tese de doutorado - puc-rio internos, de maneira direta e sem a utiliza˘c~ao de qualquer integral...

Carlos Andres Aguilar Maron

Proposta de Tese

Metodo dos Elementos de Contorno

CIV 3007: Proposta de Tese

Proposta de Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacaoem Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil daPUC–Rio como requisito parcial para obtencao do tıtulo deDoutor em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont

Rio de JaneiroFevereiro de 2011


Uma implementacao expedita do metodohıbrido dos elementos de contorno para

problemas de potencial e elasticidade

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacao em EngenhariaCivil do Departamento de Engenharia Civil da PUC–Rio como re-quisito parcial para obtencao do tıtulo de Doutor em EngenhariaCivil


Rio de JaneiroMaio de 2013

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821355/CA


Proposta de Tese

Metodo dos Elementos de Contorno

CIV 3007: Proposta de Tese

Proposta de Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacaoem Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil daPUC–Rio como requisito parcial para obtencao do tıtulo deDoutor em Engenharia Civil.


Rio de JaneiroFevereiro de 2011


Uma implementacao expedita do metodohıbrido dos elementos de contorno para

problemas de potencial e elasticidade

Tese apresentada como requisito parcial para obtencao do graude Doutor pelo programa de Pos-graduacao em EngenhariaCivil do Departamento de Engenharia Civil do Centro TecnicoCientıfico da PUC–Rio. Aprovada pela Comissao Examinadoraabaixo assinadaAprovada pela Comissao Examinadora abaixoassinada.

Prof. Ney Augusto DumontOrientador

Departamento de Engenharia Civil — PUC–Rio

Prof. Raul Rosas e SilvaDepartamento de Engenharia Civil — PUC–Rio

Dr. Alexandre Antonio de Oliveira LopesTECGRAF — PUC–Rio

Prof. Jose Claudio de Faria TellesUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Prof. Rodrigo Bird BurgosUniversidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. Volodomyr Vasilievich ZozulyaCentro de Investigacao Cientıfica de Yucatan

Prof. Jose Eugenio LealCoordenador Setorial do Centro Tecnico Cientıfico — PUC–Rio

Rio de Janeiro, 14 de Maio de 2013

DBD


Todos os direitos reservados. E proibida a reproducao totalou parcial do trabalho sem autorizacao da universidade, doautor e do orientador.


Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidad NacionalSan Antonio Abad del Cusco – Peru. Em 2006 iniciou o cursode mestrado em Engenharia Civil na PUC–Rio e titulou-se em 2008, na area de estruturas, atuando na linha depesquisa de Metodos dos Elementos de Contorno e Dinamicadas Estruturas.

Ficha CatalograficaAguilar Maron, Carlos A.

Uma implementacao expedita do metodo hıbrido dos ele-mentos de contorno para problemas de potencial e elasticid-ade / Carlos Andres Aguilar Maron; orientador: Ney AugustoDumont. — Rio de Janeiro : PUC–Rio, Departamento de En-genharia Civil, 2013.

v., 87 f: il. ; 29,7 cm

1. Tese (doutorado) - Pontifıcia Universidade Catolica doRio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.

Inclui referencias bibliograficas.

1. Engenharia Civil – Tese. 2. Elementos hıbridos decontorno;. 3. Metodos variacionais;. 4. Metodos numericos;.5. Elementos de contorno;. 6. Problemas de grande escala.. I.Dumont, Ney Augusto. II. Pontifıcia Universidade Catolica doRio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Tıtulo.

CDD: 624

DBD


Agradecimentos

Ao Prof. Ney Augusto Dumont, pela orientacao, paciencia, apoio e

incentivo na realizacao deste trabalho. Obrigado professor.

Ao CNPq/CAPES e a PUC–Rio, pelos auxılios concedidos, sem os quais

este trabalho nao poderia ter sido realizado, nem minha estada no Brasil teria

sido possıvel.

Aos professores do departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Ao pessoal administrativo do programa de pos-graduacao em engenharia

civil da PUC-Rio.

Aos membros da banca, pelas diversas sugestoes feitas na redacao final

da dissertacao.

A minha famılia no Peru, pelo apoio incondicional em todos esses anos,

meu Pai Carlos Aguilar e irmaos.

Finalmente, dedico este trabalho a memoria da minha mae: Alejandrina.

DBD


Resumo

Aguilar Maron, Carlos A.; Dumont, Ney Augusto. Uma imple-mentacao expedita do metodo hıbrido dos elementos decontorno para problemas de potencial e elasticidade. Riode Janeiro, 2013. 87p. Tese de Doutorado — Departamento de En-genharia Civil, Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.

O desenvolvimento consistente do metodo convencional dos elementos

de contorno (CBEM), com a adicao de conceitos da versao simplificada do

metodo hıbrido dos elementos de contorno (HBEM), proveniente do po-

tencial variacional de Hellinger-Reissner, conduz-se a um processo com-

putacionalmente mais economico, sem a necessidade de ter sua precisao

numerica reduzida para problemas de grande escala, podendo ser bidimen-

sional ou tridimensional, de potencial ou elasticidade. Conseguiu-se mostrar

que as matrizes de potencial duplo e simples do CBEM, H e G, respectiva-

mente, cuja avaliacao numerica requer a manipulacao de integrais singulares

e improprias, podem ser obtidas de maneira expedita, eliminando-se quase

toda a integracao numerica, com excecao de algumas integrais regulares.

Uma importante caracterıstica da formulacao proposta, que advem da base

variacional do HBEM, e a facilidade da obtencao de resultados em pontos

internos, de maneira direta e sem a utilizacao de qualquer integral de con-

torno, ja que a solucao fundamental e a propria solucao do problema. O

presente trabalho pertence a um projeto cujo resultado final deve ser um

codigo computacional para problemas de grande escala (milhoes de graus

de liberdade). Nesta fase, alguns exemplos numericos foram testados para

avaliar a aplicabilidade do metodo expedito, o seu esforco computacional e

a convergencia do resultado para as variaveis envolvidas no metodo. Para

isso, foram implementados algoritmos para problemas bidimensionais de po-

tencial e elasticidade – usando elementos lineares, quadraticos e cubicos – e

tridimensionais – usando elementos triangulares e quadrilaterais, lineares e

quadraticos nos dois casos. Os codigos computacionais foram implementa-

dos focando na solucao de problemas de grande escala. Espera-se que numa

etapa final o projeto possa ser bem mais eficaz, com a incorporacao de

procedimentos do metodo “fast multipole”.

Palavras–chaveElementos hıbridos de contorno; Metodos variacionais; Metodos

numericos; Elementos de contorno; Problemas de grande escala.

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Abstract

Aguilar Maron, Carlos A.; Dumont, Ney Augusto (advisor). Anexpedite implementation of the hybrid boundary elementmethod for potential and elasticity problems. Rio de Janeiro,2013. 87p. PhD Thesis — Departamento de Engenharia Civil,Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.

The consistent development of the conventional boundary elements

method (CBEM) by adding the concepts of the hybrid boundary element

simplified method (HBEM) , from the Hellinger-Reissner variational poten-

tial leads to a computationally less intensive procedure, although not ne-

cessarily less accurate for large scale, two-dimensional or three-dimensional

problems of potential and elasticity. It was shown that both single-layer

and double-layer potential matrices, G and H, respectively, are obtained

in an expeditious way that vanish almost any numerical integration, except

for a few regular integrals, even G and H evaluation requires the hand-

ling of singular and improper integrals. The proposed formulation comes

from the HBEM variational base and its evaluation at internal points is

straightforward without the application of any boundary integral, since the

fundamental solution is the analytical one. This work belongs to a project

that aims a computer code for large-scale problems (millions of degrees of

freedom). At this stage, some numerical examples were analyzed to eval-

uate the applicability of the method expeditious its computational effort

and convergence of the results for the variables involved in the method. It

was developed by the algorithms implementation for potential and elasticity

problems. In the case of two-dimensional were employed linear, quadratic

and cubic elements and to the three-dimensional case were employed tri-

angular, quadrilateral, linear and quadratic elements in both cases. The

computational codes were always implemented focused on solving large-

scale problems. It is expected that in a final stage of the project with the

incorporation procedure of the method ”fast multipole”, it can be more

efficiently.

KeywordsHybrid boundary elements; Variational methods; Numerical methods;

Boundary elements; Large-scale problems.

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Sumario

1 Introducao 121.1 Colocacao do problema 121.2 Objetivos 141.3 Organizacao do texto 15

2 Consideracoes Teoricas Importantes 162.1 Conceitos basicos da teoria de elasticidade linear 162.2 Conceitos basicos da teoria de potencial em regime permanente. 182.3 Discretizacao dos deslocamentos, das tensoes e das forcas de superfıcie 202.4 Aproximacao da solucao particular no contorno 222.5 Solucao Fundamental. 23

3 Metodos de elementos de contorno 273.1 O Metodo convencional dos elementos de contorno 273.2 O metodo hıbrido dos elementos de contorno 333.3 O Metodo Hıbrido Simplificado dos Elementos de Contorno 35

4 O Metodo Expedito dos Elementos de Contorno 384.1 Enunciados a partir do Princıpio dos trabalhos virtuais 384.2 Aproximacao dos deslocamentos e das forcas de superfıcie no contorno 424.3 Expressoes do Metodo Expedito dos Elementos de Contorno 434.4 Solucao da equacao matricial do problema e avaliacao de resultados

em pontos internos 48

5 Aplicacoes Numericas 515.1 Estudos de convergencia em problemas de potencial 2D 515.2 Verificacao da relacao HDa≈U∗TPa em problemas de potencial 3D 555.3 Problema de elasticidade 2D 585.4 Convergencia para problemas de potencial 2D com fonte interna e

condicao de contorno mista 635.5 Convergencia para problemas de elasticidade 2D com forcas de massa

e condicao de contorno mista 70

6 Conclusoes e sugestoes de trabalhos futuros 766.1 Conclusoes 766.2 Sugestoes de trabalhos futuros 78

Referencias Bibliograficas 79

A Potencial de Hellinger-Reissner 83

B Matriz Lbl 86

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Lista de figuras

2.1 Corpo elastico equilibrado submetido a acao de forcas externas, bi e ti, e

deslocamentos prescritos ui. 162.2 Corpo homogeneo submetido a acoes de fontes externas de energia, Q e qn,

e potencial prescrito u. 19

4.1 Estrutura formada por seis nos e tres elementos quadraticos para ilustracao

na construcao das matrizes. 45

5.1 Discretizacao do contorno com uma malha de 124 nos para o domınio ir-

regular. Para o estudo de convergencia foram utilizados elementos lineares,

quadraticos e cubicos. A, B e C sao pontos fonte. 525.2 Avaliacao da convergencia da equacao (5-2), para os campos potenciais

da Tabela 5.2, com a finalidade de estabelecer um ponto de erro como

referencia de convergencia. 535.3 Normas de erro das matrizes, aproximadas, H e U∗TLT de acordo com as

equacoes equacoes (5-3) e (5-4), respectivamente, para elementos lineares,

quadraticos e cubicos. 545.4 Erros em escala logarıtmica calculados com a norma euclidiana para testar

a convergencia dos metodos de elementos de contorno estudados. Resulta-

dos gerados por uma fonte potencial aplicada no ponto C da Figura 5.1.

Esquerda: Piores resultados. Direita: Melhores Resultados. 555.5 Hexaedro distorcido (a esquerda) e corpo multiplamente conectado feito

de um cubo (a direita) para um estudo de convergencia com elementos

quadrilaterais lineares. 565.6 norma de erro do sistema de matrizes da equacao (4-24), que aproxima

as matrizes H e U∗ no metodo expedito dos elementos de contorno, para

diferentes discretizacoes da malha e o campo potencial aplicado aos corpos

representados na figura 5.5. 575.7 Discretizacao inicial do domınio irregular (62 nos) para o estudo de

convergencia e calculo de tensoes no domınio, utilizando elementos

quadraticos. A e B sao pontos fonte. 585.8 Comparacao do vetor p∗, avaliada na equacao (4-1) para forcas nodais

equivalente do contorno correspondente a um estado de tensao constante

σx, com seus valores correspondentes do vetor p∗. 605.9 Erros das tensoes, avaliados no segmento de reta (40 nos) entre os nos de

coordenadas (11,26) e (20,7), ver Figura 5.7, para uma forca horizontal

aplicada no ponto A. 615.10 Comparacao das tensoes ao longo do segmento de reta entre os nos 18 e 34

que coincidem com o contorno Γ, ver figura 5.7, para uma forca vertical

aplicada no no A. 625.11 Normas de erro, Equacao (5-8), da equacao matricial do metodo expedito,

Equacao (4-24), para elementos lineares, quadraticos e cubicos. Os campos

analıticos usados nas comparacoes correspondem a uma forca horizontal

(grafico a esquerda) e uma vertical (grafico a direita) aplicadas no ponto

B da Figura 5.7. 63

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5.12 Ilustracao 3D da solucao particular up, gerado pela fonte interna da

equacao (5-9), que atua sobre o domınio irregular da figura 5.7. 655.13 Domınio irregular da Figura 5.7, submetido ao campo potencial dado pela

equacao (5-9) e ilustrado na Figura 5.12. O contorno correspondente aos

nos 31− 39 esta: isolado qn = 0 com potencial prescrito u = 0 no resto do

contorno (a esquerda), com potencial prescrito u = 0 e isolado qn = 0 no

resto do contorno (a direita). 655.14 Convergencia dos potenciais u para diferentes malhas do domınio da Figura

5.13, grafico da esquerda. Usando elementos quadraticos. 665.15 Convergencia dos gradientes qn para diferentes malhas do domınio da

Figura 5.13, grafico da direita. Usando elementos quadraticos. 665.16 Malha inicial do domınio discretizado com 40 elementos quadraticos, uti-

lizado para o calculo de potencias e gradientes no contorno ao longo do

segmento entre os nos 19 ao 25. 675.17 Convergencia dos potenciais u para diferentes malhas do domınio da Figura

5.16, do segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos. 685.18 Convergencia dos gradientes qn para diferentes malhas do domınio da

Figura 5.16, do segmento entre os nos 19−25. Usando elementos quadraticos. 695.19 Potenciais u para a malha5 da Tabela 5.10 do domınio da Figura 5.16, a

esquerda. Resultados dos gradientes qn no segmento entre os nos 19 − 25,

a direita. Usando elementos quadraticos. 705.20 Domınio irregular da Figura 5.16, submetido a forcas de massa dado pela

equacao (5-12). O contorno correspondente aos nos 19−25 esta: engastado

u = 0 com forcas de superfıcie prescrito t = 0 no resto do contorno (a

esquerda), com forcas de superfıcie prescritas t = 0 e engastado u = 0 no

resto do contorno (a direita). 725.21 Convergencia das Forcas de superfıcie t na direcao x para as discretizacoes

mostradas na Tabela 5.11 do domınio da Figura 5.16. Resultados do

segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos. 725.22 Convergencia das Forcas de superfıcie t na direcao y para as discretizacoes


segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos. 735.23 Convergencia dos deslocamentos u na direcao x para as discretizacoes


segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos. 735.24 Convergencia dos deslocamentos u na direcao y para as discretizacoes


segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos. 745.25 Deslocamentos u na direcao x e y para a malha5 da Tabela 5.11 do domınio

da Figura 5.16, a esquerda. Resultados das forcas de superfıcie t na direcao

x e y segmento entre os nos 19−25, a direita. Usando elementos quadraticos. 75

A.1 Grafico da energia interna de deformacao. 84

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Lista de tabelas

4.1 Numero de incognitas e de solucoes disponıveis (deslocamento de corpo

rıgido ou solucao simples) e tipo de avaliacao de coeficientes indefinidas

(exato ou mınimos quadrados – m.q.) para cada fila da matriz, seja para

problemas de potencial e elasticidade, 2D ou 3D. 48

5.1 Numero total de nos utilizados nas diferentes malhas testadas para cada

tipo de elemento (linear, quadratico ou cubico). 525.2 Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a con-

vergencia das equacoes matriciais do modelo numerico da Figura 5.1. 535.3 Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergencia, corres-

pondentes ao hexaedro distorcido (a esquerda da Figura 5.5). 565.4 Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergencia, corres-

pondentes ao corpo multiplamente conectado (a direita da Figura 5.5). 575.5 Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a con-

vergencia das equacoes do modelo numerico da Figura 5.5. 575.6 Coordenadas (x, y) dos nos localizados nos cantos do domınio irregular da

Figura 5.7. 595.7 Discretizacao das malhas utilizadas para o calculo da convergencia das

tensoes em pontos internos para o domınio da Figura 5.7. 605.8 Discretizacao das 6 malhas utilizadas para o teste de convergencia do sis-

tema de equacoes matriciais do metodo expedito dos elementos de contorno

para a estrutura da Figura 5.7. 635.9 Discretizacao das malhas utilizadas para o calculo da convergencia do pro-

blema de potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos

quadraticos, para o domınio da Figura 5.13. 645.10 Discretizacao das malhas utilizadas para o calculo da convergencia do pro-

blema de potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos

quadraticos, para o domınio da Figura 5.16. 675.11 Malhas utilizadas para o calculo da convergencia do problema de elastici-

dade linear e contorno misto, com elementos quadraticos, para o domınio

da Figura 5.16. 71

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A mente que se abre a uma nova ideia jamaisvoltara ao seu tamanho original.

Albert Einstein.

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1Introducao

1.1Colocacao do problema

Muitos problemas da engenharia, ao serem formulados matematicamente,

conduzem a ter que resolver equacoes diferenciais que envolvem uma ou mais

funcoes incognitas sob certas condicoes iniciais e de contorno. Com o advento

da computacao, diversos metodos numericos tem sido desenvolvidos.

Um poderoso metodo desenvolvido para resolver diversos problemas da

engenharia e o chamado metodo dos elementos finitos. Esse metodo baseia-se

em subdividir a geometria ou estrutura de um corpo em elementos menores,

chamados elementos finitos (discretizacao em uma malha com nos). Desse

modo, a geometria da estrutura torna-se mais simples, possibilitando resol-

ver diversos problemas mediante calculos numericos aproximados. Entre os

diferentes metodos de elementos finitos, destacamos o metodo formulado por

Theodore H. H. Pian e Pin Tong [28], baseado em princıpios variacionais.

Uma outra tecnica bem sucedida na solucao das equacoes diferenciais e

o metodo dos elementos de contorno [2, 3]. O metodo consiste essencialmente

em discretizar o contorno (fronteira ou bordo) da estrutura, permitindo tratar

com sucesso os mesmos problemas resolvidos pelo metodo dos elementos finitos.

