tesis master guilhermeraffo

GUILHERME VIANNA RAFFO

MODELADO Y CONTROL DE UNHELICOPTERO QUADROTOR

SEVILLA2007

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PROGRAMA OFICIAL DE POSGRADO ENINGENIERIAS

MODELADO Y CONTROL DE UNHELICOPTERO QUADROTOR

Tesis presentada en la Universidad de Sevillacomo uno de los requisitos para la obtencion del grado de

Master en Automatica, Robotica y Telematica.

POR

GUILHERME VIANNA RAFFO

Sevilla, Diciembre de 2007.

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MODELADO Y CONTROL DE UN HELICOPTEROQUADROTOR

Guilherme Vianna Raffo

Esta Tesis se juzgo adecuada para la obtencion del Tıtulo de Master en Automatica,Robotica y Telematica, Area de Conocimiento en Ingenierıa de Sistemas y Automatica,y aprobada en su forma final por el Programa Oficial de Posgrado en Ingenierıas de la

Universidad de Sevilla.

Prof. D. Francisco Rodrıguez Rubio, Dr. Prof. D. Manuel Gil Ortega Linares, Dr.

Director Director

Prof. D. Francisco Rodrıguez Rubio, Dr.Coordinador del Master en Automatica, Robotica y Telematica de la Universidad de Sevilla

Tribunal Examinador:

Prof. D. Anibal Ollero Baturone, Dr.

Prof. D. Teodoro Alamo Cantarero, Dr.

Prof. D. Francisco Salas Gomez, Dr.

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A mi novia Clarice y a mis Padres.

v

AGRADECIMENTOS

Agradezco a mis padres, Paulo Eduardo y Ana Maria, por haberme incentivado a venira estudiar en Espana.

A mi novia, Clarice, por haberme apoyado mismo de lejos, por la paciencia y por venira vivir bien cerca de mi.

Agradezco a mis queridos abuelos, Adalberto y Maria Suzana el estımulo y por hablarconmigo casi todos los dıas, que me hace que la nostalgia sea un poco menor.

A mis hermanos Marcelo y Gustavo y mis hermanas Daniela y Paula el apoyo desdeBrasil. A mi sobrina Isabela por las muchas conversaciones que ya tuvimos.

Me gustarıa agradecer a mis directores de tesis, Prof. Francisco Rodrıguez Rubio yProf. Manuel Gil Ortega Linares, la ayuda y dedicacion en estos dos primeros anos deldoctorado.

Agradezco a mis amigos Jorn Klaas Gruber y Antonio Ferramosca las muchas ayudasprestadas durante mi estancia en Sevilla, por las correcciones de ingles en los artıculos ypor tener un oıdo para mi todos los dıas.

Me gustarıa agradecer a Prof. Julio Elias Normey Rico el companerismo, amistad ydedicacion ofrecida.

Agradezco a los Prof. Manuel Vargas y Prof. Francisco Salas el apoyo ofrecido en laelaboracion de esta tesis.

Agradezco a Isabel Jurado las traducciones y correcciones realizadas en este trabajo.

Agradezco, tambien, al Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica, por laoportunidad de desarrollar mi investigacion en la Universidad de Sevilla. Al Ministeriode Educacion y Ciencia, MEC, por la concesion de la beca FPI y a los profesores delDepartamento.

A todos los amigos que hice durante estos dos anos en Sevilla. Agradezco a los cole-gas del curso de master en Automatica, Robotica y Telematica la ayuda concedida paraconcluir mi tesis..

vi

Resumen de la Tesis presentada en la Universidad de Sevilla como uno de los requisitosnecesarios para la obtencion del grado de Master en Automatica, Robotica y Telematica.

MODELADO Y CONTROL DE UN HELICOPTERO QUADROTOR


Diciembre/2007

Directores: Prof. D. Francisco Rodrıguez Rubio, Dr.

Prof. D. Manuel Gil Ortega Linares, Dr.

Area de Concentracion: Ingenierıa de Sistemas y Automatica

Palabras-clave: Vehıculo Aereo Autonomo, Modelado, Control H∞ Lineal,Control H∞ No Lineal, Backstepping, Control Robusto,Control Predictivo, Seguimiento de Trayectorias

Numero de Paginas:

En este trabajo se ha realizado el modelado y desarrollo de estrategias de control pa-ra solucionar el problema de seguimiento de referencia de un vehıculo aereo autonomo:un helicoptero miniatura quadrotor. Para comprender el funcionamiento del helicopteroquadrotor, se ha realizado un estudio del sistema, y posteriormente se ha modelado, com-pletando y corrigiendo algunos modelos publicados anteriormente. El modelo dinamicose ha obtenido vıa dos formulaciones matematicas distintas: la de Newton-Euler y la deLagrange-Euler. El control de seguimiento de trayectoria del helicoptero se ha llevado acabo mediante cinco estrategias de control, de forma que se garantice la robustez anteperturbaciones e incertidumbres parametricas del sistema. Para la sıntesis de los contro-ladores se ha utilizado teorıas como control mediante linealizacion por realimentacion,Backstepping, H∞ lineal y no lineal, y control predictivo basado en modelo. La validez delas estructuras de control presentadas fueron corroboradas mediante resultados de simu-lacion en presencia de incertidumbres en los parametros del modelo y de perturbacionesen los movimientos de traslacion y rotacion. Para realizar ensayos experimentales se hapuesto en marcha una plataforma de pruebas compuesta por un helicoptero quadrotor co-mercial en escala miniatura, una unidad de medicion inercial inalambrica y un ordenadorde tierra. Se ha desarrollado un interfaz entre el ordenador y el helicoptero bajo la aplica-cion LabViewr. Se han realizado experimentos preliminares con la plataforma de pruebasempezando con controladores basicos para la estabilizacion del helicoptero quadrotor, ymostrando la eficacia del sistema desarrollado.

vii

Abstract of Thesis presented to Universidad de Sevilla as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Master in Automatica, Robotic and Telematic.

MODELLING AND CONTROL OF A QUADROTOR HELICOPTER


December/2007

Advisors: Prof. D. Francisco Rodrıguez Rubio, Dr.

Prof. D. Manuel Gil Ortega Linares, Dr.

Area of Concentration: Automation and Systems Engineering

Keywords: Unmanned Aerial Vehicle, Modelling, Linear H∞ Control,Nonlinear H∞ Control, Backstepping Approach, RobustControl, Predictive Control, Path Tracking

Number of Pages:

In this work the modeling and development of strategies to solve tracking problem for anunmanned aerial vehicles, the quadrotor helicopter, is presented. The system is studied,to understand how it works, and then it is modeled, completing and revising some modelspreviously published. The dynamic modeled is obtained by means of two different mathe-matical formulations: the Newton-Euler one and the Lagrange-Euler one. The helicoptertracking control is carried out using five control strategies, so that robustness in presen-ce of disturbances and parametric uncertainties is fulfilled. The controllers synthesis iscarried out basing on theories like feedback linearization, Backstepping, linear and nonlinear H∞, and model predictive control. The validation of the presented control stra-tegies is corroborated using results of some simulations in presence of model parametricuncertainties and disturbances in translation and rotation movements. A testing platformis started up to make experimental tests. This platform is composed by a commercialquadrotor helicopter, a wireless inercial sensor and a desktop PC. An interface betweenthe PC and the helicopter is developed using a LabViewr environment. Some tests usingbasic controllers to stabilize the quadrotor helicopter have been made, showing systemefficacy.

viii

Indice general

Indice general IX

Indice de Figuras XII

Indice de Tablas XVIII

Lista de Abreviaturas XXI

Lista de Sımbolos XXIII

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Organizacion del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Descripcion y Modelado del Helicoptero QuadRotor 9

2.1. Descripcion del UAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Modelado del UAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Orientacion del helicoptero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Formulacion de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

x Indice general

2.5. Formulacion de Lagrange-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Estructuras de Control 29

3.1. Control con desacoplamiento entrada-salida y linealizacion exacta por re-

alimentacion dinamica (Mistler et al., 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Resultados de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005) . . . . . . 42

3.2.1. Control Backstepping del sub-sistema de rotacion . . . . . . . . . . 44

3.2.2. Control Backstepping del sub-sistema de traslacion . . . . . . . . . 45


3.3. Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a) . . . . . . . . . . 51

3.3.1. Control H∞ no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


3.4. CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b) . . . . . . . . . . . . 62

3.4.1. Estrategia de CPBM para seguimiento de trayectoria . . . . . . . . 62


3.5. Control robusto H∞ de los seis grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.1. Control H∞ lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.2. Control H∞ con realimentacion de estados vıa lmis . . . . . . . . . 78

3.5.3. Control H∞ de los movimientos de traslacion . . . . . . . . . . . . 80


4. Descripcion del Equipo 89

xi

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2. Helicoptero en miniatura quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3. Unidad de medicion inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.1. Protocolo de comunicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4. Tarjeta de adquisicion de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5. Interfaz ordenador-helicoptero quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5.1. Lectura y escritura de la IMU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5.2. Generador del tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5.3. Lazo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.6. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5. Conclusiones 105

Bibliografıa 111

xii Indice general

Indice de figuras

2.1. Esquema de funcionamiento del helicoptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Esquema del helicoptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Rotacion de los angulos de Tait-Bryan del sistema de coordenadas inercialal sistema de coordenadas fijado al helicoptero (Space y Spazio, 1997). . . . 13

2.4. Sistema dinamico dividido en dos sub-sistemas interconectados. . . . . . . 27

3.1. Diagrama de Bloques para el control con linealizacion por realimentaciondel helicoptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbacionesexternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlcon linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbaciones externas. 38

3.4. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbaciones ex-ternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5. Evolucion temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategiade control con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbacionesexternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbacionesexternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlcon linealizacion por realimentacion dinamica con perturbaciones externas. 40

xiv Indice de figuras

3.8. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbaciones ex-ternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.9. Evolucion temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategiade control con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbacionesexternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.10. Estructura de control Backstepping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.11. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas. . 46

3.12. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlutilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas. . . . . . 47

3.13. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas. . . . 47

3.14. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas. 48

3.15. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlutilizando la tecnica de Backstepping con perturbaciones externas. . . . . . 48

3.16. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol utilizando la tecnica de Backstepping con perturbaciones externas. . . 49

3.17. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control utilizando la tecnica de Backstepping con perturbaciones externas. 49

3.18. Estructura de control Backstepping/H∞ no lineal. . . . . . . . . . . . . . . 51

3.19. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. 57

3.20. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlutilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . . 58

3.21. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . 58

3.22. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas. 59

Indice de figuras xv

3.23. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. 59

3.24. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlutilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . . 60

3.25. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . 60

3.26. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas. 61

3.27. Estructura de control CPBM con H∞ no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.28. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . 70

3.29. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlutilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . . . . . 70

3.30. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . . . . 71

3.31. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas. . . 71

3.32. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . 72

3.33. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlutilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . . . . . . 72

3.34. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . . . . 73

3.35. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas. . . 73

3.36. Estructura de control robusto H∞ de los seis grados de libertad. . . . . . . 75

3.37. Formulacion General del problema de control (Ortega y Rubio, 2004). . . . 76

3.38. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. 84

xvi Indice de figuras

3.39. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlrobusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. . . . . 85

3.40. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. . . 85

3.41. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategiade control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas. 86

3.42. Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia decontrol robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. 86

3.43. Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de controlrobusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. . . . . 87

3.44. Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de con-trol robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas. . 87

3.45. Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrate-gia de control robusto para los seis grados de libertad con perturbacionesexternas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1. Estructura de control del helicoptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2. Helicoptero Draganflyer V Ti Pro R/C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3. Camara de vıdeo inalambrica ccd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4. Electronica embebida en el helicoptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.5. Unidad de medicion inercial Inertia-Linkr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6. Pantalla principal del controlador del helicoptero en LabViewr. . . . . . . 95

4.7. Pantalla de la imu Inertia-Linkr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.8. Pantalla del generador de tren de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.9. Tren de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.10. Pantalla para determinar los valores de referencia y habilitar la estimacionde la posicion xyz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.11. Control de orientacion para el helicoptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . 100

Indice de figuras xvii

4.12. Oscilaciones experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.13. Oscilaciones simuladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.14. Senales de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.15. Orientacion del helicoptero quadrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

xviii Indice de figuras

Indice de cuadros

2.1. Principales efectos fısicos actuantes sobre un helicoptero (Bouabdallah etal., 2004a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

xx Indice de cuadros

Lista de Abreviaturas

CAS Control Augmentation SystemsCCD Charge Coupled DeviceCPBM Control Predictivo Basado en ModeloDOF Degrees Of FreedomDSP Digital Signal ProcessorFM Frequency ModulationGPC Generalized Predictive ControllerGPS Global Positioning SystemHJBI Hamilton-Jacobi-Bellman-IsaacsIMU Inertial Measurement UnitLMI Linear Matrix InequalityLQ Linear QuadraticLQI Link Quality IndicationMEMS Micro-Eletrical Mechanical SystemsMIMO Multiple Input Multiple OutputNCS Networked Control SystemPDE Partial Differential EquationPID Proporcional - Integral - DerivativoPD Proporcional - DerivativoR/C Remote ControlRSSI Receive Signal Strength IndicatorSAS Stability Augmentation SystemsSISO Single Input Single OutputUAV Unmanned Aerial VehicleVTOL Vertical Take-Off and Landing

xxii Lista de Abreviaturas

Lista de Sımbolos

Sımbolos

x vector de orden n compuesto de los elementos xi, i = 1 . . . n, x ∈ ℜn

xT vector traspuesto de xx derivada temporal de xx0 condicion inicial de xxref valor de referencia de la variable xx vector del error, x = x − xref

k instante de muestreoI matriz identidad de dimension apropiada

Notacion usada en los controladores

V (x) funcion de Lyapunov con respecto a la variable xHωz(s) funcion de transferencia entre la senal de entrada ω y la senal de

salida z‖Hωz(s)‖∞ norma H∞ de la funcion de transferencia Hωz(s)W matriz de ponderacion para el controlador H∞ no linealL2 ganancia de la norma L2

ω1 ponderacion del error de velocidad en el control H∞ no linealω2 ponderacion del error de posicion en el control H∞ no linealω3 ponderacion de la integral del error de posicion en el control H∞

no linealωu ponderacion del esfuerzo de control en el control H∞ no lineal‖x‖2

Q norma-2 de la variable x ponderada de Q, x′QxN1 inicio del horizonte de prediccion de los estadosN2 final del horizonte de prediccion de los estadosNu horizonte de controlN horizonte de prediccionQ matriz de ponderacion del error de los estadosR matriz de ponderacion del esfuerzo de controlJ funcion objetivo del cpbmy(k + j|k) valor de y en el instante k + j predicho en el instante kPx, Hx matrices de prediccion para el estadoP, H matrices de prediccion para la salida∆ operador diferencia, ∆ = 1 − z−1

xxiv Lista de Sımbolos

Notacion usada en el modelo

S(.) matriz anti-simetricaRI matriz de rotacion del cuerpo rıgido con respecto al sistema inercialRB matriz de rotacion expresada en el sistema de coordenadas

del cuerpo rıgidoI = (~x, ~y, ~z) sistema de coordenadas cartesianas inercialB = (~xL, ~yL, ~zL) sistema de coordenadas cartesianas locales del cuerpo rıgidoF vector de fuerzas de traslacion aplicadas al modeloFξ vector de fuerzas de traslacion aplicadas al modelo expresado

en el sistema de coordenadas globalesFd vector de perturbaciones de traslacion aplicadas al modeloτ vector de pares aplicados al modeloτη vector de pares de control aplicadas al modelo expresado

en el sistema de coordenadas globalesτd vector de perturbaciones de pares aplicadas al modeloL funcion lagrangianaEc energıa cinetica totalEp energıa potencial totalqi coordenada generalizadairj punto en el sistema de coordenadas j expresado en el sistema

de coordenadas iivj velocidad del punto jrj expresado en el sistema de coordenadas iWη Jacobiano expresado en coordenadas localesJ Jacobiano expresado en coordenadas globalesM(η) matriz de inercia del sub-sistema de rotacionC(η, η) matriz de los terminos de Coriolis y centrıpetos del sub-sistema

de rotacion

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Motivacion

Los sistemas de control de vuelo han despertado un gran interes en los ultimos anos,

debido al reto que supone tanto conseguir vehıculos aereos totalmente autonomos, o no

tripulados (en ingles nombrados uav’s - Unmanned Aerial Vehicles), como por poder

ayudar a un pilotaje mas sencillo e intuitivo de los mismos.

Este tipo de vehıculo puede verse tanto en el ambito militar como en el civil, con apli-

caciones desarrolladas para tareas de busqueda y rescate, vigilancia comercial, espionaje,

filmacion cinematografıa, inspeccion en situaciones donde se realicen vuelos en condiciones

hostiles (Pallet y Ahmad, 1991), ası como la realizacion de maniobras acrobaticas, entre

otras.

Hasta hace poco tiempo, desarrollar un vehıculo aereo en escala miniatura y controlado

de manera autonoma era un sueno de muchos investigadores, los cuales estaban limitados

por las restricciones impuestas por el hardware hasta entonces existente. Lo que hizo

posible la construccion de robots aereos autonomos fue los recientes avances tecnologicos

en actuadores y sensores en escala reducida (mems - Micro Electromechanical Systems),

ası como en el almacenamiento de energıa y en el procesamiento de datos.

Ademas, el desarrollo de sistemas de control para este tipo de vehıculos no es trivial,

debido principalmente a la dinamica tan compleja inherente en los sistemas aerodinamicos,

los cuales son multivariables, subactuados y ademas presentan diversas caracterısticas no

lineales. Esto significa que las leyes clasicas de control lineales y monovaribales pueden

tener muy limitada su cuenca de atraccion, provocando inestabilidades cuando se opera en

condiciones no muy lejanas a las de equilibrio. Por otra parte, las tecnicas desarrolladas

2 1 Introduccion

para robots totalmente actuados tampoco se aplican directamente al caso de sistemas

mecanicos no lineales subactuados (Fantoni y Lozano, 1995).

Para aumentar tanto la fiabilidad como las prestaciones de estos sistemas, se suele

requerir estrategias de control avanzadas que permitan tener en cuenta, por una parte,

la complejidad de estos sistemas, y por otra, las incertidumbres propias de cualquier

modelado. Tales requisitos pueden ser posibles utilizando tecnicas de modelado no lineal

y de teorıa de control no lineal moderna, lo que permite alcanzar un alto desempeno

en vuelos autonomos (Castillo et al., 2005), y en distintas condiciones de vuelo (vuelo

estacionario, vuelo en punto fijo, aterrizaje/despegue, ...).

Los objetivos de un sistema de control de vuelo pueden clasificarse en tres fases, en

funcion de la autonomıa que alcance el sistema:

Sistema para incrementar la estabilidad (del ingles sas: Stability Augmentation Sys-

tems): Este tipo de sistemas persigue ayudar al pilotaje del vehıculo, estabilizando

el sistema con un control de bajo nivel. Ası se evita que el piloto deba actuar en base

al comportamiento dinamico de un sistema, que una vez alejado de cierto punto de

equilibrio, deja de ser intuitivo para el razonamiento humano;

Sistemas para incrementar el comportamiento (del ingles cas: Control Augmenta-

tion Systems): Estos sistemas estan en un nivel jerarquico superior a los sas. Ası,

ademas de estabilizar al vehıculo, estos sistemas deben ser capaces de proporcio-

nar una respuesta con ciertas prestaciones a referencias que de el piloto, como por

ejemplo, el seguimiento del angulo de cabeceo;

Sistemas de pilotaje automatico (del ingles Autopilots): Constituyen el nivel de con-

trol jerarquicamente superior. Son sistemas de control totalmente automaticos que

son capaces de realizar por sı solos ciertos tipos de maniobras, como por ejemplo, el

despegue, el aterrizaje, o vuelo estacionario a cierta altura.

En el ambito del control de vuelo, uno de los sistemas mas estudiados han sido los

aviones. Sin embargo, uno de los conceptos que normalmente se utilizan para desarrollar

leyes de control aplicadas a un uav es el vtol (Vertical Take-Off and Landing). Un tipo

de aeronave que actualmente esta siendo muy referenciada en el ambito de control es el

helicoptero en la configuracion quadrotor. En comparacion con los aeroplanos, este tipo

de aeronave posee una mayor agilidad para maniobrar. Sin embargo, su control se hace

mucho mas complejo, entre otros motivos, por la mayor inestabilidad de su dinamica.

Segun Castillo et al. (2005), este tipo de helicoptero consigue un vuelo estacionario

estable y preciso a traves del balance de las fuerzas de propulsion ejercidas por las cuatro

helices accionadas por sus respectivos motores electricos.

1.1 Motivacion 3

Son muchas las ventajas que tienen este tipo de helicoptero con respecto a las de uno

convencional, entre ellas se pueden citar las siguientes:

El aumento de la capacidad de carga debido a la suma de los empujes generados

por los cuatro rotores;

La alta maniobrabibilidad, lo cual permite el despegue y el aterrizaje, ası como

vuelos en entornos complicados;

La sencillez del diseno mecanico, lo cual proporciona el control del movimiento

a traves de accionamiento directo de los rotores variando sus velocidades. En un

helicoptero convencional, la velocidad de giro de las helices suele ser constante,

controlando el movimiento mediante la variacion de los angulos de ataque de las

palas (cıclico y colectivo). Esto requiere transmisiones entre los rotores, ademas de

elementos mecanicos de precision para poder variar los mencionados angulos;

Los motores electricos en lugar de motores de combustion, lo cual hacen de estos

helicopteros un vehıculo especialmente interesante para su uso en el interior de

edificios, ya que no contaminan el aire con residuos de la combustion.

Como desventajas, este tipo de helicoptero presenta un aumento de peso y un aumento

en el consumo de energıa debido a los motores extras.

Desde el punto de vista de control, la construccion de este tipo de helicoptero miniatura

esta lejos de simplificar el problema: mas bien sucede lo contrario. Esto se debe a que los

pares y fuerzas necesarios para controlar el sistema son aplicados no solo a traves de

efectos aerodinamicos, sino tambien a traves del efecto de acoplamiento que aparece entre

la dinamica de los rotores y la del cuerpo de la maqueta, como consecuencia del principio

de accion-reaccion originado en la aceleracion y desaceleracion de los grupos motor-helice

(efecto que no sucede en el control con velocidad de helices constantes).

Estos efectos de acoplamiento tienen implicaciones en el control de la dinamica del

sistema. Por ejemplo, si se consideran como salidas a controlar la posicion y el angulo

de guinada, una linealizacion por realimentacion estatica de la dinamica completa del

helicoptero quadrotor da lugar a una matriz singular haciendo que el desacoplamiento

entrada-salida sea inviable, por lo que no se puede emplear esta tecnica directamente

(Mistler et al., 2001). Este hecho, unido con las incertidumbres de modelado, especialmente

en el rango de alta frecuencia, hace que el sistema sea incluso mas difıcil de controlar que

un helicoptero convencional, al menos empleando tecnicas basicas de control.

Ası que, el interes por el desarrollo de controladores para el helicoptero quadrotor en

escala reducida esta demostrado en diversas publicaciones que han sido realizadas en los

ultimos anos. En Mistler et al. (2001) se utilizo un modelo no lineal que representa tanto la

4 1 Introduccion

cinematica como la dinamica del vehıculo, y a traves de las Leyes de Newton se obtuvo las

ecuaciones dinamicas para el helicoptero quadrotor. En este modelo se considero las fuerzas

y momentos aerodinamicos actuantes en el uav. Para realizar la tarea de seguimiento

de trayectoria se demostro que no se pueden desacoplar las salidas por linealizacion por

realimentacion estatica, y se propuso un controlador con desacoplamiento entrada-salida y

linealizacion exacta por realimentacion dinamica, siendo corroborado mediante simulacion,

donde se han considerado todos los estados medibles. Esta estrategia se mostro estable y

robusta en presencia de viento y de incertidumbres parametricas.

En Bouabdallah et al. (2004a) se presento el diseno de un quadrotor para laboratorio,

ası como una estrategia de control para el mismo, basada en la estabilizacion del sub-

sistema de rotacion mediante funciones de Lyapunov, junto con un control de la altura

mediante linealizacion por realimentacion.

