Clculo Diferencial e IntegralDerivadasMaterial TericoResponsvel pelo Contedo:Prof. Esp. Clovis Jose Serra DamianoReviso Textual:Profa. Ms. Fatima Furlan5 Introduo Funo Derivada Estudodocomportamentodeuma funo atravs da anlise de sua derivadaOsimplespensamentodefazerumcursodeClculocostumaserdesalentadorparaum grande nmero de alunos. O clculo nada mais do que geometria e lgebra avanadas. Ele utiliza as regras mais corriqueiras da lgebra e da geometria e as ajusta para que sejam utilizadas em problemas mais complexos.Paraajud-lonaconstruodoconhecimento,realizealeituradostextosindicados, acompanhe e refaa os exemplos resolvidos e treine com as Atividades Prticas disponveis e suas resolues ao final do contedo. No deixe de assistir, tambm, a apresentao narrada do contedo e de alguns exerccios resolvidos.Finalmente, e o mais importante, fique atento s atividades avaliativas propostas e ao prazo de realizao e envio. Nesta Unidade, vamos trabalhar uma das duas grandes ideias doClculo:adiferenciaoqueoprocessodeencontrar umaderivada.Umaderivadaumarelao,porexemplo quilmetros por hora, gales por minuto, metros por segundo e assim por diante.Derivadas6Unidade: DerivadasContextualizaoOtimizar alguma coisa minimizar ou maximizar alguns de seus aspectos. preciso organizar as aes para resolver problemas envolvendo a otimizao.Passos:1) Ler e compreender o problema.2) Identificar as informaes e qual a quantidade desconhecida que dever ser otimizada.3) Fazer um esquema indicando todas as partes importantes do problema.4) Escrever uma sentena matemtica para equacionar o problema.5) Sempre que possvel, expressar a quantidade desconhecida em funo de uma nica varivel.6) Testar os pontos crticos da funo e utilizar seus conhecimentos da forma geomtrica de uma funo.Em muitos problemas de otimizao, o clculo diferencial uma poderosa ferramenta para a soluo desses problemas. ExploreCaptulo 4.5 Problemas Otimizao Aplicada do livro: THOMAS JR., George B Et Al. Clculo (de) george b. thomas jr. 12 ed. So Paulo: Addison-Wesley, 2003, da pgina 303 a 310.7IntroduoNa unidade anterior, aprendemos a calcular o limite da taxa de variao mdia entre dois pontos quando a distncia entre esses dois pontos tende a zero. Esse limite, quando existe, ataxadevariaoinstantneadafunonaqueleponto,ouainda,aderivadadafuno naquele ponto. Vimos ainda que podemos associar o conceito geomtrico de reta tangente taxa de variao instantnea. Quero dizer com isso, que a inclinao da reta tangente curva em um ponto da funo numericamente igual a taxa de variao instantnea ou a derivada da funo nesse mesmo ponto.Funo DerivadaVamos continuar nossos estudos sobre derivadas entendendo a relao entre derivada e reta tangente.Quandoumaretasecantecortadoispontosdeumacurva,ainclinaodessasecante numericamente igual taxa de variao mdia dessa curva (funo). Quando queremos calcular uma derivada, calcula-se o limite da taxa de variao mdia entre dois pontos, quando a distncia entre esses dois pontos tende a zero.Portanto, se eu passar uma secante por 2 pontos de uma curva e for aproximando esses pontos traando novas secantes, essa secante vai tender tangenteao ponto dessa curva. Podemos concluir ento, que a inclinao da reta tangente curva em um ponto, numericamente igual taxa de variao instantnea nesse ponto (derivada). 