MA311 - Calculo III

Primeiro semestre de 2020

Turma B – Curso 51

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 2: Existencia de solucoes, equacoes separaveis, fator

integrante

Existencia e unicidade de solucoes

Encontrar a solucao y(x) de{y ′(x) = f (x , y),

y(x0) = y0,(1)

e equivalente a encontrar uma funcao y(x) com

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, y(s)) ds,

para x num certo intervalo I contendo x0.

O problema (1) e conhecido como problema de valor inicial (PVI).

Existencia e unicidade de solucoes

Seja C um “certo” conjunto de funcoes e considere a funcao

L : C → C que associa a funcao y ∈ C a funcao L(y) ∈ C dada por

L(y)(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, y(s)) ds.

Existencia e unicidade de solucoes

y(x) resolve o PVI

{y ′(x) = f (x , y),

y(x0) = y0.⇔ y e ponto fixo de L,

pois

L(y) = y ⇔ y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, y(s)) ds,

que, como vimos, e a solucao de (1).

Existencia e unicidade de solucoes

Como garantir a existencia de um ponto fixo para o operador L?

Teorema (Banach)

Seja (M, d) um espaco metrico completo e seja f : M → M uma

contracao, ou seja, existe uma constante 0 ≤ k < 1 tal que

d(f (x), f (y)

)≤ k d(x , y), ∀ x , y ∈ M.

Entao existe um unico p ∈ M tal que f (p) = p.

Prova: seja x0 ∈ M e construa a sequencia

xn = f (xn−1), n ≥ 1.

Entao xn → p, onde p e um ponto fixo (o unico). Para provar que

esta sequencia tem limite, prove que ela e de Cauchy.

Existencia e unicidade de solucoes

Teorema (Picard, versao simples)

Seja f (x , y), com f : U ⊂ R2 → R uma funcao contınua definida

num aberto U e suponha que a derivada parcial com relacao a

y seja contınua. Entao, para cada (x0, y0) ∈ U, existem um

intervalo aberto I contendo x0 e uma unica funcao diferenciavel

φ : I → R, com (x , φ(x)) ∈ U para todo x ∈ I , que e solucao do

problema {y ′ = f (x , y),

y(x0) = y0,

ou seja, φ′(x) = f (x , φ(x)) para todo x ∈ I e φ(x0) = y0 e

tambem

φ(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, φ(s)) ds, x ∈ I .

Existencia e unicidade de solucoes

# O teorema anterior nos da alguma tranquilidade sobre a

questao da existencia de solucoes para EDOs e PVIs.

# A prova do Teorema de Picard e complicada para este

momento: ela usa o Teorema de Banach, cuja prova encontra

o ponto fixo como limite de uma sequencia, portanto, nao

exibe explicitamente qual e a solucao do PVI.

Como vamos entao encontrar solucoes de EDOs e PVIs?

Veremos..

Classificacao

A equacao diferencial e:

# ordinaria, se a equacao so envolve derivadas com respeito auma variavel:

◦ y ′′(x) + 3y(x)2 = cos(x),

◦ zx(x , y) + zx(x , y)3 = 1.

# parcial, se a equacao envolve derivadas com respeito a maisque uma variavel:

◦ α2uxx(x , t) = ut(x , t),

◦ α2uxx(x , t) = utt(x , t).

Classificacao

Considere a equacao diferencial

L(t, y , y ′, . . . , y (n)

)= 0,

definida pelo operador L. A equacao diferencial e:

# linear, se o operador L e linear nas variaveis y , y ′, . . . , y (n)

(pode ser nao-linear em x):

◦ y ′′(t) + 3ety(t) = cos(t),

◦ 7y ′′(t) + 3y ′(t)− y(t) = t.

# nao linear, se o operador L nao e linear:

◦ (y ′(t))2 + y(t) = t

◦ y(t)y ′(t) + cos(t) = 1

Classificacao

# A ordem de uma equacao diferencial e a maior ordem dederivacao que aparece na equacao diferencial.

◦ (y ′(t))4 + y ′′′(t) = 2 equacao de ordem 3

◦ y(t)y ′(t) + cos(t) = y ′′(t) equacao de ordem 2

# Vamos supor que o termo com maior ordem de derivacao

sempre pode ser isolado, ou seja, que as equacoes sao da

forma

y (n) = f(t, y , y ′, . . . , y (n−1)

)para algum operador f .

◦ Isto nao nos impedira de resolver equacoes como

cos(y ′(t)

)= t de vez em quando.

Exemplo

Exemplo

A funcao y(t) = kebt e solucao de y ′(t) = by(t).

Exemplo

Se y(t) = a + kebt entao

y ′(t) = kbebt = b(y(t)− a)

portanto solucao de

y ′ = −ab + by .

EDOs lineares de primeira ordem

y ′(t) = −ay(t) + b (a, b numeros reais)

A equacao e equivalente a

y ′(t) + ay(t) = b.

Se o lado esquerdo pudesse ser colocado no formato(µ(t)y(t)

)′,

entao conseguirıamos resolver a equacao.

