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UNIVERSIDADE DO GRANDE RIO “Prof. José de Souza Herdy”
UNIGRANRIO
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa - PROPEP
Mestrado Profissional no Ensino das Ciências na Educação Básica
THIAGO DE AZEVEDO GOMES
LADRILHAMENTO NO PLANO COM USO DO SOFTWARE
GEOGEBRA
Duque de Caxias – RJ
2017
THIAGO DE AZEVEDO GOMES
LADRILHAMENTO NO PLANO COM USO DO SOFTWARE
GEOGEBRA
Dissertação apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre, do curso de
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e
Matemática do Programa de Pós-Graduação em
Ensino das Ciências da Universidade do
Grande Rio “Professor José de Souza Herdy”.
Área de Concentração: Matemática
Orientador: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia
Lozano
Orientador: Prof. Dr. Agnaldo da Conceição
Esquincalha
Duque de Caxias – RJ
2017
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca Unigranrio
Bibliotecária:
G633l Gomes, Thiago de Azevedo.
Ladrilhamento no plano com uso de software Geogebra / Thiago de
Azevedo Gomes. - Duque de Caxias, 2017.
86 f.: il.; 30 cm.
Dissertação (mestrado em Ensino das Ciências na Educação Básica) – Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”, Escola de Educação, Ciências, Letras, Artes e Humanidades, 2017.
“Orientador: Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano”.
“Orientador: Prof. Dr. Agnaldo da Conceição Esquincalha”.
Bibliografia: f. 77-78.
1. Educação. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Ensino de geometria. 4. Interdisciplinaridade. 5. Geogebra (Programa de computador). I. Lozano, Abel Rodolfo Garcia. II. Esquincalha, Agnaldo da Conceição. III. Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”. IV. Título. CDD – 370
“Toda minha Física não passa de uma
Geometria”.
René Descartes
RESUMO
O presente trabalho é definido a partir de uma investigação sobre a aprendizagem de conceitos
geométricos por meio do trabalho com o tema ladrilhamento no plano e uso do software
GeoGebra no celular, com o intuito de entender melhor como o aluno da Educação Básica está
aprendendo tais conceitos, cuja compreensão pode estar relacionada ao modo de trabalho do
professor de Matemática. Tendo em vista esse argumento, pretendemos responder à seguinte
pergunta: “Como favorecer o ensino de Geometria utilizando dispositivos touchscreen?” Aqui
tratamos de considerações sobre a ideia de ladrilhamento no plano e apresentamos opções para
que o trabalho do professor seja acrescido de estratégias e ferramentas que objetivem o efetivo
ensino da Matemática. Como referencial teórico utilizado para o desenvolvimento do estudo,
citamos obras sobre uso da tecnologia em sala de aula e, como metodologia de pesquisa, a
escolha foi pela Engenharia Didática. Os sujeitos de pesquisa foram quarenta alunos do oitavo
ano de uma escola pública do município de Duque de Caxias. Nesse processo, o uso da
tecnologia pode oferecer uma importante contribuição, pois se constatou que o trabalho com
esse enfoque é rico na abordagem de conceitos matemáticos e atividades que contribuem para
que ocorra a formação de um sujeito historicamente situado, firmando, assim, o
comprometimento com a aprendizagem do educando. Finalizamos esta pesquisa com a
elaboração de um Produto Educacional, um GeoGebra Book, o qual contém vídeos produzidos
para o desenvolvimento das atividades da pesquisa, a serem utilizados por qualquer interessado.
Palavras-chave: Ladrilhamento no plano. Ensino de Geometria. GeoGebra.
Interdisciplinaridade. Engenharia didática.
ABSTRACT
This work is set from an investigation into the learning of geometrical concepts by working
with the tiling theme in the plan and use of the GeoGebra software on the phone, in order to
better understand how a student of Basic Education is absorbing these concepts whose
understanding may be related to mathematics teacher work mode. Once we have this assertion,
we intend to answer the following question: "How to promote the Geometry teaching using
touchscreen devices? '' Here we deal with considerations about the idea of tiling the plane, as
well as suggestions so that the teacher's work is to implement strategies and tools which aim to
an effective Mathematics teaching. In this work, there is the choice of a starting point and a
research that will deal with the tiling plan theme. As a theoretical framework used to develop
the study, we quoted works on the use of technology in the classroom and, as a research
methodology, the choice was the Didactic Engineering. The research subjects were students in
the eighth grade in a public school in Duque de Caxias city, totaling 40 students. In this process,
the use of technology may offer an important support, because it has been observed that such
work may provide useful approach on Maths concepts and assignments which colaborates for
a better formation of a historically situated learner, thus reinforcing an educator's commitment
with students' learning. The research is finished with the development of an educational
product, which is a GeoGebra Book, containing videos designed for the development of
researching activities, to be used by any interested party.
Keywords: Piling the plan. Geometry teaching. GeoGebra. Interdisciplinarity. Didactic
Engineering.
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
Figura 1: Exemplos de ladrilhamentos na natureza 20
Figura 2: Alguns ladrilhamentos 20
Figura 3: Configurações 21
Figura 4: Ladrilhamentos com polígonos regulares congruentes 22
Figura 5: Configurações que ladrilham o plano. 24
Figura 6: Ladrilhamentos do mesmo tipo 25
Figura 7: Ladrilhamentos do mesmo tipo 26
Figura 8: Ladrilhamentos do mesmo tipo 26
Figura 9: Ladrilhamentos do mesmo tipo 27
Figura 10: Ladrilhamento com um quadrilátero qualquer 27
Figura 11: Ladrilhamento com um quadrilátero qualquer 28
Figura 12: Tesselação T e sua dual T* 28
Figura 13: O ladrilhamento T e o dual T* 29
Figura 14: O ladrilhamento T e seu dual T* 30
Figura 15: Ladrilhamento T e o dual T* 30
Figura 16: Ladrilhamento obtido do (4,4,4,4) 31
Figura 17: Ladrilhamento obtido da configuração (6,6,6) 31
Figura 18: Ladrilhamento obtido da configuração (3,3,3,3,3,3) 32
Figura 19: Papagaio e flecha criados a partir do pentágono regular 32
Figura 20: Pavimentação aperiódica 33
Figura 21: Exemplos de base nas figuras de Escher 33
Figura 22: Xilogravura de Escher : “Borboletas”- 1948 34
Figura 23: Interface do GeoGebra para smartphone com sistema operacional Android 40
Figura 24: Ladrilhamento construído pelo aluno 3 57
Figura 25: Ladrilhamento construído pelo aluno 5 58
Figura 26: Ladrilhamento com quadrados e retângulos, construído pelo aluno 4 59
Figura 27: Grupo secreto na rede social Facebook 62
Figura 28: Ladrilhamentos produzidos pelos alunos e postados no grupo secreto do
63
Figura 29: Ladrilhamento construído por aluno 63
Figura 30: Introduzindo conceitos geométricos com o software Geogebra, por
meio de vídeos tutoriais
68
Figura 31: Alunos fazendo ladrilhamentos no software Geogebra 69
Figura 32: Construção feita por um aluno, após a apresentação do sexto vídeo 72
LISTA DE TABELAS
Tabela
Página
Tabela 1: m = 4 e 𝑛1 = 3 23
Tabela 2: m = 5 e 𝑛1 = 3 24
Tabela 3: m = 6 e 𝑛1 = 3 24
LISTA DE SIGLAS
PCN – PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
CAPES – COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL
SUPERIOR
UNICAMP – UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
USP- UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ANPEd – ASSOCIAÇÃO NACIONAL DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
EDUCAÇÃO
C.a.R – SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO
AGD – AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
UFRJ – UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
STEM – CIÊNCIA, TECNOLOGIA, ENGENHARIA E MATEMÁTICA
SUMÁRIO
1 APRESENTAÇÃO .............................................................................................................. 12
2 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 13
3 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS .......................................................................................... 16
3.1 REVISÃO DE LITERATURA .......................................................................................... 16
3.2 PROBLEMÁTICA DA INVESTIGAÇÃO: LADRILHAMENTO NO PLANO .............. 19
3.2.1 LADRILHAMENTOS NO PLANO EUCLIDIANO...................................................... 20
3.2.2 LADRILHAMENTOS NO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES
CONGRUENTES ..................................................................................................................... 21
3.2.3 PAVIMENTAÇÕES COM POLÍGONOS REGULARES NÃO CONGRUENTES ..... 22
3.2.4 OUTROS LADRILHAMENTOS COM POLÍGONOS REGULARES ......................... 25
3.3 PAVIMENTAÇÕES COM POLÍGONOS NÃO REGULARES ...................................... 27
3.3.1 PAVIMENTAÇÕES COM QUADRILÁTEROS NÃO REGULARES ........................ 27
3.3.2 PAVIMENTAÇÃO COM PENTÁGONOS ................................................................... 28
3.3.3 OUTRAS PAVIMENTAÇÕES COM PENTÁGONOS NÃO REGULARES .............. 30
3.4 PAVIMENTAÇÕES DE PENROSE ................................................................................. 32
3.5 PAVIMENTAÇÕES DE ESCHER .................................................................................... 33
3.6 LADRILHAMENTO COMO POSSIBILIDADE DE INTEGRAÇÃO: TECNOLOGIA,
ARTE E GEOMETRIA ............................................................................................................ 34
4 O USO DAS TECNOLOGIAS EM SALA DE AULA ..................................................... 36
4.1 TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO: PRIMEIROS PASSOS E PROJETOS ..................... 36
4.2 DOS COMPUTADORES À TECNOLOGIA TOUCHSCREEN ....................................... 37
4.3 SMARTPHONES: UMA BOA POSSIBILIDADE PARA A SALA DE AULA ............... 38
4.4 O USO DO GEOGEBRA EM DISPOSITIVOS TOUCHSCREEN ................................... 39
4.5 CONTRIBUIÇÕES DOS AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA ....................... 40
5 PERCURSOS METODOLÓGICOS ................................................................................. 42
5.1 METODOLOGIA DA PESQUISA: ENGENHARIA DIDÁTICA ................................... 42
5.2 TEMA E CAMPO DE AÇÃO............................................................................................ 44
5.3 ANÁLISES PRÉVIAS ....................................................................................................... 45
5.4 DIMENSÕES EPISTEMOLÓGICAS SOBRE O CAMPO DE AÇÃO ............................ 45
5.5 DIMENSÕES DIDÁTICAS SOBRE O CAMPO DE AÇÃO ........................................... 46
5.6 DIMENSÕES COGNITIVAS: QUESTÕES ENVOLVENDO O ENSINO DE
GEOMETRIA. .......................................................................................................................... 47
5.7 O AMBIENTE DA PESQUISA ......................................................................................... 48
5.8 CONCEPÇÕES E ANÁLISE A PRIORI ........................................................................... 49
5.9 O PRIMEIRO CONTATO ................................................................................................. 51
5.10 HIPÓTESES ..................................................................................................................... 53
6 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ............................................................ 54
6.1 O ENCONTRO INICIAL ................................................................................................... 55
6.1.1 DIA 23 DE FEVEREIRO DE 2016 ................................................................................ 55
6.1.2 DIA 1º DE MARÇO DE 2016 ........................................................................................ 56
6.1.3 DIA 08 DE MARÇO DE 2016 ........................................................................................ 56
6.1.4 DIA 15 DE MARÇO DE 2016 ........................................................................................ 57
6.1.5 DIA 22 DE MARÇO DE 2016 ........................................................................................ 59
6.2 ANÁLISE A POSTERIORI ................................................................................................ 60
6.3 AVALIAÇÃO DOS ALUNOS/PARTICIPANTES .......................................................... 61
6.4 VALIDAÇÃO DA ENGENHARIA E CONSIDERAÇÕES SOBRE SUA
REPRODUTIVIDADE ............................................................................................................ 64
6.5 PONDERAÇÕES SOBRE A REPRODUTIVIDADE DA ENGENHARIA DIDÁTICA 65
7 O PRODUTO EDUCACIONAL ........................................................................................ 66
7.1 PASSO A PASSO DO PRODUTO EDUCACIONAL ...................................................... 67
7.2 TECENDO COMENTÁRIOS ............................................................................................ 69
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 72
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 76
ANEXOS..................................................................................................................................79
12
1 APRESENTAÇÃO
Como professor de Matemática, em duas escolas públicas no Estado do Rio de Janeiro,
percebo que o desinteresse por parte dos alunos em aprender os conceitos referentes à disciplina
de Matemática tem aumentado, porém a possibilidade de um trabalho com o uso de tecnologia,
em que se possa motivar o educando para a aprendizagem, torna-se um grande estímulo para a
realização deste trabalho.
É notório que os educandos não veem o espaço escolar como um elemento de conexão
com o que é vivido em sociedade, portanto não percebem relação entre a Matemática e o mundo
científico, o mundo do trabalho e da construção do conhecimento. O professor tem a missão de
mostrar para o aluno que a Matemática tem suma importância no desenvolvimento da sociedade
e que, nesse sentido, é fundamental que não sejamos pessoas leigas em relação ao saber
matemático.
Tenho observado que, quando os alunos conseguem conectar o que aprendem com
objetos ou situações que conhecem ou já vivenciaram, os conceitos a serem ensinados se tornam
mais compreensíveis e mais significativos para os alunos, porém o professor pode mostrar-lhes
a Matemática como uma ciência que se antecipa no tempo e que, por vezes, trabalha com
conceitos abstratos ou com ferramentas os quais, momentaneamente, parecem abstratos, mas
que vão proporcionar a construção de algo mais concreto, posteriormente. Dessa forma, tenho
questionado muito o papel dessa disciplina na formação dos alunos.
Decidi ingressar no curso de Mestrado Profissional em Ensino das Ciências na
Educação Básica e investigar de que modo poderia contribuir para melhor formar o aluno que,
por vezes, não aprende todos os conceitos que poderiam proporcionar-lhe um olhar mais
consistente sobre essa área.
Com este estudo, objetivo apresentar a Informática Educativa como uma possibilidade
de educar matematicamente e superar algumas barreiras encontradas no ensino da disciplina
em questão, em especial na escola onde será realizada a pesquisa.
13
2 INTRODUÇÃO
Nossa pesquisa inicia-se com a realização de atividades que possibilitem a utilização do
software GeoGebra em um smartphone, como ferramenta mediadora do estudo do tema
Ladrilhamento no Plano, em uma turma de oitavo ano. Nesse sentido, nosso objetivo geral é
favorecer o pensamento de que o uso da tecnologia pode ser positivo, por ser uma abordagem
diferente no ensino da Geometria, através do tema Ladrilhamento no Plano.
Pavimentar ou ladrilhar é uma forma de cobrir superfícies planas com figuras, regulares
ou irregulares, colocando-as uma ao lado da outra, sem deixar regiões descobertas. De modo
geral, o tema ladrilhamento incita o estudo de Geometria. Espera-se que o aluno, ao final do
Ensino Fundamental, seja capaz de compreender conceitos geométricos básicos.
Consideramos, em nossa pesquisa, que tecnologias como o GeoGebra podem favorecer
o trabalho do professor de Matemática, ao ilustrar e permitir levantamentos de conjecturas sobre
conceitos matemáticos. Partimos do pressuposto de que o tema Ladrilhamento no Plano não
precisa seguir uma ordem rigorosa, de forma que se pode orientar uma sequência de
ladrilhamentos mais simples, a fim de tornar o estudo flexível.
Acreditamos que o GeoGebra se apresenta como uma ferramenta a qual, quando bem
utilizada, pode fomentar a construção de conceitos. Nessa perspectiva, entendemos que é
possível explorar ladrilhamentos no plano por meio do GeoGebra, como um facilitador para a
aprendizagem de conceitos geométricos e algébricos, constituindo-se uma abordagem
diferenciada, no campo da Geometria Euclidiana.
Segundo Cataneo (2011, p. 27), “a inserção da tecnologia nas aulas se faz necessária
para que ocorra a formação de um sujeito historicamente situado”. Portanto o professor de
Matemática não pode ficar à parte dessa realidade que a sociedade atual requer.
O software GeoGebra pode ser uma boa ferramenta para que o estudo de Ladrilhamento
no Plano seja realizado utilizando dispositivos móveis touchscreen em sala de aula. Com ele, o
aluno poderá aprender conceitos geométricos que, por vezes, são trabalhados em sala de aula
sem uma construção prática. Nesse sentido, será por meio do estudo desse tema e da sua
manipulação no software, que o educando poderá fazer um paralelo com conhecimentos já
trabalhados em sala de aula.
