%%&» &I.C.M.S.C.

INTERSECÇÃO DE FUNÇÓES E TRANSVERSALIDADVE

Alice Kimie Miva Líbardí'

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

SÃO CARLOS - SÃO PAULOE R A S I L

'ª,,

,ªs—s Pªsa &4

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INTERSECÇÃO DE FUNÇÓES E TRANSVERSALIDADE

Alice Kimie Miva Líbardi

Orientador: Prof. Dr, Carlos Biasi

Tese apresentada ão institúfo aê

Ciências Matemáticaà de São -Cá£

los, da Universidade de Sãq_ Pag10, para obtenção do título deDoutor-em Ciências (Matemática).

São Carlos + SP

1985

Ao Prof. Dr;'Gilberto F. Loibel

.Minha admiração ao.brilhante Matemático e . meus

agradecimentos ao amigo e orientador Prof; Dr; Carlos Biasi.

'Agradeéo:

ao Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher, pelo igcentivo constante, pelas sugestões e críticas construtivas»durante todo o desenrolar das atividades que Culminaram com

"5 presente trabalho; bem como pela leitura criteriosa _ido

mesmo ,

ao Prof. Dr, Janey Antonio Daçcach,que inicial;mente me orientou no programa de doutoramento, pelo carinhocom que sempre se dedicou a mim;

* ' aos colegas do ICMAUSP e-da UFSCar, em particu—

lar aos professores: Dr. Claudio Martins Mendes, Dirceu Penteado e Edson de Oliveira.

ao querido Walter e ã minha filhinha sara,- porestarem sempre ao meu lado.

â amiga Neube Elisabeth D.Guillen Stabili, peladatilografia.

Abstract

In this work a geometric interpretation of theobstructions to the eXtension of functions obtained_ from

intersection of functions, is given.

.

.

Let Mm and. Nn be smooth closed manifoldsland let Vc: M and- K<: N 'be closed submanifolds of same

codimension.One of our goals is to give a necessary and

sufficient condition for the existence of a smooth _map

f: MA» N, transversal to K, such that V'= f—1(K)..

—

.In Chapter 1 we obtain conditions for the non

existence of the nap f..

In Chapter III we find some results thatguarantee the ekistence of such a map. For example: _,:ifVm—zc; Mm is an oriented submanifold homologous to zero inan oriented manifold M, then there exists f: M +.Sn such

that frhsn—º bandª vmª =- f'ª(sn'º).

ÍNDICE

Intrºduç㺠o.o...-ooocoo-oooonoooooooe.oo—ocConc.-o.o'...'iCapítulo 0

PreliminaresSl — Aplicações diferenciáveis e transversalidade ...... l52 -'Bordismº....V...........o..--......o-o.......... ..... 3

53 % Obstrução ..............;.......o......;......,..Ç. 7

Capítulo I.

Sobre intersecção de funções

êl — Definição ..........................;.......s...... 11

52 Relações entre os números de Whitney das Aplicaçõesf,geh .......... '15

53 — caracterização de Jp,n—p' usando números de Whit—

ney de f ...............................,.......... 18

54 - Estudos sobre o núcleo e.a imagem de Im ........... 23g

CapitulO'IISobre Teoria de Obstrução

ãl « Sobre classificação de classes de homotopias de funções ........... ................ ,.... .............. 35

52 — Sobre extensões de funções .....Q................l. 42

Capítulo III.

2 Extensão de funções com condições de transversalidadepré—estabelecidas

Sl — Condição para a existência de extensão local ...... 49

52 — ºbstruções ã extensão local ...........;....; .....v. 51

53 — Casos Particulares ......... . ...................... 51

54 " Exemplºs coo-c,... ..... o ........... .o ooooooooooooooo 64

Apêndice cc.—oocoucc'co oooooo .......'...º.o.gº........;.o ZL

Bibliogrªfia ......O'OQVOOCO......OOOOQCOQOO..... 900000... 75

INTRODUÇÃO

Um dos mais importantes problemas da Topologia é

o que se refere ã extensão de aplicações; O problema enunz-'ciado abaixo se enquadra neste conteXto.

Sejam 'Mm 'e Nn variedades fechadas difereneiª —

veis de dimensão m e n, respectivamente; considereVmékfnc Mm 'e Kk C Nn subvariedades fechadas-de mesma

.

codimensâo e fV: V +,K' uma aplicação diferenciável. Ém

one condições existe f: M + N diferenciável,extensão de

fV com f- transversal a K e, V = f"1(K)?Em [S], Saab, M.R. tratou dos casos:

'1) M variedade compacta, N : Sn, K = (ao]. Nes

te caso, existe “f se, e só se, o fibrado normal de 'V 'em

,M é trivial.» .

.

2) M = Sª; N = Sª; K = [ao,all e' V consti —7

tuida de duas partes Vo e V1, cada-uma das qúais sendo reªnião de um número finito de carvas regulares fechadas; 'Neâ'

.sas condições, a função f sempre exiSte e a prova destefato foi obtida através da operação denominada operação degVic—1

'. v

, .

Em [111,LoibellG.Fr obteve condições necessárias,para a existencia de f; no caso em qúe M e N são variedaªsdes fechadas) 'K ='fao,ai]' e iV -ê a união de duas subva %:

_ 1 _

riedades fechadas disjuntas Vo eAV1 de dimensão m—n.

Ng Capítulo I, do nosso trabalho, obtivemos al-gúmas condições em que se garante a não existência de f.

. * _ -Assumimos que fv(vk) _ vv, onde vv e vk saoos respectivos fibrados normais de V, em M e K em N.

Nesse caso, existe extensão local de' f definida numav'vizinhança tubular de V em M e com valores numa vizi —

Inhança tubular de K em N, satisfazendo as condições pré—

-estabelecidas.Seja hl: A + aY' a restrição desta extensãoaos

bordos de tais vizinhanças; um dos propósitos de nosso trabalho é obter obstruções ã extensão de h: A + Y ao espa—

ço X = M — V, bem como interpretar geometricamente tais'obstruções.

Este trabalho é composto de quatro capítulos e

'um'apêndice.No Capítulo 0, estão condensados os conceitosbâ

sicos e alguns.resultados que são utilizados nos capítulosposteriores.

.

O Capítulo I é dedicado ao estudo da aplicacaoIÉ=ÍLhRU * nmêk-n(N)' obtida fixando. 9: K + N e definiªdo I$([M,f]) : [V,h], onde [V,h] é a intersecçâodasfunções f e 9.

Considere '[Jp'q] & filtração usual de OmlN);

damos uma caracterização de _Jp'q Aem termos de números de

Whitney e; a seguir; estudamos condições para que.,

_ ii _

ker Ig : Jp,q' para algum p,q.l

classe fundamental de K e g*(pK) :Seja. "K

g-p ; denotando por Ug, o Pºincaré dual de “g' mostra—

mos que I? é sobre se' blUg: Hn—1(N;Zz) + Hªn—k'l(N,Z,)éepimorfiSmo para ln —bk í i : m.

No Capítulo-II, encontram—se alguns resultadosenvolvendo classificação de classes de homotopias de fun—

ooes e extensão de aplicações; que são usados no ª

_ Capí-tulo III;

Tomamos X e Y, CW complexos, com Y n-simpk5e seja J = [n: Hn(X,Un(Y)) # 0]. ”Para cada n»i l, consi-deramos um grupo abeliano Gn, um elemento un & Hn(Y;Gn)e

definimos uma aplicação—

u , '.“Pnn : Hn(X,Wn(Y)) + HnÇX,Gn), para todo n.

Demonstramos que se k?:n é monomorfismo,. paratodo n,—entao a aplicação E: [X,Y] # H Hn(X,Gh)ª

E([f]) : f*(un) é injetora. Demonstraãêª tambêquue se

“9341 é mono e f: Xn + Y é uma extensâo'de h: A + Y eªtao existe “9: Xnêl + Y tal quev glxn4i =-f|Xn_1 se, . e

somente se, 6h*(u) : Oq—onde &: Hn(A,nh(Y)y% +1ÓCA/HJY»

.nê o operador cobordo..

. . .

— No Capítulo.III; obtemos uma interpretação geo—

métrica das obstruções às extensões desejadas, com o intuito de resolver-o problema enunciado no início desta intro-

_- iii _“

dudão.Um dos resultados é o Teorema 3.1: seja hpzxp+Y

extensão de h: A + Y ao p—ésimo esqueleto de x, mod.A.Sg“

. uponhamos “Ppgi mono e que exista variedade orientada Qnªp"l

e aplicação contínua g: Q.+ BY, representando 3Dy(up). Eª

tao ex1ste h ' : X ' + Y .tal que »hp+1lxp_l=hplxp_1 Sª'p+1 p+1» .

- 'G _” ' *

_e somente se,- 1* "A*(us) _ 0, onde [S,hlonA] _ Ig(h1)._Com as mesmas hipóteses acima, se Qn—p—l é uma

subvariedade de BY; então h: A + Y se estende a Xp+1 se,”e só se, hÉ1(Q) ê homóloga a zero em Hm—p-1(X'G)' com

hlfh Q.n— n —2 .%: S ; Vm uma variedade 0—Considerando S

rientadalmergulhada em uma variedade orientada Mm, homô—

loga a zero em M e fV: V + Sn—º uma aplicação diferen—

ciãvel, provamos que existe extensão nas condições requeridasº

'

Apresentamos também duas aplicações dos resul-tados obtidos e um apêndice onde se encontra a demonstra—

ção do seguinte fato: Se Mm é sub—variedade orientada de

uma variedade orientada Nm+2, homóloga a zero em Nm+º,eªtão existe uma secção Ir: M + S(vM), onde S(vM) é o fi—

brado normal em esferas de M em N,v tal que sua imagem

é homóloga a zero em Hm(N—M).

...iv-

CAPÍTULO 0

. PRELIMINARES

Neste trabalho, consideraremos sempre variedadese aplicações diferenciáveis (de classe C”), salvo'mençãoemcontrário.

êl —.ApZicaç5es Diferenciábeís e Transversalidade

Os resultados deste parágrafo.são conhecidos ,em

Topologia Diferencial. Para maiores detalhes, ver [H].

*Definição:'

Sejam Mm e Nn “duas variedades,v K Íuma'subvª'riedade de, N le= f: M + N diferenciável.,“

.

Dizemos que f é transversal a K; (f,+xK) ' se.para todo ix & M com f(x) e K, tivermos:

f'v(x)TxM + 'I'f (X)K = Tf (X)N'

Proposição 01;

Se' M é compacta e K é uma subvariedade fechªda de N, então existe uma aplicação diferenciável g: M+N

”homotõpica a 't e transversal a.IK.EJ 1

,_ l _

Proposição 0.2:

Seja f: M + N uma aplicaçâo.contínua entre vªriedades diferenciáveis, sem bordo, com f diferenciávelem um subconjunto fechado A de M. Seja“ a: M + R+ efsgja N com a métrica'determinada por um mergulho 'N'c RP.

Então existe 9: M + N diferenCiãvel, tal queuma e-aproximação de f e glA = flA.IQ (Dl

E]

Definição:

Sejam f: M + N e 9: K + N duas aplicações diferenciâveis. .Dizemos que f é transversal a g(f/+xg)separa todo _(x,y) em M x K, tal que f(X) = g(Y), tiveg

_ l' ' | .mos Tf(x)N _ f (x)TxM + q (y)TyK, ou eqn1valentemente,se

(fxg) : M x K + N x N for transversal ã diagonal A c N'xN.!

Proposição.0,3;

Dadas uma aplicação diferenciável gzK + N e uma ªplicação contínua ' f: M + N, existe uma aplicação &;

ferenciãvel %: M + N, homotõpica a f e transversal a q.[3

_52 — Bordismo

'Os conceitos deste parágraEO'encontram—se em [C].

.

Definição

Dizemos que uma variedade fechada Mm .borda quaºdo existe uma variedade compacta Wmªí, tal que M é bord.do de W.

