs: a declinação magnética não é constante para o mesmo local, pois sofre variações de diferentes causas e efeitos.
7.3 MÉTODO DE DETERMINAÇÃO DAS DECLINAÇÕES 7.3.1 Linhas Isogônicas Linhas que unem pontos da terra que têm a mesma declinação magnética; essas linhas caminham aproximadamente na direção norte-sul, porém não exatamente por esta razão, a declinação magnética se modifica, principalmente em função da longitude local. As linhas isogônicas de uma certa região, quando estão representadas sobre uma carta, constituem o mapa isogônico.
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7.3.2 Linha agônica Linha de declinação zero; 7.3.3 Linhas isopóricas: linhas que ligam pontos de mesma variação da declinação magnética.
7.4 PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO DA DECLINAÇÃO DE UM PONTO • Identificação da latitude e longitude; • Localização do ponto nas cartas isogônicas e cálculo da declinação magnética local (por aproximação), no ano da execução da carta (to); • Determina-se a variação anual da declinação do local em questão através da carta das isopóricas; • Declinação magnética atual:
onde, do = declinação magnética na data encontrada nas cartas isogônicas (anos); v = variação anual da declinação para o local em questão, obtida, nas cartas isopóricas; t = data em questão (ano e fração); to = data da fabricação da carta (ano e fração). Exercício 1- Determinar a declinação magnética, num local perto de Santarém, em primeiro de julho de 1977. Procedimento de Cálculo a) Determinar a longitude e a latitude de Santarém.
Usando-se um mapa geo-político qualquer, por interpolação, calcula-se:
Longitude = 54º, 83 W; Latitude = 2º, 47 S;
SOLUÇÃO: Colocação de Santarém na carta isogônica. Esta carta representa os meridianos e os paralelos de 4 em 4º. À distância entre os meridiano 54º e 58º constata-se ser de 2,83cm. Temos a seguinte proporção 4º -----------2,83 cm, 0º, 83---------x, x = 0,59cm. Para a latitude interpolamos entre 0º e 4º de latitude sul. À distância entre esses dois paralelos é de 2,85cm, 4º ------------2,85cm, 2º,47----------y, y= 1,76cm. Com as duas coordenadas (x=0,59cm e y=1,76cm) localizamos Santarém entre os meridianos 54º e 58º W e entre os paralelos 0º e 4º S.
63
b) Determinação da Declinação Magnética: Santarém está localizada entre as curvas 11º W e 12º W da carta de isogônica; na data da carta, isto é, em primeiro de janeiro de 1966 (1965,0). À distância entre as linhas 11º W e 12º W: 1,04 cm; à distância entre o ponto e a linha de 11º W: 0,8cm; então: (12º - 11º) – 1,04 cm x – 0,8 cm → x = 0º,77 = 46´, 2 Logo a declinação será: 11º. + 46´,2 = 11º46´,2 para W; c) Determinação da Variação da Declinação Magnética: Na carta de isopóricas, a declinação magnética local de Santarém é de 8’, 82 W; d) Determinação da Declinação Magnética de 1º de julho de 1977: Primeiro de julho de 1977 = 1976 + 0,5 = 1976,5. Primeiro de janeiro de 1966 = 1965 + 0,0
7.5 RUMOS E AZIMUTES MAGNÉTICOS E VERDADEIROS Até o momento, quando falamos em rumos ou azimutes não especificamos a sua referência, a partir do norte verdadeiro ou magnético. Quando o rumo é medido a partir da linha norte-sul verdadeira ou geográfica, o rumo é verdadeiro; quando é medido a partir da linha norte-sul magnética, o rumo é magnético; o mesmo se dá para os azimutes. A diferença entre os dois rumos é a declinação magnética local. É muito importante respeitar o sentido dos ângulos: a declinação magnética é sempre medida na ponta norte e sempre do norte verdadeiro para o norte magnético e os rumos são medidos sempre da reta NS para a linha. A agulha imantada colocada nas bússolas fornece os rumos ou os azimutes magnéticos; para transforma-los em verdadeiros, é necessário que se conheça a declinação magnética local e fazer a operação aritmética adequada. Um planta de uma determinada propriedade, executada anos atrás representa diversas linhas, especificando o seu rumo magnético. Quando se torna necessária a relocação destas linhas no terreno, passados diversos anos, deve-se reajustar os rumos magnéticos para a época atual, já que se sabe que a declinação magnética varia anualmente. Estes problemas, relativamente comuns na prática, são chamados de reaviventação de rumos e azimutes.
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EXEMPLOS O rumo magnético medido em primeiro de janeiro de 1950, era de S 32º 30’ W. Calcular o mesmo rumo em primeiro de julho se 1954. Dados: Os dados do anuário do Observatório Nacional acusam a variação anual da declinação magnética de 6 min para oeste. A transformação da data de primeiro de janeiro de 1950 em valor decimal é 1949,0. Temos, pois: Primeiro de julho de 1954 = 1953,5 Primeiro de janeiro de 1950 = 1949,0 Intervalo de tempo = 4,5 anos A variação total de declinação magnética é 4,5 x 6’ = 27’ para W o rumo magnético em 1953,5 é 32º 30’ + 27’ = S 32º 57’ W.