Neste estudo, consideramos as construções dos alunos a partir das habilidades
matemáticas que já possuem, ou seja, serão valorizados seus conhecimentos prévios.
Temos como objetivos específicos:
14
Investigar o modo como os alunos estão aprendendo conceitos referentes ao
campo geométrico, no Ensino Fundamental, em uma unidade escolar do município
de Duque de Caxias (RJ);
Avaliar se esse modelo de ensino, utilizando recursos tecnológicos, pode trazer
resultados positivos;
Descobrir os fatores que influenciaram no sucesso, ou não, dos alunos, no que se
refere à aprendizagem de conceitos matemáticos, na turma pesquisada;
Desenvolver e analisar uma intervenção didática que favoreça a construção de
alguns conceitos associados ao campo geométrico, como: polígonos, polígonos
regulares, ângulos, ângulo interno e externo, medida da soma dos ângulos internos,
nomenclatura de polígonos.
Como metodologia de pesquisa, a opção foi pela Engenharia Didática (Artigue, 1994),
que busca fazer relações entre o teórico e o prático. Essa teoria origina-se da preocupação com
certa inovação presente no campo da Educação, que abre caminho para diversos tipos de
experiências na sala de aula, advindas de fundamentação científica. Também está relacionada
ao movimento da valorização do saber prático do professor, com a consciência de que as teorias
que não se desenvolvem com o trabalho em sala de aula são insuficientes para perceber a
complexidade do sistema, e para, de alguma forma, ter influência na transformação das
tradições do ensino. A organização do trabalho se dá em quatro fases: análises preliminares,
concepções e análise a priori, experimentação e validação e análise a posteriori.
Nas análises preliminares, apresentamos o tema da pesquisa, em seguida, a revisão da
literatura, realizada para se aprofundar o tema dessa investigação e a Engenharia Didática como
método de pesquisa. É nessa fase, também, que destacamos a pergunta de partida, apresentando
o que vamos investigar, como será essa investigação e o que já foi feito sobre esse tema.
Na primeira fase, das concepções e análise a priori, é apresentado o ambiente onde
foram realizadas as investigações, uma escola pública situada no município de Duque de
Caxias, na Baixada Fluminense. Além disso, apresentamos os sujeitos da pesquisa, alunos do
8° ano do Ensino Fundamental.
A experimentação é marcada pela intervenção do pesquisador, análises de relatórios e
organização de dados. Nessa fase, relatamos o processo de desenvolvimento da pesquisa,
quando os alunos levantaram problemas, fizeram conjecturas, saindo em busca de soluções e
criando modelos matemáticos.
15
A fase de validação e análise a posteriori é marcada pelo confronto da pergunta de
partida com o processo desenvolvido pelos educandos, em torno do tema Ladrilhamento no
Plano; nesse momento, verifica-se a hipótese da pesquisa.
Como produto educacional, haja visto que o estudo se trata de uma pesquisa de um curso
de Mestrado Profissional, foi produzido um GeoGebra Book, contendo atividades que permitam
ao aluno desenvolver conhecimentos no campo da Geometria Euclidiana Plana, utilizando o
software GeoGebra, numa perspectiva que alcance os objetivos presentes nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) para o ensino da Geometria nos anos finais do Ensino
Fundamental.
16
3 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS
Este estudo propõe a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa referente ao
ensino de conhecimentos matemáticos para alunos do 8° ano do Ensino Fundamental,
abordando o tema Ladrilhamento no Plano. Houve a colaboração de alunos do Ensino
Fundamental, no desenvolvimento do trabalho, caracterizados como sujeitos da pesquisa e,
também, autores, em busca da compreensão dos conhecimentos matemáticos.
3.1 REVISÃO DE LITERATURA
Ao efetuar uma busca por artigos e dissertações sobre Ladrilhamentos nos últimos cinco
anos, encontramos quarenta e quatro registros no Banco de Teses e Dissertações da
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). Tal número é
significativo, todavia buscamos por mais registros na Biblioteca Digital da Unicamp
(Universidade Estadual de Campinas) e na Biblioteca Digital da USP (Universidade de São
Paulo).
Diante dos resultados, optamos pela seleção de alguns textos, como dissertações e
artigos. Elegemos cinco para exposição, pois são os que mais se aproximam dos objetivos
trabalhados nesta pesquisa.
O primeiro trabalho foi apresentado por José Francisco Mota Oliveira, em 2015, ao
Programa de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de
Campinas, em Campinas, sob a orientação da professora doutora Anamaria Gomide, cujo título
é Pavimentações do Plano Euclidiano. Tem como objetivo mostrar o que são as pavimentações
no plano, bem como a possibilidade de trabalho desse tema com os alunos em sala de aula.
Tal obra busca fazer, logo de início, um estudo axiomático que embasa todo o restante
do trabalho. Algumas sugestões no capítulo final mostram ser possível o ensino de conceitos
geométricos a partir do tema pavimentações no plano euclidiano. O autor do texto não realizou
nenhuma experiência em sala de aula, porém, direciona o leitor para que possa ter o
entendimento do que é ladrilhamento de uma maneira bem rigorosa.
Essa obra foi de suma importância para o desenvolvimento desta pesquisa, pois favorece
a compreensão do conceito de ladrilhamento, com demonstrações matemáticas dessa teoria, ao
mesmo tempo em que o autor mostra, por meio das imagens, o resultado dos cálculos realizados.
A segunda literatura considerada nesta revisão é um artigo de autoria de Elvia Mureb
Sallum, de 2015, da Universidade de São Paulo, cujo título é “Ladrilhamentos”. Tal obra fala
17
sobre a arte do ladrilhamento, bem como do desenvolvimento desse conhecimento, ou seja,
apresenta alguns tipos de ladrilhamento possíveis de construir e utiliza um grande rigor
matemático, para poder demonstrar sua construção.
Referente a seu trabalho, Sallum (2015, p. 1) diz que “o estudo geométrico que
apresentamos neste trabalho explica porque ladrilhamentos com motivos semelhantes
apareceram em lugares distantes no tempo e no espaço”.
Nessa obra é possível observar a teoria matemática que existe na arte do ladrilhamento,
ou seja, o teor matemático e as demonstrações necessárias para que se entenda as diversas
possibilidades de configurações possíveis nos ladrilhamentos. Nesse sentido, a autora leva o
leitor a entender que construir ladrilhamentos por tentativa e erro não é uma boa opção.
Tal artigo foi de grande valia para o desenvolvimento da pesquisa, devido ao fato de ser
o complemento da primeira obra citada, pois mostra o rigor da arte de ladrilhar, levando a
reflexões sobre a grande quantidade de conhecimento matemático que é necessário ter um
indivíduo, para fazer ladrilhamentos mais complexos.
A terceira literatura considerada é um artigo de autoria de Vera Clotilde Garcia Carneiro,
de 2005, publicado na Revista Zetetiké, pela Universidade Estadual de Campinas. O título da
obra é “Engenharia Didática: um referencial para ação investigativa e formação de professores
de Matemática”.
Nessa obra, a autora se dispõe a discutir como a Engenharia Didática pode ser aplicada,
por meio de atividades, em sala de aula. A autora propõe atividades referentes ao campo
geométrico, mais especificamente referentes ao estudo dos quadriláteros e suas propriedades,
por meio de um software de Geometria.
A autora se baseia nas obras de Michele Artigue (1994, 1996), importante pesquisadora
no campo da chamada Didática da Matemática Francesa, a qual relaciona o desenvolvimento
dos alunos/participantes segundo a escala de desenvolvimento de Van Hiele. A teoria de Van
Hiele serve de base para a compreensão do desenvolvimento do pensamento geométrico dos
alunos e, segundo ela, aprendizes de Geometria se movem através de níveis de compreensão,
numerados de 0 a 4.
Carneiro (2005) deixa clara a possibilidade de um trabalho em sala de aula utilizando a
Engenharia Didática como metodologia, para organizar as ações em sala de aula, de maneira
que haja, no fim, uma verificação das hipóteses e dos objetivos levantados. Nesse sentido, tal
produção escrita foi de extrema importância, pois a clareza no trabalho com a Engenharia
Didática foi norteadora das ações para a pesquisa e favoreceu um melhor entendimento dos
aspectos positivos desse trabalho em sala de aula.
18
A quarta obra utilizada no desenvolvimento desta pesquisa é o livro “Mania de
Matemática”, de Ian Stewart, da editora Zahar, publicado no Brasil, em 2003. Tal livro mostra,
por meio de situações práticas, por vezes intrigantes e desafiadoras, diversos conceitos
matemáticos que estão ao nosso redor no dia a dia.
Stewart (2003) apresenta dezenove situações em que usamos diferentes conceitos
matemáticos, colocados de maneira a provocar o leitor, uma vez que tais situações aparecem
como desafios, de forma a causar uma reflexão por parte de quem lê seu livro.
Em seu segundo capítulo, “Teorias do Dominó”, é retratada uma situação em que a ideia
de ladrilhamento é exposta de forma diferenciada, no sentido de que se aplica a uma situação
problema, pois relata-se um problema referente ao ladrilhamento de uma região quadrada que,
antes, fora ladrilhada com quadrados menores, e é necessário que esse ladrilhamento seja
refeito, porém com retângulos iguais. Busca-se, então, a possibilidade de que o uso do tabuleiro
de xadrez seja útil para uma melhor visualização da possibilidade ou impossibilidade de
ladrilhar a região.
Tal obra trouxe grande contribuição, por mostrar a prática da arte do Ladrilhamento; o
problema exposto pelo autor leva à reflexão de que, para ladrilhar certas regiões com figuras
diferentes de quadrados, é necessário um conhecimento matemático. Tal conhecimento é
ensinado nas escolas, porém muitos educandos não conseguem ver a prática; nesse sentido, a
sequência de fatos que ocorre com os personagens expostos nesse problema faz com que o leitor
vá desenvolvendo o pensamento matemático que resolverá a situação.
A quinta obra é “Engenharia Didática: características e seus usos em trabalhos
apresentados no GT-19 da ANPEd”, do ano de 2008, cujo autores são Saddo Ag Almouloud e
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho .
Esse artigo discorre sobre alguns conceitos relacionados à Engenharia Didática,
definições importantes para que o leitor compreenda o que é essa metodologia e qual é o seu
objetivo. Os autores introduzem o assunto de maneira bem simples, para deixar claros os passos
da Engenharia. Posteriormente, são descritas as etapas que caracterizam a Engenharia Didática
e discorre-se sobre o que se deve fazer em cada etapa, de modo que qualquer pessoa possa
utilizar a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa.
Por fim, são feitas análises a respeito de trabalhos que fizeram uso da Engenharia
Didática como metodologia de pesquisa, com diversas observações sobre o conteúdo e
objetivos desses trabalhos.
Tal artigo foi de grande valia para o desenvolvimento desta pesquisa, pois apresenta, de
maneira precisa, a metodologia de pesquisa que é a Engenharia Didática. O autor traz um
19
histórico do desenvolvimento dessa metodologia, bem como relata as possibilidades que a
mesma dá para um trabalho bem organizado em sala de aula. O autor é bem fiel às ideias da
criadora da Engenharia Didática e mostra, de forma bem definida, como se deve seguir as etapas
desse modelo de trabalho.
A seguir, veremos a problemática de investigação que é o nosso tema: Ladrilhamento
no plano.
3.2 PROBLEMÁTICA DA INVESTIGAÇÃO: LADRILHAMENTO NO PLANO
Para o desenvolvimento da teoria que envolve a arte do ladrilhamento, baseamo-nos na
obra de Oliveira (2015).
A arte de ladrilhar consiste em preencher um plano, por moldes, sem que haja
superposição ou buracos. Desde que o homem começa a usar pedras para cobrir o chão e as
paredes de sua casa, pode-se observar a ideia de ladrilhamento. As mais antigas peças de
ladrilhos são encontradas no Egito, com data aproximada de 5000 a.C.
Pavimentar ou ladrilhar é uma forma de cobrir superfícies planas com figuras, sejam
regulares ou irregulares, colocando-as uma ao lado da outra, sem deixar regiões descobertas.
Os pitagóricos já eram conhecedores do valor da soma dos ângulos internos de um polígono
regular, sendo assim, perceberam que só era possível ladrilhar o plano com três polígonos
regulares: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular. Embora a técnica do
ladrilhamento já fosse conhecida, é atribuída a Johannes Kepler, matemático e físico alemão.
No século XX, foram feitas muitas publicações a respeito e, assim, aumentou-se a investigação
e divulgação da importância do ladrilhamento, inclusive no ensino. Quando observamos
elementos da natureza, podemos associar à ideia de pavimentação a colmeia de abelhas, por
exemplo.
Figura 1: Exemplos de ladrilhamentos na natureza
20
Disponível em: <http://www.comofazer.org/ambiente/como-se-iniciar-apicultura-como-manter-uma-colmeia-
abelhas/>. Acesso em: 22 abr. 2016.
A beleza dessa regularidade já encantava e despertava o ser humano desde os tempos
mais primórdios, na decoração de objetos como tecidos, cerâmicas e vitrais. Nos dias atuais,
observamos o ladrilhamento em pisos, azulejos, decorações em paredes e fachadas de prédios.
3.2.1 LADRILHAMENTOS NO PLANO EUCLIDIANO
Segundo Oliveira (2015, p. 28), denomina-se ladrilhamento no plano euclidiano “a
divisão do plano em uma quantidade relacionável de polígonos de tal modo que quando se unem
todos os polígonos tem-se o plano”, lembrando que a interseção de dois desses polígonos é
vazia ou é um vértice, ou está contida em linha poligonal. Segue, abaixo, exemplos de
ladrilhamentos, na figura 2:
Figura 2: Alguns ladrilhamentos
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PentagonTilings.svg>.
Acesso em: 22 abr. 2016.
O grande desafio, neste trabalho, é abordar e desenvolver alguns simples ladrilhamentos
com os alunos, utilizando polígonos regulares, por meio do software GeoGebra. Se o
21
ladrilhamento utiliza polígonos regulares congruentes, ou seja, polígonos todos iguais, temos
um ladrilhamento regular, contudo, se os polígonos regulares não são todos congruentes,
dizemos que há um ladrilhamento quase regular, ou arquimediano.
Conceituamos uma configuração como uma sequência do tipo (l1, l2,..., lm), para indicar
uma pavimentação em que cada vértice possui m polígonos e, cada um, com li lados, sendo li ≥
3 e m ≥ i ≥ 1. Por exemplo, se tivermos uma sequência do tipo (6,6,6), temos 3 polígonos em
torno de um vértice, cada um com 6 lados. Pode-se haver, também, uma configuração com
polígonos regulares, nem sempre congruentes, por exemplo, (3,6,3,6) indica dois polígonos de
3 lados e dois polígonos de 6 lados em torno de um vértice. Cabe salientar que (3,6,3,6) =
(6,3,6,3), pois permutações cíclicas não alteram, mas (4,4,3,6) ≠ (4,4,6,3). A figura 3, abaixo,
mostra as configurações.
Figura 3: Configurações
Disponível em: <http://homes.dcc.ufba.br/~frieda/pedagogiadeprojetos>. Acesso em: 22 abr. 2016.
3.2.2 LADRILHAMENTOS NO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES
CONGRUENTES
É possível pavimentar um plano utilizando apenas polígonos regulares congruentes de
n lados? Será que, além de quadrados, é possível que utilizemos outros polígonos regulares
congruentes para cobrir todo o plano? Se sim, quais são?
Em volta de um vértice, a soma dos ângulos dos polígonos posicionados um ao lado do
outro deve ser de 360°. A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada
por:
180( 2)n
n
Suponha que sejam posicionados m, m ≥ 3, polígonos regulares de n lados, n ≥ 3, ao
redor de um vértice. Logo,
22
180 2360
nm
n
Ao simplificar a equação, temos:
2
2
nm
n
Se m ≥ 3, tem-se a desigualdade:
23
2
n
n
que tem resultado em n ≤ 6. Como n ≥ 3, temos 3 ≤ n ≤ 6. Sendo assim, concluímos que os
possíveis polígonos regulares são: triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular e
hexágono regular.