En Bouabdallah et al. (2004b), lo mismos autores presentaron un modelo dinamico

para el helicoptero quadrotor a traves de la formulacion de Lagrange-Euler, considerando

ademas las dinamicas de los rotores. En este artıculo se realizo una comparacion entre dos

tecnicas de control: pid y lq. Para el diseno del controlador pid se considero el modelo

linealizado en torno al origen y para el diseno del control LQ se uso una estructura bi-

lineal. Se presentaron resultados experimentales donde el control pid se mostro mas eficaz

que el control optimo por considerar las dinamicas de los rotores.

En Mederreg et al. (2004) se mostraron resultados de simulacion para un control ba-

sado en tecnicas de Backstepping utilizando un observador del estado, mientras que en

Mahony y Hamel (2004) se combino esta tecnica con un control basado en Lyapunov. En

Bouabdallah y Siegwart (2005) se describio de nuevo la misma plataforma utilizada en los

artıculos anteriores, pero en este, el modelo dinamico del helicoptero quadrotor se obtuvo

a traves del formalismo de Newton-Euler. Para el diseno del controlador, las ecuaciones

del sistema fueron escritas en variables de estado y divididas en dos sub-sistemas: el de

rotacion angular y el de traslacion lineal. Se presentaron dos tecnicas de control: Backs-

tepping y Sliding-Mode. En primer lugar se controlo el sub-sistema de rotacion angular

utilizando funciones de Lyapunov, con el objetivo de estabilizar el helicoptero en una po-

sicion deseada. Posteriormente se controlo la altura y el movimiento lineal en el plano xy.

Se emplearon simulaciones para sintonizar los controladores, los cuales se validaron con

resultados experimentales en el sistema real. Otros trabajos, como (Madani y Benellegue,

2006a,b), tambien han utilizado la tecnica de Backstepping para controlar el helicoptero

quadrotor.

Trabajos mas recientes pueden encontrarse en Rong y Ozguner (2006), donde se sinteti-

zo un controlador basado en modos deslizantes; en Lara et al. (2006), donde se presentaron

nuevos resultados para calcular los margenes de robustez del sistema de control para un

quadrotor utilizando un pd multivariable para estabilizar la posicion del vehıculo; o en

Castillo et al. (2005, 2007), donde se disenaron controladores no lineales para la esta-

1.1 Motivacion 5

bilizacion del sistema basados en analisis de Lyapunov y en la tecnica de saturaciones

anidadas.

Adicionalmente al control inercial, el helicoptero quadrotor ha sido tambien controlado

mediante realimentacion por vision artifical. En Metni et al. (2005), se considera un mo-

delo dinamico mecanico general del uav apto para realizar vuelos casi estacionarios. La

estimacion de la posicion y orientacion se realizo a traves de vision utilizando una tecnica

de control servo visual basada en homografıas. Ası, se dedujo una ley de control basada

en Backstepping que fuerza la trayectoria a seguir a traves de una secuencia de imagenes

pre-grabadas en entornos desconocidos. La trayectoria deseada se obtiene a traves de un

operador que ensena cada paso preliminarmente, siendo comparadas la imagen actual y la

imagen deseada a una imagen de referencia por las matrices homograficas en cada paso.

Para determinar el vector de traslacion se estima la informacion de la profundidad de

referencia usando una ley de control adaptativa. En Altug et al. (2002) y Tournier et al.

(2006) se ha utilizado una camara en tierra para obtener la posicion y orientacion del

helicoptero, y una camara montada sobre el vehıculo utilizando patrones de Moire para

obtener una estimacion de los seis grados de libertad, respectivamente.

Como se deduce de lo anteriormente expuesto, se han aplicado diversas estrategias de

control al helicoptero quadrotor. Sin embargo, la mayorıa de ellas no considera la presencia

de perturbaciones externas y ni incertidumbres en los parametros del modelo.

Por lo tanto, una de las propuestas de este trabajo es utilizar la teorıa de control H∞,

introducida por van der Schaft en su prominente artıculo (van der Schaft, 1992), para

mejorar el desempeno del sistema frente a perturbaciones e incertidumbres (Ortega et al.,

2005).

El objetivo de la teorıa de control H∞ es limitar (minimizar) la relacion entre la energıa

de la senal de error y la energıa de la senal de perturbacion. En un planteamiento general,

la tecnica no lineal para esta teorıa considera dos ecuaciones en derivadas parciales de

Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI PDEs), las cuales sustituyen a las ecuaciones de

Riccati en el caso de la formulacion del control H∞ lineal. El principal problema en el

caso no lineal es que no existe un metodo general para resolver estas ecuaciones (HJBI

PDEs).

En Ortega et al. (2005) se propuso una estrategia para sistemas mecanicos conside-

rando la ecuacion dinamica del error. En tal estrategia se aplica un control H∞ no lineal

formulado vıa teorıa de juegos, la cual provee, a traves de una solucion analıtica, una

ganancia constante similar a los resultados obtenidos con procedimientos de linealizacion

por realimentacion.

El helicoptero quadrotor ha sido controlado usando controladores H∞ lineales basa-

dos en modelos linealizados. En Chen y Huzmezan (2003), por ejemplo, se presento un

6 1 Introduccion

modelo no lineal simplificado para el movimiento del UAV. El problema de seguimiento

de trayectoria se dividio en dos partes: en primer lugar se busco la estabilizacion de las

velocidades angulares y de la velocidad vertical a traves de un controlador H∞ de 2DOF

utilizando la tecnica de loop shaping. La misma tecnica se ha utilizado para controlar, en

un bucle externo a este, las velocidades longitudinal y lateral, el angulo de guinada y la

altura. Para resolver el problema de seguimiento se diseno un cpbm (Control Predictivo

Basado en Modelo) lineal basado en un modelo que agrega los bucles internos y el modelo

del helicoptero.

En Park et al. (2005) se utilizo un algoritmo de compensacion de la dinamica para el

control del sistema, y en Mokhtari et al. (2005) se presentaron resultados de simulacion

con la aplicacion de una linealizacion por realimentacion junto con un controlador H∞

lineal externo.

Ademas de las incertidumbres parametricas y posibles perturbaciones que afectan el

sistema, muchas de estas aplicaciones de control asumen que los valores calculados nunca

alcanzaran los limites de saturacion de los actuadores, aunque en la practica esto no es

verdad. Por lo tanto, el cpbm viene a ser un metodo de control que presenta caracterısticas

muy interesantes cuando se trata de controlar sistemas mecanicos y para realizar segui-

miento de trayectoria. Por ejemplo, cuando el vehıculo esta muy lejos de su destino, las

senales de control generadas son normalmente mas altas que las admisibles. Sin embargo,

los vehıculos estan dotados de partes mecanicas y electronicas, las cuales estan sujetas a

limitaciones fısicas del sistema.

Ası, cuando las restricciones pueden ser consideradas, los algoritmos de cpbm se pre-

sentan como una interesante eleccion. El cpbm calcula acciones de control para un de-

terminado horizonte de tiempo futuro, de tal manera que la prediccion de la salida de la

planta siga cerca de la referencia, minimizando una determinada funcion de coste mul-

tiobjetivo respecto a determinadas variables de decision y considerando un conjunto de

restricciones (Camacho y Bordons, 1998). Para hacer esto, los valores de las salidas pre-

dichas son calculadas como una funcion de valores pasados de las entradas y salidas, y de

senales de control futuras, haciendo uso de un modelo explıcito del proceso y sustituyendo

en la funcion de coste, obteniendo una expresion cuya minimizacion conduce a los valores

deseados. Se puede obtener una solucion analıtica para una funcion de coste cuadratica,

si el modelo es lineal y no existen restricciones; en caso contrario se deben usar metodos

iterativos de optimizacion (Camacho y Bordons, 1998).

Debido a su formulacion, el cpbm tambien permite el uso de referencias previamente

conocidas para el calculo de la ley de control (Normey-Rico et al., 1999). Dado que las

trayectorias son normalmente conocidas y usando una adecuada instrumentacion en el

vehıculo que informe sobre su desplazamiento y localizacion, o bien con informacion del

entorno donde se encuentra (usando, por ejemplo, gps, mapas digitales, etc), el controla-

dor predictivo se presenta como una tecnica muy apropiada para esta tarea. Ademas de

1.2 Objetivos 7

conducir el vehıculo suavemente, esta tecnica permite mejorar la autonomıa del mismo,

aparte de de ser facilmente extendido a sistemas multivariables. Como desventaja se puede

considerar el elevado coste computacional introducido, que puede hacer que sea imposible

realizar aplicaciones reales.

En este trabajo, ademas de presentar diversos algoritmos de control propuestos en la

literatura, se desarrollaran tres estrategias de control para seguimiento de trayectoria del

helicoptero quadrotor. Las estrategias seran presentadas en un orden de comprehension

del sistema a ser controlado y mejorıa de las prestaciones propuestas. Ası, en la primera

estructura desarrollada por el autor se utiliza una ley de control basada en Backstepping

para los movimientos de traslacion y un controlador H∞ no lineal para estabilizacion

de los movimientos de rotacion. En la segunda estrategia se realiza el seguimiento de

referencia a traves de un controlador predictivo basado en el modelo de error obtenido

vıa linealizaciones sucesivas, y la estabilizacion se realiza a traves del controlador H∞ no

lineal. Para finalizar, en la tercera estructura se ha disenado un controlador robusto para

los movimientos de de traslacion vıa sıntesis de control H∞ con realimentacion de estados

usando lmis. Para la estabilizacion del helicoptero quadrotor se mantuvo el controlador

H∞ no lineal.

1.2. Objetivos

Este trabajo tiene como objetivo principal el desarrollo e implementacion de algoritmos

de control robusto y predictivo para resolver el problema de seguimiento de trayectoria de

un vehıculo aereo autonomo. El uav que sera utilizado es un helicoptero de cuatro rotores

en escala reducida.

Inicialmente, se realizara un estudio de modelos basados en leyes fısicas del helicoptero

quadrotor propuestos en la literatura, con la finalidad de obtener un modelo que represente

el comportamiento del vehıculo en presencia de diversas formas de perturbaciones y que

sea adecuado al prototipo utilizado en este trabajo.

A partir de estos modelos, se desarrollaran tecnicas de control de forma que se garantice

la robustez en el problema de seguimiento de trayectoria que ha de realizar el helicoptero

quadrotor.

Los resultados de simulacion seran utilizados para realizar pruebas comparativas entre

las distintas estrategias de control desarrolladas en este trabajo y tecnicas de control

propuestas en la literatura.

Finalmente, una vez desarrolladas las estrategias de control, estas seran implementadas

8 1 Introduccion

en el helicoptero quadrotor utilizando un sistema de control remoto, donde un ordenador

en tierra se comunica con la aeronave vıa comunicacion inalambrica.

1.3. Organizacion del trabajo

Este trabajo esta dividido como sigue:

En el Capıtulo 2 se describe el helicoptero quadrotor, comentando algunas caracterıs-

ticas de funcionamiento, y luego se realiza el modelado de un helicoptero miniatura

en la configuracion de cuatro rotores. Inicialmente, se presenta la matriz de rota-

cion del vehıculo, ası como sus ecuaciones cinematicas. Despues, se presentaran las

ecuaciones dinamicas para los movimientos de rotacion y traslacion a traves de dos

formulaciones matematicas: Newton-Euler y Lagrange-Euler. Tales modelos seran

presentados tambien en formas adecuadas para el diseno de los controladores.

El Capıtulo 3 presenta cinco estructuras de control para resolver el problema de

seguimiento de trayectorias. Primero se describe una estrategia basada en el des-

acoplamiento entrada-salida con linealizacion por realimentacion dinamica. Despues

se desarrollara una estrategia basada en la tecnica de Backstepping. La estrate-

gia siguiente utiliza la estructura de Backstepping para el control de la traslacion,

mientras que para la estabilizacion del sub-sistema de rotacion se desarrolla una

estructura de control H∞ no lineal. La cuarta y quinta estructuras de control uti-

lizan el controlador H∞ no lineal para estabilizacion del helicoptero, mientras para

seguimiento de trayectorias se desarrollan una ley de control predictivo basado en

el modelo de error con linealizaciones sucesivas, y una ley de control H∞ lineal

vıa LMIs, suponiendo los estados del sub-sistema de rotacion parametros inciertos.

Cada estrategia de control se corrobora a traves de resultados de simulacion, mien-

tras los resultados experimentales son presentados solo para los controladores de

estabilizacion del sistema.

En el Capıtulo 4 se presenta el equipo utilizado, describiendo las caracterısticas

del helicoptero, las instrumentacion utilizada, ası como los programas desarrollados

para controlar el uav de forma remota, y resultados preliminares obtenidos experi-

mentalmente .

El Capıtulo 5 finaliza con las conclusiones del trabajo y las perspectivas futuras de

investigacion.

Capıtulo 2

Descripcion y Modelado delHelicoptero QuadRotor

2.1. Descripcion del UAV

El vehıculo aereo utilizado en este trabajo es un helicoptero en miniatura en la confi-

guracion de cuatro rotores coplanarios (quadrotor), como presentado en la Figura 2.1. El

movimiento del uav se origina a partir de los cambios de velocidad de los rotores. Cada

rotor consta de un motor electrico de corriente continua, un mecanismo de engranaje y un

rotor de palas. Para lograr movimiento hacia adelante la velocidad del rotor trasero debe

ser aumentada y, simultaneamente, la velocidad del rotor delantero debe ser disminuida.

El desplazamiento lateral se ejecuta con el mismo procedimiento, pero usando los roto-

res de la derecha y de la izquierda. El movimiento de guinada (yaw) se obtiene a partir

de la diferencia en el par de torsion entre cada par de rotores, o sea, se acelera los dos

rotores con sentido horario mientras se desacelera los rotores con sentido anti-horario, y

vice-versa.

F 1

F 4

F 2

F 3

U 4

U 1

U 3 U 2

Figura 2.1: Esquema de funcionamiento del helicoptero quadrotor.

10 2 Descripcion y Modelado del Helicoptero QuadRotor

2.2. Modelado del UAV

En esta seccion se desarrollara el modelado basado en leyes fısicas que describan la

posicion y orientacion del helicoptero quadrotor. El modelo dinamico del helicoptero se

presenta bajo dos formulaciones matematicas: la de Newton-Euler y la de Lagrange-Euler.

Para obtener tal modelo dinamico se supone el vehıculo como un cuerpo rıgido en el

espacio, sujeto a una fuerza principal (empuje) y tres momentos (pares). En la figura 2.2

se muestra las fuerzas que ejercen las distintas helices para generar el movimiento del

vehıculo.

ψ

φ

θ

ξ

z

y

x

Lx

Ly Lz

Figura 2.2: Esquema del helicoptero quadrotor.

El par para generar un movimiento de balanceo o de roll (angulo φ) se realiza mediante

un desequilibrio entre las fuerzas f2 y f4 (ver figura 2.2). Para el movimiento de cabeceo

o de pitch (angulo θ), el desequilibrio se realizara entre las fuerzas f1 y f3. El movimiento

en el angulo de guinada o de yaw (angulo ψ) se realizara por el desequilibrio ente los

conjuntos de fuerzas (f1, f3) y (f2, f4). Este movimiento sera posible ya que los rotores 1 y

3 giran en sentido contrario a los rotores 2 y 4. Finalmente, el empuje total, que hara que

el helicoptero se desplace perpendicularmente al plano de los rotores, se obtendra como

suma de las cuatro fuerzas que ejercen los rotores.

Estos tipos de vehıculos son sistemas de vuelo de estructura ligera, por lo que el modelo

dinamico debe incluir los efectos giroscopicos resultantes tanto del cuerpo rıgido rotando

en el espacio, como de la rotacion de las cuatro helices (Bouabdallah et al., 2004a). En

la Tabla 2.1 se describen tales efectos, donde C representan terminos constantes, Ω es la

velocidad del rotor, JR es el momento de inercia rotacional del rotor alrededor de su eje,

l es la distancia del centro de masa a los rotores, J es el momento de inercia del cuerpo

rıgido y φ, θ y ψ son los angulos de Tait-Bryan.

2.3 Orientacion del helicoptero 11

Cuadro 2.1: Principales efectos fısicos actuantes sobre un helicoptero (Bouabdallah et al.,

2004a).

Efectos Fuentes Formulacion

Efectos Aerodinamicos - Rotacion de los rotores

- Giro de helices CΩ2

Pares Inerciales Opuestos - Cambio en la velocidad rotacion de

los rotores JRΩ

Efectos de la Gravedad - Posicion del centro de masa l

Efectos Giroscopicos - Cambio en la orientacion del cuerpo

rıgido Jθψ

- Cambio en la orientacion del plano

de los rotores JRΩθ, φ

Friccion - Todos los movimientos del helicoptero Cφ, θ, ψ

Por otra parte, un helicoptero es un sistema mecanico subactuado con 6 grados de

libertad y solamente 4 entradas de control. Debido a las diversas complejidades presen-

tadas, se realizaran algunas consideraciones para desarrollar el modelado, tal como se

sugiere en Koo y Sastry (1999). Ası, se despreciaran los efectos de los momentos causados

por el cuerpo rıgido sobre las dinamicas traslacionales, ası como el efecto suelo. El centro

de masa se asume coincidente con el origen del sistema de coordenadas fijo al helicoptero,

y se supone que la estructura del helicoptero es simetrica, lo que resulta en la matriz de

inercia diagonal.

2.3. Orientacion del helicoptero

Antes de obtener el modelo dinamico del helicoptero, se presentara como estimar la

posicion y orientacion del vehıculo con respecto a un sistema de coordenadas de referencia

inercial.

El helicoptero, como solido rıgido, esta caracterizado por un sistema de coordenadas

ligado a el y con origen en su centro de masa (ver Figura 2.2). Este sistema se define

considerando B = ~xL, ~yL, ~zL como el sistema de coordenadas fijo al helicoptero, donde

el eje ~xL es la direccion normal de ataque del helicoptero, ~yL es ortogonal a ~xL y es

positivo hacia estribor en el plano horizontal, mientras que ~zL esta orientado en sentido

ascendiente y ortogonal al plano ~xLO~yL. El sistema de coordenadas inercial I = ~x, ~y, ~z


se considerara fijo con respecto a la tierra.

En este trabajo se designara el vector ξ = x, y, z como la posicion del centro de masa

del helicoptero con respecto al sistema inercial I. Ası mismo, la orientacion del vehıculo

se supondra dada por una matriz de rotacion RI : B → I, donde RI ∈ SO(3) es una

matriz de rotacion ortonormal (Fantoni y Lozano, 1995).

La rotacion de un UAV o, en lıneas mas generales, la de un cuerpo rıgido puede ser

obtenida utilizando diversos metodos como, por ejemplo: angulos de Euler, cuaternios, etc.

A traves de 12 definiciones independientes de los angulos de Euler se puede representar la

orientacion relativa de dos sistemas de coordenadas. Los mas populares son la convencion-

x (giro alrededor de z, x′, z′′), convencion-y (giro alrededor de z, y′, z′′) y convencion-xyz

(giro alrededor de x, y′, z′′). Esta ultima convencion es muy utilizada para aplicaciones

de ingenierıa aeroespacial y se nombra angulos de Tait-Bryan, tambien conocidos por

“angulos Cardano” (Space y Spazio, 1997; Dziugys y Peters, 2001; Bouabdallah et al.,

2006).

Por lo tanto, los angulos de Tait-Bryan son tres angulos usados para describir una

rotacion general en el espacio Euclideo tridimensional a traves de tres rotaciones sucesivas

en torno de ejes del sistema movil en el cual estan definidos. Ası, en este trabajo se usaran

los angulos de Tait-Bryan para describir la orientacion de un helicoptero.

Ası, la configuracion de la rotacion de un cuerpo rıgido en el espacio es realizada a

traves de tres rotaciones sucesivas:

1. Rotacion segun ~x de φ: el primer giro es el correspondiente al angulo de roll o de

balanceo, φ, y se realiza alrededor del eje ~x.

x1

y1

z1

=

1 0 00 cosφ − sinφ0 sin φ cosφ

xLyLzL

(2.1)

2. Rotacion segun ~y de θ: el segundo giro se realiza alrededor del eje ~y a partir del

nuevo eje ~yL, con el angulo pitch o angulo de cabeceo, θ para dejar el eje ~zL en su

posicion final.

x2

y2

z2

=

cosθ 0 sin θ0 1 0

−sinθ 0 cos θ

x1

y1

z1

(2.2)

3. Rotacion segun ~z de ψ: el tercer giro y ultima rotacion corresponde al angulo de gui-

nada o yaw, ψ, alrededor del eje ~z a partir del nuevo eje ~zL para llevar el helicoptero

a su posicion final.

xyz

=

cosψ −sinψ 0sinψ cosψ 0

0 0 1

x2

y2

z2

(2.3)

2.3 Orientacion del helicoptero 13

Esta representacion sufre de una singularidad en θ = ±pi/2. Sin embargo, en φ y ψ se

permite un giro de 360. La Figura 2.3 representa las tres rotaciones.

Z

y

Z

Y1

1

Y

z

φψ

φ

ψ

θ

θ

centro de masa

X X2x

θ

ψ

φ

Figura 2.3: Rotacion de los angulos de Tait-Bryan del sistema de coordenadas inercial al

sistema de coordenadas fijado al helicoptero (Space y Spazio, 1997).

A partir de las rotaciones presentadas anteriormente, se definen las matrices de rotacion

que representan la orientacion del cuerpo rıgido rotando alrededor de cada eje como sigue:

R (x, φ) =

1 0 00 cos φ −senφ0 senφ cosφ

, R (y, θ) =

cos θ 0 senθ0 1 0

−senθ 0 cos θ

,

R (z, ψ) =

cosψ −senψ 0senψ cosψ 0

0 0 1

(2.4)

La matriz de rotacion completa de B respecto a I, llamada Matriz Coseno Directa,

viene dada por (Bouabdallah et al., 2006):

RI = R (z, ψ) · R (y, θ) ·R (x, φ)

RI =

cosψ −senψ 0senψ cosψ 0

0 0 1

·

cos θ 0 senθ0 1 0

−senθ 0 cos θ

·

1 0 00 cosφ −senφ0 senφ cosφ

RI =

cosψ cos θ cosψsenθsenφ− senψcosφ cosψsenθcosφ+senψsenφsenψ cos θ senψsenθsenφ+ cosψcosφ senψsenθcosφ− cosψsenφ−senθ cos θsenφ cos θcosφ

(2.5)


La matriz de rotacion expresada en el sistema de coordenadas B es la traspuesta de

RI , debido su propiedad de ortonormalidad, y viene dada por:

RB =

cosψ cos θ senψ cos θ −senθcosψsenθsenφ− senψcosφ senψsenθsenφ+ cosψcosφ cos θsenφcosψsenθcosφ+senψsenφ senψsenθcosφ− cosψsenφ cos θcosφ

A partir de la matriz de rotacion (2.5) generada por las tres rotaciones sucesivas y su

propiedad de ortonormalidad, relacionando la derivada de la matriz ortonormal con una

cierta matriz anti-simetrica (Craig, 1989), se puede obtener las ecuaciones cinematicas de

rotacion del vehıculo que establecen las relaciones entre las velocidades angulares.

Sea una matriz ortonormal R, donde:

RTR = In (2.6)

y su derivada en el tiempo es:

RTR + RT R = 0n (2.7)

Definiendo:

S = RT R (2.8)

se obtiene a partir de (2.7) que:

ST + S = 0n (2.9)

donde S una matriz anti-simetrica. La relacion entre la derivada de la matriz ortonormal

y la matriz anti-simetrica es la siguiente:

S = R−1R (2.10)

Por lo tanto, las ecuaciones cinematicas para determinar la postura del helicoptero,

suponiendo la matriz de rotacion (2.5), vienen dadas por:

RI = RI · S(ω) (2.11)

donde ω = [p q r]T son las velocidades angulares en el sistema de coordenadas fijado al

cuerpo rıgido y S(ω) (S(ω)(·) = ω× ·) es la siguiente matriz anti-simetrica (Olfati-Saber,

2001):

S(ω) =

0 −r qr 0 −p−q p 0

(2.12)

Ası, manipulando matematicamente la ecuacion (2.11) se obtiene la siguiente relacion:

φ

θ

ψ

=

1 sinφ tan θ cosφ tan θ0 cosφ − sinφ0 sinφ sec θ cos φ sec θ

pqr

(2.13)

2.4 Formulacion de Newton-Euler 15

La variacion de los angulos de Tait-Bryan (φ, θ, ψ) es una funcion discontinua. Estas

derivadas son distintas de las velocidades angulares en el sistema de coordenadas del

cuerpo rıgido (p, q, r) las cuales son fısicamente medibles con giroscopos, por ejemplo.