2- O rumo magnético 1-2, em primeiro de abril de 1960, era N 72º 10’ W. Calcular o rumo verdadeiro da linha. Pelos anuários, a declinação magnética em primeiro de janeiro de 1956 era de 12º 12’ para W, a variação anual da declinação magnética 7’ para W; assim Primeiro de abril de 1960 = 1959,25 Primeiro de janeiro de 1956 = 1955,00 Intervalo de tempo = 4,25 anos A variação total da declinação magnética é 4,25 anos x 7’ = 29,75 min para W; A declinação magnética em 1959,75 é 12º 12’ + 29’, 75 = 12º 41’, 75 para W. Para a solução do problema, procura-se obter ambos os valores na mesma data: o rumo magnético e a declinação magnética. O rumo verdadeiro de 1-2 é N 84º 51’, 75 para W.
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3- Deseja-se representar a linha CD numa planta elaborada em primeiro de outubro de 1944. Sabe-se que o rumo verdadeiro da linha é S 86º 50’ W. Na planta, a direção marcada é a do norte magnético na data de sua confecção pelos anuários: a declinação magnética em primeiro de janeiro. De 1951 é de 8º 14’ W e a variação anual da declinação magnética é de 5’ W. Primeiro de janeiro de 1951 = 1950,00 Primeiro de outubro de 1944 = 1943,75 intervalo de tempo = 6,25 anos A variação total em 6,25 anos é de 6,25 anos x 5’ = 31’, 25; essa variação se fosse de 1943,75 para 1950,00 seria de 31’, 25 para W; porém se contarmos em sentido contrário, isto é, de 1950,00 para 1043,75 será de 31’, 25 para E. A declinação em 1943,75 é 8º 14’ – 31’, 25 = 7º 42’, 75 para W, portanto o rumo magnético CD, em 1943,75 é 86º 50’ + 7º 42’, 75 = S 94º 32’, 75 W. Passando para o quadrante NW = 86º 27’, 25 W.
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CAPÍTULO 8 COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES 8.1 COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES Se tivermos um ponto “A” num plano topográfico (horizontal), a sua situação neste plano pode ser determinada pelos valores “Xa” e “Ya” ou pelo ângulo ”α“ e a distância “d”, constituindo os primeiros as coordenadas retangulares cartesianas e os segundos as polares. O eixo horizontal indica as medidas positivas a partir de um ponto zero para Leste (E); chamado de eixo “E”, “X” ou eixo das abscissas. O eixo vertical indica as medidas positivas a partir de um ponto zero para Norte (N); chamado de eixo “N”, “Y” ou eixo das ordenadas.
8.2 COORDENADAS POLARES Se tivermos um ponto “O” no plano e uma direção de referência “OYF” (coincidente ou não com os eixos cartesianos) que passa por ele, qualquer outro ponto “A” do plano é determinado pelo ângulo que a direção “OA” forma com a referência e a distância “d” existente entre “O” e “A”; estes dois valores, ângulo “α” e a distância “d”, constituem as coordenadas polares do ponto “A” e medem-se diretamente no terreno.
Ao ponto “O”, chma-se pólo, e também centro de irradiação, e a direção de referência “eixo polar”.
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8.3 COORDENADAS RETANGULARES Se tivermos um sistema cartesiano (eixo perpendiculares num plano), qualquer ponto “A” do mesmo é determinado pelas suas projeções “Xa” e “Ya” sobre os eixos, sendo “Xa” a abscissa e “Ya” a ordenada. A origem “O” divide ambos os eixos em dois segmentos; e os eixos dividem o plano em quatro (4) quadrantes, conforme figura.
Do triângulo OAA’ deduz-se:
Fórmulas que nos servem para calcular as coordenadas retangulares ou cartesianas de um ponto do plano, em função das polares correspondentes. 8.4 COORDENADAS RELATIVAS ABSOLUTAS Normalmente, num levantamento topográfico não se pode fazer o levantamento de todos os pontos a partir de uma só estação, mas o levantamento de um ponto como “C” tem de ser feito a partir de um ponto “B” cujas coordenadas tenham sido previamente calculadas. Calcula-se primeiramente as coordenadas do ponto ”B” aplicadas a esse eixos. Mas para achar a de “C” temos de agir do seguinte modo: Supõe-se traçado por “B” um sistema de eixos paralelos ao geral que passa por “A”. Calculam-se as coordenadas denominadas parciais ou relativas de “C”, em relação a “B” As coordenadas de “C” em relação a “A”, denominadas absolutas, obtêm-se somando algebricamente às absolutas de “B” às relativas de “C” em relação a “B”. As coordenadas absolutas de “C” representam-se por “xc” e “yc”, conforme figura.
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Onde: OAB = 50º OBC = 330° dAB = 100,00 metros dBC = 42,00 metros 8.4.1 COORDENADAS PARCIAIS 8.4.1.1 Coordenadas Parciais Definição São chamadas de coordenadas parciais as projeções de um lado do polígono, nos eixos NS-EW. 8.4.1.2 Seqüência de Cálculo e de Ajuste da Poligonal fechada • Correções dos comprimentos; • Determinação do erro de fechamento angular pelos rumos ou azimutes; • Determinação do erro de fechamento angular pela somatória dos ângulos internos; • Distribuição do erro de fechamento angular obtendo-se os rumos definitivos; • Cálculo das coordenadas parciais (x, y); • Determinação dos erros de fechamento linear; • Distribuição dos erros das abscissas e das ordenadas; • Cálculo das coordenadas totais (X, Y); • Cálculo da área do polígono.
