teste06 a

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Estatística

6º Teste de avaliação – versão A

Grupo I

1. De acordo com a figura indique qual dos vectores

representa 1

GI3

��

(A) GL��

(B) IH��

(C) CH��

(D) AB��

2. No referencial da figura está parte da representação gráfica

de uma função da família definida por

( ) ( ) { }y ax x 3 x 2 , a \ 0= + − ∈ℝ . Sabendo que o gráfico

contém o ponto de coordenadas ( )1, 6− − , qual é o valor de a

que lhe corresponde?

(A) a 1= −

(B) a 1=

(C) a 2= −

(D) 1

a2

= −

3. Considere duas funções, reais de variável real, f e g tais que ( ) ( )g x f x 2 3= − + . Se ( )f 1 2=

então pode afirmar que:

(A) ( )g 3 2= (B) ( )g 3 1= − (C) ( )g 3 5= (D) ( )g 3 3=

4. O gráfico ao lado ilustra uma notícia publicada na revista Visão de 10 de

Dezembro de 2009 Intitulada “São 561 mil os portugueses que estão sem

emprego” e tem como fonte dados fornecidos pelo Eurostat.

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

1 2 3 4-1-2-3-4

2

4

-2

-4

-6

-8

x

y

O


Face à informação apresentada no gráfico, qual das afirmações seguintes é

correcta?

(A) Em Portugal, a taxa de desemprego

aumentou todos os anos desde 1999;

(B) Em 2008 houve uma pequena

diminuição da taxa de desemprego.

(C) Entre 1999 e 2008, o maior aumento

da taxa de desemprego ocorreu em

2002;

(D) Entre 2005 e 2008 não houve

alteração na taxa de desemprego.

5. Estas três distribuições têm a mesma média.

Ao determinar os desvios padrão obtivemos os

valores 3,8; 1,3 e 2,9.

Considerando os gráficos da esquerda para a

direita, os desvios padrão são:

(A) 3,8; 1,3 e 2,9

(B) 2,9; 1,3 e 3,8

(C) 3,8; 2,9 e 1,3

(D) 1,3; 3,8 e 2,9

Grupo II

1. No referencial ortogonal e monométrico Oxyz da figura está

representado um prisma triangular recto com 8 cm de altura e em que

O é o ponto médio de [FB], FA 4cm= e FC 3cm= .

1.1. Caracterize por uma condição o plano CAF.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


1.2. Determine uma condição que defina a superfície esférica de centro em E e raio

2 AC DE−��

.

1.3. Calcule o perímetro da secção que se obtém no prisma através da intersecção com o

plano de equação x 2= .

2. Considere uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm em que

a aresta da base mede 6 cm. Com vértice em O, considere outras

pirâmides em que as bases são paralelas à base da pirâmide dada,

como é sugerido nas figuras seguintes:

2.1. O ponto P é móvel, deslocando-se de O

para V, e OP x= é a altura da

respectiva pirâmide associada à

posição do ponto P. Sabe-se que o lado

da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( )3l x 10 x

5= − . Designe por V o

volume dessa pirâmide de vértice O. Mostre que V é dado em função de x pela expressão

( )3 23x 12x

V x 12x25 5

= − + e indique o domínio da função V.

2.2. Recorrendo à calculadora, determine para que valores de x o volume é máximo.

Seja D a função que a cada x faz corresponder o volume limitado pelas superfícies das duas

pirâmides.

2.3. Mostre que ( ) ( )D x 120 V x= − .

2.4. Explique como pode obter o gráfico da função D a partir do gráfico da função V.

3. Considere-se a distribuição das alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma, tendo em

conta o sexo.Os dados obtidos, em centímetros, foram organizados num diagrama de caule-e-

folhas, tendo-se obtido:

6 cm

10 cm

O

D

A B

C

V

x

G

E

H

F

O

D

A B

C

V

Px

G

E

H

F

O

D

A B

C

V

P


Repare que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cada número. As folhas

relativas a rapazes estão do lado direito do caule e as que respeitam às raparigas situam-se do

lado esquerdo.

3.1. Indique o número de alunos da turma.

3.2. Qual é a altura máxima registada entre as raparigas?

3.3. Quais são as alturas mínima e máxima dos rapazes?

3.4. Organize a informação num quadro de distribuição de frequências, sem distinção de

sexos, considerando como classes os intervalos sugeridos pelo caule do diagrama dado.

Alturas

(cm)

Frequência

absoluta (ni)

Frequência

relativa (fi)

Frequência absoluta

acumulada (Ni)

Frequência relativa

acumulada (Fi)

[150,160[

[160,170[

[170,180[

[180,190[

3.5. Qual é a percentagem de alunos com, pelo menos, 1,70 m de altura?

4. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de

trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:

Velocidade (km/h) 60 70 90 100 120 130 150

Número de automóveis

1 2 6 5 4 2 3

4.1. Determine a média, a moda e a mediana da distribuição.

4.2. Suponha que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por

190 km/h e que o restante se mantém. Calcule a mediana e a média desta nova

distribuição e comente em qual destas medidas de tendência central se reflecte a

alteração.