Quando substituímos n por 3, 4, 5 e 6 na equação 2
2
nm
n
, obtemos, respectivamente,
m = 6, 4, 10
3e 3 polígonos em cada vértice. Então, percebe-se que não é possível ladrilhar
utilizando pentágono regular, porque ele é o único polígono regular, entre os destacados, que
não utiliza uma quantidade inteira em volta de um vértice.
Figura 4: Ladrilhamentos com polígonos regulares congruentes
Disponível em: <http://clickeaprenda.uol.com.br/portal/mostrarConteudo.php?idPagina=33486>.
Acesso em: 22 abr. 2016.
3.2.3 PAVIMENTAÇÕES COM POLÍGONOS REGULARES NÃO CONGRUENTES
Nesta seção, relataremos, de maneira breve, algumas possibilidades de ladrilhamentos
com polígonos regulares não congruentes, o que permite que façamos ladrilhamentos de
23
maneira mais prática, pois, assim, evitamos a utilização de método de tentativa e erro.
Por meio de Oliveira (2015), percebe-se que podemos observar quantos e quais
polígonos são necessários ao redor de cada vértice, no caso do ladrilhamento com polígonos
regulares não congruentes.
1° caso: m = 3, isto é, três polígonos regulares por vértice. Seja 𝑛𝑖 o número de lados de
cada um dos polígonos em cada vértice, para i = 1,2,3. A soma das medidas dos ângulos internos
desses polígonos em torno de um vértice satisfaz a equação:
180°(n1 – 2)
n1+
180°(n2 − 2)
n2+
180°(n3 − 2)
n3= 360°
Sendo assim os possíveis valore para 𝑛1, 𝑛2 e 𝑛3 são:
3,12 e 12.
4, 6 e 12.
4, 8 e 8.
6, 6 e 6.
2° caso: m = 4, isto é, quatro polígonos regulares em cada vértice. Sendo 𝑛1,
𝑛2, 𝑛3 e 𝑛4 os polígonos que serão combinados num vértice; temos:
Tabela 1: m = 4 e 𝑛1 = 3
𝑚 = 4 𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4
3 3 4 12
3 3 6 6
* 3 6 3 6
3 4 3 12
* 3 4 6 4
3 4 4 6
* 4 4 4 4
Fonte: Oliveira, 2015, p. 37.
Apenas os indicados com * definem ladrilhamentos com polígonos regulares não
congruentes.
3° caso: m = 5, isto é, cinco polígonos regulares por vértice. Seja 𝑛𝑖 o número de cada
um dos polígonos em cada vértice, para i = 1, 2, 3, 4, 5. Temos a configuração dos cinco
polígonos, de acordo com a tabela abaixo:
Tabela 2: m = 5 e 𝑛1 = 3
24
𝑚 = 5 𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5
* 3 3 3 3 6
* 3 3 3 4 4
* 3 3 4 3 4
Fonte: Oliveira, 2015, p. 39.
Os indicados com * são os que definem ladrilhamentos com polígonos regulares não
congruentes. A configuração (3, 3, 4, 3,4) não foi encontrada nos cálculos realizados, porém ao
fazer a permutação da configuração (3,3, 3, 4, 4) encontra-se outra configuração que representa
pavimentação.
4° caso: m = 6, isto é, seis polígonos em cada vértice. Seja
𝑛𝑖 o número de cada um dos polígonos em cada vértice, para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Temos a
configuração dos seis polígonos, a qual ficará de acordo com a tabela abaixo:
Tabela 3: m = 6 e 𝑛1 = 3
𝑚 = 6 𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5 𝑛6
* 3 3 3 3 3 3
Fonte: Oliveira, 2015, p. 40.
Figura 5: Configurações que ladrilham o plano
Fonte: Sallum, 2015, p. 8-9.
25
3.2.4 OUTROS LADRILHAMENTOS COM POLÍGONOS REGULARES
Nesta seção, serão apresentados alguns outros tipos de ladrilhamentos com polígonos
regulares, mas antes de explicitar propriamente esses ladrilhamentos, precisamos comentar a
respeito da definição de ladrilhamentos do mesmo tipo.
Oliveira (2015, p. 42) define que dois ladrilhamentos “são do mesmo tipo quando
coincidem por um movimento rígido do plano somado a uma mudança de escala”. Dessa
maneira, chamaremos de iguais dois ladrilhamentos do mesmo tipo.
Uma condição é que, ao redor de cada vértice, haja sempre os mesmos polígonos, porém
não é necessário que seja na mesma ordem. Sendo assim, alguns ladrilhamentos podem mudar,
por exemplo:
(3,4,3,3,4) cortando um zig-zag e juntando as metades, como na Figura 6:
Figura 6: Ladrilhamentos do mesmo tipo
Fonte: Oliveira, 2015, p. 42.
(3,6,3,6) ao fazer uma translação em uma faixa horizontal independente das outras,
conforme a Figura 7:
26
Figura 7: Ladrilhamentos do mesmo tipo
Fonte: Oliveira, 2015, p. 42.
(3,4,6,4) fazendo uma rotação de 30° em um disco formado por um hexágono e
polígonos vizinhos a ele, os discos podem girar independentemente, como mostra a Figura 8:
Figura 8: Ladrilhamentos do mesmo tipo
Fonte: Oliveira, 2015, p. 43.
Assim, é possível observar que, com essa condição, podemos ter uma infinidade de
ladrilhamentos. Se levarmos em consideração duas imagens por reflexão, somente a
configuração (3,3,3,3,6) é chamada de igual. Tal ladrilhamento é mostrado na Figura 9:
27
Figura 9: Ladrilhamentos do mesmo tipo
Fonte: Oliveira, 2015, p. 43.
3.3 PAVIMENTAÇÕES COM POLÍGONOS NÃO REGULARES
Nesta seção, discutiremos, ainda baseados em Oliveira (2015), a respeito de alguns
ladrilhamentos não regulares. Iniciaremos pelos quadriláteros não regulares.
3.3.1 PAVIMENTAÇÕES COM QUADRILÁTEROS NÃO REGULARES
Consideremos o quadrilátero ABCD, na figura abaixo. É possível fazer o ladrilhamento
seguindo o seguinte procedimento: primeiro, elaborando uma reflexão em torno de BC; em
seguida, pode-se fazer uma reflexão em torno da mediatriz m desse lado. Realizando esse
processo, temos a pavimentação, conforme as Figuras 10 e 11, abaixo:
Figura 10: Ladrilhamento com quadrilátero qualquer
Fonte: Oliveira, 2015, p. 44.
28
Figura 11: Ladrilhamento com um quadrilátero qualquer
Fonte: Oliveira, 2015, p. 45.
3.3.2 PAVIMENTAÇÃO COM PENTÁGONOS
Antes de falar da pavimentação com pentágonos, será apresentado o conceito de
ladrilhamentos duais, necessário para o ladrilhamento com pentágonos.
Seja T um ladrilhamento. Segundo Oliveira (2015, p. 49), define-se que:
A tesselação dual T* de T é obtida da seguinte maneira: o centro de cada polígono em
T corresponde a um vértice de um polígono em T*; cada lado de um polígono de T
corresponde a um lado do polígono T*, e dois vértices são ligados em T* se, e somente
se, são os centros de dois polígonos em T que tem um lado comum.
A Figura 12, abaixo, mostra uma tesselação T e dual T*. Note que a configuração
(3,3,3,3,3,3,3) é a tesselação T e a sua dual é a configuração (6,6,6).
Figura 12: Tesselação T e sua dual T*
Fonte: Oliveira, 2015, p. 49.
29
A tesselação dual é obtida por meio de uma tesselação dada. As tesselações duais são as
que têm por nós os centros dos polígonos formados de outra tesselação, por exemplo: na
tesselação hexagonal, unindo os centros dos hexágonos adjacentes, é possível ter uma nova
tesselação triangular, dual da hexagonal, em que os vértices dos triângulos são centros dos
hexágonos.
As tesselações regulares são duais de si mesmas, sendo assim, a triangular é dual da
hexagonal e a quadrada, dual dela mesma. Algumas outras tesselações têm suas próprias duais
com características específicas.
A partir dessas tesselações duais, podemos fazer ladrilhamentos com pentágonos não-
regulares, pois, como já foi visto, não é possível fazer ladrilhamentos com pentágonos regulares
ou com pentágonos quase-regulares. A seguir, serão apresentados alguns ladrilhamentos com
pentágonos não regulares, feitos a partir de duais de pavimentações.
O primeiro é o dual da configuração (3,3,3,3,6), mostrado na Figura 13. O ladrilhamento
com pentágonos não regulares é o dual da configuração (3,3,3,3,6), cujos ângulos internos são
(60°, 120°, 120°,120°, 120°).
Figura 13: O ladrilhamento T e o dual T*
Fonte: Oliveira, 2015, p. 50.
No dual da configuração (3,3,3,4,4), encontramos um ladrilhamento com pentágonos
não regulares, cujos ângulos internos são (90°,90°,120°,120,120°). É possível observar esse
ladrilhamento na Figura abaixo.
30
Figura 14: O ladrilhamento T e seu dual T*
Fonte: Oliveira, 2015, p. 50.
No dual para a configuração (3,3,4,3,4), encontramos o ladrilhamento dual cujos
ângulos internos são (90°, 120°,90º,120°,120°). A seguir, tem-se a ilustração desse
ladrilhamento:
Figura 15: Ladrilhamento T e o dual T*
Fonte: Oliveira, 2015, p. 51.
3.3.3 OUTRAS PAVIMENTAÇÕES COM PENTÁGONOS NÃO REGULARES
Para Oliveira (2015, p. 51), “algumas pavimentações com polígonos que são regulares
podem ser modificadas por transformações geométricas para se ter ladrilhamentos com
pentágonos não regulares”.
Podemos fazer a transformação da configuração (4,4,4,4), assim a escolha se deu por
quadrados, mantendo uma distância, entre eles, de quatro quadrados, na linha e na coluna. Além
disso, de uma linha para a outra e entre uma coluna e outra. Ao escolher o quadrado, foi
obedecido o movimento do cavalo do jogo de xadrez. Nos quadrados escolhidos, traçam-se
diagonais. Dessa maneira, encontra-se um padrão com pentágonos irregulares, cujos ângulos
31
internos são (90°, 135°, 90°, 90°, 135°), conforme a Figura abaixo:
Figura 16: Ladrilhamento obtido do (4,4,4,4)
Fonte: Oliveira, 2015, p. 51.
Na transformação da configuração (6,6,6), podemos construir a reta mediatriz de dois
lados opostos, encontrando-se o que é um padrão com pentágonos irregulares, cujos ângulos
são (90°, 90°, 120°,120°,120°). A seguir, é possível ver essa construção (Figura 17).
Figura 17: Ladrilhamento obtido da configuração (6,6,6)
Fonte: Oliveira, 2015, p. 52.
Como mais uma possibilidade, tem-se a transformação da configuração (3,3,3,3,3).
Criando segmentos, conforme a figura abaixo, consegue-se um padrão com pentágono não
regular, cujos ângulos internos são (90°, 90°, 120°, 120°, 120°).
32
Figura 18: Ladrilhamento obtido da configuração (3,3,3,3,3,3)
Fonte: Oliveira, 2015, p. 53.
3.4 PAVIMENTAÇÕES DE PENROSE
Segundo Oliveira (2015, p. 53), “o físico e matemático inglês Roger Penrose tinha
fixação por jogos e desafios matemáticos e descobriu que era possível ladrilhar o plano de
maneira não periódica usando apenas dois quadriláteros denominados papagaio e flecha,
respectivamente”.
Observe, a seguir, como esses quadriláteros podem ser construídos tendo como base um
pentágono regular (Figura 19).
Figura 19: Papagaio e flecha criados a partir do pentágono regular
Fonte: Oliveira, 2015, p. 53.
Essas pavimentações de Penrose não podem ser obtidas por meio de translação de um
padrão de movimentação. Ou seja, se tivéssemos uma transparência de uma pavimentação de
Penrose, não seria possível movê-la numa direção e fazê-la coincidir com a pavimentação que
é a original. É possível observar isso na imagem a seguir (Figura 20).
33
Figura 20: Pavimentação aperiódica
Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-636X2015000301329>.
Acesso em: 29 ago. 2016.
3.5 PAVIMENTAÇÕES DE ESCHER
As obras do artista holandês Mauritis Cornrlius Escher (1898-1972), com suas estruturas
geométricas, atraíram e atraem o interesse de muitas pessoas, das mais diversas áreas. Em tais
obras, são notórios os ladrilhamentos feitos com peixes, pássaros, entre outros. De início,
Escher ladrilhava com polígonos e, depois, preenchia os polígonos com linhas, formando
figuras. Abaixo, Figuras 21 e 22, podemos ver alguns desses ladrilhamentos feitos por Escher.
Figura 21: Exemplos de base nas figuras de Escher
Disponível em: <https://br.pinterest.com/pin/47850814769210113/>. Acesso em : 25 set. 2016.
Figura 22: Xilogravura de Escher : “Borboletas”- 1948
34
Disponível em: <http://mitolivros.blogspot.com.br/2013/12/a-perspectiva-de-escher_1.html>.
Acesso em: 25 set. 2016.
3.6 LADRILHAMENTO COMO POSSIBILIDADE DE INTEGRAÇÃO: TECNOLOGIA,
ARTE E GEOMETRIA
A utilização do ladrilhamento no ensino da Geometria é uma possibilidade para superar
as dificuldades dos alunos, no que tange à compreensão de conceitos geométricos. Nesse
sentido, é possível, também, favorecer a integração entre diferentes áreas, como as Artes, a
Geometria e o uso da tecnologia por meio das atividades ligadas ao tema ladrilhamento, em
especial, quando esses ladrilhamentos são construídos com o uso de tecnologias como o
smartphone.
Este capítulo buscou mostrar que há Matemática envolvida na ideia de ladrilhar e que
tal ação pode ser feita por meio de tentativas e erros, porém, é muito mais eficaz quando se
pode usar o conhecimento matemático para, antecipadamente, determinar os ladrilhamentos
possíveis. Nessa perspectiva, a Matemática se mostra especialmente importante, por antecipar
os fatos e favorecer ao aluno um pensamento mais preciso formal e crítico sobre os objetos e
formas que o cercam.
Entendemos que pensar em novas possibilidades para o ensino da Matemática é
necessário, haja vista as mudanças nas relações sociais, especialmente as causadas pela
constante inovação das tecnologias já inseridas, em sala de aula, pelos alunos. Entendemos que
a escola não pode ficar fora dessas inovações e que ela pode contribuir para que o educando
entenda que há integração entre diferentes campos do conhecimento.
Por diversas vezes, os alunos não conseguem visualizar a ligação da Matemática com
os diferentes campos do conhecimento, sendo assim há essa preocupação por mostrar que a
35
Matemática é uma ciência construída histórica e socialmente e necessária para o
desenvolvimento de outras áreas do conhecimento; há a pretensão de mostrar ao aluno que
pensar matematicamente é positivo e a falta desse conhecimento, por vezes, é prejudicial, pois
é empecilho para o estudo de algumas outras ciências.
36
4 O USO DAS TECNOLOGIAS EM SALA DE AULA
Nesta seção, discorremos sobre a possibilidade do trabalho com dispositivos
touchscreen, pois entendemos que as tecnologias digitais com os dispositivos móveis e
touchscreen (celulares, tablets) trazem questionamentos sobre diferentes formas de realizar
uma atualização, no que se refere ao espaço da sala de aula, frente ao processo de ensino-
aprendizagem.
Para Borba (2014, p. 42), “as tecnologias digitais móveis – internet, celular, tablets –
estão modificando as normas que vivemos, os valores associados a determinadas ações”.
Perante isso, dispositivos móveis e touchscreen (smartphone) serão utilizados para a realização
das atividades desta pesquisa, por entendermos que estudantes e professores já dispõem desses
dispositivos e que o uso de ferramentas com um cunho didático-pedagógico possa contribuir
para o ensino da Matemática.
Percebemos que o professor precisa de um direcionamento adequado, no trabalho com
as ferramentas digitais; nesse sentido, o papel do educador é importante, na medida em que
agrega valor ao que o educando, por si, consegue fazer com a ajuda da tecnologia, mostrando-
lhe ser possível aprender mais na interlocução com seus colegas e seu professor.