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Onde,
O uso das coordenadas parciais possibilita: • O cálculo do erro de fechamento linear; • A distribuição deste erro; e • O cálculo da área do polígono. Gráficos das Coordenadas Parciais Gráfico com os valores de ´x´
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Gráfico com os valores de ´y´
Erro de fechamento linear O gráfico abaixo representa os erros em ´x´ e ´y´, e o erro de fechamento que é a hipotenusa do triângulo retângulo:
Podemos comparar o ´ef ´ com o comprimento do polígono ´P´ (somatória dos comprimentos dos lados), ou seja: onde, M = expressão do erro relativo 1: m, ou 1/M. Ou seja, foi cometido um erro de ´1´ metro para ´M´ metros de perímetro. Do exemplo, tem-se:
O erro cometido equivale a dizer: 1m de erro corresponde a 943,6m do perímetro. Tolerância dos erros • Levantamentos realizados com diastímetros: 1:1000;
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• Levantamentos realizados com corrente ou trena e os ângulos ou bússola: 1: 500. Distribuição do erro de fechamento linear •Quando o erro for superior ao limite aceitável deve-se refazer o trabalho; • Quando o erro é aceitável, deve ser distribuído para o polígono fechar e podermos calcular sua área. Como não se sabe em que segmento o erro foi cometida, a maneira mais racional de distribuir deste erro de fechamento é corrigir diretamente nas coordenadas parciais. Correções das abscissas parciais
Exemplo:
Correções das ordenadas parciais Da mesma forma se corrigem as ordenadas parciais., ou seja:
onde, ey/P é a constante de correção para as ordenadas, que deve ser multiplicada por cada um dos comprimentos dos lados, para se ter à correção das ordenadas. Exemplo:
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A tabela abaixo apresenta as coordenadas parciais e os valores das correções:
A tabela abaixo apresenta as coordenadas parciais corrigidas:
Cálculo das Coordenadas Totais Definição As coordenadas totais são as acumulações algébricas das coordenadas parciais, tomando-se um ponto qualquer como origem.
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Gráfico das Coordenadas Parciais:
Para o cálculo das coordenadas totais, partiu-se do ponto ´3´ (ponto mais a oeste) cujos valores são X = 0 e Y = 0: A tabela abaixo mostra os valores das abscissas e ordenadas totais:
Gráfico das Coordenadas Totais:
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9- DEFINIÇÃO DOS COMPONENTES DO TEODOLITO (Theo 020)
9.1- DEFINIÇÃO DOS COMPONENTES DO TEODOLITO (Theo 020)
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10- LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) e sublinhe os erros das alternativas falsas: ( ) A Topografia consiste na descrição exata e minuciosa de uma grande superfície da terra, levando em consideração a curvatura da Terra; ( ) A topografia permite levantar uma porção da superfície terrestre com um raio de no máximo 30km; ( ) A Altimetria consiste no levantamento topográfico de pontos necessários para representar a superfície em um sistema de coordenadas bi-dimensional (X, Y); ( ) os Estudos topográficos podem ser divididos em topometria, topologia e fotogrametria ( ) O modelo Geoidal permite que a superfície terrestre seja representada pelo prolongamento do nível médio dos mares; ( ) O Datum é um sistema de referência utilizado para o georeferenciamento de um levantamento topográfico, representado pelo sistema de coordenadas geográficas de um ponto e as dimensões a e b dos eixos do elipsóide; ( ) As coordenadas UTM são comportas pela abscissa, representada pelo eixo Norte, e ordenada, representada pelo eixo Sul; ( ) O ângulo vertical é o ângulo formado pelo alinhamento de pontos do terreno com o eixo zenital; ( ) Escala de um desenho é a relação entre o comprimento linear real no terreno e o comprimento linear gráfico no desenho; ( ) A escala gráfica é o comprimento utilizado no acompanhamento da dilatação ou retração do papel; ( ) Se à distância entre dois pontos na planta com escala 1:250 é de 80cm, o seu valor no terreno é igual a 200 m. ( ) Os diastímetros são equipamentos de medidas diretas de distâncias, como por exemplo, a trena; ( ) Atualmente, as trenas de aço são as que fornecem uma maior precisão em levantamentos de distâncias, seguidas pelas trenas de lona; ( ) As medidas de distâncias horizontais entre dois pontos realizadas com o diastímetros são realizadas por meio de uso de duas balizas e um equipamento de medição. ( ) O processo de triangulação tem o objetivo de amarrar detalhes através da medição de segmentos, medidos por taqueometria, formados uma rede de triângulos. ( ) O traçado de perpendiculares é um processo de amarração bastante utilizado na locação de obras;
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( ) A marcação no campo de triângulos semelhantes é utilização na transposição de obstáculos. ( ) A Catenária é a curvatura ocasionada no diastímetros no ato da edição. Ocorre quando o material do equipamento é de péssima qualidade. ( ) Azimute de um alinhamento é o ângulo horizontal entre a direção Norte-Sul e a linha, medido a partir do Norte ou do Sul na direção da linha, menor que 90°. ( ) O rumo de um alinhamento não ultrapassa o valor de 90°. ( ) A declinação magnética é sempre constante para um mesmo local. ( ) A data de primeiro de Janeiro de 1950 em valor decimal é 1949,0. ( ) O cálculo da área de polígonos pelo método das duplas distâncias meridianas utiliza o ponto mais a leste como origem. ( ) Erros de fechamento (linear ou angular) menores indicam que o levantamento de um polígono foi mais preciso que levantamentos com erros maiores; ( ) São chamadas coordenadas totais as projeções de um lado do polígono, nos eixos Norte-Sul e Leste-Oeste. ( ) No cálculo das Coordenadas parciais, x = Lcos(rumo) e y = Lsen(rumo), onde L é o comprimento da linha. ( ) A distribuição do erro de fechamento linear proporcionalmente às coordenadas é melhor que a distribuição proporcional aos comprimentos do lados. ( ) Se a tolerância de erro de fechamento linear relativo é de 1 para 1000, um erro de 1/943,6 é aceitável. ( ) Quando o erro de fechamento linear é superior ao limite aceitável só resta o recurso de refazer o trabalho total ou parcialmente. 2) Complete as lacunas: Uma figura retangular com lados de 10 e 10 cm sobre uma planta em escala de 1:200 tem área no terreno real de ___________ m². ________________________ é o ângulo que a direção Norte-Sul magnética faz com a direção Norte-Sul verdadeira. Linhas _______________ são linhas que unem os pontos do globo que têm a mesma declinação magnética. Os azimutes de vante diferenciam-se de _________ dos azimutes de ré. __________________ é a vertical para cima e nadir é a vertical para baixo. A dupla distância meridiana do lado 1-2, isto é, ddm1-2 = ddm5-1 + ____ + X1-2. 3) Se a avaliação de uma área resultou em 2575cm² na escala 1:500, a quantos m² corresponderá esta mesma área, no terreno?