O que fazemos? Se falta aparecer o µ(t), multiplique por µ(t)! A

equacao se transformara em

µ(t)y ′(t) + aµ(t)y(t) = bµ(t).

EDOs lineares de primeira ordem

y ′(t) = −ay(t) + b (a, b numeros reais)

µ(t)y ′(t) + aµ(t)y(t) = bµ(t).

Se o lado esquerdo fosse da forma(µ(t)y(t)

)′= µ(t)y ′(t) + µ′(t)y(t)

entao deveria acontecer aµ(t) = µ(t), ou seja, µ(t) = keat .

Neste caso, ficarıamos com

(µ(t)y(t))′ = bµ(t)⇒ (keaty(t))′ = bkeat

EDOs lineares de primeira ordem

y ′(t) = −ay(t) + b (a, b numeros reais)

(keaty(t))′ = bkeat

Portanto,

y(t) =bk

keat

∫eat dt =

b

eat

(eat

a+ c

)=

b

a− ce−at

e a solucao da EDO acima.

A funcao µ(t) e chamada de fator integrante, pois ela permite

que a equacao diferencial seja integrada.

EDOs lineares de primeira ordem

Exemplo

Considere a equacao diferencial

y ′ = 2y − 3.

# Com fator integrante: µ(t)y ′(t)− 2µ(t)y(t) = −3µ(t)

# se fosse (µ(t)y(t))′ = µ(t)y ′(t) + µ′(t)y(t)..

# deverıamos ter µ′(t) = −2µ(t)..

# .. ou seja, µ(t) = ke−2t .

EDOs lineares de primeira ordem

ExercıcioResolva o PVI

y ′ + 5y − 2 = 0, y(0) = 2.

EDOs lineares de primeira ordem

y ′(t) + p(t)y(t) = g(t) (p, g funcoes boas).

Multiplicando a equacao por um fator integrante ficamos com

µ(t)y ′(t) + p(t)µ(t)y(t) = µ(t)g(t).

Se o lado esquerdo for da forma(µ(t)y(t)

)′= µ(t)y ′(t) + µ′(t)y(t),

entao precisaremos que que µ′(t) = p(t)µ(t).

EDOs lineares de primeira ordem

Se

µ′(t) = p(t)µ(t)

entaoµ′(t)

µ(t)= p(t)

nos pontos em que µ(t) 6= 0. Integrando, obtemos

lnµ(t) =

∫p(t) dt,

ou

µ(t) = exp

(∫p(t) dt

).

EDOs lineares de primeira ordem

Com esta escolha de µ(t) teremos(µ(t)y(t)

)′= µ(t)g(t),

o que isolando y(t) nos da

y(t) =1

µ(t)

∫µ(t)g(t) dt

= exp

(−∫

p(t) dt

)·∫ [

g(t) · exp(∫

p(t) dt

)]dt

Conselho: nem pense em decorar esta formula. O metodo e mais

importante.

EDOs lineares de primeira ordem

Exemplo

Resolva a equacao diferencial

y ′ + 2xy = x .

# Equacao linear de 1o ordem!

# Com fator integrante: µ(x)y ′(x) + 2µ(x)xy(x) = µ(x)x

# Se fosse(µ(x)y(x)

)′= µ(x)y ′(x) + µ′(x)y(x)...

# ... terıamos µ′(x) = 2µ(x)x ..

# e daı µ(x) = ex2.

EDOs lineares de primeira ordem

ExercıcioResolva o PVI

y ′ +1

x· y = sen(x), y(π) = 1.

Equacao de Bernoulli

Fonte: https://www.slideshare.net/solohermelin/bernoulli-family

Equacao de Bernoulli

y ′ + P(x)y = Q(x)yn

# n = 0: ok

# n = 1: ok

# n ≥ 2:

◦ multiplique a equacao por y−n: y−ny ′ + P(x)y1−n = Q(x)

◦ Faca a mudanca de variaveis w = y1−n, w ′ = (1− n)y−ny ′

◦ Ficamos com1

1− nw ′ + P(x)w = Q(x)

Exercıcio

Resolva a EDO y ′ + xy = xy2.

Equacoes separaveis: modo ingenuo

Na proxima aula veremos mais detalhes sobre isto, mas aqui vai

algo para voces pensarem. Considere a EDO

dy

dx= f (x)g(y).

Neste caso, “multiplicando cruzado” os diferenciais,

dy

g(y)= f (x) dx

e daı integrando ambos os lados ficamos com∫dy

g(y)=

∫f (x) dx .

Agora e so integrar!

Equacoes separaveis: modo ingenuo

Exemplo

Resolva a EDOdy

dx= xey .

# “Multiplicando” os diferenciais:dy

ey= x , dx

# Integrando: −e−y =x2

2+ c

# Logo y = − ln

(x2

2+ c

).

Que fique claro: precisamos formalizar isto.

Proxima aula

# Equacoes exatas, equacoes separaveis

Ate mais!