Convencionalmente, o metodo de elementos de contorno nao possui uma base

variacional. Pois, suas equacoes sao deduzidas a partir de uma formulacao em

resıduos ponderados.

Nesse sentido, em 1987, com o intuito de dar uma base variacional ao

metodo dos elementos de contorno, N. Dumont formula o metodo hıbrido dos

elementos de contorno [7] —inspirado particularmente nos trabalhos de Hel-

linger [24], Reissner [30] e Pian [29]. A partir desse trabalho, Dumont e cola-

boradores desenvolveram ferramentas matematicas e generalizacoes que pos-

sibilitaram a resolucao, com sucesso, de diversos problemas da engenharia.

Destacam-se: a tecnica de superposicao modal avancada para problemas de-

pendentes do tempo; o estudo de inversas generalizadas e diversas tecnicas de

integracao numerica, entre outros.

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Capıtulo 1. Introducao 13

Em 1999, apos diversos trabalhos que possibilitaram um adequado en-

tendimento das propriedades espectrais das matrizes do metodo hıbrido dos

elementos de contorno, e proposta uma versao simplificada do metodo, cha-

mada metodo hıbrido simplificado dos elementos de contorno [5, 6]. A principal

vantagem, dessa versao, e que os coeficientes da matriz U* de deslocamentos

nodais (vide equacao (3-47)) sao calculados de forma direta, dispensando qual-

quer tipo de integracao, o que faz sua implementacao e seu esforco computaci-

onal simples e rapido. Alem disso, nao e menos preciso, resolvendo os mesmos

problemas, que os metodos citados nos paragrafos anteriores.

Paralelamente as pesquisas do metodo hıbrido dos elementos de contorno

e sua versao simplificada, um estudo das propriedades espectrais da matriz G

(vide equacao (3-24)), levou a uma formulacao consistente do metodo, baseada

na adequada consideracao das constantes de corpo rıgido associadas a solucao

fundamental [9, 13]. Esta abordagem consistente do metodo e importante para

uma adequada compreensao e interpretacao de algumas questoes teoricas e

conceituais que em geral sao ignoradas pelo metodo convencional de elementos

de contorno.

Forma expedita do metodo hıbrido dos elementos de contorno

A contribuicao do presente trabalho nasce nesse cenario. Como sendo,

mais uma variacao do metodo hıbrido dos elementos de contorno. O metodo,

basicamente, combina dois metodos de elementos de contorno: o desenvolvi-

mento consistente do metodo convencional e os conceitos do metodo hıbrido

simplificado (com base variacional no potencial de Hellinger-Reissner). O

metodo proposto e chamado metodo expedito dos elementos de contorno, cuja

formulacao e simples e computacionalmente menos dispendiosa. Diversos arti-

gos, relacionados com a formulacao e diversas aplicacoes do metodo, ja fo-

ram publicados paralelamente ao desenvolvimento desta tese. Inicialmente

por Dumont em 2010 [12] e posteriormente por N. Dumont e C. Aguilar em

[18, 19, 20, 21, 22, 23].

No metodo expedito as matrizes H e G, obtidas pelo metodo convencio-

nal, sao obtidas de modo simples e agil eliminando-se quase toda a integracao

numerica (integracao que faz-se necessaria no metodo convencional). Embora,

ambas as matrizes, H e G, sejam cheias, esquemas especiais de solucao po-

dem ser implementados para diminuir drasticamente a alocacao de memoria

e o tempo computacional requerido em uma analise numerica, simplificando

bastante o problema. A equacao matricial do metodo convencional dos elemen-

tos de contorno (Hd = Gt sem considerar forcas de massa), e substituıda no

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metodo expedito, por qualquer uma das seguintes equacoes

Hd = U∗TLTt ou Hd = U∗Tp

onde, H ≡ T∗TL e uma aproximacao da matriz H. Em uma formulacao

de elasticidade, U∗ e T∗ sao matrizes de deslocamentos nodais d e forcas

de superfıcie t da solucao fundamental, respectivamente, obtidas para cada

grau de liberdade do problema idealizado matematicamente. Da forma como a

formulacao e apresentada, sempre e possıvel usar o conceito de carregamento

nodal equivalente p = LTt, onde L e uma matriz que depende apenas das

funcoes de interpolacao do contorno e pode ser avaliada de forma analıtica.

Uma caracterıstica importante da formulacao proposta e a facilidade na

obtencao de resultados em pontos internos. Em uma implementacao compu-

tacional, para problemas mistos de condicao de contorno, a equacao anterior

Hd = U∗TLTt (ou Hd = U∗Tp) e substituıda pelas equacoes

HTp∗ = p, U*p∗ = d.

A partir dessas equacoes, e possıvel montar um unico sistema de equacoes

lineares. A incognita desse sistema e o vetor de parametros p*. Calculado

este vetor p*, resultados em pontos internos sao obtidos diretamente, sem a

utilizacao de qualquer integral de contorno.

A formulacao expedita e especialmente vantajosa para problemas de

topologia complicada ou que requeiram solucoes fundamentais complicadas.

Por exemplo: problemas de dinamica (no domınio do tempo ou da frequencia);

problemas axissimetricos; problemas de mecanica da fratura; problemas com

gradacao funcional ou de elasticidade gradiente e outros.

1.2Objetivos

Os objetivos principais sao:

1. Implementacao de algoritmos computacionais para resolver problemas

de elasticidade e potencial aplicando o metodo expedito de elementos de

contorno. No desenvolvimento desses algoritmos, serao considerados:

– Domınios bidimensionais: discretizacao do contorno com elementos

lineares, quadraticos e cubicos.

– Domınio tridimensionais: discretizacao do contorno com elementos

triangulares (T3 e T6) e elementos quadrilaterais (Q4 e Q8).

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2. Testar os algoritmos implementados com a finalidade de avaliar a aplica-

bilidade do metodo, o esforco computacional, a convergencia das variaveis

envolvidas nas equacoes matriciais e a coerencia dos resultados em di-

versos problemas da engenharia.

1.3Organizacao do texto

A tese esta dividida em seis capıtulos.

O Capıtulo 1 faz uma breve introducao e os objetivos da tese. No capıtulo

2, apresenta-se algumas consideracoes teoricas necessarias na compreensao

dos capıtulos subsequentes. O capıtulo 3, apresenta a formulacao teorica dos

metodos de elementos de contorno: a forma consistente do metodo convencio-

nal; a formulacao hıbrida e sua versao simplificada. O capıtulo 4, apresenta o

metodo expedito dos elementos de contorno que e uma das partes principais

da tese. O capıtulo 5, aplica o metodo expedito dos elementos de contorno em

diversos problemas numericos de elasticidade linear e potencial. Os resultados

sao comparados com solucoes analıticas, caso existam, com o intuito de va-

lida-los. Finalmente, no capıtulo 6, sao apresentadas as conclusoes e sugestoes

para trabalhos futuros.

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2Consideracoes Teoricas Importantes

2.1Conceitos basicos da teoria de elasticidade linear

Seja um corpo elastico, com interior Ω e contorno Γ (figura 2.1), sujeito

a pequenos deslocamentos. Os deslocamentos de um elemento infinitesimal dΩ

desse corpo sao descritos pela teoria da elasticidade segundo dois sistemas de

coordenadas:

• Um sistema global ou externo, onde se tem deslocamentos absolutos ui,

sobre os quais realizam trabalho duas forcas externas: as forcas de massa

bi (que agem no domınio Ω) e as forcas de superfıcie ti (que agem no

contorno Γ).

• Um sistema local ou interno, onde se tem deformacoes εij (deslocamentos

relativos), num elemento infinitesimal do domınio dΩ, gerados pelas

tensoes σij.

Figura 2.1: Corpo elastico equilibrado submetido a acao de forcas externas, bi e ti, edeslocamentos prescritos ui.

Decompondo o contorno Γ em Γσ e Γu(isto e, Γ = Γσ + Γu). Em Γσ agem

as forcas prescritas ti e em Γu os deslocamentos prescritos ui.

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Capıtulo 2. Consideracoes Teoricas Importantes 17

Formulamos o problema de elasticidade linear como segue.

Seja um conjunto de forcas externas prescritas aplicadas sobre o corpo

elastico, descritas no sistema global pelas forcas bi agindo em Ω e as forcas ti

agindo em Γσ. Uma analise desse corpo consiste em determinar: os desloca-

mentos ui que ocorrem em Ω e Γσ; as reacoes de apoio ti que surgem em Γu e

as tensoes σij em Ω provocados pela influencia das solicitacoes externas.

Para determinar os valores nao prescritos e necessario estabelecer relacoes

de transformacao entre forcas e deslocamentos, relacionados com os sistemas

interno e externo. Essas relacoes de transformacao sao descritas como segue.

As relacoes de equilıbrio de forcas, que relacionam as forcas descritas no

sistema externo com as tensoes do sistema interno, sao dadas pela equacao

diferencial que governa o problema

σji,j + bi = 0 em Ω (2-1)

e a relacao

σjiηj = ti em Γ. (2-2)

Considerando as condicoes de contorno, temos a relacao de equilıbrio das forcas

de superfıcie

ti = ti em Γσ, (2-3)

onde ηj sao os cossenos diretores do vetor ~η normal ao contorno dΓ. Os ındices

i e j, associados as direcoes das coordenadas do sistema, assumem valores 1, 2

e 3 para problemas tridimensionais.

A propriedade de simetria do tensor de tensoes, relacionado com o

equilıbrio de momentos, e

σij = σji em Ω. (2-4)

As relacoes de compatibilidade entre as deformacoes no sistema interno e

os deslocamentos no sistema externo, sao chamadas relacoes de transformacao

cinematica. Para pequenos deslocamentos a relacao e dada por

εij =1

2(ui,j + uj,i) em Ω, (2-5)

onde εij e o tensor de deformacoes e ui e o campo de deslocamentos. Alem disso,

levando em conta as condicoes de contorno, tem-se a relacao de compatibilidade

de deslocamentos

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ui = ui em Γu. (2-6)

Finalmente, as relacoes constitutivas que representam as relacoes que

existem entre o tensor de tensoes σij e o tensor de deformacoes εij em qualquer

ponto do corpo elastico. Essas relacoes podem ser simples ou complexas,

dependendo do material e as condicoes a que e submetido o corpo. Para um

material linearmente elastico, isotropico e homogeneo, a relacao constitutiva e

expressa por

σij = Dijklεkl, (2-7)

onde Dijkl e o tensor de constantes elasticas dado por

Dijkl =2Gv

1− 2vδijδkl +G(δikδjl + δilδjk) (2-8)

sendo v o coeficiente de Poisson, G o coeficiente de elasticidade transversal ou

de cisalhamento e δij e o delta de Kronecker definido por

δij =

1 se i = j,

0 se i 6= j.(2-9)

Considerando as equacoes (2-4) e (2-5), reescreve-se a equacao (2-7) como

σij = Dijkluk,l. (2-10)

Substituindo a equacao (2-8) e considerando a condicao de simetria da matriz

constitutiva Dijkl, a equacao (2-10) e expressa na como

σij = G(ui,j + uj,i) +2Gv

1− 2vuk,kδij. (2-11)

Utilizando a equacao (2-11), tambem e possıvel expressar a equacao (2-1) em

termos do campo de deslocamentos ui, resultando na equacao de Navier

Gui,kk +G

1− 2vuk,ki + bi = 0 em Ω. (2-12)

2.2Conceitos basicos da teoria de potencial em regime permanente.

Seja um corpo homogeneo qualquer, com interior Ω e contorno Γ (figura

2.2). Considere ainda a decomposicao do contorno Γ em Γq e Γu. O corpo

homogeneo e submetido a uma fonte interna de energia Q em seu domınio Ω

DBD



e a fontes prescritas de energia qn ao longo de Γq. O potencial u e prescrito na

parte do contorno complementar Γu.

Figura 2.2: Corpo homogeneo submetido a acoes de fontes externas de energia, Q e qn, epotencial prescrito u.

Geralmente, a taxa do fluxo qi na direcao i, e relacionada com o gradiente

de certo potencial ui. Essa relacao e expressada como

qi = −knu,i em Ω, (2-13)

onde kn e a condutividade do material.

A partir do equilıbrio entre a taxa gerada pela fonte Q por unidade de

volume com a taxa de fluxo qi em estado permanente tem-se

qi,i +Q = 0 em Ω. (2-14)

Substituindo a equacao (2-13) em (2-14), considerando o material sendo

isotropico, chega-se a equacao diferencial que governa o problema de potencial

knu,ii −Q = 0 em Ω. (2-15)

A equacao acima pode-se reescrever na forma da equacao de Poisson

u,ii −Q

k= 0 em Ω, (2-16)

onde kn = kx = ky = kz. No caso de problemas de potencial sem fonte interna

Q, a equacao de governo se torna a equacao de Laplace, ou seja,

u,ii = 0 em Ω. (2-17)

DBD



No contorno Γ = Γu + Γq, o fluxo qn, normal a superfıcie, e expresso por

qn = −qiηi em Γ, (2-18)

onde ηj sao os cossenos diretores do vetor ~η que e normal a superfıcie

dΓ. Alem disso, considerando as condicoes de contorno, temos a relacao de

compatibilidade de potencial

u = u em Γu (2-19)

e a relacao de equilıbrio de fluxo normal

qn = qn em Γq. (2-20)

2.3Discretizacao dos deslocamentos, das tensoes e das forcas de superfıcie

Tres campos independentes sao necessarios para o desenvolvimento do

presente trabalho. O campo de deslocamentos no contorno udi , o campo de

tensoes no domınio σsij e o campo das forcas de superfıcie no contorno tti.

2.3.1Discretizacao dos deslocamentos no contorno

O campo de deslocamentos ui ao longo do contorno Γ e, explicitamente,

aproximado por udi . Onde udi indica a discretizacao do deslocamento ui no

contorno, em termos das funcoes de interpolacao polinomiais uim com suporte

compacto e parametros de deslocamentos nodais d = [dm] ∈ Rnd , para nd

graus de liberdade do modelo discretizado. Isto e,

udi = uimdm em Γ, (2-21)

de tal forma que

udi = ui em Γu. (2-22)

2.3.2Discretizacao das tensoes no domınio

O campo de tensoes σij no domınio Ω, e aproximado por σsij. Onde σsij de-

nota as tensoes no domınio Ω como uma soma de uma solucao fundamental σ∗ijm

com suporte global, multiplicado pelos parametros de forca p∗ = [p∗m] ∈ Rn∗,

DBD



aplicados nos mesmos pontos nodais m do contorno aos quais os deslocamentos

nodais dm estao associados (n∗ = nd) e uma solucao particular arbitraria σpij

σsij = σ∗ij + σpij = σ∗ijmp∗m + σpij em Ω (2-23)

de tal forma que a equacao (2-1) reescrevesse como

σ∗jim,j = 0 e σpji,j + bi = 0 em Ω. (2-24)

A partir do campo de tensoes σsij da equacao (2-23), obtem-se desloca-

mentos

usi = u∗i + uri + upi = (u∗im + urisCsm) p∗m + upi em Ω, (2-25)

onde u∗im sao os deslocamentos da solucao fundamental correspondente a

σ∗ijm e o deslocamento upi e a parcela que corresponde a solucao particular

σpij. Deslocamentos de corpo rıgido sao incluıdos em termos de funcoes uris

multiplicados por constantes (em princıpio) arbitrarias Csm ∈ Rnr×n∗, onde

nr e o numero de deslocamentos de corpo rıgido do problema discretizado.

Os ındices ()∗ e ()r denotam, respectivamente, a solucao fundamental e os

deslocamentos de corpo rıgido. As solucoes fundamentais sao utilizadas como

funcoes de ponderacao no metodo dos elementos de contorno convencional. Em

metodos de elementos de contorno variacionais (caso do metodo hıbrido dos

elementos de contorno), em particular, representam funcoes de interpolacao do

domınio.

2.3.3Discretizacao das forcas de superfıcie no contorno

O campo de forcas de superfıcie ti ao longo do contorno Γ, e aproximado

por tti, onde ()t esta associado as forcas de superfıcie, como requerido no metodo

dos elementos de contorno convencional e e dado por

tti = ui`t` discretizacao convencional (2-26)

No entanto, no metodo expedito dos elementos de contorno a discretizacao

utilizada sera uma versao proposta por Dumont [13], modificacao que traz

vantagens quando tratamos com contornos curvos e e dado por

tti = ti`t` ≡|J |(at`)|J |

ui`t` discretizacao modificada. (2-27)

DBD



Ao longo de Γσ, de acordo com a equacao (2-3), a equacao mantem-se como

tti = ti`t`.

Na equacao (2-27), ui` denotam as funcoes de interpolacao polinomiais

com suporte compacto e t = [t`] ∈ Rnt sao parametros de forcas de superfıcie.

O ındice i refere-se as direcoes das coordenadas do sistema e o ındice `

a qualquer um dos nt graus de liberdade relacionados com as forcas de

superfıcie do problema (denotando tanto a localizacao e orientacao) para nos

adequadamente distribuıdos ao longo do segmento de contorno Γ. As funcoes

de interpolacao ui` tem as mesmas propriedades das funcoes de interpolacao

uim apresentadas na equacao (2-21).

Na equacao (2-27), |J |(at`) e o valor do Jacobiano das coordenadas globais

(x, y, z) em funcao das coordenadas naturais (ξ, η) nos pontos nodais `. A

expressao |J |(at`)/|J | apresenta um termo no denominador que cancela-se

com o termo Jacobiano do segmento de contorno infinitesimal dΓ = |J |dξdηna expressao integral das equacoes (3-25), (3-26) e (4-5). Isto, nao apenas

melhora a capacidade de tti para representar as forcas de superfıcie ao longo de

segmentos de contornos curvos, tambem simplifica a integracao numerica dos

termos relacionados [13].

O numero de graus de liberdade para as forcas de superfıcie nt e

deslocamentos nd nao sao necessariamente os mesmos, desde que mais de

um parametro de forca de superfıcie seja associado com uma descontinuidade

num no do contorno, onde os segmentos adjacentes apresentam diferentes

normais exteriores [13]. Como consequencia temos que nt ≥ nd. E importante

ressaltar que t`, na equacao (2-27), tem atributos de forcas de superfıcie nas

extremidades do segmento de contorno. Enquanto uim, na equacao (2-21), tem

atributos de deslocamento em pontos nodais.