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4) Qual será o erro provocado por uma flecha de 30cm em uma trena de 20m de comprimento? O erro encontrado é desprezível? Este tipo de erro provoca uma redução ou uma ampliação da trena? O erro cresce ou decresce com o comprimento da trena? Qual o valor da distância correta, para uma distância medida de 127,44m? 5) Uma linha AB foi medida com uma trena de comprimento nominal igual a 20m, obtendo-se, após vários lances, o valor de 92,12m. Qual o comprimento real da linha, ao constatar-se que a trena se encontrava dilatada de 6cm? 6) Transforme as medidas angulares em unidades de grau, minuto e segundo:
a ) 152,75º; b) 45,843º c) 30,84º 7) Transforme as medidas angulares em unidades de grau:
a) 45º 32’48’’º; b) 53º52’51’’; c) 30º46’15’’ 8) Calcular o rumo magnético de AB em 1/10/1986 sabendo que o rumo verdadeiro é S 42°15’00” E. Do anuário de 1990,0, a declinação magnética local é de 2°31’15” para W e a variação anual da declinação magnética é de 5’ para W. 9) Explique, fornecendo a formulação matemática, um dos métodos de distribuição de erro de fechamento linear: (1) método de correção proporcional aos comprimentos dos lados; ou (2) método de correção proporcional às próprias coordenadas. 10) Discorra sobre os tipos e as causas de erros topográficos. 11) Discorra sobre os cuidados necessários com a medição direta de distâncias. 12) Dados:
SXE = 1.299,35 SXN = 900,45 SXW = 1.300,65 SXS = 899,55
Corrigir as coordenadas do lado A-B sabendo que sua abscissa x = 40,00 para o leste, e sua ordenada y = 20,00 para o sul. 13) Determine o azimute, à direita e à esquerda, correspondente ao rumo de S 2738'40" W. 14) Determine o rumo e a direção correspondente ao azimute à direita de 15610'37". 15) Faça uma descrição detalhada sobre os métodos de levantamentos topográficos: caminhamento, irradiação, interseção e coordenadas. 16) Calcule as coordenadas totais dos vértices 1, 2, 3 e 4 de uma poligonal, a partir dos valores das coordenadas parciais dispostos na tabela abaixo.
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17) Dados os rumos das linhas mostrados na tabela abaixo, calcular os azimutes correspondentes à direita.
18) Determine o erro de fechamento em x e em y, e corrigir as coordenadas do lado 5-C1.
19) Calcular a área do polígono pelo método das duplas distâncias meridianas com origem no ponto mais a oeste.
20) Calcular a área do polígono pelo método das coordenadas totais
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11- MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS Quando alguma impossibilidade ou dificuldade na obtenção de uma distância por medidas diretas se apresentar, poderemos obter esta distância por métodos indiretos através de solução matemática com a utilização da trigonometria, onde os valores angulares e lineares necessário para o cálculo são obtidos por equipamentos e métodos topográficos.
Planta da poligonal de apoio para a determinação da distância "PQ" inacessível.
11.1- Determinação de Distâncias Horizontais Para o cálculo da distância, poderemos utilizar a lei dos senos, dos co-senos e das tangentes, de tal maneira que possamos obter a distância PQ por vários caminhos. Do triângulo PAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l1 e l4:
Do triângulo QAB (Fig.11), pela lei dos senos podemos determinar l2 e l5:
Do triângulo APQ (Fig.11), pela lei dos co-senos, podemos determinar a distância PQ (l3)
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Do triângulo BPQ (Fig.11), pela lei dos co-senos, podemos determinar a distância PQ (l3)
Utilizando-se a lei das tangentes na figura 11, podemos expressá-la, em relação ao triângulo PQA, como:
Das duas expressões podemos tirar:
ou pelo triângulo PBQ
Desta maneira consegue-se determinar a distância PQ (l3) por seis caminhos diferentes. Comparando-se os resultados, pode-se determinar o valor mais provável através da média aritmética entre os valores mais próximos. Deve-se determinar o erro médio quadrático da média. Exercícios Aplicativos: 1) Deseja-se determinar o comprimento do eixo PQ de uma ponte tendo sido medidos, a partir de uma base AB, os ângulos α, β, γ, e δ pelo processo da reiteração, conforme esquema da figura 11.