“Definição-

'Duas variedades fechadas MT e' M? “são bordan-tes quando a reunião disjunta MTÇ) MT borda;

. A

Isto define uma relação de equivalênCia no con-

junto de todas as variedades fechadas e a classe de bordiân

_ mo de Mm serã denotada por 'ÍMm].t

seja;-nfl“I o conjunto de todas tais classes.i'fzn tem estrutura de grupo abeliano, dada pela

reunião.disjunta, e a soma direta Í]* =.quv tem estruturade álgebra comutativa, graduada, sobre “Zz, dada pelo orgdu º Cartesiano.

. ..

.

V .

Definição:

Seja N um espaço. Uma variedade singular em N

é um par (Mm,f) constituido por uma variedade compacta Mm

e uma aplicação contínua f: M + N.

Definição

Dizemos que uma variedade singular (Mm,f) em N,

borda se existem uma variedade compacta Wm+1 e uma apli—

cação.contínua F: W + N, tais que M é bordo de W e

F M = f.

Definição

Duas variedades singulares (MT,f1) e (M?,f2) em

N, são'bordantes se a reunião disjunta (M?kj M?,f1LJ fz)borda em N.

Essa relação é de eguivalência e a classe de bogdismo não orientado de (Mm,f) por essa relação, será denotada por, [Mm,f]; seja Ylm(N) o conjunto de todas taisclasses.

nª(N) tem estrutura de grupo abeliano, dada pe—

la reunião disjunta: [MT,fI] + [Mª,fzj = [MTKJ MT,f1LJ szA soma direta Y]*(N) : Eqm(N) tem estrutura de n*—mõdulo

graduado.As definições deste parágrafo podem ser adapta —

das para o caso orientado e o grupo de bordismo orientadoserã denotado por 9m(N).

Thom.mostrou-que para cada CW complexo N,JV o

homomorfismo u : “HJN) + Hm(N,Zz) 'definido poru([Mm,f]) : f*(pM), Onde “M é a classe fundamental dedMm, é um epimorfismo;

Para todo CW complexo N, eXiste uma sequên -cia espectral de bordismo não orientado (E; q,dr] com

_ . ,_

E2 = H N e cu'o Em-termo é associado a uma filtrap,qv p( 'qq) ]: —

ção de n* (N)...

No capítulo I, vamos dar uma caracterização dos

elementos dessa filtração, usando números de Whitney - de

uma aplicação.—

Como estamos considerando o caso não orientado,“temos Hp (N ,Qq ) — Hp (N, Z2 ) &11q e a sequência espectralde-'.bordismop é trivial.

Teorema 0,4

Para todo CW finito N,

xP: H*(N,Zz) €) ”* +n*(N), definido por.

xP(Cn,i (3 1) : [Mª, fi] é um isomorfismo de'ná—mõdulos; aqui, [Cn,i] é uma base aditiva de Hn(N,Z,)

,

n .

e >Cnli = u_([Mi,fi]).D

Vamos exibir o isomorfismo, no caso N : Sn;

Proposição. 0.5 ;

A aplicação »? : np(sn) +qpporA —P([Mp,f]) : [MP]. 63 [f—1(yo)], onde yO é um valor

e ”P_n def lnlda

regular de f: M + S?, é um isomorfismo, para p _>_ n.

Prava

Basta mostrar que »? é sobre .

”Dado [M'p] © [KP—n] em np (+) np—n' seja"2: K x Sn + Sn, a segunda projeção e tomemos y(, como valorreguiar. Então. n£1(yo) é uma subvariedade difeomorfa a K.

Consideramos M : M'LJ (K x Sn) e seja f:M-*sn,

definida per f(x) : cte, se x e M' e f(k,s) = W2(k,S),

se (k,vs) e K x Sn.

,[M] &) [f'ªmn =

.= [M'] &) [1r21(yç>)]'= [M'] (4) [K] uma vez que [szn]=o.' EI

Então “W [M,f] )A

Teorema 0.6 ;

SejaA vp: X .—> Y uma aplicação entre ÇW comple—

. xos finitos. Uma condição necessária e suficiente para que[Mn,f] e On”) esteja na imagem de

'

1“: ”nº" + (“(Y) e

que todo número de Whitney de— [Mn,f] associado a um ele —

““mento do núcleo de -w*: H*(Y,z,) + H*(XrZ2), seja nulo;..._._,,4...-._ .,..._...._.- -... ... ..

'

. ª& . '

«**(um? ,;x ,

: e! “'fj“ 53 - Obstruçao

Para maiores detalhes sobre este parágrafo,, ver[B]; ºu [Wh]*

Definição

'Um espaçov Y é n—simples se for conexo por ca;“ minhOS e tal que para todo 'y1,_y2 de “Y e cl, cz, CUE,

vas ligando yl a «Yz, os isomorfismos;

c?i e ÉÍ : nn(Y;yl) + wn(Y,yz) coincidem.“

, .“, _ _ _

Nesse caso, uma aplicaçao f:,Sn + Y determinaum único elemento de un(Y,yo), V yo e-Y.

Se n = 1, "n(Y) ê abeliano. «

Sejam (XiA). um- CW complexo çelativo e' Y p-'-simp1es. “

Suponhamos que h: A + Y possa ser estendida a

uma aplicação hpyxp + Y, onde Xpre'x(ph_, AQ.

.Seja E5*1. uma (p41)-cé1u1a dé Í(x,A) com a—

'.plicação característica:

fa'z- (Ap“, XP“) + (xwvxp )

.. .O . '

Entao hP o fa | AP+1,:.AP+1.à 3 representa um

elemento ca de “P(X).Seja. [eu]. uma base do grupo de cadeias rp+1(X,A).

. A cocadeia cp+1(hp) e rp+1(X,A,nP(Y)) é de-finida por. cP x(h )(ea )

= eu = [hp o fa].

“Definição:

cp+1(hp) é chamada cocadeia de obstrução ã extensao de hp a xp+1.

Teorema 0.7

Se hP : Xp + Y é uma extensão de h sobre XP

então hP 'se estende sobre XP+1 se,e somente seÁ£“ª(hppÍã

Suponhamos que Y seja (p—l) conexo. Então e—

xiste uma extensão hp: xp + Y de h: A + Y.

Se go, gl: Xp + Y são extensões de h, então.

>+1 +1go Xp_1 % gllxp_1(rel A) e cp (go)n«cp (gl).

' Segue qúe existe uma classe de cohomologia, uni—

vocamente definida, 0p+1(h) & Hp+1(X,A,nP(Y)).Ela.ê a classe de cohomologia de cp+1(hp), para

qualquer extensão hª : XP + Y.

Definição.

. .1> "

A classe 0P+1(h) e Hp+ (X,A,wP(Y)) é chamada a,

L:.obstrução primária para estender h41

Definição

Seja 'Y'(p—l)—conexo. Um elemento'

ÍP(Y) e Hp(Y,np(Y)) é chamado p—característíoo se,atravêsdo isomorfismo HP(Y,nÉ(Y)) : Hom(Hp(Y),np(Y)), for correªpondente a um isomorfismo de. Hp(Y)' em np(Y).

Eventualmente, consideraremos o elemento p-caragÍteristico correspondente ao inverso do homomorfism0* : de.

Hurewicz, Qi: np(Y) + Hp(Y).

Consideremos & composta:

HP(Y,W (Y)) ª-> HP(A,n (Y)) É> HPf1(x,A,u (y))-P -P P

Teorema 0.8

“A obstrução primária op+l(h) para estender ' h

é dada por op*1(h) = (-1)P s'h*(t (Y)).. . p » E!

_Ilo _

Consideremos o CW complexo relativo (ã,Ã)=Ix(X,A)

com Xn : I x Xn_1LJ I x anF : in +_Y_ consiste de um par de aplicações

fo, fl : Xn + Y juntamente com uma_homotopia GÉ'Ixxn_1 + Y

entre folxn_1 e fl Xn_1.

Definição.

A cocadeia diferença de (fo,f1) com relação aG é definida como a cocadeia' dn = dn(fo,G,f1) = a (F)

,e

e rn(x,A,nn(y)) tal que an(c) = (-1)ªcn+ª(F)(ixc), paratodo c e rn(X,A).

Aqui 1 êfa l—célula de I com“ ai = il] — [0]Quando folxn_1 : fllxn_1 e a homotopia G e

estacionária, teremos dn(fo,G,f1) : dn(fo,f1).

las»cÁPI'rULo :" —

'- SOBREVIIINTERSEC'ÇÃO DE FUNÇÓES

.NeSte capítulo, consideraremos. a multiplicaçãoem 1]*(N), correspondente à intersecção de duas 'funções

f: M + N e— 9: K # N. Embora essa definição se encontre'na literatura, iremos apresentã—la aqui.

—

'A menos de dualidade, a multiplicação que será

definida em n*(N), corresponde â multiplicação no, anel

de.cobordismo cq*(N), cuja estrutura foi estudada por

”Quillen_[Q].'

. .

à

A partir dessa multiplicação definiremos uma a—

plicação NI$:Y]m(N) +Y1m+k—n(N), _com lg: K'4 N, fixada e

estudaremos seu núcleo e sua imagem.

“51 - Definição

Éejam f: Nª + Nn e g;.Kk + Nn [aplicações di-'ferenciãveis entre variedades fechadas e diferenciãVeiSCOQ“sideremos a aplicação w: M x K + N x N, diferenciável,—[homotõpica a 5 f xvg 'e transversal ã diagonal Á,_e sejaV a subvariedade de "M x K, definida como a imagem inVer—

sa da diagonal' A, pela bw.

Denotando por 1: V + M x K,_a inclusão e

. "“'. _ll_

-1'2-7n: N x N + N, uma das projeções, seja h: V +«N, ; aplicª

'Ição “h = « o w'o 1. Ela é homotõpica a .f o "M e g 0 “K'.

onde '“M ; nl o-i e "K = nz 0 1, com nl e «2, reSpeg'tivamente, primeira e segúnda projeções de M Xºâ.

Definimos a aplicação:

4 Im,k :(]m(N) xnka“ +Y)m+k—n(N) por

Im k([M,f],[K,g]) = [V,h], que é a classe deI .

bordismo do par (V,h) acima..A classe [V,h] é a intersecção das funções f e

g.

Obs.]: Na realidade, é possível obter w da forma f' x a'com f' homotõpica a f e transversala g. (Propo-sição 0.3)

' A prova de que Im k está bem definida, decorreI

do.seguinte lema:

Lema 1.1:

Seja Q uma.subvariedade de' Nn. e sejam ,

« n . . - . .- .f : M? + N , 1 = 1,2, apllcaçoes dlferenc1avels e trans.a i lversais a Q. Se (M1,f1) e (M2,f2) são bordantes,A eºtãº-- «62%thij e (fzª(Q),fzojz) -tambémo são, onde

__ :=1-3 #-

[ji ; fI?(Ó) 4 M$,“ i à_l)2 são inclusõesi

Probaf .v

, U

Seja (W,?) 0 bordismo entre (M1,f1) e (M2,f2).Tomemos % uma aplicação homotõpica a F »e transversal aQ. A variedade W : f_1(Q) 'e a aplicação F: W + N, defi-nida por .É : Í W realizam o bordismo desejado.

.

A aplicação Im,k ê bilinear e induz uma multi—plicação em 'nj(N), que juntamente com a adição dada pelareunião disjunta, tornam l]*(N)i um anel comutativo, que

é também uma Y]* + álgebra:É possível definir uma multiplicação em. n*(N),

*correspondente ã intersecção de funções. No Capítulo 111,3' parecerão alguns casos em que ela será usada;

ConSideremos o homomorfismo de Thom,x

u:W*(N) , H**>(N,z2), definido por u([M,f]) ,=f

: f*(uM), onde Mª é uma variedade fechada ª'e

"M e Hm(M,Z,), sua classe fundamental, que é um

'homomorfismo de Zz—mõdulosw

_ L4-M K .

V e _va as classes duaisde f*(uM); g*(uK), h*(uv), (“M)* (uv) e ("K)*("V)' reg

Sejam Uf, Ug' Uh' U

pectivamente.Com essas notações, valem as igualdades:

f*(uª) = triª, e quai) = U$ (*)

Por definição, D(Uf&J Ug) é a intersecção das

_classes de homologia f*(uM) e g*(uK), denotada porf*(uM) . g*(uK), onde D é a dualidade de Poincaré.