2.4Aproximacao da solucao particular no contorno

Dada uma malha, suficientemente refinada no contorno Γ, os deslocamen-

tos upi e as forcas de superfıcie tpi relacionados com uma solucao particular arbi-

traria da parcela nao homogenea da equacao (2-1) podem ser aproximadas com

precisao suficiente por parametros de deslocamentos nodais dp = [dpm] ∈ Rnd e

parametros de forcas de superfıcie tp = [tp` ] ∈ Rnt , respectivamente, em termos

das funcoes de interpolacao das equacoes (2-21) e (2-27) da seguinte maneira

upi ≈ uimdpm, tpi = σpijηj ≈ ti`t

p` em Γ, (2-28)

sempre que uma solucao particular arbitraria para as forcas de massa bi seja

conhecida em termos de deslocamentos upi e tensoes σpij. Esta aproximacao pode

DBD



tornar as equacoes subsequentes em simples, elegantes e de facil manipulacao

[10].

2.5Solucao Fundamental.

Consideramos como solucao fundamental o campo de deslocamentos

u∗i , calculado para cada direcao coordenada i gerado pela acao de uma

forca concentrada arbitraria p∗m com um determinado grau de liberdade m

do contorno discretizado (no do contorno), obtidos a menos de constantes

relacionadas com os movimentos de corpo rıgido [10].

Essa solucao fundamental e expressa por

u∗i = u∗imp∗m + cri ≡ (u∗im + urisCsm) p∗m em Ω, (2-29)

onde cri e Csm sao, em princıpio, constantes arbitrarias; u∗im funcoes de

interpolacao singulares e uris funcoes de interpolacao referentes ao deslocamento

de corpo rıgido. O procedimento para calcular as funcoes u∗im e uris sao

apresentadas nas secoes 2.5.1 e 2.5.2.

Considerando a equacao (2-10), as tensoes σ∗ij associadas a solucao

fundamental em termos de deslocamentos u∗i sao expressas por

σ∗ij = σ∗ijmp∗m = Dijklu

∗km,lp

∗m em Ω. (2-30)

Na equacao (2-2), as forcas de superfıcie t∗i associadas a solucao fundamental

em termos de tensoes σ∗ijm sao

t∗i = t∗imp∗m = σ∗ijmηjp

∗m em Γ. (2-31)

No metodo dos elementos de contorno convencional, a forca concentrada

p∗m e considerada com intensidade unitaria e as constantes, referentes a

deslocamento de corpo rıgido cri , nao sao consideradas. No metodo convencional

dos elementos de contorno, a solucao fundamental e utilizada como fator de

ponderacao e nos metodos hıbridos dos elementos de contorno, como funcao

de interpolacao.

2.5.1Funcoes de Interpolacao Singulares.

As funcoes de interpolacao singulares u∗im sao obtidas de modo que a

solucao fundamental u∗i satisfaca a parte homogenea da equacao diferencial

que governa o problema de um corpo submetido a uma forca concentrada

arbitraria p∗m [3, 2]. Da primeira equacao de (2-24) obtemos

DBD



(σ∗jim,j + ∆im)p∗m = 0 em Ω (2-32)

onde ∆im e a funcao singular delta de Dirac, definida por

∆im =

∞ se i = m (mesmo no)

0 se i 6= m.(2-33)

A funcao ∆im tem a seguinte propriedade∫Ω

∆imdΩ = δim, (2-34)

onde δim e o delta de Kronecker, isto e,

δim =

1 se i = m,

0 se i 6= m.(2-35)

Na equacao (2-32) observamos que para qualquer valor de p∗m, tem-se

σ∗jim,j + ∆im = 0. (2-36)

Integrando no domınio Ω, obtemos∫Ω

σ∗jim,jdΩ + δim = 0. (2-37)

Aplicando o teorema da divergencia e considerando a equacao (2-31), apos a

integracao para um contorno Γ que circunscreva o ponto de aplicacao da forca

p∗m, tem-se∫Γ

t∗imdΓ + δim = 0. (2-38)

Expressoes para as solucoes fundamentais, em termos de deslocamentos, sao

obtidos partir da equacao de Navier, equacao (2-12). Para problemas tridimen-

sionais de elasticidade linear, considerando material isotropico e homogeneo,

temos

u∗im =1

16π(1− ν)Gr[(3− 4ν)δim + r,ir,m]. (2-39)

Para problemas em estado plano de deformacoes obtemos a conhecida funcao

chamada, solucao fundamental de Kelvin

u∗im =1

8π(1− ν)G[(3− 4ν) ln(r)δim + r,ir,m], (2-40)

DBD



onde

ri = xi − xmi e r = (riri)12 (2-41)

sendo r a distancia entre o ponto de aplicacao xmi da forca concentrada p∗m

(ponto fonte) e o ponto xi onde queremos medir o valor da funcao (ponto

campo). O termo r,i denota a derivada de r na direcao i.

A expressao da solucao fundamental em termos de tensoes correspon-

dente a funcao da equacao (2-40) e dada por

σ∗ijm =−1

4π(1− ν)r[(1− 2ν)(r,iδjm + r,jδim + r,mδij) + 2rirjrm]. (2-42)

A expressao de p∗im correspondente a funcao do campo de tensoes da

equacao (2-42) e

p∗im =−1

4π(1− ν)r

[(1− 2ν)δim + 2r,ir,m]

∂r

∂η− (1− 2ν)(r,iηm + r,mηi)

].

(2-43)

Para problemas de potencial tridimensionais, considerando material ho-

mogeneo e isotropico em regime permanente, tem-se

u∗im =1

4kπr(2-44)

com fluxos

q∗x =−x

4kπr3, q∗y =

−x4kπr3

e q∗z =−x

4kπr3. (2-45)

Para problemas de potencial bidimensionais, considerando material homogeneo

e isotropico em regime permanente, temos

u∗im = − ln(r)

2kπ, (2-46)

com fluxos

q∗x =x

2πr2e q∗y =

y

2πr2. (2-47)

2.5.2Funcoes de interpolacao referentes aos deslocamentos de corpo rıgido

E conveniente considerar funcoes de interpolacao normalizadas uris de

modo que, quando avaliadas no contorno Γ para cada grau de liberdade s,

resultem em uma base ortonormal de deslocamentos de corpo rıgido Wms ≡W.

DBD



Supondo que essas funcoes normalizadas uris ≡ ur possam ser obtidas a

partir de funcoes arbitrarias de deslocamentos de corpo rıgido uris ≡ ur pela

expressao

uris = urinTns ou u = urT. (2-48)

Para cada grau de liberdade m do contorno chega-se a

W rms = U r

mnTns ou W = UrT. (2-49)

Pre-multiplicando por WT e sabendo que WTW = I, sendo I a matriz de

identidade, chegamos a

T = (WTUr)−1. (2-50)

Conhecidas as funcoes arbitrarias uris e a base ortonormal Wmr, obtemos Tss e

uris.

Para problemas de elasticidade, em estado plano de deformacoes, pode-se

utilizar como funcoes arbitrarias de deslocamentos de corpo rıgido

uris ≡ ur =

[1 0 −x2

0 1 x1

](2-51)

e para problemas bidimensionais de potencial

uris ≡ ur =[

1]. (2-52)

DBD


3Metodos de elementos de contorno

Dos diversos metodos de elementos de contorno que vem sendo utilizados

com sucesso em diferentes aplicacoes numericas, tres sao de nosso interesse. No

decorrer do presente capıtulo serao apresentados em forma breve a formulacao

e os principais conceitos de cada um desses metodos.

– O metodo convencional dos elementos de contorno.

– O metodo hıbrido dos elementos de contorno.

– O metodo hıbrido simplificado dos elementos de contorno.

3.1O Metodo convencional dos elementos de contorno

O metodo convencional dos elementos de contorno e obtido a partir

de uma formulacao em resıduos ponderados. Sempre que aplicavel, e uma

ferramenta simples e poderosa de analise numerica [1, 2, 3]. Em [9, 13, 26]

se mostra uma formulacao consistente do metodo, baseada em uma adequada

consideracao das constantes de corpo rıgido associadas a solucao fundamental

em termos de deslocamentos.

3.1.1Formulacao consistente do metodo convencional dos elementos de con-torno

Assumimos que σij e um tensor simetrico que satisfaz a equacao consti-

tutiva σij = Dijkluk,l, equacao (2-10). O problema pode ser formulado, na sua

forma forte, utilizando o princıpio de energia potencial total estacionaria [8],

para uma variacao δui de ui, estendendo o contorno do segundo integrando de

Γσ para Γ, uma vez que, de acordo com a equacao (2-3) e (2-6), δui = 0 em Γu

δΠ = −∫

Ω

(σji,j + bi)δuidΩ +

∫Γ

(σijηj − ti)δuidΓ = 0. (3-1)

Para uma formulacao nao-variacional em termos de resıduos ponderados,

que e menos restritiva que a equacao (3-1), recorre-se a um campo de solucoes

fundamentais. Isto e, tensoes σ∗ij e deslocamentos u∗i do mesmo problema de

DBD


Capıtulo 3. Metodos de elementos de contorno 28

elasticidade, δσ∗ij = Cijklδu∗k,l, que satisfaz a parte homogenea σji,j = 0 da

equacao (2-1), porem, nao satisfaz as condicoes de contorno das equacoes (2-3)

e (2-6):

−∫

Ω

(σji,j + bi)δu∗i dΩ +

∫Γ

(σijηj − ti)δu∗i dΓ = 0. (3-2)

Integrando por partes. Aplicando o teorema de Green e a identidade

σijδu∗i,j ≡ uk,lCijklδu

∗i,j ≡ uk,lδσ

∗kl obtemos∫

Γ

δσ∗ijηjuidΓ−∫

Ω

δσ∗ji,juidΩ =

∫Γ

tiδu∗i dΓ +

∫Ω

biδu∗i dΩ. (3-3)

A formulacao consistente, do metodo convencional dos elementos de

contorno, obtem-se a partir da equacao (3-3). As solucoes fundamentais δσ∗ij e

δu∗i sao discretizadas adequadamente segundo as equacoes (2-30) e (2-29) em

termos de parametros de forcas arbitrarias δp∗m dados como

δσ∗ij ≡ σ∗ijmδp∗m e (3-4)

δu∗i = (u∗im + urisCsm)δp∗m (3-5)

onde uris (para s = 1 . . . nr) sao os nr deslocamentos de corpo rıgido mul-

tiplicados pelas constantes arbitrarias Csm; m indica a localizacao e direcao

da aplicacao de parametros de forcas arbitrarias δp∗m. Tambem, δσ∗ijm e δu∗im

denotam funcoes, com suporte global, das coordenadas e direcoes de δp∗m de-

signado por m (ponto origem), assim como das coordenadas e direcoes i (ponto

campo), onde os efeitos de δp∗m sao medidos.

A robustez do metodo dos elementos de contorno resulta do fato de os

parametros de forcas arbitrarias δp∗m serem aplicados nos nos ao longo do

contorno Γ, do lado de fora do domınio Ω, infinitamente fechado. Embora,

δσ∗ijm e δu∗im tendam ao infinito (no ponto de aplicacao de δp∗m) sao analıticos

em Ω. Por conveniencia, as funcoes δσ∗ijm sao normalizadas de modo que para

um domınio Ω0 que contem δp∗m com o contorno fechado Γ0 temos∫Ω0

σ∗jim,jdΩ =

∫Γ0

σ∗ijmηjdΓ ≡ −δim, (3-6)

onde δim e o delta de Kronecker generalizado (igual a 1, se i e m referem-se ao

mesmo grau de liberdade, ou 0, caso contrario).

De acordo com a definicao associada a solucao fundamental da equacao

(3-6), a integral de domınio do lado esquerdo da equacao (3-3) e, na verdade,

avaliada como∫

Ωδσ∗ji,juidΩ = −δimuiδp∗m ≡ −umδp∗m.

DBD



Substituindo δσ∗ij e δu∗i na equacao (3-3), de acordo com as suas ex-

pressoes dadas nas equacoes (3-4) e (3-5). Obtem-se a expressao modificada

da identidade de Somigliana

um =

∫Γ

tiu∗imdΓ−

∫Γ

σ∗ijmηjuidΓ+

∫Ω

biu∗imdΩ+Csm

(∫Γ

tiurisdΓ +

∫Ω

biurisdΩ

).

(3-7)

Essa identidade e utilizada para avaliar os deslocamentos um (e consequen-

temente, as tensoes) num ponto m do domınio Ω, sempre que, as forcas de

massa bi, forcas de superfıcie ti sejam prescritas e deslocamentos no contorno

ui sejam conhecidos. O termo entre parenteses desaparece quando as forcas

de superfıcie ti e as forcas de massa bi estao em equilıbrio, o que nao neces-

sariamente e atingido quando se esta lidando com aproximacoes. Observa-se

tambem que, os resultados sao, em princıpio, influenciados pelas constantes

arbitrarias Csm [1].

3.1.2Discretizacao numerica

A equacao (3-7) tambem e utilizada para avaliar os deslocamentos ui e as

forcas de superfıcie ti como incognitas do problema ao longo das partes Γσ e Γu

do contorno Γ, respectivamente. De fato, aproximam-se segundo as equacoes

(2-21) e (2-27) ao longo do contorno Γ como

udi = uindn e tti = ti`t` (3-8)

onde dn, para n = 1 . . . nd, e um vetor de nd deslocamentos nodais e uin sao

funcoes de interpolacao com suporte local, geralmente polinomios escolhidos

de tal maneira que, nos pontos nodais, uin ≡ δin. Uma vez que o campo de

forcas de superfıcie ti tem atributos de superfıcie, os nt parametros t` os tem,

mas dependem do vetor normal externo ~ηi dos nos do contorno aos quais t`

esta fisicamente associado. Geralmente, nt > nd, devido a que o contorno Γ

nem sempre e completamente contınuo e alguns nos podem ter duas normais.

A geometria do contorno e aproximada a partir dos atributos nodais

usando as mesmas funcoes de interpolacao uin da equacao (3-8) (representacao

isoparametrica), exatamente como no metodo dos elementos finitos,.

Substituindo as aproximacoes udi e tti na identidade de Somigliana, dada

pela equacao (3-7), e aplicando δp∗m em nos sucessivos do contorno de forma

que δp∗mdm tenha significado de trabalho virtual, chega-se a equacao basica do

metodo convencional dos elementos de contorno na sua forma consistente, que

DBD



considera o termo de erro relacionado com a constante Csm,(∫Γ

σ∗ijmηjuindΓ + δmn

)dn =

(∫Γ

tiù∗imdΓ

)t` +

∫Ω

biu∗imdΩ +

Csm

(∫Γ

tiùrisdΓ +

∫Ω

biurisdΩ

). (3-9)

Escrevendo na forma matricial, temos

Hd = Gt + b + ε, (3-10)

onde H = [Hmn] ∈ Rnd×nd e uma matriz de transformacao cinematica [8, 10],

G = [Gm`] ∈ Rnd×nt e uma matriz do tipo flexibilidade (geralmente retangular)

e b = [bm] ∈ Rnd e um vetor de deslocamentos nodais equivalente as forcas

de massa. As matrizes de potencial duplo e simples, H e G, compreendem

em sua definicao integrais singulares e improprias, respectivamente, quando o

ponto fonte (ındice m) e o ponto campo (ındice n ou `) referem-se aos mesmos

pontos nodais. Entao, cuidados especiais devem ser tomados nas integracoes

numericas. As integrais singulares podem, sempre, ser avaliadas matematica-

mente, levando em conta os correspondentes significados mecanicos.

O termo de erro ε na equacao (3-10) corresponde a resıduos cujas

magnitudes dependem dos deslocamentos de corpo rıgido que estao implıcitos

na solucao fundamental, da forma como a malha e refinada, ou seja, como

exatamente as forcas de superfıcie discretizadas estao em equilıbrio com as

forcas de massa aplicadas no domınio. Este vetor de resıduos e geralmente

ignorado nas implementacoes mostradas na literatura [1, 3], ou as vezes

utilizado como uma medida da convergencia do modelo numerico. Um modelo

numerico consistente deve considerar este termo explicitamente e ter uma

formulacao que seja independente de Csm, e nao simplesmente ignora-lo.

Esta questao especıfica ja foi assunto de uma investigacao teorica em [9].

Tambem e importante a introducao de uma simplificacao conveniente relaci-

onada com a solucao particular (termo b) da equacao (3-10). Os principais

resultados obtidos sao resumidos a seguir.

O vetor de resıduos ε da equacao (3-10) pode ser escrito como

ε = CTRT(t− tp) (3-11)

onde R = [R`s] ∈ Rnt×nd e definido como

R`s =

∫Γ

tiùrisdΓ (3-12)

DBD



e o produto RTtp vem da aproximacao∫Ω

biurisdΩ = −

∫Γ

σpjiηjurisdΓ ≈ −

(∫Γ

ti`urisdΓ

)tp` (3-13)

presente sempre que uma solucao particular relacionada com as forcas de massa

estiver disponıvel. Do mesmo modo, o vetor b = [bm] de deslocamentos nodais

equivalentes, introduzido na equacao (3-10), e aproximado do seguinte modo∫Ω

biu∗imdΩ = −

∫Γ

σpjiηju∗imdΓ +

∫Γ

σ∗jimηjupi dΓ + δimu

pi

⇒ bi ≈ −Gm`tp` +Hmnd

pn. (3-14)

Considerando uma malha suficientemente refinada no contorno. Os desloca-

mentos upi e as forcas de superfıcie tpi = σpjiηj, relacionados com uma solucao

particular arbitraria (parte nao-homogenea) do problema governado pela

equacao (2-1), podem-se aproximar por deslocamentos nodais dpn e parametros

de forcas de superfıcie tp` , com precisao suficiente em termos das funcoes de

interpolacao da equacao (2-28)

upi ≈ uindpn e tpi = σpjiηj ≈ ti`t

p` em Γ (3-15)

Seguidamente, usando as equacoes (3-11) e (3-14), reescrevendo, de forma

conveniente, a expressao da equacao (3-10) como

H(d− dp) =(G + CTRT

)(t− tp). (3-16)

Identifica-se na equacao (3-11), com o apoio da algebra linear [9], que as colunas

da matriz R da equacao (3-16) abrangem o espaco das forcas de superfıcie

(t − tp) que nao podem ser transformadas em deslocamento (nao estao em

equilıbrio). Portanto,(G + CTRT

)R = 0 ⇒ CT = −GR

(RTR

)−1. (3-17)

O que leva a uma equacao de elementos de contorno consistente

H(d− dp) = Ga(t− tp), (3-18)

onde Ga ≡ GP⊥R e a parte admissıvel de G e

P⊥R = I−RR = I−R(RTR

)−1RT (3-19)

DBD



e o projetor ortogonal para o espaco admissıvel das forcas de superfıcie, que

compreende a parte de forcas de superfıcie que estao em equilıbrio e podem,

portanto, ser transformadas em deslocamentos nodais equivalentes atraves da

matriz de flexibilidade Ga.