2) Deseja-se determinar a distância entre duas torres de transmissão elétrica (PQ), a partir de uma base AB, medidos os ângulos α, β, γ, e δ pelo processo da reiteração conforme esquema da figura 11.
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11.2- Determinação de Distâncias Verticais O processo da determinação da altitude ou distância vertical de um ponto inacessível pelo método da triangulação. O método baseia-se na resolução de triângulos retângulos do qual se conhece um dos lados (base) e calcula-se os demais a partir da medida do ângulo vertical entre a estação e o ponto visado. Seja “P” (Fig. 11a) um ponto que se quer determinar a altitude, com o auxilio de uma base AB de comprimento medido l. Com o teodolito montado nas estações A e B, mede-se os ângulos horizontais “α” e “β” e os ângulos verticais “V1” e “V2”. Figura 11a – Planta e perfil do nivelamento trigonométrico para determinação da altitude de um ponto inacessível
As distâncias horizontais DH1 e DH2 são obtidas através das relações de proporcionalidade .
As diferenças de nível DN1 e DN2, em relação às estações e o ponto visado, são obtidas a partir de:
onde h1 e h2 representam, respectivamente a altura do instrumento em cada estação. Quando os pontos encontram-se a distâncias maiores que 200m, deve-se efetuar o cálculo da correção da curvatura terrestre (Ccr) aplicando-se a fórmula abaixo.
o valor da DH deve ser em quilômetros.
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Exercício Elucidativo Seja determinar a altitude de um ponto “P” a partir de duas estações A e B, nas quais foram obtidas as seguintes medidas.
1.Cálculo da DN entre os extremos da base
2. Cálculo da DH entre os extremos da base e o ponto “P”
3. Cálculo da DN entre a base e o ponto “P”
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4. Correções
Curvatura:
Diferença de nível corrigida da curvatura:
8 ERRO PERMITIDO:
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12- CURVAS DE CONCORDÂNCIA E DE TRANSIÇÃO Introdução O eixo de uma estrada é formado por inúmeras linhas retas as quais encontram-se ligadas entre si por curvas. Cada duas seqüências de linhas retas adjacentes são ligadas por uma curva cujo raio varia de acordo com as condições de tráfego que utilizarão a via e as condições da superfície do terreno. As curvas empregadas em traçados de vias são geralmente circulares, havendo, porém, casos em que curvas parabólicas podem ser empregadas. Emprego de curvas circulares concordando com o alinhamento inicial e final, por meio de arcos de parábola ou espiral de transição são utilizadas a fim de:
se obter melhor adaptação e visibilidade dos veículos. Quando uma direção sofre mudança em sua linha de transporte, torna-se necessário à locação de uma curva de concordância. Para as estradas rodoviárias e ferroviárias, a curva mais indicada é a do tipo circular, isto é, um arco de circunferência de circulo. Em áreas exclusivamente residenciais, onde a circulação de veículos deve ser de baixa velocidade, a concordância entre as tangentes pode ser efetuada:
por uma curva circular sem a espiral de transição, com raio mínimo que permita a circulação de veículos de pequeno porte, entretanto, deverá ser observada a sobrelevação de no máximo 6% e no mínimo 2%. 12.1- Tipos de Curvas
Curva Simples é aquela que apresenta um único valor de raio, como a curva AB apresentada na figura 22. O ponto A é chamado de Ponto de Curva (PC) e o ponto B é denominado de Ponto de Tangência (PT).
Curva Simples Curvas Compostas são aquelas curvas contínuas formadas de dois ou mais arcos de curvas, de raios diferentes, como a curva apresentada na figura 23. Os pontos A e D são, respectivamente, os pontos PC e PT da curva, enquanto que os pontos B e C são Pontos de Curva Composta (PCC).
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Curvas Compostas
As Curvas Reversas têm aplicações limitadas e não é muito aconselhável sua aplicação a não ser nas pêras de concordância dos traçados em serpentina para galgar encostas íngremes. Em vias rodoviárias e ferroviárias, devido à passagem brusca de uma curva a outra e à força centrífuga gerada pela mudança de direção, as curvas reversas não são empregadas senão com tangentes intermediárias.
Fig.25 Curvas reversas em pêra 12.3- Curva Circular Horizontal de Concordância Com base na figura 26, podemos estabelecer os elementos geométricos da curva circular.
Fig.26 Curva Circular
PC = Ponto de início da curva PI = Ponto de intersecção das tangentes PT = Ponto de tangência ou término da curva R = Raio da curva T = Tangente (distância entre PC e PI que é igual à distância entre PI e PT) I = Ângulo interno da curva C = Comprimento da curva D = Grau da curva d = Ângulo de deflexão (entre a tangente e a corda) E = Distância entre PI e a curva
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A curva será locada através de cordas com valor pré-estabelecido, o qual é normalmente de 20 metros. Este valor depende muito do raio da curva. Quanto menor for o raio da curva, menor será o comprimento da corda, facilitando assim a locação da mesma no campo. 12.3.1- Ângulo Interno da Curva (I) O ângulo interno da curva (I) é equivalente à deflexão das tangentes e pode ser determinado pela diferença dos azimutes das mesmas conforme figura 27.