'Seja a GiHn(N,Z2) uma classe qualquer.M

<a.h*(uv)> = <nâf*(a).uv> =<f*(a),UVfN uM> =

<f*(axJ Ug),uM> : <akJ Ug' Uf(XuN> =

<a! (Uf U U9.) 0 uN>º

A estrutura de anel.de H*(N,Z2) .é isomorfa àde H*(N,Z5), Via dualidade de Poincaré e o homomorfisnm>deThom satisfaz:

u(Im'k([M,f];[K,g])) = “([V,h])_= n*(uv) :

: “([lel) . u([K,g])

sendo, portanto, um homomorfismo de.anêis.

'- 15 —

. 'Obsç2: Sejam. M, K'e N variedades orientadas, G um anelcom unidade cujo grupo subjacente é finitamente ge—

G»rado e '“K , a classe fundamental de K sobre G.'

, G G GDenotemos por Ug : D(g*(uK)):'U--= D(f*jug));f

.M G K .

-

UV: D(TrM)*(uV) e UV : º("K)*(“S)' onde [V,h] :=. Im,k( [M,f] : [Klg] ) .

Com estas notações, temos:. f*(Ug)-= U$ eG K »

.

' .* - 'g (Uf) - UV. .

.

52 — RélàçõeS'entre os números de Whitney das a-plioacões f,dg e h.

Seja Mm uma variedade fechada e denotemos por-.1, wl, ..;, wm as classes de Stiefel Whitney de M e porw(M), a classe total..

Para.toda partição vi1+iâ*"';ik = m, o número

—<wil ... wi >—€ 22 está definido e'ê chamado número de_

NMStiefel Whitney de M.

Consideremos o par (Mm,f), constitnido por uma

yariedade fechada M e uma aplicação contínua .f:bMm + Nn,

LISeja_ & e Hi(N,Zz) uma classe de cohomolooia. Para toda

“partição il & ... + ik = m fui' o número-

'<wL ... w. . f*(a), u > € Z2 eStã definido e é chamado o11 lk M .

número de Whitney da aplicação f.',Consideremos os fibrados tangentes a M, K e N e

' TT

"16"os respectivos fibrados induzidos pelas aplicações

M :'V + M; “K : V + K e 'h : V + N..

,Obs.3: Os fibrados TV <$. h*(TN) e nª(TM) © nª(rK) sºbre V são equivalentes e então w(V).h*(w(N)) ="

: nã(w(M))*, nã(W(K)).

Proposição 1r2:

Se g*(wi(N)) : wi(K), O : i Í m + k - n, entãoos números de Whitney da aplicação f: M + N determinamosnúmeros.de Whitney da aplicação H: V + N.

Prova:

“Seja a e Hª(N,Z,) uma classe qualquer e sejaI ªuma partição de m + k — n — 1.

Da observação 3, segue que wi(V) = “ª(wi(M))'o 5 i Em 4» k - n, desde'que g*(wi(N)) = wi(K),0íi_<_m+k—n.

Então <WI(V).h*(a),uV>=<nÉ(wI(M)).nâ f*(a),uv>=

<wI(M).f*(a>,U$_ n uM> (:) »<wI(M).£* “(a),fHUg) n uM> =

<wI(M).f*(axJ Ug),uM>.

Se g*(wi'(N)) = Wim e f*(wimn = Wim),

_ 17-07: i í—m # k - n, existe uma expressão para os números de

Whitney de h: V + N, envolvendo as aplicações f: M + N egz-K # N, a saber:

. »

'k _»,

<wI(V).h (a) > — <wI(N).a.Uf.Ug,uN>.luv

Consideremos a aplicação É : Mm x Kk + Nº, definida por 'f'<x',y) = f(x), onde f: Mm + Nº.

Lema 1.3:

Seja a e Hm(N,Zz) uma classe de cohomologia e

seja il + ... + ir ª k uma partição. Então

<wi1... wir.f (a), "MxK> - <a'(Vilºf'vir'uK>f*(uM)>' vonde

os wís e vis representam as classes de Stiefel4Whitneyde M x K e de K, respectivamente.'7

Prova:

Qualquer classe de S.W. do produto M x K é da

forma "wi % l & vi + termos envolvendo classes de 'S.W. de

M.

, _ .'* ,=., ., .

Alem dlSSO, Wil... wir.f (a) f (a)ªvll...vir+te£mos da forma A.f*(a) & B, onde dim A.f*(a) > m e

dim B < k, que ao serem avaliados em' dão zero. Po;quKl»:

..“ 18 ..

tanto, <wi ... w. .E*(a),1 lr uMXK> =

íf*ça) (>E>vil "'Vir'—"MXK? : <a,f*(uM)>.<vil...vir,uK> :

" < < . ªo. ' >. >.a. v11 Vir'“K f*(uM)

53 - Caracterização de Jp n-p' usando números de,

Whitney de f.

Seja X um CW complexo finito e para cada n,seja [Cn,i] uma base para Hn(X,Z2), como um espaço vgtorial sobre Z:.

O homomorfismo de Thom u: nn(X)-+ Hn(X,Zz) é um

epimorfismo, logo podemos escolher uma variedade singularfi : MÍ'+ X, .com fi*(uMi) = Ca,i'

Definimos Q:H*(X,Z2) $U; 4Y]*(x) por

' nQm . 91) = [Mi, fi]n,i

Teorema :

_“, 4)-é um isomorfismo de Í]*—mõdulos. [C].I]

Denotemos por xpn :jêº Hj(X,Zz) 8Y1n-j +f]n(X),o isomorfismo de Zz-mõdulos, no nível n e seja

. ” p, .

(**) Jp,n—-p =xpn(j㺠Hj(X,Z2) 9 “ __).

.QLg- .

Consideremos a filtração:

, ,(]n'un = Jnloí) Jn_1'13 ,.. 'ÓJo'nD o, “onde

Jp,n-p = imfi*:Y)n(X(p))f Y]n(x)], “O É p E n.

A sequência espectral de bordismo não orientado,“

Pin-P :_” Hp(X,Zg) () Y7n_p.[C]. Como ela é trivial,associada a esta filtração é tal que Eª

||

JEz =Eºº : MLp,n—p p,n—p Jp—ljn—p+l

Entao Jp,n—p : Jp—1,n—p+l C)S, onde_ S e 150—

'morfo & Hp(X,Zz) C) nn-p' Combinando este fato com'

[af“ 1 ** btemos J —

- = 5.

.ormu a ( ), o p,n—p p,nrpO Teorema a seguir dá uma caracterização de

J .Pin—P

Teorema 1.4:

.

J ' é o conjunto formado pelas classesPin—P.. ,_

[Mª,f] eV]n(x), tais que para todo a e HJ(X,Z2) e 'par—I

tição I de n-j, com j > p, -o número de Whitney co;respondente <wI(M).f*(a),uM> é nulo;

_zQ-Demonstração:

.

Um elemento de Jp,n—p ê_representaào por [Mn,f]

tal que f(M)<: x(P), onde f- é uma aplicação celular.Então para qualquer a e Hj(X,Z,), j >Ap, temos f*(a)=0.

Reciprocamente, fixada uma estrutura Celular de

X, consideremos [cd,i] uma base para H*(X,Z2). Para cª. dda cd'i,_se3a [Mi,fi] a classe tal que fi*(uMg)= cd,i

com fi celular.O conjunto [[MÍ, fi]] .constitui uma base para

o n*(erCJIsto significa que um elemento B de V]n(x) se

.

_ dº" d _ dl _

escreve como 6 - ã [Ki x Mi' fi], onde [Ki ] €(1d' e

d' 4 d = n. Suponhamos que B satisfaça a condição do

teorema.— ' .

Observemos que se d : p, então fi(KÍ x Mª) :='fi(MÍ)<: x(p), para todo 1, o que acarreta que

IE [Kª x Mg, fi] pertence a Jp n pº Basta provar, poE

d<p ' ."!

tanto, que [Kg ] = 0, para d > p.Suponhamos d' = O e tomemos a & Hn(X,Zz) uma

classe qualquer. O número de Whitney <fí(ª)'uMn x Kº) +i i

+ Z <fí(a),uMd Kd'> = 0, “por hipótese, lembrando quei )(p<d<n i

d' d —

[Ki x Mi' fi] pertence a Jp,n—p'

;.21_Portanto: <a,(fi)*(uNÇ?».<l,uKã>j+,

.. ,

_ " '' (”""“ "' ”ff ' " x .

*+ »X.. <a (f.) (v-dJ > ; <l "d'> =p<d<n ' 1 *5. Mi,

Í

! UK. 0.

Por razões dimensionais, a segunda parcela é nu-'la, donde se conclui que <a,<l,uKo> . (fi)*(uMn)> : 0 e,i ' iportanto, [Kª] : 0.

' d' d —'

Suponhamos agora que [Ki x Mi , fi] = 0, parap < r < d Í n e tomemos a e Hr(X,Z,) e seja11 É ... < is' uma partição de n — r. Por hipótese,temos:

.

'+ <Wi . . o W . f;(a) " “erKn-'r> : 0ª i 1

Usando o lema 1.3 e, novamente, por razões dimen-!

sionais a expressão acima torna—se a seguinte:

n—r ''

<a, <v, ... V. , u > . (f.) (u r)> = 011 15 Ki * vMi

Como [[Mí,fi]] é uma base para f]r(X),' segue0 e, portantº“ [Kg—r] % 0ue <v. ... v. n-r>q 11 15' uKi .

Esse procedimento nos fornece uma-maneira induti! _-

va de provar que 2 [Kª x Mª, f.] = O ,p<dín l l J. D

_ 221-

'Obs.'4: Este teorema também decorre do fato dei*HJ(X,Z,) > nª(x(P),z2) ser isomorfismo para

.j 5 P: nula se j > p e da proposição 0.6.

Teorema 1.5

O conjunto das classes de bordismo de aplicaçõesdiferenciáveis f: Mm + Nn, entre variedades . compactas

tais que posto f'(x) 5 p, V x, está contido emv Jp m p', _

Prova:

Para toda classe a e Hn—j(N'Zº) existe uma va—

riedade singular (Tn—j,g) tal que g*([Tn'j]) : a.Pela proposição 0.3, existe uma aplicação dife-

renciável gl: Tn—j + N, homotõpica a q e transversal ax .

f e portanto, para todo par (x,y) & M x T, com f(x) =

= g1(y), temos N : f'(x)TxM + gi(y)TyTg Como postoqu (a!)

f'(x) i p, V x, e usando a igualdade acima, segue quen = dim(f'(x)TxM + g;(y)TyT) 5 p + n - j, 0 que é absurdose jt> p.

Concluímos então que g(Tn'j) C N — f(M),.

paraj > p e, portanto i*: Hn_j(N—f(M),Zz) + Hn_j(N,Z2) é so—

bre.Consideremos os diagramas comutativos:

" )

923, -Hªm, f(M),z ) L> Hj("H,z,)'k-—> Hj(,f(M)z )->H3+1(N, f(M),z )

IJ:-(M), (ª, 7.D'NNL) f(lM) L > Dãº/%)

*

:Hn_5(N;f(bí),Z,)_i-Í>Hn“_.1(N, z )->Hn“_(N,N-f(M) Zz“) +Hn—j—1'(N'f(M) Zz)

'onde as flechas verticais são dualidades de Poincaré ou &

lexander..

.A aplicação £* é, portanto, sobre para, j > p

e k* = O. Consequentemente, f*: Hj(N,Z2) + Hj(M,ZZ) é nªla para j > p, lembrando que a cohomologia de Cech,Éj(X,Z2). coincide-com a usual Hj(X,Z,), no caso em queX é uma variedade. [G]. O resultado segue do Teorema 1.4.

III

54 — Estudos sobre o núcleo e a imagem de IZ'

Eixemos à: Kk + Nn e consideremos a aplicaçãom. _ . .

>

'

m _Ig. nmm) +nm+k_n(N), definida por Ig([H,f]) _

= ImlkUMrfl-f [K,q] ) ; às vezes denotada simplesmente por Ig(f).Essa aplicação induz um homomorfismo de" módulos,

que será denotado por Ig: .*(N) a—n*(N).

