TOPOGRAFIA

G E O M Á T I C A

Exercícios e Tratamento de ErrosExercícios e Tratamento de Erros

Sérgio Madeira / J. João Sousa / José Alberto Gonçalves

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Índice

Sobre o Livro ............................................................................................................................................................................... VII

Lista de Siglas .............................................................................................................................................................................. IX

1. Nivelamento ............................................................................................................................................................................ 11.1 Introdução ............................................................................................................................................. 11.2 Nivelamento Geométrico ..................................................................................................................... 1

1.2.1 Desenvolvimento do trabalho de campo ................................................................................... 1 ............................................................................. 2

1.3 Nivelamento Trigonométrico ............................................................................................................... 31.3.1 Desenvolvimento do trabalho de campo ................................................................................... 3

1.4 Exercícios Resolvidos sobre Nivelamento Geométrico ....................................................................... 41.4.1 Implantação de estufa .................................................................................................................. 41.4.2 Poligonal simples ....................................................................................................................... 101.4.3 Poligonal para implantação de canal de rega ............................................................................. 131.4.4 Poligonal para implantação de estrutura .................................................................................... 171.4.5 Poligonal com contranivelamento ............................................................................................. 21

1.5 Exercícios Resolvidos sobre Nivelamento Trigonométrico ................................................................. 251.5.1 Poligonal planimétrica e altimétrica .......................................................................................... 251.5.2 Poligonal altimétrica .................................................................................................................. 28

2. Apoio Topográ#co ................................................................................................................................................................... 312.1 Introdução ............................................................................................................................................. 312.2 Calibração do Equipamento (Antes das Medidas) ............................................................................... 31

2.2.1 Medição de ângulos ................................................................................................................... 312.2.1.1 Observações ou leituras conjugadas ............................................................................. 322.2.1.2 Erro de colimação ......................................................................................................... 322.2.1.3 Erro de inclinação ......................................................................................................... 332.2.1.4 Erro de índice ............................................................................................................... 33

2.2.2 Medição de distâncias ................................................................................................................ 342.2.2.1 Precisão de um EDM .................................................................................................... 342.2.2.2 Constante do prisma e sua determinação ..................................................................... 35

2.3 Exercícios Resolvidos .......................................................................................................................... 362.3.1 Cálculo e compensação de poligonal ......................................................................................... 362.3.2 Cálculo e compensação de poligonal sem referências prévias .................................................. 422.3.3 Ligação à rede com interseção direta ........................................................................................ 512.3.4 Ligação à rede com interseção inversa ...................................................................................... 562.3.5 Ligação à rede com uma distância e um ângulo ........................................................................ 642.3.6 Ligação à rede com duas distâncias e um ângulo ...................................................................... 68

3. Levantamento Topográ#co ..................................................................................................................................................... 753.1 Introdução ............................................................................................................................................. 75

.......................................................... 75 .............. 75

3.2.1.1 Determinação do erro transversal ................................................................................. 773.2.1.2 Determinação do erro longitudinal ............................................................................... 793.2.1.3 Distância máxima a usar na irradiação ......................................................................... 79

3.3 Exercícios Resolvidos .......................................................................................................................... 803.3.1 Levantamento por irradiação ..................................................................................................... 80

VI Topogra a – Exercícios e Tratamento de Erros

3.3.2 Coordenação de pontos .............................................................................................................. 863.3.3 Observação e cálculo de poligonal aberta ................................................................................. 903.3.4 Levantamento por irradiação ..................................................................................................... 93

4. Trabalho sobre Plantas e Cartas Topográ#cas ...................................................................................................................... 994.1 Introdução ............................................................................................................................................. 994.2 Conversão entre Unidades de Área ...................................................................................................... 99

........................................................................ 1004.4 Exercícios Resolvidos .......................................................................................................................... 103

4.4.1 Área por ângulos e distâncias horizontais ................................................................................. 1034.4.2 Volume de terras a movimentar num lote .................................................................................. 1064.4.3 Volume de terras a movimentar em aterro e escavação ............................................................. 1104.4.4 Volume de terras a remover ....................................................................................................... 1144.4.5 Cálculo de volume de terras por divisão em prismas verticais .................................................. 117

5. GNSS e Transformações de Coordenadas .............................................................................................................................. 1235.1 Introdução ............................................................................................................................................. 1235.2 Redes de Estações Permanentes em Portugal....................................................................................... 123

5.2.1 A rede RENEP ........................................................................................................................... 1245.2.2 A rede SERVIR .......................................................................................................................... 124