Fig. 27
Desta maneira, podemos dizer que:
12.3.2- Comprimento da Curva
O comprimento da curva é à distância em arco entre PC e PT. Pode ser determinado a partir da figura 26, considerando-se as cordas de 20 metros:
logo
ou logo 12.3.3- Cálculo das estacas PC e PT
12.3.4- Cálculo do Grau da Curva (D) Chama-se Grau da Curva (D) o ângulo central, que compreende uma corda de um dado comprimento. O grau da curva é independente do ângulo central da curva (I). Pela figura 26 podemos dizer que:
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12.3.5- Cálculo da tangente (T) A tangente (T) é o segmento de reta que vai de PC a PI ou de PI a PT. Pela figura 26 podemos dizer que:
12.3.6- Cálculo do Raio da Curva (R) O Raio da Curva é um elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com as características técnicas da rodovia e a topografia da região. O cálculo do Raio da Curva está relacionado diretamente com o Grau da Curva (D), considerando-se cordas de 20 metros.
logo 12.3.7- Cálculo do Afastamento (E) O Afastamento (E) é à distância entre o ponto PI e a curva da figura 26 podemos dizer, a partir do triângulo PC-O-PI:
logo
sabendo-se que podemos substituir e teremos:
12.3.8- Ângulo de deflexão para cordas de 20 metros O ângulo de deflexão permitirá a locação, em campo, dos pontos que demarcarão o eixo da curva.
Exercício Elucidativo Deseja-se calcular e preparar a planilha para a locação de uma Curva Horizontal Circular pelo método das deflexões, estaqueada de 20 em 20 metros e cujos dados conhecidos do projeto são:
Grau da Curva D=3°12’ Ângulo Interno da Curva I=17°36’ à direita Ponto de Intersecção PI=91+7,40m
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Devido à impossibilidade de visualização total da curva a partir do ponto PC, sugere-se mudança de estação nas estacas 91 e 93. SOLUÇÃO : Cálculo do Raio da Curva (R)
Cálculo do Comprimento da Tangente (T)
Cálculo do Comprimento da Curva (C)
Cálculo do ponto de curva (PC)
Cálculo do ponto de tangência (PT)
Cálculo das deflexões das cordas de 20 metros.
Cálculo das deflexões fracionárias em relação aos pontos PC e PT.
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Elaboração da Tabela
Cálculo do Azimute da Tangente nas estações 91 e 93, devido ao posicionamento do aparelho nestas estações.
Verificação dos resultados
Exercícios Aplicativos 1) Calcular o raio (R) de uma curva circular horizontal cujo comprimento entre as duas tangentes é de 450,00m e cujos azimutes das tangentes são:
AztgPC-PI = 216°32’30” à direita”. AztgPI-PT = 297°50’00” à direita”.
2) Calcular o raio (R), o grau da curva (D) e o comprimento da Curva(C) de uma curva circular horizontal com as seguintes características:
Azimute da tg inicial=37º30’00” à esquerda”. T = 419,00m
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Azimute da tg final=217°20’00” á esquerda”. 3) Preparar a tabela para a locação de uma curva circular horizontal pelo método das deflexões, da qual se sabe os seguintes dados:
Estaca do PI = 1.042+5,40m I = 16º à direita D = 2°30’ Azimute da tangente inicial = 136°50’ Usar um ponto de mudança na estaca 104
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13- CURVAS VERTICAIS DE CONCORDÂNCIA A curva recomendada para ligar duas rampas é o arco de parábola. Este pode ser:
Simétrico: ou assimétrico, sendo o primeiro o recomendado.
13.1- Curva Vertical Simétrica por Arco de Parábola A utilização da parábola como curva de concordância vertical é de grande conveniência no estabelecimento dos elementos necessários ao perfil longitudinal, uma vez que as cotas dos diversos pontos da curva serão facilmente obtidas através de cálculos rápidos. As curvas verticais podem ser do tipo:
Côncavas; ou Convexas.
As curvas do tipo côncavas são as curvas de baixada ou depressão. São as curvas que se encontram sempre acima das tangentes. As curvas do tipo convexas são as de: lombada ou de crista, encontrando-se estas sempre abaixo das tangentes.
Fig.32 Curva de Concordância Vertical Parabólica
A parábola representada na figura 32 é uma curva que obedece à seguinte equação:
onde:
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f = afastamento vertical de um ponto genérico da parábola em relação ao greide h = afastamento vertical máximo da parábola em relação ao greide.
t = distância horizontal correspondente ao afastamento de EV.
t’ = distância horizontal correspondente ao afastamento “f”. Pelos triângulos EIEVS e EIEFP podemos deduzir:
Do triângulo EVEFP temos:
considerando-se que:
diferença algébrica dos greides temos:
da equação (1) obtemos que:
ou substituindo a equação (2) na (3) temos:
Examinando-se a equação (3) e sabendo-se que os valores de “h” e “t” são facilmente obtidos uma vez que seja escolhida preliminarmente à distância “L” entre os extremos da parábola, conclui-se que:
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- a obtenção dos elementos que interessam para a locação da curva de concordância vertical, ou seja, “f” e “(t’)”, não apresentam qualquer dificuldade. Exercício Elucidativo Preparar a tabela da Curva vertical simétrica pelo método do arco de parábola sabendo-se que:
r1=5% ; r2= -3% L=200m EV=238+0,00 Estaqueamento de 20 em 20m
cota de EV=234,50m a) Cálculo da Estaca Inicial (EI)
b) Cálculo da Estaca Final (EF)
c) Cálculo da Cota da estação Inicial (EI)
d) Cálculo da Cota da Estação Final (EF)
e) Cálculo do valor de “r”
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f) Cálculo de “h” (o sinal de “h” será (+) por ser a curva convexa)
g) Cálculo de “t”
h) Conhecidos os valores de “t” e “h” e fazendo-se variar os valores de “(t’)”, podemos calcular o valor de “f” (o sinal de “f” será (-) por ser a curva convexa).