0bs.5: A aplicaçao Im'k:Í]m(N)»Xf]k(N)-+f)m+ k—n(N) é talque se p 4 q < n, então sua restrição:_

' . ' >

'

Im,k ' Jp.m—p x Jmic-q +'Jp+q-n,m+.k—(p+q) e “lª'

..24... » “mCon31derando—se entao Ig .Y]m(N) +Y]m+k—n(N)'tÉ

mos que J está contido no ker Imn-k—1;m—n+k+1

A igualdade nem sempre ocorre, como mostra o e—

xemplo a seguir:Seja 9: Sp x S1 + Sp+1xsl, um mergulho dado por

g = i x Id onde i: Sp + Sp+1 é a inclusão e p 3 2.sl!Consideremos Ip+ :np+(Sp+1><Sl) +np(Sp*1xsl)

p+1 p+1 _ pài 1

Ig ([S ,f]) [Sp ,gonspxsl], que é nula em'flp (S xS ),onde fzsp.+1Xp + SpHxS1 é a inclusão. .

Porém, [SFªllf] nâãestã em J0,P+1-

Proposição 1.6

Se g*(wi(N)) = wi(K) e u)ug: Hí(N,z,) +

__Hi+n—k(N,Zz) ê sobrejetora, para O É i < m + k - n,en.. m _ ,tªº ker Ig ' Jn—k—1,m—n+k+1'

Prova

Seja [Mm,f] tal que I$([Mm,f]) [V,h] 0.To|| ||. &.

memos úy e HJ(NLZZ), j > n - k — 1, uma classe qualquerHJ—n+ke uma partição I de m - j. Existe a e (N,Z,)

com .GFJ Ug = y, visto que LÍUg é sobrejetora e paratal partição, <wI(M) . f*(y),uM> : <wI(M).f*(aUUg),uM: <wI(V) . h*(a),uV> = 0—

nmk- 1 ,m—n+k+ 1 'El

PeloLTeorema 1.4. [Mm,f] está em J

- 25 *-_

'Súponhamos íK— de mesma dimenSão de“ N_.e'ng i K + Nn, com g*iug) : “N'

corolário 1.7: “

(D!Se g*(wi(N)) : wi(K), 0 í'i : m, então' 12vmonomorfismo.

.

Basta observar que nestas condições,Jn—k—1,m;n4k+1 = [0] e &)Ug : Hi(N,Z2)'+ Hi(N,z,)» é iso-morfismo.

E]

Os exemplos a seguir mostram que as condições da

proposição são só necessárias

1. Consideremos gi S1 + T2 = 81 2 Sl, 0 mergu'—'

lho definido por g(x) = (x,e)» e I; :V],(Tª) +Í)1(T2)Ne5'0,1, porêm,

.

te caso, g*(wi(T?)) = Wi(Sl), “i

kaa' : Hº(Tº,Z,) + H1(T2,Z2) 'não é sobrejetora,»

onde

a' : D(g*(usl)). Embora uma das hipóteses não esteja satig.

2 _.feita, temos ker Ig — 30,2'

2. Consideremos Ig :(),(Pª) + “I(pª), onde.

g: S1 & P2 é.a inclusão de' Sª. no plano projetivo PãNeg

te caso, as aplicaçõesi+1 ""Lia: H1(Pª,Zz)-+ H (Pª,Zz),- i 0,1 são sobrejetoraspn

_ 26 _

—a é o gerador de H1(Pº,Zz).Porém. g*(wl'(Pº)) ªgrº-(a) #o' e wnsl) = o. .

Novamente, temos ker Iª : J .g 072

Para facilitar a notação, indiquemos por [KXM,É],I

o seguinte elemento genérico de J , [Km x Mº, f0]' .+i,m—i# [Km—1 x Mª, 31] # ... + [Km—l x Ml, fi] e seja1 ' , . » .u : Ji,m—i + Hi(N,Zz) & Y1m—i' a aplicaçao que assoc1a a[K x M, E], o elemento ((fi)*(umi)' [Kmfl]). Observemos

. _1.

que nl, a menos do isomorfismo me : nm(N) +m

Y] - . , . . —+ 130 gi(N,Zz) (& m—il e a 1—e51ma progeçao.Denotemos por ug, a classe g*(uK) e sejau

Hi(N,Zz) L—º> Hi+k—n(N'Zª)' a aplicação definida por a oug== D(BxJ Ug): onde 8 é a classe dual de a e D a duªlidade de Poincaré.

Lema 1.8:

Os seguintes diagramas comutam

. i'

-

Ji,m—i Ig .; % Ji+k—n,m—i' i ' É ' i+k—n" (, > "'

'

. , v ' .

.

Hi(N'Z.2. )Qnm_i ———-—-—- aug & ild > Hi+k—n(N'Zº)&qs1—i' ºílím

Seja ae an'l(N,,Zz) uma Íclasse qualquer e para to—

ida a e Hk+l—n(N,Zz); usando pfopriedades aos prodútoscupe cap, temoszí

<a,D(a U Ug)> : <ª,“ U ug)“ uªi,->.:

=. <ª Ufa. Ugª' n uN> ; éa U.a,g*'(uK)> ='

<qª<aUa),mg>.= <g*(á),Dg*(a)> = <a.g*(ng*<a))>.

_V28V_

Para o segundo diagrama, observemos quei .Ig ' Ji,m—i “* Ji+k—-n,m—i é a restrição de

m ,

Ig frlm(N) +f]m+k—n(N)

Seja [W x M,f] em J. e denotemos por1,m-iIVl+k—n,hi] o produto de [Mi,fi] por ,[Kk,g].

Então “i+k—nolà([WXM,f]) ='

= (hí*(uvi+k_n), [wªi-1) = ((fi)*(u i).à'*<uK),[wm'i1) ='M

(mg e ;d) o ni([W x ME]).[]

Proposição 1.9

! Se ong : Hi(N,Z,) + Hk—n+i(N'Zº) ê monomorfismo,' « mPara n - k 5 i 5 m, entao ker Ig : Jn—k—1,m—n+k+1'

Prova

-Provemos por indução sobre 1

_ _1 , _ . '

'1; k e a apllcaçao nula. Vamos supor queK Ii-l—J' 1 bi "er g _ n—k—1,m—n+k+1 e em remos que Ji,m—i e lguala Ji—1,m—i+1 “Gr S, onde S é um grupo isomorfo - a

Hi(N,Zz) o(lmfi.

_ 29 _

i,m—i' com aSeja x = a 4 b, »pertencente a Jem e b em S.J. .“'

Segue do lema 1.8 que se x está no Bar 13, eªtão (euª G) Id)(ni(b)) : O e como (ouâ & Id) é monºmoffismo e wiIS é isomorfismo, então b = O.

A aplicação 13—1' é a restrição de Alê a_

» 1-1 . . - .Ji—1,m-i+1 e, portanto, Ig .(a) = 0. Da hlpotese de ;ndª- . x t' .cao, segue que les a em Jn—k—1,m+k—n+1 E]

Coroldrio 1.10

se Hn-i(N,z,) Zilª-> Hºnfk“l(N,z,) é monomorfis—m _ J .

g _ n—k—1,m—n+k+1c_[]

»mo, para n -.k i i : m, então Ker I

!

Proposição 1.11:

Se Hn'1(N,Z2) &Lºº—> HZn—k—1(le;) é epimorfiâ-omo, para n — k < i <_m, então 12 »é epimorfismo.

Prova

A prova será feita por indução sobre i.- ;

'-

'

n—k—1Observemos, prlmelramente, que I toma va—r_9 .

lores em [O] e suponhamos que

_30_'i—1 . . .

Ig (Ji-1,m—i+1) ' Jk—n+i-1,m—i+1'

Seja x = a + b emv Ji+k—n,m—i' com a em

J e b em S, onde S é isomorfo &k-n+i—1,m-i4iHi+k—n(N'Zº) º nm—i'

Da hipotese de lnduçao, eglete y ; Ji—1,m—i+1'tal que I;Í1(y) = a'e, portanto, temos ”ni+k—n(x) :_ “1+k—n o Iã-1(y) + ul+k_n(b) que é igual a

(o u'g' & Id) o ni(y) + "“lª-“(b), pelo lema 1.8.Como Hn-1(N,Z2) EL23> Hzn—k+l(N,Zz) é epimorfig

mo, segue que (o uq & Id) é epimorfismo também e entãoexiste & & Hi(N,z,) © “md, tal que (o ug o Id)(£)=“i+k—n(b).

Consideremos nlIS', onde S' é isomorfo aHi(N,Z,) & (lm—i' Então “(nlIS')(£') = 2, para algum

z' e S' e portanto n1+k_n(b) = lo ug (3 Id) o wl(£') =

_ “i+k—n i . i) i _(Ig(£ )) e Ig(y+£ ).- a + bªú

Consideremos as filtrações de (] (N) e dem+k—n

Hmm).Y)m+k-n (N) : Jm+k*—n, oº >Jm+k-n-1 , 1» 3 ' ' ' 3 Jo ,m+k—n

e qmm) = Jm'OD Jm__1'l'_) : Jº'm.Butão se Irá—k : J não for s_c_>n-k,m+k—n + qo,m+k-n'

. m . , “ -brejetora, Ig .Y)m(N) +Y7m+k-n(N) tambem nao o sera.

_ 31" _"

Uma Condição necessária para que» J "' este". . . 0 ,m+k—n _

m'ja contido na imagem de Ig é que m i n —ik.

'Propoéição 1.12

Para que J esteja contido na imagem 'deo,m+k—nm9seja um epimorfismo.

. é suficiente que a aplicação LIU : Hk(N,Zz)+Hn(N,Zz)I g

Demonstração

Se NJ Ug : Hk(N,Zz) + Hn(N,Zz) ê epimórfismo,egtão

. ug & Id : Hn—km'zº) Q Ylim+lk—n + Hº (N'Zº) ©“m+k—n

também o é.Consideremos o diagrama comutativo:

. n—kJn—k,m+k—n 9 >

Jº Im+k_n“Il—k

»

3.

.

Tr0

Hm+k(N'Zª)$nm+k-n> ºu & Id > Hºm'zº) ªnm+k—n

Segue que se ªug © Id .ê sobrejetora, então.' - , . .

V

' - m -

J0,m+k—n esta contido na imagem de Ig .E]

_ 32 _

Seja e :()m+k—n(N) +Y1m+k-n"ªv aplicação defi—

_ ' '.nida por º([V,h]) — [V] e Sejª Ig -Y1m(N) +()m+k—n ªaplicação definida pelo diagrama comutativo:

*

mY1m(N) Ig>

Y]m+k—n(N)

I' /:) e

.]

YLú+É—h

_Como Y]m+k—n pode ser identificado com J0,m+k-n

estivercoª. ' "' | "e e e sobre, entao Ig e sobre se Jo,m+k—n

tido na imagem de 13.

Proposição 1,13

Se, H1(N,Z) = 0 entao Ig :Y]m(N) +Y7m-1 e nªla, onde K' é uma subvariedade de N e q é a inclusão.

Prova

Tomemos K uma subvariedade de N, de oodimen—

são 1. Como N é uma variedade orientada tal que HIQLZZ)=O

enúk> K Sªgna tº e êcnjentânú.eixmtfinadoxxnmaltzivtúuConsideremos f : M + N transversal a K; então

.

f_1(K)

tem fibrado normal tçivial em M e f*(Ugl = 0, pois

.. 33_..

mg. = nºrmª) e €*(uK) e-Hn__1m,zz) =“ o..

Logo f—1(K) é homologa & zero_em M. e, portaºto, é bºrdo. Isto implica que Ié“ é nula.

CAPÍTULO II

SOBRE TEORIA DE OBSTRUÇÃO

Neste capítulo, faremos um estuªo soÉte classifª_cação de classes de homotopias de—funções E: X + Y, ondeX e Y 550. CW complexos, com Y' hesimples, para todon i'dim X e obstruções à extensão de uma dada função h:A+Y.

Os resultados apresentados neste capítulo serãoaplicados no Capítulo III.

51. Sobre Classificação de Classes de Homotopias de-Funções

Os teoremas deste parágrafo referem—se a condiQ'

ções-para que duas aplicações f, 9: X + Y sejam homotõpi—

cas; onde X e Y são CW complexos com YY n—simples, paraum inteiro n i l.

.

,

FiXado um grupo abeliano G, consideremos.