Normalmente, se utilizan Unidades de Medicion Inercial (en ingles: Inertial Measurement

Unit - imu) para medir las rotaciones y calcular directamente los angulos de Tait-Bryan

(Bouabdallah et al., 2006).

La relacion entre las velocidades angulares en el sistema fijado al cuerpo y la variacion

en el tiempo de los angulos de Tait-Bryan se obtiene a traves de la inversion del Jacobiano

de (2.13), y viene dada por:

pqr

=

1 0 − sin θ0 cosφ sin φ cos θ0 − sinφ cosφ cos θ

φ

θ

ψ

(2.14)

El movimiento rotacional del helicoptero viene dado por las componentes de las velo-

cidades angulares en los tres ejes: velocidad angular de balanceo (p), velocidad angular

de cabeceo (q), y velocidad angular de guinada (r), sobre los ejes ~xL, ~yL y ~zL respectiva-

mente. Estas velocidades rotacionales son debidas a los pares ejercidos sobre el sistema

ligado al cuerpo del helicoptero producidas por las fuerzas externas, las cuales definen los

diferentes momentos en los tres ejes: momento de balanceo (L), momento de cabeceo (M),

y momento de guinada (N) sobre los ejes ~xL, ~yL y ~zL respectivamente (Esteban, 2005).

El movimiento de traslacion viene dado por las componentes de la velocidad v =

[u0 v0 w0]T en los tres ejes inerciales con relacion a la velocidad absoluta del helicoptero

expresada en B, V = [uL vL wL]T . Las velocidades v y V estan relacionadas por la

expresion:

v = RI · V (2.15)

2.4. Formulacion de Newton-Euler

En esta seccion se obtendran las ecuaciones dinamicas del helicoptero mediante la

formulacion de Newton-Euler.

Las ecuaciones dinamicas de un cuerpo rıgido sujeto a fuerzas externas aplicadas al

centro de masa y expresadas en el sistema de coordenadas ligado al cuerpo se pueden

obtener a traves de la formulacion de Newton-Euler como sigue:

[

mI3×3 00 J

] [

Vω

]

+

[

ω ×mVω × Jω

]

=

[

F + Fd

τ + τd

]

(2.16)


donde J ∈ ℜ3×3 es la matriz de inercia, I3×3 ∈ ℜ3×3 es la matriz identidad, V es el vector

velocidad traslacional (en B), ω es el vector velocidad angular (en B) y m es la masa total

del helicoptero.

De acuerdo con la suposiciones realizadas al inicio del capıtulo, la matriz de inercia de

puede suponer diagonal:

J =

Ixx 0 00 Iyy 00 0 Izz

(2.17)

Considerando el vector de estado[

ξ v η ω]T

donde ξ y v ∈ ℜ3 representan

respectivamente la posicion y velocidad lineal expresadas en I, η = [φ θ ψ] y ω ∈ ℜ3

la velocidad angular expresada en B, se pueden escribir las ecuaciones de movimiento de

un cuerpo rıgido como sigue:

ξ = vmv = RIFb

RI = RIS(ω)Jω = −ω × Jω + τb

(2.18)

donde ξ = v = RIV y S(ω) = RTI RI .

Tal como se expuso en la introduccion del capıtulo, el helicoptero quadrotor es un

sistema mecanico subactuado con 6 grados de libertad y solo 4 actuadores (la fuerza

principal y los tres momentos actuantes sobre el producidos por las cuatro helices).

Por otra parte, Fb ∈ B y τb ∈ B son las fuerzas y pares externos aplicados al cuerpo

del helicoptero, y consisten en su propio peso, en el vector de fuerzas aerodinamicas, en el

empuje y en los pares desarrollados por los cuatro motores. Estas fuerzas y pares pueden

ser expresados de la siguiente forma:

RIFb = −mg · E3 + RIE3

(

4∑

i=1

bΩ2i

)

+ AT

τb = −4∑

i=1

JR (ω × E3) · Ωi + τa + AR

(2.19)

Con las ecuaciones de fuerzas y pares (2.19), el modelo dinamico (2.18) se puede

reescribir como sigue:

ξ = v

v = −g ·E3 + RIE3

b

m

(

4∑

i=1

Ω2i

)

+AT

m

RI = RIS(ω)

Jω = −ω × Jω −4∑

i=1

JR (ω × E3) · Ωi + τa + AR

(2.20)

donde:


Los vectores AT = [Ax Ay Az]T y AR = [Ap Aq Ar]

T son las fuerzas y pares

aerodinamicos que actuan sobre el helicoptero, y son calculados a partir de los

coeficientes aerodinamicos Ci como Ai = 12ρaireCiW

2 (ρaire es la densidad del aire,

W es la velocidad del helicoptero con respecto al aire) (Mistler et al., 2001).

g es la constante gravitacional (g = 9,81m/s2).

JR es el momento de inercia rotacional del rotor alrededor de su eje.

b es el coeficiente de empuje aplicado por los rotores.

Ωi es la velocidad angular del i -enesimo rotor.

El sumatorio de fuerzas traslacionales que actuan sobre el helicoptero, tal como se

presenta en la ecuacion (2.19), esta compuesto por el empuje total generado por la suma

de los cuatro rotores, por la fuerza gravitacional y por la fuerza aerodinamica. La fuerza

principal U1, o entrada principal de control, aplicada al helicoptero viene dada por (Castillo

et al., 2005):

U1 =

(

4∑

i=1

fi

)

=

(

4∑

i=1

bΩ2i

)

(2.21)

donde fi es la fuerza de empuje generada por cada rotor.

El par τa en la ecuacion (2.19) es el vector de pares de control aplicados al helicoptero.

Este se obtiene a traves del esfuerzo de torsion τMigenerado por cada motor electrico

considerando la dinamica de cada disco del motor como un sistema desacoplado en la

variable generalizada Ωi, que denota la velocidad angular de un motor alrededor de su

eje. El esfuerzo de tension del motor es opuesto a la friccion aerodinamica del motor

τdrag = kτΩ2i , donde kτ > 0 es una constante. Ası, a traves de la segunda Ley de Newton

se obtiene (Castillo et al., 2005):

JRΩi = −τdrag + τMi(2.22)

Cuando Ωi = 0 se tiene que:

τMi= τdrag = kτΩ

2i (2.23)

El momento aplicado en el cuerpo rıgido a lo largo de un eje es la diferencia entre el

momento generado por cada motor en el otro eje. Como ya ha sido comentado anterior-

mente, el movimiento de cabeceo (pitch) se obtiene debido a la diferencia de empuje entre

el rotor frontal y el rotor trasero, mientras el movimiento de balanceo (roll) se obtiene

mediante la diferencia de empuje entre el rotor de la izquierda y el rotor de la derecha. El

movimiento de guinada (yaw) se obtiene por la diferencia de pares entre los dos rotores

que giran en sentido horario y los dos rotores que giran en sentido anti-horario. Estos


movimientos deben ser logrados con la fuerza principal constante (Castillo et al., 2005).

Ası, el par de control aplicado en los tres ejes viene dado por:

τa =

(f2 − f4) l(f3 − f1) l

4∑

i=1

τMi

=

lb (Ω22 − Ω2

4)lb (Ω2

3 − Ω21)

kτ (Ω21 + Ω2

3 − Ω22 − Ω2

4)

l · U2

l · U3

U4

(2.24)

donde l es la distancia entre los motores y el centro de gravedad.

Cada motor se puede considerar como un disco rıgido rotando alrededor de su eje ~z

con una velocidad Ωi. El eje de rotacion del motor se mueve con la velocidad angular del

eje de referencia, lo cual produce los siguientes movimientos giroscopicos:

τGa= −

4∑

i=1

JR (ω × E3) · Ωi (2.25)

donde JR es el momento de inercia del motor alrededor de su eje.

Ası, usando la ecuaciones (2.14), (2.15), (2.21) y (2.24), y definiendo el nuevo vector

de estados como (Mistler et al., 2001):

ζ = [x y z u0 v0 w0 φ θ ψ p q r ]T (2.26)

la ecuacion del movimiento (2.20) se puede reescribir en la siguiente forma:

ζ =

x = u0

y = v0

z = w0

u0 =1

m(cosψ sin θ cosφ+ sinψ sinφ) · U1 +

Ax

m

v0 =1

m(sinψ sin θ cosφ− cosψ sinφ) · U1 +

Ay

m

w0 = −g +1

m(cos θ cosφ) · U1 +

Az

m

φ = p+ q sinφ tan θ + r cosφ tan θ

θ = q cosφ− r sinφ

ψ = q sinφ sec θ + r cosφ sec θ

p =(Iyy − Izz)

Ixxqr − JRΩ

Ixxq +

l

IxxU2 +

Ap

Ixx

q =(Izz − Ixx)

Iyypr +

JRΩ

Iyyp+

l

IyyU3 +

Aq

Iyy

r =(Ixx − Iyy)

Izzpq +

1

IzzU4 +

Ar

Izz

(2.27)

La ecuacion diferencial no lineal (2.27) se puede escribir en una forma mas compacta,

como:

ζ = f (ζ) +4∑

i=1

gi (ζ)Ui (2.28)


donde:

f (ζ) =

u0

v0

w0

Ax

mAy

m

−g +Az

m

p+ q sinφ tan θ + r cosφ tan θ

q cosφ− r sinφ

q sinφ sec θ + r cosφ sec θ

(Iyy − Izz)

Ixxqr − JRΩ

Ixxq +

Ap

Ixx(Izz − Ixx)

Iyypr +

JRΩ

Iyyp+

Aq

Iyy(Ixx − Iyy)

Izzpq +

Ar

Izz

,

g1 (ζ) =[

0 0 0 g41 g5

1 g61 0 0 0 0 0 0

]T

g2 (ζ) =

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0l

Ixx0 0

]T

g3 (ζ) =

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0l

Iyy0

]T

g4 (ζ) =

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01

Izz

]T

con

g41 =

1

m(cosψ sin θ cos φ+ sinψ sin φ)

g51 =

1

m(sinψ sin θ cosφ− cosψ sinφ)

g61 =

1

m(cos θ cos φ)

El modelo matematico (2.28) puede asumirse como suficientemente preciso en la re-

presentacion de todos movimientos funcionales de un vehıculo aereo autonomo (Mistler

et al., 2001). Sin embargo, no es adecuado para diseno de control porque este depende de

fuerzas y momentos aerodinamicos, los cuales son desconocidos en la presencia de vien-

tos y turbulencias imprevisibles, y de efectos giroscopicos que se consideran desconocidos

debido a que no se tiene acceso a las velocidades de los motores. En consecuencia, estos

terminos seran despreciados durante la fase de diseno de control y seran considerados

como perturbaciones externas.


2.5. Formulacion de Lagrange-Euler

Las ecuaciones de movimiento del helicoptero se pueden expresar mediante la aplica-

cion directa de la formulacion de Lagrange-Euler, la cual esta basada en el concepto de

energıa mecanica (cinetica y potencial):

Γi =d

dt

(

∂L

∂qi

)

− ∂L

∂qi(2.29)

L = Ec −Ep

donde:

L es la funcion lagrangiana

Ec es la energıa cinetica total

Ep es la energıa potencial total

qi es la coordenada generalizada

qi es la primera derivada respecto al tiempo de la coordenada generalizada

Γi son las fuerzas/pares generalizados dados por fuerzas/pares no conservativos

Para desarrollar las ecuaciones de Lagrange-Euler, se vuelve a considerar el sistema

de coordenadas inercial I = [~x ~y ~z] y el sistema de coordenadas ligado al helicoptero

B = [~xL ~yL ~zL].

Para un cuerpo rıgido evolucionando en el espacio tridimensional, las coordenadas

generalizadas se pueden escribirse como (Castillo et al., 2007):

q = [x y z φ θ ψ]T ∈ ℜ6

donde ξ = [x y z]T ∈ ℜ3 es la posicion del centro de masa del helicoptero expresada

en I, y η = [φ θ ψ]T ∈ ℜ3 son los angulos de Tait-Bryan descritos en el Apartado 2.3.

El Lagrangiano para el helicoptero viene dado por:

L(q, q) = EcTrans+ EcRot

− Ep (2.30)

donde EcTranses la energıa cinetica traslacional y EcRot

es la energıa cinetica rotacional.

Inicialmente, se va a desarrollar el termino de la energıa cinetica traslacional, lo cual

requiere el conocimiento de la velocidad de cada coordenada generalizada. La velocidad

2.5 Formulacion de Lagrange-Euler 21

lineal viene dada por la ecuacion (2.15), donde ξ = v, y por lo tanto el cuadrado de la

velocidad es:

ξ2 (x, y, z) = (x2 + y2 + z2) = ξT ξ

Ası, la energıa cinetica traslacional puede ser escrita mediante la siguiente expresion:

EcTrans=

1

2

∫

ξ2 (x, y, z) dm =m

2ξ2 (x, y, z) =

m

2ξT ξ

Para desarrollar el termino de la energıa cinetica rotacional, considerese un puntoBrB fijo y en reposo en el sistema de coordenadas B. Sea IrB el mismo punto BrB con

respecto al sistema de coordenadas inercial I, y RI la matriz de rotacion que relaciona

el desplazamiento espacial del sistema de coordenadas B con respecto a I. El vector IrBvendra dado por (Fu et al., 1987):

IrB = RIBrB

IrBx = (cosψ cos θ)xL + (cosψsenθsenφ− senψcosφ)yL + (cosψsenθcosφ+senψsenφ)zLIrBy = (senψ cos θ)xL + (senψsenθsenφ+ cosψcosφ)yL + (senψsenθcosφ− cosψsenφ)zLIrBz = (−senθ)xL + (cos θsenφ)yL + (cos θcosφ)zL

Ası, la velocidad de BrB expresada en I se obtiene por la derivada con respecto al

tiempo de IrB como sigue:

IvB =d

dt

(

IrB)

=d

dt

(

RI · BrB)

= RI · BrB

IvBx =(

− sinψ cos θψ − cosψ sin θθ)

xL+(

− sinψ sin θ sinφψ + cosψ cos θ sinφθ + cosψ sin θ cosφφ

− cosψ cosφψ + sinψ sinφφ)

yL+(

− sinψ sin θ cosφψ + cosψ cos θ cosφθ − cosψ sin θ sinφφ

+ cosψ sinφψ + sinψ cosφφ)

zL

IvBy =(

cosψ cos θψ − sinψ sin θθ)

xL+(

cosψ sin θ sinφψ + sinψ cos θ sinφθ + sinψ sin θ cosφφ

− sinψ cosφψ − cosψ sinφφ)

yL+(

cosψ sin θ cosφψ + sinψ cos θ cosφθ − sinψ sin θ sinφφ

+ sinψ sinφψ − cosψ cosφφ)

zL

IvBz =(

−cos θθ)

xL+(

− sin θ sinφθ + cos θ cosφφ)

yL+(

− sin θ cosφθ − cos θ sinφφ)

zL


Tras obtener la velocidad del punto IrB, se puede calcular la energıa cinetica de rota-

cion. Sea EcRotla energıa cinetica de rotacion en B expresada en I, y sea dEcRot

la energıa

cinetica de una partıcula con masa diferencial dm en B, entonces (Fu et al., 1987):

dEcRot=

1

2

(

Iv2B

)

dm =1

2

(

Iv2Bx + Iv

2

By + Iv2

Bz

)

dm (2.31)

Ası, el cuadrado de la velocidad del punto IvB es:

Iv2B =

(

Iv2Bx + Iv

2

By + Iv2

Bz

)

Iv2B = x2

L

(

ψ2cos2 θ + θ2)

+

y2L

(

ψ2(

sin2 θ + cos2 θcos2 φ)

+ ψ(

−2φ sin θ − 2θ cosφ sinφ cos θ)

+ θ2 sin2 φ+ φ2)

+

z2L

(

ψ2(

sin2 θ + cos2 θsin2 φ)

+ ψ(

−2φ sin θ + 2θ cosφ sin φ cos θ)

+ θ2 cos2 φ+ φ2)

+

2xLyL

(

ψ2 cos θ sin θ sinφ+ ψ(

θ sin θ cosφ− φ cos θ sinφ)

− θφ cosφ)

+

2xLzL

(

ψ2 cos θ sin θ cosφ+ ψ(

−θ sin θ sinφ− φ cos θ cosφ)

+ θφ sinφ)

+

2yLzL

(

−ψ2 cos2 θ sinφ cosφ+ ψ(

θ cos θ − 2θ cos θ cos2 φ)

+ θ2 sinφ cosφ)

Reescribiendo la ecuacion anterior se tiene:

Iv2B = (y2

L + z2L)(

ψ2 sin2 θ − 2ψφ sin θ + φ2)

+

(x2L + z2

L)(

ψ2 sin2 φ cos2 θ + 2ψθ cosφ sinφ cos θ + θ2 cos2 φ)

+

(x2L + y2

L)(

ψ2 cos2 φ cos2 θ − 2ψθ cosφ sinφ cos θ + θ2 sin2 φ)

+

2xLyL

(


θ sin θ cos φ− φ cos θ sin φ)

− θφ cosφ)

+

2xLzL

(


−θ sin θ sin φ− φ cos θ cosφ)

+ θφ sinφ)

+

2yLzL

(



+ θ2 sin φ cosφ)

Por tanto, resolviendo la ecuacion (2.31) con el cuadrado de la velocidad se obtiene la

energıa cinetica de rotacion como sigue:

EcRot=

1

2

∫

Iv2Bdm


EcRot=

1

2

∫

(

y2L + z2

L

)

dm(

ψ2 sin2 θ − 2ψφ sin θ + φ2)

+

1

2

∫

(

x2L + z2

L

)

dm(

ψ2 sin2 φ cos2 θ + 2ψθ cosφ sinφ cos θ + θ2 cos2 φ)

+

1

2

∫

(

x2L + y2

L

)

dm(

ψ2 cos2 φ cos2 θ − 2ψθ cosφ sinφ cos θ + θ2 sin2 φ)

+

∫

xLyLdm(


θ sin θ cosφ− φ cos θ sinφ)

− θφ cosφ)

+

∫

xLzLdm(


−θ sin θ sinφ− φ cos θ cosφ)

+ θφ sinφ)

+

∫

yLzLdm(



+ θ2 sinφ cos φ)

(2.32)

A partir de las hipotesis realizadas anteriormente, los terminos de los productos cru-

zados de la matriz de inercia pueden ser considerados nulos y la matriz de inercia es

diagonal:Ixx =

∫

(y2L + z2

L) dmIyy =

∫

(x2L + z2

L) dmIzz =

∫

(x2L + y2

L) dmIxy =

∫

(xLyL)dm = 0Ixz =

∫

(xLzL)dm = 0Iyz =

∫

(yLzL)dm = 0

La energıa cinetica puede ser reescrita de la siguiente forma:

EcRot=

1

2Ixx

(

φ− ψ sin θ)2

+1

2Iyy

(

θ cosφ+ ψ sinφ cos θ)2

+1

2Izz

(

θ sinφ− ψ cosφ cos θ)2

(2.33)

o de una forma mas compacta utilizando las ecuaciones (2.14) y (2.17):

EcRot=

1

2Ixxp

2 +1

2Iyyq

2 +1

2Izzr

2 =1

2ωTJω (2.34)

Denominando Wη como el Jacobiano que relaciona ω con η en la ecuacion (2.14), se

puede definir la siguiente matriz:

J = J (η) = WηTJWη (2.35)

por lo que la ecuacion de la energıa cinetica (2.34) se puede reescribir en funcion de

coordenadas generalizadas η como sigue:

EcRot=

1

2ηTJ η (2.36)


La energıa potencial Ep expresada en terminos de las coordenadas generalizadas viene

dada por:

Ep = mgz (2.37)

Las ecuaciones del movimiento completo se obteniene a partir del Lagrangiano (2.30)

y se obtendran a partir de la siguiente expresion:[

Fξ

τη

]

=d

dt

(

∂L

∂qi

)

− ∂L

∂qi(2.38)

donde τη ∈ ℜ3 representa los momentos de balanceo, cabeceo y guinada, y Fξ = RIF es

la fuerza traslacional aplicada al helicoptero debido principalmente a la entrada de control

principal U1 en la direccion del eje z, con

RIF = RIE3U1 + AT

Puesto que el Lagrangiano no contiene terminos en la energıa cinetica combinando ξ

con η, las ecuaciones de Lagrange-Euler pueden ser divididas en la dinamica de traslacion

y la dinamica de rotacion, siendo la ecuacion de Lagrange-Euler para el movimiento de

traslacion:

L(ξ, ξ) = EcTras− Ep

∂L(

ξ, ξ)

∂ξ= −mgE3 ,

∂L(

ξ, ξ)

∂ξ= mξ ,

d

dt

∂L(

ξ, ξ)

∂ξ

= mξ

d

dt

∂L(

ξ, ξ)

∂ξ

−∂L(

ξ, ξ)

∂ξ= Fξ (2.39)

mξ +mgE3 = Fξ (2.40)

Reescribiendo (2.40) en funcion del vector de estados ξ se tiene:

x = 1m

(cosψ sin θ cosφ+ sinψ sinφ)U1 + Ax

m

y = 1m

(sinψ sin θ cos φ− cosψ sinφ)U1 + Ay

m

z = −g + 1m

(cos θ cosφ)U1 + Az

m

(2.41)

Para las coordenadas de η las ecuaciones de Lagrange-Euler son:

d

dt

(

∂L (η, η)

∂η

)

− ∂L (η, η)

∂η= τη

d

dt

(

∂L (η, η)

∂φ

)

− ∂L (η, η)

∂φ= τφ ,

d

dt

(

∂L (η, η)

∂θ

)

− ∂L (η, η)

∂θ= τθ ,

d

dt

(

∂L (η, η)

∂ψ

)

− ∂L (η, η)

∂ψ= τψ


Resolviendo las ecuaciones arriba se obtiene:

∂L (η, η)

∂φ= Iyy

(

−ψθ cos θ sin2 φ+ ψθ cos θ cos2 φ+ ψ2 sinφ cos φ cos2 θ − θ2 sinφ cosφ)

+Izz

(

−ψ2 sinφ cosφ cos2 θ + ψθ cos θ sin2 φ− ψθ cos θ cos2 φ+ θ2 sinφ cosφ)

∂L (η, η)

∂θ= Ixx

(

−ψφ cos θ + ψ2 cos θ sin θ)

+ Iyy

(

−θψ sinφ cos φ sin θ − ψ2 sin2 φ cos θ sin θ)

+Izz

(

−ψ2 sin θ cos θ cos2 φ+ ψθ sin θ sinφ cosφ)

∂L (η, η)

∂ψ= 0

∂L (η, η)

∂φ= Ixx

(

φ− ψ sin θ)

∂L (η, η)

∂θ= θ

(

Iyy cos2 φ+ Izz sin2 φ)

+ ψ (Iyy cosφ sinφ cos θ − Izz cosφ sinφ cos θ)

∂L (η, η)

∂ψ= −φIxx sin θ + θ ((Iyy − Izz) cosφ sinφ cos θ)

+ψIxx sin2 θ + ψIyy sin2 φ cos2 θ + ψIzz cos2 φ cos2 θ

Y por lo tanto:

d

dt

(

∂L (η, η)

∂φ

)

= Ixx

(

φ− ψ sin θ − φψ cos θ)

d

dt

(

∂L (η, η)

∂θ

)

= Iyy

(

θ cos2 φ− 2θφ cosφ sinφ+ ψ cosφ sinφ cos θ − ψφ sin2 φ cos θ

+ψφ cos2 φ cos θ − ψθ cosφ sinφ sin θ)

+Izz

(

θ sin2 φ+ 2θφ cosφ sinφ− ψ cosφ sinφ cos θ + ψφ sin2 φ cos θ

−ψφ cos2 φ cos θ + ψθ cosφ sinφ sin θ)

d

dt

(

∂L (η, η)

∂ψ

)

= Ixx

(

−φ sin θ − φθ cos θ + ψ sin2 θ + 2ψθ sin θ cos θ)

+Iyy

(

θ cosφ sinφ cos θ − θφ sin2 φ cos θ + θφ cos2 φ cos θ − θ2 cosφ sin φ sin θ

+ ψ sin2 φ cos2 θ + 2ψφ sinφ cosφ cos2 θ − 2ψθ sin2 φ cos θ sin θ)

+Izz

(

−θ cosφ sinφ cos θ + θφ sin2 φ cos θ − θφ cos2 φ cos θ + θ2 cosφ sinφ sin θ

+ ψ cos2 φ cos2 θ − 2ψφ cosφ sin φ cos2 θ − 2ψθ cos θ sin θ cos2 φ)


y ası, se reescribe las ecuaciones de Lagrange-Euler para el movimiento de rotacion como

sigue:d

dt

(

∂L (η, η)

∂η

)

− ∂L (η, η)

∂η= τη

d

dt

(

∂L (η, η)

∂φ

)

− ∂L (η, η)

∂φd

dt

(

∂L (η, η)

∂θ

)

− ∂L (η, η)

∂θd

dt

(

∂L (η, η)

∂ψ

)

− ∂L (η, η)

∂ψ

=

τφτθτψ

El modelo matematico se puede presentar en la forma general, donde (Castillo et al.,

2007):

M(η)η + C(η, η)η = τη (2.42)

con M(η) = J (η), o sea:

M(η) =

Ixx 0 −Ixx sin θ

0 Iyy cos2 φ+ Izz sin2 φ (Iyy − Izz) cosφ sin φ cos θ

−Ixx sin θ (Iyy − Izz) cosφ sinφ cos θ Ixx sin2 θ + Iyy sin2 φ cos2 θ + Izz cos2 φ cos2 θ

(2.43)

y

C (η, η) =

c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

donde

c11 = 0

c12 = (Iyy − Izz)(

θ cosφ sinφ+ ψ sin2 φ cos θ)

+ (Izz − Iyy) ψ cos2 φ cos θ − Ixxψ cos θ

c13 = (Izz − Iyy) ψ cosφ sinφ cos2 θ

c21 = (Izz − Iyy)(

θ cosφ sinφ+ ψ sin2 φ cos θ)

+ (Iyy − Izz) ψ cos2 φ cos θ + Ixxψ cos θ

c22 = (Izz − Iyy) φ cosφ sinφ

c23 = −Ixxψ sin θ cos θ + Iyyψ sin2 φ cos θ sin θ + Izzψ cos2 φ sin θ cos θ

c31 = (Iyy − Izz) ψ cos2 θ sinφ cosφ− Ixxθ cos θ

c32 = (Izz − Iyy)(

θ cosφ sinφ sin θ + φ sin2 φ cos θ)

+ (Iyy − Izz) θ cos2 φ cos θ

+Ixxψ sin θ cos θ − Iyyψ sin2 φ sin θ cos θ − Izzψ cos2 φ sin θ cos θ

c33 = (Iyy − Izz) φ cosφ sinφ cos2 θ − Iyy θ sin2 φ cos θ sin θ − Izzθ cos2 φ cos θ sin θ

+Ixxθ cos θ sin θ

Ası, las ecuaciones del movimiento de rotacion del helicoptero obtenidas a partir de

la formulacion de Lagrange-Euler pueden ser reescritas mediante la siguiente expresion


matricial:

η = M(η)−1(τη −C(η, η)η) (2.44)

Para finalizar, en la figura 2.4 se muestra como el sistema puede ser dividido en dos

subsitemas interconectados:

ψψθθφφ

&

&

&

zzyyxx

&

&

&

ψθφ ,,

Subsistema de rotación

Subsistema de traslación

4

3

2

UUU

1U

Figura 2.4: Sistema dinamico dividido en dos sub-sistemas interconectados.

