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TOPOGRAFIA

PARA

ENGENHARIA ELÉTRICA

Eng. Roberto da Costa e Silva

Maio/2009

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Sumário 1 A ATMOSFERA TERRESTRE E AS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS .............. 3 1.1 O SOL E A TERRA ............................................................................................................... 3 1.2 RADIAÇÃO IONIZANTE E ULTRAVIOLETA ............................................................................ 5 1.3 COMPOSIÇÃO DA ATMOSFERA TERRESTRE .......................................................................... 6

1.4 TROPOSFERA ...................................................................................................................... 8 1.5 VARIAÇÃO DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO COM A ALTURA ....................................................... 13 1.6 TROPOSFERA PADRÃO....................................................................................................... 15 1.7 ÍNDICE DE REFRAÇÃO DA IONOSFERA ............................................................................... 15

1.8 CÁLCULO DA CURVATURA DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ........................................... 18 1.9 CÁLCULO DO RAIO EFETIVO DA TERRA ............................................................................. 20 1.10 COMENTÁRIOS .................................................................................................................. 22

1.11 CÁLCULO DAS FREQUÊNCIAS IONOSFÉRICAS .................................................................... 22 1.12 ZONA DE SILÊNCIO ............................................................................................................ 28 1.13 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................... 28

1.13.1Exercícios resolvidos ...................................................................................................... 28 1.13.2Exercícios propostos ....................................................................................................... 31

2 ALPINETRÔNICA ....................................................................................................... 32

2.1 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................... 32

2.2 TOPOGRAFIA BÁSICA ........................................................................................................ 32 2.2.1 FORMA DA TERRA E SUA REPRESENTAÇÃO ........................................................................ 32

2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS .......................................................... 38 2.4 FUSOS HORÁRIOS E PROJEÇÃO UTM ................................................................................ 42 2.5 DISTÂNCIA ORTODOMICA ENTRE DOIS PONTOS ................................................................ 42 2.6 AZIMUTE .......................................................................................................................... 43

2.6.1 Curvas de níveis .............................................................................................................. 43 2.6.2 Cotas de referência .......................................................................................................... 44 2.7 PERFIL TOPOGRÁFICO ....................................................................................................... 44 2.7.1 Reta Interpoladora ........................................................................................................... 47 2.7.2 Reta Media....................................................................................................................... 48

2.7.3 Rugosidade de um perfil ................................................................................................. 49

2.8 INSTRUMENTOS UTILIZADOS ............................................................................................. 52

2.9 EQUAÇÕES BÁSICAS DA TOPOGRAFIA ............................................................................... 53 2.9.1 Cálculo da distância entre dois pontos ............................................................................ 53 2.9.2 Cálculo da diferença de altura entre dois pontos ............................................................. 53 2.9.3 Correção de um Perfil ...................................................................................................... 56 2.9.4 Terra Plana....................................................................................................................... 57

2.9.5 Limite da linha de visada ou Distância do Horizonte .................................................... 57 2.9.6 Aproximação da inclinação de torres em perfis .............................................................. 58 2.10 TERRA PLANA EQUIVALENTE .......................................................................................... 59 2.11 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................... 61 2.11.1Exercícios resolvidos ...................................................................................................... 61

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2.11.2Exercícios propostos ....................................................................................................... 61

1 A atmosfera terrestre e as ondas eletromagnéticas

1.1 O Sol e a Terra

O Sol é a fonte de vida de nosso planeta e está situado á 1,409 * 108 km da Terra, tendo uma massa de 1,989 *1030 kg, e raio de 6,96*108 metros. O Sol é uma esfera de gás incandescente, em cujo núcleo através de reações termo-nucleares ( quatro prótons são fundidos em um núcleo de Helio, com liberação de energia) é produzida a energia que o mesmo irradia. Sua composição é basicamente de Hidrogênio e Hélio. A potência do Sol que atinge a Terra é de 1367.5 W/m2 com oscilações de 0.3% deste valor. Basicamente esta energia se situa entre 0.2 e 2 µm de comprimento de onda, compreendendo as faixas de ultra-violeta, visível e infra-vermelho. Alem desta energia a Terra é atingida pelo vento solar que é formado por prótons (7 prótons/cm3), viajando a uma velocidade de 400 km/s. Alem deste vento solar a Terra é atingida de tempos em tempos por ejeções de massa emitidas pelo Sol que prejudicam bastante as comunicações de radio atualmente em operações no planeta. As últimas grandes emissões do Sol ocorreram nos anos de 1989, 1994 e 2001. Nosso planeta tem massa de 5,97*1024 kg e levou 4,6 bilhões de ano até chegar ao ano de 2009, na sua forma atual. O raio da Terra mede 6370 km. A Terra gira ao redor do Sol, descrevendo uma elipse com o Sol em um dos focos, em 365 dias e 6 horas e o faz a uma velocidade de 30 km/s, sendo este seu movimento de translação. Alem disto a Terra gira em torno de si mesma a cada 23 horas e 56 minutos, sendo este seu movimento de rotação. A aceleração da gravidade vale 9,8 m/s2. A velocidade de escape de qualquer objeto para vencer sua gravidade é de 11,2 km/s, velocidade esta conhecida como velocidade de escape. O ano bissexto ocorre a cada 4 anos e serve para compensar a diferença de 6 horas a mais no seu movimento de translação. A causa das estações do ano e o fato de serem diferentes em cada hemisfério, não está relacionado a sua distância ao Sol e sim ao fato da Terra da circundar o Sol com seu eixo inclinado de 23,50 em relação ao plano do equador celeste. O plano do equador celeste é um plano que passa pelo centro da esfera celeste, a qual pode ser entendida como uma esfera que envolve a Terra e na qual todos os outros astros estão situados. Esta esfera pode ser percebida contemplando-se o céu á noite. No dia 21/12 inicia-se o Verão no hemisfério Sul e a Terra esta a uma distancia do Sol de 1,522*108 km. No dia 21/06 inicia-se o Inverno no hemisfério Sul e a Terra está a 1,472*108 km do Sol. Como se pode ver o movimento elíptico da Terra ao redor do sol é praticamente circular, comprovando que as estações são devidas a inclinação da Terra e não ao seu afastamento do Sol. As figuras a seguir mostram o movimento inclinado de translação da Terra (Figuras 1.1, 1.2 e 1.3) ao redor do Sol, responsável pelas estações do ano.

4

Figura 1.1

Figura 1.2

Figura 1.3

A palavra Equinócio significa o momento em que a duração do dia é igual á duração da noite, e a palavra Solstício o momento em que o Sol parece estar estacionário sobre a Terra. A Terra gira no sentido oeste para leste, fazendo com que o movimento aparente dos astros seja visto como sendo de leste para oeste. O Sol nasce no leste e morre no oeste, este é o movimento aparente do Sol, já que é a Terra que se move ao seu redor, rodando no sentido oposto. A figura 1.4 mostra este movimento.

5

Figura 1.4

1.2 Radiação ionizante e ultravioleta

Os comprimentos de onda desta faixa dizem respeito à radiação ultravioleta que é a radiação ionizante responsável pelas queimaduras provenientes dos raios solares. O Sol na estratosfera (altura entre 16 e 50 km) fornece cerca de 1350W/m2 que é a densidade de potência de radiação. Esta radiação está distribuída em função dos componentes de freqüência que a constituem, conforme tabela 1.1

Radiação Porcentagem

Infravermelho (IF) 51,2

Visível 40,1

Ultravioleta (UV) 8,7

Tabela 1.1: Porcentagem da radiação emitida pelo Sol.

Desta energia, 95% está entre 0,3 e 2,6 m e 0,02% tem comprimentos de ondas

menores que 0,25 m e 1% tem comprimentos de ondas maiores que 4 m. Isto significa que apenas 10W da energia do Sol estão na faixa de freqüências abaixo do infravermelho, na faixa utilizada para os serviços de telecomunicações. O Sol fornece 5,45·1024 Joules por ano ou 1,5·1018 Kwh por ano de energia. A energia que foi produzida na Terra em 1970 pelo homem foi menor que 0,004% da energia fornecida pelo Sol, em um ano. Parte desta potência é absorvida na estratosfera e atmosfera e atingem a Terra com a potência dada pela tabela 1.2

Situação do Sol Energia (W) UV Visível IF

Pico 1000 a 800 4,5% 46,5% 49%

Nascente ou Poente 300 a 60 0,1% 34,7% 65,2%

Tabela 1.2: Energia do Sol e percentagem com freqüência. Os valores apresentados variam de acordo com as condições do dia que afetam a absorção da radiação na atmosfera, influenciando assim os valores que efetivamente chegam na superfície. Como se pode observar a situação de Sol à pino é a que apresenta o maior valor da radiação ultravioleta cuja freqüência está bastante perto da radiação ionizante. Este fato explica a maior incidência de câncer

6

de pele em pessoas que tomam bastante Sol. Esta é a faixa diretamente relacionada com o câncer de pele.

1.3 Composição da atmosfera terrestre

A figura1 mostra as camadas existentes sobre a superfície do globo terrestre. A atmosfera é composta, basicamente de nitrogênio (78%), oxigênio (21%), argônio (0,93%) e vapor d'água, que diminui rapidamente com o aumento da altura. Basicamente, esta mistura de gases está contida numa região que vai até 16 Km, chamada de troposfera, que contém 80% da massa desses elementos. A atmosfera terrestre é basicamente transparente à luz solar, que a atravessa com baixa perda.

Dos 1350 W/m2 que chegam do espaço, aproximadamente 1000 W/m2 atingem a Terra e são então reirradiados sob a forma de luz infravermelha. Na troposfera, a temperatura diminui com a altura.

Figura 2.1

A região compreendida entre 16 e 50 Km de altura é chamada de estratosfera, e, nesta camada, temos um aumento de temperatura com a altura. Isto se dá pois, nesta região a emissão ultravioleta do sol é absorvida pelo ozônio, que foi formado pelo oxigênio com absorção de radiações ultravioleta pelas seguintes equações.

O2 + h.uv → O + O

O2 + O + choque das particulas → O3

O3 + huv → elevação da temperatura → O2 + O

uv frequência de emissão ultravioleta

H constante de Planck Parte do oxigênio existente submetido a radiação ultra violeta se dissocia em dois átomos de oxigênio. Estes átomos de oxigênio, ao colidirem com as moléculas de oxigênio vão produzir ozônio. Este ozônio submetido a radiação ultra violeta se dissocia em uma molécula de oxigênio e um átomo do mesmo elemento. Esta transformação faz com que a temperatura desta região aumente, pois a radiação

80% da massa

troposfera

estratosfera ionosfera

atmosfera

filtro 16km 50 km

7

ultravioleta é praticamente consumida neste processo. Assim a camada de ozônio funciona como um filtro da radiação ultravioleta. Também nesta região temos a dissociação do nitrogênio através da equação:

N2 + huv → N + N

A estratosfera atua como um filtro de radiação ultravioleta. A partir de 50 Km, começa o que chamamos de ionosfera, isto é, a atmosfera passa a conter, além de eletrons livres também os íons, que são provenientes da ação da radiação solar

sobre os componentes da atmosfera. Os principais íons encontrados são NO- e

O2+.