R = K(G,n)' um espaço de Eilenberg MacLane _e ªª(ã)e:Hn(ã,GLum elemento n—característico,

.

Dado u ean(Y,G), existe uma única aplicação'

Q: Y ;_â, tal que €*(tn(ã)) ='ú, r, -. . , onde,

ç*:Hn(i,G) + Hn(Y,G).“ “

A induzida 4h: nn(Y) + nn(ã) ='G, induz a mudaª

ca de coeficientes:Ngª: Hp(x,wn(Y)).+ Hêerrn(ã)), para todo p.

_ 35 _

_ 36 _

“Teorema 2.1

Sejam f,g: Xn+1_+ Y homotõpicas sobre o (n-1)—

-esqueleto de X e com f#(u) : g*(u). Se »?ª é monomor —

fismo, então f e q são homotõpicas sobre o n-esqueleto de

X.

Prova

Consideremos H: Xn—1 x I + Y, uma homotopia-en—

'tre f e g .'A obstrução ã extensãó de H a uma' hgn—1 n—1'

.' - n » nmotopla entre fn e qn e dada por d (fn,H,gn)eH (X,nn(Y)).

' nTemos xp:(dn(fn,H,gn)) : d (Qºfn'QºH'Qºgn); como

f*(u) = g*(u), vale (Qof)*(Ln(1"ç)) = (Qogwanuín.u n u -Po;tanto, _Pn(d (fn,H,gn))_= O e como “?n e

monomorfismo segue que dn(fn,H,gn) = 0.Então f e q são homotõpicas.

. n n []

Teorema 2,2 _

1 -Sejam f: xn+ + Y e a & nª(xn“,G). Entao e—

xiste g: Xn+1 + Y tal que g*(u) : a e glxrl-l : fIX.. & . use e somente se a —f*(u) pertence & lmagem de &?n.

- 37 _[

':Prºva,

D+. 1 _

Suponhamos que exista g: X 1+ Y .tal queg*(u) ="a e glxn'"1 : fIXn"1.e consideremos c:“"Xn+1 + Y

uma função constante. Então .Qg(dn(fn,gn)) : dn(Qofn,Qogn)=

»anmfnm + dª(c,4>ogn) .= (Jeognvú'nu'o)a - fã(u).—'

w ofn) * (Ludo ) =

Il

.Reciprocamente, se a - f*(u) pertence à imagem

de “PE, então existe .8 & HÉ(X,nn(Y)) tal que - ©;(B)

'='u « f*(u) e existe 9: Xn+l + Y com glxn-1 : len—1n .

, .

tal que d (fn'gn) : B.

_ Então g*(u) = d"(c,Dogn) = pgdn(fn,gn) +

+aª(c,nºofn) “'º-Í“) + f*(u) = a. '

'ª . J D

Teorema 2.3

n+1Sejam f:Xn +.Y e a anº(x ,G).'Í u - . . Au - .Se ºn e epimorfismo e "9n+1 e monomorfismo,

«..

.v

_ l . .-v

.

entao existe 9: Xn+1 + Y tal que glxn : len 1e

'g*(u) = a.

Prova

.1 -Consideremos o(f) e Hn+ (X,nn(Y)) a obstruçaoã extensão de fn_1 ao (nàl)—esqueleto de X. Temos

_ 33 _

ªª(mfn ; O(Qof) = o.u - . . ..Como “?nàl e monomorflsmof entao o(f) : 0 e,

.' .. ' ª. n;],portanto, ex1ste extensao de -fn;l a X &

Agora basta aplicar o Teorema 2.2.E!

Teorema 2.4

Assumamos Y n—simples, para todo n 5 dim X e

suponhamos que:

a) Himnim) = 0, i # n e Hi“(x,ni<Y)) = 0,

i > n.u - .

. bh?n e monomorfismo.

Então a aplicação [X,Y] Jí> Hn(X,G), definidapor E([f]) = f*(u) é injetora e im E : inu?ª ZHnQLwnGO).

Prova

Dadas [f] e [g] tais que f*(u) : g*(u), com

f,g : X + Y, temos que f e q são homotõpicas sobre o

(n—l)—esqueleto de X, pois H1(X,ni(Y)) = 0, i < n e porhipótese,q)â ê monomorfismo. Segue do Teorema 2.1 que f e

q são homotõpicas sobre o n-esqueleto.Como H1(X,ni(Y)) = 0, i > n, segue que f e q

são homOtõpicas e, portanto, E. é injetora.

_39 __

"Como «93 é monomorfismo, imnçª'f Hn(X,wn(Y));'Dada f: X + Y,-então If ê homotõpica &

.uma

constante sobre o (n-l)—esqueleto, uma vez que. Hi(x,an)Y=.=i0, para i < n.

»

v

.

Pelo Teorema 2.2,_ f*(u) & imaQE.

Reciprocamente, se a e Hn(X,nn(Y)) : imxpâ; co—

.mo. Hn(X,nn(YÍ) : Hn(xn+l,nn(Y)), então a - k*(u) perten—

ce â imuçg; onde k é uma aplicação constante. Pelo Teorg' n+1.ma 2.2; existe fl: X + Y tal que fÉ(u) : a. e

fílxn“1.='k|xn'1.'

.

Como Hi“ (X,ni(Yi) : 0, i > n, é possível obter. f:X+Y

extensão de fl e, portanto, com f*(u) : a.Logo, im E : imeE %]

Para cada n 3 l, consideremos um grupo abeliano' .

_ Gn e Um elemento un 5 H (Y,Gn).*Vamos assumir que Y, é n—simples, n Í dim x; e

seja J,: [n : Hn(X,wn(Y)) # O].

Teorema 2.5

u. -,vn - . ” »

,

Se CPn .e monomorfismo, para todo n, entao a aplicação [x,y] .ª4>» n nª(x,Gh) dada por E([f])=f*(un)êneJinjetora, ie, f " g se'e somente se f*(un) = gf(un), pa—

ra todo n e J.

_ 40 -'

Prova

: Seja p o menor inteiro tal que HP(X,wp(Y))#O.Dadas duas aplicações f,g : X + Y, como

H1(X,wi(Y)) : 0, i < p, segue que f e q são homotõpicassobre Xp_1.

_u ,

Suponhamos f*(up) : g*(up). Por hipótesep-Ppp é

monomorfismo; segue do Teorema 2.1 que f e q são homotõpicas sºbre o p—esqueleto e assim, sucessivamente, aplicamoso Teorema 2.1 até chegarmos ao resultado.

[]

O que vem a seguir é uma interessante raplicaçãodo Teorema 2.5.

Assumamos que Y ê nesimples para todo nídim X

.Consideremos o homomorfismo de Hurewicz,mc: nn(Y) + Hn(Y), e a mudança de coeficientes,

se; : HP(X'"'n(Y“ + HP(X,Hn(Y)), induzida por ae.

Seja un e Hn(Y,Hn(Y)) um elemento tal que

<un,x> = x, para todo x'e Hn(Y).Seja J = [n:Hn(X,nn(Y)) # 0]

Teorema 2.6

Suponhamos quen -* .

"

a)3€n e monomorfismo para todo n,

_41-

b) Se n e J, então Hn_1(X) é livre;

_Então duas aplicações fig : X +VY são homotõpi

cas se e somehte se, para cada n e J, as induzidas f*,g;“: Hn(X) + Hn(Y) sao iguais.

Prova

Para cada n > 1, consideremos o grupo abelianoHn(Y); um elemento u —€ H#(Y,Hn(Y)) tal que <u ,x> : x,n n:] x .e Hn(Y) e seja ii: K(Hn(Y),n).

Seja .?: Y'+ É a aplicação tal que Q*(Ln(ã)) :

: un; observemos que Q.* : nn(Y) + nn(K) : Hn(Y) é o ho-momorfismo de Hunaúcz e x9* : Hn(Y) + Hn(Y) é ª identida—

de.Como, para todo n, &CK é monomorfismo e Hn— (X)

1

é livre, segue do Teorema 2,5 que f - q se e somente se

f*(un) = g*(un), para todo n e J.Consideremos o diagrama comutativo:

' f*'g*n ' nn (Y,Hn(Y)) > H (x,Hn(Y))

Ça .;x

f* *Hom(Hn(Y),Hn(Y)) -—fL—º—> ..Hom(Hn(X),Hn(Y))

onde 'pY(d$(Y) = <a,y>,'=y e Hnin.

_ 42 _

Para todo n e J, f*(un) : g*(un) <=> pr*(un)=.

& & .

= p'xg*(un) <=> f pY(un)_ = 9 pY (un) <=>.p (un)_f* :Y

nª(ún)g* <=>“9* 0 f* =xP* o g* <=> f* : g*t]

52. Sobre Extensões de Funções

Usaremos a terminologia do parágrafo precedente.Consideremos (X,A) um par CW e Y um CW n—simples.

x(pySeja h: A + Y e denotemos por , o p—esqug

leto de x e xlº =x(p)u A.

Teorema 2.7

u,n+1 .é monomorfismo e sejaSuponhamos quel?

f: Xn # Y uma extensão de h. Então existe 9: Xn+1 + Y talque gIXn_1 = fIXn_1 se, e somente se, õhf(u) : 0.

Prova

. '1 - _Seja o(f) e Hn+ (X,A,nn(Y)) a obstruçao & extensão de fIX a X *

.. n—1 n+1

Temcsrpâu'wmn = o(Qof) = o(Qoh) e

ôh*(ú) -=— õh*4>*(Ln(â)) = Moohwdnub) = —o(..poh), essa ªitima igualdade decorrente da teoria clássica de obstrução.[Wh] .

_ 43 _

? Como &)n41 e monomorfrsmo, temos que ,o(f) : 0

se, e_somente se,- 6h*(u) : 0.[3

Para cada. n 3 l,, sejam Gnv um grupo abeliano e'um elemento un 6 HQ(Y,Gn)..Vamos assumir que Y ê.n—simp1es

. para ..n : dim(X—A)—lj1 seja J : [n:Hn+l(X,A,nn(Y)) # O].

'Teorema 2.8

u .n — - , .

,

Se 4>n+1 e mono, para todo n, entao h. A + Y

estende-se para todo X se, e somente se, ôh*(un) : O,

Unit—:J.

Prova '

Esse teorema decorre de aplicações sucessivas do

Teorema 2.7;E]

Assumamos que Y é n—simples para todori.

_<_ dim(X—A_)—l,,

' '

»

Consideremos o homomorfismo de Hurewioz,

ºC: nn(Y) + Hn(Y), e.a mudança de coeficientes, induzida por30 para cada p:

_ 44 _

.n _ p + P.&Cp . H (x,A,nn(Y)) H (x,A,Hn(Y))

Seja J = [n: Hn+1(X,A,nn(Y)) ; O].

Teorema 2.9

Suponhamos que:

n - .a)3€n+l e monomorfismo para todo n.

b) Se n e J, então Hn—1(A) é livre.

Então h: A + Y se estende para todo X se, e

somente se, para cada n e J, existir um homomorfismow: Hn(X) + çn(Y) tal que h* : wo i*, onde

i* : Hn(A) + Hn(X) é a induzida da inclusão i: A + X.&

Prova

Seja un € Hn(Y,Hn(Y)) um elemento tal que

<un,x> =;x,' V x e Hn(Y)'Consideremos É & K(Hn(Y),n) um espaço de Eileª

berg MacLane. Então a aplicação Q: Y + É tal que—

Q*(Lh(K)) = un tem por induzida em homotopia o homomorfis

'. .45 .,

'“ mo de HureW1oz &C: wn(Y) + wn(K).= Hn(Y).Segue que, se OC2+1 é mono para todo- n, então

u . , .“9 n. ê mono para todo n e, pelo Teorema 2.8, h: A + Y —

n+1se estende para todo X se, e somente se, ôh*(un) : 0,*V n_e J.

Suponhamos inicialmente que h: A + Y se estenda para todo 'X; consideremos & sequência exata:

' * . .'

,ª > nª(A,Hn(Y)) º—> H“*1(X,A,Hn(y)) ++ nª(x)Hn(Y))

Temos então que existe a e Hn(X,Hn(Y)) tal quei*(a) = h*(un), v n e J.

DefinimOS' w: Hn(X) + Hn(Y) por w : px(a),

.onde px: Hn(X,Hn(Y)) + Hom(Hn(X),Hn(Y)).