3.1.3Avaliacao espectral das matrizes envolvidas

Seja W = [Wns] ∈ Rnd×nr uma matriz cujas colunas formam uma

base ortogonal de deslocamentos nodais d da equacao (3-16), relacionados

aos deslocamentos de corpo rıgido, de tal forma que WTW = I. Entao, os

deslocamentos de corpo rıgido uris introduzidos na equacao (3-5) podem ser

normalizados de modo que os seus valores nodais coincidam com Wns nos

pontos nodais. Apos isso temos que

uris = uinWns em Γ (3-20)

Alem disso, e aconselhavel pensar o vetor de forcas de superfıcie t

expresso em termos de forcas nodais equivalentes p = [pn] ∈ Rnd que surgem

a partir de demonstracoes do princıpio dos trabalhos virtuais

δdmpm = δdm

∫Γ

uimti`dΓ t` ⇒ pm = L`mt` ou

p = LTt, (3-21)

onde LT e uma matriz de transformacao de equilıbrio, ja que transforma forcas

de superfıcie em carregamento nodal equivalente.

Com as definicoes de W e LT, dadas acima, verifica-se a equivalencia

R ≡ LW (3-22)

para R, como definido na equacao (3-12), o que significa que, para um domınio

finito,

WT(p− pp) = 0 ⇔ RT(t− tp) = 0. (3-23)

As relacoes anteriores ajudam a entender as propriedades espectrais das

matrizes H e Ga da equacao (3-18). W = N(H) e GaR = 0 sao verificacoes

parciais da consistencia. Definindo V como o espaco nulo de V = N(HT),

verificamos que |VTGa| ≈ 0 e nao |VTGa| = 0, o que significa que a

equacao (3-18), nao e completamente consistente. O que era esperado, ja que a

DBD



equacao (3-2) foi obtida de uma formulacao em resıduos ponderados, que nao

e variacionalmente consistente, se for comparada com a equacao (3-1).

3.1.4Formulacao nao consistente do metodo convencional dos elementos decontorno

A versao inconsistente da equacao (3-18) e a formulacao do metodo

convencional dos elementos de contorno, apresentada em [1, 2, 3] como

H(d− dp) = G(t− tp) (3-24)

pode-se obter diretamente considerando nulo o erro ε da equacao (3-10) ou a

matriz CT da equacao (3-16). A definicao formal das matrizes envolvidas, cuja

avaliacao conceitual e dada por Dumont [9,13], e

H ≡ Hmn =

∫Γ

σ∗jimηjuindΓ (3-25)

G ≡ Gm` =

∫Γ

ti`u∗imdΓ (3-26)

3.2O metodo hıbrido dos elementos de contorno

A formulacao do metodo hıbrido dos elementos de contorno, que tem

uma base variacional, foi proposto em 1987 por Dumont [7], origina-se da

variacao do potencial de Hellinger-Reissner. O metodo baseia-se nas hipoteses

de aproximacoes de tensoes σij no domınio Ω e de deslocamentos ui no contorno

Γ. Desde que foi proposto, mostrou-se como um metodo robusto na solucao de

diversos problemas da engenharia.

3.2.1O potencial de Hellinger–Reissner

O potencial de Hellinger–Reissner e obtido de uma generalizacao da

expressao da energia potencial total de um corpo elastico sujeito a pequenos

deslocamentos (maiores detalhes no Apendice A).

−ΠR(σij, ui)=

∫Ω

[UC

0 (σij) + (σij,j + bi)ui]dΩ−

∫Γ

σijηjuidΓ +

∫Γσ

tiuidΓ (3-27)

onde UC0 (σij) e a energia interna de deformacao complementar. Observa-se na

Figura A.1 que

DBD



UC0 (σij) = σijεij − U0(εij) (3-28)

onde U0(εij) e a energia interna de deformacao.

3.2.2Formulacao do metodo hıbrido dos elementos de contorno

Considerando que a parte do contorno Γu sera levada em conta somente

apos a formulacao matricial do problema, ou seja, Γσ ≡ Γ e ti ≡ ti na equacao

(3-27), pode-se obter a forma estacionaria do potencial:

− δΠR(σij, ui)=

∫Ω

δUC0 (σij)dΩ +

∫Ω

[(σij,j + bi)δui + δσij,jui ]dΩ +∫Γ

tiδuidΓ−∫

Γ

[δσijηjui − σijηjδui ] dΓ (3-29)

onde a variacao da energia interna de deformacao complementar δUC0 (σij),

segundo a Figura A.1 do Apendice A, e

δUC0 (σsij) = δσsijεij = δσsijui,j. (3-30)

Substituindo na equacao (3-29) a discretizacao das tensoes σsij expressa

na equacao (2-23) de acordo com as tensoes referentes a solucao fundamental

σ∗ij e t∗i , ou seja, equacoes (2-30) e (2-31), a discretizacao dos deslocamentos

udi de acordo com a equacao (2-21) e considerando a equacao (3-30), chega-se

a expressao

−δΠR=δp∗m[Fmnp

∗n−Hmn(dn− dbn)

]+δdm

[−Hnmp

∗n+(pm− pbm)

]=0. (3-31)

Para quaisquer valor de δp∗m e δdn, a equacao (3-31) resulta no sistema de

equacoes matriciais que governam o problema no metodo hıbrido dos elementos

de contorno,

F p∗ = H (d− dp) (3-32)

HTp∗ = (p− pp) (3-33)

onde

F ≡ Fmn =

∫Γ

t∗imu∗indΓ + δmn =

∫Γ

σ∗jimηju∗indΓ + δmn (3-34)

H ≡ Hmn =

∫Γ

t∗imuindΓ + δmn =

∫Γ

σ∗jimηjuindΓ + δmn (3-35)

DBD



F e a matriz de flexibilidade simetrica e H e uma matriz de transformacao

cinematica.

3.2.3Matriz de rigidez

Da equacao (3-32) e obtida a expressao p∗ que apos ser substituıda na

equacao (3-33), resulta em uma outra equacao que e

K (d− dp) = p− pp (3-36)

onde

K = HTF(−1)H (3-37)

K e a matriz de rigidez simetrica que transforma deslocamentos em forcas.

Sendo a matriz de flexibilidade F singular, precisa-se utilizar para sua inversao

a tecnica de inversa generalizada, que considera uma base ortonormal V ≡ Vmr

do espaco das forcas p∗ do sistema interno

F(−1) = F + VVT. (3-38)

3.3O Metodo Hıbrido Simplificado dos Elementos de Contorno

Como consequencia das investigacoes das propriedades das equacoes

matriciais do metodo hıbrido dos elementos de contorno, foi proposto o metodo

hıbrido simplificado dos elementos de contorno em [5]. O metodo baseia-se nas

mesmas hipoteses do metodo hıbrido dos elementos de contorno (aproximacoes

de tensoes σij no domınio Ω e deslocamentos ui no contorno Γ) e na suposicao

de que a solucao fundamental em termos de deslocamentos u∗i tambem e valida

no contorno Γ.

3.3.1Formulacao do metodo

Considerando que a parte do contorno Γu sera levada em conta somente

apos a formulacao matricial do problema, ou seja, Γσ ≡ Γ e ti ≡ ti,∫Ω

σijδεijdΩ =

∫Ω

biuidΩ +

∫Γ

tidΓ. (3-39)

Substituindo δεij = δui,j (obtida considerando das equacoes (2-4) e (2-5)).

Integrando por partes e aplicando o teorema da divergencia resulta

DBD



∫Γ

tsiδuidΓ−∫

Ω

σsij,jδuidΩ =

∫Ω

biuidΩ +

∫Γ

tidΓ. (3-40)

Realizando a discretizacao dos integrandos pelas equacoes [3-12] e [3-13]

no contorno e pelas equacoes [4-6] e [4-7] no domınio, considerando as equacoes

[2-27] e [2-28], obtemos

δdn

[(∫Γ

tsiδuidΓ− δimuin)p∗m −

∫Γ

tiuindΓ +

∫Γ

σpijηjuindΓ

]= 0 (3-41)

ou

δdn [Hmnp∗m − pn + ppn] = 0 (3-42)

onde, para qualquer valor de δn, resulta na equacao matricial de equilıbrio

HTp∗ = (p− pp) . (3-43)

Observamos que a equacao (2-25), onde o campo de deslocamentos usi

do corpo elastico e expresso a partir do campo de tensoes σsij definido pelas

equacoes (2-23) e (2-30), em principio valida para o domınio pode ser estendida

para ser utilizada no contorno e reescrita em forma conveniente como

u∗imp∗m + urisCsmp

∗m = usi − u

pi em Γ. (3-44)

Avaliando a equacao (3-44) nos pontos nodais ao longo do contorno Γ

e escolhendo um conjunto de funcoes de deslocamentos de corpo rıgido uris

de forma que, quando medida nos pontos nodais do contorno, resulte na base

ortonormal W, obtem-se a equacao matricial

U*p∗ + WCp∗ = d− dp. (3-45)

Pre-multiplicando a equacao acima pelo projetor ortonormal aos deslo-

camentos de corpo rıgido P⊥W = I−WWT, temos

P⊥WU*p∗ = P⊥W(d− dp), (3-46)

ja que P⊥WW = 0. Esta equacao de compatibilidade nodal de deslocamentos

juntamente com a equacao de equilıbrio nodal de forcas dada pela equacao (3-

43), formam o sistema de equacoes matriciais do metodo hıbrido simplificado

dos elementos de contorno.

DBD



U*p∗ = (d− dp)

HTp∗ = (p− pp)

(3-47)

A matriz U* requer somente a avaliacao da solucao fundamental em

termos de deslocamentos diretamente nos pontos nodais. A matriz H e a matriz

de transformacao cinematica ja estudada nos metodos anteriores.

DBD


4O Metodo Expedito dos Elementos de Contorno

Neste capıtulo e apresentado o desenvolvimento da formulacao do metodo

expedito dos elementos de contorno. Apresenta-se os principais conceitos

e definicoes para obter as equacoes matriciais de equilıbrio. A formulacao

apresentada e desenvolvida para problemas de elasticidade linear, caso mais

geral. No entanto, pode-se migrar facilmente e aplica-lo em problemas de

potencial, desde que sejam bem entendidos os parametros de equivalencia

entre ambos tipos de problemas. Exemplos de aplicacao serao apresentados

no proximo capıtulo.

4.1Enunciados a partir do Princıpio dos trabalhos virtuais

Enunciados do princıpio dos trabalhos virtuais sao incondicionalmente

necessarios na justificativa do metodo expedito dos elementos de contorno

[12, 19]. Sao teoremas que devem ser provados a partir de alguns axiomas

mecanicos. Alguns deles ja foram tratados de forma abrangente em estudos

associados com o metodo hıbrido dos elementos de contorno em [8, 10, 12, 13].

A definicao 1 e importante para manter coerencia total das equacoes e

tambem facilita o entendimento. Alguns enunciados sobre o trabalho virtual

sao descritos a seguir.

Definicao 1 Seja nr o numero de deslocamentos de corpo rıgido independen-

tes de um problema de elasticidade em geral. Em seguida, nr = 3 ou nr = 6 para

problemas 2D ou 3D (e nr = 1 para problemas de potencial). Problemas que

envolvem simetria apresentam diferentes valores de nr. Pode-se eventualmente

ter nr = 0 como no caso de domınios infinitos. Os deslocamentos de corpo

rıgido W ∈ Rnd sao medidos atraves das colunas de uma matriz W ∈ Rnd×nr

que e ortogonal por conveniencia.

4.1.1Enunciado associado com o deslocamento

Partindo do potencial de Hellinger-Reissner [8, 15] chega-se a seguinte

equacao de equilıbrio

DBD


Capıtulo 4. O Metodo Expedito dos Elementos de Contorno 39

Hmnp∗m = pn − ppn ou HTp∗ = p− pp, (4-1)

onde H = [Hmn] ∈ Rnd×n∗e a mesma matriz de potencial duplo do metodo

dos elementos de contorno convencional [3], ja introduzida em (3-24). Alem

disso, p = [pn] ∈ Rnd e pp = [ppn] ∈ Rnd sao definidas como

pn =

∫Γ

σjiηjuindΓ, ppn =

∫Γ

σpjiηjuindΓ (4-2)

onde, pn e pdn, sao vetores de carregamento nodal equivalente correspondentes

as forcas de superfıcie aplicadas, conforme indicado na equacao (2-2) e equacao

(2-24), no caso da solucao particular, respectivamente.

4.1.2Relacoes entre os campos aproximados fornecidos por d e t

Pode ser conveniente expressar as forcas de superfıcie aproximadas tti da

equacao (2-27), em termos de carregamentos nodais equivalentes pm, a partir

do princıpio dos trabalhos virtuais

δdmpm(t) = δdm

∫Γ

uimti`dΓt` (4-3)

⇒ pm(t) = L`mt` ou p(t) = LTt (4-4)

onde as funcoes de interpolacao das equacoes (2-21) e (2-27) foram usadas,

definindo assim

L = [L`m] ∈ Rnt×nd =

∫Γ

ti`uimdΓ. (4-5)

Como dado na equacao (4-4), LT executa uma transformacao de

equilıbrio dos parametros de forcas de superfıcie t para carregamentos nodais

equivalentes p(t). A notacao p(t) significa que as forcas nodais equivalentes

p sao apresentadas como funcoes das forcas de superfıcie t. Observe-se que,

de acordo com Definicao 1, WT(p(t) − pp) = WTLT(t − tp) = 0 para um

problema formulado de forma consistente.

Expressando as relacoes de contragradiencia

p(t) = LTt ⇒ dt(d) = Ld, (4-6)

onde dt(d) sao deslocamentos nodais equivalentes definidos de tal modo que

δtTdt(d) tem o significado de trabalho virtual. Esta relacao de contragradiencia

DBD



faz parte do metodo hıbrido dos elementos de contorno de deslocamento, que

pode ser derivado a partir do potencial Hu [10, 26].

4.1.3Relacoes entre os campos aproximados fornecidos por d e p∗

Obtem-se a partir da equacao (4-1), a relacao de contragradiencia

p(p∗) = HTp∗ ⇒ d∗(d) = Hd (4-7)

onde d∗(d) sao deslocamentos nodais equivalentes definidos de tal modo que

δp∗Td∗(d) tem o significado de trabalho virtual.

4.1.4Subespacos de forcas admissıveis para os campos de aproximacoes

A matriz W de deslocamentos de corpo rıgido nodais, foi introduzido na

Definicao 1, sendo que e tambem o sub-espaco das forcas p desequilibradas.

Como foi mostrado no paragrafo apos a equacao (4-5), as colunas de WTLT

abrangem o subespaco das forcas t desequilibradas [9]. Para um domınio

finito, as colunas de W sao os espacos nulos de H. Em seguida obtem-se

dada a consistencia da equacao (4-1), que as forcas equilibradas p∗ devem ser

ortogonais ao espaco nulo V de HT [8]. Estas conclusoes sao formalizadas no

seguinte teorema.

Teorema 1 As colunas das matrizes W,WL e V abrangem os subespacos de

deslocamentos de corpo rıgido dos campos aproximados, representados pelos

parametros d ,dt e d∗, respectivamente. Cada um dos vetores p, t e p∗,

representam as forcas nodais que estao em equilıbrio se e somente se WTp = 0,

WTLTt = 0 e VTp∗ = 0, respectivamente.

4.1.5Aproximacao da matriz de potencial duplo H

A equacao (2-25), em princıpio, valida no domınio Ω, e aplicada aos nos

do contorno Γ [10, 15]. Assim, udi (da equacao (2-21)) e usi devem coincidir ao

longo do contorno Γ,

U∗p∗ + WCp∗ = (d− dp) , (4-8)

onde WCp∗ representa uma quantidade de deslocamento de corpo rıgido que

nao pode ser transformado entre os campos de aproximacao cujos parametros

sao p∗ e d. A equacao acima e um enunciado muito simples, exceto que ha uma

DBD



quantidade incorporada de deslocamento de corpo rıgido e - o mais importante

- que os termos de U∗ = [U∗ns] ∈ Rnd×nd para m e n referentes ao mesmo no,

nao podem ser avaliados diretamente.

Afirmamos pelo Teorema 1 que, se o conjunto de parametros de forca p∗

na equacao (4-8), corresponde as forcas de equilıbrio, entao VTp∗= 0 ⇒WCp∗= 0 [15] e o seguinte enunciado de contragradiencia

U∗p∗ = d(p∗)⇒ U∗Tp = d∗(p) desde que VTp∗ = 0, WTp = 0 (4-9)

Seguidamente, se utiliza a equacao (4-4) para definir um conjunto de

carregamentos nodais equivalentes p(t) e a equacao (4-7) para definir um

conjunto de deslocamentos nodais equivalentes d∗(d). Assim, o lado direito

da equacao acima torna-se

U∗TLTt = Hd (4-10)

Comparando esta equacao com a equacao (3-24), obtemos

U∗TLT ≈ G (4-11)

que pode-se obter formalmente no quadro de um teorema de energia [15, 16].

4.1.6Aproximacao da matriz de potencial simples G

A equacao (4-8) foi obtida atraves da simples afirmacao de que a equacao

(2-21) deve manter-se para os pontos nodais ao longo do contorno Γ (na verdade

tem uma base variacional [8, 10, 15]). Uma afirmacao semelhante pode ser feita

para as forcas de superfıcie ao longo do contorno Γ,

T∗p∗ = t(p∗) (4-12)

com a introducao da matriz T∗ = [T ∗`m] ∈ Rnt×n∗das forcas de superfıcie,

obtida atraves da medicao do efeito σ∗ijmηj em um no do contorno e sua

direcao caracterizada por ` causada por uma forca unitaria p∗m, de acordo

com a equacao (2-24). A aplicacao de uma instrucao de contragradiencia [16]

leva a

T∗p∗ = t(p∗) ⇒ T∗Tdt = d∗(dt) (4-13)

onde a parte de deslocamento de corpo rıgido e excluıda.

DBD



A expressao do lado direito equacao da 4-13, pode ser escrita num formato

amigavel, para isso se recorre as expressoes de dt e d∗ nas equacoes (4-6) e

(4-7)

T∗TLd = Hd (4-14)

que envolvem apenas deslocamentos nodais d. Desde que HW = 0 para

um domınio finito Ω, deslocamentos nodais equivalentes sao automaticamente

excluıdos.

