UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

PROJETO ENGENHEIRO DO FUTURO

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM NOVAS METODOLOGIAS

PARA O ENSINO MÉDIO EM CIÊNCIAS, MATEMÁTICA E TECNOLOGIA

Oficina sobre FunçõesProfessoras: Isolda Gianni de Lima, Laurete Zanol Sauer e Solange Galiotto Sartor

(iglima@ucs.br, lzsauer@ucs.br, sgsartor@ucs.br)

A proposta desta oficina é oferecer aos professores uma possibilidade de atualização noestudo de funções. Como sabemos, trata-se de um dos conceitos fundamentais da Matemática,além de ser indispensável no estudo de Matemática aplicada à Engenharia, já que pode serconsiderado o ponto de partida para a construção dos conceitos de derivada e de integral que sãoa base do Cálculo Diferencial e Integral.

Com um enfoque interdisciplinar esperamos que, ao final da atividade proposta, todos osparticipantes tenham condições de identificar, em suas respectivas áreas, possíveis relaçõesinterdisciplinares deste estudo com o de temas relacionados às suas especificidades. De fato, ainterdisciplinaridade constitui-se em um fator de transformação pessoal e não apenas naintegração de teorias, conteúdos, métodos ou outros aspectos do conhecimento. A integração éapenas um momento do processo, que possibilita chegar a novos questionamentos, novas buscas,para uma mudança na atitude de compreender e de entender. Sem dúvida, trata-se de ummomento privilegiado que esperamos estar valorizando, neste Curso, em que pretendemospromover a interação das disciplinas entre si e com a realidade, de modo a superar afragmentação do ensino, objetivando a formação integral dos alunos, a fim de que possamexercer criticamente a cidadania, mediante uma visão global de mundo e serem capazes deenfrentar os problemas complexos, amplos e globais da realidade atual. (CARLOSA, J. G.,ZIMMERMANN, E., Análise da concepção de interdisciplinaridade nos documentos oficiais).

Quanto aos professores de Matemática, esperamos que estes, partindo das idéias aquidiscutidas, possam organizar suas aulas, as quais devem, evidentemente, ser complementadascom outras propriedades e outros conceitos necessários, com exercícios e atividades para osalunos.

Funções representam fenômenos que envolvem duas grandezas, entre as quais existe umadeterminada relação de dependência. Assim:

• a variação do peso de frangos num aviário num determinado período de tempo;

• os instantes de chegadas sucessivas na fila de um banco;

• a demanda diária de um determinado produto no supermercado;

• a temperatura mensal na cidade;

• o aumento de peso na gravidez;

• o preço cobrado por estacionamentos, que está na dependência do tempo, ou seja, em que os preços

variam conforme o tempo;

• a relação entre as escalas termométricas;

• fenômenos físicos como a lei de Hooke;

• fenômenos químicos como a solubilidade;

• a relação da quantidade de calorias necessárias para uma dieta saudável com a idade e/ou com o sexo;

• a variação de uma população de seres vivos num determinado período de tempo;

• a relação entre o espaço de frenagem e a velocidade de um móvel;

• a relação entre a pressão osmótica e a concentração de uma solução;

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• dentre tantos outros,

são exemplos de funções. Alguns deles são fenômenos que podem ser modelados pelosestudantes num determinado período de tempo, para que depois possam ser analisados do pontode vista da função que representam. A vantagem é que, ao discutir sobre os modelosmatemáticos de situações reais, podemos promover a discussão sobre as vantagens e limitaçõesdos mesmos, procurando descrever a realidade. Por um lado, ao concluir com base numexperimento real, o aluno é desafiado a refletir não somente sobre o fenômeno em si, mas sobresuas relações com o contexto que está sendo considerado, suas propriedades, além de tantosoutros desdobramentos que vão depender do interesse e disponibilidade, em cada caso. Por outrolado, é também importante considerar que nem sempre é possível modelar a situação tal como seapresenta e, com isso, também gerar boas oportunidades de discussões interdisciplinares.

A partir da análise de um dado fenômeno, representado por um determinado tipo de funçãoque temos em vista estudar, podemos discutir sobre generalidades desta função tais como suaspropriedades e aspectos relevantes do ponto de vista matemático e mesmo de outras aplicações.

Os aspectos relevantes, em termos de Matemática aplicada à Engenharia, dizem respeito àcompreensão da função, nas suas abordagens algébrica, numérica, gráfica e verbal. É muitoimportante que o estudante consiga identificar uma função, reconhecendo suas principaispropriedades relacionadas ao domínio, imagem, crescimento/decrescimento, pontos de extremo(máximo ou mínimo), rapidez de crescimento, reconhecimento da variação linear, da variaçãoexponencial, fazer previsões e analisar o comportamento da função.

