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GEOMETRIA ESPACIAL – CILINDRO Celso do Rosário Brasil Gonçalves 1 CILINDRO Definição: é um sólido delimitado por uma superfície cilíndrica fechada e por duas secções planas paralelas (no nosso caso, círculos). Classificação dos cilindros: um cilindro é classificado como cilindro circular reto quando as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases.

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GEOMETRIA ESPACIAL – CILINDRO Celso do Rosário Brasil Gonçalves

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CILINDRO

Definição: é um sólido delimitado por uma superfície cilíndrica fechada e por duas

secções planas paralelas (no nosso caso, círculos).

Classificação dos cilindros: um cilindro é classificado como cilindro circular reto

quando as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases.

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Fórmulas de áreas e volume:

Cilindro Equilátero: o cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é

chamado de cilindro equilátero. Logo, a altura é igual ao dobro do raio, isto é, h = 2R.

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EXERCÍCIOS

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Solução: Volume da leiteira R = 8/2 = 4 cm

V = π R². H V= π. 4². 20 V= π. 4. 4. 20 cm³ Volume do copinho r = 4/2 = 2 cm

V' = π r². h V’= π. 2². 4V’ = π. 2. 2. 4 cm³

02. Em um cilindro circular a área lateral é 54 π cm² e a medida da altura é o triplo da medida do raio da base. Calcule o volume desse cilindro. Solução: h=3r

Como: h=3r h=9 cm Volume do cilindro:

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03. Calcule o volume de um cilindro equilátero cujo raio da base mede 4 cm.

Solução:

Não esqueça que no cilindro equilátero, temos: h = 2r, assim: h=8

04. Um cilindro equilátero tem volume V = 16 π cm³. Calcule a altura desse cilindro.

Solução:

V ( )

05. Um cilindro equilátero tem altura 20 cm. Calcule a área lateral e a área total desse cilindro.

Solução:

h=2r 20=2r r = 10

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06- Para projetar um reservatório cilíndrico de volume 81π m³, dispõe-se de uma área circular de 6 m de diâmetro. Qual deve ser sua altura.

Considere: π=3,14

Solução:

07. Para se construir uma lata cilíndrica de base circular, sem tampa, com 20 cm de diâmetro na base e 25 cm de altura, são gastos x cm² de material. Qual é o valor de x?

Solução:

( )

cm².

08. Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura 6, têm para perímetro de suas bases 6 e 4, respectivamente. Se é o volume do primeiro e o volume do segundo, então:

(a) (b) (c) (d)

Solução:

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(1)

(

)

(2)

(

)

Portanto:

Resposta: letra d. 09. Uma panela caseira tem a forma de um cilindro, sua altura é 15 cm e o diâmetro, 20 cm. Deve-se enchê-la com cubos de gelo de 2 cm de aresta, de tal forma que não transborde ao derreter o gelo. Qual a quantidade (aproximada) de cubo de gelo necessária. Considere: π=3,14. Solução:

( )

Portanto, a quantidade de cubos é:

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10. Um copo cilíndrico tem altura h e base de raio r. A quantidade de água necessária para encher esse copo deixaria incompleto, encheria sem transbordar ou faria transbordar

outro copo cilíndrico de altura 2h e base de raio

? Explique por

quê. Solução: Copo (1):

Copo (2): (

) ( )

Note que =2 , portanto a quantidade de água no copo 1, faria transbordar o copo 2. 11. Um produto é embalado em recipientes com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. (a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos papel? (b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a unidade, o cilindro B, a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? Solução: (a) A área total do cilindro A: Área total do cilindro B:

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Considerando que a quantidade de material utilizado nas embalagens é diretamente proporcional à área total, podemos dizer que a embalagem A gasta menos material. Note que: (b) Volume da embalagem A Volume da embalagem B Considerando que a quantidade do produto é diretamente proporcional ao volume da embalagem, podemos dizer que:

O preço da embalagem A é R$ 4,00 por 500π cm³ ou R$ 8,00 por 1000π cm³

O preço da embalagem B é R$ 7,00 por 1000π cm³, portanto a embalagem B é mais vantajosa para o consumidor.

12. Em uma esfera de raio 10 cm está inscrito um cilindro. A base do cilindro tem raio R= 6 cm. Calcule o volume e a área total do cilindro. Solução:

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Volume do cilindro:

Área total do cilindro: 13. Calcule o volume do cilindro oblíquo da figura abaixo em função de g.

H

6

10

10

A

B C

𝑺𝒍 𝟐𝝅 𝒓 𝑯 𝑺𝒍 𝟐𝝅 𝟔 𝟏𝟔 𝑺𝒍 𝟏𝟗𝟐𝝅

No triângulo ABC, temos:

(20)²= (12)²+H² H²= 400-144 H²=256 H= 16 Área da base do cilindro:

S= πr² S=π.6² S= 36π Área lateral do cilindro:

60°

g

𝑔

A

B

M

h 𝑉 𝜋𝑟 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑟 𝑔

𝑒

𝑔

𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑉 𝜋𝑟 𝑉 𝜋 (𝑔

)

𝑔

𝑉 𝜋 𝑔

𝑔

𝑉

𝜋𝑔

𝑽

𝟑

𝟖𝝅𝒈

Solução: No triângulo retângulo ABM, temos:

Seno 60°=ℎ

𝑔

𝑔 𝒉

𝒈 𝟑

𝟐

O volume do cilindro é dado por:

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14. Um reservatório de óleo em forma de cilindro circular reto tem 5 m de raio e 8 m de altura. Queremos armazenar esse óleo em latas também em forma de cilindro circular reto, com raio da base igual a 5 cm e altura igual a 30 cm. Quantas latas são necessárias? Considere: π=3,14. Solução (1) Volume do reservatório: (2) Volume da lata: ( ) ( )

15. Calcule o volume da parte hachurada do sólido abaixo

20 cm

10 cm

6 cm

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Solução: O volume da parte hachurada é a diferença entre os volumes do sólido maior e do sólido menor. Vejamos: (1) Volume do sólido maior: (2) Volume do cilindro menor: (3) Volume da parte hachurada: 16. Uma empresa fabrica potes plásticos de dois formatos diferentes, mas com volumes iguais, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os dois tipos de potes possuem a mesma altura, podemos afirmar que:

a) a = r√

b) a = √

c) a = d) r = a√

e) r =

Solução

POTE 01 POTE 02

(Cilindro) (Paralelepípedo).