8Unidade: DerivadasO ponto (2,4) comum curva e a reta tangente curva no ponto de abscissa x = 2. Essa informao importante, pois se conhecemos a derivada da funo em um ponto, conseguimos calcular a equao da reta tangente a esse ponto da curva.Vamos acompanhar o exemplo acima. Temos representadas no grfico as funes f(x)= x2, e g(x)=4x-4 que tangente funo f(x) no ponto de abscissa 2.Portanto, vamos entender essa questo:Qual a taxa de variao instantnea (derivada) de f(x), para x0 = 2?Para resolver esse problema, vamos calcular o limite entre dois pontos da curva, quando a distncia entre eles tende a zero. Um dos pontos o 2 (x0) e o outro ponto ser o 2 mais uma pequena variao que chamaremos de x, portanto (2+x). Portanto, para calcular essa taxa e variao instantnea (tvi) basta calcular o limite da razo entre yx.( ) ( )00lim + oxf x x f xx( ) ( )02 2lim f x fx + x( ) ( )2 202 2limxx + x( )204 4 4limx xx + + x( )04lim 4x xx +=xPortanto, a taxa de variao instantnea no ponto 2 4.Qual a inclinao da reta g(x)?A inclinao da reta dada pelo coeficiente angular. O coeficiente angular de g(x) tambm 4.Existe coincidncia?Sim, a taxa de variao instantnea da funo f(x) no ponto 2 e o coeficiente angular da reta g(x) que tangente curva nesse mesmo ponto so iguais. AtenoSe conseguimos calcular a derivada de uma funo em um ponto x0 qualquer, essa taxa de variao instantnea numericamente igual a inclinao da reta tangente a essa curva nesse ponto, portanto, podemosescreveraequaodessareta,umavezqueconhecemosseucoeficienteangulareum ponto(x,y)quepermitemqueeuacheovalordocoeficientelinearqueaoutraconstanteque compe a equao de uma reta.9Ento ns revimos como calcular a taxa e variao instantnea ou a derivada da funo emumpontoespecfico.Agoravamosaprofundarnossosestudoseentenderoquea derivada como funo.Definio: A derivada de uma funo f(x) em relao varivel x a funo f cujo valor em x, :( )( ) ( )00lim f x + =oxf x x f xxDesde que esse limite exista.Estudamos at agora a derivada de uma funo em um ponto fixo e agora vamos considerar o que acontece em diversos pontos. De maneira geral a derivada assume diferentes valores em diferentes pontos do seu domnio e ela prpria uma funo.A derivada de uma funo em um ponto nos d a informao da taxa de variao da funo naquele ponto que numericamente igual inclinao da reta tangente curva naquele ponto.Observando a definio, deduzimos que para cada valor de x para o qual o limite existe, diz-se que a funo diferencivel (derivvel) naquele valor de x. Se o limite existe para qualquer x do domnio diz-se que f diferencivel em qualquer ponto do domnio.Conhecendoafunoderivadadef(x)podemoscalcularaderivadadef(x)para qualquer x_0 em que f(x) possua derivada sem a necessidade de calcular o limite, usando para esses clculos as regras de derivao.NotaesH vrias maneiras de representar a derivada de uma funo y = f(x). Utilizarei duas delas:Funo Derivada1) f(x) f(x)2) f(x) dy/dx1) a notao mais usual. O apstrofo significa que a funo f foi derivada.2)Essanotaotambmbastanteutilizadaesedizqueaderivadadeyem relao a varivel x.Regras de derivaoPara determinar a funo derivada sem usar o trabalhoso clculo de um limite utilizamos um conjunto de regras de derivao que iremos exemplificar a seguir. Dispensarei a demonstrao dessas regras que podero ser consultadas na bibliografia recomendada.10Unidade: DerivadasDerivada de uma potnciaRegra:y=xa y= a.xa-1Exemplo 1:f(x)=x4Oexpoente4passaparaafrentedoxmultiplicando,edoexpoente4sesubtraio nmero 1. Portanto a derivada da