O cálculo da Cota sobre a tangente é obtido através de:
O cálculo da Cota sobre a curva é obtido por:
Exercícios Aplicativos 1) Preparar a tabela para a locação de uma Curva Vertical Simétrica pelo método do arco de parábola (Curva de depressão ou côncava):
Rampa Inicial (r1) = -2,7% ; Rampa Final (r2) = +4,2% Comprimento da Curva (L) = 180m em cordas de 10 metros Estaca do vértice (EV) = 321+10,00m Cota do vértice (CotaEv) = 123,780m
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2) Preparar a tabela para a locação de uma Curva Vertical Simétrica pelo método do arco de parábola que apresenta os seguintes dados (Curva de lombada ou convexa):
Comprimento da Curva (L) = 180m com corda de 20 metros Estaca do Vértice (EV) = 56+10,00m Cota do Vértice (CotaEv) = 103,040m Rampa Inicial (r1) = -0,7% ; Rampa Final (r2) = -5,2%
3) Preparar a tabela para a locação de uma Curva Vertical Simétrica que apresente os seguintes dados (Curva de lombada ou convexa):
Rampa Inicial (r1) = +4,8% ; Rampa Final (r2) = -3,3% Comprimento da Curva (L) = 220m em cordas de 20 metros Estaca do Vértice (EV) 745+0,00m Cota do Vértice = 656,340m
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14- LOCAÇÃO DE OBRAS Introdução Os levantamentos para locação de obras podem ser de maior ou menor complexidade, dependendo:
da forma do terreno, da importância da estrutura a ser locada e da amplitude da obra.
Entretanto, quatro tipos de trabalhos topográficos se fazem necessários para a locação de obras: 1) Levantamento preliminar, o qual consiste em um levantamento topográfico da superfície que incluirá a estrutura a ser construída; 2) Levantamento para o projeto o qual consiste na obtenção de dados de detalhamento para a confecção do projeto da obra; 3) Levantamento de controle, o qual consiste em obtenção e confirmação de dados que permitam a locação da obra com grande precisão; 4) Locação da obra, a qual consiste na determinação dos pontos, em campo, que permitirão o início da construção da obra. 14.1- Locação de Túneis Nos levantamentos topográficos para a locação de túneis, os trabalhos a serem efetuados consistem
Na determinação e materialização da direção do eixo nas duas frentes de serviço, bem como a determinação do desnível entre os dois extremos.
Dois sistemas podem ser utilizados para a locação dos eixos de túneis: 14.1.1- Locação de Túneis por Poligonal O sistema de locação de um eixo de túnel por poligonal pode ser aplicado em áreas de pouco relevo. Este processo consiste:
em se efetuar um reconhecimento da área
a locação inicial das estações correspondentes aos dois extremos do túnel,
que deverão estar amarradas a Referências de Nível (RN) e suas coordenadas estabelecidas (Fig.45)
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Conhecidas as coordenadas dos dois extremos do eixo a ser locado, determina-se: O Azimute do alinhamento e a partir deste traça-se a poligonal em campo e vai-se estaqueando o alinhamento em intervalos regulares preestabelecidos. O comprimento dos intervalos de estaqueamento dependerá:
do comprimento do eixo do túnel; e da morfologia do terreno.
Seja locar o eixo AB de um túnel, conforme a Figura 46.
A partir do azimute do alinhamento inicia-se o estaqueamento medindo-se 180º a partir do ponto anterior, obtendo-se assim o prolongamento do alinhamento sobre o qual mede-se à distância “l” pré-determinada, obtendo-se a posição do ponto posterior. Prossegue-se desta maneira até atingir um ponto B’, próximo do ponto “B”, correspondente ao outro extremo do eixo. Pode ocorrer que o ponto B’, demarcado em campo, se encontre deslocado do ponto B correspondente ao extremo oposto do alinhamento do eixo que se quer locar. Para corrigirmos o deslocamento do alinhamento, mede-se à distância BB’, a qual denominaremos de “d” e o ângulo “Z” . Conhecido o comprimento “L”, correspondente ao alinhamento estaqueado em campo, e a distância “l”, entre cada estaca, poderemos determinar:
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as distâncias d’, d”, d”’ e assim sucessivamente através da relação de igualdade de triângulos.
Para a locação do eixo do túnel:
instala-se o teodolito sobre as estacas do alinhamento AB’, orienta-se o limbo em relação ao mesmo e mede-se o ângulo Z.
Conhecidas às distâncias d’, d”, d’” e assim sucessivamente, mede-se as mesmas sobre o terreno e os novos pontos locados serão os correspondentes ao eixo do túnel, sobre a superfície do terreno. Caso seja necessária a implantação de chaminés, poderão ser abertas sobre estes novos pontos locados e que correspondem ao eixo do túnel, conforme apresentado na figura 47.
Após a locação das estacas na superfície do terreno, correspondentes ao eixo do túnel, deverá ser efetuado o nivelamento geométrico de cada uma das mesmas, tomando-se como ponto de partida a altitude de um dos RN utilizado na poligonação. Conhecidas às altitudes dos pontos extremos do eixo, pontos A e B da figura 47, pode-se determinar a diferença de nível (DN) entre os extremos do eixo. Com a diferença de nível (DN) e a distância horizontal(AB) entre os extremos, as quais podem ser determinadas por suas coordenadas, pode-se:
determinar a declividade do túnel.
