topografia aplicada ao georreferenciamento plano ...paulo.borges/download/3f/... · 1 topografia...
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TOPOGRAFIA APLICADA AO GEORREFERENCIAMENTO
Plano Topográfico Local
Prof. Paulo Augusto F. Borges Engenheiro Agrimensor
OUTUBRO 2014
2
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 3
2. PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL ......................................................................... 4
o Definição do Plano Topográfico Local ................................................................................ 4
o Extensão do Sistema Topográfico Local .............................................................................. 5
o O Sistema Topográfico Local ............................................................................................... 9 3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS ..................................................... 17
o Transformações de Coordenadas Geodésicas em Topográficas Locais ............................. 17
11.2. Transformações de Coordenadas Topográficas Locais em Geodésicas...................... 21
11.3. Determinação do Norte geográfico a partir das coordenadas plano retangulares no sistema topográfico local de pontos definidores dos azimutes planos (topográficos) ............... 23
11.4. Exemplo de Transformação de coordenadas Geodésicas em plano retangulares no plano topográfico local: ............................................................................................................. 25
11.5. Exemplo de transformação de coordenadas planoretangulares - plano topográfico local em coordenadas geodésicas .............................................................................................. 29
4. BIBILIOGRAFIA .................................................................................................... 35
3
1. INTRODUÇÃO
A obtenção das coordenadas geodésicas de pontos na Superfície física da Terra, utilizando
o posicionamento por satélites, através da técnica de posicionamento global GPS, tem se tornado
uma tarefa comum em vários campos de aplicação, inclusive para fins de levantamentos
topográficos.
A prática deste tipo de posicionamento tem demonstrado que é possível obter resultados
com diferentes níveis de precisão, dependendo do equipamento utilizado, da metodologia adotada
e do processamento empregado. Com a evolução dos receptores geodésicos, melhores técnicas de
observação disponível e dos modernos e sofisticados métodos de ajustamento empregados, pôde-
se alcançar precisões (estatísticas) das coordenadas na casa de centímetros, e em alguns casos, de
milímetros, desde que o rastreamento das portadoras seja efetuado por períodos longos, e se
utilizem técnicas de pós-processamento dos dados.
Assim, o advento do uso de receptores GPS para fins de levantamentos topográficos
trouxe grandes facilidades para as práticas de georreferenciamento de glebas, que se tornou uma
tarefa comum aos engenheiros do mensuramento e profissionais de áreas afins, devido à
regulamentação da atual Lei de Registro de Terras 10.267 através do decreto 4.449 de 30 de
outubro de 2002. Segundo a nova Lei, nos casos de desmembramento, parcelamento ou
remembramento de imóveis rurais, a identificação de um imóvel rural será obtida a partir do
memorial descritivo, contendo as coordenadas dos vértices definidores dos limites dos imóveis
rurais, georreferenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro.
Com isso, tornou-se cotidiano a manipulação (transformação) de coordenadas entre
diferentes sistemas, cabendo a nós, profissionais da área do mensuramento, dominar com
desenvoltura o processo de transformação de pontos geodésicos caracterizados por suas
coordenadas geodésicas para coordenadas plano-retangulares no Sistema Topográfico Local e
vice-versa. Para tal fim, cabe salientar, portanto, que é primordial o conhecimento e o domínio
dos métodos e as técnicas convencionais aplicados aos levantamentos topográficos, uma vez que
mesmo com o avanço da tecnologia para posicionamento baseado na recepção de satélites, muitas
4
vezes teremos que recorrer aos métodos tradicionais da Topografia. É também de extrema
importância, dominar o Sistema de Projeção UTM, evitando-se o seu emprego generalizado, tal
como a transformação das Coordenadas Planas no Sistema UTM para Coordenadas Planas no
Sistema Topográfico Local, com aplicações das correções relativas ao fator de deformação linear
(fator K) e ao fator de elevação, porém, sem o estabelecimento de uma origem, abstraindo-se o
efeito da curvatura terrestre, o que ocasiona erros além do limite de precisão requerido pelo
levantamento topográfico.
2. PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL
o Definição do Plano Topográfico Local
É definido por um sistema plano-retangular X,Y que representa as posições de pontos de
um levantamento topográfico. Uma terceira grandeza, a altura (cota ou altitude) junta-se às
coordenadas planas X e Y, determinando a posição tridimensional dos pontos. A origem deste
sistema de coordenadas planas é um vértice geodésico com coordenadas geodésicas conhecidas e
o plano de referência é tangente, neste ponto, ao geóide, ou matematicamente, à superfície de
referência (elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado.