funo f(x) :f (x)=4x4-1f(x)=4x3Trocando IdeiasEssa regra conhecida informalmente como a Regra do Tombo.Exemplo 2:Qual a derivada de 7( ) 1/ fx x =?Pararesolveressaderivadaprecisolembrarque 771xx= (propriedadedaspotncias). Portanto:f(x)=x-7f (x)=-7x-7-1f (x)=-7x-8f (x)=-7/x8 Exemplo 3:Qual a derivada de f(x)=x ?Lembre-se que, pela propriedade das potncias, x=x1/2.Portanto:( )12f x x =( )11212f x x =11( )1212f x x= ( )1212f xx= ( )12f xx=Derivada de uma funo constanteRegra:y=k y^=0A derivada de uma funo constante (k) sempre zero.Exemplo:f(x)=8f(x)=0Derivada de uma soma ou uma diferenaRegra: y=uv y=uvA derivada da soma (ou diferena) de duas ou mais funes igual soma (ou diferena) de suas derivadas.Suponha duas funes:u = x3v = 2x4Se y = u + v, ento:y = x3+2x4y= 3x2 + 8x312Unidade: DerivadasSe derivarmos as funes isoladamente e depois somarmos obteremos exatamente o mesmo resultado.Omesmoseaplicassubtraes.Emoutraspalavras,oquearegradizquese tivermos uma funo composta por vrios termos (um polinmio) que se somam ou se subtraem, obtemos a derivada dessa funo derivando cada termo isoladamente.Exemplo:y = 3x4 - 4x2 + 8y = 12x3 - 8xEm SnteseNote que foi usada as regras de derivao em cada termo isoladamente:1 termo: Foi usada a regra do tombo.2 termo: Tambm foi usada a regra do tombo. Note que o expoente do x dois, ao subtrair 1(para o clculo da derivada), ficou x^1=x. 3termo:Trata-sedeumaconstanteepelaregrasabemosqueaderivadadeumaconstante sempre zero.Derivada do produto de uma funo por uma constanteRegra:y = k.u y = k.uSe uma funo estiver multiplicada (ou dividida) por uma constante sua derivada tambm ficar multiplicada (ou dividida) por essa mesma constante.Exemplo:y=x3y=3x2Se a funo y = x3 for multiplicada por 5 sua derivada tambm ficar multiplicada por 5. Observe:y = 5 x3 = 5x3y = 5 3x2 = 15x2 Derivada de um produtoRegra: y = u.v y = u.v + u.v13Temos o produto das funes u e v. Um dos caminhos para calcular a derivada a aplicao da regra acima.Exemplo:f(x)=(x2 - x) (2x3 + 3)Vamos dar nome as funes e achar suas respectivas derivadas:u = (x2-x) u = 2x-1v = (2x3 + 3) v = 6x2Aplicar a regra para calcular a derivada de f(x):f (x) = (2x-1) (2x3 + 3) + (x2 - x) 6x2Efetuar as multiplicaes e reduzir os termos semelhantes:f(x) = 4x4 - 2x3 + 6x - 3 + 6x4 - 6x3f^ (x) = 10x4 - 8x3 + 6x- 3Derivada do QuocienteRegra:2. . ' u u v u vy yv v = =A regra ensina como fazemos para derivar o quociente (diviso) de duas funes. Chama-se a funo que est no numerador de u e a que est no denominador de v. Deriva-se cada uma delas e aplica-se a regra acima.Exemplo:( )21210xf xx=Portanto:u = 12x2 u = 24xv = x-10 v = 1( )( )( )2224 10 12 .110x x xf xx =14Unidade: Derivadas( )( )2 2224 240 1210x x xf xx =( )( )2212 24010x xf xx=Derivada da funo exponencial naturalRegra:y=ex y=exQuandonosdeparamoscomumafunoexponencialdebasee,ouseja,umafuno exponencial natural estamos diante de um caso cuja derivada a prpria funo.Exemplo:f(x)=5x+exf (x)=5+ exNote que o primeiro termo foi derivado usando a regra do tombo. O segundo termo permanece igual pois a sua derivada exatamente igual funo.Derivada de algumas funes trigonomtricasAsfunestrigonomtricasdescrevemfenmenosperidicos.Asderivadasdessasfunes desempenham um papel importante na descrio de mudanas peridicas. Vou mostrar como derivar duas funes trigonomtricas bsicas:Derivada da funo senoRegra:y=sen x y=cos xExemplo:y=x3-sen xy=3x2-cos