Assim em virtude da densidade de elétrons, a ionosfera é dividida em três camadas: A camada D vai de 50 a 100 Km e apresenta uma densidade máxima de 1000

elétrons/cm3. A camada E vai de 100 a 130 Km e apresenta 100.000 elétrons/cm3 ,

e a camada F vai de 130 a 1000 Km, apresentando 10.000.000 elétrons/cm3 . A densidade destas camadas variam com o tempo, e, normalmente à noite a camada D desaparece. Nestas camadas, a frequência de colisão dos elétrons e moléculas é da ordem de 10 MHz para a camada D, 1KHz para a camada E e 1 Hz para a camada F. A tabela III mostra estes valores. A Terra apresenta também um campo magnético próprio que varia de 0,2 gauss, do equador até 0,6 gauss nos Pólos. Sobreposto a este campo fixo, temos um campo variável da ordem de 0,0005 Gauss, que aparece devido aos cinturões de radiação que envolvem a Terra (compostos de elétrons e prótons). Estes cinturões de radiação são bastante influenciados pelas emissões solares e pela força gravitacional da Lua. O campo magnético da Terra encontra-se deslocado do norte geográfico, sendo esta diferença variável com a posição no globo terrestre, e varia anualmente. Esta diferença é denominada de Declinação Magnética e seu valor consta das cartas geográficas bem como sua variação anual. Desta forma podemos ter um deslocamento tanto para a esquerda quanto para a direita do norte magnético em relação ao norte geográfico. Para o Brasil podemos aproximar esta diferença por

volta de 20o para a esquerda, lembrando-se sempre que este valor será alterado com o passar dos anos.

Figura 2 As figuras das páginas 7, 8 e 9 mostram a variação da temperatura com a altura e a densidade de elétrons das camadas da ionosfera, bem como sua densidade molecular e frequência de colisão. A ionização das camadas da atmosfera irá afetar as ondas de rádio. Isto se verifica, pois o campo elétrico provocado por estas ondas vai aumentar a frequência de colisão entre moléculas e íons, retirando energia das ondas de rádio de baixa frequencia. Assim, a ionização atenua as baixas frequências das ondas de rádio. Em vista disso, a atmosfera irá refletir ondas de baixa frequência (até da ordem de 30 MHz na prática).

NM NG

200

8

1.4 Troposfera Chama-se troposfera à região que envolve a Terra onde está contido 80% do ar que respiramos. Esta camada tem altura variável de 10 Km, nos pólos, a 18 Km na linha do Equador. Basicamente é composta de ar seco e vapor d'água. O ar seco é composto dos seguintes elementos:

Nitrogênio (78%) Oxigênio (21%) Argônio (0,93%) Óxido Carbônico (0,03%) Neônio (0,0018%) Hélio (0,00052%) Hidrogênio (0,000051%)

A percentagem dos elementos que constituem o ar seco praticamente não variam com a altura; o mesmo não se pode dizer do vapor d'água, que rapidamente diminui com a altura.

Este ar seco apresenta um número de 2,7x1019 moléculas/cm3 constituindo-se assim, um meio bastante transparente aos raios de sol. Desta maneira, a troposfera praticamente não absorve a energia do sol. Esta energia atinge a Terra, onde parte é absorvida e parte é irradiada, fazendo então que a temperatura da troposfera

diminua com a altura. Esta diminuição é da ordem de 0,55 oC/100m. A pressão do ar seco também diminui com a altura, sendo da ordem de 1014 mb no nível do mar, a 5 Km é da ordem de 500 mb, a 11 Km é da ordem de 225 mb e a 18 Km da ordem de 90 mb. O vapor d'água existente na troposfera é proveniente da evaporação da água dos oceanos, lagos e rios. Ele rapidamente decresce com a altura, e a sua concentração é maior sobre as massas de água. À 1,5 Km de altura, a quantidade de vapor d'água é metade da existente no nível do mar, e, a 18 Km de altura, é da ordem de alguns milésimos. Sabemos da Física, que:

es p

s=

−( , . )623 0 38 ( I.1) ou e

E r=

100 (I.2)

e que a pressão varia com a altura pela seguinte fórmula:

p p eo

hH=

−

e Hk T

m g=

Onde:

p Pressão da troposfera (mb)

T Temperatura da troposfera (oK)

e Umidade absoluta da troposfera (mb)

s Umidade específica da troposfera (massa do vapor de água em gramas contidas num quilograma de ar seco)

r Umidade relativa (expresso em percentagem). Representa a percentagem de vapor d'água na atmosfera para que haja precipitação (chuva). Com r = 100%, temos uma atmosfera com chuva, com r = 0% temos uma atmosfera completamente sem vapor d'água.

K Constante de Boltzman

9

po Pressão ao nível do mar em mb

E Pressão do vapor d'água em mb que satura o ar seco a uma certa temperatura

m Massa molecular média da troposfera

g Aceleração da gravidade A tabela I a seguir nos fornece a pressão do vapor d'água que satura o ar em função da temperatura. Existindo saturação haverá chuva.

T (oC) E (mb)

0 6,0

5 8,5

10 11,8

15 17,0

20 23,0

25 31,5

30 42,0

35 56,0

40 72,0

44 90,0

Tabela I Como a quantidade de vapor d'água diminui com a altura, a tabela II a seguir nos mostra a variação da umidade absoluta com a altura.

h (Km) eh/eo

0,0 1,000

0,5 0,800

1,0 0,700

1,5 0,500

2,0 0,200

18,0 0,001

Tabela II

eo Umidade absoluta ao nível do mar

eh Umidade abasoluta a altura "h"

Sabemos também da física que o índice de refração (n) de um certo elemento é dado por:

n = c/v = ( rr )1/2 ( I.3)

10

c Velocidade da luz do vácuo

v Velocidade da luz no elemento

r Permissividade elétrica relativa

r Permeabilidade magnética relativa

Como a troposfera não é constituída de elementos magnéticos, r =1. Assim,

n r= 12 .

Como r é função do material que compõem a substância, da temperatura e da

pressão a que a substância esta submetida, podemos esperar que o índice de refração da troposfera varie com a altura. Os gráficos a seguir ilustram a variação da temperatura, pressão, densidade de elétrons, densidade de massa e frequência de colisão com a altura.

GRÁFICO 0 : DENSIDADE DE ELETRON X ALTURA

100 101 102 103 104 105 106 107 eletron/cm3

600

500

400

300

200

100

0

noite dia

região F

região E

região D região E

11

12

13

1.5 Variação do índice de refração com a altura Já sabemos que a troposfera é composta de uma mistura de gases com vapor d'água e que possui baixa densidade. Desta maneira é de se esperar que o índice de refração seja muito próximo da unidade. Para facilitar nosso estudo, vamos definir N como sendo o índice de refração excedido, da seguinte maneira.

N = (n - 1)106 Da física, sabemos que o índice de refração de um gás é dado por:

n = 1 + . (A + B/T)

Densidade do gás em Kg/m

T Temperatura do gás em graus Kelvin.

A e B Constantes do gás, sendo "A" proveniente da polarização das moléculas do gás devido a um campo externo e "B" devido ao momento permanente de dipolo das moléculas do gás.

Como,

610

=

T

Cp

Onde:

C Fator de proporcionalidade

p Pressão do gás

T Temperatura do gás

Assim, podemos escrever:

N = Cp (A + B/T) / T Numa mistura, o índice de refração da mesma é a soma dos índices de refração que compõem a mistura. desta maneira:

Ntroposfera = Nar seco + Nvapor d'água

Os elementos que compõem o ar seco, não possuem dipolo de momento permanente, assim B = O, mas o vapor d'água possui dipolo de momento permanente. Desta maneira:

)( T

BA

T

eC

T

pACN VH

VHASAS +

+

=

Onde o índice AS é para ar seco e o índice VH para o vapor d'água.

As medidas revelaram que AAS AVH . Assim,

).

. (

VH

VHAS

AS

AT

eBep

T

ACN ++

=

Onde:

pAS Pressão parcial; do ar seco

e Pressão parcial do vapor d'água

14

pAS + e = p Pressão atmosférica total

Foram medidas também as seguintes constantes:

CAAS 77,6 o/mb e BVH/AVH 4810

Assim temos:

) .4810

( 6,77

T

ep

TN += (I.4)

p Pressão atmosférica (mb) = pAS + e

T temperatura da atmosfera (oK)

e Umidade absoluta da atmosfera (mb) Experiências mostram que em virtude de p, e, T serem variáveis com a altura e sabendo-se que "p" varia exponencialmente com a altura, enquanto que "e" varia

ainda mais drasticamente. A temperatura apresenta valores da ordem de 290 oK ao

nível do mar e 283 oK em torno de 2 Km de altura. Estas variações fazem com que o valor de "N" fique da ordem de 320 ao nível do mar, e seu gradiente valha:

dN

dh − −4 45 10 2, / m

Como o índice de refração diminui com a altura (ver gráficos I e II) significa que a velocidade das ondas eletromagnéticas aumentam com a altura (pois v = c/n) e este fato indica que as ondas eletromagnéticas se curvam ao se propagarem. A figura 3 demonstra esta curvatura das ondas.

onda de rádio refratada na troposfera

superfície da terra

Figura 3 O índice de refração pode variar de lugar para lugar e alem disto pode variar diariamente e ao longo do ano, sendo sua determinação um fator importante no projeto de um sistema de radio comunicação. A presença do vapor de água provocará atenuação no sinal eletromagnético e é relevante para freqüências acima de 5 Ghz. A chuva terá um maior efeito nesta atenuação e se torna um fator determinante para freqüências acima de 10 Ghz. O gráfico V a seguir mostra uma distribuição do índice de refração excedido no globo terrestre.