Altura = h Altura = h

Raio = r Comprimento = 2a

Largura = a

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Solução:

(1) Volume do Pote 01 (V’):

V’ =

(2) Volume do Pote 02 (V”):

V” =

Como V’ = V”:

17. Determine a área da secção meridiana de um cilindro de 12 cm de altura e 40π cm² de área lateral.

Solução

A área da secção meridiana de um cilindro é dada por:

Como:

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18. O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10cm de comprimento. Se você gasta 5 π mm³ de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará: a) 20 dias b) 40 dias c) 50 dias d) 80 dias e) 100 dias (Dica: 10 cm=100 mm) Solução: Volume do “tubinho de tinta”:

5π...........................................1 dia 400π....................................... x

x= 00𝜋

5𝜋 𝒙 𝟖𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔

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Cilindro e cone retos Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:

Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas. Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H.

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Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções:

I

II III

𝑟

𝑅 𝐻 𝑟

𝐻 𝑔

𝐺

Tomando II e I, temos:

𝑟

𝑅 𝑟 𝐻 𝑟

𝑔

𝐺 𝑔

Tomando II e III, temos:

𝑅 𝑟

𝑅

𝐻 𝐺 𝑔

𝐺

Tomando III e I, temos:

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19. Se um cilindro cuja altura mede 10 cm está inscrito em cone reto cuja geratriz mede 25 e com raio da base medindo 20 cm, calcule o volume desse cilindro.

Solução Sendo h a medida da altura do cone, temos:

25² = h²+20² h²=625-400 h²=225 h= 15 cm Por semelhança de triângulo, temos:

Cálculo do volume do cilindro:

(

)

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20. Um cilindro de revolução de 4 cm de raio da base está inscrito num cone reto cujo raio da base mede 10 cm e altura 15 cm. Calcule a área lateral do cilindro. Solução

Área lateral do cilindro S= 21. A uma caixa d’água de forma cúbica com 1 m de lado está acoplado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. A água é solta pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado de altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

4 cm 10 cm

15 cm

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Solução: A figura é ilustrativa e fora de proporção, mas representa a situação descrita. #O volume da água que escorre da caixa é o mesmo que enche o cilindro. Igualando o volume que saiu da caixa com o contido no cilindro (em cm³), vem:

Como:

(Este valor representa a altura reduzida ou que saiu).

1 m

1 m

h

1 - h

50 m

2 cm

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Logo a altura de água na caixa é:

1 m – h 100 cm – 6,28cm = 93,72 cm. 22. Na figura abaixo aparecem duas vistas de um tanque para peixes, construídas em uma praça pública. Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura de 1,2 m e raio da base com medidas 3 m e 4 m. Se, no momento, a água no interior do tanque está alcançando 3/4 de sua altura, quantos litros de água há no momento? (Use π = 22/7). Solução: O volume pedido está entre os cilindros e a área da base é a da coroa circular. Aplicando a fórmula do volume considerando a altura da água informada, temos:

3 4

1,2

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(

)

( )

LISTA DE EXERCÍCIOS

CILINDROS

1. (UFMG-03) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fique totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, calcule o volume das pedras.

2. Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, qual o volume do sólido?

3. Um fabricante de doces utiliza duas embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. A primeira (X) tem formato de um cubo com aresta de 9 cm, e a segunda (Y) tem formato de um cilindro reto cujas medidas da altura e do diâmetro da base medem, cada uma, 10cm. Que embalagem possui maior volume?

4. Certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da base 5 cm , pelo preço de R$4,00. O fabricante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1cm o raio da base, mas manteve o preço por unidade. Então, na realidade, o preço do produto aumentou aproximadamente de quantos por cento?

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5. Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base é igual à área de uma seção por um plano que contém o eixo do cilindro, tal como a seção ABCD na figura. Qual o volume desse cilindro?

6. Quantos centímetros quadrados de folha de flandres são necessários para construir uma lata de óleo, com tampa, na forma de um cilindro reto, tendo 8 cm de diâmetro de base e 18 cm de altura?

7. Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por quanto?

8. Um copo em forma de cilindro circular reto de altura h e raio r está cheio de água. Dentro dele foi colocado um cilindro metálico

compacto de mesma altura h e raio 2

r. Assim sendo, que a

porcentagem de água derramada?

9. Considere dois barris de petróleo, B1 e B2, ambos com formato de cilindro circular reto de mesma altura H. O barril B2 tem raio da base 10% menor do que o raio da base do barril B1. O barril B1 tem metade do seu volume ocupado por petróleo. Despeja-se todo o conteúdo do barril B1 no barril B2 e, em seguida, apoia-se o fundo do barril B2 sobre um terreno horizontal plano. O nível do petróleo no barril B2 atinge

uma altura h. Qual a razão h

H?

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10. O conteúdo de um barril em forma de cilindro circular reto, com 5dm de raio, é suficiente para encher completamente mil copos cilíndricos que têm 3 cm de raio e 12cm de altura. Qual a medida da altura do barril, em centímetros?