Se 8 e Hn(A), temos:

wo i*(si = px(a> o i*(s) s <a,i*(s)> = <i*(a)ys>

(= <h*(unY,B> = eun,h*(s)>,= pº(un) h*(s) = n*(s)

Portanto, wº i* : h*

Reciprocamente, suponhamos que para cada n e'J,exista w: Hn(X)+ Hn(Y) tal que 'h* : wo i*.

Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

_46_

nª(Y,Hn(Y))'

'. nª(x,Hn(Y))

' ºY . px &

X

,,» /

Hom(Hn (Y), Hn (Y))_> Hom(Hn (X), Hn (Y))

XC)Hom(Hn(A) ,Hn(Y))

nH (Amman)

Temos:

p“ªh**p“(u)=oh*(un) - #A A1 iw ºY(“n)'

Consideremos a & Hn (X;Hn(Y)), tal que_ -#

DX (a) — w pY(un).— _ —1 -# _ -Entao h*(un) _ 1 px(a) __1*(a)..ºA

Segue que ôh*(un) : õi*(a) : Ort:|

º, '; ;QL;; CAPITULO III

EXTENSÃO DE FUNCOES“ COM CONDIÇÓES DE TRANSVERSALIDADE PRÉ—

VESTABELECIDAS,

Consideremos Kk úma subvariedade de Nn e g a

inclusão e seja Vm+k—n uma variedade, Se a aplicaçãoIé:(1m(N) +f]m+k-n' definida no Capítulo I, for sobrejetgra, existe uma variedade singúlar (M',f') €(]m(N)_tal quef'1ê transversal a K e f'—1(K) ê bordante a V.

Fixandoese uma variedade Mm e conSiderandomekªn' uma subvariedade de M, o fato de IÉF ser “sobre,náo implicará na existência de uma aplicação f: M + N,“

transversal a K," com f_l(K) bordante a V.—-

Consideremos agora o seguinte problema:"Sejam' V .e K subvariedades de. Mm“ e Nn,'

. ;respectivamente, de mesma codimensáo:

Dada uma aplicaçáo diferenciável fV: V + K," É

xiste uma aplicaçáo diferenciável f: M + N, extensão de

fv, transversal & .Kx e tal que f—1(K) = V?"»

Observemos qúe sed [V] 'náo pertencer à imagemde I', entáo náo existe extensáo desejada.

Sabe—Se queYl2 é gerado pela classe de bordis—

”mo do plano projetivo' P% e (15: por exemplo, pela classe'de variedade de Dold P(2,l). [W]

Se -V for um representante de [Pº] (respecti-

'

— 47 -

_ 481—_i

x

1

.

vamente de [p(2,1)]) mergulhado em *Mm else %;, defnú,.da em Ylm(N) e com valores ext”, (respectivamente Y15)não

for sobrejetora, (Ii é o homomorfismo.nuúo), entaofv : V +cK não se estende com as propriedªdes desejadas.

Daremos abaixo um exemplo em Quª fV: V + K 'nãose estende a f: M +'N, com' f transversaw a K e

V_= f—l(K),“ embora a aplicação IÉ seja áobre.

.Sejam d: Pf + PÉ x Pª e k: PÁ + CP(2), os me;gulhos d(a) = (a,a) e k(IA9;A1,A2]) = [Aºàzi,xz], onde

[Ão,11,Ã2] são as coordenadas nomogêneas de 'P2 e de CP(2)

e seja f P2 + P2 um difeomorfismo.Pº:Denotando por Yd e Yk' os ráspectivos fibra—

dos normais dos mergulhos acima; que nesse caso, coincidemcom o fibrado tangente do plano projetivo ÉPª, temos* ..fPª(Yk) “ Yaº

Suponhamos que exista E: P2 X ª? + CP(2), extensão de f transversal a P2 e com Pºi: f'1(Pº).Pª'

[Então f*(Uk) = Ud' onde Uk GSE Ud são os_reâpectivos: Poincaré duais de k*(“Pº) e d*(mpz) e “pº é a

classe fundamental de. PÉ.A classe Ud 6 Hf(Pf * Pª,Z2) _à da forma:

maº % nas"; rBº, onde a, B e H1(Pª,zz) .âão geradores.Se h: PÉ + Pf x P? »ê'definidaªpor h(x)=(x,cte),

temos que Uh : aº. Então Ud e Uh são &epresentadas porsubvariedades que se interceptam transversªlmente e cuja

'. intersecção é um ponto, logo- d*("Pª)'h*(uªª) : 1. [D], -

_. *1

1

_ 49 _

Mas deJ Uh ='rafsª, cujo Poincaré dual é ' r,portanto r : l;-de maneira análoga, mostra—se que m =»l.

Supondo n = O, teremos Ud : aº 4 Bº e ' como

d*f* = k*, Vale -o # k*(Uk)_ = d*f*(U "k,)

contradição. Consideremos então que n

d* (ud) *=d* (aª+sª-)=o,

“ 1.Logo, f*(Uk) ='a2 % aB 4'82 e É3à(f*(Uk)) =

azs 4 GHz # 0, uma vez que este último elemen—=Sà(a8),to é gerador de Hª(P2 x Pª,Z,). .

Por outro lado, Sà'fHUk) = f*(sàmkn = O,pois

sàwk) está em nª(cpª(2),z2) ': o.

Observemos, no entanto, que a proposição l.llgªrante que I£:(14(CP(2)),+V72(CP(2)) ê sobrejetora e, por“tanto, IÉ:Y]H(CP(2)) +Y72, também o é, onde k: Pº+CP(2)

já definida.»

Neste capítulo,-apresentaremos condições para a.existênCia de uma aplicação 'f: M + N tranSversal a K .e

tai que V : f_l(K),a que estende uma dada fV: V + K. Usa

remos, para tanto, a teoria de obstrução desenvolvida no

Capítulo II; daremos também alguns exemplosui"

51 — Condição para Existência de Extensão Local.

n Variedades fechadas, diferen—Sejam Mm' e N

'ciãveis, Vve K subvariedades de M e N, respectivamente,,de mesma codimensão; fixadas métricas.Riemannianas em M e

N, sejam vv e vk os respectivos fibrados normais.

_ so,-,

Consideremos 'fV: V 4 K uma aplicação diferen-vçiãyel e suponhamos que f*(vk).f'yv. Sejam D(uv) e D(vk).os fibrados em discos e É:D(vv) + D(vk) restrição de uma

.aplicaçao fibrada if: vv + vk' sobre fv, ortogonal em" cªda.fibra. Existem vizinhanças tubulares W e U em M ' e

N, difeomorfismos fibrados w:-W 4'D(vv) e ©: u + D(vk)sobre [Vie K, respectivamente.

Seja fw: W + U, a aplicação que torna o diªgrama,

%.vDcvv) D(vk)

% <» íªW ————————————> U

. fw

comutativo. Então fw ê uúa aplicação fibrada sobre fv'eportanto, transversal a K. Em particular, V : f%1(K).

!.

Neste capítulo, utilizaremos as seguintes nota-

ções: Y para N —>%, ãY para BU, X para M — %, A .

para BV, observando que Y e X são variedades que tem o

mesmo tipo de homotopia de Nº— K e' M — W, “respectiva —

mente.A .

.

Seja hl: A + BY, a restrição de fw: W +IU aosrespectivos bordos das vizinhanças tubulares e sejah ='j º'hl : A + Y, onde j: BY # Y é a inclusão. Obse£

ve que h depende dos difeomorfismos w e $.'

'. ,'.... 51..-

O objetivo é obter uma extensão diferenciáveldeh: A + Y; para tanto; basta obter uma extensão contínua.(Proposição 0.2).

52 , obstruções'ã Extensão Global

Neste parágrafo,.supondo que exista soluçãov lgcal, vamos procurar estendê—la a todo M.

o Teo—(DxO resultado principal deste parágraforema 3.1 que dã uma interpretação das obstruções ã exten—

são de h: A + Y.»

Seja G um anel com unidade cujo grupo subjacenteê'um grupo abeliano finitamente gerado. Salvo menção em con

trãrio, todas as variedades consideradas serão orientadas(quando G : Z,, a hipótese sobre a orientabilidade das va—

riedades pode ser suprimida)..

Consideremos Y -uma variedade p—simples paratodo p 5 dim X — 1 e seja & : K(G,p) um espaço de Eie

lenberg MacLane, com Lp(â) e HFRÉ,G) um elemento pecarac_terístico. .*

.

Dado u e HP(Y,G), seja Q: Y + É, a única a—P

plicação tal que. Q*(LP(K)) : up.?»,

A induzida em homotopia, Q*: "P(Y) + nP(É), iªduz para cada 'q, a mudança de coeficientes:

u .

P. q . + q “«?.q «..Hv(_X,A,TrP(Y))» H (x,A,nP(K)).

_ 52 _

ConsiderandO'emf X uma decomposição celular,sggundo a qual BX é um subcomplexo CW, denotemos porx(P),-o p—êsimo esqueleto de X.

Teorema'3.1

Seja hP : XP + Y uma extensão de h: A + Y e

suponhamos que *9% é um monomorfismo e que exista uma ªP+1

plicação contínua g: Q + BY, onde Qn—p—1_ é uma variedª'de orientada, que representa a classe de homologia a Dy(up).Aqui a é o operador bordo e Dy a dualidade de Lefschetz.Seja ainda. S a subvariedade de A x Q, tal que Ig(h1) :: [S, hlon (Observe que n é a composta da inclusão deA]' A

S em A x.Q e a primeira projeção nl: A x Q + A).

Entao ex1ste hpêlª Xp41 + Y tal que. _

' '

. G _hp+1[Xp_ 1 _ hpIXp—l se, e somente se, ;*nA*(uS) — 0 em

Hm——p1(X,G).

Prova

Sejam Dy: Hp(Y,G) + Hn_p(Y,aY,_-G) ee: (Y, BY ,G) + H (BY,G), a dualidade de Lefschetz eknp n—p—1

o operador bordo, respectivamente.Suponhamos que exista uma variedade orientada Q

|!e uma aplicação contínua 9: Q + BY, tais que g;(uã).='3D .y(up)

_ 53 _

Segue da proposição 033 que existe uma aplicação' diferenCiãvel, homotõpica a q e transversal a “hl: A + aY.

. , - _ “G _1. Sega .[S'hléwA] : Ig(h;i; entao hÉÇDáà g*(uQ))=DA .n G

A* (Us)!

onde D é a dualidade de Poincaré (Obs.2 Cap.I)* _' * '* - '_ * *l _Logo, h (up) _ h1,º 3 (up) _ h1(D3Y ª DY)(np)_

,; DÃlnA*(pª), onde a segunda igualdade provem do diagramacomutativoz'

,

. .*,Hp(Y,G) ——————l——————> HP(BY,G)

DY Q )v

.

'

»a ',

Hn_p(Y,8Y,G)————————f————>Hn_p_1(8Y,G)

u ' v“ : f ”"Como xPpÉI: Hp+l(X,A,np(Y)) + Hp+1(X,A,hp(K)).ê

monomorfismo e .hp : Xp + Y é uma extensãO'de' h, o Teorg'ma 2.7 garante a existência de uma extensão de h: A + Y sº'bre se, e somente se õh*(up) = O) ou seja,Xp“_1. *G _

'

Consideremos o diagrama comutativo:

'Hp.(A,G) 6,

> Hp+1(X,A,G)

%' c > ºx

, <

V. y

. i*'

Hm*P*l(A'G) >Hm—p-1(X'G)

- , —-1' G _ = . G _Entao GDA “A*(US) _ 0 <.> Dx 1* NA (ps) _ 0

_ -.

G _<M> 1* "A*(US) " O'D

_ 54 _

”Obs. 1:n—p—1Se nas hipóteses do Teorema 3.1, Q .ré uma

subvariedade de BY, então h: A + Y se estende a Xp+1 se,e somente se, a subvariedade hÍ1(Q) é homóloga a zero em

Hm—p-1(X'G)' se hlfh Q..

Observe que se hl não for transversal & Q é

possível obter uma hl transversal a Q e homotõpica a

hl.