5.3 Obtenção de Coordenadas WGS84 ...................................................................................................... 1245.3.1 Obtenção de coordenadas aproximadas por pseudodistâncias .................................................. 1245.3.2 Obtenção de coordenadas WGS84 por PPP .............................................................................. 125

5.4 GNSS e Altitudes Ortométricas ............................................................................................................ 1265.4.1 Modelo nacional de ondulações do geoide ................................................................................ 1275.4.2 Modelos de geoide globais ........................................................................................................ 128

5.5 Exercícios Resolvidos ............................................................................................................................ 1295.5.1 Transformação entre os data ITRF2005 e ETRS89 no âmbito da operação com as redes RENEP e SERVIR ..................................................................................................................... 1295.5.2 Ajuste a um datum local com uma transformação a sete parâmetros ........................................ 1365.5.3 Determinação de uma altitude ortométrica usando o GeodPT08 e um modelo global do geoide ......................................................................................................................................... 1435.5.4 Posicionamento por pseudodistâncias ....................................................................................... 1465.5.5 PPP (Precise Point Positioning) ................................................................................................ 149

Referências Bibliográ#cas ............................................................................................................................................................. 151

Índice Remissivo ........................................................................................................................................................................... 153

Glossário de Termos – Português Europeu e Português do Brasil ......................................................................................... 157

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Na sequência do lançamento do livro (Gonçalves, Ma-deira e Sousa, 2012), que vai já na sua 3.ª edição, os Autores decidiram complementá-lo

nesse livro, são aqui propostos problemas-tipo e, para cada um, é apresentada uma resolu-ção detalhada. Cada capítulo inicia com o enquadramento do tema e desenvolve, sempre

exercícios resolvidos que fazem parte do livro são sempre tratados e analisados atendendo aos erros que lhes poderão estar associados. Desta forma, o leitor poderá habituar-se às boas práticas, adquirindo, ao mesmo tempo, um sentido crítico no tratamento de observações de campo, tendo sempre em conta os erros (diretos, indiretos, sistemáticos, instrumentais, etc.) associados a cada tipo de problema. Para além da resolução de cada exercício em papel e/ou em formato digital, quando o exercício a isso se presta, o leitor poderá, também, aceder a su-gestões práticas que lhe poderão ser de grande utilidade no desempenho das suas atividades

principais: o nivelamento geométrico e o nivelamento trigonométrico. Para cada tipo de nivelamento, é dada uma explicação prévia sobre os processos de observação e cálculo de

medida. Os exercícios abrangem a determinação de altitudes ou de cotas de pontos através da observação de poligonais de nivelamento e outros temas relacionados, como sejam o cál-

para isso, várias metodologias em diferentes exercícios. Dá-se ainda bastante destaque à re-solução em ambiente CAD (Desenho Assistido por Computador), visto que algumas das me-todologias, como a interseção direta e a interseção inversa, são facilmente implementáveis dessa forma, e, ainda, à obtenção de coordenadas recorrendo à tecnologia GNSS (

, em português, Sistemas Globais de Navegação por Satélite), pois, hoje em dia, essa é uma tecnologia indispensável neste tipo de trabalho. A questão dos erros instrumentais que afetam as medidas de uma estação total e as formas de os eliminar ou reduzir é também tratada, uma vez que a observação de ângulos e de distâncias se deve efetuar com o maior rigor possível. Ainda neste capítulo, apresentam-se formas de estimar a precisão das coordenadas obtidas pelos métodos utilizados.

-cios-tipo que envolvem rumos, distâncias e coordenadas. Num dos exercícios, é mostrado, inclusivamente, como se deve calcular a altura de um edifício sem ter de visitar o seu topo,

Sobre o Livro

VIII Topogra a – Exercícios e Tratamento de Erros

o que é aplicável a qualquer outro tipo de objeto do qual se pretenda saber a altura, a partir das observações de uma estação total. Trata-se, ainda, a questão da representação em planta, dando particular ênfase à determinação da escala a usar. Na parte inicial do capítulo, a tónica é colocada nos erros de observação nas medidas e na forma como estes afetam a precisão

levantamento.

No Capítulo 4, ilustram-se métodos para obter informação geométrica a partir de cartas

medição de áreas e volumes sobre as cartas, embora um dos métodos de medição de áreas apresentado num dos exercícios seja mais adequado à utilização de medidas obtidas dire-tamente no terreno, nomeadamente, ângulos e distâncias. Atendendo a que, em muitos dos exercícios, se aborda a questão do volume de terras a movimentar em função de novos pro-jetos a implantar no terreno, os Autores consideraram pertinente fazer acompanhar alguns exercícios do assunto da piquetagem de projetos. São, ainda, mostradas formas para estimar a precisão ou o erro máximo nos volumes calculados através das respetivas fórmulas de propagação de erros.