15

Gráfico V: Índice de refração excedido no globo terrestre

1.6 Troposfera padrão Como vimos, a composição da troposfera é variável com a altura e com a posição ao longo da Terra. Para facilitar o estudo da mesma por diversos pesquisadores, resolveu-se, em 1925, criar uma troposfera padrão. Esta troposfera teria as seguintes características:

p = 1013 mb (ao nível do mar)

T = 15oC (ao nível do mar) r = 50% (ao nível do mar) dp/dH= -12mb/100m

dT/dH= -0,55oC/100m

dr/dH = 0

dN/dH = -4,0x10-2 m-1

altura máxima: 11 km e = 10,2 mb s = 6,25 g/Kg N = 319 n = 1,000319 a = 6370 Km (raio da Terra) dn

dh a= −

1

4

1.7 Índice de refração da ionosfera Pelo que acabamos de mostrar, verifica-se que a troposfera e a estratosfera podem ser consideradas isolantes com índices de refração dados por

16

) 4810 ( 10

6,771

6 T

ep

Tn +

+= (I.5)

p Pressão atmosférica (mb)

e Umidade absoluta da atmosfera (mb)

T Temperatura em oK Mas a ionosfera (como é composta basicamente por elétrons livres), deverá funcionar como um condutor. As constantes elétricas da ionosfera podem ser calculadas por (considerando a mesma como um plasma, ou seja formada basicamente, por elétrons livres e íons):

)(e

)(1

22

2

22

2

+

=

+

−=

c

ce

co

er

m

eN

m

eN (I.6)

Onde:

)(

31901

)(1

2222

2

+

−=

+

−==

cco

e

o

ir

N

m

eN (I.7)

)(1082,2

).( 22

8

22

2

+

+

= −

c

c

c

ce N

m

eN (I.8)

Para >> c ,

2

8,801

f

Nr

− (I.9)

onde devemos usar N em íons/cm3 e f em KHz.

2

81082,2

cN

= − (I.10)

onde devemos usar N em íons/m3, em S/m e f e fc em Hz.

Para << c ,

r −

1 2

3190 N (I.11)

c

N

81082,2 −= (I.12)

onde devemos usar N em íons/m3 e fc em Hz.

D E F

N (elétrons/cm3) 1000 100000 107

Fc 10 MHz 1 KHz 1 Hz

Tabela III

Condutividade da ionosfera

ee Carga do elétron (1,6x10-19 C)

m Massa do elétron (9x10-31 Kg)

c Frequência de colisão dos elétrons = 2fc

Frequência de radiação = 2f

N Densidade de elétrons

o Permissividade elétrica do vácuo

17

r Permissividade relativa da ionosfera

O valor de "r" negativo significa que a onda não pode penetrar no plasma, ou seja,

a mesma sofre reflexão total e não consegue existir dentro do mesmo.

Convém notar que, para baixas alturas da atmosfera, temos N 0, e assim:

r 1 e 0

E portanto a baixa ionosfera se comporta como isolante, independente da frequência. Para grandes alturas e frequências maiores que a frequência de colisão, teremos novamente:

r 1 e 0

Assim a alta ionosfera, comporta-se novamente como isolante. É fácil de ver que a ionosfera irá funcionar como um condutor apenas para frequências menores que a frequência de colisão e para alturas que vão de 50 a 350 Km, aproximadamente. Assim, em princípio a ionosfera deverá refletir as ondas eletromagnéticas até a ordem de 10 MHz. comportando-se como um isolante para frequências maiores. Mais adiante veremos que a ionosfera refletirá ondas de até 30 MHz. O coeficiente de reflexão pode ser calculado pelas fórmulas clássicas da teoria

eletromagnética, substituindo-se nas mesmas as expressões já mostradas para r e

da ionosfera. Assim,

) (sin)() cos()(

) (sin)() cos()(

2

2

−+++

−+−+=

oo

oo

jrjr

jrjr

VR (I.13)

) (sin)() cos(

) (sin)() cos(

2

2

−++

−+−=

o

o

jr

jr

HR (I.14)

Onde:

RV Coeficiente de reflexão para polarização vertical

RH Coeficiente de reflexão para polarização horizontal

O ângulo de incidência ( ) é mostrado na figura a seguir: O ponto de reflexão situa-se acima de 50 Km.

Figura 4

Na prática, costumamos trabalhar com o ângulo mostrado na figura 4 acima.

Como os ângulos e são complementares, nas expressões de RV e RH , basta

troposfera

estratosfera 16 km

ionosfera 50 km

Ψ

θ θ

18

substituir sen por cos e cos por sen e obteremos as expressões para RV e

RH em função do ângulo :

)(cos)()sin()(

)(cos)()sin()(

2

2

−+++

−+−+=

oo

oo

jrjr

jrjr

VR (I.15)

)(cos)()sin(

)(cos)()sin(

2

2

−++

−+−=

o

o

jr

jr

HR (I.16)

1.8 Cálculo da curvatura das ondas eletromagnéticas Vamos considerar a troposfera formada por diversas camadas superpostas com índices de refração variáveis de um infinitésimo dn de uma camada para outra. Vamos examinar o que acontece com uma onda eletromagnética ao atravessar uma estas camadas. A figura 5 exemplifica duas destas camadas consecutivas, sendo uma com índice de refração n e a outra n+dn.

dh

B

A

90

90

n

n+dn

R

R

o

o

1

2

+ d

X

C

+ d

Figura 5

Nesta figura, XA é uma onda propagando-se na camada n e AB é a mesma onda propagando-se na camada n+dn. A mudança de direção é devida a refração que a onda sofre ao passar de uma camada a outra. Sejam R1 e R2 perpendiculares as frentes de ondas XA e AB.

R1 ⊥ XA e R2 ⊥ AB . Note-se que:

R1 e R2 vão se encontrar formando um ângulo d. Das figuras acima pode-

se deduzir:

= 180o - [( + d) +(90o - )]

+ 90o + d = 180o O raio da curvatura vale:

19

R = AB/d (ângulo = arco/raio) ( I.17) Do triângulo CAB, tiramos:

)cos()cos(

dh

d

dhAB

+=

Logo:

)cos( =

d

dhR

A lei da refração nos afirma:

)sin()()sin( ddnnn ++= (I.18)

Manipulando os termos de (28), desprezando os infinitésimos da segunda ordem e

lembrando que sen d d, obtemos (29).

n

dnd

)sin()cos(

−=

Assim,

)sin()( −=

dhdn

nR

Na prática 90o , pois as ondas viajam praticamente paralelas à superfície da Terra, logo:

sin 1 e como o índice de refração é próximo da unidade podemos considerar

n1. Assim

1) ( −−=dh

dnR ( I.19) Como:

N = (n -1)x106

dhdN

R610

−=→ (I.20)

Considerando dN

dh= − −4 10 2 resulta R = 25.000 Km.

Assim, as ondas eletromagnéticas possuem uma curvatura menos acentuada que a curvatura da Terra (a = 6370 Km). A figura 6 mostra a curvatura da onda eletromagnética dando origem ao horizonte ótico e ao horizonte virtual.

20

Figura 6

1.9 Cálculo do raio efetivo da terra Com a finalidade de facilitar nosso estudo, vamos procurar uma expressão para um raio de curvatura imaginário da Terra de modo a podermos considerar como reto o percurso das ondas eletromagnéticas, isto é, vamos transferir para a curvatura da Terra o efeito da curvatura das ondas eletromagnéticas: Consideramos, então as figuras 7a e 7b abaixo que retratam a condição real e a fictícia que procuramos.

Figura 7ª

21

Figura 7b

a Raio da terra

R Raio de curvatura de onda eletromagnética

a' = ka Raio efetivo da terra Para que as figuras 4.a e 4.b expressem a mesma situação, faz-se necessário que ambas tenham a mesma curvatura, ou seja:

−

=−

1111

aRa (I.21)

Desta equação tiramos:

aka

aR

a=

−=

1 (I.22)

Mas, já vimos que:

dhdN

dhdn

R6101

−=−=

logo:

)(1

1

Ra

k−

= (I.23)

onde a' = ka representa o raio efetivo da terra, e "k" é o coeficiente entre o raio efetivo da Terra e o raio verdadeiro. O mesmo expressa o fato das ondas eletromagnéticas serem curvas. Este fator "k" vai depender do índice de refração da atmosfera e portanto será função da temperatura, da pressão, e da umidade relativa. Desta maneira o "k" sofrerá variações diárias e/ou anuais, dependendo do lugar da Terra onde estejamos. A tabela IV a seguir mostra os valores do "k" e de "R" para diversos valores de dN/dh.

22

k R dN/dh

A - 0,15 (terra plana)

1,33 4ª - 3,9x10-2

1,1 11ª - 1,4x10-2

1 0 (constante) Atmosfera não varia

2,8/3 - 14a + 1,12x10-2

2/3 - 2ª + 7.8x10-2

1/3 - 0.5a + 2.14x10-2

0,1 -0,11a + 1,43

Tabela IV

Publicações internacionais mostram os seguintes valores para N:

N = N1Km - No = − 7 32 0 005577, ,e No (USA)

N = N1Km - No = − 9 30 0 004565, ,e No (ALEMANHA)

N = N1Km - No = − 3 95 0 0072, ,e No (INGLATERRA)

N1Km Valor de N à 1 Km

No Valor de N ao nível do mar

Para á atmosfera padrão: dn

dh a= −

1

4

1.10 Comentários As medidas realizadas para os diversos parâmetros descritos no item 3 foram realizadas para ondas eletromagnéticas na faixa de SHF/UHF/VHF. Assim estas medidas revelaram um valor de "k" variavel de 1,33 á 0,67. Estas mesmas medidas realizadas na frequência da luz revelaram um valor de "k" de 1,18. Assim, para a atmosfera padrão, podemos assumir:

k = 4/3 = 1,33 (para as ondas de rádio) k = 1,18 (para a luz)

O gradiente do índice de refração vale:

dN/dh = - 4,010-2 para as ondas de rádio

dN/dh = -2,3510-2 para a luz

1.11 Cálculo das frequências ionosféricas

Como vimos no item 1.5 para > c , a ionosfera pode novamente ser

considerada um dielétrico, vamos então calcular a máxima freqüência, w, em que a ionosfera pode ser considerada um condutor e assim fazer refletir a onda eletromagnética de volta à Terra. Considere a figura 8 a seguir, que mostra a trajetória de uma onda eletromagnética passando da estratosfera para a ionosfera, sofrendo refração:

23

Figura 8

Pela lei de FRESNELL:

ni sin(i) = nsin()

Como ni 1, então:

n

i )sin() sin(

=

Para >> c

r

co

r nf

N

m

eN

=

−

+

−= mas,

811

)(1

222

2

Logo:

2

811

f

Nn

−= (I.24)

O limite de refração é dado quando = 90o , assim, n = sin(i) então

podemos fazer:

)(cos1)sin(811 2

2 iif

N −==−

)(sec81)(cos

81 2

2

2

i

i

NN

f

=

=

Para i = 0o teremos )sec( e 9 ioo ffNf == (I.25)

Para N = 107 íons/cm3 = 1013 íons/m3 teremos: fo = 28,5 MHz que é máxima frequência que pode refletir na ionosfera

verticalmente. Assim, se transmitirmos verticalmente e desejarmos manter comunicação com um satélite teremos que ter um frequência maior que 28,5 MHz. A frequência máxima utilizável (MUF) é dada de acordo com o ângulo de incidência por:

)cos()sec(

i

oioMUF

fff

==

)cos(

9

i

MUF

Nf

= (I.26)

Onde:

f dado em KHz

N dado em íons/cm3

θi

θ “n”

“ni”

24

Vale a pena ressaltar que teremos uma frequência MUF para cada camada. Além do mais, não devemos usar frequências muito abaixo da frequência MUF, pois assim teremos perdas devido ao efeito condutor da ionosfera, pois quanto menor f, mais perdas no meio teremos. É usual adotar-se como frequência de operação "f"

0,8 f MUF f fMUF ( I.27)

A medida que formos subindo, o índice de refração "n" vai diminuindo, e vamos

achar o maior valor de "n" que faça = 90. Como "n" é inversamente proporcional a

"f", vamos achar um fo que forneça = 90. Podemos também entender que dado,

uma

certa frequência a mesma penetra no plasma até que "r" do mesmo se anule, já

que "r" negativo significa que a onda sofre reflexão total.

