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MA11 - Unidade 3Funcoes
Aula 3.2 - Funcoes Bijetivas e Funcoes Inversıveis
Victor Giraldo
PROFMAT - SBM
4 de Marco de 2013
Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
“y =√x e a funcao inversa de y = x2”
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funcoes slide 2/1
Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
“y =√x e a funcao inversa de y = x2”
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
PROFMAT - SBM MA11 - Unidade 3 , Funcoes slide 2/1
Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
“y =√x e a funcao inversa de y = x2”
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
Uma funcao e inversıvel se, e somente, se e bijetiva.
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Funcoes bijetivas
Consideremos uma funcao f : X → Y .
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Funcoes bijetivas
Consideremos uma funcao f : X → Y .
(i) f e sobrejetiva se para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal quef (x) = y ;
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Funcoes bijetivas
Consideremos uma funcao f : X → Y .
(i) f e sobrejetiva se para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal quef (x) = y ;
(ii) f e injetiva se x1, x2 ∈ X , x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2);
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Funcoes bijetivas
Consideremos uma funcao f : X → Y .
(i) f e sobrejetiva se para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal quef (x) = y ;
(ii) f e injetiva se x1, x2 ∈ X , x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2);(iii) f e bijetiva se e sobrejetiva e injetiva.
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Funcoes inversıveis
Sejam f : X → Y e g : U → V duas funcoes, com Y ⊂ U.A funcao composta de g com f e definida por:
g ◦ f : X → Y ⊂ U → Vx 7→ f (x) 7→ g(f (x))
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Funcoes inversıveis
Sejam f : X → Y e g : U → V duas funcoes, com Y ⊂ U.A funcao composta de g com f e definida por:
g ◦ f : X → Y ⊂ U → Vx 7→ f (x) 7→ g(f (x))
Uma funcao f : X → Y e invertıvel se existe uma funcaog : X → Y tal que
(i) f ◦ g = IY ;(ii) g ◦ f = IX .
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Voltando ao exemplo anterior...
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Voltando ao exemplo anterior...
p ◦ q : [0,+∞[ → R → [0,+∞[
x 7→ √x 7→
(√x)2
= x
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Voltando ao exemplo anterior...
p ◦ q : [0,+∞[ → R → [0,+∞[
x 7→ √x 7→
(√x)2
= x
q ◦ p : R → [0,+∞[ → R
x 7→ x2 7→√x2 = |x |.
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Voltando ao exemplo anterior...
p ◦ q : [0,+∞[ → R → [0,+∞[
x 7→ √x 7→
(√x)2
= x
q ◦ p : R → [0,+∞[ → R
x 7→ x2 7→√x2 = |x |.
p ◦ q = I[0,+∞[ q ◦ p 6= IR
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
(I) f e sobrejetiva ⇐⇒ f −1 esta definida em todo elementodo domınio Y .
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
(I) f e sobrejetiva ⇐⇒ f −1 esta definida em todo elementodo domınio Y .
(II) f e injetiva ⇐⇒ f −1 nao associa, a cada elementodo domınio Y , mais de um elementodo contradomınio X .
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Funcoes bijetivas e funcoes inversıveis
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
(I) f e sobrejetiva ⇐⇒ f −1 esta definida em todo elementodo domınio Y .
(II) f e injetiva ⇐⇒ f −1 nao associa, a cada elementodo domınio Y , mais de um elementodo contradomınio X .
Teorema Uma funcao f : X → Y e inversıvel se, e somente se, ebijetiva.
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
f e sobrejetiva.m
f −1 esta definida em todo elemento do domınio Y .
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
f e sobrejetiva.m
f −1 esta definida em todo elemento do domınio Y .m
∃ g : Y → X tal que f ◦ g = IY .
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
f e sobrejetiva.m
f −1 esta definida em todo elemento do domınio Y .m
∃ g : Y → X tal que f ◦ g = IY .(inversa a direita de f )
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
f e injetivam
f −1 nao associa, a cada elemento do domınio Y , mais de umelemento do contradomınio X .
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
f e injetivam
f −1 nao associa, a cada elemento do domınio Y , mais de umelemento do contradomınio X .
m∃ g : Y → X tal que g ◦ f = IX .
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Seja f : X → Y uma funcao.Considere f −1 : Y → X sua relacao inversa.
f e injetivam
f −1 nao associa, a cada elemento do domınio Y , mais de umelemento do contradomınio X .
m∃ g : Y → X tal que g ◦ f = IX .
(inversa a esquerda de f )
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
p ◦ q = I[0,+∞[
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
p ◦ q = I[0,+∞[
p e sobrejetiva (mas nao injetiva).
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
p ◦ q = I[0,+∞[
p e sobrejetiva (mas nao injetiva).q e inversa a direita de p (mas nao funcao inversa de p).
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
p ◦ q = I[0,+∞[
p e sobrejetiva (mas nao injetiva).q e inversa a direita de p (mas nao funcao inversa de p).
q e injetiva (mas nao sobrejetiva).
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Inversa a esquerda e inversa a direita
Para Saber Mais:
Voltando ao exemplo anterior...
p : R → [0,+∞[x 7→ x2
q : [0,+∞[ → R
x 7→ √x
p ◦ q = I[0,+∞[
p e sobrejetiva (mas nao injetiva).q e inversa a direita de p (mas nao funcao inversa de p).
q e injetiva (mas nao sobrejetiva).p e inversa a esquerda de q (mas nao funcao inversa de q).
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