teste04_a

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

4º Teste de avaliação – versão A

Grupo I

1. O domínio plano da figura pode ser definido por uma

das condições seguintes. Identifique-a.

(A) ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 4 x 3 y x

3− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

(B) ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 9 x 3 y x

3+ + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

(C) ( ) ( )2 2 3x 3 y 2 9 x 3 y x

2− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

(D) ( ) ( )2 2 3x 3 y 2 4 x 3 y x

2+ + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

2. Na figura esta representado um referencial o.n. xOy.

A recta AB é definida pela equação x 2y 2 0+ − = .

A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa

pelo ponto ( )C 4,0− é uma das seguintes. Identifique-a

(A) y 2x 8= + (B) y 2x 8= − −

(C) 1

y x 22

= − − (D) 1

y x 42

= − −

3. Observe o gráfico de uma função quadrática da forma

2y ax k,a 0= + ≠ , representado na figura ao lado. Escolha das

seguintes a expressão que a pode definir.

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

4

2

5x

y

3

C

O 1

y

xO A

B


(A) 2y 4x 2= + (B) 21y x 2

2= + (C) 2y 2x 4= + (D) 2y 2x 2= +

4. A figura representa a função f definida por ( ) 2f x x= .

Qual dos gráficos seguintes pode representar a função g

definida por ( ) ( )2g x x 2= + ?

(A) (B)

(C) (D)

5. Relativamente às afirmações seguintes:

I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B∪ ;

II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função;

III. Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva;

Então podemos afirmar:

(A) Somente I é verdadeira (B) Somente III é verdadeira

(C) São todas falsas (D) II e III são verdadeiras

Grupo II

1. Considere a função g representada graficamente na figura seguinte.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


1.1. Indique:

1.1.1. domínio e contradomínio de g;

1.1.2. a imagem de zero;

1.1.3. o original que tem imagem 2.

1.2. Indique o conjunto solução das condições:

1.2.1. ( )g x 0=

1.2.2. ( )g x 0>

1.3. Faça uma tabela de monotonia e extremos para a

função g.

1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ℝ , determine k de modo que a

equação tenha exactamente duas soluções.

2. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira

contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em

milhares, decorridas h horas, é dado por ( ) 2N h h 4h 9= − + + .

2.1. Quantas bactérias havia às 8 horas?

2.2. Qual foi o resultado da segunda contagem?

2.3. Calcule ( ) ( )N 2 N 1− e interprete o resultado no contexto do problema.

2.4. Em que período do dia o número de bactérias foi superior a 9000?

2.5. Descreva a evolução da colónia desde as 8 até às 13 horas.

NOTA: sempre que recorrer à calculadora não se esqu eça de transcrever os gráficos e ou

as tabelas.

3. Num referencial o.n. ( )O,e,f� �

, considere ( )A 3,1 , ( )B 2,0− , ( )C 1,5 e o vector u e 2 f= − +� � �

.

3.1. Verifique se os vectores u�

e AC��

são colineares.

3.2. Calcule AB��

e u�

.

3.3. Determine as coordenadas do ponto médio de [ ]AC

3.4. O quadrilátero [ ]ABCD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D.

4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios

das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro.

Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem

coordenadas ( )2,2,2 .


4.1. Indique as coordenadas dos vértices do cuboctaedro

representados na figura.

4.2. Determine a distância entre os pontos A e G.

4.3. Mostre que a razão entre os volumes do cubo e do

cuboctaedro é 1,2.

FIM

COTAÇÕES

QUESTÃO COTAÇÃO QUESTÃO COTAÇÃO

1 10 50 2.1 10

2 10 2.2 10

3 10 2.3 10

4 10 2.4 10

5 10 50 2.5 10

1.1.1 6 30 3.1 8

1.1.2 5 3.2 6

1.1.3 5 3.3 6

1.2.1 5 3.4 10

1.2.2 5 30 4.1 10

1.3 8 4.2 5

1.4 6 40 4.3 15

y

z

x

F

E

G

H

J

D

C

BA

O

I

R





4º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (A) O domínio plano da figura pode ser definido pela

condição ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 4 x 3 y x

3− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

2. (C) Na figura esta representado um referencial o.n.

xOy.