Para f >> fo, teríamos valores de "n" maiores, onde não ocorrerá mais reflexão.

É conveniente notar que, devido à esfericidade da terra, teremos um ângulo i

máximo utilizável dado por:

Figura 9

i

R

R h

R

dmax arcsin( ) arctan( )=

+= (I.28)

Para:

h 300 Km, R 6370 Km Assim,

imax = 73o e (MUF)max = 3,6fo

Existem tabelas que fornecem as frequências MUF para todas as regiões do globo e em função das estações do ano. A seguir encontram-se exemplos de curvas MUF, nos gráficos VI e VII. A curva "MUF 0", representa transmissor e receptor colocados juntos ou seja distantes 0 Km, um do outro. A curva "MUF 4000" representa transmissor e receptor separados de 4.000 Km. Convém ressaltar que a onda eletromagnética, ao penetrar na ionosfera, vai sofrendo refração a medida que sobe e, cada vez mais, o ângulo vai aumentando (a densidade de elétrons N, aumenta com a altura). Quando a onda encontra uma

certa densidade de elétrons, tal que o ângulo de refração seja igual a 90o, ela não consegue mais penetrar pois irá encontrar acima valores maiores de N, e assim a

ionosfera

h d

900

R

θi

25

onda é refletida retornando a Terra, isto evidentemente vale para frequências maiores que a frequência de colisão. Na prática, usa-se uma altura virtual de reflexão que seria a altura de reflexão se a propagação fosse retilínea, e não curvando-se paulatinamente à medida que sobe,

até atingir = 90 , quando então a onda retorna para a Terra. O gráfico VIII mostra estas alturas virtuais em função do ângulo de radiação Φ. Em face do ângulo θMax ser de 730 é que a maxima distância que se consegue atingir é de cerca de 3700km. Para distância maiores deve-se usar duas reflexões na ionosfera e uma reflexão na superfície da Terra. A figura 9 ilustra a obtenção do ângulo θMax.

26

Gráfico VIII: Ângulo Φ

27

28

1.12 Zona de silêncio Define-se por zona de silêncio a região próxima do transmissor onde não podemos receber o sinal devido à reflexão ionosfera. A figura 11 mostra esta zona.

Figura 11

1.13 Exercícios Para entendimento do que foi apresentado, serão resolvidos alguns exercícios e outros serão deixados para resolução pelo leitor.

1.13.1 Exercícios resolvidos a) Calcular a variação do índice de refração entre dois pontos, estando o primeiro

situado ao nível do mar, a 20oC e umidade relativa 60% e o segundo situado em um morro com 1 Km de altura. Supor atmosfera padrão.

Solução:

NT

pe

Te

E r= + =

77 64810

100

,( ) ,

Ponto 1 (nível do mar): r = 60 %, t = 20oC, da tabela I tira-se E = 23 mb. A pressão

ao nível do mar vale: p = 1013 mb, h1 = 0 m. Calcula-se: e = 2360/100 = 13,8 mb, e

T = 20 + 273 = 293oK Substituindo os valores de e, T e p na equação acima, obtemos: N1 = 328,289

Ponto 2 ( a 1 Km de altura). Para a atmosfera padrão temos:

t/dh = -0,55oC/100m, dp/dh = -12mb/100m.

T = 20 - 0,55x10 = 14,5oC → T = 14,5 + 273 = 287,5

Interpolando o valor da temperature na TabelaI tira-se: E=16.1 mb p = 1013 - 12x10 = 893 mb e = 16,1x60/100 = 9,66 mb Substituindo os valores de e, T e p, obtemos: N2 = 284,655

dN/dh = N/h = (N2 -N1)/(h2-h1) → dN/dh = -46,634x10-3 /m

b) Calcule o coeficiente de reflexão para um onda vertical saindo do solo com um

ângulo de 70o, na frequência de 100 KHz para uma altura de 60 Km.

Solução:

r = 0,9996, = 0,45x10-6 ,φ = 70o, = 2f = 628318,5 rd/s

Substituindo os valores de r , , φ e na equação de RV, obtemos: RV 1

zona de silêncio

ionosfera

29

c) Calcule a MUF e a FOT para uma comunicação em SSB entre as localidades de Salvador - Barreiras e Salvador - Senhor do Bonfim, na Bahia, supondo reflexão nas camadas "F" e "E".

Solução: Dos mapas retiramos:

LAT (S) LON (W)

Salvador 13o 38º 30'

Barreiras 12o15' 45º 00'

Senhor do Bonfim 10o30' 40º 10'

Supondo reflexão nas camadas "F" e "E" teremos:

Camada Altura de reflexão Densidade de eletrons

F 300 Km 2.106 eletrons/cm3

E 110 Km 105 eletrons/cm3

Devemos expressar as coordenadas em graus. c.1) Salvador - Barreiras

Salvador LAT (S) = 13

LON(W) = 38,5

Barreiras LAT(S) = 12,25

LON(W) = 45

30

Km) (110 MHz 7,4 = 8,75 . 0,85 = FOT

Km) (300 MHz 16,5 = 19,4 . 0,85 = FOT

MHz 8,75 = 71 2,85/cos = Km) (110 MUF

MHz 19,4 = 912,73/cos4 = Km) (300 MUF

MHz 2,85 =f Km 110

MHz 12,73 = f Km 300

N9 =

16 71 - 3,2 -90 = Km) (110

38 49 - 3,2 -90 = Km) (300

Km) 110=(h 71 = (2,96) tan = 2,96 = 120,19

355,4

Km) 300=(h 49 = (1,15) tan= 1,15 = 310,2

355,4 =

0,9984)-(1 6370+300

0,0558 . 6370

0,9984 = 3,2 cos 0,0558 = 3,2sen

3,2 = rad 10 . 5.59 = 2.6370

712 =

Km 712 = 6,4 111,12 =

6,4 = (0,9937) cos arc

0,9937 = )(6,5 cos )(13 cos )(-12,25 cos + )(-13sen )(-12,25sen

o

o

1-

1-

2-

→

→

→

→

of

d

d

c.2) Salvador - Sr. do Bonfim

Salvador LAT (S) = 13

LON(W) = 38,5

Sr. do Bonfim LAT(S) = 10,5

LON(W) = 40,17

31

d

f o

= 111,12 . arc cos (0,9986) = 111,12 . 3,03 = 337 Km

= 337

2.6370 = 0,027 rad = 1,5

sen 1,5 = 2,7.10 , cos 1,5 = 0,9999999

2,7.10 6370 = 167

= tan (167

300) = 29 (h = 300 Km)

= tan (167

110) = 56 (h = 110 Km)

(300 Km) = 90 - 1,5 - 29 59,5

(110 Km) = 90 - 1,5 - 56 32

= 9 N

300 Km f = 12,73 MHz

110 Km f = 2,85 MHz

MUF (300 Km) = 12,73 / cos29 = 14,5 MHz

MUF (110 Km) = 2,85 / cos 56 = 5,1 MHz

FOT =

-2

-2

-1

-1

o

o

→

→

.

0,85 . 14,5 = 12,3 MHz (300 Km)

FOT = 0,85 . 5,1 = 4,3 MHz (110 Km)

1.13.2 Exercícios propostos a) Prove que para a atmosfera padrão K = 4/3.

b) Calcule e para as frequências de 100 KHz, 1 MHz e 10 MHz nas alturas de 60 Km, 120 Km e 350 Km. c) Qual a temperatura externa esperada de um avião, voando a 10 Km de altura? d) Qual a frequência “MUF - 2000” para a camada “E”? e) Numa região foram lidos: Ponto 1: h = 150 m t = 17o C p = 120 mb s = 6,085 g/kg. Ponto 2: h = 2150 m t = 10o C p = 837 mb r = 16,95 % Qual o valor de “K”? f) Projete um enlace com reflexão ionosférica entre Caruaru (PE) e Senhor doBonfim(BA), especificando altura do ponto de reflexão e freqüência. g) Qual o valor de k numa região onde foram lidos:

Ponto Temperatura Pressão Umidade Altura

A 200 C 1000 mb 6 g/kg 350 m

B 100 C 1050 mb 60% 529 m

32

2 Alpinetrônica

2.1 Definição

Denominamos Alpinetrônica aos conhecimentos de Topografia que um engenheiro de telecomunicações deve possuir para bem projetar um enlace de telecomunicações via rádio. Basicamente, um engenheiro necessita ter conhecimentos de cartas topográficas, pontos geográficos conhecidos e manejar ou entender o funcionamento de um teodolito, um altímetro, um sextante e uma bússola. Modernamente o uso do equipamento GPS substitui o altímetro e a bussola. Com o uso de estações Medidoras de distancia (MED), este equipamento substitui todos os outros.

2.2 Topografia Básica

2.2.1 Forma da Terra e sua representação No inicio pensava-se que a Terra era uma superfície plana. Posteriormente foi admitida a idéia da Terra como uma esfera. Já no fim do século XVII, surgiu a hipótese de que a forma da Terra, por efeito da gravidade e do seu movimento de rotação, seria a de um elipsóide achatado nos pólos. No final do século XIX e no início do século XX, geodesistas chegaram à concepção do geóide para a forma da Terra. Um geóide é uma figura geométrica, construída da forma onde em todos os pontos da superfície terrestre a direção da gravidade é perpendicular a uma superfície determinada pelo nível médio dos mares. O elipsóide de revolução é a figura matemática que mais se aproxima da forma do geóide, por isto foi escolhida pelos geodesistas para a realização de seus estudos. Os sistemas geodésicos de referencia estabelecem a relação entre um ponto da superfície da Terra e um ponto do elipsóide de revolução. O elipsóide de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma elipse em torno do seu eixo. Existem vários sistemas de referencia a depender da origem do seu ponto de referencia. No Brasil é utilizado O Sistema Geodésico Brasileiro que faz parte do Sistema Geodésico Sul Americano definido em 1969 e conhecido como o SAD-69. Neste sistema o ponto de referencia é o vértice do Chuá que tem as seguintes coordenadas, que serão definidas a seguir: - Latitude: 190 45’41,6527” S - Longitude: 480 6’4,0639” W - Altitude: 0 metros Neste sistema a figura da Terra é representada por um elipsóide com as seguintes características: - semi-eixo maior: 6378160 metros (a) - semi-eixo menor: 6356774,72 metros (b) - achatamento: 1/298,25 ((a-b)/a) Com o objetivo de se representar os pontos da superfície terrestre sobre um plano, criou-se os sistemas conhecidos como Projeções Cartográficas. Existem dois sistemas quanto a representação dos pontos: - Sistema de coordenadas geográficas, usando ângulos. - Sistema universal transversal de Mercador, usando distancias.