x15Derivada da funo cossenoRegra:y=cos x y= -sen xExemplo:y = 5ex + cos xy = 5ex - sen xDerivadas de outras funes trigonomtricas bsicas:Denominao Funo DerivadaTangente f(x)=tg x f (x)= sec2xSecante f(x)=sec x f (x)=sec x.tg xCotangente f(x)=cotg x f (x)= -cosec2xCossecante f(x)=cosec x f (x)=-cosec x.cotg xDerivada da Funo CompostaRegra da Cadeia:Para calcular a derivada da composta de duas funes derivveis preciso calcular o produto de suas derivadas em pontos adequados. Exemplo:Calcular a derivada da funo:y = (3x2 + 1)2A funo composta (reveja o conceito) uma funo dentro da outra. Vamos chamar de funo de dentro (que est interior dos parnteses) de u, e vamos chamar de funo de fora aquela que est fora dos parnteses, queno caso seria a funo de eu chamei de u elevada ao quadrado e que eu posso chamar de v.Resumindo:1)Chamamos de u a funo de dentro: u=3x2+1.2)Chamamos de v a funo de fora: v=u23)Notequepossvelderivartantoafunoucomoafunovutilizandoasregrasde derivao conhecidas. Portanto, esse ser nosso prximo passo.4)Derivar as funes u e v:u = 3x2 + 1 u =6xv=u2 v=2u16Unidade: Derivadas5)Nossopassoagorasermultiplicarasduasderivadasencontradas,ouseja,vamos multiplicar a derivada de v pela derivada de u.y=2u.6x6)Para concluir o clculo basta substituir o valor de u pela funo que ele representa:y=2 (3x2 + 1) 6xEfetue a multiplicao:y = (6x2 + 2) 6x = 36x3 + 12xExerccio de Reforo:Diferencie y = sen(x2+ ex)Seguindo os passos como no exemplo anterior:1)u= x2+ ex e v=sen u2)u= x2+ex u = 2x + exe v = sen u v=cos u3)y=cos u.(2x + ex)4)y=cos (x2 + ex) (2x + ex)Trabalhar com a definio de derivadas, utilizando o clculo de limites muitas vezes bastante trabalhoso, por isso muito comum usar a regras de derivao organizadas em uma tabela para facilitar esses clculos. Apresento a seguir uma tabela das funes mais usuais, bem como uma tabela com algumas regras gerais para o clculo das derivadas:Derivadas das Funes Mais UsuaisRegras de DerivaoFuno Funo Derivadaf(x) = k (constante) f(x) = 0f(x) = x f(x) = 1f(x) = ax + b (a0) f(x) = af(x) = xnf(x) = n.xn-1f(x) = exf(x) = exf(x) = axf(x) = axln af(x) = ln x f(x) =1/xf(x) = senx f(x) = cosxf(x) = cosx f(x) = - senxf(x) = tgx f(x) = sec2 xf(x) = cotgx f(x) = -cosec2 xf(x) = secx f(x) = secx.tgxf(x) = cosecx f(x) = -cosecx.cotgx17Regras gerais para o clculo das derivadas de funes:Multiplicao por escalar y=k.u y=k.uSoma de funes y=u+v y=u+vDiferena de funes y=u-v y=u-vProduto de funes y=u.v y=u.v+u.vDiviso de funes2. . ' u u v u vy yv v = = Derivadas SucessivasO exemplo abaixo esclarecer o conceito de derivadas sucessivas.Exemplo:Tome a funo y = 2x5 + 2x3 + 4x2 + 7 e calcule sua derivada:y=10x4 + 6x2+8xA funo obtida tambm tem derivada e indicamos assim: y=40x3 + 12x + 8Chamamos y de derivada segunda da funo y.Podemos continuar e achar a derivada terceira da funo y:y^=120x^2+12Asderivadasprimeira,segunda,terceiraeassimpordiantesochamadasdederivadas sucessivas.Estudo do comportamento de uma funo atravs da anlise de sua derivadaQuando se conhece a funo derivada de uma funo f(x), possvel descobrir caractersticas dessa funo, por exemplo, saber em que intervalos ela crescente ou decrescente e quais so seus pontos de mximo e de mnimo.18Unidade: DerivadasSinal da DerivadaNossoobjetivoestudarocomportamentodeumafuno(oseucrescimentoou decrescimento) atravs da anlise de sua derivada. Seja f uma funo derivvel em um intervalo aberto I com