A recta AB é definida pela equação x 2y 2 0+ − = cuja

equação reduzida é:

1x 2y 2 0 2y x 2 y x 1

2+ − = ⇔ = − + ⇔ = − +

A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa

pelo ponto ( )C 4,0− é uma equação do tipo 1

y x b2

= − +

que é verificada pelas coordenadas do ponto C:

( )10 4 b b 2

2= − × − + ⇔ = − . Pelo que a equação reduzida

da recta r é 1

y x 22

= − −

3. (B) Observemos o gráfico de uma função quadrática da forma

2y ax k,a 0= + ≠ , representado na figura ao lado. Vamos

escolher das seguintes a expressão que a pode definir.

O valor de k é 2 e para calcularmos o valor de a vamos utilizar

as coordenadas do ponto assinalado no gráfico

2 14 a 2 2 4a 4 2 4a 2 a

2= × + ⇔ = − ⇔ = ⇔ = . Então a função é

definida pela equação 21y x 2

2= +

4

2

5x

y

3

C

O 1

y

xO A

B


4. (B) A figura representa a função f definida por ( ) 2f x x= .

O gráfico que pode representar a função g definida por

( ) ( )2g x x 2= + é

5. (B) Relativamente às afirmações seguintes:

I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B∪ ; falsa

II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função; falsa

III. Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva; verdadeira

Então podemos afirmar: Somente III é verdadeira

Grupo II

1. Considere a função g representada graficamente na figura.

1.1. Indiquemos:

1.1.1. O domínio de g é ℝ e contradomínio de g é

[ ] [ [3,2 3,− ∪ +∞ ;

1.1.2. a imagem de zero é 3 ou seja ( )g 0 3= ;

1.1.3. o original que tem imagem 2 é -1 ou seja

( )g x 2 x 1= ⇔ = − .

1.2. Indiquemos o conjunto solução das condições:

1.2.1. ( )g x 0 x 2= ⇔ = − , o conjunto solução é

{ }S 2= −

1.2.2. ( ) ] [g x 0 x 2,> ⇔ ∈ − +∞ , o conjunto solução é ] [2,− +∞

1.3. Façamos uma tabela de monotonia e extremos para a função g.

x −∞ 4− 1− 0 +∞

( )g x 3 3− → −

m

-3

m

ր 2

M

ց 3 ր

1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ℝ , determinemos k de modo que a equação tenha exactamente duas

soluções. A equação só tem duas soluções quando ] [k 1,2∈ .


2. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira

contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em

milhares, decorridas h horas, é dado por ( ) 2N h h 4h 9= − + + .

2.1. Às 8 horas havia ( ) 2N 0 0 4 0 9 9= − + × + = milhares de bactérias.

2.2. A segunda contagem equivale a h 1= então ( ) 2N 1 1 4 1 9 12= − + × + = . O resultado na

segunda leitura foi 12 milhares de bactérias.

2.3. Calculemos ( ) ( ) 2N 2 N 1 2 4 2 9 12 1− = − + × + − = e podemos dizer que entre as 9 e as 10

horas houve um aumento de 1000 bactérias.

2.4. Entre as 8 horas e as 12 horas o número de bactérias foi

superior a 9000, porque ( ) ] [N h 9 h 0,4> ⇔ ∈

2.5. Vamos descrever a evolução da colónia desde as 8 até

às 13 horas.

Às 8 horas havia 9000 bactérias

e esse número foi crescendo até

às 10 horas altura em que

atingem o valor máximo 13000

bactérias. Este valor vai diminuindo até que às 13 horas já só há 4000 bactérias.

3. Num referencial o.n. ( )O,e,f� �

, consideremos ( )A 3,1 , ( )B 2,0− , ( )C 1,5 e o vector u e 2 f= − +� � �

.

3.1. Verifiquemos se os vectores u�

e AC��

são colineares:

o ( ) ( ) ( )AC C A 1,5 3,1 2,4= − = − = −��

o ( )u 1,2= −�

o ( )1 4 2 2 4 4− × = × − ⇔ − = − logo os vectores são colineares

3.2. Calculemos ( ) ( )2 2AB 2 3 0 1 26= − − + − =��

e ( )2 2u 1 2 5= − + =�

.

3.3. Determinemos as coordenadas do ponto médio

de [ ]AC : [ ] ( )AC

3 1 1 5M , 2,3

2 2+ + = =

3.4. O quadrilátero [ ]ABCD é um paralelogramo.

Determinemos as coordenadas do ponto D.