Figura 2.1– Definição do Plano Topográfico Local.
5
Assim, todas as distâncias e ângulos determinados nas operações topográficas são
pressupostos como sendo a projeção em verdadeira grandeza sobre o Plano Topográfico Local.
Neste caso há uma coincidência da superfície de referência com o plano tangente a esta
superfície, o que permite concluir que há uma desconsideração da curvatura da Terra. Entretanto,
esta desconsideração só é admitida desde que os erros desta abstração não ultrapassem os erros
provenientes das operações topográficas, face à precisão dos instrumentos de medição e
processos de cálculo empregados.
o Extensão do Sistema Topográfico Local
A extensão do Sistema Topográfico Local é limitada pela precisão requerida para a
determinação das posições dos pontos no processo de levantamento e do erro ocasionado pela
desconsideração da curvatura terrestre, em um alinhamento definido pela distância do ponto mais
afastado do levantamento em relação à origem do sistema.
Seja a Figura 10.2, onde SF é um trecho da Superfície Física, PT é o plano tangente ao
geóide na origem do Sistema Topográfico (ponto A1), R é o raio da Terra, supostamente esférica.
Seja B um ponto da superfície física, cuja projeção sobre o plano tangente é definida pelo ponto
B1, e sobre o geóide é o ponto B2.
Sejam D e D1 as distâncias entre os pontos A e B referidas ao geóide A1B2 e ao plano
tangente A1B1, respectivamente.
6
Figura 2.2 – Erro devido à curvatura da Terra.
Verifique que:
D1 = A1B1 = R . tan α (1)
Admitindo-se que α é um ângulo muito pequeno, pode-se escrever:
D = arco A1B2 = R.α (2)
A diferença entre D1 e D é denominada de erro planimétrico (∆D) devido à curvatura da
Terra, portanto:
∆D = D1 – D (3)
∆D = R . tan α – R.α = R (tan α – α) (4)
Sendo o ângulo central α muito pequeno, convém desenvolver a função tangente em série
de potências:
7
tan α = α + α3/3 + 2α5/15 + 17α7/315 + ... (5)
Limitando a expressão ao segundo termo deste desenvolvimento e substituindo a
expressão (5) na equação (4) tem-se:
∆D = R. α3 (6) 3
Da expressão (2) tem-se α em função de R e D:
α = D/R ���� α3 = D3/R3 (7)
Inserindo a equação (7) na equação (6) tem-se:
∆D = D3/3R2 (8)
Esta é a expressão do erro planimétrico devido à curvatura da Terra. O erro ∆D
corresponde a um erro ε na escala E da planta, ou seja:
∆D = ε/E (9)
Fazendo E = 1/M, onde M é o “módulo da escala”, tem-se:
∆D = ε x M (10)
O erro ε é a menor dimensão que se pode perceber em uma planta topográfica, ou à
espessura do traço mais fino do desenho. A seguir, estão consignados na Tabela abaixo, diversos
valores de distâncias calculadas sobre o geóide e sobre o plano tangente de referência, incluindo
também os erros planimétricos “absolutos” e “relativos”.
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R = Raio Médio da Terra = 6370 Km
δ = erro relativo aproximado
• Os valores ideais para a extensão do Sistema Topográfico Local são admitidos como sendo
de 50 km para um erro relativo máximo de 1:35.000;
• Para cartografia de âmbito municipal: 70 km para em erro relativo máximo de 1:20.000;
• Para cartografia, em áreas urbanas e especiais: 35 km para um erro relativo máximo de
1:100.000
Entretanto, pode-se reduzir estes valores considerando-se o relevo do terreno. A altitude
da maioria dos pontos do terreno não deve variar de ± 150 m da altitude média do terreno
conforme a finalidade do levantamento topográfico. Tanto no caso dos valores ideais para a
determinação da área de abrangência do sistema como no de suas reduções em função do relevo
do terreno, deve-se estabelecer novos planos tangentes de modo que cada sistema apresentará
uma origem distinta, porém “amarrados” entre si em pontos comuns cujas coordenadas
geodésicas são conhecidas.
