cilindro matemática 2 pré vestibular frei seráfico prof.: thiago azevedo
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Cilindro
Matemática 2Pré vestibular Frei SeráficoProf.: Thiago Azevedo
Cilindro
gg
eixo
90º90ºBase
Base
O**
O**R
h
A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.
R é raio da baseh é alturag é geratriz
CilindroCilindro Circular RetoCilindro Circular Reto
OO**
g gh1) o eixo é perpendicular
aos planos das bases.
R DC
ou Cilindro de Revoluçãoou Cilindro de Revolução
R
BAOO’’
**
2) g = h
Cilindro
A B
D C
A B
D C
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
Cilindro
A B
D C
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Cilindro
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
SeçãoSeçãoMeridianaMeridianaA
B
C
DOO**
OO’’
**h Se ABCDSe ABCD
é um é um quadrado quadrado
cilindro cilindro eqüiláteroeqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em queque h = 2Rh = 2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Cilindro
Planificação :
Rx
h
Cilindro
Planificação :
Rx
h
Cilindro
Planificação :
Rx
h
Cilindro
Planificação :
Rx
h
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
Cilindro
Planificação :
R
h
x
R
R
2R
Cilindro Áreas e VolumesÁreas e Volumes
AALL = 2 = 2 Rh RhAALL = 2 = 2 Rh Rh
At = AL+ 2
Ab
At = AL+ 2
Ab
V = R R22. hV = R R22. h
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22AAbb = = R R22Área Base( Ab )
OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos (BASES) e congruentes através de segmentos de reta.
a
b
c
aresta lateral
Face lateral
aresta da baseBase
Obs: a, b e c são as dimensões do prisma.
Tipos de prismas retos
Prisma triangular
Prisma Quadrangular
Prisma Hexagonal
Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.
Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.
Prisma Pentagonal
Polígonos Regulares
Quando o prisma é reto e suas bases são polígonos regulares, o prisma é
denominado regular.
Fórmulas dos Prismas
face) cada de (Áreafaces) de (nºA lateral
baselateraltotal A.2AA
.hAV base
Área Lateral
Área Total
Volume
PITÁGORAS
PITÁGORAS
Caso Especial: Paralelepípedo
a
b
c
c
bd
Dc
Note que em um paralelepípedo podemos tomar qualquer uma das
faces com base.
Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo.
cbcabaAt ..2..2..2
At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
Área Total
V = Ab.h V= a.b.c
Volume
d2 = a2 + b2
Diagonal da base
D2 = c2 + d2
Diagonal do Paralelepípedo
D2 = a2 + b2 + c2
V = AB . HV = a2 . a
Caso Especial : Cubo
a
a
a
a
a
a
a
d
D
Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.
Todo cubo é um paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é
cubo. (Somente quando a = b = c).
Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.
AB = a² AL = 4a²
AT = 6a² V = a³
Área da Base (AB) Área Lateral (AL)
Área Total (AT) Volume (V)
2d a
3D a
Diagonal da Base (d)
Diagonal do Cubo (D)
UFMG- Observe a figura:
Essa figura representa uma piscina cujo fundo é inclinado. As faces ABCD e EFGH são trapézios retângulos e as demais são retângulos. Determine o volume total da piscina;
(UFV) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20m de comprimento, 0,50m de largura e 2,00m de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1m. Assim é CORRETO concluir que o volume da pedra, em m³, é?
O**
h
90º90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
Cone Circular Reto
OO
**
g2) No VOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
gg2 2 = h= h22 + R + R22
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados. A
B C
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.A
B C
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
4
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
O VBA é a seção meridiana do cone.
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
OO** AB
V
g
2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é
eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um
Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..
g=2Rg=2R
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
Planificação do Cone Reto :
x
h
g
R
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
x
h
g
R
g
2RR
Angulo
==2R g
Planificação do Cone Reto
AALL = = R g R g AALL = = R g R g
At = AL+ 2
Ab
At = AL+ 2
Ab
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22 AAbb = = R R22Área Base( Ab )
Áreas e VolumeÁreas e Volume
V = R R22 hV = R R22 h
1 1 33
