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TESTE N0.2 TIPO / CONTROLO MEEC (IST)

Q.1 [8 v] Considere o sistema de controlo em malha fechada da Figura 1, onde P(s) é a função de transferência do sistema a controlar e K(s) é a função de transferência do controlador. Os sinais r e y designam respectivamente a referência e a saída do sistema de controlo; o sinal e designa o erro de seguimento.

Figura 1. Sistema de controlo em malha fechada. Q.1.1 [3 v] Suponha que

1( ) (1)( 1)

P ss

=−

(Atenção: o sistema em malha aberta é instável!). Pretende-se projectar um controlador K(s) tal que o sistema em malha fechada seja estável. Verifique, utilizando o Teorema de Nyquist, que o controlador com estrutura simples

( ) 0 (2)K s k= > permite satisfazer o requisito indicados para k>1. Atenção: Justifique todos os passos. Em particular, trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e de Nyquist necessários. Traçados sem justificação não serão considerados. Q.1.2 [2 v] Na alinea anterior adopte K=100. Prove que as margens de ganho positiva e negativa do sistema em malha fechada são respectivamente GM

+=+∞ e GM = -40dB.

Mostre também que o erro estático de posição é inferior a 10%. Q.1.3 [1 v] Dê uma explicação intuitiva para o facto de o sistema se tornar instável quando o ganho do sistema a controlar diminui. Interprete à luz da técnica do traçado do “Root-Locus” fazendo apelo a uma regra muito simples que não envolve o traçado completo do diagrama. Q.1.4 [1 v] Suponha agora que

10( 1)( ) (3)10sP ss

−=

+

r e y u P(s)

K(s)

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(Atenção: o sistema em malha aberta é de fase não mínima!). Pretende-se projectar um controlador K(s) tal que o sistema em malha fechada seja estável. Verifique, utilizando o Torema de Nyquist, que o controlador com estrutura simples

( ) 0 (4)K s k= > permite satisfazer o requisito indicados para k<1. Atenção: tenha cuidado no traçado do diagrama de Bode do sistema, dado que tem um zero no semi-plano complexo direito. Preste também atenção ao facto de o ganho do sistema não tender para zero quando s tende para infinito. Q.1.5 [1 v] Na alinea anterior adopte K=0.1. Dê uma explicação intuitiva para o facto de o sistema em malha fechada se tornar instável quando o ganho do sistema a controlar aumenta. Interprete à luz da técnica do traçado do “Root-Locus” fazendo apelo a uma regra muito simples que não envolve o traçado completo do diagrama. Q.2 [12v] O veículo representando na Figura 2 denomina-se “Airborne Remotely Operated Device”. O veículo descola na vertical sob a acção de um propulsor a hélice localizado na parte superior do corpo, e manobra no plano horizontal por actuação de quatro superfícies de deflexão localizadas na parte inferior. .

Figura 2 “Airborne Remotely Operated Device” No que segue, considera-se apenas o movimento do veículo na coordenada vertical. O veículo movimenta-se sob o efeito da força gerada por um propulsor a hélice. Pretende-se controlar a variável d (distância do centro de massa do veículo ao solo). O modelo linearizado do veículo em torno de um ponto de operação correspondente à velocidade vertical nula é dado pela função de transferência

( ) 1( ) (1)( ) ( 1)D sP sU s s s

= =+

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onde U(s) e D(s) representam respectivamente a transformada de Laplace da entrada u (relacionada com a velocidade de rotação do hélice) e da coordenada vertical d. Pretende-se projectar um controlador K(s) para o sistema )(sP descrito em (1), ver Fig. 3

Figura 3. Sistema de controlo em malha fechada. Na Figura 1, r é o sinal de referência de altitude e n é o ruído no sensor de altitude. O objectivo é conseguir que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaça os seguintes requisitos: R1) Erro estático de posição igual a 0. R2) Erro estático de velocidade igual a 0. R3) Seguimento de sinais de referência r(.) na gama de frequências [0, 0.01] rad s-1 com erro menor ou igual a -60 db. R4) Atenuação do ruído n(.) na gama de frequências [102, 103] rad s-1 de pelo menos -40 db R5) Margem de fase PM maior ou igual a 20o

R6) Margem de ganho positiva G+M maior ou igual a +20 db.

Q2.1 [2v] Começe por considerar um simples controlador com ganho integral (com o objectivo de conseguir erros estáticos de posição e velocidade iguais a 0), isto é,

( ) ; 0kK s ks

= > ,

Mostre que o sistema em malha fechada é instável para qualquer valor de k positivo. Faça uma aplicação do critério de Nyquist. Tenha cuidado especial ao traçar a imagem da porção do caminho de Nyquist junto da origem e contar o número de voltas do diagrama de Nyquist em torno do ponto -1, uma vez que o sistema em malha aberta tem 2 polos na origem. Atenção: Justifique todos os passos. Em particular, trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e de Nyquist necessários. Traçados sem justificação não serão considerados.

r e d u P(s)

K(s)

n

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Q2.2 [7 v] Com o objectivo de ultrapassar a dificuldade expressa em Q2.1, considera-se a seguir um controlador com uma estrutura mais complexa, isto é,

( ) ; , 0s aK s k k asa+

= >

Determine k e a de modo a satisfazer todos os requisitos de controlo enunciados. Justifique todos os passos. Q.2.2 [1v] Para o controlador determinado em Q.2.1, calcule a diminuição de ganho tolerável até que o sistema em malha fechada se torne instável. Q.2.3 [2v] Suponha que existe um atraso τ=1 seg. na transmissão de informação entre o controlador K(s) e o sistema a controlar P(s). Diga justificadamente se o sistema em malha fechada permanece estável.