Nos levantamentos topográficos regulares, em função dos instrumentos utilizados no
processo de medição e das metodologias de cálculo empregadas, admite-se erros relativos da
ordem de 1:200.000. Isto equivale a um erro de aproximadamente 10 cm em 20 km. Logo pode-
se concluir que não há a necessidade de correção do erro devido à curvatura nestas
α D1 = R . tan α D = R.α ∆D (m) δ 8’ 14823,690 14823,663 0,027 1 : 550.000 9’ 16676,659 16676,621 0,038 1 : 430.000 10’ 18529,631 18529,579 0,052 1 : 350.000 12’ 22235,585 22235,495 0,090 1 : 250.000
12,5’ 23007,661 23007,560 0,100 1 : 230.000 13’ 24088,567 24088,453 0,115 1 : 210.000
13,1’ 24335,632 24335,514 0,118 1 : 205.000 13,25’ 24551,814 24551,692 0,122 1 : 201.000 13.5’ 25015,060 25014,932 0,129 1 : 190.000 15’ 27794,545 27794,368 0,176 1 : 150.000
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circunstâncias, sendo que a partir deste limite a curvatura da terra já não se torna desprezível.
Convém, entretanto, verificar a escala da planta e o erro admissível conseqüente, e assim efetuar
ou não a correção ∆D. Por outro lado, na maioria dos casos o levantamento topográfico não
excede o espaço do terreno limitado por uma malha do canevas geodésico (lados entre 5 e 6 km),
o que permite admitir a hipótese de que em uma porção do terreno nestas circunstâncias, a
curvatura terrestre é desprezível.
o O Sistema Topográfico Local
O sistema topográfico local, conforme consta na NBR 13133 (1994), pode ser descrito
pelas seguintes características:
a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, ou seja, o centro de projeção está
localizado no infinito;
b) a superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície
terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao
datum vertical brasileiro;
c) as deformações máximas inerentes a desconsideração da curvatura terrestre e a refração
atmosférica podem ser definidas (de forma aproximada) pelas seguintes expressões:
l = - 0,4 mm/3 Km;
h = + 78,5 mm/2 Km;
h’ = + 67,0 mm/2 Km;
onde:
l = deformação planimétrica devido à curvatura da Terra, em mm
h = deformação altimétrica devido à curvatura da Terra em mm
h’= deformação altimétrica devido ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração
atmosférica, em mm/distância considerada no terreno, em Km.
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d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 50 Km a partir da origem
de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não
ultrapasse 1/35000 nesta dimensão e 1/15000 nas imediações da extremidade desta dimensão.
e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de
projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide
com a do levantamento topográfico.
Conforme a alínea (e), temos que, em um levantamento topográfico a posição relativa dos
pontos da superfície terrestre é caracterizada pelas coordenadas num sistema cartesiano
ortogonal, em duas dimensões (Ver Figura 2.2). A origem dos dois eixos cartesianos coincide
com a origem do sistema topográfico local, onde o eixo das ordenadas (Y) está orientado segundo
a direção Norte-Sul verdadeira coincidindo-se com a linha do meridiano na origem. O eixo
positivo das abscissas (X) forma 90º na direção Leste.
Figura 2.3 – Coordenadas Plano Retangulares no plano topográfico local.
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O sistema topográfico local, face às suas limitações quanto à sua extensão (conforme
visto no item 5.2), permite tratar a superfície matemática da terra, dada pelo elipsóide de
revolução, como sendo supostamente uma esfera (esfera de adaptação de Gauss), onde o raio da
Terra é dado pelo raio médio do elipsóide de referência no ponto definido como sendo a origem
do sistema topográfico local (ver Figura 2.3).
Figura 2.4 – O sistema topográfico local.
Para que todas as distâncias e ângulos determinados nas operações topográficas sejam
considerados como sendo a projeção em verdadeira grandeza sobre o Plano do Horizonte Local,
faz-se necessário elevar o plano à altitude média do terreno, transformando-se assim no plano
topográfico local (ver Figura 2.5).
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Figura 2.5 – Conceitos básicos do sistema topográfico local.
Dessa forma, as coordenadas plano retangulares do ponto origem (apoio geodésico ao
levantamento topográfico), devem ser afetadas por um fator de elevação, determinado pela
seguinte expressão:
• c= (Rm+Ht)/Rm.
ou aproximadamente:
• c = 1 + 1,57 x 10 -7 x Ht.
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As coordenadas plano retangulares da origem do sistema são dadas por X = 0 e Y = 0.
Entretanto, para evitarmos pontos no plano topográfico com coordenadas negativas, é comum
arbitrar um valor inicial para o ponto de origem, lembrando-se sempre do valor máximo para a
extensão do plano topográfico local (50 Km). Dessa forma as coordenadas do ponto de origem se
apresentarão somadas de termos constantes (exemplo, X = 150.000 e Y = 250.000) KX e KY,
para os os eixos X e Y respectivamente.