El sub-sistema de rotacion, cuyas salidas seran los tres angulos de Tait-Bryan que

fijan la orientacion del vehıculo, y cuyas entradas seran los tres pares (U2, U3 y U4)

que permiten girarlo.

El sub-sistema de traslacion, cuyas salidas (posicion x, y y z del vehıculo en el

espacio) dependeran del empuje total, U1, ademas de la orientacion del sistema.

Capıtulo 3

Estructuras de Control

En este capıtulo se utilizan cinco estrategias de control para resolver el problema

de seguimiento de trayectoria, siendo dos de ellas presentadas en Mistler et al. (2001);

Bouabdallah y Siegwart (2005). Se buscan, como objetivos de desempeno de los controla-

dores, error nulo de seguimiento y robustez en presencia de incertidumbres parametricas

y perturbaciones externas que puedan afectar al helicoptero.

La primera estrategia esta basada en Mistler et al. (2001), donde se utiliza una ley

de control con desacoplamiento entrada-salida y linealizacion exacta por realimentacion

dinamica. En esta estrategia se utiliza el modelo dinamico que se obtuvo a partir de la

formulacion de Newton-Euler.

La segunda estructura de control utilizada fue presentada en Bouabdallah y Siegwart

(2005). Esta se basa en la tecnica de Backstepping y supone que el helicoptero ya es-

ta en vuelo estacionario, de modo que se permite simplificar el modelo a traves de la

aproximacion de pequeno angulo.

La tercera estrategia de control que se desarrolla en este trabajo, se basa en una

estructura de control descentralizada, donde se disena un controlador para la estabilizacion

del helicoptero utilizando tecnicas de control H∞ no lineal para sistemas mecanicos. Para

controlar los movimientos de traslacion se utiliza el controlador propuesto en Bouabdallah

y Siegwart (2005), que usa funciones de Lyapunov, basado en la tecnica de Backstepping.

La cuarta estrategia de control se plantea a partir de la estructura anterior, donde

se utiliza el mismo controlador H∞ no lineal para los movimientos de rotacion. El pro-

blema de seguimiento de trayectoria se soluciona a traves de un controlador predictivo,

donde se permite utilizar trayectorias futuras conocidas, una caracterıstica de gran rele-

vancia para el control de robots moviles. El cpbm fue desarrollado utilizando la tecnica

de linealizaciones sucesivas y basado en el modelo del error.

30 3 Estructuras de Control

Para la quinta estructura de control se disena un controlador con el objetivo de garanti-

zar la robustez del sub-sistema de traslacion en presencia de incertidumbres parametricas

en los terminos de masa y inercia del helicoptero y cuando se aplican vientos mantenidos

sobre el vehıculo. Para esto se utiliza la sıntesis de control H∞ lineal con realimentacion de

estados vıa lmis, suponiendo la posicion angular del quadrotor como parametros inciertos

del sub-sistema de traslacion. La estabilizacion del uav se obtiene a partir del controlador

H∞ no lineal.

A continuacion se presentan cada una de las estrategias, ası como los resultados de

simulacion, y resultados experimentales de la estabilizacion del sistema.

3.1 Control con desacoplamiento entrada-salida y linealizacion exacta por realimentaciondinamica (Mistler et al., 2001) 31

3.1. Control con desacoplamiento entrada-salida y li-

nealizacion exacta por realimentacion dinamica

(Mistler et al., 2001)

En este apartado se presenta el controlador desarrollado en Mistler et al. (2001), el

cual trata de una ley de control por realimentacion dinamica y un cambio de variables

en el espacio de estados con el objetivo de transformar el sistema no lineal descrito por

la ecuacion (2.28) en un sistema lineal y controlable. Este problema es conocido como

linealizacion exacta por realimentacion (Mistler et al., 2001). Ademas, se reduce el sistema

por el enfoque entrada-salida para trabajar con un conjunto de sistemas siso (single input-

single output) independientes, siendo este el problema de desacoplamiento entrada-salida.

En Mistler et al. (2001) se demuestra que utilizando una ley de control por realimen-

tacion estatica no es posible resolver estos dos problemas para el sistema (2.28). Siendo

ası, se propone una ley de control por realimentacion dinamica.

Inicialmente, se prueba que, utilizando una ley de control por realimentacion estatica,

el sistema en bucle cerrado no es realizable. Ası, en el primer paso, para no complicar

el problema de control, se elige el numero de salidas igual al numero de entradas, con-

siderando las variables ξ = [x y z]T y el angulo de guinada (yaw), ψ, como variables

controladas del sistema. Por lo tanto, el vector de salidas es γ(ζ) = h(ζ) = [x y z ψ]T .

Se asume tambien que todo el vector de estados, ζ , del sistema es medible y se propone

una ley de control con realimentacion de estados estatica de la siguiente forma:

U = α(ζ) + β(ζ)v (3.1)

donde v es un vector de entrada de referencia externa, α(ζ) = [α1(ζ) α2(ζ)

α3(ζ) α4(ζ)]T y β(ζ) ∈ ℜ4x4.

En el segundo paso, se define el grado relativo del sistema, donde r1, r2, r3, r4 es el

vector de grado relativo para el sistema (2.28). Esto estipula exactamente el numero de

veces que hay que diferenciar una salida i para que en el ultimo componente aparezca

explıcitamente el vector de entradas U. Ası, usando derivadas de Lie, se tiene:

ri =(

infk, ∃j, 1 ≤ j ≤ 4, LgjLk−1

f hi 6= 0)

y

γ(r1)1

γ(r2)2

γ(r3)3

γ(r4)4

= b(ζ) + ∆(ζ)U


donde

∆(ζ) =

Lg1Lr1−1

f h1(ζ) · · · Lg4Lr1−1

f h1(ζ)...

. . ....

Lg1Lr4−1

f h4(ζ) · · · Lg4Lr4−1

f h4(ζ)

(3.2)

b(ζ) =

Lr1f h1(ζ)...

Lr4f h4(ζ)

(3.3)

El principal resultado sobre el problema de desacoplamiento entrada-salida es que

este problema tiene solucion si, y solo si, la matriz ∆(ζ) es no singular. En este caso, la

realimentacion de estados estatica (3.1) con (Mistler et al., 2001):

α(ζ) = −∆−1(ζ)b(ζ)

β(ζ) = ∆−1(ζ)(3.4)

transforma el sistema en bucle cerrado en lineal y desacoplado desde el punto de vista de

entrada-salida, proporcionando y(ri) = vi para todo i, 1 ≤ i ≤ 4.

Sin embargo, para el sistema no lineal (2.28) el grado relativo es r1 = r2 = r3 = r4 = 2.


Por lo tanto, la matriz ∆(ζ) se calcula como sigue:

∆11 = Lg1L1

fh1(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h1

∂ζ· f (ζ)

)

· g1 (ζ) =(cosψ cosφ sin θ + sin φ sinψ)

m

∆12 = Lg2L1

fh1(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h1

∂ζ· f (ζ)

)

· g2 (ζ) = 0

∆13 = Lg3L1

fh1(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h1

∂ζ· f (ζ)

)

· g3 (ζ) = 0

∆14 = Lg4L1

fh1(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h1

∂ζ· f (ζ)

)

· g4 (ζ) = 0

∆21 = Lg1L1

fh2(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h2

∂ζ· f (ζ)

)

· g1 (ζ) =(sinψ cos φ sin θ − sin φ cosψ)

m

∆22 = Lg2L1

fh2(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h2

∂ζ· f (ζ)

)

· g2 (ζ) = 0

∆23 = Lg3L1

fh2(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h2

∂ζ· f (ζ)

)

· g3 (ζ) = 0

∆24 = Lg4L1

fh2(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h2

∂ζ· f (ζ)

)

· g4 (ζ) = 0

∆31 = Lg1L1

fh3(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h3

∂ζ· f (ζ)

)

· g1 (ζ) =(cos θ cos φ)

m

∆32 = Lg2L1

fh3(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h3

∂ζ· f (ζ)

)

· g2 (ζ) = 0

∆33 = Lg3L1

fh3(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h3

∂ζ· f (ζ)

)

· g3 (ζ) = 0

∆34 = Lg4L1

fh3(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h3

∂ζ· f (ζ)

)

· g4 (ζ) = 0

∆41 = Lg1L1

fh4(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h4

∂ζ· f (ζ)

)

· g1 (ζ) = 0

∆42 = Lg2L1

fh4(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h4

∂ζ· f (ζ)

)

· g2 (ζ) = 0

∆43 = Lg3L1

fh4(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h4

∂ζ· f (ζ)

)

· g3 (ζ) =(l sin φ sec θ

Iyy

∆44 = Lg4L1

fh4(ζ) =∂

∂ζ

(

∂h4

∂ζ· f (ζ)

)

· g4 (ζ) =(cosφ sec θ

Izz

y entonces:

∆(ζ) =

∆11 0 0 0∆21 0 0 0∆31 0 0 00 0 ∆43 ∆44

Como se muestra, la matriz ∆(ζ) es singular para todo ζ y, por lo tanto, el problema

de desacoplamiento entrada-salida no se resuelve para el sistema (2.28) a traves de una ley

de control estatica de realimentacion de estados (Mistler et al., 2001). La matriz ∆(ζ) es

siempre singular porque las derivadas γ(2)1 , γ

(2)2 y γ

(2)3 estan todas afectadas por la entrada

U1 y ninguna por U2, U3, U4. Para solucionar este problema, se propone encontrar γ(2)1 ,

γ(2)2 y γ

(2)3 independientes de U1, esto es, retrasar la aparicion de U1 para las derivadas de

orden superior de γ(2)1 , γ

(2)2 y γ

(2)3 y esperar que las otras entradas aparezcan antes. Para


lograr este resultado, se elige U1 igual a un doble integrador dado por U1:

U1 = κκ = εε = U1

(3.5)

y por consistencia de notacion, se define:

U2 = U2

U3 = U3

U4 = U4

Ahora la entrada U1 ya no es una entrada para el sistema (2.28), pero se transforma en

el estado interno κ para el nuevo sistema dinamico (3.6), que es definido como sigue:

˙ζ = f(ζ) + g(ζ , U) (3.6)

donde

ζ = [x y z u0 v0 w0 φ θ ψ κ ǫ p q r ]T

y

f(

ζ)

=

u0

v0

w0

Axm

+ g41(φ, θ, ψ)κ

Aym

+ g51(φ, θ, ψ)κ

−g +Azm

+ g61(φ, θ, ψ)κ

p+ q sin φ tan θ + r cosφ tan θq cosφ− r sinφ

q sin φ sec θ + r cos φ sec θǫ0

(Iyy − Izz)

Ixxqr − JRΩ

Ixxq +

ApIxx

(Izz − Ixx)

Iyypr +

JRΩ

Iyyp+

AqIyy

(Ixx − Iyy)

Izzpq +

ArIzz

,

g1(ζ) =[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0]T

g2(ζ) =

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0l

Ixx0 0

]T

g3(ζ) =

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0l

Iyy0

]T

g4(ζ) =

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01

Izz

]T

Con el nuevo sistema se puede resolver el problema de desacoplamiento entrada-salida

para el sistema (2.28) a traves de una ley de control de realimentacion dinamica si este


problema se resuelve por realimentacion estatica para el sistema extendido (3.6). El vector

de grado relativo para el sistema (3.6) esta dado por:

r1 = r2 = r3 = 4; r4 = 2

y se tiene:

γ(r1)1

γ(r2)2

γ(r3)3

γ(r4)4

= b(ζ) + ∆(ζ)U

donde ∆(ζ) y b(ζ) son calculados usando las ecuaciones (3.2) y (3.3).

La matriz ∆(ζ) esta dada por:

∆(ζ) =

cos(φ) cos(ψ) sin(θ)+sin(φ) sin(ψ)m

−κ (sin(φ) cos(ψ) sin(θ)−cos(φ) sin(ψ))dmIx

κ cos(ψ) cos(θ)dmIy

0

cos(φ) sin(ψ) sin(θ)−sin(φ) cos(ψ)m

−κ (sin(φ) sin(ψ) sin(θ)+cos(φ) cos(ψ))dmIx

κ sin(ψ) cos(θ)dmIy

0

cos(φ) cos(θ)m

− sin(φ) cos(θ)κdmIx

−κ sin(θ)dmIy

0

0 0 sin(φ)dcos(θ)Iy

cos(φ)cos(θ)Iz

Se ve que la matriz ∆(ζ) es no singular en cualquier punto caracterizado por κ 6= 0,

−π/2 < φ < π/2, −π/2 < θ < π/2. Por lo tanto, el problema de desacoplamiento entrada-

salida se resuelve para el sistema (2.28) a traves de una ley de control por realimentacion

dinamica dada por:

U = α(ζ) + β(ζ)v (3.7)

con α(ζ) y β(ζ) calculados a partir de (3.4).

Ademas, como el sistema extendido (3.6) tiene dimension n = 14, la condicion

r1 + r2 + r3 + r4 = n se cumple y, por tanto, el sistema puede ser transformado por

realimentacion dinamica en un sistema que, en coordenadas adecuadas, es completamente

lineal y controlable. El cambio de coordenadas λ = Φ(ζ) se da por:

λ1 = h1

(

ζ)

= x λ8 = L3fh2

(

ζ)

= y(3)

λ2 = Lfh1

(

ζ)

= x λ9 = h3

(

ζ)

= zλ3 = L2

fh1

(

ζ)

= x λ10 = Lfh3

(

ζ)

= z

λ4 = L3fh1

(

ζ)

= x(3) λ11 = L2fh3

(

ζ)

= zλ5 = h2

(

ζ)

= y λ12 = L3fh3

(

ζ)

= z(3)

λ6 = Lfh2

(

ζ)

= y λ13 = h4

(

ζ)

= ψ

λ7 = L2fh2

(

ζ)

= y λ14 = Lfh4

(

ζ)

= ψ

En las nuevas coordenadas, el sistema se escribe como:

λ = Aλ+ Bvγ = Cλ

(3.8)


donde

A =

A1 0 0 00 A1 0 00 0 A1 00 0 0 A2

, B =

B1

B2

B3

B4

, C =

C1 0 0 00 C1 0 00 0 C1 00 0 0 C2

A1 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

, A2 =

[

0 10 0

]

, B1 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0

B2 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 1 0 0

, B3 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 0

, B4 =

[

0 0 0 00 0 0 1

]

C1 =[

1 0 0 0]

, C2 =[

1 0]

Para controlar el sistema (3.8), los autores proponen la siguiente ley de control por

realimentacion:

v1 = x(4)d − c3

(

x(3) − x(3)d

)

− c2 (x− xd) − c1 (x− xd) − c0 (x− xd)

v2 = y(4)d − c3

(

y(3) − y(3)d

)

− c2 (y − yd) − c1 (y − y) − c0 (y − yd)

v3 = z(4)d − c3

(

z(3) − z(3)d

)

− c2 (z − zd) − c1 (z − zd) − c0 (z − z)

v4 = ψd − c5

(

ψ − ψd

)

− c4 (ψ − ψd)

donde los coeficientes ci son los parametros de ajuste del controlador y (xd, yd, zd, ψd) es

la trayectoria deseada.

En la Figura 3.1 se representa el diagrama de bloques completo de la estructura de

control presentada.

kappau1

u2

u3

u4

(x,y,z)

(dx,dy,dz)

(phi,theta,psi)

(p,q,r)

lambda

MATLABFunction

Varible lambda

var_zref

xrdot4

yrdot4

zrdot4

psiddot

Trayectoriade Referencia

Atras

PerturbaciónTraslacional

Arot

PerturbaciónRotacional

1s

1s

K*u

Gain

MATLABFunction

Exact Linearization

du/dt

du/dt

Demux

draganfly_Mistler_Mod

DRAGANFLY

Figura 3.1: Diagrama de Bloques para el control con linealizacion por realimentacion del

helicoptero quadrotor.


3.1.1. Resultados de simulacion

Se realizaron varias simulaciones para evaluar el controlador propuesto en Mistler et

al. (2001). La trayectoria de referencia utilizada es una helicoidal vertical dada por las

siguientes ecuaciones:

xd = 12cos(

t2

)

, yd = 12sin(

t2

)

, zd = 1 + t10, ψd = π

3

Se supone que el helicoptero empieza en la posicion (x, y, z) = (0,0,0.5)m ,con orien-

tacion (φ, θ, ψ) = (0,0,0.5)rad. Los parametros del modelo utilizados aquı, y durante todo

el trabajo, fueron los del artıculo (Mistler et al., 2001), y son: m = 0,7kg, l = 0,3m,

g = 9,81m/s2 y Ixx = Iyy = Izz = 1,2416.

Se presentan dos resultados, en el primero se considera una incertidumbre de ±20 %

en los parametros de inercia del modelo y sin tener en cuenta perturbaciones externas. La

segunda simulacion se realizo solo con el modelo nominal, pero se consideraron perturba-

ciones externas, que fueron escalones mantenidos en los momentos aerodinamicos, o sea,

en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm, en t = 15s se afecto al sistema con Ap = 10Nm, y

en t = 25s se aplico la ultima perturbacion con amplitud Aq = 10Nm. Las ganancias del

controlador son las siguientes: c0 = 625, c1 = 500, c2 = 150, c3 = 20, c4 = c5 = 4.

Las resultados de ambas simulaciones se presentan en las Figuras 3.2 - 3.9.

−0.5

0

0.5

−0.5

0

0.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

xy

z

ReferenciaInercia nominalInercia +20%Inercia −20%

Figura 3.2: Trayectoria xyz del helicoptero quadrotor cuando se aplica la estrategia de

control con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5x

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5y

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

tiempo [s]

z




Figura 3.3: Evolucion temporal de la posicion cuando se aplica la estrategia de control

con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02φ

0 5 10 15 20 25 30−0.1

0

0.1

0.2

0.3

θ

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψReferenciaInercia nominalInercia +20%Inercia −20%

Inercia NominalInercia +20%Inercia −20%

Inercia NominalInercia +20%Inercia −20%

Figura 3.4: Evolucion temporal de la orientacion cuando se aplica la estrategia de control

con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbaciones externas.


0 10 20 306

6.5

7

7.5

8

8.5

tiempo [s]

u1

0 10 20 30−5

0

5

10

15

20

tiempo [s]

u2

0 10 20 30−50

0

50

100

150

200

tiempo [s]

u3

0 10 20 30−1

0

1

2

3

4

tiempo [s]

u4

Inercia nominalInercia +20%Inercia −20%




Figura 3.5: Evolucion temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategia de

control con linealizacion por realimentacion dinamica sin perturbaciones externas.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

xy

z

ReferenciaInercia nominal


control con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30−2

−1

0

1

2x

0 5 10 15 20 25 30−2

−1

0

1

2y

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

tiempo [s]

z



ReferenciaInercia Nominal


con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1

1.5φ

Inercia nominal

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

1θ

Inercia nominal

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

tiempo [s]

ψ



con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbaciones externas.


0 10 20 306

7

8

9

10

11

12

tiempo [s]

u1

Inercia nominal

0 10 20 30−800

−600

−400

−200

0

200

tiempo [s]

u2

Inercia nominal

0 10 20 30−600

−400

−200

0

200

tiempo [s]

u3

Inercia nominal

0 10 20 30−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

tiempo [s]

u4

Inercia nominal

Figura 3.9: Evolucion temporal de la entrada de control cuando se aplica la estrategia de

control con linealizacion por realimentacion dinamica con perturbaciones externas.

Se puede percibir a traves de las graficas que este controlador es robusto frente a incer-

tidumbres parametricas, pero cuando se aplican perturbaciones externas en los momentos

aerodinamicos, que pueden interpretarse como acciones de vientos que causan rotacion

del helicoptero, el controlador no fue capaz de rechazarlas. Esto se debe a que en la ley

de control no se considera el efecto integral en los terminos de rotacion.

En la parte de traslacion, sı se considera el efecto integral, y como se muestra en

Mistler et al. (2001), se rechazan vientos mantenidos, que se pueden considerar como

fuerzas aerodinamicas.


3.2. Control basado en Backstepping (Bouabdallah

y Siegwart, 2005)

La estrategia de control que se presenta en este apartado fue elaborada en Bouabda-

llah y Siegwart (2005). Se trata de utilizar la tecnica de Backstepping para controlar el

helicoptero quadrotor con objetivos de estabilizacion y seguimiento de trayectoria.