Hoje em dia, a utilização da tecnologia de posicionamento por satélite para obtenção de informação georreferenciada é bastante comum, havendo evidentes e vantajosas aplicações

GNSS, particularizando para o caso português. Neste âmbito, são discutidos os sistemas de

Também a problemática da conversão entre altitudes elipsoidais (as obtidas primariamente com esta tecnologia) e altitudes ortométricas é retratada. São propostos diferentes exercícios

os passos envolvidos na sua resolução.

Em suma, complementando esta obra o livro , dos mes-mos Autores (Gonçalves, Madeira e Sousa, 2012), o leitor deverá aprofundar aí os conceitos abordados ao longo dos exercícios resolvidos. De um modo geral, percorrem-se neste livro,

na prossecução dos seus trabalhos de campo e de gabinete e facultando, ainda, aos estudan-

que decerto será de grande utilidade.

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3Nivelamento

Figura

1.1Veri#cação do estado do nível: (a) observação a distâncias iguais para obtenção do desnível verdadeiro; e (b) observação próxima de uma mira para fazer “aparecer” o erro de inclinação do nível.

1.3 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICOCom os exercícios sobre nivelamento trigonométrico aqui apresentados, pretendemos demons-

1.3.1 Desenvolvimento do trabalho de campo

Para transportar altitudes, desde uma marca de altitude conhecida, será, muitas vezes, ne-cessário dividir o percurso total numa série de troços mais pequenos. Neste caso, a metodo-logia aplicada, em termos de operações de campo, é semelhante ao nivelamento geométrico composto, com a ressalva de que, no nivelamento trigonométrico, uma das extremidades do desnível a medir é ocupada por uma estação total ou por um taqueómetro. O esquema teórico do nivelamento trigonométrico apresenta-se, de seguida, na Figura 1.2.

E

P

h

a

H

a.v.

dhoriz

incld

Z

Figura

1.2 Representação esquemática do nivelamento trigonométrico.

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19Nivelamento

(excluiu-se o tro-ço )

podemos proceder à compensação.

2. Cálculo das compensações

Neste caso, teremos de compensar 1 mm em cada estação.

3. Preenchimento da caderneta de nivelamento

Apresenta-se, na Tabela 1.8, a caderneta de nivelamento para este exercício. As célu-las preenchidas a cinzento não serão consideradas na determinação do valor do erro de fecho pelo exposto anteriormente, note-se.

TABELA 1.8 Caderneta de nivelamento

Ponto visado Leitura atrásLeitura

intermédiaLeitura adiante

Desníveis Compensações Cotas

A 1,966 205,0000,514

B 2,601 1,452 205,5140,835 0,001

C 2,233 1,766 206,350-0,712 0,001

D 1,420 1,945 205,639-1,727 0,001

E 2,736 3,147 203,9131,600 0,001

B 1,136 205,514

Somas 7,990 7,994 -0,004

b) Elaboração do per#l

Consideremos, novamente, que a quadrícula apresentada é centimétrica (17 × 7 cm2).

1. Determinação da escala horizontal a usar

36 Topogra a – Exercícios e Tratamento de Erros

na estabilidade do bastão do prisma, na perpendicularidade do prisma relativamente à visada

Considerando a redução à horizontal das medidas efetuadas como Dh�, Dh1� e Dh

2� e desig-

nando a constante do prisma por constP, obtemos:

(2.9)

ou seja:

(2.10)

2.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2.3.1 Cálculo e compensação de poligonal

Fizeram-se medidas, apenas em planimetria, relativas a uma poligonal apoiada nos vértices e , de coordenadas conhecidas, com orientação por P e Q, de acordo com a Figura 2.3.

Figura

2.3 Esquema de observação da poligonal.

A precisão apresentada pelo aparelho de medição angular é de três casas decimais, o que,

e ) e dos pontos de orientação (P e Q) e as medidas efetuadas são dadas na Tabela 2.1, sendo que o sistema de coordenadas em uso é o PT-TM06.

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47Apoio Topográ#co

pela constante 0,9996, de forma a homogeneizar o módulo de deformação linear ao

projeção UTM, é:

(2.14)

Na Tabela 2.5, apresenta-se o resultado destas reduções.