Segundo Silva (2015, p. 3), “cabe ao professor a difícil tarefa de orientar os estudantes
sobre este uso de forma consciente”. O uso das tecnologias já modela a sala de aula, criando
diferentes dinâmicas e transformando a inteligência, no que se refere ao coletivo.
4.1 TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO: PRIMEIROS PASSOS E PROJETOS
Com o constante avanço no que diz respeito a tecnologias, é possível perceber que o seu
uso, em sala de aula, torna-se cada vez mais necessário, especialmente no que tange à busca por
tornar a escola cada vez mais próxima da realidade do educando. Porém o uso das tecnologias
na educação ainda não traz, até o presente momento, uma resposta tão positiva quanto esperam
os entusiastas de seu uso.
Pela década de 1970, há relatos de que algumas universidades, como a Universidade
Federal do Rio de Janeiro, a Universidade Federal do Rio Grande do Sul e a Universidade
Estadual de Campinas fazem as primeiras experiências com o uso do computador na educação,
conforme indicam Almeida e Valente (1997). Segundo Henrique (2017), os primeiros
programas governamentais referentes ao apoio da difusão e utilização da tecnologia na
educação surgiram a partir de 1981 e o acúmulo de experiências deram base ao PROINFO,
37
Programa Nacional de Informática na Educação. Tal projeto tinha o objetivo de apoiar e
estimular a aplicação da informática nas escolas de nível fundamental e médio.
É possível notar que já faz bastante tempo que existe a tentativa de inserir a tecnologia
na educação, por observar-se que grande parte das pessoas utilizam, cada vez mais, essas
tecnologias em afazeres diários, consequentemente, os alunos também estão em contato com
esses aparatos tecnológicos, pelo menos fora da escola. Portanto tablets e smartphones
passaram a ser ferramentas promissoras para o processo educacional.
Antes de se discorrer a respeito das possibilidades de implementar atividades com o uso
das tecnologias, será visto como se desenvolveu o cenário dos ambientes informatizados com
grande possibilidade de contribuição ao processo de aprendizagem, sendo específico a
aprendizagem da Geometria por meio dinâmico, chegando aos dispositivos touchscreen.
4.2 DOS COMPUTADORES À TECNOLOGIA TOUCHSCREEN
Segundo Henrique (2017, p. 24), “as construções realizadas através dos softwares
Cabri-Géometre e o Sketchpad, e de outros que vieram depois como, por exemplo, o Régua e
Compasso (C.a.R), possibilitaram ao usuário modificações através da manipulação, mantendo
suas propriedades”. O termo Geometria Dinâmica não está exclusivamente ligado aos
ambientes informatizados, mas ao uso de materiais manipuláveis, de forma geral, para o
aprendizado geométrico (mais conhecido como geometria não estática).
Com o avanço da informática e a ampliação das possibilidades para o uso da Geometria
Dinâmica na educação, em ambientes informatizados, é possível encontrar, em algumas
literaturas, as primeiras aparições do termo Ambientes de Geometria Dinâmica (AGD); alguns
autores se referem a softwares de Geometria Dinâmica ou, simplesmente, Geometria Dinâmica.
Gravina (2001, p. 82) mostra que “os ambientes de geometria dinâmica são ferramentas
informáticas que oferecem régua e compasso virtuais, permitindo a construção de objetos
geométricos a partir das propriedades que os definem”. Segundo Henrique (2017, p. 24), “nessa
mesma época houve uma grande disseminação da utilização da Internet no campo educacional,
o que ampliou as possibilidades da geometria dinâmica. Como exemplo, o software Tabulae
desenvolvido pela UFRJ”.
Nos dias atuais, o termo AGD refere-se a uma nova possibilidade para o ensino da
Geometria frente a ambientes ainda pouco explorados, que são a construção e a manipulação
de objetos geométricos por meio dos dispositivos touchscreen.
Bairral (2013) diz que a construção por meio de toques na tela (touchscreen) é diferente
38
de uma construção feita por meio do clicar (computador). Para o autor, a interação com o
software se dá por toque direto na tela “tapa (pancadinha, batida, golpe leve), duplo tapa, longo
tapa, arrastar, mudança de tela e múltiplos toques (girar, rotacionar)” (p. 3).
O uso de um AGD em dispositivos touchscreen pode ser positivo por meio da utilização
dos dispositivos móveis, e se apresenta como uma possibilidade recente para se pensar no
ensino da Geometria, a partir das tecnologias da informação e comunicação. Quando se faz um
paralelo ao trabalho que poderia ser feito com os computadores, é fato que esses se tornaram
de uso limitado pelo custo e pela mobilidade, essencialmente.
Em relação à contribuição do uso dos dispositivos com tecnologia touchscreen, como
tablets e smartphones, Henrique (2017, p. 25) diz que pode ser positivo, “facilitando o
planejamento, o tipo de atividade a ser implementada, a organização da turma, além de ser algo
que faz parte do uso diário dos estudantes, agregando o interesse na participação em atividades
em que estes recursos sejam utilizados como fio condutor”.
Foi dada ênfase ao fato de que uma nova nomenclatura constituiu passos da evolução
da forma de pensar e propor atividades, no que tange ao campo da Geometria Dinâmica.
Obviamente que o computador não substituiu os materiais manipuláveis, como o geoplano, por
exemplo, assim como os dispositivos touchscreen não substituíram o trabalho com os
computadores, porém pensar em novas formas de ensinar Geometria exige investigações a
respeito de suas contribuições e desafios para a inserção em sala de aula.
4.3 SMARTPHONES: UMA BOA POSSIBILIDADE PARA A SALA DE AULA
O avanço tecnológico que está infiltrado em nossa vida cotidiana gera uma grande
inquietação relacionada à dissociação entre esse avanço e a falta de inserção da tecnologia em
sala de aula. Grande parte das escolas brasileiras apresentam um modelo tradicional que se
assemelha a um modelo anterior ao aparecimento das tecnologias como computadores,
smartphones e tablets. Não é o objetivo da pesquisa responder o que pode ser feito para
contornar ou resolver tal situação, muito embora seja bastante tentador se debruçar sobre isso.
O intuito desta pesquisa é mostrar uma possibilidade associada à prática docente, com
boas chances de favorecimento à aprendizagem, em especial no que se refere ao aprendizado
da Matemática no campo geométrico. Essa possibilidade, que é apresentada nesta pesquisa, está
na inserção do smartphone como recurso educacional em sala de aula, pois já está presente
nesse espaço, mas não costuma ser explorado por professores como um instrumento para a
construção do conhecimento, em particular, matemático.
39
Para que se possa inserir um dispositivo móvel em sala de aula, é preciso que se
identifique o que há de positivo e negativo em seu uso, com o intuito de extrair o melhor de sua
funcionalidade, para que, assim, possa haver um ambiente motivador e desafiador, muito
positivo para que ocorra a aprendizagem.
Segundo Henrique (2017, p. 26), há algumas características do smartphone que
contribuem para a realização de atividades em sala:
- Devido à mobilidade pode ser incorporado mais facilmente às práticas de sala de
aula;
- Pode estimular a curiosidade e a motivação na realização das atividades;
- É um repositório das mais variadas ferramentas para o ensino de matemática;
- Pode ser utilizado pelo seu próprio dono, o que dispensa o laboratório de informática
e não precisa de conexão à Internet.
Todavia essas características não permitem ao professor a possibilidade de deixar de
elaborar um trabalho que seja similar ao perfil dos alunos participantes e desenvolvedores das
atividades. Quando há uma proposta que não tenha compatibilidade com o que se estuda, pode
haver um desestímulo da curiosidade e estímulo dos discentes. É importante mencionar que o
trabalho proposto pelo professor precisa ter objetivos bem desenhados, pois o smartphone, por
ser de uso cotidiano de grande parte dos alunos, traz a possibilidade de se perder o foco na
atividade desenvolvida.
4.4 O USO DO GEOGEBRA EM DISPOSITIVOS TOUCHSCREEN
Já existem alguns softwares de Geometria Dinâmica para o uso com telas sensíveis ao
toque, touchscreen, como, por exemplo, o GeoGebra. Segundo a apresentação do site oficial do
aplicativo, o “GeoGebra é um software de Matemática dinâmica para todos os níveis de
educação que reúne Geometria, álgebra, planilhas, gráficos, estatísticas e cálculo em um pacote
fácil para uso”.
Também encontramos, no site, que o “GeoGebra tornou-se líder no fornecimento de
software de Matemática dinâmica, apoio à educação e inovações da Ciência, Tecnologia,
Engenharia e Matemática (STEM) no ensino e aprendizagem em todo o mundo”.
O GeoGebra para celulares e tablets apresenta, basicamente, a mesma estrutura para a
versão em computador convencional, tanto em relação às funcionalidades, como no que diz
respeito à interação. Ele apresenta, na sua interface, uma grande quantidade de ícones, os quais
o usuário seleciona, para escolher a função desejada, da mesma maneira como se manuseasse
um mouse e, assim, é possível executar a construção na área de desenho, não havendo diferença
40
aplicável para a versão dispositivo móvel.
Figura 23: Interface do GeoGebra para smartphone com sistema operacional Android
Fonte: impressão de tela.
Por meio da visualização da interface do programa, é possível notar que o trabalho com
esse software pode se dar no campo geométrico, mas também em outros campos da Matemática,
como, por exemplo, no ensino das funções. Nesse sentido, é preciso apresentar algumas
contribuições e reflexões a respeito de um Ambiente de Geometria Dinâmica, no que tange ao
ensino da Geometria.
4.5 CONTRIBUIÇÕES DOS AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA
As mudanças na nossa sociedade, influenciadas pelas tecnologias da informação,
provocam a busca por novas maneiras de produção do conhecimento. Tal fato vai ao encontro
do grande desafio da educação, que é a busca por minimizar os problemas relacionados à
aprendizagem. Uma opção para esse desafio é a utilização dos Ambientes de Geometria
Dinâmica (AGD).
Referente à definição de AGD, Henrique (2017, p. 29) afirma que:
Como destacamos anteriormente, o termo utilizado não contempla somente o uso do
software através da tela do computador. Nesse caso, entendemos por AGD uma
plataforma com possibilidades de construção e manuseio de objetos geométricos
(mantendo-se suas propriedades ou não, dependendo do tipo de construção), na tela
do computador (via mouse) ou diretamente no toque na tela em dispositivos com a
tecnologia touchscreen.
41
Em relação aos pontos positivos de um AGD, Bairral (2009, p. 26) menciona que há um
favorecimento da interação do sujeito com as Tecnologias da Informação e Comunicação, há a
descoberta mediante a tentativa e o erro, a observação, o levantamento e a verificação de
conjecturas, bem como a representação do objeto de estudo, de diferentes formas. O autor
menciona pontos positivos em relação à aprendizagem com o uso da tecnologia, como, por
exemplo, a facilidade nas construções geométricas, a construção de uma possível atividade
investigativa e a descoberta referente a um determinado conceito.
As atividades implementadas por meio de um AGD podem favorecer a manipulação e
a construção de objetos geométricos, além de serem positivas para a exploração de conjecturas
e a investigação do que procede ao raciocínio formal.
Segundo Henrique (2017, p. 29), “Uma investigação matemática acontece a partir de
um problema proposto, com possibilidades de construções de conjecturas e descobertas”. Nesse
sentido, as atividades propostas neste trabalho se destacam como propícias para a investigação,
no que tange ao conhecimento matemático, que pode ser desenvolvido com o ladrilhamento no
plano, por meio do GeoGebra, em dispositivos touchscreen.
Nessa seção, foram discutidas potencialidades do trabalho com a tecnologia, por meio
de um AGD; houve o pensamento de favorecer o processo ensino-aprendizagem dos
conhecimentos matemáticos, em especial, no campo da Geometria. A seguir, será relatada a
metodologia desta pesquisa.
42
5 PERCURSOS METODOLÓGICOS
Nesta seção, teremos uma parte descritiva e uma parte preditiva da pesquisa. É
necessária uma descrição a respeito das escolhas efetuadas, definindo, além da metodologia, as
variáveis de comando, de maneira mais global, e, na perspectiva local, descrevendo cada
atividade proposta.
5.1 METODOLOGIA DA PESQUISA: ENGENHARIA DIDÁTICA
Para contribuir com a formação inicial e continuada do professor, nesta pesquisa,
trazemos um estudo de caso, com o intuito de apresentar e detalhar uma metodologia, servindo
de referência para as pesquisas de sala de aula: a Engenharia Didática.
A descrição de ação pedagógica/investigativa: planejamento e implementação de
atividades para o ensino de conteúdos específicos de Geometria, no Ensino Fundamental, que
se torna uma ação investigativa, com metodologia de trabalho inspirada nos princípios da
Engenharia Didática.
O termo Engenharia Didática (Artigue, 1994, 1996) foi de construção da área de
Didática da Matemática, na França, por volta da década de 1980, com inspiração no trabalho
do engenheiro, cujo trabalho apresenta características de produção, com sólido conhecimento
científico, básico e essencial, mas que, em contrapartida, exige que haja um enfrentamento de
problemas cotidianos para os quais não existe, momentaneamente, solução prévia, ou seja, o
trabalho constitui-se de momentos em que é preciso construir soluções.
Essa teoria origina-se da preocupação com certa inovação presente no campo da
Educação, que abre caminho para diversos tipos de experiências na sala de aula, advindas da
fundamentação científica. Também está relacionada ao movimento da valorização do saber
prático do professor, com a consciência de que as teorias que não se desenvolvem com o
trabalho em sala de aula são insuficientes para perceber a complexidade do sistema e para, de
alguma forma, ter influência na transformação das tradições do ensino. Nesse sentido, a questão
é afirmar a possibilidade de agir num sentido racional, com referência nos conhecimentos
matemáticos e didáticos, dando destaque à importância da “realização didática” na sala de aula,
como prática de investigação.
A Engenharia Didática foi elaborada para atender a dois questionamentos: o primeiro
são as relações entre pesquisa e ação, no que se refere ao sistema de ensino; o segundo é a
questão do lugar particular para as realizações didáticas, quanto às metodologias de pesquisa.
43
A Engenharia Didática é uma expressão com duplo sentido. Faz referência às produções de
ensino, frutos de resultados de pesquisa, e também é uma metodologia específica de pesquisa
que se baseia em experiências de sala de aula. Segundo Almoloud e Coutinho (2008, p. 66):
A Engenharia Didática, vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se, em
primeiro lugar, por um esquema experimental baseado em "realizações didáticas" em
sala de aula, isto é, na concepção, realização, observação e análise de sessões de
ensino. Caracteriza-se também como pesquisa experimental pelo registro em que se
situa e modo de validação que lhe são associados: a comparação entre análise a priori
e análise a posteriori.
Nesse tipo de linha, a prática de ensino está vinculada à prática de investigação. A
Engenharia Didática pode ser entendida como uma referência para o desenvolvimento de
produtos para o ensino, produzidos pela junção do conhecimento que vem da prática e pelo
conhecimento referente à Ciência.
A ideia deste texto é mostrar um trabalho de Engenharia Didática, em que se teve a
atenção de fazer uma seleção significativa dos objetos do conhecimento, diminuindo o foco da
investigação/ação, com a ideia principal de mostrar formas concretas de acomodar e aplicar, de
maneira simples, os princípios dessa metodologia. Nesse sentido, a maior ênfase não está na
experiência realizada, mas nas características do funcionamento da Engenharia Didática. É
preciso observar que essa metodologia tem fundamentos em uma teoria extremamente ampla,
que envolve a Teoria das Situações Didáticas, dos jogos de quadros e dos obstáculos
epistemológicos, criados, respectivamente, pelos autores da Didática Francesa, Brosseau,
Douady e Chevallard.
Uma Engenharia Didática, segundo Artigue (1996), inclui quatro fases: a primeira se
refere às análises prévias; a segunda, à concepção e análise a priori de experiências didático-
pedagógicas a serem desenvolvidas na sala de aula de Matemática; a terceira, à implementação
da experiência; e a quarta, à análise a posteriori e à validação da experiência. Todavia para o
desenvolvimento deste trabalho, vamos, de maneira lenta, delineando os passos, para uma
reflexão que vai além dessa simples divisão.