Logo, temos que:
X = 0 + KX = KX
Y = 0 + KY = KY
Para orientação dos alinhamentos utiliza-se o azimute plano de suas direções. Este
azimute é dado pelo ângulo formado por uma direção de um determinado alinhamento com o
norte da quadrícula (NQ), sendo o vértice, o ponto inicial deste alinhamento. As linhas paralelas
ao eixo Y no canevas do plano topográfico local se referem às projeções de linhas geodésicas
(meridianos) paralelas ao meridiano da origem (O). Logo, enquanto as direções Norte e Sul
geodésicas, convergem para os pólos, no plano topográfico local as direções são representadas
paralelamente ao meridiano central e representam as direções Norte e Sul de quadrícula. A
diferença angular entre as direções norte-sul geodésica (NG)e norte-sul na quadrícula (NQ) é
definida como a convergência meridiana, que é utilizada para transformar azimute verdadeiro,
determinado pela astronomia, em azimute topográfico que é referido ao norte de quadrícula e
vice-versa (ver Figura 2.6).
A convergência meridiana (γ) só deve considerada no caso de utilização de elementos
colhidos em planta para locação em campo com a finalidade de aviventação de rumos ou para
elaboração de memoriais descritivos de perímetros de propriedades em registros públicos ou em
ações judiciais. Em plantas de projetos e obras de engenharia, a consideração da convergência
meridiana é irrelevante
A Figura 2.6 representa o comportamento da convergência meridiana em algumas
direções indicadas nos vértices iniciais de cada direção, para um plano topográfico local situado
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no hemisfério sul. A convergência meridiana nos pontos situados a leste da origem do sistema
topográfico local, apresenta valores negativos, enquanto à oeste apresenta valores positivos.
Figuras 2.6 – Exemplo da convergência meridiana no hemisfério Sul.
A Figura 2.7 a seguir representa o comportamento da convergência meridiana para um
plano topográfico local, situado no hemisfério norte. A convergência meridiana nos pontos
situados a leste da origem do sistema topográfico local, apresenta valores positivos, enquanto à
oeste apresenta valores negativos.
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Figuras 2.7 – Exemplo da convergência meridiana no hemisfério Norte.
Para o caso da origem do sistema se situar exatamente no equador, conforme pode ser
visto pela Figura 2.8, têm-se as seguintes situações.
Pontos situados no eixo dos X (linha do equador): γ = 0;
Pontos situados no primeiro quadrante: γ > 0;
Pontos situados no segundo quadrante: γ < 0;
Pontos situados no terceiro quadrante: γ > 0;
Pontos situados no quarto quadrante: γ < 0.
Nos dois hemisférios, pontos situados exatamente no mediano da origem têm valores
nulos para a convergência meridiana γ.
NQ NG
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Figuras 2.8 – Exemplo da convergência meridiana quando a origem se situa na linha do equador.
Para estabelecer um sistema topográfico local,deve-se, inicialmente, calcular as
coordenadas plano retangulares dos pontos geodésicos utilizados como apoio geodésico ao
levantamento topográfico. Estas coordenadas são obtidas a partir das coordenadas geodésicas
destes pontos (ϕ,λ) e das coordenadas geodésicas da origem (O) do sistema (ϕo, λo), por
intermédio das fórmulas da solução inversa do problema geodésico de transporte de coordenadas
geodésicas, cujas coordenadas plano retangulares são objetos de determinação.
A origem do sistema (O) pode ser, ou não, um ponto do apoio geodésico. Neste caso
recomenda-se que o mesmo esteja próximo ao centro da área do levantamento.
Caso contrário, pode ser escolhido um ponto qualquer, não necessariamente identificado e
materializado no terreno, sendo as suas coordenadas geodésicas impostas, convenientemente, a
fim de que o ponto mais afastado da área de abrangência do sistema não proporcione um erro
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devido à negligência da curvatura da terrestre que exceda o erro possível de ser cometido pela
operação topográfica. A partir das coordenadas plano retangulares dos pontos de apoio geodésico,
calcula-se as demais coordenadas pelo processo convencional da topografia.
3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS
3.1 Transformações de Coordenadas Geodésicas em Topográficas Locais
3.2.11 Problema
Calcular as coordenadas plano retangulares (x, y) de um ponto P de coordenadas
geodésicas (ϕ,λ), a partir das coordenadas geodésicas da origem do sistema topográfico
local (ϕ o,λo) cujas coordenadas plano retangulares são X Y0 0, (arbitrárias).