Entao, pode-se concluir que

T∗TL ≈ H (4-15)

desde que, as condicoes de T∗ = T ∗`m para m e ` referindo-se ao mesmo ponto

nodal, sejam de alguma forma avaliadas e que pelo menos uma garanta que

T∗TLW = 0 para um Ω finito. (4-16)

4.2Aproximacao dos deslocamentos e das forcas de superfıcie no contorno

No metodo expedito dos elementos de contorno, resultados de tensoes σsij

e deslocamentos usi em pontos internos sao dados diretamente pelas equacoes

(2-23) e (2-25) em termos de parametros de forcas p∗m avaliados apos a solucao

da equacao (3-24). Esta forma de representacao de resultados no domınio Ω

que contorna o uso computacional intensivo da identidade de Somigliana, no

metodo convencional dos elementos de contorno, e proprio do metodo hıbrido

dos elementos de contorno [9, 10, 12, 15]. De acordo com isso, as equacoes

(2-23) e (2-25) sao aplicadas aos nos do contorno [10, 15]

U∗p∗ = d(p∗), (4-17)

T∗p∗ = t(p∗). (4-18)

Na equacao (4-17) sao excluıdas as partes de deslocamento de corpo rıgido

e forcas desequilibradas. Na equacao (4-18) e excluıda a parte das forcas

desequilibradas que nao podem tomar parte nas transformacoes lineares. A

definicao de deslocamento de corpo rıgido e simples e intuitiva. A definicao

de forcas desequilibradas nao e intuitiva em termos de parametros de forcas

internas p∗. Entretanto, e simples por meio de algebra linear. Nas equacoes

acima o argumento (p∗) indica que os atributos de deslocamentos nodal e

DBD



forca de superfıcie sao funcoes dos parametros de forcas pontuais da solucao

fundamental.

As duas ultimas equacoes sao obtidas de modo muito simples (nao

sao incorporadas as partes de deslocamento de corpo rıgido e as das forcas

desequilibradas que nao podem ser transformadas). Alem disso, os coeficientes

da matriz de deslocamentos U∗ = [U∗mn] ∈ Rnd×nd e da matriz de forcas de

superfıcie T∗ = [T ∗`m] ∈ Rnt×n∗sao indefinidos (e nao infinitas) quando seus

ındices referem-se ao mesmo ponto nodal [16].

4.3Expressoes do Metodo Expedito dos Elementos de Contorno

A equacao (3-24) escrita em forma matricial e repetida em notacao

indicial com a finalidade de clareza[∫Γ

σ∗ijmηjuindΓ

](dn − dpn) ∼=

[∫Γ

tiù∗imdΓ

](t` − tp`) (4-19)

onde ∼= significa congruencia em termos de resıduos ponderados ja que existe

um erro de aproximacao inerente [9, 13]. Utilizando as funcoes de interpolacao

do contorno das equacoes (2-21) e (2-27) nas solucoes fundamentais proprias,

a equacao acima pode ser aproximada como

T ∗`m

[∫Γ

tiùindΓ

](dn − dpn) ≈ U∗nm

[∫Γ

tiùindΓ

](t` − tp`) (4-20)

Esta e a primeira vista uma iniciativa ousada que exige uma justificativa

adequada.

A aproximacao envolvendo U∗nm resulta do metodo hıbrido dos elementos

de contorno atraves da aplicacao do principio dos trabalhos virtuais [10]. Uma

questao importante a ter em conta, neste caso, e a avaliacao adequada dos

coeficientes quando m e n referem-se ao mesmo ponto nodal, questao que e

abordada com mais detalhe na secao 4.3.3.

A aproximacao envolvendo T ∗`m e mais difıcil de justificar e e em princıpio

questionavel, embora se possa usar o principio dos trabalhos virtuais e recorrer

a [16, 19] para um melhor entendimento.

E importante no desenvolvimento do metodo proposto admitir que a

aproximacao nao pode ser aplicada diretamente numa integral de contorno

onde existe uma singularidade forte, o que acontece quando m e n, equacao

(4-19), pertencem ao mesmo elemento de contorno. O raciocınio por tras disso

e que nao e possıvel aproximar forcas de superfıcie σ∗ijmηj quando σ∗ijm →∞ no

intervalo do contorno considerado, mesmo no caso em que o produto σ∗ijmηjuin

DBD



fosse finito. Uma forma consistente de lidar com esta questao e proposto na

proxima secao.

Usando as definicoes das matrizes U∗nm, T ∗`m e L`m nas equacoes (4-17),

(4-18) e (4-5) e substituindo = por ≈ na equacao (4-20), pode-se reescrever a

equacao matricial como

T∗TL(d− dp) = U∗TLT(t− tp) (4-21)

Observa-se que substituindo as aproximacoes das matrizes G e H, obtidas

nas equacoes (4-11) e (4-15), respectivamente, na equacao (3-24) do metodo

convencional dos elementos de contorno, obtem-se a equacao (4-21).

Substituindo, na equacao (4-21), a notacao

H ≡ T∗TL (4-22)

com a finalidade de simplifica-la, obtemos finalmente a equacao do metodo

expedito dos elementos de contorno na sua forma matricial

H(d− dp) = U∗TLT(t− tp) (4-23)

A equacao (4-23) e uma aproximacao razoavel da equacao (3-24), do

metodo convencional dos elementos de contorno, desde que os coeficientes

indefinidos das matrizes U∗ e T∗ sejam resolvidos adequadamente. A equacao

(4-23) pode ser escrita de forma alternativa de acordo com a equacao (4-4)

em termos do vetor de carregamento nodal equivalente p como no metodo de

elementos Finitos

H(d− dp) = U∗T(p− pp) (4-24)

o que representa uma vantagem operativa adicional do metodo proposto.

4.3.1Avaliacao dos coeficientes da matriz Lbl

A matriz L da equacao (4-5), foi definida como

L = [L`m] ∈ Rnt×nd =

∫Γ

ti`uimdΓ (4-25)

De acordo com a equacao (2-27), o Jacobiano de dΓ = |J |dξdη, tambem

valido para problemas em tres dimensoes, cancela-se com o denominador de

ti` de tal modo que os coeficientes de L`m sejam numeros pre-definidos e

independentes da geometria do problema. Uma caracterıstica importante da

DBD



matriz L`m e ser uma matriz em banda cujos coeficientes se referem apenas

as funcoes de interpolacao do contorno Γ, de suporte local, e podem ser

avaliadas analiticamente e independentemente [13], o que mostra que a matriz

L na verdade esta formada por pequenos blocos de matrizes iguais Lbl e nao

precisa ser montada numa implementacao adequada. As matrizes Lbl podem

ser utilizadas como dados de entrada basicos numa implementacao de codigo

de programacao computacional sao previamente calculadas para cada tipo de

elemento utilizado nas implementacoes bidimensionais ou tridimensionais (ver

Apendice B).

4.3.2

Avaliacao dos coeficientes indefinidos de H

A matriz de forcas de superfıcie T∗ e retangular. No entanto, os coefici-

entes indefinidos da matriz quadrada H ≡ T∗TL na equacao (4-23) sao o tema

atual de interesse. A matriz L, como definida na equacao (4-5), tem o mesmo

numero de linhas e colunas que T∗, mas os coeficientes diferentes de zero da

matriz L`m estao agrupados se o deslocamento nodal δdm e os atributos de

forcas de superfıcie t` referem-se ao mesmo segmento do contorno (elemento).

Figura 4.1: Estrutura formada por seis nos e tres elementos quadraticos para ilustracaona construcao das matrizes.

A Figura (4.1) mostra um triangulo com seis nos para uma discretizacao

em termos de tres elementos quadraticos. Um ou dois graus de liberdade sao

associados por no dependendo do tipo de problema (potencial ou elasticidade

em duas dimensoes). As duas matrizes correspondentes T∗ e L necessarias para

o calculo de H sao dadas esquematicamente em forma de submatrizes a seguir

DBD



T∗=

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

u ∼ ∼ × × ×∼ u ∼ × × ×∼ ∼ u × × ×× × u ∼ ∼ ×× × ∼ u ∼ ×× × ∼ ∼ u ×∼ × × × u ∼∼ × × × ∼ u

u × × × ∼ ∼

(4-26)

L =

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

× × × 0 0 0

× × × 0 0 0

× × × 0 0 0

0 0 × × × 0

0 0 × × × 0

0 0 × × × 0

× 0 0 0 × ×× 0 0 0 × ×× 0 0 0 × ×

(4-27)

em que os sımbolos “×”representam os coeficientes que sao gerados direta-

mente nas matrizes e os sımbolos “u”representam coeficientes indefinidos. Os

coeficientes representados como “∼”sao atualmente conhecidos, mas eles cor-

respondem aos nos que estao adjacentes aos coeficientes indefinidas e, no pro-

duto H ≡ T∗TL, levam a resultados de coeficientes que envolvem uma inde-

finicao, consequentemente correspondem ao caso em que a aproximacao em

termos de ti` na equacao (4-20) nao se aplica. A solucao para contornar a inde-

finicao consiste em atribuir a estes coeficientes os valores correspondentes da

matriz original H da equacao (3-25) o que leva a

H =

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

u H1,2 H1,3 × H1,5 H1,6

H2,1 u H2,3 × × ×H3,1 H3,2 u H3,4 H3,5 ×× × H4,3 u H4,5 ×H5,1 × H5,3 H5,4 u H5,6

H6,1 × × × H6,5 u

(4-28)

DBD



Os coeficientes indicados com H sao avaliados usando quadratura de

Gauss-Legendre na integracao desde que nao haja singularidades envolvidas.

A forma mais simples de se obter os coeficientes desconhecidos “u”e aplicando

algumas propriedades de deslocamentos de corpo rıgido, como as vezes e imple-

mentado no metodo convencional de elementos de contorno. O procedimento

e resumida em [16, 19, 20].

Algoritmo para a avaliacao dos coeficientes indefinidos de H ≡ T∗TL.

1. Se os ındices (m,n) da matriz H referem-se a um segmento do contorno

nao adjacente a uma singularidade, entao basta avaliar o coeficiente como

o produto T∗TL.

2. Se os ındices (m,n) referem-se a um no, que fica adjacente a uma sin-

gularidade, entao o coeficiente deve ser substituıdo com o valor corres-

pondente de H, equacao (3-25), que requer a avaliacao de uma integral

regular por quadratura de Gauss (uin = 0 no ponto de singularidade).

3. Se os ındices (m,n) referem-se a um no afetado diretamente por uma

singularidade, basta avaliar os coeficientes forcando a matriz ser orto-

gonal ao deslocamento de corpo rıgido (para domınios infinitos, usar o

domınio complementar limitado. No caso de simetria, quando o numero

de deslocamentos de corpo rıgido nao e suficiente, adicionalmente aplicar

uma solucao analıtica simples ao problema.)

Para problemas de potencial, ha apenas uma constante potencial e

tambem apenas um valor desconhecido por no, tanto para problemas 2D ou

3D, e uma avaliacao exata dos coeficientes indefinidos sempre e possıvel. Para

problemas de elasticidade em geral, existem tres ou seis estados de tensao

constante, para problemas 2D ou 3D, e duas ou tres incognitas, que devem ser

avaliados utilizando a teoria de mınimos quadrados. Os problemas relacionados

com a avaliacao dos coeficientes indeterminados da matriz H estao resumidos

na tabela 4.1.

4.3.3Avaliacao dos Coeficientes Indefinidos de U∗

Uma vez que os coeficientes indefinidos de H sao avaliados, podem ser

utilizados na avaliacao dos coeficientes indefinidos “u”da matriz U∗ como

ilustrado na equacao (4-30) para o exemplo da Figura (4.1), aplicando um

numero necessario de solucoes analıticas, (Da,Ta) ou (Da,Pa) e uma solucao

por mınimos quadrados

DBD



Problemas de Problemas depotencial elasticidade

2D 3D 2D 3D

Incognitas para H 1 1 2 3Deslocamentos de corpo rıgido 1 1 3 6Tipo de solucao exato exato m. q. m. q.Incognitas para U∗ 1 1 2 3Solucao simples 2 3 3 6Tipo de solucao m. q. m. q. m. q. m. q.

Tabela 4.1: Numero de incognitas e de solucoes disponıveis (deslocamento de corpo rıgidoou solucao simples) e tipo de avaliacao de coeficientes indefinidas (exato ou mınimosquadrados – m.q.) para cada fila da matriz, seja para problemas de potencial e elasticidade,2D ou 3D.

|HDa −U∗TLTTa| = min ou |HDa −U∗TPa| = min (4-29)

Para problemas de potencial, o numero de fluxos constantes e de dois ou

tres, para problemas 2D ou 3D, respectivamente, e ha apenas uma incognita

por no.

U∗=

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

u × × × × ×× u × × × ×× × u × × ×× × × u × ×× × × × u ×× × × × × u

(4-30)

Para problemas de elasticidade gerais, existem tres ou seis estados de

tensao constante, para problemas 2D ou 3D, respectivamente, e duas ou

tres incognitas. Entao, uma avaliacao, em termos de mınimos quadrados,

dos coeficientes indefinidos, e sempre necessaria. Este esquema de solucao

e semelhante ao adotado no metodo hıbrido dos elementos de contorno na

avaliacao dos coeficientes indefinidos da matriz de flexibilidade F∗ [6, 8,

16, 17, 26, 27]. Os problemas relacionados com a avaliacao dos coeficientes

indeterminados da matriz U∗ estao resumidos na tabela 4.1.

4.4Solucao da equacao matricial do problema e avaliacao de resultados empontos internos

Dado um problema geral de contorno misto, as equacoes (4-23) ou (4-

24) podem ser resolvidas para obter-se as incognitas do problema e depois

DBD



os resultados em pontos internos podem ser obtidos usando a Identidade de

Somigliana como e feito no metodo convencional dos elementos de contorno.

No entanto, no quadro atual, os resultados podem ser obtidos diretamente

utilizando o vetor de parametros de forcas p∗, segundo as equacoes (2-23) e

(2-25), o que dispensa as integracoes adicionais.

A avaliacao do vetor p∗ pode ser realizada atraves da resolucao da

equacao (4-1) e a singularidade presente em termos de algebra linear, nao

apresenta maiores dificuldades reais [6, 15, 16, 17, 26, 27].

Uma forma mais eficiente de tratar o problema colocado no paragrafo

anterior consiste na avaliacao de todas as incognitas nodais - deslocamentos

e forcas nodais, alem do parametro de forcas nodais p∗ - por resolucao de

um sistema de equacoes matriciais simples. A ideia basica e comecar com as

equacoes (4-17) e (4-1), aqui repetidas para maior clareza incluindo tambem

os vetores da solucao particular

U∗p∗ = d− dp, HTp∗ = p− pp (4-31)

A atribuicao aos sub vetores d e p de subscritos D ou N e para caracterizar

se as condicoes de contorno sao do tipo Dirichlet ou Neumann, as equacoes

acima podem ainda ser representadas como[U∗N

U∗D

]p∗ =

dN − dpNdD − dpD

,

[H

T

N

HT

D

]p∗ =

pN − ppNpD − ppD

(4-32)

Em seguida, o sistema de equacoes pode ser resolvido em primeiro lugar para

p∗, desde que o problema esteja bem colocado[H

T

N

U∗D

]p∗ =

pN − ppNdD − dpD

(4-33)

com uma posterior avaliacao das forcas de superfıcie e os parametros de

deslocamento[dN

pD

]=

dpNppD

+

[U∗N

HT

D

]p∗ (4-34)

As tensoes e os deslocamento em qualquer ponto do domınio sao obtidos

em termos de p∗ diretamente por meio das equacoes (2-23) e (2-25). O

deslocamento de corpo rıgido implıcito na equacao (2-25) e uma questao

que pode ser tratada de forma direta, da mesma forma como e avaliado no

ambito do metodo hıbrido dos elementos de contorno. E importante ressaltar

que as caracterısticas em questao de algebra linear da equacao (4-33) e

DBD



fundamentalmente diferente do sistema de equacoes normalmente representado

no metodo de elementos de contorno convencional [3].

DBD


5Aplicacoes Numericas

Neste capıtulo apresentam-se exemplos numericos que permitem avaliar

a eficiencia da formulacao do metodo expedito dos elementos de contorno.

Diversas aplicacoes, para problemas de elastostatica linear e problemas de

potencial em regime permanente, sao apresentadas. Solucoes particulares

arbitrarias da parte nao homogenea, σpji,j + bi = 0 ou up,ii + Q/k = 0,

das equacoes diferenciais que governam os problemas, equacoes (2-1) e (2-

16), resolvidas numericamente usando uma formulacao com funcoes wavelet

de Daubechies e interpolets de Deslauriers-Dubuc [4] sao fornecidas para

serem utilizados de forma conjunta com o metodo expedito dos elementos

de contorno. Com o intuito de validar os resultados das solucoes, estas sao

comparados com resultados de solucoes analıticas quando esta existe. Todos

os algoritmos foram gerados em codigo Fortran com precisao dupla (16 dıgitos

decimais).

5.1Estudos de convergencia em problemas de potencial 2D

A Figura 5.1 mostra um domınio de forma irregular, discretizado com

124 nos, para a qual algumas das equacoes e conceitos expostos em capıtulos

anteriores serao avaliados numericamente. Como o objetivo, por enquanto, e

avaliar a convergencia das matrizes U∗TLT e T∗TL do metodo expedito dos

elementos de contorno em comparacao com as matrizes G e H, respectiva-

mente, do metodo convencional dos elementos de contorno. Foi utilizado para

o teste de convergencia a equacao de Laplace em duas dimensoes

∇2u = 0 (5-1)

sem levar em conta as condiciones de contorno prescritas.

A Figura 5.1 tem como coordenadas os pontos 1(0, 0), 17(10, 20),

33(20, 0), 61(15, 35), 77(0, 20), 93(17, 19), 101(16, 22), 109(21, 24) e 117(22, 20).

Os quatro segmentos curvos do contorno tem raios de curvatura 20, 15, 4 e −4.

O problema e modelado utilizando elementos lineares, quadraticos e cubicos

DBD


Capıtulo 5. Aplicacoes Numericas 52

como funcoes de interpolacao, com malhas cada vez mais refinadas (ver a Ta-

bela 5.1 para mais detalhes).

−5 0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

35

101

109

117

12493

C

BA

921 33

61

1777

Figura 5.1: Discretizacao do contorno com uma malha de 124 nos para o domınio irregular.Para o estudo de convergencia foram utilizados elementos lineares, quadraticos e cubicos. A,B e C sao pontos fonte.

Tipo de elemento Numero total de nosLinearQuadratico

31 62 124 248 496 992 1984 –– 62 124 248 496 992 1984 3968

Cubico – 93 186 372 774 1488 2976 –

Tabela 5.1: Numero total de nos utilizados nas diferentes malhas testadas para cada tipode elemento (linear, quadratico ou cubico).