Nas análises preliminares, destacamos a pergunta de partida, enfatizando o que vamos
investigar, como será essa investigação e o que já foi feito sobre esse tema.
Na primeira fase, das concepções e análise a priori, é apresentado o ambiente onde
foram realizadas as investigações: uma escola situada em Duque de Caxias. Além disso,
apresentamos os sujeitos da pesquisa – alunos do 8° ano do ensino fundamental.
A experimentação é marcada pela intervenção do pesquisador, análises de relatórios e
organização de dados. Nessa fase, relatamos o processo de desenvolvimento da pesquisa,
quando os alunos levantam problemas, fazem conjecturas, saem em busca de soluções e criam
44
modelos matemáticos.
A fase de validação e análise a posteriori é marcada pelo confronto da pergunta de
partida com o processo desenvolvido pelos educandos, em torno do tema Ladrilhamento no
Plano; nesse momento, será verificada a hipótese da pesquisa.
5.2 TEMA E CAMPO DE AÇÃO
As leituras se iniciaram com os textos de Michele Artigue (1994, 1996), mas, na medida
em que o estudo se desenvolveu, fez-se necessário partir para outras. Após um primeiro contato
com os alunos e a análise de questionário respondido por eles sobre os conhecimentos
matemáticos e a importância da disciplina, buscou-se um campo de ação e um tema de estudo.
Na chegada à escola, foi escolhida uma turma de oitavo ano, por apresentar características mais
favoráveis, tais como: horários de aula da turma, disponibilidade do pesquisador e
comportamento dos alunos, para um trabalho de cunho diferenciado, em relação ao ensino da
Matemática.
Diversas questões se impuseram: com quais conhecimentos vamos trabalhar? O que
podemos trabalhar como um conjunto de conhecimentos que possam oferecer um recorte com
coerência, no que diz respeito à Matemática escolar, com importância e autossuficiência, em si
mesmo, coerente para um trabalho com a Engenharia Didática?
Então optou-se pelo trabalho com o tema Ladrilhamento no plano, na Geometria
Euclidiana, motivado pela possibilidade de um trabalho mais concreto, no que diz respeito ao
conhecimento aprendido através da prática e da visualização, com os alunos/participantes.
Houve um reconhecimento, por parte do professor/pesquisador, de que há uma grande
dificuldade no trabalho com os conhecimentos geométricos, especialmente pelo fato serem
expostos sempre no final do bimestre (entretanto, apesar de os alunos terem aprendido pouco
da Geometria Euclidiana, a utilização de softwares ajudou bastante na aprendizagem). Então
como justificar a importância desse tema para os alunos do oitavo ano do Ensino Fundamental?
Iniciamos a justificativa, pensando nos motivos para o ensino da Geometria. Acredita-
se que um adulto alfabetizado mostre competências básicas no campo da Geometria, entre
essas, uma linguagem específica e habilidades, no que tange à visualização e representação,
como a denominação dos polígonos, de acordo com a quantidade de lados, sua identificação e
construção. Conhecer e aprender Geometria também é estabelecer relação entre os diferentes
conceitos, diversos deles presentes em nosso cotidiano; por exemplo, as noções de reta,
segmentos de reta, ângulos, interseção, retas perpendiculares, paralelismo e congruência. A
45
Geometria também se articula com o trabalho com os números e medidas, semelhança e
proporção. Nesse sentido, o ensino da Geometria também propicia o desenvolvimento do
pensamento lógico, organizado, estruturado e sistematizado, que proporciona um melhor
rendimento na resolução de problemas dos mais diversos tipos. De acordo com os Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (Brasil, 1998, p. 39), “o trabalho com
noções geométricas contribui para aprendizagem de números e medidas”.
5.3 ANÁLISES PRÉVIAS
A primeira etapa da Engenharia, a etapa de análises prévias, é construída objetivando
analisar como funciona o ensino habitual de conceitos, para propor uma intervenção que
transforme, de forma positiva, a aula usual. Tal análise tem o intuito de clarear os efeitos do
ensino tradicional, as concepções dos educandos e as dificuldades e percalços que marcam as
evoluções das concepções. A reflexão sobre falhas é o ponto de partida para determinar
condições possíveis para um funcionamento que traga satisfação.
Carneiro (2005) diz que Artigue sugere uma análise em três dimensões: 1) dimensão
epistemológica, que se relaciona com as características do saber em jogo; 2) dimensão didática,
ligada às características do funcionamento do sistema de ensino; 3) dimensão cognitiva, ligada
às particularidades do público ao qual se dirige o ensino.
5.4 DIMENSÕES EPISTEMOLÓGICAS SOBRE O CAMPO DE AÇÃO
Parcialmente, é possível falar da Geometria, salientando sua natureza mutável, com
diferentes sentidos, no passar dos séculos: Geometria intuitiva, Geometria científica, Geometria
dedutiva, Geometria das transformações e Geometria avançada.
Geometria intuitiva é aquela que se origina das observações do espaço físico real. A
Geometria científica surge do trabalho da mente humana, a partir das noções primitivas,
consolidando essas noções, conscientemente, por meio de regras e leis mais gerais. A Geometria
dedutiva se refere ao uso do pensamento lógico-dedutivo, para aumentar o conjunto de leis e
regras iniciais, constituindo a Geometria Euclidiana. A Geometria das transformações tem
origem na percepção de que existem muitas Geometrias, a Euclidiana e as não Euclidianas.
Geometria avançada designa uma concepção mais nova e mais geral, como uma teoria que tem
espaço definido e que possui um corpo de relações entre objetos.
A respeito do ensino da Geometria no Brasil, Soares (2001, p. 11) diz que:
46
A falta de preparo dos professores e a liberdade que a lei de diretrizes de bases da
educação de 1971 dava às escolas quanto à decisão sobre os programas das diferentes
disciplinas, fez com que muitos professores de Matemática, sentindo-se inseguros
para trabalhar com a Geometria, deixassem de incluí-la em sua programação. Os que
continuaram a ensina-la o faziam de modo precário. Os próprios livros didáticos
passaram a parte de Geometria para o final, o que fez com que durante o Movimento
da Matemática Moderna a Álgebra tivesse um lugar de destaque.
Atualmente, ainda podemos observar esse tipo de comportamento por grande parte dos
professores de Matemática, que ensinam de maneira precária a Geometria ou a relegam para o
final do programa. Tais fatos fazem com que os educandos não aprendam, de maneira
satisfatória, os conhecimentos geométricos, ou seja, o saber se torna não só fragmentado, mas
se torna, por vezes, não relacionado a um significado bem construído pelo aluno.
O ensino de Geometria, no Brasil, começa nos anos iniciais do Ensino Fundamental e
está concentrado na Geometria intuitiva, com algumas passagens pela Geometria científica.
Nesse sentido, temos um ensino da Geometria Euclidiana muito estanque, ou seja, sem rigor e,
por diversas vezes, encontramos turmas com alunos que não são capazes de compreender
nenhuma demonstração matemática usada na Geometria.
A respeito do ensino da Geometria no Brasil, Ferreira (2005, p. 10) diz que:
É possível que esse rigor e ênfase nos postulados e axiomas tenha produzido um efeito
prolongado, afastando os professores de ensinar Geometria. Nos dias de hoje, ainda
encontramos livros didáticos com capítulos destinados à Geometria no final do livro.
Muitos professores, a secundarizam ao dizerem: “não deu tempo de trabalhar os
conteúdos de Geometria”. É preciso reverter esse quadro, pois acredita-se que a partir
dos entes geométricos é possível ensinar todos os outros conceitos matemáticos.
Sendo a Geometria um ente que se relaciona diretamente com a prática, torna-se fácil
a sua compreensão.
5.5 DIMENSÕES DIDÁTICAS SOBRE O CAMPO DE AÇÃO
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) enfatizam a importância do
ensino da Geometria para, por exemplo, favorecer a percepção espacial. Os livros, de forma
geral, apresentam os conhecimentos de Geometria numa forma clássica, que começa com
conceitos primitivos para a chegada aos conceitos mais complexos; nesse sentido, foram
analisados os livros de Dante (Projeto Teláris, da Editora Ática, do ano de 2014) e “Matemática
e Realidade”, de Iezzi, Dolce e Machado, da Editora Atual, do ano de 2009. Em ambos, os
textos iniciam-se com passagens rápidas pelo mundo real – Geometria intuitiva – e daí
apresenta-se a Geometria científica, trabalhando as noções geométricas e consolidando-as.
O advento das tecnologias, em particular dos softwares de Geometria Dinâmica,
47
trouxeram uma possibilidade de construir e explorar os conceitos geométricos, a partir de
softwares poderosos, como o GeoGebra.
Com relação ao ensino de Geometria tradicional, é fato que são necessários métodos
aproximadores mais aceitáveis. Nesse sentido, o trabalho com o software pode ser importante,
e com a possibilidade ocorrer em um smartphone, inclusive permitindo ao aluno retomar seus
estudos quando não está na escola.
No Ensino Fundamental usual, o ensino de Geometria não é considerado problemático,
pois, para muitos educadores, parece que apresenta somente dois objetivos: identificar figuras
e denominá-las, o que desmerece o conteúdo e leva alunos e professores a considerarem esses
conhecimentos sem importância, por remeterem à memorização.
5.6 DIMENSÕES COGNITIVAS: QUESTÕES ENVOLVENDO O ENSINO DE
GEOMETRIA
No primeiro encontro com os alunos da escola participante da pesquisa, antes de
começar a ação, buscamos atualizar o tema em questão e perceber se seria interessante trabalhar
com ele. Para isso, elaboramos um questionário (Anexo 4), a fim de se ter noção das opiniões
e interesses dos alunos, bem como de seus conhecimentos prévios. Ele nos permitiu entender
melhor algumas indagações e questionamentos referentes ao ensino da Matemática, de uma
maneira mais geral.
A análise das respostas, exposta no capítulo 5, permitiu concluir sobre a importância da
intervenção e de desenhar objetivos cognitivos claros, sendo assim, houve uma maior busca por
bibliografia referente ao tema.
Os estudantes envolvidos com o a pesquisa, em grande parte, reconheceram que a
Matemática é importante e salientaram que consideram importantes, também, alguns conceitos
geométricos.
Para compreender o estágio cognitivo dos alunos, fizemos o uso da Teoria de Van Hiele.
O modelo de aprendizagem elaborado pelo casal holandês Dina e Pierre Van Hiele salienta que
aprendizes da Geometria se movem por níveis de compreensão, numerados de 0 a 4. O nível
zero é o nível de visualização. Os educandos reconhecem as formas geométricas e as nomeiam,
mas não conhecem suas propriedades. No nível 1, os estudantes têm capacidade de analisar e
fazer relações com as propriedades básicas das figuras, mas não fazem relações com figuras
diferentes. O nível 2 é o da dedução informal, em que os estudantes relacionam propriedades
de uma mesma figura e fazem relações com figuras diferentes. No nível 3, os estudantes
48
conseguem justificar suas afirmações, por meio da coerência lógica. O último nível é aquele
denominado “nível do rigor”. É o momento em que a Geometria passa a ser vista como abstrata,
independente de exemplos concretos.
No caso desta pesquisa, alguns alunos foram diagnosticados ainda no nível básico, ou
seja, nível zero, na aprendizagem de Geometria. Eles reconheceram alguns conceitos básicos,
algumas figuras, mas pouco sabiam sobre suas propriedades e não relacionaram figuras entre
si. Não fizemos a utilização de um teste específico, para verificar em que nível estavam os
estudantes, porém essa conclusão se deu por meio da observação dos conhecimentos
geométricos apresentados por eles, durante a realização da sequência das atividades e pelos
relatos escritos a respeito das perguntas feitas para os mesmos.
Abaixo seguem as características que nos levaram a concluir que os sujeitos da pesquisa
se encontravam no nível zero, segundo a escala de Van Hiele:
Não sabiam diferenciar quadrados de retângulos;
Não conheciam propriedades de quadriláteros;
Não conheciam diferentes tipos de ângulos;
Não conheciam polígonos como octógonos e dodecágonos;
Desconheciam construções geométricas simples, como as de um quadrado e do
retângulo.
Nessa perspectiva, o objetivo deste trabalho foi construir um modelo de ensino
epistemologicamente mais favorável, especialmente por abrir caminho para ampliar as
concepções dos alunos, no que se refere à Geometria.
5.7 O AMBIENTE DA PESQUISA
A pesquisa foi realizada em uma escola – Colégio Estadual Santo Antônio –, no
município de Duque de Caxias, Rio de Janeiro. Vale salientar que as menções a essa escola
estão devidamente autorizadas, Anexo 2 e Anexo 3, conforme preconizam as normas do Comitê
de Ética em Pesquisa da UNIGRANRIO, por cujo crivo a presente investigação passou,
cumprindo suas exigências, além de estar munida da carta de aceite de tal comitê, Anexo 1.
Para o desenvolvimento da pesquisa, foi escolhida uma turma do 8° ano do Ensino
Fundamental dessa escola, onde o pesquisador atua como professor de Matemática. A escolha
pela turma 802 se deu pelo fato de ser composta por alunos agitados, mas, também,
participativos, que aceitam desafios e que se mostram interessados em desenvolver trabalhos
49
diferentes daquilo que é tradicional, no ensino da Matemática. Como as atividades de cunho
interdisciplinar compõem uma proposta inovadora para o pesquisador e tal pesquisa deve ser
realizada com o desejo do educando em participar das atividades, a escolha se deu pela turma
802.
Inicialmente nomeado como Escola Estadual Santo Antônio, o local onde se deu a
pesquisa foi fundado no início da década de 1950 e era mantido pela Fábrica Nacional de
Motores. A princípio, oferecia o curso primário para os filhos dos empregados da fábrica.
Em 1º de março de 1982, mudou para a atual sede, passando a funcionar em um prédio
maior, para atender à demanda dos membros da comunidade. Novamente, em 1º de março, mas
de 1996, a unidade escolar passou a denominar-se Colégio Estadual Santo Antônio.
Sua estrutura física é composta por dois andares e garante o acesso aos alunos a todos
os ambientes. Para os alunos com deficiência, a escola possui uma rampa de acesso até o
segundo andar. Possui quinze salas de aula, uma sala de leitura (dividida em dois ambientes),
um laboratório de informática, um auditório, quadra de esportes, laboratório de Ciências, uma
sala para os professores, uma sala de arquivo, uma secretaria, uma sala de artes, refeitório, dois
banheiros para os funcionários e dois banheiros para os alunos. Funciona em três turnos: o
primeiro, de 7h às 12h20min, o segundo, das 12h30min às 17h50min e o terceiro turno, das 18h
às 23h20min.
A escola foi muito receptiva e a direção se mostrou bastante favorável à pesquisa, porém
foram encontradas dificuldades para o trabalho com a tecnologia, pois o laboratório de
informática encontra-se completamente sucateado, com cerca de cinco computadores, apenas,
funcionando.
Devido a essa observação e por meio da leitura de alguns trabalhos a respeito do uso
dos smartphones em sala de aula, levantou-se a possibilidade deste trabalho com a turma em
questão.
Após uma conversa informal com os alunos, foi observado que 85% deles possuíam
smartphones e que os que não possuíam um, poderiam consegui-lo, para que o trabalho fosse
realizado em sala de aula. Nessa perspectiva, entendemos que as atividades propostas não
seriam comprometidas e que haveria a possibilidade da participação total dos alunos.
5.8 CONCEPÇÕES E ANÁLISE A PRIORI
Descreveremos as escolhas efetuadas, definindo, assim, as variáveis de comando, de
50
maneira mais global, e, na perspectiva local, descrevendo cada atividade proposta.
As primeiras escolhas se referem a variáveis globais, aquelas que dizem respeito à
organização global da engenharia. Nesse caso, são:
1. Deixar clara a mudança de conceitos empíricos sobre a Geometria e a Álgebra para
conhecimentos formais e científicos;
2. Utilizar smartphones e um software de Geometria Dinâmica, fazendo opção pelo
GeoGebra, por ser gratuito, disponível e multiplataforma;
3. Introduzir o estudo de conceitos geométricos e algébricos, por meio da noção de
ladrilhamento no plano;
4. Definir alguns ladrilhamentos com certas características pela ação de movimentos no
software;
5. Situar os alunos sobre a possibilidade de um trabalho interdisciplinar envolvendo a
Matemática, as Artes e a tecnologia;
6. Trabalhar, em sala de aula, sempre conectando as duas possibilidades – a tela e o
papel –, propondo questões e tendo como referência conceitos formais presentes em livros do
Ensino Fundamental.