TABELA 2.5Distâncias observadas sucessivamente reduzidas ao elipsoide e ao plano cartográ#co Considerou-se:

Segmento Distâncias médias (D1)Redução ao elipsoide

(D2)Redução ao plano cartográ#co (D3)

Ap1Ap

2270,984 m 270,941 m 270,833 m

Ap2Ap

3253,356 m 253,316 m 253,215 m

Ap3Ap

4234,013 m 233,976 m 233,882 m

Ap4Ap

1278,497 m 278,453 m 278,342 m

2. Cálculo dos e

sucessivos pontos da poligonal. Usam-se os rumos compensados e as distâncias re-

de duas casas decimais, dado que essa é a precisão dos dados iniciais do problema):

76 Topogra a – Exercícios e Tratamento de Erros

Figura

3.1 Decomposição dos erros-padrão.

na determinação do ângulo e na determinação da distância, devido às incertezas instrumental e de posicionamento.

Designaremos por erro transversal (T) o erro linear produzido pelo erro angular azimutal do

aparelho (ea) a uma distância horizontal dh, cujo valor pode ser obtido por:

(3.1)

em que representa o erro angular azimutal do instrumento em radianos. Este erro tem várias causas (componentes), que analisaremos de seguida.

Designaremos por erro longitudinal (L) o erro linear na medição da distância horizontal

(dh). A Figura 3.2 mostra a elipse de erro obtida na observação da posição horizontal de um ponto por ângulo e distância.

Figura

3.2 Elipse de erro.

90 Topogra#a – Exercícios e Tratamento de Erros

Figura

3.9 Esquema de observação com estação total para obter a altura de um edifício.

se deve respeitar o sinal de . No esquema aí apresentado, o seu valor é evidentemente

1. Determinação de alturas trigonométricas

2. Determinação da altura do edifício

3.3.3 Observação e cálculo de poligonal aberta

Numa dada região foi estabelecida uma poligonal, tendo-se feito observações com estação total a partir de dois dos seus pontos. As observações e o esboço encontram-se na Tabela 3.4 e na Figura 3.10, respetivamente.

102 Topogra#a – Exercícios e Tratamento de Erros

-co que representa a variabilidade do erro na medida de áreas para um espectro de altitudes e de distâncias à meridiana que contenham todo o território de Portugal Continental.

Distância à meridiana (m)

Cota

(m

)

Figura

4.2Grá#co que mostra a alteração das áreas, em m2 por ha, após redução ao plano cartográ#co, em função da altitude e da distância à meridiana.

medição de áreas estão na sua grande maioria contidos no intervalo [-0,05%, 0,05%], sig-2 por ha e de 500 m2 por km2. Estas quan-

tidades não são desprezáveis em determinadas operações, como, por exemplo, o cálculo de volumes, sendo, por isso, importante ter em conta esta redução sempre que necessário. Por

para a superfície terrestre.

(4.4)

Com:

: a área medida sobre a superfície terrestre;

Fact: a quantidade apresentada na equação (4.2).

(4.5)

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115Trabalho sobre Plantas e Cartas Topográ#cas

Figura

4.9 Planta.

a) Percorreu-se as curvas de nível e três vezes com um planímetro digital, obtendo--se as leituras , 3347 e para a curva e as leituras , , para a curva . Sabendo que o planímetro está calibrado para obter áreas na planta em mm2, determine as áreas reais mais prováveis interiores às curvas de nível. Apresente-as em m2.

b) Apresente estimativas para o erro cometido nessas medições através do desvio-padrão.

c) Calcule o volume aproximado de terras a remover, sabendo que se pretende fazê-lo a partir da cota 420 m. Considere um índice de descompactação do material de 5%.

d) Apresente uma estimativa de erro para o volume calculado através da fórmula da propa-gação do desvio-padrão.

Introduz-se neste exercício o cálculo de volumes pela fórmula do prismoide, a qual se aplica aos tipos de volume que se assemelham à forma de uma secção cónica. Também se introduz um método de medição de áreas sobre plantas comum, que é o uso do planímetro. As leituras com planímetro, por norma três para cada área, permitem encontrar estimativas de precisão quer para as áreas medidas quer para os volumes que se calculam com aquelas. Passemos às resoluções.

a) Medição de áreas com planímetro

Um planímetro é um equipamento que permite a um utilizador medir áreas na planta, percorrendo a sua linha limítrofe. Teoricamente, o planímetro obtém a área exata corres-pondente à linha percorrida, no entanto, o nível de aproximação desta ao perímetro ver-dadeiro determina um erro de medição. Por esse facto, fazem-se usualmente três medidas (leituras), sendo a área medida obtida através da leitura média (LM) e sendo, ainda, possí-vel encontrar uma estimativa de erro para a medição através do desvio-padrão. Teremos,

124 Topogra#a – Exercícios e Tratamento de Erros

A operação destas redes é, de uma forma geral, muito simples, permitindo uma precisão elevada em tempo real. Os equipamentos possibilitam, também, o armazenamento de medi-das para pós-processamento. Os principais cuidados que os utilizadores deverão ter no uso

sistemas de referência utilizados.