( ) ( ) ( )D C BA 1,5 5,1 6,6= + = + =��

Se não tivéssemos respeitado a ordem pela qual

6

4

2

5

D: (6, 6)

D

C

B

A


devem ser lidos os vértices, isto é, se o pedido fosse um paralelogramo com vértices nos 3

pontos dados, podíamos encontrar as coordenadas do quarto vértice de mais duas outras

maneiras:

( ) ( ) ( )D C AB 1,5 5, 1 4,4= + = + − − = −��

D B CA ( 2,0) (2, 4) (0, 4)= + = − + − = −��

4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios

das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro.

Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que

o ponto R, vértice do cubo tem coordenadas ( )2,2,2 .

4.1. Indiquemos as coordenadas dos vértices do

cuboctaedro representados na figura:

( )A 1,0,2 , ( )B 0,1,2 , ( )C 1,2,2 , ( )D 2,1,2 , ( )E 2,0,1 , ( )F 1,0,0 ,

( )G 0,2,1 , ( )H 2,2,1 , ( )I 2,1,0 , ( )J 1,2,0

4.2. Determinemos a distância entre os pontos A e G:

( ) ( ) ( )2 2 2AG 1 0 0 2 2 1 6= − + − + − =

4.3. Mostremos que a razão entre os volumes do cubo e do

cuboctaedro é 1,2.

o O volume do cubo é 3cuboV 2 8= =

o O volume da pirâmide [RDHC] é pirâmide1 1 1 1

V 13 2 6

×= × × =

o O volume do cuboctaedro é cuboctaedro cubo pirâmide1 20

V V 8 V 8 86 3

= − × = − × =

o cubo

cuboctaedro

V 81,2

20V3

= =

FIM

y

z

x

F

E

G

H

J

D

C

BA

O

I

R





4º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

A C B B B

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 40

1.1. ………………………………………………..………………………………………. 16

1.1.1. ………………………………………………………………………… 6

•••• Identificar o domínio ………………………………….....……… 3

•••• Identificar o contradomínio …………….…………….………... 3

1.1.2. ………………………………………………………………………… 5

1.1.3. ………………………………………………………………………… 5

1.2. ………………………………………………..………………………………………. 10

1.2.1. ………………………………………………………………………… 5

1.2.2. ………………………………………………………………………… 5

1.3. ………………………………………………..………………………………………. 8

•••• 1ª linha ………………………………………………………………………. 3

•••• 2ª linha ………………………………………………………………………. 3

•••• Indicação dos extremos …………………………………………………… 2

1.4. ………………………………………………..………………………………………. 6

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. Calcular ( ) 2N 0 0 4 0 9 9= − + × + = milhares de bactérias ……………………….. 10

2.2. Calcular ( ) 2N 1 1 4 1 9 12= − + × + = e dar resposta………………………………… 10

2.3. ( ) ( ) 2N 2 N 1 2 4 2 9 12 1− = − + × + − = e interpretar………………………………… 10

2.4. ………………………………………………………………………………………… 10

•••• Apresentar gráfico..…………………...………………………………..… 5

•••• ( ) ] [N h 9 h 0,4> ⇔ ∈ ………………..…..………………………..……...... 5

2.5. …………………………………………………………..……………………………. 10


•••• Cálculo de N(5) ………………………………………………………….. 2

•••• Calcular o valor máximo ………………………………………………… 2

•••• Descrever o comportamento da função ………………………………. 6

3. …………………………………………………………………………………………………… 35

3.1. ………………………………………………………………………………………. 8

•••• Cálculo de AC��

…………………………………………………………….. 2

•••• Utilização da definição ou da condição de colinearidade ……………. 4

•••• Dar a resposta ……………………………………………………………. 2

3.2. ………………………………………………………………………………………. 6

3.3. ………………………………………………………………………………………. 6

3.4. ………………………………………………………………………………………. 10

•••• Indicar as coordenadas de pelo menos um ponto …………………… 2

•••• Indicar o processo de cálculo das coordenadas …………………...... 5

•••• Indicar as coordenadas do ponto correcto ………………………….... 3

4. ………………………………………………………………………………………………

4.1. ……………………………………………………………………………………….. 10

4.2. ……………………………………………………………………………………….. 5

4.3. ……………………………………………………………………………………….. 15

•••• Cálculo do volume do cubo …………………………………………….. 3

•••• Cálculo do volume de uma pirâmide …………………………………… 4

•••• Cálculo do volume do cuboctaedro …………………………………….. 5

•••• Cálculo da razão entre os volumes …………………………………….. 3

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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