5.1.1Convergencia do metodo convencional dos elementos de contorno

A fim de estimar a maior precisao numerica que se possa esperar nos

testes, avaliamos primeiro a convergencia do metodo convencional dos elemen-

tos de contorno, equacao (3-24), utilizando na interpolacao dos gradientes de

superfıcie a equacao (2-27). Os resultados sao expressos em termos da norma

de erro

ε (Hd−Gt) =‖ Hd−Gt ‖‖ Hd ‖

(5-2)

para o conjunto de solucoes analıticas de contorno (d, t) correspondentes

aos campos potenciais da Tabela 5.2. Os resultados de convergencia obtidos

utilizando elementos cubicos sao mostrados na Figura 5.2. Os resultados sao

quase indistinguıveis entre os diferentes campos potenciais, exceto quando

campos lineares, S1a ou S1b, sao aplicados. Isto acontece porque a norma de erro

da equacao (5-2) e igual a zero (sem erros de integracao numerica), quando

DBD



se utiliza o metodo convencional dos elementos de contorno modificado em

contornos curvos, o que nao acontece no metodo convencional.

102

103

10−8

10−6

10−4

10−2

Número de pontos nodais

err

o

s2a

s3b

s2b

s3a

s4a

s4b

s1b

s1a

sLgA

sLgB

Figura 5.2: Avaliacao da convergencia da equacao (5-2), para os campos potenciais daTabela 5.2, com a finalidade de estabelecer um ponto de erro como referencia de convergencia.

A Figura 5.2 mostra o padrao de convergencia esperado de um metodo

numerico consistente, com normas de erro de ε ≈ 10−7, ponto no qual os erros

de integracao numerica tendem a prevalecer e a precisao dificilmente melhora,

quando o refinamento da malha e aumentando.

Nome Campo potencialS1a xS1b yS2a xyS2b x2 − y2

S3a x3 − 3xy2

S3b y3 − 3x2yS4a x4 + y4 − 6x2y2

S4b x3y − xy3

Sln ln r2π

Tabela 5.2: Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a con-vergencia das equacoes matriciais do modelo numerico da Figura 5.1.

5.1.2

Convergencia das matrizes H e U∗TLT

A Figura 5.3 mostra a representacao da convergencia dos erros em termos

das normas euclidianas

ε(H)

=‖ H−H ‖‖ H ‖

e (5-3)

DBD



ε(U∗TLT

)=‖ U∗TLT −G ‖

‖ G ‖(5-4)

obtidas com as matrizes aproximadas H e U∗TLT, do metodo expedito dos

elementos de contorno, comparadas com as matrizes H e G, do metodo

convencional dos elementos de contorno, como foi proposto na secao 4.3.

Embora os coeficientes indefinidos de U∗ sejam obtidos somente apos a

avaliacao dos coeficientes de H, de acordo com a equacao (4-29), resultam

com melhores aproximacoes em todos os casos. Isto poderia ser explicado pelo

fato de existir uma base variacional solida na aproximacao proposta em termos

de U∗.

101

102

103

10−3

10−2

10−1


Err

o

Hl

Hq

Hc

Gl

Gq

Gc

| T∗TL − H |

| U∗TLT − G |

Figura 5.3: Normas de erro das matrizes, aproximadas, H e U∗TLT de acordo com asequacoes equacoes (5-3) e (5-4), respectivamente, para elementos lineares, quadraticos ecubicos.

5.1.3

Convergencia do sistema Hd = U∗TLTt

Os graficos da Figura 5.4 mostram as normas de erro – calculadas

utilizando a equacao (5-2) – geradas pela aplicacao de uma fonte logarıtmica

ln r/2π no ponto C como mostrado na Figura 5.1. Os resultados com o rotulo

“Con”correspondem ao metodo dos elementos de contorno convencional em

que a funcao de interpolacao das forcas de superfıcie e um polinomio, os

rotulados com “Mod”correspondem a uma modificacao proposta na equacao

(2-27) que melhora ligeiramente os resultados, em geral em ambos casos os

resultados entre eles sao quase indistinguıveis [13, 19]. Os resultados com rotulo

“Exp”correspondem ao metodo expedito dos elementos de contorno. A figura

DBD



mostra o padrao de convergencia esperado de um metodo numerico formulado

de forma consistente, com erros em ordem de ε ≈ 10−6.

102

103

104

10−8

10−6

10−4

10−2

100


Err

o

Conq≈Mod

q

Conc≈Mod

c

Expc

Expq

Conl≡Mod

l

Expl

102

103

104

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Número de pontos nodaisE

rro

Conl≡Mod

l

Expq

ExplCon

c

Conq

Modq

Modc

Expc

Figura 5.4: Erros em escala logarıtmica calculados com a norma euclidiana para testar aconvergencia dos metodos de elementos de contorno estudados. Resultados gerados por umafonte potencial aplicada no ponto C da Figura 5.1. Esquerda: Piores resultados. Direita:Melhores Resultados.

No grafico da esquerda “Piores resultados”os resultados do metodo

expedito dos elementos de contorno sao inicialmente comparaveis com os

resultados do metodo convencional. No entanto, a taxa de convergencia e

menor para o Metodo expedito comparado com o metodo convencional. No

grafico da direita “Melhores resultados”os resultados do metodo convencional

sao melhores. No entanto, observa-se que o metodo expedito com uma maior

discretizacao deve dar resultados proximos. Os resultados do metodo expedito

sao consistentemente mais precisos do que as implementacoes do metodo

convencional usando elementos lineares, um padrao que e tambem observado

em outros exemplos numericos.

Vale observar a partir dos valores dos erros nos graficos das Figuras 5.3

e 5.4, que o metodo expedito conduz a matrizes que nao sao necessariamente

aproximacoes das matrizes do metodo convencional, como em geral mostram

os resultados numericos. O mesmo padrao de resultados tem sido observado

em outros exemplos numericos [16].

5.2

Verificacao da relacao HDa≈U∗TPa em problemas de potencial 3D

Dois testes de convergencia das matrizes aproximadas H e U∗T utili-

zando a relacao HDa ≈ U∗TPa para problemas de potencial 3D em regime

DBD



permanente foram realizados. No estudo foi utilizado a equacao de Laplace

∇2u = 0

sem considerar as condicoes de contorno prescritas, ja que a ideia e testar a

convergencia das matrizes envolvidas em campos potenciais obtidos de forma

analıtica.

x

y

z

A(13,8,3)

1(10,10,0)

7(0,6.8,8)

8(0,0,8)

5(0,10,0)

2(10,0,0)

4(5,0,10)

3(5,6,10)

x

y

z

(0,3,3)

(3,3,0)

(3,0,3)

Figura 5.5: Hexaedro distorcido (a esquerda) e corpo multiplamente conectado feito de umcubo (a direita) para um estudo de convergencia com elementos quadrilaterais lineares.

Observa-se a esquerda da Figura 5.5 um corpo elastico com o domınio

em forma de um hexaedro distorcido com coordenadas dos nos 1(10,10,0),

2(10,0,0), 3(5,6,10), 4(5,0,10), 5(0,10,0), 6(0,0,0), 7(0,6.8,8) e 8(0,0,8) e um

ponto fonte em A(13,8,3). Os dados referentes ao refinamento da malha, graus

de liberdade e numero de elementos se encontram na Tabela 5.3

Malha Elementos Nos1 6 82 24 263 96 984 384 3865 1536 15386 6146 6148

Tabela 5.3: Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergencia, correspon-dentes ao hexaedro distorcido (a esquerda da Figura 5.5).

e a direita, um outro corpo elastico com um domınio multiplamente conexo

de 66 elementos, feito a partir de um cubo de 3 unidades de aresta. Os dados

referentes ao refinamento da malha, graus de liberdade e numero de elementos

se encontram na Tabela 5.4.

DBD



Malha Elementos Nos1 66 642 264 2623 1056 10544 4222 4220

Tabela 5.4: Dados das malhas discretizadas, para um estudo de convergencia, correspon-dentes ao corpo multiplamente conectado (a direita da Figura 5.5).

Os erros de discretizacao mostrados na Figura 5.6, dos corpos da Figura

5.5, sao obtidos pela equacao

ε(HDa −U∗TPa) =‖ HDa −U∗TPa ‖‖ U∗TPa ‖

(5-5)

em termos de norma euclidiana, para quatro solucoes analıticas (Da,Pa)

correspondentes aos campos potenciais mostrados na Tabela 5.5

Nome Campo potencialS1a xS1b yS1c zSln

14πrk

Tabela 5.5: Campos potenciais, obtidos analiticamente, aplicados para testar a con-vergencia das equacoes do modelo numerico da Figura 5.5.

Os tres primeiros campos potenciais da Tabela 5.5 nas direcoes x, y

e z, sao os potenciais utilizados na avaliacao dos coeficientes da diagonal

principal da matriz U∗, de acordo com a equacao (4-29), em termos de mınimos

quadrados. O ponto fonte A de coordenadas (13, 8, 3) onde e aplicado o ultimo

campo potencial e o mesmo para os dois corpos.

8 26 98 386 1538 614610

−3

10−2

10−1

100


Err

o

64 262 1054 422210

−3

10−2


Err

o

Figura 5.6: norma de erro do sistema de matrizes da equacao (4-24), que aproxima as ma-trizes H e U∗ no metodo expedito dos elementos de contorno, para diferentes discretizacoesda malha e o campo potencial aplicado aos corpos representados na figura 5.5.

DBD



Em ambos graficos em escala logarıtmica da Figura (5.6), observa-se

uma convergencia linear o que mostra que o metodo expedito com uma

maior discretizacao deve os diminuirao ainda mais. As figuras mostram o

padrao de convergencia esperado de um metodo numerico formulado de forma

consistente.

5.3Problema de elasticidade 2D

Observa-se na Figura 5.7 um domınio de forma irregular que apresenta

um furo, discretizado no contorno com 62 nos, algumas das equacoes e

conceitos expostos em capıtulos anteriores serao numericamente avaliados em

um problema de elasticidade sem a presenca de forcas de massa

σji,j = 0 (5-6)

em que o valor do coeficiente de Poisson utilizado e de v = 0.3

−5 0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

3531

17

9

146

47

51

55

59

62

39

18

34

A B

(20,7)

(11,26)

Figura 5.7: Discretizacao inicial do domınio irregular (62 nos) para o estudo de con-vergencia e calculo de tensoes no domınio, utilizando elementos quadraticos. A e B saopontos fonte.

A malha da Figura 5.7 e a discretizacao inicial, diferentes refinamentos

da malha sao usados para testar os desenvolvimentos. A estrutura tem como

coordenadas nos seus nos os dados da Tabela 5.6.

O domınio da estrutura apresenta um furo (entre os nos 47 e 62) que

coloca dificuldades topologicas cuja solucao pode nao ser trivial. Os pontos A

e B, indicados com coordenadas (−5, 2) e (10, 2) sao utilizados como pontos

fontes.

DBD



No Coordenada1 (0, 0)9 (10, 20)17 (20, 0)31 (15, 35)39 (0, 20)47 (17, 19)51 (16, 22)55 (21, 24)59 (22, 20)

Tabela 5.6: Coordenadas (x, y) dos nos localizados nos cantos do domınio irregular daFigura 5.7.

5.3.1Avaliacao da consistencia de p∗

Neste analise, o corpo da Figura 5.7 e modelado com 31 elementos

quadraticos isoparametricos (ou seja 62 nos e 124 graus de liberdade). Um

vetor de carregamentos nodais equivalentes p, correspondentes a um campo

de tensoes constante σx = 2, aplicado no contorno da estrutura e gerado

para a construcao de um problema de contorno de Neumann (um campo de

tensao constante e requisito para a avaliacao dos coeficientes indefinidos de

U∗). Este vetor p pode-se determinar com a equacao (4-1) ou em termos de

forcas de superfıcie t, segundo a equacao (4-4), uma vez que as integrais sao

exatamente avaliadas quando a funcao ti` da equacao (2-27) e usada, mesmo

ao longo de contornos curvos (que nao e o caso de ti` da forma como e avaliado

numa formulacao do metodo convencional dos elementos de contorno, onde o

jacobiano de transformacao de coordenadas e aproximado). Seguidamente, a

equacao (4-1) e resolvida para

(a) p∗ usando a matriz H de acordo com a definicao na equacao (3-25) e

(b) p∗ usando a versao expedita H, como definida na equacao (4-22).

Os coeficientes dos vetores p∗ e p∗ obtidos usando H e H, respectiva-

mente, sao apresentados na Figura 5.8. Observa-se que mesmo sendo a malha

a mais grossa (a de menor discretizacao), os resultados sao quase coincidentes

visualmente.

Embora os resultados mais precisos devam corresponder a p∗, p∗ passa

perto de zero nos graus de liberdade 93 − 124 (pertencentes a cavidade) e

tambem nos graus de liberdade 1−34 (pertencentes a concavidade). O aspecto

de ambos graficos e consistente como e mostrado no metodo hıbrido dos

elementos de contorno [15, 14], onde se indica que os parametros do campo de

DBD



12412494786234181

−15

−10

−5

0

5

10

15

Número de graus de liberdade

usando

usando

Figura 5.8: Comparacao do vetor p∗, avaliada na equacao (4-1) para forcas nodaisequivalente do contorno correspondente a um estado de tensao constante σx, com seus valorescorrespondentes do vetor p∗.

exploracao correspondentes as tensoes constantes devem ser iguais a zero nas

cavidades e nos interiores de concavidades agudas.

5.3.2Tensoes em pontos internos para condicoes de contorno de Neumann

Neste estudo de convergencia sao avaliados resultados de tensoes em

40 pontos internos equidistantes que se encontram sobre a linha que une os

pontos de coordenadas (11, 26) e (20, 7) no domınio irregular da Figura 5.7.

Na avaliacao foram utilizados um conjunto de cinco malhas, ver Tabela 5.7,

para simulacoes com elementos quadraticos.

Malha no de nos Graus de liberdade no de elementosmalha1 62 124 31malha2 124 248 62malha3 248 496 124malha4 372 744 186malha5 496 992 248

Tabela 5.7: Discretizacao das malhas utilizadas para o calculo da convergencia das tensoesem pontos internos para o domınio da Figura 5.7.

Forcas nodais equivalentes p sao avaliadas com a equacao (4-4) a partir

das forcas de superfıcie t, medidas ao longo do contorno Γ da Figura 5.7 como

resultado do campo de tensoes gerado por uma forca horizontal atuando no

ponto fonte A.

Apos a solucao do problema de contorno de Neumann avaliado com a

matriz H e sua versao aproximada H, como procedeu-se na secao anterior,

tensoes em pontos internos sao avaliados de acordo com a equacao (2-23).

Uma vez que, a solucao fundamental de Kelvin fornece a solucao analıtica deste

DBD



problema. A norma de erro dos resultados numericos podem ser avaliados de

acordo com a equacao

ε (σa − σn) =‖ σa − σn ‖‖ σa ‖

(5-7)

que confronta os resultados numericos das tensoes σn com os seus correspon-

dentes resultados analıticos σa. A Figura 5.9 apresenta a convergencia do erro

para σxx, σxy e σyy obtidos em termos de H e de H.

Observa-se na Figura 5.9 que a malha menos refinada e afetada pelo con-

torno. No entanto, a precisao melhora drasticamente com o maior refinamento

da malha discretizada chegando ate aproximacoes de ε ≈ 10−8. Erros de in-

tegracao numerica ocorrem principalmente por causa das singularidades perto

dos elementos localizados nos cantos.

As tensoes foram avaliadas em pontos do domınio Ω que estao a uma

distancia razoavel do contorno Γ de modo que nao sejam afetados pelas

singularidades da solucao fundamental. No entanto, resultados em pontos

proximos de nos do contorno Γ ou mesmo coincidentes com eles podem ser,

em geral, razoavelmente aproximados recorrendo as propriedades espectrais da

matriz H, [9, 15].

62 124 248 372 49610

−1010

−1010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

Número de nós no contorno

err

o

σxx

(H)σxx

(H)

σyy

(H)

σxy

(H)

= kva−v nkkvak

σyy

(H)~

σxy

(H)

~

~

Figura 5.9: Erros das tensoes, avaliados no segmento de reta (40 nos) entre os nos decoordenadas (11,26) e (20,7), ver Figura 5.7, para uma forca horizontal aplicada no pontoA.

A Figura 5.10 apresenta resultados obtidos ao longo de 40 pontos nodais,

distribuıdos como na figura 5.7, os pontos das extremidades coincidem com

os nos 18 e 34 do contorno Γ. As tensoes foram avaliadas com uma malha

discretizada com 124 elementos quadraticos (248 nos, 496 graus de liberdade)

que correspondem a campos de tensoes gerados por uma forca vertical atuando

no ponto fonte A. Observa-se que a diferenca entre as tensoes avaliadas com H

DBD



e H e visualmente indistinguıvel. Em pontos distantes do contorno a precisao e

muito alta. No entanto, algumas oscilacoes sao observadas em pontos proximos

a extremidade esquerda (no 18 na figura 5.7).

1 10 20 30 40−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

Número de nós internos

Te

nsõ

es

σxx

σxy

σyy

∗ ∗ ∗

° ° °Solução Analítica

σ usando H ~

σ usando H

Figura 5.10: Comparacao das tensoes ao longo do segmento de reta entre os nos 18 e 34que coincidem com o contorno Γ, ver figura 5.7, para uma forca vertical aplicada no no A.

5.3.3

Avaliacao da convergencia da equacao Hd = U∗Tp

A convergencia da equacao (4-24) e testada para o campo de tensoes

correspondente as forcas aplicadas no ponto fonte B da Figura 5.7. As normas

de erro sao calculadas com a equacao

ε(Hd−U∗Tp

)=‖ Hd−U∗Tp ‖‖ Hd ‖

(5-8)

A Figura 5.11 mostra resultados correspondentes a duas forcas aplicadas

no ponto B – uma horizontal (grafico da esquerda) e uma vertical (grafico da

direita) – para as 6 malhas refinadas segundo a Tabela 5.8 e discretizadas com

elementos lineares, quadraticos e cubicos.

A norma de erro calculada com a equacao (5-8) e para testar o vetor

de carregamento nodal equivalente p avaliado partindo da expressao analıtica

das forcas de superfıcie como mostrado na equacao (4-2) e compara-lo com o

carregamento nodal equivalente p obtido em termos de interpolacao das forcas

de superfıcie como mostra a equacao (4-4). Estas duas expressoes alternativas

sao caracterizadas na Figura 5.11 com subındices que se referem as malhas

com as quais foram discretizadas, no caso ()l para elementos lineares, ()q para

elementos quadraticos ou ()c para elementos cubicos.