33

No sistema de coordenadas geográficas,para que cada ponto da superfície terrestre possa ser localizado, existe um sistema de linhas imaginárias, que são representadas em uma carta: os meridianos e paralelos. Os meridianos são as linhas que passam através dos pólos e ao redor da Terra. O ponto de partida para numeração dos meridianos é o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich, na Inglaterra. Portanto, o meridiano de Greenwich é o Meridiano principal. As localizações são feitas a partir dele que é o marco 00, existido meridianos para oeste e para leste até 1800 em cada sentido. Define-se então Longitude de um ponto como o ângulo entre o plano do meridiano do ponto e e o plano do meridiano de origem em Greenwich. Paralelos são linhas paralelas perpendiculares aos meridianos iniciando-se no Equador e indo até os Polos nos sentidos Norte e Sul. No Equador temos o paralelo 00 e nos Polos os paralelos 900. Define-se então Latitude de um ponto como a distância em graus, do arco Norte ou Sul ao Equador, medidos ao longo do meridiano do ponto, indo de 00 a 90º. Com base nisto o estado da Bahia situa-se na longitude Oeste e na latitude Sul. As figuras 2.1A e 2.1B mostram o globo terrestre com suas longitudes e latitudes.

Figura 2.1A

34

Figura 2.1B

O sistema métrico de Mercator, adota coordenadas métricas para localização dos pontos. A Projeção UTM (Projeção Universal Transversa de Mercator),é um sistema de linhas desenhadas em uma superfície plana e que representam paralelos de latitude e meridianos de longitude. A Quadrícula UTM é o sistema de linhas retas espaçadas uniformemente, que se intersectam em ângulos retos, formando um quadriculado.

O sistema de medida usado é o linear em metros, cujos valores são sempre números inteiros, sendo registrados nas margens da carta. Assim, o quadriculado UTM está estreitamente relacionado à projeção com o mesmo nome, a qual divide a Terra em 60 fusos de 6° de longitude cada um. O quadriculado, se considerado como parte integrante de cada fuso, tem sua linha vertical central coincidente com o Meridiano Central (MC) de cada fuso. Os meridianos do fuso ou zona da projeção formam um ângulo com as linhas A origem das medidas do quadriculado é o cruzamento do MC com o Equador, ao qual foram atribuídos arbitrariamente os seguintes valores: - para o Meridiano Central: 500.000 m, determinando-se as distâncias em sentido Leste/Oeste, vão se reduzindo no sentido Oeste. - para o Equador: 10.000.000 m para o Hemisfério Sul, e 0 m, para o Hemisfério Norte, vão se reduzindo no sentido Sul. A figura 2.1C, mostra este sistema de coordenadas.

35

Figura 2.1C 2.2.2 Cartografia Cartografia é o conjunto de operações científicas e técnicas, baseado nos resultados de observações diretas ou de análise de documentação, com vistas à elaboração e preparação de mapas. Mapas propriamente ditos,são representações de uma região, construídos sobre uma quadrícula geométrica numa dada escala, segundo regras de localização (x,y) e de qualificação (z). Com o desenvolvimento da informática, surgiu uma nova modalidade de mapeamento, através da utilização de computadores, o que, de uma certa forma, viria a revolucionar a cartografia tradicional. Devido a este novo sistema na década de 70, surgiram novos conceitos, como os termos CAD (Computer Aided Design), CAM (Computer Aided Mapping), e o SIG (Sistema de Informação Geográfico). O CAD e o CAM são sistemas voltados para a transformação do mapa analógico para o meio digital, transformando uma base cartográfica impressa em papel, em uma base cartográfica magnética. O CAD, é um sistema de desenho auxiliado por computador, que apesar de não ser um software específico para a cartografia, é basicamente o principal meio de conversão analógico/digital de mapas. O processo evolutivo da cartografia digital saltou para um patamar superior na medida que foram desenvolvidos os sistemas de gerenciamento de banco de dados, tornando possível à ligação da base cartográfica digital a um banco de dados, surgindo assim os Sistemas SIG.

36

O processo existente para geração de mapas cartográficos digitais é a digitalização. A digitalização não é propriamente um processo de obtenção de bases cartográficas, e sim de conversão de dados analógicos em dados digitais. Portanto, pressupõe-se a existência de bases cartográficas convencionais, que serão convertidas para meios digitais por dois métodos, a digitalização vetorial ou a digitalização raster. Cartas digitalizadas hoje em dia existem para praticamente todos os pontos do globo. Estas cartas podem ser de dois tipos:

• cartas rasterizadas ou matriciais

• cartas vetorias As cartas vetorias exigem uma capacidade menor de armazenamento do que as cartas matriciais. Na digitalização de cartas pode-se dividir o mapa em quadrados de 50 x 50 até quadrados de 500x 500 metros. Evidentemente quanto menor o quadrado melhor será a precisão da carta. Cada quadrado é representado por quatro parâmetros:

• Latitude

• Longitude

• Cota

• Tipo do quadrado

No parâmetro tipo do quadrado pode ser inserido dados como vegetação, tipo de construção, etc. assim cada ponto do quadrado será representado por seus parâmetros. Isto é o que se constitui um sistema SIG. Escala de um mapa é a relação entre a distância de dois pontos quaisquer do mesmo com a correspondente distância na superfície da terra. E = d/D Onde: E = Escala do mapa d = distância medida no mapa D = Distância real no terreno Os mapas, segundo a escala podem ser classificados em: - Plantas cadastrais – escala variando de 1:200 à 1:10.000 - Cartas Topográficas – de 1:10.000 à 1:25.000 - Cartas Corográficas – de 1:25.000 à 1:100.000 - Cartas Geográficas – de 1:100.000 à 1:5.000.000 - Mapas Mundi – escala maior que 1:5.000.000 Como vimos, o elipsóide é a figura geométrica que mais se assemelha a forma da Terra. Em virtude disto é a figura utilizada como modelo do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). O Sistema Geodésico Local ou Datum Geodésico Horizontal (DGH) é definido após a escolha de um ponto de referencia para o qual serão realizadas as cartas topográficas. Neste ponto o elipsóide é orientado e fixado no espaço. Os principais elipsóides utilizados no Brasil são:

• SAD-69 (referencia para a América do Sul)

• WGS-84 (referencia para o sistema GPS)

37

Cartas topográficas são projeções do globo terrestre sobre um plano. A depender do elipsóide utilizado teremos uma pequena variação entre as cartas na localização de um ponto. Cada ponto do globo é definido pela sua latitude e longitude. As latitudes variam de 00 á +/- 900, e as longitudes variam de 00 á +/- 1800. A carta Internacional do mundo (CIM) está na escala 1: 106 , distribuída em folhas de 40 de latitude por 60 de longitude. As CIM podem ser apresentadas em escalas menores de até 1: 25000. Nesta escala cada carta possui 7’30” de latitude por 7’30” de longitude. Na escala 1: 100000 as cartas possuem 30’ de latitude por 30’ de longitude. Em cada carta deve-se notar a existência de três nortes a saber, mostrados na figura 2.2

• Norte da quadricula

• Norte geográfico

• Norte magnético

Figura 2.2 Denomina-se declinação magnética (δ) ao ângulo formado pelo norte magnético e o norte geográfico. Denomina-se convergência meridiana (γ) ao ângulo formado entre o norte da quadricula e o norte geográfico. Tanto a convergência meridiana como a declinação magnética, variam de ponto para ponto, sobre a superfície terrestre No Brasil a declinação magnética varia de 00 á 200 a depender do lugar. Com o passar dos anos esta declinação varia de:

00 2311 +−

O valor de δ vai depender da latitude e longitude do local. Denomina-se Azimute de uma direção ao ângulo medido no sentido horário entre a linha Norte-Sul e uma direção qualquer. O azimute varia de 00 a 3600. Existem dois tipos de azimutes a depender se usamos o Norte Geográfico ou o Norte magnético. As principais convenções encontradas em um mapa são mostradas na figura 2.3

38

Figura 2.3

2.3 Classificação das Projeções Cartográficas

Vimos que Projeções Cartográficas são sistemas que transportam os pontos da superfície da Terra (geóide) para os mapas planos. As projeções cartográficas se classificam quanto á: - Localização do ponto de vista do observador Neste caso as projeções podem ser:

a) Gnômica: quando o ponto de vista está situado no centro do elipsóide. b) Estereográfica: quando o ponto de vista está situado na extremidade oposta

da superfície de projeção. c) Ortográfica: quando o ponto de vista situa-se no infinito.

A figura 2.4 mostra esta classificação.

Figura 2.4 - Tipo de superfície de projeção Nesta caso as projeções podem ser:

a) Planas: quando a superfície de projeção for um plano. b) Cônicas: quando a superfície de projeção for um cone. c) Cilindrícas: quando a superfície de projeção for um cilindro.

A figura 2.5 mostra esta classificação.

39

Figura 2.5

- Posição da superfície de projeção Nesta caso as projeções podem ser: a) Equatorial: quando o centro da superfície de projeção situa-se no equador. b) Polar: quando o centro da superfície de projeção situa-se no pólo. c) Transversa: quando o eixo da superfície de projeção encontra-se perpendicular ao eixo de rotação da Terra. - Situação da superfície de projeção Nesta caso as projeções podem ser:

a) Tangente: quando a superfície de projeção tangencia o elipsóide em um ponto

b) Secante: quando a superfície de projeção corta o elipsóide em dois pontos. A figura 2.6 mostra estas duas últimas classificações

40

Figura 2.6

- Segundo suas propriedades Neste caso as projeções se dividem em:

1) Equivalentes: são aquelas que não deformam areas. 2) Conformes: são aquelas que não deformam angulos 3) Equidistantes: são aquelas que não apresentam deformações lineares 4) Azimutais: são aquelas que não deformam as direções na superficie, ou seja

os azimutes 5) Afilaticas: são as que deformam tudo, ou seja areas, angulos equidistancias e

azimutes. Estas projeções dão origem aos vários tipos de mapas existentes, conforme mostrado nas figuras 2.7.A, B e C.