Levando em consideração essas escolhas globais, partimos para um Plano de Ações em
que há uma intervenção nas escolhas locais. O plano se apresenta numa sequência de ações, em
seis encontros de 1 hora e 40 minutos, cada. Essas ações têm partida em questões de controle,
pensadas a partir do texto de Artigue (1996, p. 206), as quais facilitam prever o comportamento
dos alunos, mostrando como a forma de análise efetuada permite o controle das relações entre
o sentido do seu desenvolvimento e das análises propostas.
As variáveis microdidáticas se caracterizam por possibilitarem a intervenção do
pesquisador/professor, como, por exemplo, buscar a proposta didática como método de ensino
e de aprendizagem, os instrumentos utilizados para avaliação da aprendizagem, a quantidade
de atividades, o planejamento dos conteúdos a serem trabalhados, as atividades propostas, a
organização da turma, entre outros. Nessa perspectiva, como variável microdidática,
apresentamos a Engenharia Didática como metodologia de ensino, com uma breve definição e
apresentação aos alunos, a escolha do tema Ladrilhamento no Plano com o uso do software
GeoGebra, quando o professor/pesquisador promoveu um debate inicial com os alunos, visando
despertar a percepção da relevância do tema, para o ensino da Matemática. Apresentamos aos
sujeitos, alunos do 8° ano, sua organização em grupos, os diversos encontros que seriam
realizados, os questionários construídos para a realização das investigações sobre o tema, a
51
coleta e interpretação dos dados, os relatórios apresentados após alguns debates, os cálculos, a
formulação de modelos matemáticos e a análise dos resultados.
Convém salientar que as atividades selecionadas, de cunho interdisciplinar, se voltavam
para conhecimentos específicos, referentes ao programa da disciplina. Durante as aulas, era
destinado um tempo para orientações das atividades, variando entre cinquenta a sessenta
minutos semanais.
5.9 O PRIMEIRO CONTATO
O início da pesquisa surgiu com uma conversa informal com os alunos, na turma em
que o pesquisador é o professor. O objetivo dos encontros foi de familiarizar os discentes com
a interdisciplinaridade e, assim, se deu a escolha pelo tema Ladrilhamento no Plano,
especialmente por sua característica prática e real.
Achamos coerente, também, aplicar um questionário (Anexo 4), para verificar a opinião
dos educandos sobre a importância da Geometria e da ideia de ladrilhamento, sobre as aulas de
Matemática e a relação entre o que se aprende e o que é visto no cotidiano e a importância dos
conceitos matemáticos. Além disso, foi solicitado que descrevessem alguns conceitos
matemáticos que julgassem mais importantes.
A pergunta 1 questionou o seguinte: Você acha que é necessário aprender Matemática?
Por quê? As respostas de alguns alunos foram transcritas abaixo:
Aluno 1: Sim, a Matemática é importante para a compreensão melhor do mundo.
Aluno 2: Sim, porque em todas as áreas da vida nós precisamos para contar,
administrar o dinheiro ou até mesmo saber o tempo para ir a algum lugar, por exemplo.
Aluno 3: Sim, porque vamos precisar em qualquer profissão que a gente for seguir.
Aluno 4: Sim, pois a maioria das coisas que a gente faz tem Matemática auxiliando.
É possível perceber que os alunos/participantes reconhecem a importância de sabermos
Matemática, porém os mesmos têm dificuldades em salientar os motivos pelos quais essa
ciência é importante. A noção que os alunos têm sobre a Matemática é bem superficial,
associam a aplicabilidade do conhecimento matemático à contagem e à prática do trabalho.
Essa noção pode ser confirmada pelas respostas fornecidas à segunda pergunta, quando se
verificou a relação entre os conhecimentos trabalhados em Matemática e os conhecimentos
trabalhados em outras disciplinas.
A pergunta 2 dizia: Você acha que os conhecimentos trabalhados em Matemática estão
52
relacionados com os conhecimentos de outras disciplinas? Por quê?
Aluno 1: Sim, pois quase todas as disciplinas têm a Matemática as auxiliando.
Aluno 2: Sim, porque aparece praticamente em todas as matérias. Exemplos: Química,
Física, Resolução de Problemas.
Aluno 3: Sim, porque em todas as áreas a Matemática se faz presente como, por
exemplo, na Física, Geografia e Química.
Aluno 4: Não, porque não usamos Matemática nas outras disciplinas.
É possível confirmar que a maior parte dos estudantes observa uma relação das outras
disciplinas com o conhecimento matemático. Mesmo ainda não cursando as disciplinas de
Química e Física, fazem uma relação dos conhecimentos matemáticos com os conhecimentos
dessas disciplinas.
A terceira pergunta se relacionava com as aulas de Matemática: Na sua opinião, as aulas
de Matemática despertam o interesse e a curiosidade? Por quê?
Aluno 1: Sim, porque quando você aprende algo que lhe é útil e que você vai ver que é
uma grande “jornada”, isso faz com que você queira aprender mais.
Aluno 2: Em minha opinião sim, porque além de ser minha matéria favorita ela
desperta o interesse e aprendizado pelas coisas novas.
Aluno 3: Sim, pois se as pessoas pensarem bem, Matemática está em tudo hoje em dia
e tudo foi descoberto com um pouco da ajuda da Matemática.
Aluno 4: Desperta, pois entendemos coisas que sem a Matemática seria impossível
entendermos.
É notório que os alunos consideram as aulas de Matemática motivadoras e relacionam
a disciplina ao desafio e à descoberta. Com a ajuda das perguntas anteriores, fica claro que os
educandos reconhecem a importância da Matemática para o futuro e isso, para grande parte
deles, é motivador.
A quarta pergunta referia-se aos conhecimentos matemáticos já interiorizados pelo
educando: Para você quais conceitos matemáticos são importantes?
Aluno 1: Eu acho fundamental saber as 4 operações.
Aluno 2: Para mim alguns conceitos principais são: raiz quadrada, equações,
expressões.
Aluno 3: As quatro operações básicas são fundamentais, pois permitem que você
aprenda equações, por exemplo.
Aluno 4: As contas de +, - ,× , ÷ , pois são as mais usadas no cotidiano das pessoas.
De acordo com as respostas do questionário, o qual se encontra na íntegra, no Anexo 4,
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foi possível perceber que, para grande parte dos alunos, a Matemática é importante, motiva-os,
mas está ligada a números e cálculos que fazemos no cotidiano, ou seja, o seu uso é bem restrito
à necessidade de algumas outras ciências ou à própria Matemática. Somente alguns conceitos
aprendidos durante vários anos de escolaridade foram citados. Apesar de os alunos entenderem
que a Matemática é importante para o futuro, boa parte indicou que acha somente as operações
de soma, subtração, multiplicação e divisão como importantes.
Ao analisar o questionário, percebeu-se que as atividades propostas a partir do Plano de
Ações propiciavam que os alunos pudessem passar, em termos dos níveis de Van Hiele, do
nível básico para o nível 2, em que, segundo Rodrigues (2007, p. 3), “o aluno já é capaz de
fazer a inclusão de classes, acompanhar uma prova informal, porém não é capaz de construir
uma outra”. Tais atividades podem contribuir para tornar o ensino da Matemática mais
interessante ao aluno, que terá a oportunidade de ser desafiado, com atividades que favoreçam
o pensamento matemático.
Diante disso, foi dado prosseguimento aos encontros, iniciando com uma breve
explicação a respeito da pesquisa, além de sua justificativa para toda a comunidade escolar.
5.10 HIPÓTESES
As escolhas locais articulam-se com as previsões a respeito do comportamento dos
alunos. Concomitantemente, explicamos como se desenvolveria o controle das relações entre
os comportamentos dos educandos e as atividades propostas, e formulamos hipóteses que
seriam comparadas com os resultados finais, contribuindo para a validação da Engenharia.
Entendemos que tomar decisões e formular hipóteses são ações simultâneas. Anterior ao Plano,
as hipóteses estão implícitas. Tornam-se, então, explícitas e verbalizadas, posteriormente ao
desenvolvimento do Plano de Ação, quando se tem ideia do todo.
Para os efeitos da validação, as hipóteses não devem ser muito amplas, à medida que
podem comprometer processos de aprendizagem, a longo prazo. Ao apresentá-las, é necessário
ter consciência de que voltaremos a elas, durante a experimentação, verificando-as: Será que o
Plano funciona? Será que há a validade das hipóteses?
Dessa forma, as hipóteses foram formuladas da seguinte maneira:
1- Com a coleção de ações propostas, os educandos vão adquirir conhecimentos sobre
Geometria, interiorizando conceitos formais.
2- A passagem de conhecimentos em meio informatizado para a folha de papel é natural.
Por meio do software, o educando terá oportunidade de se apropriar mais rapidamente de uma
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maior quantidade de conceitos, tornando-se apto a resolver diversos problemas práticos, os
quais podem servir como situações motivadoras para o trabalho com o software.
3- A falta de familiaridade dos alunos com o software pode ser superada com o uso de
vídeos, para o conhecimento do menu. O GeoGebra é de fácil utilização.
6 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Durante o período de cinco semanas, foram desenvolvidos seis encontros, nos quais
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coletamos dados que serão analisados neste capítulo. A turma participante da pesquisa tem
quatro tempos semanais de aulas de Matemática, dos quais dois foram dedicados à investigação.
As aulas escolhidas foram às terças, pela manhã.
Muito cedo, de forma concomitante com a experimentação, foram iniciadas a Análise a
posteriori e a validação das hipóteses. O professor/pesquisador não tinha o intuito de analisar
o trabalho após a conclusão. Para nós, a fase da experimentação, acompanhada pelas análises
em grupo (professor/pesquisador e orientadores), já constitui a própria análise a posteriori, e
teve como resultado algumas modificações, que direcionaram a validação.
Durante a experimentação, coletamos e foram organizados uma quantidade de dados
variados, formados pela produção dos educandos, registro de suas perguntas, dúvidas e erros
verificados durante o acompanhamento de suas ações. A análise desse material é fundamental
para a etapa de validação.
A seguir, serão apresentados materiais coletados e a análise de dados, em cada dia de
atividades realizadas.
6.1 O ENCONTRO INICIAL
No primeiro encontro, como já mencionado, foi entregue um questionário aos alunos,
que o preencheram, relatando suas impressões sobre algumas perguntas realizadas pelo
professor/questionador. Também foi feito um levantamento, para saber se todos os alunos
possuíam smartphone e se tinham a possibilidade de baixar o software GeoGebra.
Após uma conversa prévia com a direção, para se chegar a um comum acordo a respeito
de qual turma de oitavo ano participaria do trabalho, chegou-se a um consenso e, assim, foram
definidas datas e explicados os conceitos que seriam trabalhados com a turma; também foi
explicitado o trabalho, pioneiro na escola, pois trata-se da utilização do celular para o
aprendizado de conceitos de Matemática. Combinou-se de fazer dez tempos de aula, com cinco
atividades a respeito do tema Ladrilhamento no Plano.
Para não haver exposição dos alunos, eles foram numerados de 1 a 28, para que se
pudesse relatar a respeito de sua participação no desenvolvimento das atividades propostas.
6.1.1 DIA 23 DE FEVEREIRO DE 2016
Após o primeiro encontro, começam efetivamente as aulas com atividades relacionadas
à investigação. Nesse encontro, foi possível observar que os participantes baixaram (no celular)
56
o GeoGebra, como combinado, então, apresentamos didaticamente o software. Entretanto,
somente com a exposição oral, a apresentação poderia ficaria comprometida, então foram
produzidos vídeos no smartphone, a fim de que os alunos/participantes pudessem se inserir na
pesquisa. Com o auxílio dos vídeos, foram apresentadas as principais ferramentas do software
e os alunos puderam, com seus smartphones, testar a função de cada ferramenta. Nesse
momento, é bastante interessante o trabalho com alguns termos matemáticos, como: paralelos,
congruentes, reflexão, entre outros.
Foi proposta aos alunos/participantes a construção de segmentos de reta, retas, retas
paralelas, perpendiculares e de alguns polígonos simples. Os participantes puderam explorar
algumas simples construções que, geralmente, são feitas com régua e compasso na escola.
Notamos que muitos não conheciam polígonos com mais de quatro lados e não sabiam como
construí-los; quando falamos de polígonos regulares, nenhum aluno/participante soube definir
o que era.
6.1.2 DIA 1º DE MARÇO DE 2016
No dia 1º de março de 2016, o encontro foi iniciado com uma explanação a respeito do
que seria o Ladrilhamento no Plano. Foi apresentado, por meio de uma televisão, um vídeo
produzido pelo professor/pesquisador, com algumas imagens em que é possível observar a ideia
de ladrilhamento no cotidiano de grande parte das pessoas. Alguns alunos se questionaram a
respeito do fato de o tema ladrilhamento ter relação com o que se aprende sobre a Matemática.
Posteriormente, foi lançada uma proposta que, na verdade, era a primeira atividade: será
possível ladrilhar o plano com retângulos e quadrados?
Os participantes tiveram grande dificuldade para diferenciar quadrados e retângulos, e
muitos não souberam construir retângulos, por esse desconhecimento. Foi ensinada, então, a
diferença entre eles e como construir um retângulo, mas ainda apresentaram bastante
dificuldade. Sendo assim, foi proposto que baixassem a atividade, por transferência Bluetooth,
a partir do celular do professor. Assim foi feito, e só precisaram tentar ladrilhar com os
retângulos e quadrados já construídos. Os alunos disseram que seria facilmente possível
ladrilhar com os retângulos e quadrados, pois a medida dos ângulos internos de ambos era igual.
6.1.3 DIA 08 DE MARÇO DE 2016
No quinto e sexto tempos de aula, no dia 8 de março, foi proposta a realização da
57
segunda atividade, após um debate sobre alguns polígonos regulares e seus nomes. A atividade
foi introduzida com a seguinte pergunta: o que é a área de um polígono? Nenhum aluno soube
responder, então foi feita mais uma pergunta: quando vão ladrilhar um cômodo da casa, o que
é necessário calcular?
Eis a resposta de um dos alunos/participantes:
Aluno 1: É preciso saber a área e a área é o valor necessário para cobrir o polígono.
A partir dessa resposta, foi definida a ideia de área e propôs-se que os alunos baixassem
a atividade 2, que consistia em perceber se era possível revestir um hexágono regular com
triângulos equiláteros. Em seguida, foi apresentado o vídeo solicitando a realização da atividade
com o auxílio do software GeoGebra, no smartphone.
Os participantes movimentaram os triângulos e perceberam que se encaixavam
perfeitamente. Em seguida, foi feita a seguinte pergunta: o que podemos concluir com isso?
Uma das respostas encontra-se abaixo:
Aluno 2: Os seis triângulos equiláteros podem cobrir um hexágono regular e isso deve
acontecer porque as áreas são iguais.
Em seguida, foi formalizada uma possibilidade para o cálculo da área do hexágono
regular, a partir da área dos triângulos equiláteros. Observe uma das construções realizadas por
um aluno:
Figura 24: Ladrilhamento construído pelo aluno 3.
Fonte: Dados da pesquisa.
6.1.4 DIA 15 DE MARÇO DE 2016
No encontro do dia 15 de março, apresentamos a terceira e a quarta atividades. A terceira
atividade foi introduzida com um vídeo produzido pelo professor/pesquisador, solicitando que
fossem feitos ladrilhamentos com hexágonos regulares; houve o questionamento sobre o fato
de ser possível, ou não, ladrilhar com esses hexágonos. Abaixo destacamos o ladrilhamento
58
construído pelo aluno 5.
Figura 25: Ladrilhamento construído pelo aluno 5.
Fonte: Dados da pesquisa.
Alguns alunos/participantes atentaram para a semelhança com a forma geométrica das
colmeias, quando puderam fazer relação com algo que é visto no cotidiano por grande parte das
pessoas; tal fato evidencia a presença da Matemática em nossas atividades mais comuns.