Primero, se considera el modelo del helicoptero cuando este ejecuta vuelo estacionario,

o sea, se supone que la variacion de los angulos de Tait-Bryan es pequena. Ası, utilizando

las ecuaciones de movimiento obtenidas a traves de la formulacion de Lagrange-Euler,

aislando las aceleraciones y aplicando la aproximacion del pequeno angulo al sistema de

rotacion (cosφ ≈ cos θ ≈ cosψ ≈ 1, sinφ ≈ φ, sin θ ≈ θ, sinψ ≈ ψ) se obtiene el siguiente

modelo:

x = 1m

(cosψ sin θ cosφ+ sinψ sinφ)U1 + Ax

m

y = 1m

(sinψ sin θ cos φ− cosψ sinφ)U1 + Ay

m

z = −g + 1m

(cos θ cosφ)U1 + Az

m

φ = (Iyy−Izz)Ixx

θψ − JRΩIxx

θ + lIxxU2 + Ap

Ixx

θ = (Izz−Ixx)Iyy

φψ + JRΩIyy

φ+ lIyyU3 + Aq

Iyy

φ = (Ixx−Iyy)Izz

θφ+ 1IzzU4 + Ar

Izz

(3.9)

Para disenar el controlador se reescribe el sistema (3.9) en la forma de espacio de

estados X = f(X,U) introduciendo X = (x1 . . . x12) como el vector de estados del sistema,

siendo:

x1 = φ x7 = z

x2 = x1 = φ x8 = x7 = zx3 = θ x9 = x

x4 = x3 = θ x10 = x9 = xx5 = ψ x11 = y

x6 = x5 = ψ x12 = x11 = y

A partir de (3.9) y con el nuevo vector de estados se puede escribir el sistema de la

3.2 Control basado en Backstepping (Bouabdallah y Siegwart, 2005) 43

siguiente forma:

X = f (X,U) =

x2

x4x6a1 + x4a2Ω + b1U2

x4

x2x6a3 + x2a4Ω + b2U3

x6

x4x2a5 + b3U4

x8

−g + (cosx1 cosx3)U1

m

x10

uxU1

m

x12

uyU1

m

(3.10)

con:a1 = (Iyy − Izz)/Ixx b1 = l/Ixxa2 = −JR/Ixx b2 = l/Iyya3 = (Izz − Ixx)/Iyy b3 = 1/Izza3 = JR/Iyya5 = (Ixx − Iyy)/Izz

(3.11)

ux = (cosx5 sin x3 cos x1 + sin x5 sin x1)uy = (sin x5 sin x3 cosx1 − cosx5 sin x1)

(3.12)

Esto es util para ver que el sistema de rotacion no depende de las componentes de tras-

lacion, como ya se habıa comentado anteriormente. Por otro lado, las traslaciones depen-

den de los angulos. Se puede imaginar el sistema completo descrito por (3.10) constituido

por dos sub-sistemas, el de rotaciones angulares y el de traslaciones lineales, conforme

Figura 3.10.

ψψθθφφ

z

z

y

y

x

x

ψθφ ,,

Subsistema de rotación

Subsistema de traslación

1U

2U

3U

4U

BacksteppingTraslación

rrr zyx ,,rr θφ ,

ψθφ ,,

zyx ,,

Quad-Rotor

rψG.Tray.

BacksteppingRotación

Figura 3.10: Estructura de control Backstepping.


3.2.1. Control Backstepping del sub-sistema de rotacion

Utilizando la tecnica de Backstepping se puede disenar la ley de control forzando al

sistema a seguir la trayectoria de referencia. Para ello, como primer paso se define el error

de seguimiento como sigue (Bouabdallah y Siegwart, 2005):

z1 = x1d− x1 (3.13)

Segun el teorema de Lyapunov, y considerando que la funcion Lyapunov V (z1) pre-

sentada a continuacion es definida positiva y su derivada con respecto al tiempo es semi-

definida negativa:

V (z1) =1

2z21 (3.14)

V (z1) = z1(x1d− x2) (3.15)

la estabilizacion de z1 puede ser obtenida introduciendo la siguiente entrada de control

virtual x2:

x2 = x1d+ α1z1 (3.16)

con α1 > 0.

La derivada de la funcion de Lyapunov se escribe como:

V (z1) = −α1z21 (3.17)

permitiendo proseguir con un cambio de variables realizando:

z2 = x2 − x1d− α1z1 (3.18)

Para anular este nuevo error, se realizara un segundo paso considerando la siguiente

funcion de Lyapunov aumentada:

V (z1, z2) =1

2(z2

1 + z22) (3.19)

donde su derivada temporal viene dada por:

V (z1, z2) = z2(a1x4x6 + a2x4Ω + b1U2) − z2(x1d− α1(z2 + α1z1)) − z1z2 − α1z

21 (3.20)

Por lo tanto, si se considera la referencia en aceleracion nula (x1d= 0), se obtiene la

siguiente senal de control U2, satisfaciendo V (z1, z2) < 0:

U2 =1

b1(z1 − a1x4x6 − a2x4Ω − α1(z2 + α1z1) − α2z2) (3.21)

con

z1 = x1d− x1

z2 = x2 − x1d− α1z1


que estabiliza el sistema aumentado, ya que con esta senal de control se obtiene que:

V (z1, z2) = −α1z21 − α2z

22 < 0 (3.22)

Notese como el termino α2z2 con α2 > 0 se anade para estabilizar z1.

Se realizan los mismos pasos para obtener U3 y U4:

U3 =1

b2(z3 − a3x2x6 − a4x2Ω − α3(z4 + α3z3) − α4z4) (3.23)

U4 =1

b3(z5 − a5x2x4 − α5(z6 + α5z5) − α6z6) (3.24)

con

z3 = x3d− x3

z4 = x4 − x3d− α3z3

z5 = x5d− x5

z6 = x6 − x5d− α5z5

3.2.2. Control Backstepping del sub-sistema de traslacion

Control de altura

La entrada de control de la altura U1 se logra usando la misma tecnica presentada en

la seccion anterior:

U1 =m

cosx1 cosx3

(z7 + g − α7(z8 + α7z7) − α8z8) (3.25)

con

z7 = x7d− x7

z8 = x8 − x7d− α7z7

Control del movimiento lineal en el plano xy

El modelo (3.9) refleja que el movimiento a traves de los ejes x e y depende de la

entrada de control U1. De hecho U1 es el vector de empuje total, disenado para obtener

el movimiento lineal deseado. Si se considera ux y uy las orientaciones de U1 responsables

del movimiento a traves de los ejes x e y, respectivamente, se puede sacar de (3.12) los

angulos de balanceo, φ, y de cabeceo, θ, necesarios para calcular las senales de control uxy uy, satisfaciendo V (z1, z2) < 0.

ux =m

U1(z9 − α9(z10 + α9z9) − α10z10) (3.26)

uy =m

U1(z11 − α11(z12 + α11z11) − α12z12) (3.27)



Los resultados presentados en este apartado sirven para analizar la estrategia de control

propuesta en Bouabdallah y Siegwart (2005). La trayectoria de referencia, condiciones

iniciales y parametros del helicoptero son los mismos presentados en el caso anterior.

Se presentan nuevamente dos resultados, en el primero se considera la incertidumbre

de ±20 % en los parametros de inercia del modelo, sin tener en cuenta perturbaciones

externas. La segunda simulacion se realizo tambien considerando incertidumbres parame-

tricas, y ademas, se consideraron perturbaciones externas, donde se aplicaron escalones

mantenidos en los momentos aerodinamicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm y

en t = 15s se afecto al sistema con Ap = 10Nm. Los parametros de los controladores

se ajustaron con los siguientes valores: α1 = 100, α2 = 1, α3 = 100, α4 = 1, α5 = 100,

α6 = 1, α7 = 100, α8 = 3, α9 = 15, α10 = 3, α11 = 15 y α12 = 3.

En las Figuras 3.11-3.17 se presentan los resultados obtenidos para la estrategia de

control en cuestion.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10

1

2

3

4

5

6

xy

z



control utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.2

0

0.2

0.4

0.6φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1

1.5θ

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ





utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas.


0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

120

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

2500

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−2000

0

2000

4000

6000

8000

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−200

0

200

400

600

tiempo [s]

u4





Figura 3.14: Evolucion temporal de las entradas de control cuando se aplica la estrategia

de control utilizando la tecnica de Backstepping sin perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−4000

−2000

0

2000x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−15000

−10000

−5000

0

5000y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





utilizando la tecnica de Backstepping con perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1

0

1

2φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1

1.5θ

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

tiempo [s]

ψ





utilizando la tecnica de Backstepping con perturbaciones externas.

0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

120

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−2000

−1000

0

1000

2000

3000

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−600

−400

−200

0

200

400

600

tiempo [s]

u4






de control utilizando la tecnica de Backstepping con perturbaciones externas.

A traves de las graficas obtenidas con la estrategia de control presentada en este apar-

tado se observa un buen funcionamiento del helicoptero para el problema de seguimiento

de trayectoria cuando se consideran incertidumbres en los parametros del sistema. Sin

embargo, cuando se aplicaron perturbaciones externas mantenidas, el controlador no fue

capaz de rechazarlas.


Como se muestra en las Figuras 3.15-3.17, el helicoptero se hace inestable y diverge

de la trayectoria de referencia. Cabe destacar que las perturbaciones introducidas en la

simulacion son momentos aerodinamicos. No se consideraron perturbaciones en el sub-

sistema de traslacion.

3.3 Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al., 2008a) 51

3.3. Control Backstepping/H∞ no lineal (Raffo et al.,

2008a)

En este apartado se desarrolla una estrategia de control que tiene como objetivo es-

tabilizar de forma robusta el subsistema de rotacion, siendo capaz de mantener el buen

funcionamiento del helicoptero cuando este esta sujeto a perturbaciones que generan mo-

mentos aerodinamicos.

Para ello se utiliza una ley de control H∞ no lineal que es robusta ante la presencia

de incertidumbres y capaz de rechazar perturbaciones mantenidas. Una vez estabilizado

el subsistema de rotacion, se implementara el controlador del subsistema de traslacion

lineal desarrollado en el Apartado 3.2.2. En el diagrama de bloques de la Figura 3.18 se

representa la estructura de control en cuestion.

H∞

Figura 3.18: Estructura de control Backstepping/H∞ no lineal.

Para desarrollar el controlador se utiliza el modelo obtenido vıa la formulacion de

Lagrange-Euler presentado en el capıtulo 2.

A continuacion se expone una breve introduccion de la teorıa de control H∞ no lineal

aplicada a sistemas mecanicos totalmente actuados, y despues se presenta el controlador

desarrollado para la estabilizacion del helicoptero quadrotor.


3.3.1. Control H∞ no lineal

La ecuacion dinamica de un sistema mecanico suave de orden n, que se ve afectado

por una perturbacion desconocida, puede ser la siguiente:

x = f(x, t) + g(x, t)u + k(x, t)ω , (3.28)

donde u ∈ ℜp es el vector de entradas de control, ω ∈ ℜq es el vector de perturbaciones

externas y x ∈ ℜn es el vector de estados. El desempeno puede ser definido usando la

variable de coste z ∈ ℜ(m+p) dada por la expresion:

z = W

[

h(x)u

]

, (3.29)

donde h(x) ∈ ℜm representa el vector objetivo cuya magnitud se desea controlar, y

W ∈ ℜ(m+p)×(m+p) es una matriz de ponderacion. Si los estados x son accesibles, entonces

se puede formular el problema H∞ optimo de la forma (van der Schaft, 1992):

Hallar el mınimo valor de γ∗ ≥ 0 tal que para cualquier γ ≥ γ∗ exista una realimenta-

cion de estado u = u(x, t), tal que la ganancia L2 de ω a z sea menor o igual que γ, esto

es:∫ T

0

‖z‖22dt ≤ γ2

∫ T

0

‖ω‖22dt . (3.30)

El termino interno de la integral de la izquierda en la desigualdad (3.30) puede ser

escrito como:

‖z‖22 = zTz =

[

hT (x) uT]

WTW

[

h(x)u

]

y la matriz simetrica definida positiva WTW puede ser particionada como:

WTW =

[

Q SST R

]

(3.31)

Las matrices Q y R son simetricas y definidas positivas y el hecho de que WTW > 0

garantiza que Q − SR−1ST > 0.

Bajo estas hipotesis, se puede calcular una senal de control optima u∗(x, t) para el

sistema (3.28) si existe una solucion suave V (x, t), con V (x0, t) ≡ 0 para t ≥ 0, para la

siguiente ecuacion de HJBI (van der Schaft, 2000):

∂V

∂t+∂TV

∂xf(x, t) +

1

2

∂TV

∂x

[

1

γ2k(x, t)kT (x, t)−g(x, t)R−1gT (x, t)

]

∂V

∂x−

−∂TV

∂xg(x, t)R−1STh(x) +

1

2hT (x)

(

Q − SR−1ST)

h(x) = 0

(3.32)


para cada γ >√

σmax(R) ≥ 0, donde σmax significa el maximo valor singular. En tal caso,

la ley de control optimo por realimentacion de estados se obtiene como sigue (W. Feng

and I. Postlethwaite , 1994):

u∗ = −R−1

(

STh(x) + gT (x, t)∂V (x, t)

∂x

)

. (3.33)

Control H∞ no lineal del sub-sistema de rotacion

El controlador H∞ no lineal se utiliza el modelo dinamico para los movimientos de

rotacion (2.42) obtenido a partir de la formulacion de Lagrange-Euler en el Capıtulo 2,

donde τη representa los pares de control y perturbaciones externas. En aras de la claridad,

τη se puede redefinir como:

τη = τηa+ τηd

donde τηarepresenta el vector de pares de control respecto a los momentos de balanceo,

cabeceo y guinada, y τηdrepresenta el resto de la perturbaciones a las cuales esta sujeto

el sistema.

Como primer paso para disenar la ley de control, se define el vector del error de

seguimiento de la siguiente forma:

x =

˙ηη

∫

ηdt

=

η − ηd

η − ηd∫ (

η − ηd)

dt

(3.34)

donde ηd y ηd ∈ ℜn representa la posicion de la trayectoria deseada y la velocidad de

la misma, respectivamente. Notese que en el vector del error se ha incluido un termino

integral que permitira lograr un error nulo en regimen permanente ante perturbaciones

mantenidas aplicadas al sistema (Ortega et al., 2005).

Para el sub-sistema de rotacion se propone la siguiente ley de control:

τηa= M(η)η + C(η, η)η − T1

−1(

M(η)T ˙x + C(η, η)Tx)

+ T1−1u (3.35)

Esta ley de control se puede separar en tres partes: la primera de ellas, consistente en los

dos primeros terminos de la ecuacion, esta destinada a compensar la dinamica del sistema

(2.42). La segunda parte consiste en los terminos que incluyen el vector del error x y su

derivada, ˙x. En caso de que τηd≡ 0, estos dos terminos de la ley de control permitirıan un

seguimiento perfecto, lo cual significa que ellos representan el esfuerzo de control principal

necesario para ejecutar la tarea. Finalmente, el tercer termino incluye un vector u que

representa el esfuerzo de control adicional necesario para rechazar perturbaciones (Ortega

et al., 2005).


En este punto hay que hacer notar que, a pesar de que la ley de control anterior pueda

parecer un sistema mal planteado, posteriormente se mostrara (ver ecuacion (3.42)) que el

par que se calcula no depende de la aceleracion de las coordenadas generalizadas, aunque

sı de la referencia de aceleracion.

La matriz T en (3.35) se puede dividir en los siguientes terminos:

T =[

T1 T2 T3

]

con T1 = ρI, donde ρ es un escalar positivo e I es la matriz identidad de orden n.

Sustituyendo la ecuacion de la ley de control (3.35) en la ecuacion de Lagrange-Euler

que representa al sistema (2.42), y definiendo ω = M(η)T1M−1(η)τηd

, se tiene:

M(η)T ˙x + C(η, η)Tx = u + ω (3.36)

Esta ecuacion representa la ecuacion dinamica del error del sistema. Teniendo en

cuenta esta ecuacion no lineal, el problema de control H∞ no lineal se puede formular

como sigue:

“Hallar una ley de control u(t) tal que la relacion entre la energıa de la variable de

coste z = W[

hT(x) uT]T

y la energıa de las senales de perturbacion ω sea menor que

un nivel de atenuacion preestablecido γ”.

Teniendo en cuenta la definicion del vector de error, x, y la definicion de la variable

de coste, z, se consideran las siguientes estructuras para las matrices Q y S en (3.31):

Q =

Q1 Q12 Q13

Q12 Q2 Q23

Q13 Q23 Q3

, S =

S1

S2

S3

.

Para aplicar los resultados teoricos presentados en el Apartado 3.3.1 es necesario re-

escribir la ecuacion dinamica no lineal del error (3.36) en la forma normal del problema

H∞ no lineal (vease ecuacion (3.28)). Esto puede ser realizado mediante las siguientes

transformaciones:˙x = f(x, t) + g(x, t)u + k(x, t)ω , (3.37)

f (x, t) = T0−1

−M(η)−1C(η, η) 0 0T1

−1 I − T1−1T2 −I + T1

−1(T2 − T3)0 I −I

T0,

g (x, t) = k (x, t) = T0−1

M(η)−1

00


donde I es la matriz identidad, 0 una matriz de ceros, ambos de orden n, y

T0 =

T1 T2 T3

0 I I0 0 I

. (3.38)

Como se expuso en el Apartado 3.3.1, la solucion de la ecuacion de HJBI depende

de la eleccion de la variable de coste, z, y particularmente de la eleccion de la funcion

h(x) (ver (3.29)). En este trabajo, esta funcion se considera igual al vector de error, esto

es, h(x) = x. Una vez elegida esta funcion, para calcular la ley de control, u, hay que

encontrar la solucion, V (x, t), para la ecuacion de HJBI (3.32) planteada en el apartado

anterior. El siguiente teorema ayudara a hallar esta solucion.

Teorema: Sea V (x, t) la funcion escalar:

V (x, t) =1

2xTT0

T

M(η) 0 0

0 Y X− Y

0 X− Y Z + Y

T0x , (3.39)

donde X, Y y Z ∈ ℜn×n son matrices constantes, simetricas, y definidas positivas tal que

Z− XY−1X + 2X > 0, y T0 es como definido en (3.38). Sea T =[

T1 T2 T3

]

la

matriz que aparece en (3.36). Si estas matrices verifican la siguiente ecuacion:

0 Y X

Y 2X Z + 2X

X Z + 2X 0

+ Q +1

γ2TTT −

(

ST + T)T

R−1(

ST + T)

= 0 (3.40)

entonces, la funcion V (x, t) constituye una solucion para la ecuacion de HJBI (3.32), para

un valor suficientemente alto de γ.

La demostracion de este teorema puede encontrarse en Ortega et al. (2005).

⋄

La matriz T =[

T1 T2 T3

]

puede ser calculada resolviendo algunas ecuaciones

algebraicas de Riccati (ver (Ortega et al., 2005)).

Una vez calculada la matriz T, sustituyendo V (x, t) en (3.33), la ley de control u∗

correspondiente al ındice optimo γ, segun el criterio de la ganancia L2, viene dada por la

expresion:

u∗ = −R−1(

ST + T)

x (3.41)


Finalmente, si se sustituye la ley de control (3.41) en (3.35), y tras realizar algunas

manipulaciones matematicas, la ley de control optima puede ser reescrita como:

τ ∗ηa= M(η)ηd + C(η, η)η − M(η)

(

KD˙η + KP η − KI

∫

ηdt

)

(3.42)

donde:

KD = T1−1(

T2 + M(η)−1C(η, η)T1 + M(η)−1R−1(

S1T + T1

))

KP = T1−1(

T3 + M(η)−1C(η, η)T2 + M(η)−1R−1(

S2T + T2

))

KI = −T1−1(

M(η)−1C(η, η)T3 + M(η)−1R−1(

S3T + T3

))

Se puede obtener un caso particular cuando las submatrices de ponderacion que com-

ponen WTW verifiquen (Ortega et al., 2005):

Q1 = ω21I, Q2 = ω2

2I, Q3 = ω23I, R = ω2

uI, (3.43)

Q12 = Q13 = Q23 = 0, S1 = S2 = S3 = 0.

En este caso, se obtienen las siguientes expresiones analıticas para las distintas ganan-

cias:

KD =

√

ω22 + 2ω1ω3

ω1

I + M(η)−1

(

C(η, η) +1

ω2u

I

)

,

KP =ω3

ω1I +

√

ω22 + 2ω1ω3

ω1M(η)−1

(

C(η, η) +1

ω2u

I

)

,

KI =ω3

ω1

M(η)−1

(

C(η, η) +1

ω2u

I

)

.

Estas ecuaciones tienen una propiedad importante: las expresiones de las ganancias

no dependen del parametro γ. Por lo tanto, para este caso particular, se dispone de

expresiones analıticas para calcular la solucion optima (Ortega et al., 2005).

Finalmente, es conveniente senalar que el controlador presentado en este trabajo puede

ser interpretado como un esquema de control de par calculado, con un controlador H∞

no lineal externo.


Para corroborar la eficacia de la estructura de control propuesta utilizando el con-

trolador basado en la tecnica Backstepping junto con el controlador H∞ no lineal para


el problema de seguimiento de trayectoria, considerando la presencia de perturbaciones

externas e incertidumbres parametricas, se han realizado dos conjuntos de simulaciones,

como para los casos anteriores.

La trayectoria de referencia, condiciones iniciales, parametros del helicoptero y tasas

de incertidumbres en los parametros son los mismos que se utilizaron en los demas casos

previamente presentados.

La primera simulacion se ha realizada sin considerar perturbaciones externas. En la

segunda simulacion se ha considerado perturbaciones externas, donde se han aplicado

escalones mantenidos en los momentos aerodinamicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar =

5Nm, en t = 15s se afecto al sistema con Ap = 10Nm, y en t = 25s se aplico la ultima

perturbacion con amplitud de Aq = 10Nm. Los parametros del controlador descrito en

el Apartado 3.2.2 se han ajustado con los siguientes valores: α7 = 100, α8 = 3, α9 = 15,

α10 = 3, α11 = 15 y α12 = 3. Mientras el controlador H∞ no lineal se ha sintonizado con

las siguientes ganancias: ω1 = 1,9, ω2 = 3,0, ω3 = 2,5 y ωu = 0,02

En las Figuras 3.19-3.26 se presentan los resultados obtenidos para la estrategia de

control propuesta.

−0.6−0.4

−0.20

0.20.4

0.6

−0.5

0

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

x [m]y [m]

z [m]

ReferenciaInercia Nominal Inercia +20%Inercia −20%


control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z

ReferenceNominal inertiaInertia +20%Inertia −20%




utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.2

0

0.2

0.4

0.6φ [rad]

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1

1.5θ [rad]

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ [rad]





utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.


0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

120

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−1

0

1

2

3

4x 10

4

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−1000

0

1000

2000

3000

4000

tiempo [s]

u4






de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

−0.6−0.4

−0.20

0.20.4

0.6

−0.6−0.4

−0.20

0.20.4

0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

x [m]y [m]

z [m]

ReferenciaInercia NominalInercia +20%Inercia −20%


control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.2

0

0.2

0.4

0.6φ [rad]

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1

1.5θ [rad]

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ [rad]





utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.


0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

120

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−1

0

1

2

3

4x 10

4

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−1000

0

1000

2000

3000

4000

tiempo [s]

u4






de control utilizando Backstepping/H∞ no lineal con perturbaciones externas.

Se puede notar que la estrategia de control propuesta utilizando el controlador H∞

no lineal en el sub-sistema de rotacion presenta un buen desempeno cuando el helicopte-

ro recibe vientos permanentes actuando como momentos sobre el mismo. La estructura

aplicada mantuvo la robustez, presentada en la estrategia anterior, ante incertidumbres

parametricas.


3.4. CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al.,

2008b)

En este apartado se desarrolla una estructura de control para el problema seguimiento

de trayectoria del helicoptero quadrotor utilizando una estrategia de control predictivo

basado en modelo para el sub-sistema de traslacion, en cascada con el controlador H∞ no

lineal para el sub-sistema de rotacion, presentado en el Apartado 3.3.1 (vease la Figura

3.27).

H∞

Figura 3.27: Estructura de control CPBM con H∞ no lineal.

El control del sub-sistema de traslacion lineal se realiza mediante una estrategia de

control predictivo lineal que utiliza linealizaciones sucesivas para obtener el modelo del

error en cada paso de muestreo. Esta estrategia es ventajosa cuando el helicoptero recorre

un trayecto previamente calculado, ası, como se destaca en Camacho y Bordons (1998),

el control predictivo es bastante favorable en robotica y en procesos en lote, cuando la

trayectoria de referencia futura es conocida a priori.

A continuacion se presenta el controlador predictivo utilizado para el seguimiento de

trayectoria aplicado al helicoptero quadrotor.