Obs. 2:O fato de fV ser homotõpica ã constante, não

implica na existência de uma extensão com as condições re—

queridas. Por exemplo, consideremos g: S2 + S“, mergulho

canônico, “j o mergulho de slix pªo. em S1 x S2 e se-ja fSI: Slk+ Sº, uma apliCação homotõpica à constante.

sl'x s2 s“

)] f)g

1

Sl. .S > Sª

Como os fibrados normais são triviais, temos

fã1(vsz) = VsliSuponhamos que exista f: Sllx S2 + S“, trans—

versal a S2 e tal que Sl_= f_1(sª).Então, se D é a dualidade de Poincaré, temos

'D(j*(us1)) = f*(Dg*(usº)), o que é um absurdo, .

pois

_ 55 _

g*(usz) e Hz(S“) = 0 e j*(usi) à H1(Sleº) representa um

gerador.

Obs. 3:_

* “_

" .Se fV M cte e fv(vK) _ vv. entao a extensaohl: V x Slw-p"1 + ãY de fV é homotôpica a uma aplicaçãoh' tal que h'(VxSm—p—l)c: Sn—k—l.

Consequentemente, "hl se estende a 'Xm—p—l'

A existência da extensão global pode depender datrivialização usada na construção da extensao local, como

mostra a proposição a seguir:

Proposição'3.2

'Consideremos Sn—É: Sn, Vm—2 uma variedade ºrientada, mergulhada em uma variedade orientada Mm,'homõlº

,' — 2 . ª' .

ga a zero em M e seja fV: V + Sn uma aplicaçao difg.» » . m n -.»renCiavel. Entao ex1ste f: M + S , extensao de fv,trans—

versal a Sn"2 e tal que vªh” : f"1(Sn"º).

Prova

)

Mm sn

)A

-

f)

- Vm_f V >sn"º

_ 55 _

' ”" s * v - ,: v .Como vv e triv1al, temo fv( Sn 2) v. n .A esfera S pode ser VlSta como:

n On—1 x si, e portanto, S - U tem osn : sn“? x Dºu DId

mesmo tipo de homotopia de Sªl onde U é uma vizinhançatubular de Sn—z em Sn.

Observemos que toda seCção s no fibrado nor—

mal pode ser pensada como uma aplicação 's: V + M ? V. Cog

sideremos uma secção 5: V +5va)cuja imagem é homóloga a

zero em M e V (Apendice).Como o fibrado normal é trivial, podemos supor,

a menos de uma trivialização que A = V x S1 e a secção

s: V.+ V x Sl, seja dada por s(x) (x,pto). Podemos então construir uma extensão local de fV de maneira que

n...:hl: A.+ BY; BY : S x Sl, seja da forma (fv x Id).Seja L1(Y) e Hª(Y,Z) um elemento l—caracteríg

tico.' A classe BDY(L1(Y)) é representada pela subvª

n-_-2 1riedade- S x p<: Sn*? x S. e a aplicação hl: A + BY é

transversal a x p, cuja imagem inversa é a subvarig11(Y)_ : 2 -

dade s(V). Observemos quekp2 : ' H (X'A'Z) + H (X'A'Z) e

um isomorfismo e portanto estamos nas hipóteses do Teorema' 3.1. Como s(v) vê homóloga a zero em M—V, hl se esten—de sobre X2 e como Y tem o mesmo tipo de homotopia de

Sª, então não existe obstrução à extensão de hl a todoX.

Uma observação importante é que a existência da

"extensão não depende de fV, mas apenas de V ser homólo—

ga a zero em MU— V.D

Observação:A condição homóloga a zero é também necessária.

Coroldrio'3.3

. Toda subvariedade'.v orientada de codimensão 2

de M, homóloga a zero em M; borda em M.

Prova

Da proposição 3.2, existe f: M + Sn, transvegsal a Sn”2 e tal que V ='ff1(Snª2).

.Como Sn”? borda em sº,' então V borda em M.E]

'53 — Casos Particulares

Neste parágrafo consideraremos o caso particu —

lar em que Y fê uma varieçade (pel) 'conexa, para algum. |_ -

..

,

_

— - — P. P P .p 3 1. Enteo a apllcaçeOsPp . H (X,nP(Y)) + H (X,np(Y)) e'um isomorfismo e existe hp : Xp # Y extensão de h.

—58-—

Também abordaremos os casos em que N = K xs'ª“- . , . . - .- me M e arbltrarlo ou N arbltrarlo e M = S .

Usaremos as mesmas notações do parágrafo ante —

:rior. “

Proposição'3.4

Suponhamos que Y .seja (p—l)—conexo e que

np(Y) : G. Seja LP(Y) e HP(Y,G) um elemento p—caracterígtico e suponhamos que a classe de homologia aDy(ip(Y)) e

Hn—p—1(3Y'G) seja repreSentada por uma aplicação contínuan—p—lg; Q .+ BY, onde Q é uma variedade orientada.

Então h: A + Y se estende a Xp+1 se, e so—

mente se, i* « (uG) : 0, onde [S,hlon ] = I (hl).A,, -S A 9 D

Observemos que, nas hipóteses da proposição 3.4,se Qn—p—l. é uma subvariedade de BY e hllh Q, então h

' _ 1 , -se estende a se, e somente se, hl (Q) e homologa.

XPSa zero em Hm—p—1(X'G)'

CoroldfioA3.5

Se Hl+1(X,A,ni(Y)) = o, para 1 < m - l,então h

se estende sobre X.E!

59“. __

Para a próxima proposição, consideremosn '. k n-k mN : K x SA , M -uma variedade qualquer e Vm+k-n 'uma

msubvariedade de M , com fibrado normal trivial.

Proposição-3.6

Seja hp: Xp + Y uma extensão de h e suponhau . » ; »

. .mos que 4>p41 e um monomorflsmo e que ex1stam uma varledade orientada Q e uma aplicação contínua g: Qk—p -+ K

. G .

com (g x Id)*(ustn-k—1) : 3Dy(u).Entao ex1ste hp41= Xpài + Y tal que

; . _' ' '

. G _ _hptIIXp—l p Xp_1 se, e somente se, l*“A*(“S) _ 0, on

de [S,hl 0 HA] : IgXId(h1)'-' E]

' Se, nas hipóteses da proposição 3.6, Q é uma

subvariedade de K, então h. se estende a Xp41 se, e sºmente se; 'hÉ1(stnªk_1) é homóloga a zero em Hm_p_1(X,GL

se hl (h '(Q,>< Sn—k'l).,.,

-' E]

,Corolárío 3.7

'

.. . iàl '

Se para 1<m—l, tlvermos. H (X,A,ni(K)) : 0,

então .h se estende sobre X.E!

- 60 _

-; Observemos que se 'N-= Kk.x Sn_k, entao Y tem

o mesmo tipo de homotopia de K. Suponhamos que K seja(p—l)—oooexo e que wp(K) ='G. Então já existem duas condições da proposição 3.6, satisfeitas: existência de uma eªtensão h :X + Y de h e injetividade do homomorfismogçu .P P

_ P+1

ConSideremos agora M:='Sm e Vm*k"n(: Sm uma

subvafiedade tal que fã(vK):= vv. Nestas condições, a obgtrUÇão ã extensão de h; A 4'Y é a classe obtida pela in-.tersecção das funções fv e g.

'Consideremos o diagrama comutativo:

v > I.)(vk)

P Pv 7 KÇaV v

. V 'fv >Konde- É(Qv) e à(QK) são os fibrados-em esferas dos fi—

brados normais de V e K em M e N; respectivamente.

Proposição 3.8

Seja hp : XP'+ Y uma extensão de h. Suponhªu . . . .

'

seja um monomorflsmo e que ex1stam uma va —piariedade orientada Qk"p e uma aplicação contínua g: Q—+K

moquuexç

...51-

(com vaD (u) : (n )* (UGT) ondey. D(vk) ªQl'f

[Qi'Pk º Wó(vki] : Ig(Pk)-

Entao ex1ste hp+1z Xp41 + Y tal que_ _ .“

ª G '._hp+1|xp-1 hplXp_1 se, e somente se, '("v)* (uvl) _ 0,

onde [VI,fv o_n ] : Ig(fv).

Prova

Segue da Observação 2, Capítulo I, que se

Ig(pk) : [Qlapk º "ó(vky]l entªo P*(Dk19*(UG)) =

-1 _ G.

ºay(“n(vk))* “,th_

.

ºbteremos uma expressão para h*(u) em .termos' das condições dadas. Temos:

(| D'G

h*(u) 34.13"yhmvkmuwºl) = hfpkwK g,,(ug))=

PV f* Dk19*(uQ)

Consideremos o diagrama comutatívoz-

P*' . _*ª. "' i*V > HP(15(vV),G) -D—-'>"Hmí__p_(15wi > ,e) ...->nm_p_(sm—v,c;)

ªval. QD,“HP(V,G)

ª. (gªp: (D(vv) 15,(vV),c;)J-> Hm_p(sm,Sm-V,G)

_ 52 _

onde 31 e az sao os respectivos, operadores bordo das se—

quências exatas dos pares (D(v&),ó(nç)) e (Sm,Sm—V).

.Aqui estamos usando o fato que V tem o mesmoi

tipo de homotopia de Dinv).Os casos de interesse ocorrem para oki 0 e

p #'m; em tais casos, observamos, da sequência exata do par(Sm,Sm—V), que 32 é injetivo.

.

Nestas circunstancias, i* DP$(a) : 82 j* D(a)=0

se; e somente se, a = 0 para a e Hp(V,G). º

Pelo Teorema 2;7, existe hp+1: xp+1 + Y que egtende h se, e só se, Dgôh*(u) : 0.

Mas

Dx 5 h*(u) “= ;* DÚ(Ç)V)h*(u)

- ' . * * 1 G _ =' 1* DD(vv) ' Pv fv Dk g*(uQ) ' 0 < >

32 j* D ,f* D"ªg*(uG) : o <==>& D(uv) .v k Q

* ...1 GfV Dk g*(UQ) : º,

o que é equivalente a D;1("#)*(“$1) =.0, considerando—se

[Vl'f º n ] ='I (f )._

V , V 9 V[3

Nas hipóteses da proposição 3.8, se Q -ê uma

subvariedade de K; entao h ,se estende a xp+1 se, e sº.. 1 , , .

mente se,fV (Q) e homologa a zero em I&ukqpp“hG)'se thQ.'

63.

fara a próxima proposição.vam05 necessitar 7 da

;àygeguintegdeíiniçãoz.—

.

.

,.,

."Sejam Wm+Ln uma variedade orientada e N C W

uma subvariedade.fechada orientada de dimensão n.Sejam Mm ,uma variedade compacta; orientada -e

f:.M +»W,' diferenciável com f1+XN. Um ponto x e f-1(N)ê.um ponto com sinal positivo Ou negativo, conforme o isomorfismo linear

T TW '

TM f>T W—1>—X—, com y=f(x),x y TyN

preaame on inVerta orientação.Escrevemos i#x(f*N) : 1 ou —1, conforme # se-

.ja um pontocxm sinal positivo ou negativo.»

>

O número de interseCção de f com N' é o in—

teiro # (f,N) = »2 "#x (f,N)."'xef'1(N) *

Consideremos agora: Nni= Kk x Sn'k, Mm uma vªriedade,conexa;» mek—n uma subvariedade de -M com fibra—

do normal trivial; suponhamos .V conexa ou com n— k > 1,

Proposição 3.9

SGJª hm—l: xm1 +“Y uma extensao de h' e, sº

_ 54 _

ponhamos que «93 seja um monomorfismo. Suponhamos ainda

que exista uma subvariedade 'Qkºm+l, de K tal que[Q x sn“k"11 represente 'aDy(u).

_

Então hm_1 se estende sobre X se, e somentese,- # (h1,Q >< sn:—k'”) = 0.