x0 a I, h trs possibilidades para f(x0):f(x0)>0Nesse caso, a reta tangente ao grfico de f no ponto (x0, f(x0)) possui o coeficiente angular positivo, portanto, nas proximidades do ponto x0 f s pode ser crescente.f(x0 )0 para todo x I,ento f crescente em I.f(x0 ) y1).Mximo e Mnimo LocalSeja f uma funo real de varivel real:f admite um mximo local em x0, se f(x) < f(x0),para todo x V(x0 ), x x0.f admite um mnimo local em x0, se f(x) > f(x0),para todo x V(x0 ), x x0.Note que se uma funo admite um ponto de mximo ou de mnimo local em P(x0, f(x0)) e derivvel em x0, ento a tangente ao grfico de f em P paralela ao eixo x, e toda reta paralela ao eixo x tem o coeficiente angular igual a zero, mas o fato da derivada de uma funo em um ponto ser zero, no implica que esse ponto necessariamente seja um ponto de mximo ou de mnimo. 21Para descobrirmos se uma raiz real x0 de f(x) = 0 a abscissa de um ponto de mximo ou de mnimo local preciso analisar o sinal de f(x) em uma vizinhana de x0.f(x0) um mximo localPara qualquer x1 V(x0 ),x1 < x0 e o coeficiente angular da tangente t positivo (f(x1)>0)Para qualquer x2 V(x0 ), x2 > x0 e o coeficiente angular da tangente t negativo (f(x2) 0).Exemplo:Seja a funo( )3233xf x x x = , determine os pontos de mximo e de mnimo locais da funo f.Nosso primeiro passo ser derivar a funo f(x) e encontrar as razes da funo derivada:( )232 33xf x x = ( )22 3 f x x x = Aderivadadafunof(x)umafunoquadrtica,portanto,paraacharasrazesvamos aplicar a frmula de Bscara, igualando f (x)=O. = (-2)2 - 4.1. - 3 = 4 + 12=16( ) 2 162.1x =12 432x+ += =12 412x+ = = A razes so -1 e 4, sendo assim, vamos analisar os sinais da derivada.Observe a figura com a anlise dos sinais. A funo crescente para valores menores do que -1 ou para valores maiores do que 3. A funo decrescente no intervalo entre -1 e 3.22Unidade: Derivadas3-1- + +Mnimo MximoVamos analisar o que acontece na vizinhana das razes da derivada da funo observando a figura.A funo vem crescente para valores menores do que -1, e ao passar pela raiz ela passa a ser decrescente. Observe as duas retas em torno da raiz e perceba que ali temos um ponto de mximo.Analise o que ocorre na vizinhana da raiz 3. A funo vem decrescente e ao passar pela raiz passa a ser crescente. Observe o desenho e note que ali temos um ponto de mnimo.Segundonossasobservaesidentificamosumpontodemximoeumpontodemnimo. Falta apenas determinar quais so as coordenadas desses pontos. Todo ponto um par ordenado (x,y). Ns sabemos quanto vale o x nos pontos mximo e mnimo, para achar o valor do y, basta substituir em f(x).O ponto de mximo tem como abscissa (x) -1, portanto para achar o valor correspondente de y basta substituir em f(x):( )( )( ) ( )3211 1 3 13f = ( )1 51 1 33 3f = + =O ponto de mnimo tem como abscissa 3, portanto:( )( )( ) ( )3233 3 3 33f = ( ) 3 9 9 9 9. f = = Portanto, os pontos de mximo e mnimo so:Ponto de Mximo: 51,3 .Ponto de Mnimo: (3,-9).23Interpretao Cinemtica da DerivadaSabe-se que a posio (S) de um mvel funo do tempo (t). A velocidade escalar mdia (tvm) dada por St, portanto:Velocidade Mdia = ( ) ( )0 0S t t S tt+ A velocidade escalar (V) do mvel no instante t0 o limite da Velocidade Mdia quando t tende para zero.v(t0) = 0limtVM = ( ) ( )0 00 limtS t t S tt + = v(t0) = S(t0)Trocando IdeiasA derivada da funo S em t0 numericamente igual velocidade escalar do mvel no instante t0.A velocidade escalar de