3.4.1. Estrategia de CPBM para seguimiento de trayectoria

El controlador que se desarrolla aquı utiliza el metodo de cpbm lineal en espacio de

estados a traves del modelo del error, el cual se obtiene realizando linealizaciones sucesivas

3.4 CPBM con control H∞ no lineal (Raffo et al., 2008b) 63

a lo largo de la trayectoria de referencia.

Se sintetizan dos controladores predictivos para el sub-sistema de traslacion. En el

primer paso se controla la altura a traves de la entrada U1, mientras que en el segundo

paso se utiliza esta senal como parametro variante con el tiempo para calcular las entradas

virtuales para el movimiento lineal en el plano xy.

Antes de desarrollar el controlador para el helicoptero se introduce el concepto del

metodo de cpbm lineal en espacio de estados.

Control predictivo utilizando espacio de estados

Considerando que la referencia es conocida en cualquier instante futuro de la tra-

yectoria, es posible, a traves de linealizaciones sucesivas a lo largo de la trayectoria de

referencia, obtener una descripcion lineal y variante en el tiempo del modelo del sistema

(Raffo, 2005). Ası, el modelo en espacio de estados discreto y variante en el tiempo usado

por el algoritmo en cuestion para obtener las predicciones futuras esta dado por:

x(k + 1) = A(k) · x(k) + B(k) · u(k)y(k) = C(k) · x(k) . (3.44)

Por lo tanto, considerando el sistema de arriba y los horizontes de prediccion, N2, y de

control, Nu, las predicciones de los estados estan descritas como sigue (Rossiter, 2003):

x = Px(k|k) · x(k|k) + Hx(k|k) · uy = P(k|k) · x(k|k) + H(k|k) · u , (3.45)

con

x∆=

x(k + 1|k)x(k + 2|k)

...x(k +N2 − 1|k)x(k +N2|k)

, y∆=

y(k + 1|k)y(k + 2|k)

...y(k +N2 − 1|k)y(k +N2|k)

, u∆=

u(k|k)u(k + 1|k)

...u(k +Nu− 2|k)u(k +Nu− 1|k)

y

Px(k|k) ∆=

A (k |k )A (k |k )A (k + 1 |k )

...α(k, 0, 2)α(k, 0, 1)

,

Hx(k|k) ∆=

B(k|k) 0 · · · 0A(k + 1|k) · B(k|k) B(k + 1|k) · · · 0

......

. . ....

α(k, 1, 2) · B(k|k) α(k, 2, 2) · B(k + 1|k) · · · 0α(k, 1, 1) · B(k|k) α(k, 2, 1) · B(k + 1|k) · · · B(k +Nu− 1|k)

,


donde α(k, j, l) esta definido como:

α(k, j, l)∆=

N2−l∏

i=j

A(k + i|k) . (3.46)

Estas ecuaciones de prediccion no consideran el modelo de perturbacion de forma

explıcita. Sin embargo, la accion integral puede ser incluida en el modelo para garantizar

error nulo en regimen permanente de la siguiente manera:

u = −K(x − xr) + ur , (3.47)

donde xr y ur son, respectivamente, los valores de referencia calculados fuera de lınea de

los estados y entradas de control, y estan definidos por:

xr∆=

xr(k + 1|k)xr(k + 2|k)

...xr(k +N2 − 1|k)xr(k +N2|k)

, ur∆=

ur(k|k)ur(k + 1|k)

...ur(k +Nu − 2|k)ur(k +Nu − 1|k)

.

Ası, dada una ley de control que garantice que

lımk→∞

x(k) = xr(k)u(k) = ur(k)

,

entonces y(k) = yr(k), donde yr es la trayectoria de referencia.

Usando la ecuacion de prediccion (3.45) y considerando que los estados y entradas de

referencia son conocidos se puede asegurar que el mınimo de la funcion de coste, dada por

(3.48), es consistente con error cero de seguimiento (Rossiter, 2003), donde se minimiza

la funcion de coste en forma de una norma-2 ponderada por Q y R:

J =N2∑

j=1

‖yr(k + j|k) − y(k + j|k)‖2Q +

Nu−1∑

j=0

‖u(k + j|k) − ur(k + j|k)‖2R . (3.48)

Se acepta frecuentemente que la funcion de coste es consistente con error cero de

seguimiento, teniendo que Q agrega terminos de la forma C′C, donde yr−y = C(xr−x).

La funcion de coste (3.48) puede ser escrita y optimizada de la siguiente forma:

mınuJ = [x − xr]

′ Q [x − xr] + [u − ur]′ R [u− ur] , (3.49)

la cual penaliza los desvıos a partir del valor de regimen permanente. Esta difiere de

la funcion del gpc (Generalized Predictive Control), pues optimiza la distancia de las


entradas al valor de regimen permanente, al reves de los incrementos de la senal de control.

Las matrices de ponderacion de los estados, Q, y de las entradas, R, son positivas definidas

y diagonales (Rossiter, 2003).

En ausencia de restricciones en los estados y en el control, la ley de control puede ser

obtenida de forma algebraica minimizando la funcion de coste (3.49), la cual resulta ser

una realimentacion de estados, dada por:

u = [H′x ·Q · Hx + R]

−1 · [H′x · Q · (xr −Px · x(k)) + R · ur] . (3.50)

Debido a la caracterıstica de horizonte deslizante del cpbm, solamente u(k) es necesario

en cada instante k (Camacho y Bordons, 1998).

CPBM utilizando modelo del error para movimiento lineal en el plano xy

En el primer paso se define el modelo del error para las dinamicas de traslacion del

helicoptero quadrotor. Para obtenerlo se considera la existencia de un helicoptero de re-

ferencia virtual sobre la trayectoria a seguir, la cual sera descrita por el mismo modelo

del vehıculo, en el caso, el modelo de traslacion. Para esto, se considera que la trayectoria

de referencia se obtiene fuera de lınea y varıa con el tiempo. El objetivo de utilizar esta

estrategia, para entradas de referencia no-nulas, es calcular una ley de control lineal que

haga que el error entre el vehıculo y la referencia sea nulo (Nelson y Cox, 1988).

Como el controlador predictivo sera usado solo para el control de los movimientos de

traslacion, se utiliza el modelo descrito por la ecuacion (2.41) considerando las fuerzas

aerodinamicas nulas. Este sub-sistema se reescribe de la forma del espacio de estados˙x(t) = f(x(t), u(t)), donde x(t) = [z(t) w0(t) x(t) u0(t) y(t) v0(t)]

T .

A traves de un cambio de variables se suponen entradas virtuales de control para el

movimiento lineal en el plano xy, y el sistema (2.41) con el nuevo vector de estados se

puede escribir de la siguiente forma:

˙x(t) = f(x(t), u(t)) =

w0(t)

−g + (cos θ(t) cosφ(t))U1(t)

mu0(t)

ux(t)U1(t)

mv0(t)

uy(t)U1(t)

m

(3.51)

con:ux(t) = (cosψ(t) sin θ(t) cosφ(t) + sinψ(t) sinφ(t))uy(t) = (sinψ(t) sin θ(t) cosφ(t) − cosψ(t) sinφ(t))

(3.52)


A partir de (2.41) se puede ver que el movimiento a traves de los ejes x y y dependen de

la entrada U1. De hecho, U1 es el vector de empuje total designado a obtener el movimiento

de traslacion deseado. Ası, ux y uy se puede considerar como las orientaciones de U1

responsables de los movimientos a traves de los ejes x y y, respectivamente.

Para obtener el modelo del error se define un robot de referencia con el mismo modelo

del vehıculo:

˙xref (t) = f(xref (t), uref (t)) =

w0ref(t)

−g + (cos θ(t) cos φ(t))U1ref

(t)

mu0ref

(t)

uxref(t)U1(t)

mv0ref

(t)

uyref(t)U1(t)

m

(3.53)

donde ˙xref(t) = [zref(t) w0ref(t) xref (t) u0ref

(t) yref(t) v0ref(t)]T y uref (t) =

[U1refuxref

uyref]T son los estados y las entradas de control de referencia, respectiva-

mente.

Como se puede ver, en las dinamicas de xref y yref no se utiliza la senal de control

U1ref, pues con el procedimiento utilizado, que sera presentado a continuacion, la senal

de control U1 viene dada por el controlador de la altura y se considera en este paso como

un parametro variante con el tiempo. Lo mismo se considera para los angulos φ(t), θ(t),

ψ(t), los cuales se suponen parametros variantes con el tiempo.

El modelo linealizado puede ser obtenido a traves de un modelo del error entre el

sistema (3.51) y el sistema de referencia (3.53). Para ello, se expande el termino derecho

de la ecuacion (3.51) a traves de Series de Taylor en torno a un punto de operacion de la

trayectoria de referencia y se desprecian los terminos de orden superior. Ası, se tiene:

˙x(t) = f(xref (t), uref (t), t) +∂f(x(t), u(t), t)

∂x(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· (x(t) − xref (t))

+∂f(x(t), u(t), t)

∂u(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· (u(t) − uref (t)). (3.54)

Sustrayendo la ecuacion (3.53) de la (3.54) se obtiene el modelo del error de traslacion

para el helicoptero propuesto:

˙x(t) =∂f(x(t), u(t), t)

∂x(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· x(t) +∂f(x(t), u(t), t)

∂u(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· u(t) , (3.55)

donde x(t) = x(t) − xref (t) representa el error con respecto al modelo de referencia y


u(t) = u(t) − uref (t) es la perturbacion de la entrada de control. Ası, como:

A(t) =∂f(x(t), u(t), t)

∂x(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

=

0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

(3.56)

B(t) =∂f(x(t), u(t), t)

∂u(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

=

0 0 01

mcos θ(t) cosφ(t) 0 0

0 0 0

0U1(t)

m0

0 0 0

0 0U1(t)

m

, (3.57)

son los jacobianos de (3.51) con respecto a x(t) y u(t), respectivamente, calculados en

torno al punto (xref (t), uref (t), t). El modelo del error dado por (3.55) se puede escribir

de la siguiente manera:˙x(t) = A(t) · x(t) + B(t) · u(t) . (3.58)

A traves del metodo de discretizacion de Euler, se tiene el siguiente modelo discreto

lineal variante con el tiempo:

x(k + 1) = A(k) · x(k) + B(k) · u(k) , (3.59)

con

A(k) =

1 T 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 T 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 T0 0 0 0 0 1

(3.60)

B(k) =

0 0 0T

mcos θ(t) cosφ(t) 0 0

0 0 0

0TU1(t)

m0

0 0 0

0 0TU1(t)

m

, (3.61)

donde T es el perıodo de muestreo y, como la senal de control es actualizada solamente

en los instantes de tiempo tk = kT , siendo k el instante de muestreo, se denota de forma

simplificada como x(k) = x(kT ) y u(k) = u(kT ).


A partir de este analisis, el problema de seguimiento de trayectoria para un helicoptero

autonomo puede ser entendido como: encontrar las entradas de control, dentro de un

intervalo de valores posibles, de tal forma que permitan llevar los estados del sistema

(3.58) de una condicion inicial x0 hasta el origen (Sun, 2005), esto es:

limt→∞

x = 0 .

Por consiguiente, para calcular el controlador predictivo basado en el modelo del error

(3.55), teniendo en cuenta que las dinamicas de traslacion dependen solo de la fuerza de

empuje, U1, este se divide en dos sub-sistemas: el del error de altura y el del error de

movimiento en el plano xy, y son dados por:

xz (k + 1) =

[

1 10 T

] [

z(k)w0(k)

]

+

[

0Tm

cos θref(k) cosφref(k)

]

U1(k) (3.62)

xxy(k + 1) =

1 T 0 00 1 0 00 0 1 T0 0 0 1

x(k)u0(k)y(k)v0(k)

+

0 0TmU1(k) 00 00 T

mU1(k)

[

ux(k)uy(k)

]

(3.63)

Ası, utilizando el modelo de la altura , se reescribe primero la ley de control predictivo

descrita en (3.50) en funcion de (3.62):

U1 = [Hz′ · Qz · Hz + Rz]

−1 ·[

Hz′ · Qz · (xzr

− Pz · xz(k)) + Rz · U1r

]

, (3.64)

con los errores de los estados de referencia calculados como la diferencia del valor de la

referencia futura en relacion al actual y, los errores de las entradas de referencia como la

diferencia del valor futuro en relacion al valor en el paso anterior. Por lo tanto, se tiene:

xzr

∆=

xzr(k + 1|k) − xzr

(k|k)xzr

(k + 2|k) − xzr(k|k)

...xzr

(k +N2 − 1|k) − xzr(k|k)

xzr(k +N2|k) − xzr

(k|k)

;

U1ref

∆=

U1ref(k|k) − U1ref

(k − 1|k)U1ref

(k + 1|k) − U1ref(k − 1|k)

...U1ref

(k +Nu − 2|k) − U1ref(k − 1|k)

U1ref(k +Nu − 1|k) − U1ref

(k − 1|k)

.

A partir de (3.64) se obtiene U1(k) = U1(k) + U1ref(k), y con esto se pasa al proximo

paso, donde se calculan las entradas virtuales de control para el movimiento en el plano


xy. La ley de control se obtiene con el procedimiento anterior, utilizando el modelo del

error (3.63), y esta dada por:

uxy = [Hxy′ · Qxy · Hxy + Rxy]

−1 ·[

Hxy′ · Qxy ·

(

xxyr−Pxy · xxy(k)

)

+ Rxy · uxyr

]

,

(3.65)

donde uxy = [ux(k) uy(k)]T , y

[

ux(k)uy(k)

]

=

[

ux(k)uy(k)

]

+

[

uxref(k)

uyref(k)

]

Los estados y entradas de control del error de referencia se obtienen de la misma

manera que para el caso del controlador de la altura.

A partir de ux(k) y uy(k), y con la relacion dada por (3.52) se obtiene la referencia

de los angulos de balanceo (roll), φ(k), y cabeceo (pitch), θ(k), que son utilizados como

referencia por el controlador H∞ no lineal en los movimientos de rotacion del helicoptero.


Para comprobar el desempeno de esta estrategia de control en la tarea de seguimien-

to de trayectoria, teniendo en cuenta perturbaciones externas e incertidumbres en los

parametros, se han realizado diversas simulaciones.

Nuevamente se utilizo el mismo protocolo para presentar los resultados, utilizando la

misma trayectoria de referencia, condiciones iniciales, parametros del helicoptero y tasas

de incertidumbres de los casos anteriores. Ası que, la primera simulacion se ha realizado

sin considerar perturbaciones externas, ası como, la segunda simulacion se consideraron

perturbaciones externas, donde se aplicaron escalones mantenidos en los momentos aero-

dinamicos, o sea, en t = 5s se introdujo Ar = 5Nm, en t = 15s se afecto el sistema con

Ap = 10Nm, y en t = 25s se aplico la ultima perturbacion con amplitud de Aq = 10Nm. Se

utilizaron las mismas ganancias del controlador H∞ no lineal del caso anterior: ω1 = 0,05,

ω2 = 0,5, ω3 = 3,5 y ωu = 0,02. Para el cpbm se ajustaron los parametros como sigue:

N2z= Nuz

= 3Inz , Qz =

[

1 00 1

]

, Rz = 0,01

N2xy= Nuxy

= 3Inxy , Qxy =

5 0 0 00 1 0 00 0 5 00 0 0 1

, Rxy =

[

150 00 150

]

y se considero un periodo de muestreo de T = 0,1s.

Las Figuras 3.28 - 3.35 presentan los resultados logrados a partir de la estructura de

control con cpbm y H∞ no lineal.


−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

xy

z



control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.04

−0.02

0

0.02φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.05

0

0.05

0.1

0.15θ

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ





utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.

0 10 20 30 400

5

10

15

20

25

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−500

0

500

1000

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

tiempo [s]

u4






de control utilizando cpbm y H∞ no lineal sin perturbaciones externas.


−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

xy

z



control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.04

−0.02

0

0.02

0.04φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.05

0

0.05

0.1

0.15θ

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ





utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas.

0 10 20 30 400

5

10

15

20

25

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−1500

−1000

−500

0

500

1000

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

2000

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

tiempo [s]

u4






de control utilizando cpbm y H∞ no lineal con perturbaciones externas.

Se puede ver que la estrategia de control propuesta utilizando el controlador H∞ no

lineal en el sub-sistema de rotacion mantuvo el buen desempeno del caso anterior cuando

el helicoptero recibe vientos permanentes actuando como momentos sobre el mismo. En

el control de los movimientos de traslacion el cpbm presento un seguimiento de la tra-

yectoria mas suave, principalmente en el inicio del trayecto, donde el helicoptero parte de


una condicion distinta de la trayectoria. Esto se puede justificar porque tal controlador

considera, en el calculo de la senal de control, la referencia futura, y ası, intenta prede-

cir el camino suavizando el desplazamiento. Ademas, esta estructura de control tambien

tiene una buena robustez ante incertidumbres parametricas, al igual que la estrategia

presentada anteriormente.

3.5 Control robusto H∞ de los seis grados de libertad 75

3.5. Control robusto H∞ de los seis grados de libertad

En este apartado se presenta una estrategia de control robusto de los seis grados

de libertad utilizando la teorıa de control H∞ para resolver el problema de seguimiento

de trayectoria. Con esta estructura se busca que el sistema sea robusto ante cualquier

tipo de perturbacion, inclusive la mantenida, y considerando todos los parametros con

incertidumbres.

Al igual que en el apartado anterior, en este se desarrolla solamente el controlador

para los movimientos de traslacion lineal del helicoptero. Para esto se propone un contro-

lador H∞ lineal con realimentacion de estados vıa formulacion de lmis, y disenado para

sistemas inciertos. Para la estabilizacion de los movimientos rotacionales se ha utilizado

el controlador H∞ no lineal vıa teorıa de juegos presentado en el Apartado 3.3 (vease la

Figura 3.36).

H∞

H∞

Figura 3.36: Estructura de control robusto H∞ de los seis grados de libertad.

A continuacion se hace una breve introduccion del control H∞ lineal y su formulacion

vıa lmis para realimentacion de estados. Para finalizar, se presentan algunos resultados

de simulacion.

3.5.1. Control H∞ lineal

Se pueden describir un gran numero de controladores de importancia practica usando

diagramas de bloques como se presenta en la Figura 3.37. El problema de diseno del


controlador puede ser formulado como un problema de optimizacion H∞. En esta figura,

P (s) es la planta generalizada, K(s) es el controlador, u son las senales de control, v las

variables medibles, ω las senales exogenas y z son las variables de error de interes.

Figura 3.37: Formulacion General del problema de control (Ortega y Rubio, 2004).

La norma H∞ de la funcion de transferencia en bucle cerrado de ω a z, Hωz, se define

como la mayor ganancia de su respuesta en frecuencia. Una de las maneras de determinar la

norma H∞ de un sistema nominal es a traves de su respuesta en frecuencia. Para sistemas

siso se puede utilizar el diagrama de Bode para obtener la maxima ganancia del sistema

con respecto a todas las frecuencias. Por otra parte, en el caso mimo la idea de modulo no

se aplica y debe ser sustituida por la norma espectral de la matriz de transferencia, donde

la respuesta frecuencial puede ser obtenida a traves de la nocion de la descomposicion en

valores singulares. Ası, para sistemas siso la norma H∞ puede ser descrita como el pico

de resonancia de la respuesta en frecuencia, que es la mayor ganancia que el sistema es

capaz de ofrecer a la senal de entrada,

‖Hωz(s)‖∞ = maxω

|H(jω)| = Mr . (3.66)

y para sistemas mimo, a traves de un diagrama de Bode que se puede obtener para la

funcion ‖Hωz(jω)‖∞ = σHωz(jω), la norma H∞ del sistema corresponde al maximo

pico de resonancia de esa funcion dando origen a la funcion:

‖Hωz(s)‖∞ = supω

σ Hωz(jω) (3.67)

Como ya se ha dicho, la norma H∞ de un sistema representa la mayor ganancia de

su respuesta en frecuencia y tambien puede verse como la mayor ganancia en terminos

de energıa que el sistema puede ofrecer a una senal de entrada. Esta interpretacion es

bastante util y provee una definicion alternativa para la norma H∞. Por el teorema de

Parseval se tiene:

‖w(t)‖22 =

1

2π

∫ ∞

0

W (jω) ∗W (jω)dω , ‖z(t)‖22 =

1

2π

∫ ∞

0

Z(jω) ∗ Z(jω)dω

donde W (jω), Z(jω) son las transformadas de Fourier de las senales ω(t), z(t). Como


Z(jω) = Hωz(jω)W (jω) se tiene:

‖z(t)‖22 =

1

2π

∫ ∞

0

W (jω) ∗Hwz(jω) ∗W (jω) ∗Hwz(jω)dω

≤ 1

2π

∫ ∞

0

(σ Hwz(jω))2W (jω) ∗W (jω)dω

≤(

supω

σ Hwz(jω))2

1

2π

∫ ∞

0

W (jω) ∗W (jω)dω

(3.68)

Esta ultima expresion se puede escribir en la siguiente forma:

‖z(t)‖2 ≤ ‖Hwz(s)‖∞ ‖w(t)‖2

donde se nota que la norma H∞ de un sistema tambien puede verse como la mayor

ganancia en terminos de energıa que el sistema puede ofrecer a una senal de entra-

da. Si se elige la senal de entrada W (jω) adecuadamente puede tenerse la igualdad

‖z(t)‖2 = ‖Hwz(s)‖∞ ‖w(t)‖2. Para ello basta elegir ω(t) = V0sen(ω0t)GT (t) donde V0

es el autovector de Hwz(jω0)∗Hwz(jω0) correspondiente a su mayor autovalor, ω0 es la

frecuencia donde se da el supω σ Hωz(jω) y GT (t) es la funcion puerta que define el

truncamiento de la senal para T suficientemente grande. Los elementos del vector V0 son

las amplitudes de los senos de cada componente del vector ω(t). A partir de esta relacion

se puede definir la version en el dominio del tiempo de la norma H∞ como (Trofino et al.,

2003):

‖Hwz(s)‖∞ = supw 6=0

‖z(t)‖2

‖w(t)‖2

(3.69)

El problema de control H∞ optimo con esta configuracion consiste en calcular un

controlador que minimice la tasa γ entre la energıa de la variable de coste z y la energıa

del vector de los senales exogenos ω. Este problema optimo no esta resuelto aun, pero

la solucion existe para el problema sub-optimo (Ortega y Rubio, 2004), donde una idea

muy comun consiste en determinar numericamente un lımite superior γ para ‖Hωz(s)‖∞utilizando la definicion (3.69), o sea, se busca un escalar positivo tal que:

‖Hwz(s)‖∞ < γ . (3.70)

Se limita el tratamiento a los controladores sub-optimos, ya que encontrar controlado-

res H∞ optimos es una tarea difıcil, y en la practica, esos controladores pueden presentar

propiedades indeseables y los calculos pueden conducir a problemas numericos (Sanchez-

Pena y Sznaier, 1998).

Ası, para el problema H∞ sub-optimo la tasa de energıa γ puede ser calculada como la

norma H∞ de la matriz de transferencia en bucle cerrado de ω para z, Hωz(s), buscando


el mınimo a traves de un proceso iterativo (Ortega et al., 2006). Este problema se puede

resolver de distintas maneras, como por ejemplo por la ecuacion de Riccati, por la matriz

Hamiltoniana o por lmi (Trofino et al., 2003).

En este trabajo se resuelve el problema H∞ sub-optimo a traves de la formulacion por

lmis, que sera presentada a continuacion.

3.5.2. Control H∞ con realimentacion de estados vıa lmis

Inicialmente, se presenta como determinar la norma H∞ vıa lmi (Trofino et al., 2003).

Observese que la condicion deseada:

‖Hwz(s)‖∞ = supw 6=0

‖z(t)‖2

‖w(t)‖2

= supw 6=0

√

∫ ∞

0

z(t)′z(t)

w(t)′w(t)dt < γ , (3.71)

se puede reescribir como ya se presento para el caso no lineal, de la siguiente forma:∫ ∞

0

z(t)′z(t)dt < γ2

∫ ∞

0

w(t)′w(t)dt . (3.72)

Como el sistema es exponencialmente estable y las condiciones iniciales son nulas, se

considera el problema de determinar una funcion de Lyapunov V (x) = x(t)′Px(t), donde

la matriz P es una matriz simetrica definida positiva, tal que:

V (x) + z(t)′z(t) − γ2w(t)′w(t) < 0 , (3.73)

donde V (x) es la derivada de V (x) para las trayectorias del sistema. Observese que si se

encuentra V (x) que satisfaga la condicion (3.73) entonces se satisface (3.71) por tanto

(3.72). El interes de la condicion anterior es que se puede expresar como una lmi.