3.2.12 Fórmulas
X x k
Y y k
x
y
0 0
0 0
= +
= +
x y0 0 0= =
kx , k y = constantes arbitrárias
X x k
Y y k
x
y
= +
= +
( ) ( )[ ]
x N arc c
yB
C x D E x E C x c
p= −
= + + + +
∆λ
∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ
1 0
12
1
2
12 4
1
1
.cos . . " .
. . . . . .
ϕ
Ax
y=
−tan 1 ∆
∆
18
∆
∆
x x x x
y y y y
= − =
= − =
0
0
∆λ
∆ϕ
= −
= −
λ λ
ϕ ϕ0
0
∆ ∆λ λ1 = ×" correção arco-seno =( )
∆×−×∆ 2
2
)"(6
"1sen1" λλ
×∆=∆ "1 ϕϕ correção arco-seno =( )
∆×−×∆ 2
2
)"(6
"11" ϕϕ
sen
( ) ( )[ ]21222
1 "109173,31")"(6
"11"" ϕϕϕϕϕ ∆××−×∆=
∆×−×∆=∆ −sen
( )∆ ∆λ∆ϕ
∆λ
∆
A F
A A A
m
o
= − +
= + ±
" .sen .sec . "
'
ϕ2
180
3
N A N Ap0 0× × = − × ×sen cos sen ' cosϕ ϕ (prova)
BM arc
=×
1
10 "
CM N arc
=× × ×
tan
"
ϕ 0
0 02 1
( )D
e arc
e
=× × × ×
× −
3 1
2 1
20 0
2 20
3
sen cos "
.sen
ϕ ϕ
ϕ
19
EN
=+ ×
×
1 3
6
20
02
tan ϕ
F m m=× ×sen cos sen "ϕ ϕ 2 1
12
cM N H
M N
t=× +
×
0 0
0 0
ϕϕ ϕ
m =+ 0
2
( )
( )M
a e
e0
2
2 20
3
1
1=
× −
− × sen ϕ
Na
e0 2 2
01=
− × sen ϕ
Na
ep =
− ×1 2 2sen ϕ
( )ea b
af f=
−= × −
2 2
2 2
fa b
a
b
a=
−= −1
onde:
20
N0 - raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano do elipsóide em O
(origem);
N p - raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano do elipsóide em P;
M0 - raio de curvatura das seção meridiana do elipsóide em O (origem);
a - semi-eixo maior do elipsóide de referência;
b - semi-eixo menor do elipsóide de referência;
e - primeira excentricidade do elipsóide de referência;
f - achatamento do elipsóide de referência;
A - azimute topográfico e geodésico da direção OP;
A' - azimute geodésico recíproco de A (somente para utilização na PROVA);
γ - convergência meridiana em P;
c - fator de elevação;
Ht - altitude ortométrica do plano topográfico.
3.2.13 Observações:
� Na aplicação das fórmulas considerar ϕ negativo no hemisfério sul, λ
crescendo positivamente para oeste.
� Os coeficientes C, D e F são negativos no hemisfério sul.
� O eixo das ordenadas é o eixo dos Y e o das abscissas é X.
� O azimute A é topográfico e também geodésico, pois em O a convergência
meridiana é nula e A' é elipsóidico, estes azimutes servem para a prova (detecção
de erros grosseiros nos cálculos). O azimute recíproco no sistema topográfico
local é igual a A ± 180°, não levando em conta a convergência meridiana.
21
3.2 Transformações de Coordenadas Topográficas Locais em Geodésicas
3.2.1 Problema
Calcular as coordenadas geodésicas ϕ e λ de um ponto P dado por suas
coordenadas plano retangulares X e Y, a partir destas e das coordenadas geodésicas φ0 e
λ0 e plano retangulares X 0 e Y0 da origem O do sistema topográfico local.