um mvel pode variar de instante em instante, ou seja, a velocidade escalar (V) funo do tempo (t). Num instante t0 um mvel tem a velocidade v(t0) e no instante t0 + t tem a velocidade v (t0 + t), com t 0.A acelerao escalar mdia (am) dada por vt.am = ( ) ( )0 0v t t v tt+ A acelerao escalar do mvel no instante t0 o limite da acelerao escalar mdia para t tendendo a zero.a(t0) = 0limmta = ( ) ( )0 00 limtv t t v tt + = a(t0) = v(t0)Trocando IdeiasA derivada da funo v em t0 numericamente igual acelerao escalar do mvel no instante t0.Vamos resumir o que foi dito. Se tivermos uma funo que nos d a posio de um objeto em relao ao tempo, dizemos que a taxa de variao de posio desse objeto em relao ao tempo, nada mais do que a rapidez com que esse objeto muda de posio. Esse fenmeno ns conhecemos como sendo a velocidade do objeto em relao ao tempo. Da mesma maneira, a taxa de variao da velocidade a acelerao.24Unidade: DerivadasExemplo 1:Calcule a velocidade de um mvel que obedece a equao S = 6t2 no instante 5s. (SI).A funo S nos informa a posio de um mvel em relao ao tempo no Sistema Internacional de Medidas (SI), ou seja, a posio calculada em metros e o tempo em segundos.Aprendemos que a taxa de variao do espao (S) a velocidade, portanto, se derivarmos a funo S teremos uma funo que nos fornecer a funo velocidade.S=v=12tv=12tEncontramos uma funo que nos informa a velocidade instantnea do mvel em qualquer pontododomnio,todaviaoproblemanospedequeforneamosavelocidadenomvelno instante t = 5. Para resolver esse problema basta substituir na funo velocidade o t por 5.v(5)=125v(5)=60 m/s.Resposta: No instante 5 s a velocidade do mvel de 60 m/s.Exemplo 2Calcular a acelerao no instante 3s de um mvel cuja velocidade dada por v = t2+ t (SI).Nosso problema nos traz agora uma funo que informa velocidade de um objeto em funo do tempo e pede a acelerao desse objeto em um determinado instante. Sabemos que a taxa de variao da velocidade a acelerao. Se derivarmos a funo velocidade, obteremos uma funo que nos dar a acelerao desse objeto.v=a=2t+1a=2t+1Obtivemosassimumafunoquenosdaaceleraodesseobjeto,enosinteressaa acelerao no instante 3 segundos. Para conseguir essa informao basta substituir o t por 3.a=2(3)+1a=7m/s^2Resposta: A acelerao do objeto no instante 3 de 7m/s2.25Material ComplementarPara aprofundar seus estudos sobre o estudo dos limites de uma funo, consulte os sites e as referncias a seguir:https://www.youtube.com/watch?v=8s40T0ic-hkhttps://www.youtube.com/watch?v=qdeI4GRFzR0https://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw&index=1&list=PL063E43EF2E298037Outra indicao:Captulo 3 do livro Clculo (George B. Thomas Jr), (volume 1), de Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano So Paulo: Addison Wesley, 2009. ) Pginas 145a 180.26Unidade: DerivadasRefernciasFLEMMING,DivaMarlia;GONCALVES,MiriamBuss.ClculoA:funes,limite, derivao, integrao. 6 ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.HUGHES-HALLET...[atall]Clculoaumaeavriasvariveis,volumeI.5.ed.Riode Janeiro: LTC, 2011.LAPA, Nilton; Matemtica Aplicada. So Paulo Saraiva, 2012.STEWART, James. Clculo 6.ed. So Paulo: Cengage Learning, 2010.THOMAS JR., George B Et Al. Clculo (de) george b. thomas jr. 12. ed. So Paulo: Addison-Wesley, 2003.27Anotaeswww.cruzeirodosulvirtual.com.brCampus LiberdadeRua Galvo Bueno, 868CEP 01506-000So Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000