41

Figura 2.7 (projeção conica)

Figura 2.7 B (projeção cilindrica)

42

Figura 2.7C (projeção azimutal)

2.4 Fusos horários e Projeção UTM O globo terrestre por este sistema está dividido em 24 fusos, cada um com 150. Baseado neste sistema temos os fusos horários. No Brasil temos quatro fusos horários. O primeiro atinge a ilha de Fernando de Noronha e está á -2 horas de Greenwich. O segundo passa pelo litoral atingindo Salvador, Rio de Janeiro e Belém e está á -3 horas de Greenwich. O terceiro passa sobre Manaus e está á – 4 horas de Greenwich. O ultimo passa pelo Acre e está á -5 horas de Greenwich. O meridiano inicial está passando sobre Greenwich em Londres. O Brasil situa-se a oeste deste meridiano. Por convenção todas as latitudes Sul são negativas, bem como as longitudes Oeste.

2.5 Distância Ortodomica entre dois pontos

Denomina-se distância ortodomica a distância entre dois pontos contada sobre a superfície da Terra. É a distância real medida sobre a superfície da Terra e não sobre uma reta que une os dois pontos. Esta distancia pode ser calculada pela seguinte formula:

43

radianos) em ( 180

*6370*d

graus) em ( cos*12.111

cos

)cos(coscossinsin

1

1

=

=

=

−+=

−

−

Xd

X

LoLoLaLaLaLaX BABABA

(II.1)

2.6 Azimute Sabemos que o norte magnético da Terra não coincide com o norte verdadeiro. Este norte magnético variável com o passar do anos, é a direção para á qual as agulhas das bússolas apontam. Desta forma, para se achar o norte verdadeiro é necessário

fazer uma correção, que para o Brasil, corresponde a somar 20o (aproximadamente) ao norte magnético para acharmos o norte verdadeiro (geográfico). Na pratica,denominamos Azimute ao ângulo formado entre uma direção conhecida e a direção do norte magnético, contando a partir do norte magnético. O azimute entre dois pontos pode ser calculado pela seguinte fórmula, uma vez conhecida a distância ortodomica entre os pontos.

.ortodomica distancia da angulo o é

B direção naA de azimute o é Zangulo o onde

sin*cos

cos*sinsincos

A

AB

La

LaLaZ

−=

( II.2)

Figura 1 Convém notar que:

AZAB = AZBA - 180º ( II.3)

2.6.1 Curvas de níveis

Entende-se por curva de nível o lugar geométrico de todos os pontos, que têm a mesma cota ou atitude. Essas curvas são representadas pela intersecção de planos horizontais eqüidistantes com a superfície do terreno. A diferença de cota entre duas curvas adjacentes depende do rigor com que se pretende representar o terreno e também da escala utilizada no desenho. Para melhor visualizar e entender o relevo na planta, deve-se representar com traços mais fortes as curvas mestras, que são geralmente, cotas múltiplas de 5 ou de 10 metros. As escritas correspondentes às cotas altimétricas devem ser assinaladas nas curvas mestras.

NM

A B azimute

44

2.6.2 Cotas de referência

O processo dos pontos cotador ou cotas de referência, consiste apenas em colocar ao lado dos pontos topográficos, representados na planta, o número que indica a altura relativa (cota) ou absoluta (altitude) de cada ponto. Neste processo todos os pontos que representam acidentes do relevo deverão ser devidamente cotados, daí o nome do processo. Embora não representem a forma do terreno, os pontos cotados constituem-se no elemento básico para o traçado das curvas de nível por interpolação.

2.7 Perfil topográfico

O processo do desenho do perfil é a modalidade mais rigorosa de representação do relevo. O perfil é a representação no plano vertical das diferenças de nível, cotas ou altitudes, obtidas em um nivelamento. A união desses elementos, por linhas retas ou curvas, constitui a representação gráfica do perfil do terreno estudado. Para o desenho de um perfil, é necessário portanto, que se conheçam as distâncias horizontais entre os pontos topográficos medidos no terreno e as diferenças de nível entre eles. O perfil pode ainda ser representado em função das cotas ou altitudes dos pontos do terreno. No eixo "x" serão representadas as distâncias horizontais e no eixo "y" serão tomados os valores correspondentes à diferença de nível, cotas ou altitudes. Para salientar elevações e depressões no terreno pode-se usar escalas apropriadas para os eixos horizontais e verticais, de acordo com a conveniência. Pode-se utilizar uma folha de papel milimetrado ou papel de curvatura "k" onde "k" é uma constante de correção relativa à curvatura da terra, e à curvatura das ondas eletromagnéticas no ar. No Brasil, é utilizado o valor de 4\3 para "k". O perfil é obtido com pontos consecutivos situados a uma distância máxima de 1 Km. Se entre pontos consecutivos existirem obstáculos, deve-se tomar pontos intermediários. Os desenhos a seguir mostram uma carta altimétrica e um papel apropriado para levantamento de perfis.

45

46

47

Figura 3 - Papel para Levantamento de Perfil.

Atualmente existem softwares que permitem que estes perfis sejam tirados simplesmente colocando-se os pontos desejados nos mapas previamente armazenados no computador. Mapas de praticamente todo o globo terrestre estão disponíveis em formato digital. Mas alertamos ao leitor que estes mapas não contem as alturas das edificações porventura existentes e também da vegetação ao longo do perfil. Nos cálculos de enlaces um determinado perfil pode ser substituído por uma reta. Existem em uso duas retas que desempenham este papel, conhecidas por reta media e reta interpoladora. Um destes softwares pode ser baixado de

HTTP://www.cplus.org/rmw/english1.html

2.7.1 Reta Interpoladora

A norma publicada no D.O.U. (diário oficial da união) de 10/09/92 intitulada “Norma para calculo da atenuação de propagação em freqüências na faixa de 30 Mhz a 10000 Mhz” introduz o conceito de reta interpoladora que leva em consideração um perfil não plano entre os pontos transmissor e receptor. Esta reta pode ser vista na figura 10. Esta reta interpoladora tem como objetivo substituir o perfil existente por uma reta que o melhor represente, minimizando o erro existente entre o perfil e a reta em todos os seus pontos. Em relação a esta reta são calculadas duas novas alturas para os pontos de transmissão e recepção. Determinação da reta interpoladora do perfil, desvio eficaz das altitudes do terreno e alturas efetivas das antenas:

• Dado um perfil de radioenlace traçado com altitudes reais, ou seja, sem a incorporação da correção das alturas para compensar a curvatura que os raios sofrem devido à variação do índice troposférico de refração “k”, a determinação do perfil médio do terreno ou da chamada reta interpoladora é feita da seguinte forma:

• O método utilizado na determinação da reta é o de mínimos quadrados, ou seja, a reta é determinada de tal forma que a somatória dos quadrados dos desvios considerados entre os pontos do perfil e os pontos da reta a ser determinada seja reduzida ao mínimo possível conforme ilustra figura abaixo onde:

• H(P) = altitude do ponto P do perfil em metros

• D(P) = distancis do ponto P do perfil a partir da antena à esquerda, em km

• H1 = altura da antena à esquerda acima do solo

• H2 = altura da antena a direita acima do solo

• δ(P) = desvio do ponto P do perfil em relação a reta interpoladora em metros

• Daí resulta:

• He1 = altura efetiva da antena a esquerda acima da reta interpoladora em metros

• He2 = altura efetiva da antena a esquerda acima da reta interpoladora em metros

48

H1

Rota interpoladora

D(P) D(PP) D(1)=0

H(PP)

He2 H(P) He1

Figura 4

E pode ser determinada por:

xkky

xxN

yxyxN

k

xxN

yxxyx

k

N

i

N

i

ii

N

i

N

i

N

i

iiii

N

i

N

i

ii

N

i

N

i

N

i

iii

N

i

ii

21

1

2

21

2

2

1

2

1

2

1

22

1

2

21

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

)2(

)2(

)2(

+=

−−

−−

=

−−

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

( II.4)

)( 2122

111

dkkHH

kHH

e

e

−−=

−=

2.7.2 Reta Media

Neste caso, o perfil é substituído por uma reta que representa a media dos valores das alturas do perfil. Em relação a esta reta calcula-se tambem duas novas alturas para os pontos de transmissão e recepção. Para calculo desta reta, deixa-se de fora os pontos de transmissão (i=0) e recepção ( i=N).

2

)(

1

2

2

21

−=

+−=

−

=

NDH

xkky

N

i

i

ii

δ(P)

H2

49

1

1

1

−=

−=

=

N

h

NMR

Ni

i

i

( II.5)

2.7.3 Rugosidade de um perfil

A superfície da Terra é irregular, a não ser a superfície do mar, ou de lagos e rios. Isso tem importância para a propagação, porque a onda refletida em um solo rugoso tem menor intensidade do que se tivesse refletindo em uma superfície lisa, A superfície rugosa dispersa a energia em todas as direções, e mesmo os raios que se refletem na direção da antena receptora, chegam defasados entre si por percorrerem percursos diferentes. A rugosidade de um perfil pode ser medida pela distância existente em metros entre duas retas. Estas duas retas tem distâncias idênticas a do perfil a ser estudado sendo paralelas entre si e a distância retilínea do perfil. A reta R1 é traçada de tal

modo que apenas 10% (10 por cento) da distância total do perfil tenham alturas superiores à mesma. A reta R2 é traçada de tal forma que apenas 10% (10 por

cento) da distância total do perfil tenham alturas inferiores à mesma. A figura 4 ilustra o que dissemos.

Y1

X1 X2

Y2 Y3

0 X(100%)

R

R

X1+X2

Y1+Y2+Y3

1

2

10%

10%

Figura 5

R1 Os trechos acima dessa reta, somados, não devem ultrapassar 10% da

distância. R2 Os trechos abaixo dessa reta, somados, não devem exceder 10% da distância.

H = R1 −R2 (em metros) = Rugosidade do Perfil. ( II.6)

A rugosidade também é definida de outra duas maneiras. Dado um certo perfil pode-se traçar uma reta media (media das cotas do perfil) que melhor o represente. O desvio padrão entre os valores desta reta e o perfil também é conhecido como rugosidade do mesmo. Traçando-se uma reta que melhor represente este perfil (minimiza-se o erro entre o perfil e a reta), a mesma é conhecida como reta interpoladora do perfil. O desvio padrão entre os valores desta reta interpoladora e o perfil também é conhecido como rugosidade do mesmo. Estudos apontaram que a rugosidade em qualquer distância do perfil, ∆H(d) pode ser estimada pela seguinte formula, conhecendo-se a rugosidade do mesmo:

)8.1()( 50/deHdH −−= ( II.7)

50

A tabela 1 a seguir apresenta a rugosidade típica de alguns tipos de terrenos

Tipo do terreno Rugosidade em m

Água ou planície 0 á 5

Planície ondulada 5 á 20

Ondulado 20 á 40

Pequenas serras 40 á 80

Serras 80 á 150

Grandes serras 150 á 300

Montanhas 300 á 700

Grandes montanhas > 700

Tabela 1: Rugosidade típica

Uma superfície com rugosidade H pode ser representada por:

Onde, para facilitar, iremos denominar a rugosidade H, por H

Figura 6

Assim o raio refletido. Pode incidir no plano ou no alto do morro com altura H.