Para isto a experiência tem nos mostrado que não é suficiente “dar aulas” em que todosestes conceitos sejam listados e definidos, nem mesmo, listas de exercícios para que calculem,sem que tenham atribuido algum significado para os termos e operações envolvidas. Nestesentido é que, cada vez mais, precisamos, em nossas aulas, relacionar os conceitos com osconhecimentos prévios dos alunos, o que pode ser feito com a proposição de estratégias deaprendizagem em que eles se envolvam ativamente, desde a formulação dos problemas para osquais buscamos solução, ou mesmo, por meio dos quais buscamos construir um novo conceito.

Vale chamar a atenção para o fato de que a sugestão de construir os conceitos com base naanálise de situaçõs do cotidiano nada tem a ver com tornar mais fácil. Até por que, em muitoscasos, as situações reais são mais complexas do que as teóricas que muitas vezes nos sãoapresentadas nos livros texto.

MODELOS MATEMÁTICOS1

Um modelo matemático de uma lei física é uma descrição desta lei, em linguagemmatemática. O processo de construção deste modelo é chamado modelagem matemática. Porexemplo, suponhamos que duas variáveis x e y, estejam relacionadas por alguma lei da física, aqual gostaríamos de descrever por um modelo matemático. Os modelos podem ser expressos emtermos de gráficos, de tabelas ou de equações, variando desde o mais simples ao extremamentecomplicado. Porém, muitos modelos matemáticos importantes são simplesmente equações dotipo y = fx, que relaciona as variáveis x e y. Para estes modelos, o problema fundamental éencontrar uma função f que descreva com precisão a relação física entre as variáveis. Às vezes,uma função f, apropriada, pode ser sugerida por dados experimentais; neste caso, dizemos que omodelo foi obtido intuitivamente. Outras vezes, ela pode ser deduzida de alguma teoria geral,proposta por um pesquisador e, neste caso, dizemos que o modelo foi obtido dedutivamente.

Quanto mais fatores são levados em conta quando da criação de um modelo matemático,mais complicado ele tenderá a ser. Assim sendo, há sempre um equilíbrio a ser alcançado entremanter o modelo matematicamente simples e levar em conta todos os fatores físicos, os quaispodem afetar a relação entre as variáveis. Por exemplo, se um meteorologista estiver tentandomodelar a relação entre a velocidade de um pingo de chuva quando atinge o solo e a altura da

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nuvem na qual ele se formou, então ele teria que levar em conta a resistência do ar. Porém, ele,certamente, ignoraria a atração gravitacional do planeta Plutão, pois seu efeito é muito pequeno.

Uma vez obtido um modelo matemático de uma lei física, pode ser possível usar métodosmatemáticos para deduzir resultados sobre o mundo físico que não são evidentes por si só, oununca foram observados. Por exemplo, a possibilidade de colocar um satélite em órbita em tornoda Terra foi deduzida matematicamente do modelo de mecânica de Isac Newton,aproximadamente 200 anos antes do lançamento de Sputnik e o modelo de mecânica relativistade Albert Einstein, de 1915, explicou uma precessão (mudança na posição) no periélio doplaneta Mercúrio, a qual só foi confirmada por medidas físicas, em 1967.

Um bom modelo matemático é aquele que produz resultados que estão em conformidadecom as observações do mundo físico. Se, em determinado momento, os resultados matemáticosproduzidos por um modelo não estão de acordo com as observações do mundo real, então omodelo deve ser abandonado em favor de um novo modelo que o faça. Esta é a natureza dométodo científico - velhos modelos estão sendo constantemente substituídos por novos, os quaisdescrevem com mais precisão o mundo real._______________________________________1ANTON, H. Cálculo um Novo Horizonte. Vol1, 6.ed. Porto Alegre: Editora Bookman, 2000.

Referências:

1. ANTON, H. Cálculo um Novo Horizonte. Vol1, 6.ed. Porto Alegre: Editora Bookman,2000.

2. HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M., et al. Cálculo, v.1. Rio de Janeiro: LTC,1997.

3. HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M., LOCK, P. F.; FLATH, D. E. et al. Cálculo eaplicações. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 1999.

4. Revista do Professor de Matemática, RPM - artigos sobre funções: 12, 14, 17, 20,22, 32, 33, 35, 39, 41, 43, 45, 48, 49, 51, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63.

5. TROTTA, F.; IMENES, L. M. P.; JAKUBOVIC, J. Matemática Aplicada, v.1. SãoPaulo: Editora Moderna, 1979.

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