3.2.2 Fórmulas
X x k
Y y k
x
x
0 0
0 0
= +
= +
x y0 0 0= =
kx , k y = constantes arbitrárias
x X k
y Y k
x
y
= −
= −
xx
c
yy
c
'
'
=
=
cM N H
M N
t=× +
×
0 0
0 0
Ht = altitude ortométrica do plano topográfico
( )
( )M
a e
e0
2
2 20
3
1
1=
× −
− × sen ϕ
22
Na
e0 2 2
01=
− × sen ϕ
Na
ep =
− ×1 2 2sen ϕ
s x y= +' '2 2 ⇒ s = distância topográfica OP
A = azimute topográfico da direção OP = tan'
'−1 x
y
ϕ ϕ= +0 ∆ϕ
Correção de ∆ ∆′′ =ϕ ϕ1 ⇒ ∆ ∆ϕ ϕ1 1= ′′× correção arco seno
( ) ( )
∆×+×∆=∆−
21
2
1 "6
"11"" ϕϕϕ
arc
( )∆ϕ1
2" " "= − − ×δϕ δϕD (em segundos)
δϕ12 2 3 2" . .cos . .sen . . .sen .cos= + −B s A C s A B E s A A
λ λ λ= +0 ∆
∆λ ∆λ" "= ×1 correção arco-seno ( ) ( )
∆×+×∆=
21
2
1 "6
"11" λλ
arc
∆λ1
1
1"
"sen sec=
×× × ×
N arcs A
p
ϕ
( )− = ×+
× + ×∆ ∆λ∆ϕ
∆λA F" sen sec "ϕ ϕ 0 3
2 2
A A A o' = + ±∆ 180 = azimute geodésico da direção PO
PROVA: N A N Ap0 0× × = − × ×sen cos sen ' cosϕ ϕ
onde N N M a e cp0 0, , , , ,
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têm as mesmas definições apresentadas em 5.2. e os coeficientes B, C, D, E e F têm
também as mesmas expressões.
3.2.3 Observações:
� Na aplicação das fórmulas fazer as mesmas considerações contidas em 11.1.3.
� A prova serve apenas para detectar erros grosseiros no cálculo dos valores de
A e A' que são, neste caso, o azimute geodésico direto da direção OP e o seu
azimute geodésico recíproco, respectivamente, cuja diferença é a convergência
meridiana em P.
3.3 Determinação do Norte geográfico a partir das coordenadas plano retangulares
no sistema topográfico local de pontos definidores dos azimutes planos
(topográficos)
3.3.1 Problema
Calcular a convergência meridiana no vértice do azimute plano (topográfico) de
uma direção, dado por suas coordenadas plano retangulares no sistema topográfico local e
a partir deste azimute determinar a direção do norte geográfico (verdadeiro) com a
aplicação da convergência meridiana. O problema tem como dados: as coordenadas plano
retangulares dos pontos definidores da direção conhecida ou seja P (vértice do azimute) e
Q (ponto visado); as coordenadas plano retangulares e as coordenadas geodésicas da
origem do sistema topográfico local e a altitude do plano topográfico.
3.3.2 Fórmulas
( )P x yp p, ( )Q x yq q, ( )O x y0 0, ( )O φ λ0 0,
24
( )PQx x
y yt
q p
q p
=−
−
−tan 1
( ) ( )PQ PQg t p= + γ
x y0 0 0= =
X x kx0 0= + ∴ =k Xx 0
Y y k y0 0= + ∴ =k Yy 0
kx , k y = constantes arbitrárias
x X kp p x= −
y Y kp p y= −
( ) ( )
∆×+
∆××∆−= 3"
2cos
1sen(" pmpp F λ
ϕϕλγ
onde
( )PQt - azimute topográfico da direção PQ;
( )PQg
- azimute geodésico da direção PQ;
γ p - convergência meridiana em P com valor dado em segundos
25
3.4 Exemplo de Transformação de coordenadas Geodésicas em plano retangulares no
plano topográfico local:
3.4.1 Dados
- Origem O
ϕ0= 22°42’34.87698” S
λ0= 50°38’14.56789” W
X0= 150.000,000 m
Y0= 250.000,000 m
• Altitude do plano topográfico Ht= 567,00 m
• Elipsóide de referência: Elipsóide Internacional de 1967 (UGGI-67)
a = 6378160,000
e = 0.081820180369054
1-e2= 0.993305458
- Ponto P
So "67892.23'3422=ϕ
Wo "43874.23'3250=λ
3.4.2 Cálculos preliminares
26
Na
e0 2 2
01=
−=
.sen ϕ 6381344,3852 m
=−
=ϕ22.1 sene
aN p 6381308,20401 m
( )
( )M
a e
e0
2
2 20
3
1
1=
−
−
=.