A quarta atividade teve início com um debate sobre produtos notáveis, especificamente
sobre o quadrado da soma. Seria possível tornar mais concreto que (a + b)² = a² + 2.a.b + b²?
Foi sugerido que baixassem a atividade 4, a fim de tentarem ladrilhar uma região quadrada com
quadrados menores e retângulos. Foi pedido que considerassem os lados do primeiro quadrado
com medida a, as medidas dos lados do segundo quadrado com medida b e os retângulos com
lados de medida a e b, sendo a e b quaisquer números pertencentes ao conjunto dos números
naturais, exceto zero. A seguir, está a construção feita por um aluno:
Figura 26: Ladrilhamento com quadrados e retângulos, construído pelo aluno 4.
59
Fonte: Dados da pesquisa.
Nessa atividade, a construção do ladrilhamento proporcionou comentários dos alunos a
respeito do conceito de equivalência de áreas.
6.1.5 DIA 22 DE MARÇO DE 2016
Nesse dia, foi proposto aos alunos que, com o uso do software GeoGebra, fizessem
ladrilhamentos com polígonos regulares, podendo usar os polígonos regulares que quisessem.
Os alunos/participantes não se opuseram a realizar a atividade, porém tiveram algumas
dificuldades, já que a maior parte daqueles que realizaram a atividade começaram
experimentando o encaixe dos polígonos e perceberam que, dessa forma, seria mais trabalhoso.
A respeito disso, o aluno 7 fez as seguintes ponderações:
Aluno 7: Professor, eu vou utilizar a medida do ângulo interno. Aqueles polígonos em
que eu tiver a soma de seus ângulos internos igual a 360° eu vou conseguir ladrilhar. Por
exemplo, o polígono de 12 lados que eu já descobri quem tem ângulo interno de 150°. Então
se eu ladrilhar com dois polígonos de doze lados e um triângulo a soma dá igual a 360°.
Foi possível perceber que o aluno entendeu perfeitamente a ideia e o conceito de
60
ladrilhamento e que já consegue utilizar, em sua prática, o cálculo, para descobrir o valor dos
ângulos internos de um polígono.
Por fim, foi realizada uma coletânea de construções dos alunos, a qual lhes foi
apresentada por meio do Datashow. Foram feitos debates sobre o tema ladrilhamento e
comentaram-se os conceitos que foram aprendidos durante os dez tempos de aula. Os alunos
tiveram a oportunidade de preencher um questionário, com suas impressões sobre as aulas, e
puderam deixar suas impressões e questionamentos, além da opinião sobre o fato de ser
positivo, ou não, esse modelo de aulas.
6.2 ANÁLISE A POSTERIORI
As investigações que fazem uso da experimentação em sala de aula, muitas vezes,
incluem a avaliação de grupos externos, ou seja, de testemunhos diferentes, para verificar sua
validade em ambientes em que a metodologia adotada seja, por exemplo, a tradicional. No caso
da Engenharia Didática, segundo Carneiro (2005), a validação é por essência interna, fundada
no confronto entre a análise a priori e a posteriori. Segundo Artigue (1996), o confronto entre
a análise a priori e a análise a posteriori consiste na investigação daquilo que foi considerado
nas hipóteses e que, quando posto em prática, sofreu distorções, deixando de ser válido.
A ideia desse trabalho foi discutir o quanto o processo proposto pela Engenharia
Didática pode contribuir para a formação do educando e para o educador e, consequentemente,
gerar conhecimentos, principalmente pela reflexão e pelo enfrentamento das dificuldades e
impasses.
Nessa perspectiva, relatamos impasses ocorridos desde o segundo encontro. Cabe,
ainda, destacar que, no quarto encontro, buscando fazer ladrilhamentos com hexágonos, os
alunos tiveram grandes dificuldades, pois, por vezes, seus hexágonos eram sobrepostos e então
não acontecia o ladrilhamento. Então, optamos por utilizar a ferramenta reflexão em relação a
uma reta, porém os alunos/participantes ainda sentiram bastante dificuldade. Ouvimos
comentários como os seguintes: eu não sabia o que era um hexágono regular, descobri que
esse hexágono tem seis lados iguais, a medida do ângulo interno de um hexágono é igual a
120°, um ângulo de 360º completa o círculo.
Junto a essas descobertas, surgiram outras, não tão boas.
Na atividade 3, ao tentar movimentar o retângulo, é perceptível que ele se deforma,
perdendo sua propriedade (tal figura pode se transformar em figuras que não são consideradas
quadriláteros, na Geometria Euclidiana). Dolce e Pompeo (2005) definem quadrilátero da
61
seguinte forma: “sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três
não-colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a
reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero”.
Ou seja, ao manipular o software, o aluno/participante pode transformar quadriláteros
em figuras que não os são. Refletindo sobre esse problema, pôde-se perceber que, sem a
orientação do professor/pesquisador, o participante pode ser induzido ao erro e, nesse sentido,
o mesmo pode considerar que o software não seja de tão fácil utilização.
Com a orientação do professor/pesquisador, os alunos conseguiram realizar facilmente
a atividade, indicando que o problema inicial relacionava-se à construção com o software e não
à sua utilização.
6.3 A AVALIAÇÃO DOS ALUNOS/PARTICIPANTES
Durante o primeiro encontro, conversamos com os alunos/participantes a respeito da
existência de um grupo secreto na rede social Facebook, ao qual poderiam ser inseridas suas
construções, realizadas durante as aulas, e também no qual poderiam relatar suas impressões,
ou seja, eles poderiam compartilhar com os demais membros se achavam importante e coerente
o que estavam aprendendo. Esse seria o espaço para os nossos debates fora da sala de aula, no
qual eles poderiam elogiar ou criticar, de maneira construtiva, pois o grupo seria secreto
(somente os convidados pelo professor/pesquisador teriam acesso a ele).
Abaixo, segue uma imagem de como ficou esse grupo secreto, chamado de “Matemática
e R.P.M. (Resolução de Problemas Matemáticos) com o professor Thiago de Azevedo”.
Figura 27: Grupo secreto, na rede social Facebook.
62
Fonte: Dados da pesquisa.
Esse grupo contou com vinte e oito participantes, ou seja, 70% da turma em estudo.
Nesse espaço, a maior parte dos alunos expuseram suas construções e, também, suas habilidades
com o GeoGebra. Abaixo, é possível ver algumas dessas construções.
63
Figura 28: Ladrilhamentos produzidos pelos alunos e postados no grupo secreto do Facebook.
Fonte: Dados pesquisa.
Alguns alunos produziram, inclusive, um vídeo, mostrando o passo a passo de sua ação,
quando apresentaram uma grande habilidade, ao manipular o smartphone e, consequentemente,
como podem fazer um bom trabalho, utilizando o software GeoGebra. Foi perceptível que
estiveram motivados para o trabalho que foi apresentado no grupo do Facebook.
Um fato a ser destacado é o reconhecimento de alguns ladrilhamentos trabalhados em
sala de aula; um aluno, inclusive, postou sua construção na hora de seu lanche, a mesma
realizada no software, mas com biscoitos. É possível ver a situação, na imagem abaixo:
Figura 29: Ladrilhamento construído por aluno.
Fonte: Dados da pesquisa.
Por meio dessa imagem, é possível ter a noção de que os conhecimentos matemáticos
aprendidos na escola podem ser entendidos pelos alunos de uma maneira ampla, ou seja, eles
64
podem perceber o quão abrangente é o conhecimento matemático e que o mesmo está presente
nas nossas vidas, mesmo nos momentos mais informais. Nessa perspectiva, é possível superar
aquela pergunta que tanto incomoda não apenas o professor de Matemática, que é: Por que
temos que aprender isso?
Partimos do pressuposto de que o aluno deve fazer a seguinte pergunta: Por que não
aprender Matemática? Essa pesquisa tem o intuito de mostrar a complexidade da arte de
ladrilhar, mas, ao mesmo tempo, sua importância, seu sentido e as dificuldades que podem ser
criadas pelo fato de não haver uma aprendizagem completa, no que se refere à Geometria.
6.4 VALIDAÇÃO DA ENGENHARIA E CONSIDERAÇÕES SOBRE SUA
REPRODUTIVIDADE
Consideramos válida a hipótese que trata do desempenho dos alunos, em relação aos
seus conhecimentos. Eles começaram a reconhecer diferentes polígonos regulares e a nomeá-
los corretamente, justificando sua escolha, numa linguagem Matemática coerente, embora não
seja uma totalidade os participantes que utilizam esse linguajar matemático corretamente.
Todos foram capazes de executar as atividades propostas. Foi possível observar que os
alunos/participantes foram evoluindo nos conhecimentos geométricos, principalmente sobre as
propriedades de determinados polígonos como triângulos, quadriláteros e hexágonos. Na
exposição oral, os estudantes mostraram noções intuitivas, adquiridas durante os encontros, a
respeito de propriedades de polígonos.
Ainda referente à hipótese 1, que consideramos válida, foi possível observar que os
alunos passaram para o nível da dedução, em que são capazes de relacionar propriedades de
uma mesma figura e de figuras diferentes; por exemplo, os participantes conseguiram entender
que a área de um hexágono regular é equivalente à área de seis triângulos equiláteros. Nesse
sentido, consideramos que foi positiva a realização das atividades para essa mudança de nível,
a partir da Teoria de Van Hiele que, ratificamos, foi utilizada apenas como inspiração, contudo
nenhum de seus testes foi efetivamente realizado nesta pesquisa.
Entre as características que levaram à percepção do avanço, no que tange à escala de
Van Hiele, podemos citar:
Os alunos passaram a reconhecer as propriedades de quadriláteros;
Os alunos passaram a nomear corretamente os polígonos;
Os alunos entenderam e utilizaram o cálculo das medidas de ângulos internos
de polígonos;
65
Os alunos começaram a fazer uso de termos próprios da Geometria, tais como:
reflexão, simetria, bissetriz, mediana, entre outros, encontrados no software
utilizado;
Os alunos passaram a fazer ladrilhamentos sem a utilização de tentativa e erro,
mas por intermédio do cálculo das medidas de ângulos internos e estudando as
possibilidades de encaixe dos polígonos.
A hipótese 2, nesse caso, também é válida. As atividades foram do alcance de todos os
participantes, que puderam apreender diversos conceitos geométricos e traduzir seus
conhecimentos aprendidos para o papel, por meio de textos e observações.
A hipótese 3 é válida também, pois os vídeos foram de grande utilidade para orientar e
direcionar o trabalho dos alunos/participantes e, com a correta orientação, o aluno constrói
quadriláteros, que, mesmo após movimentos, não se deformam e mantém as propriedades de
quadriláteros. Então acreditamos que a hipótese é válida e que uma possível inviabilidade de
trabalho com o software nas atividades está ligada à falta de conhecimentos.
Nessa perspectiva, tornou-se possível perceber que as hipóteses foram válidas, o que
levou à conclusão de que o trabalho realizado foi positivo, principalmente por trazer uma
possibilidade mais concreta de aprendizado, por parte dos alunos que utilizam o smartphone e
o software, para construir os conhecimentos no campo geométrico. A possibilidade da retomada
das atividades e da exploração das propriedades observadas em sala de aula facilitou a passagem
de fases, no que se refere à Teoria de Van Hiele.
6.5 PONDERAÇÕES SOBRE A REPRODUTIVIDADE DA ENGENHARIA DIDÁTICA
Pensando na reprodutividade dessa experiência, podemos analisar as vantagens de se
utilizar tanto o smartphone quanto o software GeoGebra, para o estudo da Geometria Euclidiana
Plana.
Para quem desejar reproduzir as atividades propostas nesta pesquisa, é preciso assumir
a posição de um constante pesquisador, uma vez que as atividades propostas podem receber
incrementos, por parte do educador que as utilize. Além disso, é conveniente que o educador
tenha bastante noção da vivência dos alunos, no sentido de avaliar a real possibilidade do
trabalho com a tecnologia. Se os alunos não dispuserem dos smartphones, ou se a escola não
tiver condições de dar suporte tecnológico, o trabalho pode ser prejudicado.
66
O uso do GeoGebra no smartphone, para atividades como as propostas, pode levar os
alunos à construção de importantes conceitos, principalmente pela movimentação dos
polígonos que facilitam a visualização e a exploração das propriedades dos objetos de estudo.
Quando as atividades são bem orientadas pelo professor, principalmente com o auxílio
dos vídeos, os quais podem ilustrar algumas dificuldades que os alunos possam enfrentar, eles
tendem a compreender tranquilamente as propriedades dos polígonos, bem como suas
características. Nesse sentido, conceitos como o de ângulos internos, externos, unidades de
medida de comprimento, vértices, entre outros, podem ser trabalhados de maneira mais
significativa em sala de aula, pois, dessa forma, a necessidades de construir os ladrilhamentos
leva o aluno a ter que utilizar conhecimentos que, por diversas vezes, só é apresentado de
maneira descontextualizada e sem aplicação.
O trabalho com o smartphone pode levar o professor a superar uma difícil questão: o
combate ao seu uso em sala de aula, pois muitos educadores ainda defendem que tal utilização
é prejudicial, por atrapalhar a concentração dos educandos para a realização das atividades em
sala de aula. Na contramão dessa ideia, foram propostas atividades que têm o intuito de utilizar
positivamente um recurso que já faz parte do cotidiano de boa parte dos estudantes brasileiros.
7 O PRODUTO EDUCACIONAL
67
A oportunidade de se construir vídeos e tê-los organizados numa espécie de livro na
internet é uma possibilidade viável, por meio do GeoGebra Book. Neste capítulo, discorreremos
a respeito da construção de um GeoGebra Book, contendo os vídeos utilizados na execução das
atividades propostas nesta pesquisa.
Como produto educacional, propomos um Geogebra Book, um livro digital, conforme
mencionado, que está disponível, em rede, por meio do seguinte link:
https://www.geogebra.org/book/title/id/Msxy4yf5.
7.1 PASSO A PASSO DO PRODUTO EDUCACIONAL
Segundo Abar (2015, p. 1), “nos últimos anos, o software GeoGebra tem significado
uma importante revolução, especialmente para professores de matemática, interessados na
incorporação das TIC em sala de aula”. Nesse sentido, como fruto desta pesquisa, decidimos
pela elaboração de um GeoGebra Book, contendo os vídeos utilizados no desenvolvimento das
atividades propostas.
Como sujeitos deste estudo, tivemos vinte e oito alunos de uma turma do oitavo ano, de
uma escola estadual situada no município de Duque de Caxias (RJ). Como identificação dos
participantes da pesquisa, visando a preservar sua identidade, utilizaram-se numerações de 1 a
28, antecedidas da palavra “aluno” (Ex.: Aluno 1-28).
Os vídeos foram desenvolvidos como uma possibilidade para facilitar o ensino dos
conceitos geométricos no software GeoGebra, no smartphone. Tais vídeos foram pensados a
partir da leitura e análise, com os professores orientadores do trabalho, das respostas a um
questionário inicial, apresentado aos alunos. Em seguida, pensou-se em um Plano de ações, o
qual se apresenta como uma sequência de ações, desenvolvidas em seis encontros de 1h e 40
min, cada. Organizamos essas ações tendo como ponto de partida questões de controle,
adaptadas de Artigue (1996), que facilitam prever o comportamento matemático dos alunos.
No primeiro encontro com a turma, foi apresentado o tema Ladrilhamento e explicado
que as atividades com esse tema seriam desenvolvidas com a ajuda do software GeoGebra, no
smartphone, porém constatou-se uma dificuldade bem grande para que os alunos entendessem
suas ferramentas. Nesse sentido, tivemos a ideia de desenvolver vídeos tutoriais, a fim de
melhor as compreenderem, bem como as atividades propostas pelo professor/pesquisador.
No segundo encontro, foi apresentado um vídeo elaborado com o uso do smartphone,
mostrando as ferramentas principais do software GeoGebra para telefones celulares, quando o
68
professor/pesquisador teve a oportunidade de apresentar o software para os alunos, pois os
mesmos não haviam, ainda, conseguido explorar suas ferramentas (sem a observação dos
vídeos).
Nesse primeiro vídeo, eram expostas atividades para a construção de alguns conceitos
geométricos como reta, segmento de reta, semirreta, ângulos e polígonos. Esses conceitos ainda
não eram de conhecimento por parte de alguns alunos.