Figura 7 Os trechos A e B, representam o caminho a mais a ser percorrido pelo raio que reflete no solo (2) em relação ao que reflete no morro (1) (figura 7). Se essa distância (A + B) for maior que "λ/8" diz-se que o terreno é rugoso e o valor do coeficiente de reflexão fica diminuído. Visto que B = Hsinφ , assim A + B = 2H sinφ (1) já que A = B

28 16

H H sin ( )sin ( )

logo ( II.8)

51

Assim se a rugosidade "H" for maior que λ / (16. senφ) o terreno é dito rugoso e o valor do coeficiente de reflexão (atmosfera/solo) fica diminuído segundo o gráfico da figura 8:

Figura 8

Deste modo o coeficiente de reflexão sofre uma correção dada por:

sin4H

R eF

−

= ( II.9)

Como a reflexão acontece sobre uma superfície curva e não sobre uma superfície lisa o sinal refletido sofre uma disperção ao incidir no solo. O coeficiente de reflexão sofre uma nova correção devido a este fato, motivado pela disperção na superfície curva. Esta correção é dada pela seguinte formula:

tan

21

1

21

kad

ddFD

+

= ( II.10)

Onde: d = distância total do enlace d1 = distância do transmissor ao ponto de reflexão d2 = distância do receptor ao ponto de reflexão a = raio da Terra k = coeficiente do raio efetivo da Terra considerado φ = ângulo entre o raio refletido e o solo

Assim o coeficiente de reflexão a ser usado será dado por:

DRC FRFR = ( II.11) onde:

RC = coeficiente de reflexão corrigido R = coeficiente de reflexão FR = fator de correção devido a rugosidade FD = fator de correção devido a disperção

52

2.8 Instrumentos utilizados

• TEODOLITO: É o instrumento topográfico capaz de medir simultaneamente

ângulos horizontais e verticais. O teodolito originalmente constitui instrumento universal, pois é empregado na medida dos ângulos das operações topográficas, geodésicas e astronômicas. A estrutura e a forma dos aparelhos difere com a casa construtora, bem como variam os processos de leitura e do manuseio, mas os conceitos geométricos fundamentais são os mesmos. Os teodolitos, na sua generalidade, são concêntricos, isto é, tem a luneta passando pelo centro do instrumento. Apoiam-se sempre em um tripé e possuem em sua base um conjunto de parafusos calantes destinados a nivela-los. Possuem ainda bússola, níveis horizontais e na luneta, prumo ótico e parafuso de ajuste. Atualmente são produzidos teodolitos eletrônicos que apresentam diversas vantagens sobre o aparelho óptico. São mais leves, mais fáceis de operar, minimizam os erros do operador e são capazes de armazenar os dados coletados em campo em uma memória interna.

• BÚSSOLA: As bússolas são aparelhos destinados à medida de rumo ou

azimute, com precisão relativamente pequena.Normalmente a menor fração que se pode avaliar, nas suas leituras é cerca de 10 a 15 minutos. Compõem-se, basicamente, de um círculo graduado em cujo centro se apoia a agulha "imantada". A graduação nas bússolas destinadas a leitura de azimute é continua, isto é, vai de zero no norte até 360 graus no mesmo ponto.

• ALTÍMETRO: É um instrumento de precisão que indica automaticamente a

altura do local da medida. Ele utiliza a diferença entre a pressão atmosférica local e a pressão atmosférica de calibração, traduzindo o resultado em medida de altitude. Existem altímetros simples, de baixo custo, mas pouco precisos.

• TELURÔMETRO ou MED: É o aparelho utilizado na medição de distâncias

empregando micro-ondas. A medição de distâncias com esse instrumento consiste no emprego de duas unidades eletrônicas, colocadas nas extremidades do alinhamento que se deseja medir. Uma é denominada estação mestra e a outra, escrava. a estação mestra emite uma onda contínua e modulada que é recebida pela unidade eletrônica da estação escrava. A fase da modulação recebida é comparada com a da modulação transmitida e a diferença entre elas constitui-se no tempo de propagação do sinal. Essa medida (diferença de fase) é convertida eletronicamente em unidade de comprimento. Estes equipamentos normalmente vem equipados com bussolas bastante precisas.

• MARCO GEOGRÁFICO: São hastes metálicas colocadas em locais protegidos

por lei, normalmente praças ou entrada de Igrejas, onde estão gravadas as informações sobre a localização geográfica do local (altitude, longitude e altura). Listas destes marcos podem ser encontradas no I.B.G.E. (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.). Estes marcos servem para calibração de altímetros e como unidade de referência para leitura com teodolitos.

• CARTA TOPOGRÁFICA: É um desenho plano-altimétrico que descreve

minuciosamente a posição dos acidentes naturais e das obras feitas pelo homem, como também o relevo geralmente representado pelas curvas de níveis.

• GPS: Um equipamento GPS, é um instrumento que opera através de sinais de

rádio enviados por satélites não geo-estacionários. Este instrumento permite a

53

obtenção por leitura direta da altura, latitude e longitude de um ponto situado na superfície da Terra. Atualmente é o instrumento mais usado em navegação marítima. Existem no mercado instrumentos GPS dos mais simples aos mais sofisticados, diferindo basicamente um dos outros pela capacidade de recepção simultânea de uma maior número de satélites, e da precisão do seu clock interno (contador), traduzindo-se estes fatos em uma maior precisão dos valores lidos. Os instrumentos comuns podem chegar a leituras com erros menores que 10 (dez) metros ,e com técnicas diferenciais chegar á 2 (dois)metros. Os instrumentos mais precisos com técnica diferencial podem chegar a precisões melhores que 20 (vinte) centímetros. Os instrumentos GPS com técnicas diferenciais são chamados DGPS.

2.9 Equações básicas da topografia

Mostraremos a seguir algumas equações básicas da topografia aplicadas ao calculo de enlaces, bem como a correção de um perfil devido ao fator k e a curvatura da Terra. Apresentaremos também o conceito de Terra Plana Equivalente.

2.9.1 Cálculo da distância entre dois pontos Com o uso de um teodolito, podemos facilmente determinar a distância entre dois pontos. Considere que queremos medir a distância AP (vide figura 8) .Para isto fixamos o teodolito no ponto "A" e com o mesmo visamos o ponto "P". Devemos,

então, zerar o teodolito na direção "AP". Em seguida giramos o tedolito 90o visando o ponto "B", tendo o cuidado de escolher o ponto "B" em um local de fácil acesso. Com uma trena lê-se a distância "AB". Remove-se o teodolito para o ponto "B", zerando o mesmo na direção "A" e lê-se o ângulo ABP, com o máximo de cuidado visando novamente o ponto "P". Considerando:

Figura 9

AB = d ABP = AP = D teremos APB = α = 90 - β logo Dd

=tan

Na prática usa-se, para maior precisão, d > 10 m (quanto maior melhor). Para ângulos

α < 3o a fórmula, considerando d em metros, D em quilometros e α em minutos, fica:

291.0

dD = ( II.12)

2.9.2 Cálculo da diferença de altura entre dois pontos Com o uso do teodolito podemos também determinar a diferença de altura entre dois pontos. Recordemos inicialmente que o fato da Terra ser curva, faz com que a própria curvatura da Terra seja um obstáculo, de modo a não termos visada direta entre dois pontos. A figura 10 ilustra este fato:

54

Figura 10

Supondo que o ponto "A" e o ponto "B" estejam sobre o mar, e distantes um do outro de : d = d1 + d2, e seja "R" o raio da Terra que vale aproximadamente 6370

Km. A flecha "h" formada pela curvatura da Terra impede a visão direta entre estes pontos. Esta flecha é calculada pela seguinte fórmula aproximada, válida para "h" bem menor que as distâncias "d1" e "d2".

hd d

R=

1 2

2 (II.13)

Convém notar que o valor máximo desta flecha vale para d1 = d2 = d/2 e tem o

seguinte valor:

hd

R

d

R= =1

2 2

2 8

Assim, a diferença de altura entre dois pontos, conforme a figura 10, devido a

curvatura da Terra vale: h = d12/2R = 0,0785d1

2, sendo "d1" em Km e "h" em

metros, na última expressão.

Figura 11

Sabemos também da física que a luz se curva, fazendo com que nossa visão não seja retilínea como aparenta. Assim, da mesma maneira como a Terra e curva, a nossa visão também o é, fazendo com que haja uma diferença de altura entre o que nossos olhos vêem e o objeto contemplado mesmo que ambos estejam no mesmo nível. Esta diferença de altura é dada pela mesma fórmula vista acima, com a diferença que agora o raio de curvatura não é o da Terra e sim o da luz (figura 12).

Figura 12

Assim, temos: hd

Rv

v

=2

2 ( II.14)

55

Onde hv = Diferença de altura devido à curvatura da luz

d = Distância entre o olho e o objeto observado Rv = Raio de curvatura da luz

O raio da curvatura da luz vale RvdN

dh

= −−10 6

Onde dN/dh representa o gradiente do índice de refração da luz e vale -2,25 x 10-2

(m-1) fazendo com que a fórmula fique: hv = 0,012d2 onde "d" é expresso em Km e

hv em metros.

Englobando a curvatura da Terra e a curvatura da luz, podemos fazer o cálculo da flecha entre dois pontos:

hd d

K R=

1 2

2 (II.15)

onde o coeficiente "K" representa o fato da nossa visão ser curva, alterando portanto o raio da Terra. Usando esta expressão estaremos considerando a propagação das ondas eletromagnéticas, ou seja, nossa visão como retilínea e considerando a Terra com raio dado por kR. Considere agora a figura12 onde uma pessoa situada no ponto A a uma altura h1 sobre o nível do mar está olhando para um ponto B situado a uma distancia d a a uma altura h2 do ponto A. Como a vista é curva na realidade estamos olhando para o ponto B’.

Figura 13 Note nesta figura que:

AP é perpendicular a AO. AB’ é tangente à curva AB.

A

d O

B

h2

h1

h

Δh

hV

P

56

Assim um teodolito situado no ponto "A" visa um objeto no ponto "B" situado a uma distância "d". Como nossa visão é curva o que vemos é o ponto B', pois colocamos o teodolito na direção da reta, tangente ao raio de visada AB que é curvo. A diferença de altura B'B , como já vimos, vale:

BB hd

Rdv

v

= = 2

2

20 012,

Note que "h1" e "h2" são alturas referidas ao nível do mar.