Conhecida a declividade do túnel e as altitudes das estacas demarcadas sobre o terreno determina-se o comprimento que cada chaminé a ser aberta deverá ter para alcançar o eixo do túnel.
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14.1.2- Locação de Túneis por Triangulação No caso de abertura de túneis em regiões acidentadas, o método de locação mais aconselhado é o da triangulação (Fig. 48). Após o reconhecimento da área e a demarcação dos pontos extremos do eixo a ser locado, determina-se à localização das estações que servirão de apoio à triangulação. Sempre que possível, a rede de triangulação a ser levantada deverá estar amarrada a RN conhecidas. Caso contrario, necessita-se medir uma base inicial e uma base de cheque final para que se possa determinar o azimute do eixo e seu respectivo comprimento, com o auxílio dos ângulos internos da triangulação.
Com os dados da triangulação, calcula-se o comprimento dos lados da mesma, o azimute dos alinhamentos, as coordenadas das estações e finalmente às coordenadas dos extremos do eixo e sua respectiva orientação. Com as coordenadas dos extremos do eixo conhecidas, determina-se o comprimento do mesmo. As coordenadas dos vértices do eixo permitirão, igualmente, o cálculo do azimute direto e inverso, os quais possibilitarão que as escavações possam ser realizadas a partir das duas extremidades. Caso haja possibilidade, o nivelamento do eixo deverá ser efetuado pelo método geométrico. Se este não for possível, utiliza-se o nivelamento trigonométrico pelo método das visadas recíprocas e simultâneas entre as estações da triangulação. Na locação de um eixo de túnel, deve-se ter cuidado para que o erro de nivelamento e alinhamento sejam os menores possíveis e sempre abaixo do erro máximo permitido pelo projeto.
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Exemplos da precisão alcançada em alguns trabalhos de locação de eixo de túneis de grande envergadura:
14.2- Locação de Eixos de Pontes A locação de eixos de pontes é efetuada através do processo da triangulação que pode ser controlado a partir de uma ou duas bases. Quando o vão da ponte for de pequena amplitude, de 200 a 300 metros, a locação do eixo pode ser efetuada:
medindo-se uma base, em uma das margens do rio, com erro relativo menor que 1:20.000. (Fig.49)
Fig.49 Locação do eixo de uma ponte com base próxima a margem
Quando a base não pode ser medida na margem do rio, devemos medir a mesma: Em local mais afastado; Aumentar a triangulação; E a precisão das medidas (Fig.50).
Fig.50 Locação do eixo de ponte com base afastada
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Quando as condições do terreno permitirem a medida de duas bases, uma em cada margem, podemos utilizar o esquema apresentado na figura 51.
Fig.51 Locação de eixo de ponte com duas bases
Às vezes é recomendada a utilização de uma triangulação com ponto de apoio interno, como mostrado na figura 52. Neste caso, o ponto interno está localizado sobre uma ilha
Fig.52 Locação de eixo de ponte com ponto central de apoio
os levantamentos topográficos para a locação de eixos de pontes, como no caso já visto dos túneis, a triangulação deve sempre estar amarrada a RN. Através do comprimento da base medida em campo e dos ângulos internos, a triangulação possibilitará determinar:
as coordenadas de cada estação; e por fim as coordenadas dos extremos da ponte, permitindo assim calcular o vão.
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Na triangulação ao longo de um rio, para a locação de uma ponte, é importante que à distância ao longo da linha central da estrutura, eixo da ponte, seja:
determinada com precisão: e que seja possível se efetuar uma verificação.
A precisão exigida é geralmente de:
1:10.000 para as pontes com vãos compridos. A implantação dos pilares de uma ponte pode ser efetuado como mostra a figura 53. Seja A e B os extremos do eixo de uma ponte. Os pontos P1, P2, P3 ...etc., os pilares que serão locados a partir dos vértices da triangulação, pelo método das interseções.
Fig.53 Locação dos pilares de uma ponte
Cada ponto pode ser determinado:
a partir de ambas as margens ou; utilizando as interseções melhor conformadas; existindo sempre uma condição rígida; os pontos determinados se encontrem todos sobre o mesmo alinhamento, no eixo da ponte.
As primeiras observações destinam-se à implantação dos pilares; entretanto, devemos ter um certo cuidado na precisão estabelecida pelo projeto. Para a implantação dos apoios dos arcos ou das vigas das pontes sobre os pilares já construídos, convém proceder à marcação rigorosa dos pontos. Na implantação dos apoios da ponte (arcos ou vigas) é necessário;
Defini-los planimetricamente; altimetricamente, o que se efetua por nivelamento geométrico.
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Quando há a possibilidade da triangulação se localizar sobre a água, o que acarretará:
a construção de estaqueamento especial para as estações: com lugar separado para o observador.
Exercício Aplicativo Deseja-se locar o eixo de um túnel pelo método da poligonal. Sabe-se, do projeto, que as coordenadas dos extremos do eixo do túnel são:
NA=4.678.365,470m ; EA=460.363,370m; NB=4.681.346,520m ; EB=463.137,470m.
Ao efetuar-se a locação do eixo pelo método da poligonal obteve-se o seguinte valor para o ponto final do eixo “B”:
NB’=4.681.346,214m ; EB’=463.137,631m.
Pede-se qual o valor real do deslocamento entre o ponto final do eixo do túnel dado pelo projeto e o obtido no levantamento de campo?
Qual o valor angular do deslocamento entre a direção do eixo informado no projeto e o levantado em campo?
Qual o comprimento do eixo do túnel, em planta?
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