Prova

n—k—l'(Hservemos primeiramente que hÉ1(QxS ) : tem

'número finito de pontos.n-k—l - - ,)= 0 e V e conexa, e possªSe ## (h1,QxS

velconsbnúr l—cadeias em V, ligando cada ponto positivo a

.um negativo._Se n 5 k > 1 então M — V é conexa. Logo se_ _1 —

át(h1,Q * Sn k ) = O, podemos construir l—caqeias em M—V,

conectando cada ponto positivo a um negativo.- Em qualquer caso, i*([hÉ1(QxSn-k—1)]) : 0 em

_

Reciprocamente, se 6h*(u) : 0, entãoi*[hÍ1(QXSn—k—1)] = O e, como hÉ1(stn-k—1) possui númg

ro finito de pontos, segue que ## (h1,QXSn—k-1) = 0.« E]

54. Exemplos

'Obthmmoa em nossos estudos, Várias aplicações a-

_65_través da utilização das técnicas atrás desenvolvidas. “O»

que vem abaixo é uma significativa amostra dos resultadosobtidos..

A

Exemplo 1) Consideremos V2 'uma variedade _o—

rientada mergulhada em? S”; PÉ X-S? x p 'mergulhada canonicamente em P? x Sª—x S?; seja iv: V + P3 x—sª x p uma

aplicação diferenciável.

3“ pª x s3 x s"2

+,

"

+

V2 iv Pª'x S3 x p

Os correspondentes fibrados normais são triviais, entãof;(v ) : v . Logo, existe uma extensão local que,Pªxsªxp vrestrita aos fibrados em esferas, serã denotada ' por.vh1: A + BY.

y

Seja h: A + Y, hn= hl 0 j, onde. j: BY + Y ê.

va inclusao; Aqui,v Y tem o mesmo tipo de homotopia [de

P3 x Sá, sendo portanto n—simples para todo n..

Temos também que «I(Y) : Zz, n2(Y) : O _e

na(Y),;'Z & Z,. suponhamos H5(X,A,Z) livre..

Se V2 = sf, então; Hf(X,A,Z2) : 0, portanto h

se estende sobre X;.Se 'Vª'í Sº, consideremos" u & H1(Y,Zz) -

: HÉ(P3xSª,Zz) 9 Hº(Dª;Zz) 'um gerador, e'a composta:

..66...

www—liª ' ª-, , º “. ,(Y,ay,zz), > He(8Y,Zz)

Pela fórmula de kanneth; Hs(8Y,Zz) : H3(Pª,Zz)8& H3(Sª,Zà) & Ho(SILZz) © H2(Pª,Z2) &. H,(sª;zz) &

e H1(sª,zz)..

—A classe 'aDy(u) Aê.representada pela subvariedªde ,Pº x,sª X'Slç; Pª x 53 x SIA e, como M“ : S", hl seestende sobre X2 se, e somente.se, a classe [f;1(Pºxsª)]-ê homóloga a zero em H1(V,Zg), se fvaNPº x[Sª. (Prop.3.8)

Seja Vl ='f;i(PºxSª) e suponhamos que existafl: V2 + Pª x Sª, fl nzfv, transversal & Pªx S3 com

Vl : fÉ1(PfXSÉ) e i*tV1] :'D, onde 1: V1 + V é a inclu—s㺓.

' '

'Segue que ff(Dj€[Pªxsª]) : D(i*[V1]) = 0 e,então, »fã(u) : 0. Concluímos que fl é homotõpica a constante sobre V(1) (Teorema 2;l). Sendo «g(Pªxsª) : 0, te—

remos fl " 0 sobre. Vº..

.

>.Entâo rh se estende sobre X2 se, e somentese, fl'j 0 em Vª.

(

..Como W2(Y) = O, existe extensão de h sobre Xa.Sendo o homomorfismo de Hurewicngzn3(Y)+H3(Y)

"monomorfismo e H3(X,A;Z) «livre, decorre que a induiida-3CÍ: Hé(X,A,na(Y)) + H“(X,A;H31Y)) -ê monomorfismo.

Tomemos u; e HªlP? x S3 x Dº, ; a Z) :? Hom(H,(Pf) & no(sf) & no(D?).© nº(Pj) & H3(Sã) & Ho(Dº),Z©Z)

o elemento tal que ,p*(t,(sª.xTS?)).= ug; “onde

,. - 67--“x?: Pª x S3 + S3 x Sª. é a aplicação obtida através da co;respondência.biunívoca [Pª x Sª, Sª x Sª] <—>-Hª(Pªxsª,Z$Z).

Se xl e-H3(Pª) & H.,(sª) & Homº) e .xz'e Ho(Pª) & H,(.sª)(>3

& Ho(Dº)) temos que:

<u,,x1+xZ> = <Q*(L,(Sªxsª)),x1+xz>—=

-= < Lp(53XSB),Q*(X14X2)>== X1 + Xz.

Consideremos a composta:

«D '

'. &

Hª (pªxsªxnª,z e Z). —Y->H5(Pªxsª xDº,pªxsªxs1;ZQZ)+

,3*H..(Pªxsªxs1,z 92) = (H, (pª,) & z e Z) Gª

& (Husª) <a> z ea'Z)É & H1(Sl), Gª Z e Z) ©

,é (H1(Pª)' & z & mia (H3(sª)-<á z a Z) aº.

"& (Husª), & z e'zre (H0(P3) «& z e Z) &

-ao (na(sª) ie: z eam-m musª)" se .z e Z).

A classe aDylug) !ê então representada pelastosubvariedades -P3 x p— x sl;:e_ pªº x Sª x sl,

Então,, h se estende sobre Xu se, e somente

..68...

se, fÇHPªxPEº) e f;?(pɺ x Sª) forem homôlogas a zero(Proposição 3.8). Levando em conta as dimensões envolvidas,podemos tornar Pª x pªº ªe pªº x Sª disjuntos de fv(V).

1.Então existe f: $ + Pª X S3 x Sª, transversal& Pª x 53 x pªº e tal que V = f_l(PªxsªxPEº).

' [1

Exemplo 2) Consideremos os mergulhos canônicosId x i: slix cP(2) + sl_x CP(3) e

Id x j: CP(3) x 56 x CP(3) + CP(3) x 56 x CP(Ã).

Seja fV = (f1,i) : sllx CP(2) + (CP(3)XSG)XCP(3L

definida por uma aplicação fl: Sl + CP(3) x S6 qualquer e

i : CP(Z) + CP(3) é o mergulho canônico.

sª_x CP(3) (CP(3)xsº) x CP(4)

Iori IdeJslix CP(2) flfi > (Cp(3)xsº) x_cp(3)

Observemos que vj 'é o fibrado linha complexoAyª, e i?(yª) : yª, que é o fibrado normal vi.

Então (f1Xi)*(v ) e, portanto, e—Idxj : “Idxixiste extensão local.

Noremos que, nesse caso,“ Y tem o mesmo tipode homotopia de CP(3) x S6 x Dã; que-ê n—simples para to—

do n.Os grupos de homotopia de Y são: n1(Y) : 0,

nz(Y) = Z; na(Y) ='Wu(Y).='ns(Y).= o é "a(Y) = z.

A composta* .

'_Hª(Y,Z) ªf> nº(slxsª,2)é nula. Segue que h: A +ª

mº “a(Y) = wu(Y) = "à(Y)-

Xs;

O homomorfismo

monomorfismo e. H5(X,A,Z)

_'59 _

Jí> Hª(s?xDª,slxsª,Z)Y se estende sobre X3 e, co—

: O, existe extensão de h sobre

de Hurewicz HEWG(Y) + Hs(Y) é

é livre e, portanto,

3;H7(x,A,n—5(Y)) ”+ H7(X,A:H6(Y)) é

.monomorfismo.

.

Além disso,A induzida de

H5(A) é livre.h:”A + Y,

n*: H5(A) = H6(slxsª) + H5(CP(3)XSGXD8),,é nula, pois h

canônica no bordo;

?: H6(X) * Hs(Y)

H6(X)

é da forma fllx l, º.:Ss + D8 é inclusãoentão existe

comutando o diagrama

“> H6(Y)XP/Segue do Teorema 229 que h

H6(A)

se estende sobrer.E]

' APENDIÇE

-"Seja Fl—Íâ E um-fibrado, cuja base X é f nm.

W

X

CW complexo e a fibra F —ê (n-l)—conexa.Fixemos um elemento n—característico

'in(F) & Hn(F;nn(F)) e suponhamos que exista uma secção de

finida em Xn+1.

Então existe um único elemento e(s)eHn(E;nn(F)h'satisfazendo:

1) i*(e(s)o = in(F)

'2) s*(e(s)) = 0

Com efeito, se existe uma secção 5: Xn+1 + E,

então i*: Hn(E,wn(F)) +.Hn(Eynn(F)) é sobre e, portanto,.,.' se a ; Hn(E,nn(F)) e tal que i*(a) in(F), -definimós

a(s) =oz—1T-*(s*(a)).".

'

Consideremos agora um SO(n+l)-fibrado diferen—

ciável, com fibra gn e com base uma variedade orientada,Mm.

Nesse caso; o elemento “º(s) para uma secçãos: M'4IE".ê o Poincaré dual de “€*(PM) e Hm(É,nn(Sn)), on

de. E -ê a seCÇão oposta de .s.Fixada uma secção .so: M + E, os diagramas abai

_ 71“;-

- 72 _

xo comutam:

aº (M)”* >

11an)

D i) D

1 º A x

A “*Hm_n(M) Hm(E) .Hm(M)

onde a([s1)= ã*<e(êo));o(ts1)='e(êo>— erª), o é a

dualidade de Poincaré e a última linha é parte da sequên —

cia generalizada de Gysin.

Seja W: [M;E] # Hm(E), definida por

Msn ªiªi-“(UM) — smM).

Se n : IJ a aplicação & ê sobrejetora e por—

tanto W -ê sbbre o núcleo de' n*.

Proposição

. m m+2 . .'

Seja M <: N uma subvarledade orlentada, ho

mõloga a zero em uma variedade orientada N. Então existe

'uma secção r: M + S(vM) tal que sua imagem é homóloga a

zero em Hm(N—M).

_ 73 _

Prova

.Seja i: Mm + Nm+2 a inclusão e denotemos 'por

e, a classe de Euler do fibrado normal vM.,

Se D: Hº(M,Z) + Hm(N,N—M,Z) é a dualidade de

Alexander, então D(e) : k*(uM), onde. k é a compostaM É_> N i—>-(N,N-M).

Então e = 0 se, e somente se, i*(uM)<:vimY*;»onde y*£ Hm(N—M) + Hm(N) é a induzida da inclusãobLMiíaN..

Cbno M é homologa a zero em N, então vale i*(HM)<: rny*, o que

implica e = 0. Logo, existe uma secção não nula definidano 2—esqueleto de M e, como Hi(M,wi_1(Sl)) : 0 para1 > 2, segue que existe uma secção não nula s: M + v(M).Então vM se decompõe como. 51 $>R, onde 51 é o com—

plemento ortogonal de s e R êão fibrado trivial unidimen -sional. Como vM é orientãvel, temos w1(€1 e R) = 0, o

que implica w1(€1) : 0. Então 51, "sendo orientãvel e(Dtunidimensional, admite secção não nula. Portanto, “M

trivial.Seja sº : M + SIvM) uma tal secção, onde agº

ra S(vM) denota o espaço total do fibrado em esferas de

vM..

Consideremos os diagramas comutatiVosÁ

"*HmKSWM» >“ Hm-(M)

Hm (M) a e, L ,).

i**

.

Y; "»Hm(N—M) > Hm(N)

_74._

onde s* = B*o so* e B* —ê & induzida da inclusão sthãpaN—M.

Temos Y* S*(UM) : i* "* SO*<UM) : oi

o quê aCarreta que s*(uM) pertence ao núcleo de y*, que é

a imagem de a: Hm+l(N,N—M) + Hm(N—M).

Usando excisão e o diagrama comutativo:

. . a.

Hm41(D(VMi,S(VM)) ”***—“> Hm($(vM))

exc (:d 1) B*7 4 '

“_

_ ., .. aHm+1 (N,N—M) ————-——-—-—» . Hmm—M)

temos que existe um elemento u e Hmustntal que u e ker “*

e B*(u) = S*(PM)0

Como ? é sobre o núcleo de n*, segue que exigte uma secção ;: M+Shãp tal que W([r]) : u.

Mas “P([rH = SoupM) —-r*'(pM)

Então €* r*(uM) :'D em Hm(N—M);' D

[e]

.[D1

[G]

(H]

[Lll

[L];

IQIV

[s]

ITI

[W]

[Wh]

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_ 75 _