DBD



Malha no de nos Graus de liberdademalha1 186 372malha2 372 744malha3 744 1488malha4 1488 2976malha5 2976 4092malha6 4092 8184

Tabela 5.8: Discretizacao das 6 malhas utilizadas para o teste de convergencia do sistemade equacoes matriciais do metodo expedito dos elementos de contorno para a estrutura daFigura 5.7.

8184818459522976148874437210

−5

10−4

10−3

10−2

10−1


Err

o

pl

pl

~

pq ≈ p

q~

pc ≈ p

c~

8184818459522976148874437210

−5

10−4

10−3

10−2


Err

o

pl

~

pl

pc ≈ p

c~

pq ≈ p

q~

Figura 5.11: Normas de erro, Equacao (5-8), da equacao matricial do metodo expedito,Equacao (4-24), para elementos lineares, quadraticos e cubicos. Os campos analıticos usadosnas comparacoes correspondem a uma forca horizontal (grafico a esquerda) e uma vertical(grafico a direita) aplicadas no ponto B da Figura 5.7.

Observa-se na Figura 5.11 que os resultados dos vetores p e p podem

ser considerados coincidentes, exceto no caso dos resultados avaliados com

elementos lineares. No entanto, observa-se que as malhas com elementos

quadraticos levam a resultados melhores que as malhas com elementos cubicos.

5.4Convergencia para problemas de potencial 2D com fonte interna econdicao de contorno mista

5.4.1Exemplo: Domınio irregular com 1 furo

O problema de potencial em regime permanente, expresso pela equacao

(2-16), com uma fonte interna trigonometrica (Q) e constante de condutividade

do material (k = 1), e modelado pela equacao de Poisson

∇2u = cosx

3cos

y

4(5-9)

DBD



as condicoes de contorno misto para o problema sao

u = 0 em Γu e qn =∂u

∂n= 0 em Γq (5-10)

O problema pode ser resolvido utilizando o metodo expedito dos elemen-

tos de contorno de duas maneiras, uma e utilizando a equacao (4-24) de forma

direta (da mesma forma como se trabalha no metodo de elementos de contorno

convencional) e a outra que e propria do metodo hıbrido, utilizando a equacao

(4-31), que precisa do calculo previo do vetor p∗ com a vantagem posterior da

facilidade no calculo de resultados em pontos internos.

O domınio de referencia utilizado para a avaliacao da convergencia

numerica e o da Figura 5.7 (domınio irregular com a presenca de um furo

e discretizado com 62 nos). O problema e resolvido aumentando o refinamento

gradualmente para 7 malhas como mostra a Tabela 5.9 e discretizando o

contorno com elementos quadraticos.

Malha no de nos Graus de liberdade no de elementosmalha1 62 62 32malha2 124 124 62malha3 248 248 124malha4 496 496 248malha5 992 992 496malha6 1984 1984 992malha7 3968 3968 1984

Tabela 5.9: Discretizacao das malhas utilizadas para o calculo da convergencia do problemade potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos quadraticos, para odomınio da Figura 5.13.

Para um adequado estudo de convergencia temos a dificuldade de nao

contar com a existencia de uma solucao analıtica com a qual se possa comparar

os resultados, outra dificuldade e a presenca de descontinuidades no contorno

Γ, como mostra a Figura 5.13, o que faz o problema difıcil de resolver. No

entanto, e possıvel de realizar um estudo de convergencia.

Uma solucao particular arbitraria da parcela nao homogenea produzida

pela fonte trigonometrica da equacao (5-9), sem considerar as condicoes de

contorno e necessario para a solucao do problema. Essa solucao pode ser

calculada analiticamente

up = −72

25

[cos(x

3− y

4

)+ cos

(x3

+y

4

)](5-11)

e ser representada graficamente (ver a Figura 5.12), para o domınio irregular

da Figura 5.7.

DBD



510

15

2015

20

250

25

30

350

5

10

0

5

-5

Figura 5.12: Ilustracao 3D da solucao particular up, gerado pela fonte interna da equacao(5-9), que atua sobre o domınio irregular da figura 5.7.

Na Figura 5.13 (a esquerda), observa-se as condicoes de contorno pres-

critas do problema de acordo com a equacao (5-10), em que o sub-contorno Γq

com gradiente qn igual a zero compreende o segmento entre os nos 31 ao 39.

Enquanto que na parte complementar (contorno Γu) o potencial u e igual a

zero.

39

31

171

46

51

55

5947

62

9

31

39

46

1 17

951

55

4759

62

Figura 5.13: Domınio irregular da Figura 5.7, submetido ao campo potencial dado pelaequacao (5-9) e ilustrado na Figura 5.12. O contorno correspondente aos nos 31− 39 esta:isolado qn = 0 com potencial prescrito u = 0 no resto do contorno (a esquerda), compotencial prescrito u = 0 e isolado qn = 0 no resto do contorno (a direita).

Os resultados dos potenciais u ao longo do segmento de contorno Γq

da Figura 5.13 sao apresentados na Figura 5.14, no eixo horizontal estao

representados os nos 31 ao 39 que correspondem a discretizacao da malha1 na

Tabela 5.9, no caso dos resultados das outras malhas mais refinadas somente

foram plotados os resultados coincidentes com os nos da malha1, a linha

continua corresponde aos resultados da malha mais fina (no caso 3968 nos).

Observa-se que os resultados mostram uma adequada convergencia, sendo

quase coincidentes visualmente com a excecao da malha1. A norma de erro da

equacao (5-7) e utilizada para o calculo de convergencia mostrada na Figura

DBD



5.14, no caso por nao termos uma solucao analıtica o parametro de comparacao

foram os resultados da malha mais fina (no caso a malha7).

31 32 33 34 35 36 37 38 390

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

−3

Pontos nodais ao longo do segmento de contorno

Pote

ncia

l

124 nós

248 nós

496 nós

992 nós

1984 nós

3968 nós

64 nós

64 124 248 496 992 1984

10-2

10-1

10-3

10-4


Err

o

Figura 5.14: Convergencia dos potenciais u para diferentes malhas do domınio da Figura5.13, grafico da esquerda. Usando elementos quadraticos.

Os dados do mesmo exemplo, descrito acima, sao utilizados como um

outro problema. Desta vez, as condicoes de contorno prescritas sao invertidas,

isto e, o sub-contorno Γu (com potencial u = 0) compreende agora o segmento

ao longo de contorno entre os nos 31 ao 39 e a parte complementar do contorno

Γq (incluindo o furo dado entre os nos 47 ao 62, conforme mostrado na Figura

5.13, a direita) com gradiente qn = 0 aplicado. A Figura 5.15 mostra os valores

dos gradientes, nos pontos meios entre dois nos, obtidos ao longo do segmento

que corresponde ao contorno Γu (nos 31 ao 39) e discrepancias sao observadas

na extremidade direita do segmento avaliado (no 39 da Figura 5.13, a direita).

A norma de erro do problema mostrou altas taxas de convergencia como mostra

a Figura 5.15, o resultado da malha mais fina (3968 nos) foi utilizado como

alvo para avaliar o gradiente total medida ao longo do segmento entre os nos

31 ao 39.

31 32 33 34 35 36 37 38 39−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−4


Gra

die

nte

124 nós

248 nós

496 nós

992 nós

1984 nós

3968 nós

64 nós

64 124 248 496 992 1984Número de graus de liberdade

10-2

Err

o

10-4

10-6

10-8

Figura 5.15: Convergencia dos gradientes qn para diferentes malhas do domınio da Figura5.13, grafico da direita. Usando elementos quadraticos.

DBD



5.4.2Exemplo: Domınio irregular com 2 furos

O problema tem o mesmo enunciado do problema da secao 5.4.1, a dife-

renca e o domınio onde e aplicado a equacao de Poisson. No caso um domınio

com 80 nos com 2 furos (entre os nos 53 ao 68 e 69 ao 80, respectivamente),

como se mostra na Figura 5.16,

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

163

61 55

53

47

7 9

19

25

27

29

11

69

75

80

45

41 37

33

Figura 5.16: Malha inicial do domınio discretizado com 40 elementos quadraticos, utilizadopara o calculo de potencias e gradientes no contorno ao longo do segmento entre os nos 19ao 25.

O problema e resolvido utilizando o metodo expedito dos elementos de

contorno da mesma forma ao da secao 5.4.1, para 6 malhas discretizadas

duplicando o numero de elementos em cada caso partindo da malha inicial

de 40 elementos quadraticos como se mostra na Tabela 5.10.

Malha no de nos Graus de liberdade no de elementosmalha1 80 80 40malha2 160 160 80malha3 320 320 160malha4 640 640 320malha5 1280 1280 640malha6 2560 2560 1280

Tabela 5.10: Discretizacao das malhas utilizadas para o calculo da convergencia doproblema de potencial em regime permanente e contorno misto, com elementos quadraticos,para o domınio da Figura 5.16.

Como temos um problema de contorno misto de acordo a equacao (5-10),

na Figura 5.16 consideramos a parcela do contorno entre os nos 19 ao 25 como

sendo Γq com gradientes prescritos qn igual a zero e a parcela complementar

do contorno como sendo Γu com potencial prescrito u igual a zero.

DBD



Os resultados dos potenciais u ao longo do segmento de contorno Γq

(incognitas nessa parcela do contorno) sao apresentados na Figura 5.17, no eixo

horizontal esta representado o segmento de contorno ao longo dos nos 19 ao 25

que correspondem a discretizacao da malha1 na Tabela 5.10, nas outras malhas

mais refinadas somente foram plotados os resultados dos nos coincidentes com

os nos da malha1, a linha continua corresponde aos resultados da malha mais

fina (no caso 2560 nos).

Os resultados confirmam a rapida convergencia do metodo expedito, sendo

quase coincidentes visualmente para todas as malhas com a excecao da malha1.

A norma de erro da equacao (5-7) e utilizada para o calculo da convergencia

mostrada no Figura 5.17, no caso por nao termos uma solucao analıtica o

parametro de comparacao foram os resultados da malha mais fina (no caso a

malha6).

19 20 21 22 23 24 25

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6


Pote

nci

al

160 nós

320 nós

640 nós

1280 nós

2560 nós

80 nós80 160 320 640 1280


10-1

10-2

10-3

Err

o

19

25

Figura 5.17: Convergencia dos potenciais u para diferentes malhas do domınio da Figura5.16, do segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos.

O mesmo problema pode ser utilizado para ter gradientes como incognitas

do problema na parcela do contorno entre os nos 19 ao 25 da Figura 5.16. Para

isso, as condicoes de contorno prescritas sao invertidas, isto e, o sub-contorno

Γu (com potencial u = 0) compreende agora o segmento ao longo do contorno

entre os nos 19 ao 25 e a parte complementar do contorno Γq com gradiente

qn = 0.

A Figura 5.18 mostra os valores dos gradientes, nos pontos meios entre

dois nos, obtidos ao longo do segmento que corresponde ao contorno Γu (nos

19 ao 25) e discrepancias sao observadas nas duas extremidades do segmento

avaliado. A norma de erro do problema mostrou altas taxas de convergencia

como se mostra no grafico menor da mesma figura, o resultado da malha mais

fina (2560 nos) foi utilizado como alvo para avaliar o gradiente total medida

ao longo do segmento entre os nos 19 ao 25.

DBD



19 20 21 22 23 24 25

−1.5

−1

−0.5

0

0.5


Gra

die

nte

160 nós

320 nós

640 nós

1280 nós

2560 nós

80 nós

80 160 320 640 1280


10-2

10-4

10-6

Err

o

10-8

19

25

Figura 5.18: Convergencia dos gradientes qn para diferentes malhas do domınio da Figura5.16, do segmento entre os nos 19− 25. Usando elementos quadraticos.

5.4.3Comparacao dos resultados de duas solucoes particulares arbitrarias(analıtica e numerica)

O problema de potencial e o mesmo da secao 5.4.1, consiste na solucao da

equacao de Poisson com fonte interna trigonometrica e condicoes de contorno

mistas dadas pela equacao (5-10). O domınio utilizado para a solucao do

problema e o da Figura 5.16. O contorno do corpo sera discretizado com 640

elementos quadraticos (1280 nos) e corresponde e a malha5 da Tabela 5.10.

A ideia e comparar resultados, de potenciais u e do fluxo qn em um

segmento do contorno, gerados usando duas solucoes particulares arbitrarias

up quaisquer.

As duas solucoes particulares arbitrarias up correspondentes a parcela

nao homogenea da equacao de Poisson com fonte interna, sao:

• A solucao particular up arbitraria analıtica, da equacao (5-11), reescrita

por conveniencia

up = −72

25

[cos(x

3− y

4

)+ cos

(x3

+y

4

)]• A solucao particular upi arbitraria resolvida numericamente usando

uma formulacao com funcoes wavelet de Daubechies e interpolets de

Deslauriers-Dubuc [4], resultados que foram fornecidos por R. Burgos

e usados como dados do problema.

A avaliacao do potencial u e fluxo qn, foi em um segmento do contorno

Γ entre os nos 19 ao 25 da Figura 5.16. Levando em conta as condicoes de

contorno do problema, para obter o potencial e fluxo potencial u e fluxo qn,

temos:

DBD



a) Para ter potenciais u como incognitas do problema. O fluxo no sub-

contorno Γq deve ser zero no segmento entre os nos 19 ao 25 e na parte

complementar do contorno Γu o potencial e u = 0.

b) Para ter fluxos qn como incognitas do problema. O potencial u no sub-

contorno Γq deve ser zero no segmento entre os nos 19 ao 25 e na parte

complementar do contorno Γq o fluxo e qn = 0.

Os resultados dos potenciais u (caso a) ao longo do sub-contorno Γq, sao

apresentados a esquerda na Figura 5.19 e os resultados dos fluxos qn (caso

b) ao longo do sub-contorno Γu, sao apresentados a direita na Figura 5.19.

Observa-se nos resultados a coincidencia entre eles usando as duas solucoes

particulares arbitrarias, a analıtica e a numerica. No entanto, na avaliacao da

norma de erro tem-se para o fluxo ε = 4.13 × 10−5 e no caso do potencial

ε = 3.07× 10−5.

1 20 40 60 80 97−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6


Pote

ncia

l

x 10−1

usando analítico

usando numérico

1 20 40 60 80 97−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Gra

die

nte


usando analítico

usando numérico

Figura 5.19: Potenciais u para a malha5 da Tabela 5.10 do domınio da Figura 5.16, aesquerda. Resultados dos gradientes qn no segmento entre os nos 19− 25, a direita. Usandoelementos quadraticos.

5.5Convergencia para problemas de elasticidade 2D com forcas de massa econdicao de contorno mista

O problema bidimensional de elasticidade linear, expressa pela equacao

(2-1), com forca de massa aplicada b = [x y], coeficiente de Poisson v = 0.3 e

coeficiente de elasticidade transversal G = 10000 e modelado pela equacao

σji,j + b = 0 (5-12)

e resolvido para um problema com condicoes de contorno misto com

DBD



un = 0 em Γu e tn = 0 em Γq (5-13)

O problema de elasticidade e resolvido utilizando o metodo expedito

dos elementos de contorno segundo as equacoes da secao 4.4, o contorno da

estrutura e discretizada com elementos quadraticos refinando a malha com

o dobro de nos em cada caso como se observa na Tabela 5.11. A estrutura

utilizada para o estudo de convergencia e o domınio da Figura 5.16 com as

condicoes de contorno prescritas da equacao (5-13).

Malha no de nos Graus de liberdade no de elementosmalha1 80 160 40malha2 160 320 80malha3 320 640 160malha4 640 1280 320malha5 1280 2560 640malha6 2560 5120 1280

Tabela 5.11: Malhas utilizadas para o calculo da convergencia do problema de elasticidadelinear e contorno misto, com elementos quadraticos, para o domınio da Figura 5.16.

Uma solucao particular arbitraria da parcela nao homogenea σpji,j+b = 0,

da equacao equacao (5-12), produzida pelas forcas de massa sem considerar as

condicoes de contorno e necessaria para a solucao do problema. Essa solucao

pode ser calculada analiticamente

σpij =

xy

2(1−v)(1−2v)(x2+y2)

4(1−v)

(1−2v)(x2+y2)4(1−v)

xy2(1−v)

(5-14)

upi =[

(1−2v)(3x2+y2)y24G(1−v)

(1−2v)(x2+3y2)x24G(1−v)

](5-15)

Neste exemplo, para avaliar a convergencia sera utilizado o resultado da

malha mais fina (malha6 da Tabela 5.11) ja que nao teremos uma solucao

analıtica como parametro de comparacao na norma de erro.

5.5.1Estudo de convergencia das forcas de superfıcie

Segundo as condicoes de contorno na Figura 5.20 (a esquerda), de acordo

com as condicoes de contorno da equacao (5-13), o sub-contorno Γu com

deslocamentos u igual a zero, compreende o segmento entre os nos 19 ao 25.

DBD



19

25

19

25

Figura 5.20: Domınio irregular da Figura 5.16, submetido a forcas de massa dado pelaequacao (5-12). O contorno correspondente aos nos 19−25 esta: engastado u = 0 com forcasde superfıcie prescrito t = 0 no resto do contorno (a esquerda), com forcas de superfıcieprescritas t = 0 e engastado u = 0 no resto do contorno (a direita).

Enquanto que, na parte complementar do contorno Γσ as forcas de superfıcie

sao zero. As forcas de superfıcie tx e ty sao as incognitas do problema no

segmento avaliado entre os nos 19 ao 25.

Os resultados das forcas de superfıcie, tx e ty, ao longo do contorno Γu,

sao apresentados nas Figuras 5.21 e 5.22, respectivamente.

Observa-se resultados quase coincidentes visualmente para todas as ma-

lhas com excecao da malha1 que e a menos refinada e os nos que correspondem

as extremidades (no 19 e 25), sendo mostrados nas figuras, somente os valores

dos pontos meios entre dois nos da malha inicial, a linha continua corresponde

aos resultados da malha mais refinada.

19 20 21 22 23 24 25


x 10−1

1

2

3

0

-1

-2

160 nós

320 nós

640 nós

1280 nós

2560 nós

80 nós

19

25

80 160 320 640 1280

Número de nós

10-5

10-2

10-3

10-4E

rro

Figura 5.21: Convergencia das Forcas de superfıcie t na direcao x para as discretizacoesmostradas na Tabela 5.11 do domınio da Figura 5.16. Resultados do segmento entre os nos19− 25. Usando elementos quadraticos.

5.5.2

DBD



19 20 21 22 23 24 25


x 10−2

5

6

7

4

3

160 nós

320 nós

640 nós

1280 nós

2560 nós

80 nós

19

25

80 160 320 640 1280

Número de nós

10-2

10-3

10-4

Err

o

Figura 5.22: Convergencia das Forcas de superfıcie t na direcao y para as discretizacoesmostradas na Tabela 5.11 do domınio da Figura 5.16. Resultados do segmento entre os nos19− 25. Usando elementos quadraticos.