São as seguintes as redes existentes: a rede RENEP e a rede SERVIR. Vejamos.

5.2.1 A rede RENEP

A RENEP (Rede Nacional de Estações Permanentes) é mantida pela DGT (Direção-Geral do

opera no datum ETRS89 ( ), pelo que a sim-PT-TM06.

5.2.2 A rede SERVIR

SERVIR (Sistema de Estações de

de estações virtuais, em que o sistema de gestão da rede gera, por cálculo, as medidas de uma estação virtual, simulada num local de interesse para o utilizador.

Quanto à rede SERVIR, dado que se destina, em primeiro lugar, ao uso militar, utiliza um sistema de referência mais próximo do WGS84, concretamente o ITRF2005 (Internatio-

). Esta diferença de sistema de referência traduz-se numa diferença posicional planimétrica de cerca de 0,5 m relativamente às coordenadas

-mação entre os dois sistemas. Será apresentado o Exercício 5.5.1 acerca deste assunto.

5.3 OBTENÇÃO DE COORDENADAS WGS84Descrevem-se, a seguir, dois métodos que permitem obter diretamente coordenadas no datum WGS84, um com posicionamento apenas por pseudodistâncias e outro através de um processamento do tipo PPP (Precise Point Positioning). Este segundo método permite, atualmente, uma precisão muito elevada, sendo o primeiro mais limitado. Em qualquer um dos casos, é importante fazer uma análise de precisão dos resultados. Mais à frente, são apre-sentados exercícios correspondentes a cada uma destas formas de observação.

5.3.1 Obtenção de coordenadas aproximadas por pseudodistâncias

A utilização de sistemas relativo, partindo de redes de apoio previamente existentes. Os tipos de apoio a considerar são: redes de estações permanentes, transmitindo em tempo real; estações permanentes, das

132 Topogra#a – Exercícios e Tratamento de Erros

É de notar que:

As coordenadas ITRF2005 do vértice se encontram na Tabela 5.1; Os parâmetros do elipsoide WGS84 (a usar nesta transformação) são praticamente

os mesmos que os do GRS80, já apresentados.

Teremos, então, para este ponto, as seguintes diferenças de coordenadas cartesianas geocêntricas:

= +0,186 m

= �0,327 m

Z = �0,331 m

5. Diferenças entre coordenadas cartesianas geocêntricas sobre os data ETRS89 e ITRF2005 para todos os pontos em estudo

Este cálculo pode ser facilmente efetuado numa folha de cálculo, bastando a inserção

linhas permite repetir o cálculo para as restantes estações. Encontraram-se, então, os valores para as diferenças de coordenadas cartesianas geocêntricas nos 20 pontos considerados apresentados na Tabela 5.2.

TABELA 5.2

EstaçãoDiferenças (m)

EstaçãoDiferenças (m)

∆X ∆Y ∆Z ∆X ∆Y ∆Z

Alcochete 0,186 -0,327 -0,331 Mafra 0,234 -0,339 -0,298

Chaves 0,253 -0,335 -0,248 Paço D'Arcos 0,212 -0,358 -0,313

Coimbra 0,225 -0,341 -0,291 Póvoa de Varzim 0,206 -0,329 -0,315

Covilhã 0,227 -0,347 -0,297 Sagres 0,200 -0,350 -0,314

Caldas da Rainha 0,220 -0,344 -0,308 São Jacinto 0,216 -0,338 -0,296

Elvas 0,213 -0,351 -0,300 Santa Margarida 0,220 -0,342 -0,300

Estremoz 0,218 -0,349 -0,298 Tavira 0,239 -0,321 -0,282

Évora 0,192 -0,339 -0,321 Vendas Novas 0,216 -0,330 -0,303

Faro 0,208 -0,328 -0,311 Vila Real 0,213 -0,329 -0,310

Leiria 0,212 0,340 -0,311 Viseu 0,202 -0,348 -0,294

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