A diferença de altura devido a curvatura da Terra entre os pontos "A" e "B" vale:

hd

Rd=

22

20 0785,

A linha AP é a linha de nivelamento do teodolito, ou seja, a linha do horizonte, a partir do qual lemos os ângulos verticais de visada. Na figura estamos lendo o ângulo "α", o qual sub-entende a diferença de altura "∆h" entre o horizonte e o ponto B (na realidade B'). Vimos em 3.1 que ∆h vale: ∆h = 0,291d*α. Assim, pela figura 12, podemos escrever:

h h h h h h h h h hv v1 2 2 1+ = + + → − = − −

Substituindo as expressões vistas de h, hv e ∆h resulta

h hd

d2 1

2

150 291− = − , (II.16)

onde usamos:

d em Km α em minutos h2,h1 em metros

Caso o ângulo α esteja acima da linha do horizonte nossa fórmula fica:

h hd

d2 1

2

150 291− = + , (II.17)

2.9.3 Correção de um Perfil Perfil topográfico é a altura do relevo existente entre uma reta que une dois pontos. Devido á curvatura da Terra esta altura é modificada. Em função da curvatura das ondas de radio este relevo também sofre alteração. Combinando-se estes dois fatores pode-se corrigir o perfil topográfico, conseguindo-se desta maneira uma melhor representação dos obstáculos que uma onda eletromagnética enfrenta ao se propagar. Para se corrigir um perfil devido á curvatura da Terra e ao fato da atmosfera não ser homogênea com a altura, provocando a curvatura das ondas eletromagnéticas, usa-se a seguinte expressão, onde ambos os fatores são levados em consideração:

57

( II.18)

2.9.4 Terra Plana Pode-se considerar que a onda eletromagnética sente a Terra plana para distancias menores que:

3/1

80

Mhz

kmf

d = ( II.19)

Com o uso desta expressão pode-se calcular os valores da tabela 3 para os quais a Terra pode ser considerada plana, sem a necessidade de se levar em consideração o fator K.

F(Mhz) D(km)

1 80

10 37

100 17

1000 8

Tabela 3: Terra Plana

2.9.5 Limite da linha de visada ou Distância do Horizonte Considere-se agora a figura a seguir:

Figura 14

Um observador situado num ponto "A" a uma altura "h1" vê o horizonte no ponto "C"

a uma distância "d1", ou vê o ponto "B", situado a uma altura "h2", numa distância d

= d1 + d2 .

morro no existente edificaçãoou vegetaçãoda altura h

morro do corrigida altura h

efetivo raio do ecoeficient K

metros 6370000 Terra da raio a

morro aoreceptor do distancia d

morro aoor transmissdo distancia d

cas topograficartas das lida morro do altura h

:onde 2

E

c

2

1

21

=

=

=

==

=

=

=

++= Ec hKa

ddhh

58

Como estamos supondo que o observador esteja observando com um binóculo, ou seja , usando a visão, vamos considerar o raio da terra como sendo "ka", onde k = 1,18 para a visão e variando de 0,7 á 1,33 para enlaces radio e a = 6370 Km. Do triângulo OAC, obtêm-se:

k.a

h - 1 =

h + k.a

k.a = )( cos 1

1

Pois: xx

−+

11

1 para x < < 1.

Como α é um ângulo pequeno, pode-se escrever:

222 2

11 )(sin1 )cos( −−=−= ,

e comparando as duas expressões, resulta:

=

2 1h

k a

Como o ângulo α também pode ser expresso por =

d

k a

1 , obtemos:

d k a h1 12=

Substituindo o raio da Terra "a" pelo seu valor teremos:

d k h1 13 57= , (II.20)

Procedendo da mesma forma para a distância "d2" e usando o triângulo COB,

obteríamos:

d k h2 23 57= , .

Assim, a distância total valerá:

d = d + d = 3,57 k .( h + h ) 1 2 1 2 , ( II.21)

sendo "d1","d2" e "d" em Km e "h1" e "h2" em metros. Esta é a máxima distância em

que um objeto de altura h2 pode ser visto por um observador de altura "h1". Esta

distância é conhecida por distância limite de visibilidade, ou distância do horizonte.

2.9.6 Aproximação da inclinação de torres em perfis No cálculo de perfis entre dois pontos, sempre colocamos as torres na posição vertical em relação à distância "d" e não perpendiculares à superfície da Terra, como são na realidade. Na figura 14 tentamos melhor esclarecer:

59

Figura 15

A posição correta das torres seria h1 e h2 e não h'1 e h'2 como aparecem nos perfis.

Vamos mostrar que este erro é desprezível. Da semelhança de triângulos entre ABO e ACD, resulta:

AB

AC

AO

AD

BO

CD= =

Como h'1 = CD, h1 = AD, BO = a, AO = a + h1 teremos:

a h

h

a

h

+=1

1 1

, resultando

hh a

h a1

1

1

' =

+

Tomando valores típicos de h1 como h1 = 50 m e sabendo que a = 6.370.000 m,

temos:

h1

50 6370000

637005050 0 9999215 49 9996' , ,=

= =

Assim, vemos que o erro cometido é da ordem de décimos de milímetros, por isto, nos perfis, sempre iremos colocar as torres e obstáculos perpendiculares a distância "d".

2.10 Terra plana equivalente Com a intenção de considerar a Terra como se fosse plana ao invés de curva, lança-se mão do conceito de Terra plana equivalente. Com este conceito, iremos determinar novas alturas para os pontos de transmissão e recepção, que serão denominadas de alturas equivalentes. Consideremos a figura a seguir, onde a reta A'B' é tangente ao ponto de reflexão "C". O ponto "D" situa-se na metade da reta A'B'. Esta reta A'B' representa a Terra plana equivalente do enlace mostrado. Como a Terra é curva, a Terra plana equivalente diminui as alturas reais do enlace de h1 para h'1 e de h2 para h'2. Esta

Terra plana equivalente permite o cálculo dos enlaces considerando a Terra como se fosse plana. No capítulo sobre propagação veremos as limitações de seu uso.

60

Figura 16

h'1 = altura equivalente de h1

h'2 = altura equivalente de h2

Isto para considerar-mos o enlace "AB" como sendo plano, através de uma terra plana equivalente, definida pela reta A'B'. Convém notar que as dimensões não estão em escala, pois, na prática, d >> h1,h2

Da figura acima vemos que:

h h h h h h1 1 1 2 2 2

' '= − = − e

Por comparação de triângulos e após algebrismos resulta,

h hd

k ah h

d

k a1 1

1

2

2 22

2

2 2

' '= −

= −

e (II.22)

x = 6 ,37.( k4

).d.( h - h )2 1 (II.23)

yd

128 5

k

4h h

2

2 1= + +, ( ) (II.24)

= cos ( x/ ( y. y ) ) , d = 2. y.cos( + 240 )-13

3

o (II.25)

Onde x,y e φ são variáveis auxiliares de cálculo. As equações acima permitem o cálculo de d1 e d2, e devem ser usadas com "d" em

Km e "h1" e "h2" em metros. São obtidas a partir da comparação dos triângulos OAC

e OCB.

tan( ) =−

=− h

d

h

d

dk a

dk a1 2

1

2 2

2

12

22

(II.26)

Para ângulos pequenos: =+( )' 'h h

d

1 2 ( II.27)

A diferença de percurso entre o raio direto e o refletido pode ser expressa por:

61

r AC CB ABh h

d= + − =

( )

' '2 1 2 (II.28)

Usando-se esta técnica, podemos, dentro de certos limites, tratar a Terra como se fosse plana, fazendo a devida correção nas alturas das torres conforme as fórmulas mostradas acima.

2.11 Exercícios Para complementar o aprendizado do que foi visto vamos resolver alguns exercícios e deixar outros para serem resolvidos pelo leitor.

2.11.1 Exercícios resolvidos a) Um teodolito colocado à 320 metros vê um morro situado à 40 Km com um ângulo de 5 minutos abaixo do limite do horizonte. Qual a altura do morro ? Solução:

∆H = 0,291 x d x α = 0,291 x 40 x 5 = 58,2 m

hv = 0,012 x d2 = 0,012 x (40)2 = 19,2

h = 0,0785 x d2 = 0,0785 x (40)2 = 125,6 h2 = h1 + h - hv - ∆H

h2 = 320 +125,6 - 19,2 - 58,2 = 368,2 m

b) Qual é o horizonte percebido por uma pessoa nadando e uma pessoa em pé ?

Solução:

Para k = 1,18 → dh= 3,83 (h)1/2

h (água) = 15 cm = 0,15 m (supondo)

dh (água) = 3,83 x (0,15)1/2 = 1,48 Km

h (em pé) = 1,70 m (supondo)

dh (em pé) = 3,83 x 1,701/2 = 4,99 Km

2.11.2 Exercícios propostos a) Determine as alturas equivalentes para o seguinte enlace: h1 = 450 m, h2 = 360 m, d = 80 Km e k = 4/3

b) Qual a altura mínima que um morro precisa ter para poder ser visto por um observador em pé sobre um morro de 120 m situado a 60 Km de distância. c) Um teodolito é colocado em um determinado ponto A e zerado visando o alto de

uma torre, a seguir giramos o teodolito 90o para a esquerda e visamos o ponto B situado a 20 Km do ponto A. Com o teodolito no ponto B, zeramos o mesmo visando

o ponto A e visando o alto da torre medimos um ângulo horizontal de 60o e um ângulo de 7 minutos acima da linha do horizonte. Qual a altura da torre sabendo-se que o ponto B está a 300 m de altura e a torre se encontra sobre um morro de 250 m de altura ? d) Em um trabalho de campo, um engenheiro sai de um determinado ponto A e se

dirige ao ponto B (O azimute da direção AB é de 75o32'40''). Ao chegar ao ponto B, ele visa o ponto A e zera o seu teodolito, a seguir ele visa o ponto C e mede um

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ângulo de 42o21'. No ponto C, ele visa o ponto B e zera o teodolito, então visando o

ponto D ele mede um ângulo de 205o10'23''. Qual o azimute da direção CD ? e) Trace o perfil para K = 2/3 dos pontos mostrados na figura 2 . f) Determine a reta media e a reta interpoladora para o perfil da figura 2. g) Determine a Terra plana equivalente para h1 = 60 m, h2 = 40 m, d = 50 km,

considerando k = 4/3.

h) Determine a rugosidade pelos três métodos do perfil da figura 2.

g) Determine o coeficiente de reflexão a ser usado na seguinte situação

Mhz 300f 95.

0,00333 6mh 3/4 40 600180

0

21

==

=====

jeR

kmhmh

h) Um teodolito com 1.5 m de altura colocado numa cota de 80 m, visa um morro á 2 km de distância com um ângulo de -11’38”. Qual a altura do morro? i) Qual a distância do horizonte para h1=80m, h2=120m considerando-se k =2/3?