Ası, para la sıntesis de un controlador H∞ con realimentacion de estados vıa lmis se

considera el siguiente sistema lineal:

x (t) = Ax (t) +Bu (t) +Bωω (t)z (t) = Czx (t) +Duzu (t) +Dωzω (t)u(t) = Kx(t)

(3.74)

donde x(t) ∈ ℜn representa el vector de estados, u(t) ∈ ℜm la senal de control, A, Bu y

Bω son matrices del sistema con dimensiones apropiadas, Cz, Duz y Dωz son matrices de

ponderacion con dimensiones apropiadas y K es una matriz de ganancia del controlador

a ser determinada.

En bucle cerrado el sistema (3.74) se queda:

x (t) = (A+BK)x (t) +Bωω (t)z (t) = (Cz +DuzK)x (t) +Dωzω (t)

(3.75)


Utilizando la expresion (3.73), poniendo el sistema (3.75) en esta formulacion, utili-

zando el complemento de Schur y algunos cambios de variables, entonces la norma H∞

del sistema (3.75) esta dada por el siguiente problema de optimizacion:

mınQ,Y

γ :

Q > 0,

AQ+QA′ +BY + Y ′B′ Bω QC ′z + Y ′D′

ωz

B′ω −γInω

D′ωz

CzQ+DωzY Dωz −γInz

< 0(3.76)

El resultado anterior se resume a traves del siguiente teorema.

Teorema: Considere el sistema lineal en (3.75). Suponga que las matrices Q = Q′ y

Y de dimensiones apropiadas y el escalar γ sean la solucion del problema de optimizacion

definido en (3.76).

Entonces el sistema (3.75) con K = Y Q−1 es asintoticamente estable y la norma H∞

del sistema en bucle cerrado satisface ‖Hωz(s)‖∞ ≤ √γ.

La formulacion del control H∞ con realimentacion de estados para un sistema incierto

se presenta a continuacion. Debe considerarse que las incertidumbres estan confinadas

en un politopo de vertices conocidos, pues en las lmis aquı presentadas las matrices del

sistema aparecen de forma afın en las expresiones. Este hecho permite utilizar propiedades

de convexidad para trabajar con los vertices del politopo.

Considere el sistema incierto:

x (t) = A (δ) x (t) +Bu (δ)u (t) +Bw (δ)w (t)z (t) = Cz (δ) x (t) +Duz (δ) u (t) +Dwz (δ)w (t)u(t) = Kx(t) δ ∈ ∆

(3.77)

donde δ ∈ ℜq es el vector de los parametros con incertidumbres y ∆ = Cov1, . . . , v2q es

un politopo de vertices vi conocidos. Las matrices A (δ), Bu (δ), Bω (δ), Cz (δ), Duz (δ),

Dωz (δ) son funciones afines de δ. Los demas vectores son los mismos definidos anterior-

mente. Ası, se tiene:

mınQ,P

γ :

Q > 0,

A(δ)Q+QA(δ)′ +B(δ)Y + Y ′B(δ)′ ∗ ∗Bω(δ)

′ −γInz∗

Cz(δ)Q+Dωz(δ)Y Dωz(δ) −γInz

< 0(3.78)

donde ∗ representa los terminos que pueden ser deducidos por simetrıa. Ademas, debido


a la convexidad, las lmis anteriores son equivalentes al conjunto de 2q lmis:

mınPγ :

Q > 0,

A(v1)Q+QA(v1)′ +B(v1)Y + Y ′B(v1)

′ ∗ ∗Bω(v1)

′ −γInω∗

Cz(v1)Q+Dωz(v1)Y Dωz(v1) −γInz

< 0

...

A(v2q)Q+QA(v2q )′ +B(v2q)Y + Y ′B(v2q)′ ∗ ∗Bω(v2q)′ −γInω

∗Cz(v2q)Q+Dωz(v2q)Y Dωz(v2q) −γInz

< 0

(3.79)

obtenidos de (3.78) con δ = vi para i = 1, . . . , 2q, donde vi son los vertices del politopo ∆.

3.5.3. Control H∞ de los movimientos de traslacion

Para disenar el controlador de los movimientos de traslacion se utiliza el modelo del

error (3.55), presentado en el Apartado 3.4. Sin embargo, para obtener una ley de control

robusta, este modelo considera las perturbaciones aerodinamicas de traslacion que afec-

tan el helicoptero quadrotor. Ası, el modelo del error de traslacion obtenido a partir del

sub-sistema (2.41), reescrito a traves del mismo procedimiento utilizado anteriormente y

considerando el vector de perturbaciones ω(t) = [Az Ax Ay]T esta dado por:

˙x(t) =∂f(x(t), u(t), ω(t), t)

∂x(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· x(t) +∂f(x(t), u(t), ω(t), t)

∂u(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· u(t)

+∂f(x(t), u(t), ω(t), t)

∂ω(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

· ω(t)

,

(3.80)

donde x(t), u(t), xref (t) y uref (t) son los mismos vectores definidos en el apartado anterior,

y ωref (t) = [AzrefAxref

Ayref]T = 0 son las perturbaciones externas de referencia. Ası,

las matrices A(t) y Bu(t) son los jacobianos con respecto a x(t) y u(t) definidos en (3.56)

y (3.57), respectivamente, y:

Bω(t) =∂f(x(t), u(t), ω(t), t)

∂ω(t)

∣

∣

∣

∣ x=xrefu=uref

=

0 0 01

m0 0

0 0 0

01

m0

0 0 0

0 01

m

, (3.81)

es el jacobiano con respecto a ω(t), todos calculados en torno al punto (xref (t),

uref (t), ωref (t), t). El modelo del error dado por (3.80) considerando los terminos de per-


turbacion se puede escribir de la siguiente manera:

˙x(t) = A(t) · x(t) + Bu(t) · u(t) + Bω(t) · ω(t) . (3.82)

Siendo ası, a partir del modelo del error de traslacion (3.82) y utilizando la sıntesis de

control H∞ con realimentacion de estados para sistemas inciertos vıa lmis se calcula la

ley de control para resolver el problema de seguimiento de trayectoria de forma robusta.

Como se realizo para el caso del cpbm, se divide el modelo del error de los movimientos

de traslacion en dos sub-sistemas. Ası, se disenan dos controladores H∞ lineales para el

sub-sistema de traslacion. El primero controla la altura a traves de la entrada U1, mientras

el segundo utiliza esta senal como parametro variante con el tiempo para calcular las

entradas virtuales para el movimiento lineal en el plano xy.

Por otro lado, utilizando el modelo del error (3.82) para disenar un controlador por

realimentacion de estados no serıa posible rechazar perturbaciones externas mantenidas.

Ası, para tener esto en cuenta, se considera el siguiente vector del error aumentado:

x =

zw0∫

zxu0∫

xyv0∫

y

=

z − zrefw0 − w0ref∫

(z − zref)dtx− xrefu0 − u0ref

∫

(x− xref)dty − yrefv0 − v0ref

∫

(y − yref)dt

(3.83)

Notese que en el vector del error se ha incluido un termino integral. Este termino

permitira lograr un error nulo en regimen permanente cuando se apliquen perturbaciones

mantenidas al sistema (Ortega et al., 2005).

Por consiguiente, para calcular los controladores basados en el modelo del error (3.82)

y con el vector del error aumentado se tienen los siguientes modelos:

xz (t) =

0 1 00 0 01 0 0

[

z(t)w0(t)

]

+

01m

cos θ(t) cosφ(t)0

U1(1) (3.84)

xxy(t) =

0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0

x(t)u0(t)y(t)v0(t)

+

0 01mU1(t) 00 00 00 1

mU1(t)

0 0

[

ux(k)uy(k)

]

(3.85)


En primer lugar se realiza el control de la altura. Para ello se reescribe el modelo

del error de la altura (3.62) de la forma del sistema incierto (3.77), donde se tienen las

siguiente matrices:

Az(δ(t)) =

0 1 00 0 01 0 0

Buz(δ(t)) =

01m

cos θ(t) cosφ(t)0

Bωz(δ(t)) =

01m

0

Czz(δ(t)) =

2 0 00 2 00 0 5

Duzz(δ(t)) =

010

Dωzz(δ(t)) =

011

(3.86)

donde δ(t) = [φ(t) θ(t)]′ es el vector de parametros inciertos. Los posibles valores para

los parametros estan dentro de un conjunto compacto definido por δ(t) ∈ [−45, 45] ×[−45, 45]. ∆ = Co v1, . . . , v4 es un politopo de vertices vi conocidos.

El sistema en bucle cerrado entre la variable de interes z y la perturbacion ω es:

˙xz = (A(δ) + Bu(δ)Kz) xz + Bωωz = (Czz

+ DuzzKz) xz + Dωzz

ω(3.87)

La sıntesis del controlador H∞ se realiza conforme a la formulacion presentada en

el Apartado 3.5.2 minimizando la expresion (3.76). Para el sistema (3.86) se obtiene la

siguiente ley de control por realimentacion de estados:

Kz = YQ−1

U1 = Kzxz

(3.88)

Para resolver este problema se ha utilizado el toolbox Linear Matrix Inequalities de

MatLabr. El valor mınimo de atenuacion encontrado fue de γ = 1,4205. La matriz Kz se

obtuvo con los siguientes valores:

Kz = 1e3 ∗ [−2,5315 − 0,9752 − 2,9480]

A partir de (3.88) se obtiene U1(t) = U1(t) + U1ref(t), y con esto se pasa al proximo

paso, donde se calculan las entradas virtuales de control para el movimiento en el plano

xy. El modelo del error del movimiento en el plano xy se reescribe con las siguientes


matrices:

Axy(δ(t)) =

0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0

Buxy(δ(t)) =

0 01mU1(t) 00 00 00 1

mU1(t)

0 0

Bωxy(δ(t)) =

0 01m

00 00 00 1

m

0 0

Czxy(δ(t)) =

15 0 0 0 0 00 5 0 0 0 00 0 10 0 0 00 0 0 15 0 00 0 0 0 5 00 0 0 0 0 10

Buzxy(δ(t)) =

0 01 010 00 00 10 10

Dωzxy(δ(t)) =

0 01 01 00 00 10 1

(3.89)

donde δ(t) = [U1(t)]′ es el vector de parametros inciertos. Para este controlador se con-

sidero solamente el valor de U1 en vuelo con velocidad vertical constante, que es de

U1 = m ∗ g = 6,867N . Ası que, solo dos lmis se usan en la optimizacion.

La ley de control se obtiene a traves del mismo procedimiento anterior, utilizando el

modelo del error (3.89), y esta dada por:

Kxy = YQ−1

uxy1 = Kxyxxy

(3.90)

donde uxy(t) = [ux(t) uy(t)]T , y

[

ux(t)uy(t)

]

=

[

ux(t)uy(t)

]

+

[

uxref(t)

uyref(t)

]

El valor de atenuacion mınimo encontrado fue de γ = 1,4155. La matriz Kxy se obtuvo

con los siguientes valores:

Kxy =

[

−5,1856 −1,8603 −3,2612 0 0 00 0 0 −5,1856 −1,8603 −3,2612

]

A partir de ux(t) y uy(t), y con la relacion dada por (3.52) se obtiene la referencia

de los angulos de balanceo (roll), φ(t), y cabeceo (pitch), θ(t), que son utilizados como

referencia por el controlador H∞ no lineal en los movimientos de rotacion del helicoptero.



Se comprobo el desempeno de esta estrategia de control para la tarea de seguimiento

de trayectoria mediante resultados de simulacion, donde se han tenido en cuenta pertur-

baciones externas e incertidumbres en los parametros

La trayectoria de referencia utilizada es la misma utilizada para los controladores

anteriores. Ademas, se busco presentar resultados con el sistema partiendo de las mismas

condiciones iniciales y con los mismos valores nominales de los parametros.

Se presentan dos resultados, en el primero se considera incertidumbre de ±20 % en los

parametros de inercia y masa del modelo, y sin tener en cuenta perturbaciones externas.

En la segunda simulacion se consideraron perturbaciones externas, donde se han aplicado

escalones mantenidos en las fuerzas y momentos aerodinamicos de la siguiente manera: en

t = 5s se introdujo Ar = 5Nm, en t = 10s se aplico Az = −10N , en t = 15s se afecto al

sistema con Ap = 10Nm, en t = 20s se aplico Ax = 5N , en t = 25s se aplico Aq = 10Nm,

y en t = 30s se aplico la ultima perturbacion con amplitud de Ay = 5Nm.

En las Figuras 3.38 - 3.45 se presentan los resultados logrados a partir de la estructura

de control con H∞ vıa realimentacion de estados para el sub-sistema de traslacion y H∞

no lineal para el sub-sistema de rotacion.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10

1

2

3

4

5

6

xy

z

ReferenciaMasa nominalMasa +20%Masa −20%


control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

0

1

2θ

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ





robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas.


0 10 20 30 405

10

15

20

25

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−4000

−2000

0

2000

4000

6000

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

6

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−1000

0

1000

2000

3000

4000

tiempo [s]

u4

Masa nominalMasa +20%Masa −20%





de control robusto para los seis grados de libertad sin perturbaciones externas.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

xy

z



control robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1x

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1y

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

tiempo [s]

z





robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1φ

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

0

1

2θ

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

tiempo [s]

ψ





robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas.


0 10 20 30 405

10

15

20

25

tiempo [s]

u1

0 10 20 30 40−3

−2

−1

0

1

2x 10

4

tiempo [s]

u2

0 10 20 30 40−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

6

tiempo [s]

u3

0 10 20 30 40−1000

0

1000

2000

3000

4000

tiempo [s]

u4






de control robusto para los seis grados de libertad con perturbaciones externas.

Se puede ver que la estrategia de control propuesta utilizando el controlador H∞ lineal

vıa realimentacion de estados para el sub-sistema de traslacion presento buen desempeno

cuando el helicoptero recibe vientos permanentes actuando como fuerzas aerodinamicas y

como momentos. Ademas, la estructura aplicada fue robusta ante incertidumbres de los

parametros de masa ye inercia.

Ası, la estrategia presentada aquı garantiza robustez para todos los tipos de perturba-

ciones externas actuantes sobre el helicoptero, cuando este funcione dentro del conjunto

convexo determinado para la optimizacion de las lmis.

Capıtulo 4

Descripcion del Equipo

4.1. Introduccion

En este capıtulo se describe el equipo utilizado. Se trata de un helicoptero en miniatura

propulsado por cuatro rotores y dotado de una instrumentacion capaz de proveer y recibir

datos a traves de un ordenador de tierra vıa comunicacion inalambrica. El esquema de

control utilizado se representa en el diagrama de la Figura 4.1.

Figura 4.1: Estructura de control del helicoptero quadrotor.

El ordenador de tierra recibe informacion de las aceleraciones lineales, velocidades an-

gulares y posicion angular a traves de una unidad de medicion inercial (en ingles Inertial

Measurement Unit - imu) que esta acoplada al helicoptero. Basandose en estas informa-

ciones, un programa, desarrollado sobre la plataforma LabViewr, calcula las senales de

control necesarias para desplazar el helicoptero y las envıa al vehıculo autonomo mediante

90 4 Descripcion del Equipo

un mando a distancia (en ingles Remote Control - r/c) que esta conectado al ordenador

de tierra mediante una tarjeta de adquisicion de datos de la marca National InstrumentTM.

En lo que sigue se presenta el helicoptero quadrotor en escala miniatura, conocido

como Draganflyer V Ti R/C, de la marca comercial Draganfly Innovations Inc.. Luego

se describen la unidad de medicion inercial y la tarjeta de adquisicion de datos que se

han utilizado. Por fin, se comenta la estructura del programa desarrollado para proveer

de autonomıa al helicoptero.

4.2. Helicoptero en miniatura quadrotor

El helicoptero Draganflyer V Ti Pro R/C (Figura 4.2) es un vehıculo aeropropulsado

a traves de cuatro helices acopladas a motores electricos mediante engranajes. A traves

de este grupo propulsor el helicoptero puede alcanzar una velocidad de aproximadamente

9,44m/s.

Figura 4.2: Helicoptero Draganflyer V Ti Pro R/C.

El Draganflyer V Ti Pro R/C trae de fabrica una micro camara de vıdeo inalambrica

ccd (del ingles Charge Coupled Device) de 1/4” (Figura 4.3), con resolucion de 430 lıneas,

que esta sujetada a la estructura del helicoptero por un sistema que aumenta la resistencia

y reduce vibraciones. El transmisor de vıdeo opera a una frecuencia de 2.4GHz y a una

potencia de 50mW. Una antena circular polarizada, conectada a un sistema receptor,

capta las senales enviadas por el transmisor de la camara y las envıa al ordenador remoto.

Ademas, el helicoptero quadrotor posee una electronica embebida (Figura 4.4) que esta

4.2 Helicoptero en miniatura quadrotor 91

Figura 4.3: Camara de vıdeo inalambrica ccd.

constituida por 4 sensores termicos, tres giroscopos, un receptor fm (del ingles Frequency

Modulation) de doble conversion a 72MHz y un dsp (del ingles Digital Signal Processor)

que se encarga de comunicarse con el mando a distancia, controlar la velocidad de los

motores basandose en la cantidad de aceleracion y velocidades angulares que requiera el

piloto, y estabilizar el helicoptero cuando sean activados los sensores termicos.

Figura 4.4: Electronica embebida en el helicoptero.

El mando remoto que acompana el Draganflyer V Ti Pro R/C es un transmisor fm

digital a 72MHz, de seis canales de la marca comercial Hitecr.

Los motores electricos, la electronica embebida y el sistema de vision son energizados

a traves de una baterıa de polımero de litio compuesta de tres celulas y provee 11.1 voltios

con 1320mAh. Con esta baterıa se tiene una autonomıa de vuelo de entre 12 y 15 minutos.


La estructura del helicoptero es de fibra de carbono y nylon, y las helices son moldeadas

por inyeccion de nylon de alta resistencia. El helicoptero mide 76cm de diametro, y sin

considerar la unidad de medicion inercial, presenta una masa de 525g.

4.3. Unidad de medicion inercial

La unidad de medicion inercial utilizada en este proyecto es de la marca comercial

MicroStrainr, cuyo modelo elegido es el Inertia-Linkr (Figura 4.5), que ademas es un

giroscopio vertical. Este utiliza tecnologıa de sensores miniatura, nombrada mems, com-

binando un acelerometro triaxial, giroscopo triaxial, sensores de temperatura y un proce-

sador embebido ejecutando un algoritmo de fusion de sensores (MicroStrain Inc., 2006).

Figura 4.5: Unidad de medicion inercial Inertia-Linkr.

Inertia-Linkr ofrece un rango de datos de salida a partir de medidas inerciales plena-

mente calibradas para calcular estimaciones de orientacion del sensor. Todas las medidas

son compensadas por temperatura y corregidas para la desalineacion del sensor. Las me-

didas de velocidad angular son ademas corregidas por sensibilidad-G1 y por un factor de

1Sensibilidad-G (en ingles: G-sensitivity es una medida de sensibilidad para la aceleracion. Esta rela-

cionada con la sensibilidad de vibracion, pero es generalmente mas baja, ya que es una medida estatica

de variacion. El test mas notable es el Two G Tip-over. Aquı la sensibilidad-G se mide permitiendo al

oscilador estabilizarse y, ası, medir la frecuencia. El oscilador es, por lo tanto, girado al reves, 180, y la

frecuencia es medida nuevamente. Este test se repite para cada eje principal del oscilador. La diferencia en

frecuencia es dividida por 2, produciendo la sensibilidad-G estatica, normalmente expresada en unidades

de 1E-9/g Valpey Fisher (2007).

4.3 Unidad de medicion inercial 93

escala no lineal del giroscopo.

La interfaz de comunicacion de la imu esta contenida en un modulo separado y puede,

por lo tanto, ser facilmente configurable. Actualmente, la comunicacion esta hecha a traves

de un transmisor inalambrico, con una tasa de transmision de datos de 1 a 250Hz y ancho

de banda del sensor de 1 a 100Hz, ambos configurables. La comunicacion inalambrica

esta basada en la norma IEEE 802.15.4 (2.45GHz). Posee 16 canales entre 2.450GHz y

2.490GHz (MicroStrain Inc., 2006).

4.3.1. Protocolo de comunicacion

La comunicacion de la imu esta basada en el protocolo 3DM-GX2TM Data Communi-

cation Protocol (MicroStrain Inc., 2007). Este es un conjunto de comandos y respuestas en

serie disenados especıficamente para sensores de orientacion de MicroStrainr. La estruc-

tura de comandos utilizada en este trabajo es para el caso de sensores inalambricos. Todas

las comunicaciones con el sensor son realizadas usando un puerto serie patron “COM”. De

tal forma, que para todas las opciones del interfaz proporcionadas por el fabricante (RS-

232, RS-485, RS-422, USB y inalambrica (802.15.4)), la comunicacion con el ordenador

de tierra se realiza solamente con un puerto serie “COM”. Lo anterior se consigue gracias

a un controlador del dispositivo que hace que el sensor aparezca para el ordenador como

un puerto serie.

Como el sensor en cuestion utiliza comunicacion inalambrica, requiere ciertas conside-

raciones a la hora de comunicarse con la estacion base. A pesar de que la comunicacion de

este sensor se hace a traves de un puerto serie virtual, los datos transmitidos entre el sensor

y el ordenador deben ser realizados como en la version empaquetada del protocolo. Esto

se debe a la informacion adicional necesaria para diferenciar el sensor, el cual puede estar

compartiendo un canal de radio con otros sensores. La estacion base inalambrica-USB

utiliza esta informacion para encaminar los datos hacia el sensor inalambrico correcto.

Los comandos empaquetados difieren de los no empaquetados en que son precedidos por

un paquete de cabecera y seguido por un paquete de final de mensaje (ver MicroStrain

Inc. (2007)).

En general estos sensores poseen la misma configuracion para el puerto serie COM,

donde la tasa de transmision es siempre 115.2K baudios.

En este protocolo el ordenador remoto controla que datos salen del sensor emitiendo

uno o mas comandos (en algunos casos, los bytes adicionales de datos deben seguir al

byte de comando). Cada comando enviado a la imu hara que esta transmita un dato

o un numero fijo de bytes. El sensor puede operar segun dos modos de comunicacion,


uno muestreado y otro continuo. En el modo muestreado, un unico dato es transmitido

para cada byte de comando recibido. Por otra parte, en el modo continuo, se guarda un

byte de comando en la memoria del sensor y el dato correspondiente se esta enviando

continuamente por la imu sin necesidad de intervencion del ordenador. En este trabajo

se implemento solamente el modo muestreado. Los comandos y demas datos sobre el

protocolo de comunicacion del sensor Inertia-Linkr se pueden encontrar en la referencia

MicroStrain Inc. (2007).

4.4. Tarjeta de adquisicion de datos

Para comunicar el ordenador de tierra con el mando a distancia, con el fin de transmitir

al helicoptero las senales de control, se ha utilizado la tarjeta de adquisicion de datos NI

USB-6251 de la marca comercial National InstrumentsTM.

La tarjeta tiene dos salidas analogicas, lo cual es suficiente puesto que la senal de

control se envıa multiplexada por una de las salidas.

Las salidas analogicas de esta tarjeta pueden alcanzar una velocidad de transmision de

2.86MHz, que es necesaria para conseguir generar el tren de pulsos que codifica la senal

de control en cada tiempo de muestro.

Adicionalmente, la tarjeta dispone de un buffer de 4096 bytes que puede ser utilizado

para almacenar una forma de onda determinada, y gestionar el vaciado del buffer hacia la

salida analogica segun la tasa de muestreo seleccionada. Esta funcionalidad de la tarjeta

es utilizada para recibir y almacenar en un solo envıo el tren de pulsos de la senal de

control previamente programada, siendo la tarjeta la encargada de gestionar el tiempo de

salida de los datos del buffer.