.sen ϕ 6344955,0806
∆ϕ = − =ϕ ϕ 0 0.136443905556°
∆ϕ ∆ϕ" = × =3600 491.198060002”
∆λ = − =λ λ 0 0.097535875°
∆λ ∆λ" = × =3600 351.12915”
ϕϕ ϕ
m =+
=0
2 - 22.6414660972°
6108481368111,4"1 −×=arc
BM arc
= =1
10 . " 0,0325084738389772
CM N arc
= =tan
. . . "
ϕ 0
0 02 1 -1.066 × 10-9
( )D
e arc
e
=
−
=3 1
2 1
20 0
2 20
3
. .sen .cos . "
. .sen
ϕ ϕ
ϕ -1.73639281055 × 10-8
EN
=+
=1 3
6
20
02
.tan
.
ϕ 6.24340176535 × 10-15
27
==12
"1.cos. 2sensenF mm ϕϕ
−6.95917 × 10-13
=∆ 1λ ( )
∆×−×∆ 2
2
)"(6
"1sen1" λλ = 351.12915”
=∆ 1ϕ ( )
∆×−×∆ 2
2
)"(6
"11" ϕϕ
sen= 491.198060002”
cM N H
M N
t=+
=0 0
0 0
.
.1.000089107
3.4.3 Cálculo de x
=∆= carcNx p ".1..cos.1 ϕλ 10031.704379
3.4.4 Cálculo de X
X x kx= + = 160031.704379
3.4.5 Cálculo de y
( ) ( )[ ]cxCExEDxCB
y .......1 42
12
12
1 +∆+∆++∆= ϕϕϕ
y = 15107.761308
3.4.6 Cálculo de Y
Y y k y= + = 265107.761308
28
3.4.7 Cálculo de A (azimute topográfico da direção OP)
OBS.: Neste caso A é também o azimute geodésico da direção OP, porque a convergência
meridiana (γγγγ) em O é nula.
"407234.04'3533584557565.33115107,7613
7910031,7043tan 01 ⇒==
= −
y
xA
1° quadrante
3.4.8 Cálculo de γγγγ (convergência meridiana em P)
( )
"171983668,15200
".2
sec.".
0
3
′−=∆
∆+
∆∆−=∆
A
FsenA m λϕ
ϕλ
3.4.9 Cálculo de A' (somente para aplicação na PROVA)
OBS.: A’ é o azimute geodésico da direção PO
"83525.34'32213180' 0=±∆+= oAAA
OBS.: ∆A P= γ
3.4.10 Prova
N A N Ap0 0.cos .sen .cos .sen 'ϕ ϕ= −
38522,63813440 =N 20401,308.381.6=pN
φ 0 = -22°42’34,87698” ϕ = -22°34’23’,67892”
A = 33°35’04.407234” A' = 213°32’34,83525”
N A0 0 5 749 919 316.cos .sen . . ,ϕ = N Ap .cos .sen ' . . ,ϕ = 5 749 919 323
29
A diferença 0.007 se deve às aproximações nos cálculos.
3.4.11 Conclusões
O ponto P está no 1° quadrante do sistema topográfico local, a leste do meridiano
do ponto O (origem-datum) do sistema, o que acarreta para γ p o sinal negativo.
3.5 Exemplo de transformação de coordenadas planoretangulares - plano topográfico
local em coordenadas geodésicas
3.5.1 Dados
- Origem O
ϕ 0 22 48 0388906= o S' . "
λ 0 42 28 03 25712= o ' , "
X m0 150 000 000= . ,
Y m0 250 000 000= . ,
- Altitude do plano topográfico
H mt = 40
- Elementos do elipsóide de referência
a = 6378160.0
e = 0.081820180369054
1-e2 = 0.993305458
- Ponto P
X = 158.896,891 m
30
Y = 248076.972 m
3.5.2 Cálculos preliminares
=−
=
022
0.1 ϕsene
aN 6381345,6263
( )( )
=
−
−=
3
022
2
0
.1
1.
ϕsene
eaM 6345005,5774
6108481368,4"1 −×=arc
( )
72760000062861.1.
.
1037862626746369.6.6
tan.31
1072787418169569.1.1.2
"1.cos...3
1070460707631580.1"1...2
tan
512005130,03250821"1.
1
00
00
15
20
02
8
3
022
002
9
00
0
0
=+
=
×=+
=
×−=
−
=
×−==
==
−
−
−
NM
HNMc
NE
sene
arcseneD
arcNMC
arcMB
t
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
x X k
y Y k
x
y
= − =
= − = −
8896 8556
1923 0280
.
.
31
xx
c
yy
c
' .
' .