FIM

COTAÇÕES

Grupo 1 Grupo 2

1 2 3 4 5 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2

10 10 10 10 10 5 15 10 10 10 10 10 10 10 20 16 9 20 15




Estatística

6º Teste de avaliação – versão A

Grupo I

1. (D) De acordo com a figura 1

GI AB3

=��

2. (A) No referencial da figura está parte da representação gráfica de

uma função da família definida por ( ) ( ) { }y ax x 3 x 2 , a \ 0= + − ∈ℝ .

Sabendo que o gráfico contém o ponto de coordenadas ( )1, 6− − , o

valor de a que lhe corresponde é calculado assim:

( ) ( ) ( )6 a 1 1 3 1 2 6a 6 a 1− = × − × − + × − − ⇔ = − ⇔ = −

3. (C) Consideremos duas funções, reais de variável real, f e g tais que ( ) ( )g x f x 2 3= − + . Se

( )f 1 2= então pode afirmar que ( ) ( )g 3 f 3 2 3 2 3 5= − + = + =

4. (B) O gráfico ao lado ilustra uma notícia publicada na

revista Visão de 10 de Dezembro de 2009 Intitulada

“São 561 mil os portugueses que estão sem

emprego” e tem como fonte dados fornecidos pelo

Eurostat.

Face à informação apresentada no gráfico, a

afirmação verdadeira é “Em 2008 houve uma

pequena diminuição da taxa de desemprego”.

1 2 3 4-1-2-3-4

2

4

-2

-4

-6

-8

x

y


5. (B) Estas três distribuições têm a mesma média. Ao determinar os desvios padrão obtivemos

os valores 3,8; 1,3 e 2,9.

Considerando os gráficos da esquerda para a direita, os

desvios padrão são 2,9; 1,3 e 3,8

Grupo II

1. No referencial ortogonal e monométrico Oxyz da figura está

representado um prisma triangular recto com 8 cm de altura e em

que O é o ponto médio de [FB], FA 4cm= e FC 3cm= .

1.1. Uma condição que caracteriza o plano CAF é x 4=

1.2. Determinemos uma condição que defina a superfície esférica

de centro em E e raio 2 AC DE−��

.

• as coordenadas do centro ( )E 4,3,0− .

• o raio 2 2r 2 AC DE AC 4 3 5= − = = + =��

.

• A condição que define a superfície esférica é ( ) ( )2 2 2x 4 y 3 z 25+ + − + =

1.3. A secção que se obtém no prisma através da intersecção com o plano de equação x 2=

é um triângulo igual a [AFC] e o seu perímetro é P 3 4 5 12cm= + + =

2. Considere uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm em que

a aresta da base mede 6 cm. Com vértice em O, considere outras

pirâmides em que as bases são paralelas à base da pirâmide dada,

como é sugerido nas figuras seguintes:

2.1. O ponto P é móvel, deslocando-se de O

para V, e OP x= é a altura da

respectiva pirâmide associada à

posição do ponto P. Sabe-se que o lado

6 cm

10 cm

O

D

A B

C

V

x

G

E

H

F

O

D

A B

C

V

Px

G

E

H

F

O

D

A B

C

V

P


da base dessa pirâmide é dado em função de x por ( ) ( )3l x 10 x

5= − . Designe por V o

volume dessa pirâmide de vértice O. Mostre que V é dado em função de x pela expressão

( )3 23x 12x

V x 12x25 5

= − + e indique o domínio da função V.

• Área da base ( ) ( )2

2b

3 9A 10 x 100 20x x

5 25 = − = − +

• Altura h x=

• Volume ( ) ( ) ( ) ( )2 2 31 9 3V x 100 20x x x V x 100x 20x x

3 25 25= × − + × ⇔ = − + ⇔

( ) 2 312 3V x 12x x x

5 25⇔ = − +

• Domínio de V é [ ]D 0,10=

2.2. Recorrendo à calculadora, determinemos para que valores de x o volume é máximo.

O volume é máximo quando x for aproximadamente igual a 3,33 cm.

Seja D a função que a cada x faz corresponder o volume limitado pelas superfícies das duas

pirâmides que será igual ao volume da pirâmide de vértice V menos o volume da pirâmide de

vértice em O

2.3. Mostremos que ( ) ( )D x 120 V x= − . O volume limitado pelas superfícies duas pirâmides é

igual ao volume da pirâmide de vértice V menos o volume de vértice O. Ora o volume da

pirâmide de vértice V é 216 10 120

3× × = pelo que ( ) ( )D x 120 V x= −

2.4. O gráfico de D pode obter-se do de V por uma simetria em relação ao eixo das abcissas

seguida de uma translação associada ao vector de coordenadas ( )0,120 .