Figura 30: Introduzindo conceitos geométricos com o software GeoGebra, por meio de vídeos tutoriais.
Fonte: Dados da pesquisa.
No segundo vídeo, foi apresentada a ideia de Ladrilhamento e propôs-se que os alunos
fizessem alguns ladrilhamentos simples, com retângulos e quadrados. Porém alguns alunos não
sabiam construir retângulos e não conheciam suas propriedades, então foi elaborado mais um
vídeo tutorial, ensinando a construir um retângulo no GeoGebra e, em seguida, o vídeo
mostrava como ladrilhar com retângulos e quadrados.
69
No terceiro vídeo, houve a proposta de que os alunos tentassem fazer ladrilhamentos
com polígonos regulares; nesse caso, com hexágonos, momento em que os mesmos puderam
visualizá-los e compreender não só sua construção, mas algumas de suas propriedades.
No quarto vídeo, foi proposto que ladrilhassem uma região de forma quadrangular, com
retângulos e quadrados menores. Tal vídeo ajudava o aluno a entender como movimentar os
polígonos, e os mesmos puderam entender como rotacioná-los e arrastá-los.
No quinto vídeo, houve a proposta de que os alunos tentassem ladrilhar um hexágono
regular com triângulos equiláteros, de forma que percebessem que a área dos seis triângulos
equiláteros era equivalente à área do hexágono regular.
No sexto vídeo, foi proposto que os alunos fizessem ladrilhamentos com polígonos
regulares, podendo usar os polígonos regulares que quisessem, porém não deveriam contrariar
a ideia de ladrilhar, ou seja, as figuras não poderiam se sobrepor e não poderiam sobrar espaços
entre elas.
Figura 31: Alunos fazendo ladrilhamentos no software Geogebra
Fonte: Dados da pesquisa.
7.2 TECENDO COMENTÁRIOS
70
No decorrer do desenvolvimento das atividades, os participantes se mostraram bem
ativos e interessados pelas atividades e, mesmo com dificuldade, procuraram compreender os
conceitos geométricos propostos no Plano de Ações.
Quando o primeiro vídeo foi apresentado, os alunos mostraram poucas dificuldades para
entender a função das ferramentas apresentadas no software GeoGebra; a maior parte dos
alunos foi “passeando” pelas ferramentas e já “experimentando-as”, para saber o que poderia
ser construído com elas. Ao mesmo tempo, já foram se apropriando de termos matemáticos,
como semirretas, polígonos, ângulo interno, polígono regular, congruência, reflexão, paralelos.
Os educandos fizeram diversas perguntas, para saber qual era o significado de termos
matemáticos utilizados pelo aplicativo.
Com a ajuda do segundo vídeo, foi possível apresentar alguns conceitos sobre os
quadriláteros, pois os alunos ainda desconheciam diversas propriedades. Alguns deles ainda
apresentavam dificuldades em reconhecer os diferentes quadriláteros, tanto que, após a
apresentação do segundo vídeo, o qual retratava a construção de um retângulo no software, o
Aluno 6 fez a seguinte pergunta:
Aluno 6: Professor, por que é tão difícil construir aquele quadrado ali?
Após essa pergunta, o professor/pesquisador fez outros questionamentos: Tem certeza
de que a figura é um quadrado? O que caracteriza um polígono, para que o possamos chamá-lo
de quadrado?
O aluno constatou:
Aluno 6: Verdade. Para ser quadrado, tem que ter quatro lados iguais e quatro ângulos
retos. Então, essa figura não é quadrado, você disse que era um retângulo.
Nesse momento, alguns alunos comentaram que, no vídeo, já havia sido dito o nome da
figura, porém o Aluno 6 disse que, antes, não entendera a diferença entre retângulo e quadrado
e que confundira o termo “quadrilátero” com “quadrado”.
O terceiro vídeo tornou possível levar os alunos a não só conhecerem o que é um
polígono regular, mas a compreenderem-no e entenderem como calcular a medida de seu ângulo
interno (os mesmos desconheciam o conceito de ângulo interno e externo); também tiveram
grandes dificuldades em saber se era possível fazer ladrilhamentos com os hexágonos regulares.
O professor/pesquisador fez, em seguida, as seguintes perguntas: será possível ladrilhar
com hexágonos regulares? Por quê?
Alguns alunos responderam:
Aluno 10: Pelo que vi no vídeo, é possível, mas eu não sei por qual motivo é possível.
Acho que é só porque dá para encaixar as figuras.
71
Aluno 12: Eu sei que dá. Mas acho que deve ter alguma coisa a ver com o ângulo da
figura.
Aluno 7: É possível ladrilhar, mas não sei por qual motivo isso é possível.
Nesse momento, alguns já foram fazendo experiências no smartphone e percebendo que
era possível, sim, fazer o ladrilhamento com os hexágonos regulares, porém nenhum aluno
soube explicar o motivo de isso ser possível.
Foi sugerido aos alunos que pensassem nos ângulos internos e externos dos polígonos,
para que pudessem compreender os motivos pelos quais o ladrilhamento era possível.
No quarto vídeo, foi proposto aos alunos que tentassem ladrilhar uma região quadrada
com dois retângulos menores e dois quadrados menores, objetivando que os alunos pudessem
compreender a ideia de equivalência de áreas. Eles deveriam movimentar e rotacionar as figuras
menores, a fim de experimentar se era possível ladrilhar a região maior, de formato quadrado.
Após a exibição do vídeo, houve os seguintes comentários:
Aluno 6: Eu consegui! As figuras menores cabem dentro do quadrado grande. As quatro
figuras juntas dão igual à maior.
Aluno 7: Eu acho que uma cabe dentro da outra porque as áreas devem ser iguais.
Porque área é a medida de dentro da figura.
Nesse momento, o professor/pesquisador perguntou à turma se concordava com o Aluno
7, e houve unanimidade, em relação ao fato de ele estar correto.
No quinto vídeo, fez-se a proposta de elaboração do ladrilhamento de uma região com
formato de hexágono regular. Tal vídeo mostrava o hexágono regular e seis triângulos
equiláteros de lado com mesma medida que o lado do hexágono regular. Os alunos deveriam
movimentar e rotacionar os triângulos, com o intuito de perceberem se era possível fazer o
ladrilhamento.
Os alunos, rapidamente, perceberam que o ladrilhamento era possível e, sobre isso, o
professor/pesquisador fez a seguinte pergunta: Que conclusão vocês tiram desse ladrilhamento?
Abaixo seguem algumas respostas:
Aluno 8: Já sei. As áreas são equivalentes.
Aluno 20: Eu sei que as áreas são equivalentes. Mas acho que só dá para ladrilhar
porque os triângulos têm os lados de medida igual ao hexágono. Se fosse diferente, não dava.
No último vídeo, foi proposto aos alunos/participantes que construíssem, no
smartphone, com ajuda do software GeoGebra, qualquer possível ladrilhamento com polígonos
regulares. No vídeo, foi mostrado um ladrilhamento feito com dodecágonos e triângulos
equiláteros, para que pudessem entender bem a atividade proposta.
72
Sobre essa atividade, destacamos uma construção, em especial, apresentada na Figura
32, logo abaixo.
Figura 32: Construção feita por um aluno, após a apresentação do sexto vídeo
Fonte: Dados da pesquisa.
Nessa construção, o aluno mostra que não conseguiu fazer o ladrilhamento com as
figuras regulares, ou por não ter entendido que o ladrilhamento era com polígonos regulares,
ou por não conseguir fazer o encaixe das figuras, já que usou um triângulo não equilátero,
aparentemente, para preencher o espaço vazio. Tal construção pode evidenciar, também, uma
não compreensão sobre as medidas dos ângulos internos dos polígonos utilizados pelo
educando.
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa teve como objetivo principal propor o trabalho com a Engenharia
Didática, por meio do uso de atividades desenvolvidas pelos participantes com o smartphone,
73
enfocando o assunto Ladrilhamento no Plano. As atividades foram desenvolvidas com os alunos
do oitavo ano do Ensino Fundamental e buscaram mostrar a eficácia da Engenharia Didática e
a possibilidade de se fazer um trabalho diferente, por meio da tecnologia, e, ao mesmo tempo,
utilizando um tema que forneça ferramentas para a exploração ampla de conceitos matemáticos
que são trabalhados durante o ano escolhido, da Educação Básica.
Revelamos uma preocupação com o fato de os alunos não se interessarem pela disciplina
escolar Matemática, muito menos pelo conteúdo Geometria, o qual, por vezes, é mal trabalhado
pelos docentes, gerando diversas outras dificuldades aos alunos e, consequentemente,
desconhecimento de propriedades geométricas importantes.
Pretendíamos verificar se era possível favorecer o ensino da Geometria através da união
entre a Matemática e a tecnologia e, para isso, sugerimos como tema o Ladrilhamento no Plano.
A partir desse tema, surgiram a problematização e a investigação dos alunos, estudantes de uma
escola pública, da rede estadual de ensino, localizada no município de Duque de Caxias (RJ).
Apresentamos a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. Sua utilização se
deu por quatro fases: as análises preliminares; concepção e análise a priori; experimentação; e
validação e análise a posteriori.
Na fase das análises preliminares, apresentamos a fundamentação teórica da pesquisa e
sua importância como uma possível forma de ensino da Matemática, o que significou mostrar
a importância da Matemática aos alunos e a necessidade de aprendizagem dessa disciplina, para
que os mesmos pudessem avançar em relação à aprendizagem de conceitos mais complexos e,
então, compreender seu uso nas mais diversas profissões e situações presentes em nossa
sociedade. Nesse momento, o aluno pôde ter uma melhor compreensão da realidade, o que lhe
possibilitou uma visão mais crítica. A partir dessa visão, o indivíduo é capaz de tomar decisões
com maior responsabilidade e autonomia. Ainda na fase das análises preliminares,
apresentamos, também, uma revisão de literatura, envolvendo o que consideramos como maior
contribuição a este trabalho.
Na fase de concepção e análise a priori, definimos quais seriam as variáveis (as quais
foram determinantes para que se concretizasse essa investigação), divididas em globais e
microdidáticas, sendo que a primeira definiu a escola na qual se realizou a pesquisa, a turma –
de oitavo ano –, o tema – Ladrilhamento no Plano –, as primeiras atividades realizadas pelos
alunos e o resultado do questionário aplicado na turma.
Hipóteses foram levantadas para que, posteriormente, confrontássemo-las, com o intuito
de saber o quanto foi positiva a realização do trabalho. Nesse momento, estabeleceram-se
alguns pontos importantes para a análise de resultados e foi criado um marco, para levar os
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alunos a um avanço, no campo do conhecimento geométrico.
A escolha do tema Ladrilhamento no Plano com o uso do software GeoGebra surgiu a
partir de um debate inicial com os alunos, quando foi percebida a necessidade do trabalho com
a Geometria Euclidiana Plana. Após o preenchimento dos questionários, pelos alunos,
percebemos que o trabalho no campo da Geometria e com o uso do smartphone seria possível,
então, no primeiro contato, além da apresentação do tema, expôs-se a possibilidade do trabalho
com o smartphone, que rapidamente foi aceita por todos. Os alunos se propuseram a baixar o
software GeoGebra, para que fosse realizado o trabalho.
Por meio do questionário, os alunos puderam mostrar alguns de seus conhecimentos
matemáticos, através da exposição escrita, e suas opiniões sobre o trabalho com a Matemática,
em sala de aula. Alguns relataram seus gostos e suas dificuldades em aprender determinados
conceitos. Tendo essa noção, foi muito mais proveitoso preparar as atividades envolvendo o
tema Ladrilhamento, pois foram elaboradas com ênfase nas dificuldades e nos questionamentos
mostrados pelos alunos/participantes desta pesquisa.
Foram preparadas cinco atividades que exploram o conhecimento geométrico no oitavo
ano de escolaridade; elas deveriam ser desenvolvidas com o uso do software GeoGebra, no
smartphone, sendo assim, o aluno deveria relacionar os conhecimentos já trazidos e os
conhecimentos aprendidos na aula, traduzindo-os para a tela do smartphone.
A fase de experimentação foi marcada pelo momento em que os alunos/participantes
levantaram os problemas, apresentaram suas dúvidas, elaboraram algumas hipóteses, pensaram
além do ambiente escolar, em busca de soluções para os problemas propostos; fizeram
perguntas, utilizaram a linguagem Matemática e formalizaram conceitos a partir da prática. A
troca entre pesquisador/professor e alunos foi constante e, assim, diversos conhecimentos
matemáticos referentes à Geometria foram trabalhados e colocados em prática pelos alunos,
que puderam explorar e perceber que a Geometria é viva e presente no nosso cotidiano.
Em seguida, apresentamos a fase de análise a posteriori. Nesse momento da pesquisa,
foi realizado o tratamento das informações conseguidas na fase de experimentação.
Verificaram-se algumas informações importantes do trabalho, então esse foi um momento de
confronto de informações, na medida em que também observamos as falhas obtidas no processo
proposto pela Engenharia Didática.
Verificamos que os educandos foram capazes de realizar as atividades propostas.
Começaram a utilizar a linguagem matemática, para fazer perguntas e elaborar questionamentos
com os demais participantes. O software é de fácil utilização, mas, quando os alunos
começavam a mover vértices de certos polígonos, as figuras, por vezes, perdiam suas
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propriedades, portanto é importante um direcionamento nas atividades e atenção, por parte do
professor/pesquisador, para que não haja erro nas propriedades de determinados polígonos.
Na fase de validação, há o confronto entre os dados da análise a priori, por meio da
observação direta das atividades apresentadas pelos alunos; nesse momento, verifica-se se
foram válidas as hipóteses levantadas.
Também foi discutido sobre a reprodutividade da Engenharia Didática em sala de aula,
momento em que foram elencados alguns pontos que deram certo ou errado nesta pesquisa,
principalmente no que tange ao uso do software como uma possibilidade para o trabalho com a
Matemática, durante as aulas.
Posteriormente, tivemos a preocupação de fazer ponderações a respeito da Engenharia
Didática, para que os leitores pudessem ter noção do que pode dar certo ou errado, quando se
trabalha com essa metodologia. É possível que esse momento seja entendido como uma espécie
de relato de experiência a respeito da utilização dessa metodologia em pesquisas e atividades
didáticas.
Após a realização das atividades e das análises feitas à luz da Engenharia Didática,
buscamos fazer uma coletânea dos vídeos utilizados para realizar a explicação das atividades
propostas aos alunos. Nosso produto educacional, portanto, caracteriza-se como um GeoGebra
Book, contendo os vídeos mencionados, os quais podem ser acessados por qualquer aluno ou
professor que queira entender as atividades e os conceitos geométricos trabalhados. A
possibilidade de reprodução dessa sequência didática, bem como um possível aprimoramento
e aprofundamento, no que tange à Geometria, e o trabalho com os softwares de Matemática são
elementos motivadores para a criação do GeoGebra Book.
Entendemos que esta pesquisa pode ser continuada, de forma a mostrar a possibilidade
do trabalho mais amplo, com as tecnologias em sala de aula; nesse sentido, tal pesquisa se
constitui numa contribuição para os educadores que almejam novas possibilidades em sala de
aula.
Pretendemos ampliar o trabalho, em novas escolas, com o uso de diferentes tecnologias,
e desejamos que seja possível analisar esses novos resultados à luz de diferentes metodologias
de pesquisa.
Esperamos que esta pesquisa possa levantar a potencialidade de se trabalhar com
smartphones em sala de aula, por ser um elemento facilitador do entendimento e, ao mesmo
tempo, motivador, haja vista que o mesmo apresenta grandes possibilidades para o trabalho,
por meio de aplicativos matemáticos para celulares. Acreditamos que a Matemática pode ser
trabalhada de maneira mais significativa e que a tecnologia pode ser utilizada, mas que somente
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o aprendizado dos conhecimentos pode levar os educandos a compreenderem a produção de
tecnologias que são tão importantes para as mais diversas áreas de atuação, na sociedade.
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ANEXO 1: APROVAÇÃO DO COMITÊ DE ÉTICA
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ANEXO 2: TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
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ANEXO 3: CARTA DE ANUÊNCIA DA INSTITUIÇÃO SEDIADORA
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ANEXO 4: QUESTIONÁRIO APLICADO AOS ALUNOS