= =
= = −
8896 779636
1923 015912
s x y= + =' ' .2 2 9102 28897100275
Ax
y=
= ′ ′′−tan
'
'.1 0102 11 47 864 ( 2° Quadrante topográfico)
(azimute topográfico da direção OP)
3.5.3 Cálculo de δϕ"
δϕ" . .cos . .sen . . .sen .cos= + −B s A C s A B E s A A2 3 2
( )∆ϕ1
2" " "= − − ×δϕ δϕD (em segundos)
∆ϕ 1 62 42873649= − ,
3.5.4 Correção de ∆∆∆∆ϕϕϕϕ
( )7214287446828.62)"(
6
"11" 2
2
1 =
∆×+×′′∆=∆− ϕϕϕ
sen
∆ϕ = ′ ′′0 01 02 42874ο .
3.5.5 Cálculo de ϕ
ϕ ϕ= +0 ∆ϕ
32
ϕ
ϕ
ϕ
0
0
0
22 48 03 88906
22 48 03 88906 0 01 0242874 22 49 06 31781
22 49 06 31781
=
= + =
=
o
o
S
' , "
' , " ' ' ' . "
' ' . "
ο
3.5.6 Cálculo de N p
Na
ep =
−=
163813334075575
2 2.sen
.ϕ
3.5.7 Cálculo de ∆λ1"
∆λ1
1
1311886389415"
. "sen .sec . "= × × = −
N arcs A
p
ϕ
3.5.8 Cálculo de ∆λ"
( )"99887628552.311)"(
6"1
1 "" 21
2
1 =
∆×+∆=∆ λλλ
sen
3.5.9 Cálculo de λ
λ λ λ= +0 ∆
λ = ′′42 22 512683460' . W
3.5.10 Cálculo de F
F m m= =sen .cos .sen "ϕ ϕ2 2 1
12
33
131099953.6 −×−=F
3.5.11 Cálculo de ∆A
( )∆ ∆λ∆ϕ
∆λA Fm= − +
= − ′′" .sen .sec . " ' .ϕ
20 02 00 9448
3 0
3.5.12 Cálculo de A'
A A A o' = + ±∆ 180
A' .= ′ ′′282 09 46 9150
3.5.13 Prova: N A N Ap0 0.cos .sen .cos .sen 'ϕ ϕ= −
N A0 0 5749919 617.cos .sen .ϕ = N Ap .cos .sen ' .ϕ = −5749919 617
3.5.14 Resumo
Coordenadas geodésicas de P
ϕ
λ
= ′ ′′
= ′
22 49 06 31781
42 22 5126834
0
0
.
. "
S
W
• Azimute geodésico da direção OP ⇒ Ag = A + γγγγ , porem, γ = 0
Ag = 102°11’47,864”
• - Azimute geodésico recíproco (direção PO) ⇒ A’g = (A + γγγγ) ±±±± 180
A’g = (102°11’47,864” - 0°02’00,94948”) + 180°
A'g = 282°09’46.915”
34
• - Convergência meridiana em P
γ p A= = − ′ ′′∆ 0 02 00 949480 .
3.5.15 Conclusões • Estando o ponto P no hemisfério sul verifica-se que está no 2° quadrante do sistema
topográfico com origem em O, a leste do meridiano deste ponto, o que acarreta para
γ p A= ∆ o sinal negativo
35
4. BIBILIOGRAFIA
1. LIMA, Divaldo Galvão. “Sistema Topográfico Local” - São Paulo - 1995 em publicação.
2. LIBAULT, André. Geocartografia. São Paulo: Editora Universitária.,[s. ed.], 1975.
3. LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Topografia Contemporânea: Planimetria:
Florianópolis: Ed. da UFSC, 1995. 320 p.
4. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (1ª parte). Curitiba: UFPR.,[s. ed.], 1971.
5. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (2ª parte). Curitiba: UFPR.,[s. ed.], 1971.
6. UZÊDA, Olívio Gondim. Topografia. Rio de Janeiro: Ed. Ao Livro Técnico., 1963.
7. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 13133:
Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35p.
8. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 14166: Rede
de referência cadastral municipal - procedimento. Rio de Janeiro, 1998. 23p.
9. ESPARTEL, Lelis. Curso de Topografia. 9ª ed. Rio de Janeiro, Globo, 1987.
10. INSTITUTO NACIONAL DE COLONIZAÇÃO E REFORMA AGRÁRIA (INCRA).
Normas técnicas para georreferenciamento de imóveis rurais. 2003.