Estudo de convergencia dos deslocamentos

Para ter os deslocamentos como incognitas do problema no segmento

entre os nos 19 ao 25 as condicoes de contorno Γ prescritas sao invertidas

como se mostra na Figura 5.20 (a direita), isto e, o sub-contorno Γσ (com

forcas de superfıcie t = 0) compreende agora o segmento entre os nos 19 ao 25

e a parte complementar do contorno Γu tem os deslocamentos u = 0 prescritos.

As Figuras 5.23 e 5.24 mostram os valores dos deslocamentos ux e uy,

respectivamente. Observa-se que os resultados sao coincidentes para todas

as malhas o que mostra a rapida convergencia do metodo expedito. A linha

continua corresponde a malha mais refinada.

19 20 21 22 23 24 25


-6

-4

-2

0160 nós

320 nós

640 nós

1280 nós

2560 nós

80 nósx 10

−3

19

25

80 160 320 640 1280

Número de nós

10-1

10-2

10-3

Err

o

Figura 5.23: Convergencia dos deslocamentos u na direcao x para as discretizacoesmostradas na Tabela 5.11 do domınio da Figura 5.16. Resultados do segmento entre osnos 19− 25. Usando elementos quadraticos.

5.5.3

DBD



19 20 21 22 23 24 25


x 10−3

-6

-4

-2

0

-8

-10

160 nós

320 nós

640 nós

1280 nós

2560 nós

80 nós

19

25

80 160 320 640 1280

Número de nós

10-1

10-2

10-3

Err

o

Figura 5.24: Convergencia dos deslocamentos u na direcao y para as discretizacoesmostradas na Tabela 5.11 do domınio da Figura 5.16. Resultados do segmento entre osnos 19− 25. Usando elementos quadraticos.

Comparacao dos resultados de duas solucoes particulares arbitrarias(analıtica e numerica)

Para a solucao deste problema usou-se a malha5, da Tabela 5.11, com

1280 nos, 2560 graus de liberdade e esta discretizada com 640 elementos

quadraticos.

A ideia e comparar os resultados dos deslocamentos (ux e uy) e das forcas

de superfıcie (tx e ty), gerados apos a solucao do problema de elasticidade linear

com condicao de contorno misto, segundo as equacoes (5-12) e (5-13), usando

duas solucoes particulares arbitrarias quaisquer da parcela nao homogenea

geradas pelas forcas de massa, as duas solucoes sao

• Uma solucao particular arbitraria analıtica, equacoes (5-14) e (5-15),

reescrita por conveniencia

σpij =

xy

2(1−v)(1−2v)(x2+y2)

4(1−v)

(1−2v)(x2+y2)4(1−v)

xy2(1−v)

upi =

[(1−2v)(3x2+y2)y

24G(1−v)(1−2v)(x2+3y2)x

24G(1−v)

]• Uma solucao particular, σpij e upi , arbitraria geradas numericamente

usando uma formulacao com funcoes wavelet de Daubechies e interpolets

de Deslauriers-Dubuc [4], resultados que foram fornecidos por R. Burgos

e usados como dados do problema.

O segmento do contorno Γ escolhido para avaliar os resultados (forcas de

superfıcie t e deslocamentos u) foi o segmento compreendido entre os nos 19

DBD



e 25 da Figura 5.16. Levando em conta as condicoes de contorno do problema

na equacao (5-13). usou-se, respectivamente, dois casos

a) Para ter como incognitas ux e uy no segmento entre os nos 19 −25 do contorno da estrutura. A condicao de contorno prescrita nesse

segmento deve ser o sub-contorno Γσ com forcas de superfıcie igual a

zero. Enquanto que, na parte complementar do contorno Γu deve ser

prescrito, no caso u = 0.

b) Para ter como incognitas tx e ty no segmentos entre os nos 19 − 25 do

contorno da estrutura. A condicao de contorno prescrita nesse segmento

deve ser o sub-contorno Γu com deslocamentos iguais a zero. Enquanto

que, na parte complementar do contorno Γσ as forcas de superfıcie sao

prescritas como sendo zero.

1 20 40 60 80 97

−10

−8

−6

−4

−2

0

x 10−3


Deslo

cam

ento

usando analítico

usando numérico

1 20 40 60 80 97

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6


Forç

as d

e s

uperf

ície

usando analítico

usando numérico

Figura 5.25: Deslocamentos u na direcao x e y para a malha5 da Tabela 5.11 do domınioda Figura 5.16, a esquerda. Resultados das forcas de superfıcie t na direcao x e y segmentoentre os nos 19− 25, a direita. Usando elementos quadraticos.

Os resultados dos deslocamentos ux e uy (caso a) ao longo do sub-

contorno entre os nos 19 ao 25, sao apresentados a esquerda na Figura 5.25.

Os resultados das forcas de superfıcie tx e ty (caso b) ao longo do sub-contorno

entre os nos 19 ao 25, sao apresentados a direita na Figura 5.25. Observa-

se nos resultados a coincidencia nos dois casos, mesmo usando duas solucoes

particulares arbitrarias calculadas diferentes, no caso uma analıtica e a outra

numerica.

DBD


Referencias Bibliograficas

[1] Banerjee, P.K.; Butterfield, R.; 1981; Boundary Element Methods in

Engineering Sciense., McGraw-Hill: London.

[2] Brebbia, C.A.; 1978, The Boundary element method for engineers., Pen-

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torno e proposta de uma formulacao simplificada., Dissertacao de Mes-

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G used in the boundary element methods., Computational Mechanics 22,

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Storti(Eds), Mecanica Computacional, MECOM 2010 - IX Argentinean

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on Computational Mechanics, XXXI CILAMCE Iberian Latin-American

Congress of Computational Methods in Engineering, Buenos Aires, Ar-

gentina. pp. 4635-4659.

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Brazil.

[15] Dumont, N.A.; 2013; The hybrid boundary element method - fundamen-

tals.(to be submitted). Engineering Analysis with Boundary Elements.

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DBD



[19] Dumont, N.A.; Aguilar, C.A.; 2011, The expedite boundary element

method., in: C.A. Brebbia, V. Popov (Eds.), Boundary Elements and

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dary element method., in: E.L. Albuquerque, M.H. Aliabadi (Eds), Ad-

vances in Boundary Element Techniques XII, EC, Ltd, UK, pp. 162-179.


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- XXXII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in

Engineering, Ouro Preto, Brazil, p.16 (on CD).

[22] Dumont, N.A.; Aguilar, C.A.; 2011, Three-dimensional implementation

of the expedite boundary element method., in: Extended Abstract of the

IABEM2011, Symposium of the International Association for Boundary

Element Methods, Brescia, Italy, pp. 113-118.

[23] Dumont, N.A.; Aguilar, C.A.; 2012, The best of two worlds: The expedite

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[25] Liu, Y.; 2009; Fast Multipole Boundary Element Method, Theory and

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[27] Oliveira, M.F.F.; Dumont, N.A.; 2009, Conceptual completion of the

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[30] Reissner, E.; 1950; On a variational theorem in elasticity., In. J. Math.

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[31] Saad, Y.; 1981; Krylov subespace methods for solving large unymmetric

linear systems. Math Comput. 37, pp. 203-228.

[32] Saad, Y.; Schultz, M.H.; 1986; GMRES: A generalized minimal residual

algorithm for solving nonsymmetric linear systems. Siam J. Sci. Stat.

Comput.; pp. 856-869.

DBD


APotencial de Hellinger-Reissner

A expressao da energia potencial total de um corpo elastico sujeito a

pequenos deslocamentos e dada por

Π =

∫Ω

U0(εij)dΩ−∫

Ω

bjuidΩ−∫

Γσ

tiuidΓ (A-1)

a menos de uma constante. Neste funcional, o primeiro termo corresponde a

energia total interna de deformacao, onde

U0(εij) =1

2σijεij (A-2)

e os outros termos referem-se ao potencial das forcas externas bi e ti que

atuam no corpo. Este potencial foi estabelecido sob as condicoes restritivas

de compatibilidade geometrica dadas pelas equacoes (2-5) e (2-6).

Pode-se, no entanto, formular um potencial de forma independente destas

restricoes, de forma que estas nao sejam atendidas previamente. Isto pode

ser proporcionado atraves do acrescimo, no funcional, destas condicoes de

restricao por intermedio de multiplicadores de Lagrange. O novo funcional

resulta, entao, como uma forma generalizada da energia potencial total:

Πg =

∫Ω

U0(εij)dΩ−∫

Ω

bjuidΩ +

∫Ω

[1

2(ui,j − uj,i)− εij

]λijdΩ−∫

Γσ

tiuidΓ +

∫Γσ

(ui − ui)λidΓ (A-3)

onde λij e λi sao os multiplicadores de Lagrange. Os novos termos que

surgem nesta equacao compensam a eliminacao feita previamente das condicoes

restritivas.

Este novo potencial e funcao das variaveis εij, ui, λij e λi, completa-

mente independentes entre si, a princıpio, sem qualquer relacao com as forcas

prescritas bi e ti, e com os deslocamentos prescritos ui.

Pode-se nos multiplicadores de Lagrange um sentido mecanico: a variavel

λij corresponde as tensoes no domınio, enquanto λi refere-se a forcas no

contorno. Alem disto, observa-se que a imposicao de estacionariedade do

DBD


Apendice A. Potencial de Hellinger-Reissner 84

potencial da equacao (A-3) estabelece que as variaveis presentes devem ser

relacionadas entre si atraves das equacoes (2-1) a (2-6) e (2-10).

Figura A.1: Grafico da energia interna de deformacao.

A expressao Πg na equacao (A-3) e, para finalidades praticas, excessi-

vamente geral. Pode-se supor que o tensor das tensoes seja simetrico, como

na equacao (2-4), que as condicoes de contorno em termos de deslocamentos

estejam previamente satisfeitas, como na equacao (2-6), e que a densidade de

energia interna seja expressa em termos de tensoes, isto e, define-se

UC0 (σij) = σijεij − U0(εij) (A-4)

Para materiais linearmente elasticos, os valores dos termos UC0 (σij) e

U0(εij) sao iguais. A diferenca existente consiste na forma como estas duas

parcelas sao descritas, conforme representado na figura 2.2.

Alem disso, a partir da consideracao da simetria de σij, pode-se escrever

um dos integrandos da equacao (A-3) na forma∫Ω

1

2(ui,j + uj,i) =

∫Ω

ui,jσijdΩ (A-5)

que, apos a aplicacao do teorema de Green e posterior integracao por partes,

pode ser reescrito como∫Ω

1

2(ui,j + uj,i) =

∫Γ

uiσijηjdΓ−∫

Ω

uiσij,jdΩ (A-6)

Com isto, recai-se, a partir da equacao (A-3), no potencial de Hellinger-

Reissner:

−ΠR(σsij, udi )=

∫Ω

[UC

0 (σsij) + (σsij,j + bi)udi

]dΩ−

∫Γ

σsijηjudi dΓ +

∫Γσ

tiudi dΓ (A-7)

DBD



que depende unicamente dos deslocamentos ui e das tensoes σij, independentes

entre si.

DBD


BMatriz Lbl

Matrizes Lbl previamente calculadas para elementos em duas e tres

dimensoes.

Matrizes Lbl para elementos 2D

Elemento linear:

Lbl =1

3

[2 1

1 2

](B-1)

Elemento quadratico:

Lbl =1

15

4 2 −1

4 16 2

−1 2 4

(B-2)

Elemento cubico:

Lbl =1

840

128 99 −36 19

99 648 −81 −36

−36 −81 648 99

19 −36 99 128

(B-3)


Elemento triangular linear T3:

Lbl =1

24

2 1 1

1 2 1

1 1 2

(B-4)

DBD


Apendice B. Matriz Lbl 87

Elemento quadrangular linear Q4:

Lbl =1

9

4 2 1 2

2 4 2 1

1 2 4 2

2 1 2 4

(B-5)

Elemento triangular quadratico T6:

Lbl =1

360

6 −1 −1 0 −4 0

−1 6 −1 0 0 −4

−1 −1 6 −4 0 0

0 0 −4 32 16 16

−4 0 0 16 32 16

0 −4 0 16 16 32

(B-6)

Elemento quadrangular quadratico Q8:

Lbl =1

45

6 2 3 2 −6 −8 −8 −6

2 6 2 3 −6 −6 −8 −8

3 2 6 2 −8 −6 −6 −8

2 3 2 6 −8 −8 −6 −6

−6 −6 −8 −8 32 20 16 20

−8 −6 −6 −8 20 32 20 16

−8 −8 −6 −6 16 20 32 20

−6 −8 −8 −6 20 16 20 32

(B-7)

DBD


Referencias Bibliograficas

[1] Banerjee, P.K.; Butterfield, R.; 1981; Boundary Element Methods in

Engineering Sciense., McGraw-Hill: London.

[2] Brebbia, C.A.; 1978, The Boundary element method for engineers., Pen-

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pp. 32-41.

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hybrid boundary element method., (to be submitted).

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[31] Saad, Y.; 1981; Krylov subespace methods for solving large unymmetric

linear systems. Math Comput. 37, pp. 203-228.

[32] Saad, Y.; Schultz, M.H.; 1986; GMRES: A generalized minimal residual

algorithm for solving nonsymmetric linear systems. Siam J. Sci. Stat.

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DBD


APotencial de Hellinger-Reissner

A expressao da energia potencial total de um corpo elastico sujeito a

pequenos deslocamentos e dada por

Π =

∫Ω

U0(εij)dΩ−∫

Ω

bjuidΩ−∫

Γσ

tiuidΓ (A-1)

a menos de uma constante. Neste funcional, o primeiro termo corresponde a

energia total interna de deformacao, onde

U0(εij) =1

2σijεij (A-2)

e os outros termos referem-se ao potencial das forcas externas bi e ti que

atuam no corpo. Este potencial foi estabelecido sob as condicoes restritivas

de compatibilidade geometrica dadas pelas equacoes (2-5) e (2-6).

Pode-se, no entanto, formular um potencial de forma independente destas

restricoes, de forma que estas nao sejam atendidas previamente. Isto pode

ser proporcionado atraves do acrescimo, no funcional, destas condicoes de

restricao por intermedio de multiplicadores de Lagrange. O novo funcional

resulta, entao, como uma forma generalizada da energia potencial total:

Πg =

∫Ω

U0(εij)dΩ−∫

Ω

bjuidΩ +

∫Ω

[1

2(ui,j − uj,i)− εij

]λijdΩ−∫

Γσ

tiuidΓ +

∫Γσ

(ui − ui)λidΓ (A-3)

onde λij e λi sao os multiplicadores de Lagrange. Os novos termos que

surgem nesta equacao compensam a eliminacao feita previamente das condicoes

restritivas.

Este novo potencial e funcao das variaveis εij, ui, λij e λi, completa-

mente independentes entre si, a princıpio, sem qualquer relacao com as forcas

prescritas bi e ti, e com os deslocamentos prescritos ui.

Pode-se nos multiplicadores de Lagrange um sentido mecanico: a variavel

λij corresponde as tensoes no domınio, enquanto λi refere-se a forcas no

contorno. Alem disto, observa-se que a imposicao de estacionariedade do

DBD



potencial da equacao (A-3) estabelece que as variaveis presentes devem ser

relacionadas entre si atraves das equacoes (2-1) a (2-6) e (2-10).

Figura A.1: Grafico da energia interna de deformacao.

A expressao Πg na equacao (A-3) e, para finalidades praticas, excessi-

vamente geral. Pode-se supor que o tensor das tensoes seja simetrico, como

na equacao (2-4), que as condicoes de contorno em termos de deslocamentos

estejam previamente satisfeitas, como na equacao (2-6), e que a densidade de

energia interna seja expressa em termos de tensoes, isto e, define-se

UC0 (σij) = σijεij − U0(εij) (A-4)

Para materiais linearmente elasticos, os valores dos termos UC0 (σij) e

U0(εij) sao iguais. A diferenca existente consiste na forma como estas duas

parcelas sao descritas, conforme representado na figura 2.2.

Alem disso, a partir da consideracao da simetria de σij, pode-se escrever

um dos integrandos da equacao (A-3) na forma∫Ω

1

2(ui,j + uj,i) =

∫Ω

ui,jσijdΩ (A-5)

que, apos a aplicacao do teorema de Green e posterior integracao por partes,

pode ser reescrito como∫Ω

1

2(ui,j + uj,i) =

∫Γ

uiσijηjdΓ−∫

Ω

uiσij,jdΩ (A-6)

Com isto, recai-se, a partir da equacao (A-3), no potencial de Hellinger-

Reissner:

−ΠR(σsij, udi )=

∫Ω

[UC

0 (σsij) + (σsij,j + bi)udi

]dΩ−

∫Γ

σsijηjudi dΓ +

∫Γσ

tiudi dΓ (A-7)

DBD



que depende unicamente dos deslocamentos ui e das tensoes σij, independentes

entre si.

DBD


BMatriz Lbl

Matrizes Lbl previamente calculadas para elementos em duas e tres

dimensoes.


Elemento linear:

Lbl =1

3

[2 1

1 2

](B-1)

Elemento quadratico:

Lbl =1

15

4 2 −1

4 16 2

−1 2 4

(B-2)

Elemento cubico:

Lbl =1

840

128 99 −36 19

99 648 −81 −36

−36 −81 648 99

19 −36 99 128

(B-3)


Elemento triangular linear T3:

Lbl =1

24

2 1 1

1 2 1

1 1 2

(B-4)

DBD


Apendice B. Matriz Lbl 87

Elemento quadrangular linear Q4:

Lbl =1

9

4 2 1 2

2 4 2 1

1 2 4 2

2 1 2 4

(B-5)

Elemento triangular quadratico T6:

Lbl =1

360

6 −1 −1 0 −4 0

−1 6 −1 0 0 −4

−1 −1 6 −4 0 0

0 0 −4 32 16 16

−4 0 0 16 32 16

0 −4 0 16 16 32

(B-6)

Elemento quadrangular quadratico Q8:

Lbl =1

45

6 2 3 2 −6 −8 −8 −6

2 6 2 3 −6 −6 −8 −8

3 2 6 2 −8 −6 −6 −8

2 3 2 6 −8 −8 −6 −6

−6 −6 −8 −8 32 20 16 20

−8 −6 −6 −8 20 32 20 16

−8 −8 −6 −6 16 20 32 20

−6 −8 −8 −6 20 16 20 32

(B-7)

DBD


tese de doutorado - puc-rio internos, de maneira direta e sem a utiliza˘c~ao de qualquer integral...

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