4.5. Interfaz ordenador-helicoptero quadrotor

Para convertir el helicoptero quadrotor en un vehıculo aereo autonomo, se ha optado

por implementar una plataforma de control remota, como se ha comentado anteriormente.

El programa que supervisa y controla el helicoptero se ha desarrollado en LabViewr y

esta dividido en tres lazos principales: el que envıa y recibe datos de la imu, el que calcula

las senales de control, y el que, basandose en las senales de control, genera un tren de

pulsos y lo envıa a la tarjeta de adquisicion de datos, que esta conectada al mando a

distancia. Estos tres lazos se ejecutan de forma concurrente en la plataforma LabViewr,

4.5 Interfaz ordenador-helicoptero quadrotor 95

donde se asigna a cada lazo un valor de prioridad y el periodo de ejecucion de cada ciclo.

En la Figura 4.6 se presenta la pantalla principal del programa.

Figura 4.6: Pantalla principal del controlador del helicoptero en LabViewr.

A continuacion se describen las principales funciones del programa.

4.5.1. Lectura y escritura de la IMU

El controlador desarrollado en LabViewr para comunicar el ordenador de tierra con

la imu se ha implementado de manera que los comandos descritos en el protocolo 3DM-

GX2TM Data Communication Protocol sean ejecutados segun el modo muestreado. Ası

que, la escritura y lectura de datos del sensor se realiza por medio del ordenador de tierra

en cada ciclo del programa. En la Figura 4.7 se expone la pantalla del programa referente

a la unidad de medicion inercial.

En el programa actual se han implementado las siguientes funciones proporcionadas

por el sensor: Aceleracion y Velocidad Angular ; ∆Angulo y ∆Velocidad ; Matriz de Rota-

cion; Aceleracion, Velocidad Angular y Angulos de Euler ; Angulos de Euler ; y Velocidad

Angular y Angulos de Euler. Se han implementado tambien funciones para monitorizar


la tasa transmision de datos, las senales de lqi (Link Quality Indication) y rssi (Receive

Signal Strength Indicator), ası como la medicion del ancho de banda.

Figura 4.7: Pantalla de la imu Inertia-Linkr.

La rutina que se ha implementado para monitorizar el sensor inercial empieza ha-

bilitando el puerto serie en que se ha conectado la estacion base inalambrica-USB. La

configuracion del puerto serie se realiza en la carpeta Signal Data, donde tambien se tiene

acceso a informaciones de la calidad de la senal. Hecho esto, se habilita un lazo continuo y

se empieza a realizar la comunicacion entre el ordenador de tierra y el sensor. Dentro del

lazo, primero se emite un paquete haciendo al sensor la peticion de los datos elegidos (por

ejemplo, los datos de aceleracion y velocidad angular en el instante actual), seguido de un

bloque que lee el puerto serie. En este bloque se realizan una serie de intentos para lograr

la lectura de los datos. Si la lectura de los datos se realiza con exito, estos son convertidos

de valores en hexadecimal a valores en el formato IEEE 754, los cuales son tratados y

expresados en unidades fısicas. Las informaciones obtenidas se representan a traves de

graficas y se ponen a disposicion del lazo de control en el caso de que las necesite.


4.5.2. Generador del tren de pulsos

Como se comento anteriormente, el ordenador de tierra envıa senales de control al

helicoptero mediante el mando a distancia. Este recibe las senales a traves de un puerto

de entrenamiento que se habilita con una llave en el propio mando. El tipo de senal que

hay que enviar a este puerto resulta ser un tren de pulsos, donde cada pulso representa

un canal del mando, y el ancho del pulso informa sobre lo que hay que aplicar en cada

canal.

Siendo ası, se ha desarrollado un programa que genere tal tren de pulsos. La pantalla

donde se configura el generador del tren de pulsos e informa sobre su estado, se exhibe en

la Figura 4.8.

Figura 4.8: Pantalla del generador de tren de pulsos.

En el primer paso se configura la frecuencia del tren de pulsos, ası como su amplitud.

En esta etapa tambien se define la configuracion de la tarjeta de adquisicion de datos,

fijando la salida analogica que se utilizara, los lımites inferior y superior de la tension de

salida, y el tamano del buffer utilizado por la tarjeta.

El tren de pulsos se genera cada 22, 5ms, teniendo cada pulso un ancho de banda de

800µs cuando el ciclo de trabajo esta al 100 %. Un canal tiene una duracion mınima de


920µs y maxima de 2120µs. Siendo los primeros 400µs un tiempo muerto entre el final

del pulso del canal anterior y el inicio del pulso del canal actual. Cada canal puede ser

ajustado independientemente, utilizando la funcion Trimmer, si es necesario compensar

algun desequilibrio del helicoptero. Ademas, cada canal puede ser habilitado de manera

aislada, haciendo que la accion generada por el lazo de control no sea enviada al mando,

y ası, se mantiene el valor de defecto. En la Figura 4.9 se presenta un ejemplo del tren de

pulsos.

Figura 4.9: Tren de pulsos.

Realizada la configuracion del tren de pulsos, ası como la de la tarjeta analogica, se

inicia el lazo de generacion de la forma de onda que se repite, como ya se ha comentado,

cada 22, 5ms. Basandose en el valor de accion de control, se calcula el tiempo de inicio de

cada pulso, el desfase entre ellos y el ciclo de trabajo de cada uno con respecto al tiempo

del tren de pulsos. Cada pulso se genera de forma independiente de los otros utilizando la

funcion Waveform Buffer Generation DAQ de Labviewr, y al final se suman todos ellos

dando origen a la forma de onda necesaria, la cual se envıa a la tarjeta de adquisicion de

datos. Para finalizar el lazo se traza la grafica del tren de pulsos.

4.5.3. Lazo de control

El lazo de control se ejecuta a un nivel superior que el de los dos anteriores. En cada

ciclo se leen los datos suministrados por el sensor, y basandose en estos, se ejecutan los

controladores desarrollados, los cuales suministran las senales de control enviadas al lazo

de generacion del tren de pulsos. En la Figura 4.6 se presenta, ademas de la portada

principal del programa, la interfaz de los controladores disponibles.

Antes de ejecutar el lazo de control, se requieren algunas configuraciones del programa,

como elegir en que archivo, con extension .m, se almacenaran los datos del experimento,

los valores de referencia de las salidas para los controladores y el periodo de muestreo,


entre otras cosas. La Figura 4.10 muestra la pantalla en la que se determinan los valores

de referencia, se habilita y dibuja la estimacion de la posicion en el triedro xyz basada

en las medidas de aceleraciones lineales del sensor, y en la que se traza la grafica de las

senales de control aplicadas.

Figura 4.10: Pantalla para determinar los valores de referencia y habilitar la estimacion

de la posicion xyz.

Una vez realizados todos los tramites iniciales, se pasa a la etapa de eleccion del

controlador a utilizar. El programa esta pensado para que se pueda trabajar tanto en

bucle abierto como en bucle cerrado. En bucle abierto se han programado dos funciones,

una donde se aplican escalones a las entradas de control del helicoptero, y otra donde se

generan entradas senoidales con amplitud y frecuencia ajustables.

Para trabajar en bucle cerrado se ha dividido el sistema en dos sub-sistemas, donde se

realizan el bucle de control de los movimiento de rotacion y el bucle de control de los movi-

mientos de traslacion lineal. Para lograr la estabilizacion del sistema se han implementado

cuatro controladores: proporcional, pid (Proporcional-Derivativo-Integral), Backstepping

y H∞ no lineal. Las dos ultimas leyes de control se presentan en este trabajo en el Capıtulo

3. Los controladores se han programado en lenguaje C generandose un archivo .dll.

El bucle de control de los movimientos de traslacion tiene implementado, para es-


te trabajo, un controlador pid. Para trabajos futuros se implementaran las leyes aquı

desarrolladas. La manera en la que este programa esta pensado es ventajosa debido a su

caracter generico, pudiendo implementarse facilmente otros controladores a partir de un

archivo .dll.

4.6. Resultados experimentales

En esta seccion se exponen resultados experimentales obtenidos con el equipamiento

anterior.

Debido a que aun no se dispone de realimentacion de la posicion del vehıculo (la

imu solo provee informacion fiable de la orientacion del sistema), en los experimentos

realizados solo se ha utilizado el control de orientacion. Por lo tanto, el empuje principal

(unica senal de control que no gestiona este controlador) sera modificada manualmente

desde la computadora de tierra.

En la figura 4.11 se muestra el esquema de la estrategia de control utilizada para la

realizacion de experimentos.

Figura 4.11: Control de orientacion para el helicoptero quadrotor.

Para realizar una estimacion de los parametros del sistema se han pesado y medido

las distintas partes del equipo. Sin embargo, dado que el sistema no permite tener un

acceso directo al control de la velocidad de los motores, se han realizado experimentos de

identificacion en bucle cerrado para determinar la relacion entre los pares ejercidos por la

propulsion de las helices y las senales de control Ui que se envıan desde la computadora

de tierra.

4.6 Resultados experimentales 101

En los experimentos se ha controlado al sistema con un control proporcional, consi-

guiendo que el sistema real oscile con una cierta frecuencia y amplitud. En la figura 4.12

se muestran los resultados de estos experimentos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20

−10

0

10

20φ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20

−10

0

10

20θ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−4

−2

0

2

4

tiempo [s]

ψ

Figura 4.12: Oscilaciones experimentales.

A partir de estos datos, se ha ajustado mediante simulacion la ganancia de un con-

trolador proporcional que consiga que el sistema simulado oscile aproximadamente con la

misma frecuencia y amplitud. En la figura 4.13 se muestran los resultados de simulacion.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20

−10

0

10

20φ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20

−10

0

10

20θ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20

−10

0

10

20

tiempo [s]

ψ

Figura 4.13: Oscilaciones simuladas.


La relacion de ganancias resultantes ha sido del orden de 3.5 veces mayor la senal de

control del modelo frente a la senal de control del sistema real.

En las figuras 4.14 y 4.15 se muestran algunos resultados experimentales preliminares

logrados con controladores bascicos. Como puede verse, tras aplicar un escalon en U1

(figura 4.14) el resto de senales de control actuan de manera que los angulos de Tait-

Bryan (figura 4.15) se mantengan en un valor cercano al cero, controlando la orientacion

del sistema.

El helicoptero se deja de controlar a los 45 segundos aproximadamente (vease senal

de control U1). Como puede observarse en las graficas de los resultados, a partir de este

instante los angulos aumentan debido a que el helicoptero se ha inestabilizado.

10 15 20 25 30 35 40 45 50 5520

40

60

80

U1

[%]

10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

50

100

U2

[%]

10 15 20 25 30 35 40 45 50 5520

40

60

80

U3

[%]

10 15 20 25 30 35 40 45 50 5540

50

60

tiempo (s)

U4

[%]

Figura 4.14: Senales de control.

4.6 Resultados experimentales 103

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55−20

−10

0

10

20

φ (º

)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55−20

−10

0

10

20

θ (º

)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55−10

−5

0

5

10

tiempo (s)

ψ (

º)

Figura 4.15: Orientacion del helicoptero quadrotor.

Capıtulo 5

Conclusiones

Este trabajo se ha dedicado al modelado y desarrollo de estrategias de control para

solucionar el problema de seguimiento de referencia de vehıculos aereos autonomos, para

el caso concreto de un helicoptero miniatura quadrotor. Se considero el control de los

movimientos de traslacion lineal y de rotaciones angulares en presencia de perturbaciones

externas e incertidumbres parametricas.

Para comprender el funcionamiento del helicoptero quadrotor, se realizo un estudio de

su modelado, donde fueron completados y corregidos algunos modelos publicados ante-

riormente. Se comenzo deduciendo los movimientos de rotacion y traslacion considerando

solo un punto en el espacio, lo que permitio obtener las ecuaciones cinematicas de un

cuerpo rıgido con movimientos tridimensionales. Los angulos de rotacion del cuerpo fue-

ron obtenidos a partir de tres rotaciones sucesivas, y se distinguieron los angulos de Euler

de los angulos de Tait-Bryan.

A partir de la matriz de rotacion y de las ecuaciones cinematicas obtenidas, se modelo la

dinamica del helicoptero basada en dos formulaciones matematicas: la de Newton-Euler y

la de Lagrange-Euler. Se definieron las fuerzas y pares actuantes sobre el sistema, teniendo

en cuenta las perturbaciones generadas por efectos giroscopicos debido a los rotores y por

vientos, los cuales fueron caracterizados como fuerzas y pares aerodinamicos.

Para realizar ensayos reales se ha desarrollado una plataforma de pruebas compuesta

por un helicoptero quadrotor comercial en escala miniatura. Tal plataforma utiliza una

unidad de medicion inercial para informar de la posicion angular y aceleraciones lineales a

un ordenador de tierra vıa comunicacion inalambrica. Este calcula las acciones de control

y las envıa a traves de un mando a distancia que esta conectado al ordenador de tierra

mediante una tarjeta de adquisicion de datos. El programa que trata los datos recibidos

del sensor y calcula los valores de fuerza y pares a aplicar al helicoptero fue desarrollado

bajo la plataforma LabViewr.

106 5 Conclusiones

Basandose en los modelos obtenidos, se presentaron y desarrollaron cinco estructuras

de control, las cuales han presentado un buen desempeno en el seguimiento de referencia,

manteniendo la robustez ante incertidumbres parametricas y perturbaciones externas.

La manera en la que fueron presentados los controladores esta basada en la evolucion del

desempeno que se ha planteado. Las dos primeras estrategias utilizadas fueron presentadas

en Mistler et al. (2001); Bouabdallah y Siegwart (2005), y tuvieran como objetivo principal

alcanzar un buen entendimiento del sistema.

En la primera se utilizo una ley de control con desacoplamiento entrada-salida y linea-

lizacion exacta por realimentacion dinamica, y el controlador que se desarrollo esta basado

en el modelo de Newton-Euler. Se pudo ver por los resultados presentados que, sin tener

en cuenta las perturbaciones externas en los terminos de rotacion, el helicoptero siguio

la referencia con bastante exactitud y senales de control suaves. Sin embargo, cuando se

aplicaron las perturbaciones externas el sistema se hizo inestable.

La segunda estrategia que se ha simulado esta basada en la tecnica de Backstepping,

y se calcularon las leyes de control a traves de funciones de Lyapunov. Se utilizo una

estructura desacoplada de los terminos de rotacion y traslacion debido a las caracterıs-

ticas del modelo utilizado, el cual estaba basado en la formulacion de Lagrange-Euler,

suponiendo para los movimientos de rotacion la aproximacion por pequeno angulo. Las

simulaciones realizadas han demostrado que esta estrategia es eficaz para realizar segui-

miento de trayectoria considerando incertidumbres en los parametros del modelo y cuando

no se consideran perturbaciones externas. Nuevamente, el helicoptero se vuelve inestable

en presencia de tales perturbaciones.

Como estas dos estructuras no presentaron robustez ante perturbaciones mantenidas

en los movimientos de rotacion, se planteo un controlador que las rechazara. Siendo ası,

se diseno un controlador, basado en estos resultados, utilizando la teorıa de control H∞

para sistemas mecanicos no lineales totalmente actuados. Esto garantiza robustez tanto

considerando incertidumbres parametricas como en presencia de perturbaciones externas.

Se ha aplicado este controlador en el sub-sistema de rotacion, teniendo en cuenta las

perturbaciones utilizadas. Ası, en esta tercera estrategia de control se utilizo el control

basado en la tecnica de Backstepping para controlar el sub-sistema de traslacion y, para el

sub-sistema de rotacion se aplico el controlador H∞ no lineal. Se han presentado resultados

que corroboran la robustez de la estructura y el buen desempeno en el seguimiento de

trayectorias.

Alcanzada la robustez del sub-sistema de rotacion, y con bastante exito, se busco lo-

grar un controlador eficaz para los movimientos de traslacion. Siendo ası, en una cuarta

estrategia se propuso un controlador predictivo debido a sus caracterısticas que permite

el uso de trayectorias futuras conocidas, el cual genera entradas de control suaves y con-

sidera restricciones en el momento del calculo de la ley de control, a pesar de que en este

trabajo no fueron utilizados ningun tipo restricciones. El algoritmo de cpbm lineal utili-

107

zado considera que el vehıculo sigue un helicoptero virtual de referencia sobre el camino

deseado, originando el modelo del error. El modelo del error es no lineal y variante con

el tiempo, por lo tanto, se han realizado linealizaciones sucesivas a lo largo de la trayec-

toria de referencia. Esta estructura de cpbm utiliza el modelo del sistema en espacio de

estados, y como ya se ha comentado, se ha implementado para controlar los movimientos

de traslacion. Se disenaron dos controladores predictivos, uno para el control de la altura,

y otro, a traves de un cambio de variables y considerando entradas virtuales de control,

para el movimiento lineal en el plano (x, y).

Para los movimientos de rotacion se utilizo el controlador H∞ no lineal desarrollado

en la estrategia anterior. Otra vez los resultados obtenidos mostraron que la estrategia de

control utilizando el controlador H∞ no lineal provee robustez al sistema. Las simulaciones

tambien confirmaron que el uso del cpbm para solucionar el problema de seguimiento de

trayectoria es eficaz y proporciona senales de control mas suaves.

Sin embargo, cuando fueron aplicadas perturbaciones permanentes en el sub-sistema

de traslacion, ni el controlador Backstepping y tampoco el cpbm propuesto fueron capaces

de rechazarlas. Ante este problema, se planteo una estrategia de control que fuera robusta

en presencia de perturbaciones mantenidas en los seis grados de libertad. Ası que, en la

quinta estructura de control se utilizo nuevamente el controlador H∞ no lineal para los

movimientos de rotacion, mientras que para la dinamica traslacional del helicoptero se

utilizo un controlador robusto vıa sıntesis de control H∞ con realimentacion de estados

para sistemas con incertidumbres en los parametros. Se ha buscado un buen desempeno en

el seguimiento de referencia en presencia de fuerzas y momentos aerodinamicos mantenidos

y robustez ante incertidumbres en todos los parametros del modelo.

A traves de simulaciones se pudo corroborar la estrategia de control propuesta, donde

el helicoptero ha logrado seguir la trayectoria de referencia de forma robusta cuando se

han considerado incertidumbres en los parametros de masa e inercia, y en presencia de

todos los tipos de perturbaciones externas existentes en el modelo, cuando son aplicadas

sucesivamente y de forma mantenida.

Finalmente, controladores basicos fueron implementados en la plataforma de pruebas

y resultados preliminares han sido obtenidos experimentalmente para la estabilizacion del

helicoptero. Siendo ası, se ha comprobado la aplicacion propuesta y, como proximo trabajo

a ser realizado con el helicoptero esta la implementacion de los controladores presentados

en esta tesis.

Debido a la reciente obtencion de los resultados de este trabajo, aun no se ha tenido la

posibilidad de seren publicados. No obstante, ya han sido enviados los siguientes artıculos

para su posible publicacion:

108 5 Conclusiones

(Raffo et al., 2008a)

G.V. Raffo, M.G. Ortega, F.R. Rubio. Backstepping/Nonlinear H∞ Control for Path

Tracking of a QuadRotor Unmanned Aerial Vehicle. American Control Conference

2008 (ACC’08). Seattle, Washington (USA), 2008 (Submission number: 1238).

(Raffo et al., 2008b)

G.V. Raffo, M.G. Ortega, F.R. Rubio. MPC with Nonlinear H∞ Control for Path

Tracking of a Quad-Rotor Helicopter. 17th IFAC World Congress on Automatic

Control. Seoul (Korea), 2008 (Submission number: 2578).

Ademas de estos artıculos, a lo largo del master se han publicado los siguientes traba-

jos:

(Raffo et al., 2007b)

G.V. Raffo, M.G. Ortega y F.R. Rubio. Nonlinear H∞ Control Applied to the Per-

sonal Pendulum Car. In Proc. of the European Control Conference. ECC’07, Kos,

Grecia, Julio 2007.

(Raffo et al., 2007a)

G.V. Raffo, J.E. Normey-Rico y F.R. Rubio. Control Predictivo de la Dinamica de

un Vehıculo Autonomo. XXVIII Jornadas de Automatica - Universidad de Huelva.

Huelva, Espana, 5 - 8 Septiembre 2007.

(Raffo et al., 2006)

G.V. Raffo, M.G. Ortega y F.R. Rubio. Control H∞ Multivariable de un Modelo

de Helicoptero. XXVIII Jornadas de Automatica, JAL06, pag. 854-859. Almerıa,

Espana, 6 - 8 Septiembre 2006.

Para finalizar, se detallan posibles lıneas de continuacion del trabajo expuesto en esta

tesis:

Robustificacion de leyes de control en funcion de cotas de incertidumbres del modelo.

Normalmente los controladores (sobre todo los no lineales) disenados para este tipo

de sistemas estan basados en modelo; y como es bien sabido, los modelos conllevan

incertidumbres asociadas. Se propone, por tanto, utilizar metodos como el presen-

tado en Ortega et al. (2005) para robustificar leyes de control, investigando nuevos

metodos para la resolucion de la ecuacion de Hamilton-Jacobi resultante (como por

ejemplo, soluciones basadas en el metodo de Galerkin).

109

Adaptacion de controladores H∞ no lineales para sistemas subactuados al problema

de comportamiento del helicoptero. Para ello, se propone partir de la estructura de

control propuesta en Raffo et al. (2007b). Con ello se pretende que el vehıculo sea

capaz de realizar ciertas maniobras preestablecidas.

Estudiar el problema de regiones fronteras para garantizar estabilidad de sistemas

con dinamica completa. Normalmente los controladores de este sistema se basan

en las ecuaciones de su parte mecanica. Sin embargo, las fuerzas de propulsion no

vienen dadas por motores como en los sistemas electromecanicos, sino que su origen

es de tipo aerodinamico a traves del movimiento de helices. Es habitual utilizar

la separacion de escalas de tiempo, disenando de forma independiente el control

de la mecanica y el del movimiento de las helices, suponiendo este ultimo mucho

mas rapido que el anterior. Sin embargo, aun esta por explorar en que condiciones se

pueden disenar controladores que garanticen estabilidad teniendo en cuenta tambien

la dinamica rapida del sistema.

Combinacion del control con angulo de palas variables y con velocidad del rotor

variable. En helicopteros convencionales se suelen utilizar como variables de control

los angulos de ataque de las palas (cıclico y colectivo), implementando un lazo

interno de control para regular la velocidad de giro del rotor (esto es, se controla

con velocidad del rotor constante) Raffo et al. (2006). Sin embargo, en helicopteros

en miniatura, la filosofıa de las senales de control suele ser justo la contraria. Debido

a que ambos enfoques tienen sus ventajas e inconvenientes, se propone estudiar la

posibilidad de realizar un control de aeronaves donde se utilicen ambas filosofıas

simultaneamente.

Control de aeronaves mediante realimentacion visual. En este apartado, se pretende

hacer uso del sistema de vision disponible en el helicoptero quadrotor, no meramen-

te para transmitir las imagenes que van siendo capturadas durante el vuelo, sino

para poner en marcha algoritmos de control visual que permitan dirigir al aparato

autonomamente a partir de dichas imagenes.

El trabajo debe desarrollarse en dos ambitos: por un lado en tecnicas de seguimiento

visual y por otro en tecnicas de control con realimentacion visual (“visual tracking”

y “visual servoing”, respectivamente, de acuerdo con la terminologıa anglosajona) o

alternativamente en tecnicas que integren ambos aspectos (Malis, E, Benhimane, S.,

2005).

Estudio e implementacion de algoritmos de generacion de caminos optimos. Una vez

controlado el sistema, se propone profundizar en algoritmos que especifiquen cami-

nos que optimicen algun tipo de criterio representativo de la calidad del recorrido

(tiempo de recuperacion de la posicion, velocidad de recuperacion, etc.).

Realizacion de estudios preliminares sobre sistemas controlados a traves de redes

(ncs). En caso de que las aeronaves sean controladas desde tierra (por ejemplo,

110 5 Conclusiones

mediante sistemas de mando a distancia), existe la posibilidad de que se pierdan

paquetes en la transmision de datos, tanto en el envıo de senales de control como

en el de senales medidas para realimentacion. A este problema hay que sumarle la

perdida de informacion por la codificacion/decodificacion de las senales transmitidas,

ası como la tasa de envıo de datos. Estos problemas son especialmente interesantes

para estos tipos de sistemas teniendo en cuenta su caracter inestable.

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tesis master guilhermeraffo

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