3. Considere-se a distribuição das alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma, tendo em

conta o sexo.

Os dados obtidos, em centímetros, forma organizados num diagrama de caule-e-folhas, tendo-

se obtido:


Repare-se que o caule se situa no centro, estando indicadas as dezenas de cada número. As

folhas relativas a rapazes estão do lado direito do caule e as que respeitam às raparigas

situam-se do lado esquerdo.

3.1. A turma tem 24 alunos.

3.2. A altura máxima registada entre as raparigas é 1,73 m.

3.3. A altura mínima dos rapazes é 1,68m e a máxima é 1,81 m.

3.4. Vamos organizar a informação num quadro de distribuição de frequências, sem distinção

de sexos, considerando como classes os intervalos sugeridos pelo caule do diagrama

dado.

Alturas

(cm)

Frequência

absoluta (ni)

Frequência

relativa (fi)

Frequência absoluta

acumulada (Ni)

Frequência relativa

acumulada (Fi)

[150,160[ 1 0,042 1 0,042

[160,170[ 10 0,416 11 0,458

[170,180[ 12 0,5 23 0,958

[180,190[ 1 0,042 24 1

3.5. A percentagem de alunos com, pelo menos, 1,70 m de altura é 54,2%, valor que resulta

de ( )0,5 0,042 100 54,2%+ × = ou ( )1 0,458 100 54,2%− × =

4. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de

trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:

Velocidade (km/h) 60 70 90 100 120 130 150

Número de automóveis 1 2 6 5 4 2 3

4.1. Determinemos a média, a moda e a mediana da distribuição começando por construir

uma tabela de frequências acumuladas.

Velocidade (km/h) (xi)

ni Ni i ix n×

60 1 1 60

70 2 3 140

90 6 9 540

100 5 14 500

120 4 18 480

130 2 20 260

150 3 23 450

Totais 23 2430

A média é 2430

x 105,6523

= = .


A moda é 90.

A mediana é o 12º elemento ou seja 100.

4.2. Suponhamos que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída

por 190 km/h e que o restante se mantém. Calculemos a mediana e a média desta nova

distribuição e comentemos em qual destas medidas de tendência central se reflecte a

alteração.

Velocidade (km/h) (xi)

ni Ni i ix n×

60 1 1 60

70 2 3 140

90 6 9 540

100 5 14 500

120 4 18 480

130 2 20 260

190 3 23 570

Totais 23 2550

A média é 2550

x 110,8723

= = . E a mediana continua a ser o 12º elemento ou seja 100.

Concluímos então ser a média a medida que sofre alteração o que era previsível pois

apenas alterámos os últimos valores da variável que não colidem com o cálculo da

mediana afectando sim a média que é uma medida sensível a valores extremos.




Estatística

6º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

D A C B B

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 30

1.1. ………………………………………………..………………………………………. 5

1.2. ………………………………………………..………………………………………. 15

•••• Centro …………………………………………………………………… 5

•••• Raio ……………………………………………………………………… 5

•••• Condição ……………………………………………………………….. 5

1.3. ………………………………………………..………………………………………. 10

•••• Identificar a secção ………………………………………………………… 5

•••• Perímetro …………………………………………………………………… 5

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. ………………………………………………………….………………………………. 10

• Calcular V(x) ………………………………………………………. 5

• Indicar o domínio …………………………………………………. 5

2.2. ………………………………………………………..………………………………… 10

• Gráfico ……..……………………………………………………… 5

• Indicar o valor de x ………………………………………………. 5

2.3. ……………………………………………………….………………………………… 10

• Calcular o volume da pirâmide ………………………………… 5

• Interpretar D = 120 –V …………………………………………. 5

2.4. ………………………………………………………………………………………… 10

• Indicar a simetria ..…………………...…………………………… 5

• Indicar a translação ............................................................... 5

3. …………………………………………………………………………………………………… 45

3.1. ………………………………………………………………………………………. 5

3.2. ………………………………………………………………………………………. 5

3.3. ………………………………………………………………………………………. 10


3.4. ………………………………………………………………………………………. 16

3.5. ………………………………………………………………………………………. 9

4. …………………………………………………………………………………………………… 35

4.1. ……………………………………………………………………………………….. 20

• Tabela …………………………………………………………… 5

• Média ……………………………………………………………. 5

• Moda …………………………………………………………….. 5

• Mediana …………………...…………………………………….. 5

4.2. ……………………………………………………………………………………….. 15

• Cálculo da nova média …………………………………………. 5

• Justificação com identificação das medidas …………………. 10

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

teste06 a

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