Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ

Departamento de Engenharia Elétrica

Formulário de Teoria Eletromagnética I

Prof. Antonio Lopes de Souza, Ph.D.

ANALISE VETORIAL

1- Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2):

2

12

2

12

2

12 )z-(z + )y-(y + )x-(x =d

2- Vetor dirigido do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2):

za)z-(z+a)y-(y+a)x-(xR 12y12x12

3- Vetor unitário e módulo de um vetor:

zzyyxx aRaRaRR

RaRR

R

RaR

z2

y2

x2 RRRR

4- Produto escalar entre dois vetores expressos em coordenadas cartesianas:

zzyyxx aAaAaAA

e zzyyxx aBaBaBB

zzyyxx BABABAcosBAB . A

onde é o ângulo entre os dois vetores

5- Produto vetorial entre dois vetores aN

zzyyxx aAaAaAA

e zzyyxx aBaBaBB

Na sinBABA

onde Na

é o vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores A e B cujo

sentido é dado pela regra do parafuso da mão direita (o sentido de movimento de um parafuso girado com a mão

direita).

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

6- Elementos diferenciais de volume

dv = dxdydz (cartesianas)

dv = dddz (cilíndricas)

dv = r2sindrdd (esféricas)

ELETROSTÁTICA

7- Lei de Coulomb

R2

0

21 aR4

QQF

(N), onde m/F10854,8 12

0

, R é a distância entre as cargas e aN é o vetor

unitário dirigido da carga provoca a força para a carga sobre a qual age a força. A lei de Coulomb descreve

forças de interação mútua, ou seja, a força que a primeira carga provoca sobre a segunda é igual e contrária

àquela que a segunda provoca sobre a primeira.

8- Campo elétrico da carga pontual

R2

0

aR4

QE

(V/m), onde Q é a carga fonte do campo elétrico e os outros elementos da equação se

encontram definidos na fórmula 7.

9- Campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais

Rm2

m0

N

1m

aR4

QE

(V/m), ou seja, o campo total é a soma dos campos provocados por cada carga

do sistema, agindo isoladamente.

10- Campo da linha infinita de cargas

R

0

L aR2

E

(V/m), onde L é a densidade linear de cargas na linha infinita, R é a menor distância

da linha ao ponto onde se quer E , e Ra é o vetor unitário atuando ao longo de R e apontando da linha para o

ponto onde se quer o campo elétrico.

11- Campo da folha infinita de cargas

N

0

S a2

E

(V/m), onde S C/m

2 é a densidade superficial de cargas presente na folha infinita e Na é o

vetor unitário normal à folha e apontando da folha para o ponto onde se quer o campo elétrico.

12- Distribuições de carga

dLQL

L (carga linear)

dSQS

S (carga superficial)

dvQv

v (carga volumétrica)

13- Equação das linhas de campo

dado yyxx aEaEE

dx

dy

E

E

x

y

14- Fluxo elétrico

dSDS

, (C), onde D é o vetor densidade de fluxo elétrico medido em C/m2. ED 0 , onde 0 é

a permissividade do vácuo ou espaço livre e dada por:

)m/F(1036

110854,8 912

0

15- Lei de Gauss: “o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida pela mesma

superfície”.

QdSDS

total

16- Divergente

z

D

y

D

x

DD zyx

(cartesianas)

z

DD1)D(1D z

(cilíndricas)

D

sinr

1)sinD(

sinr

1

r

)Dr(

r

1D r

2

2 (esféricas)

17- Primeira equação de Maxwell

vD onde v é a densidade volumétrica de cargas

18- Trabalho realizado para mover uma carga entre dois pontos dentro de um campo elétrico

dLEQWfinal

inicial

, onde dL é o vetor deslocamento elementar definido abaixo para os três sistemas de

coordenadas:

zyx adzadyadxdL (cartesianas)

zadzadaddL (cilíndricas)

adsinrardadrdL r (esféricas)

19- Diferença de potencial (ddp) entre dois pontos A e B

dLEVVVA

B

BAAB (V), ou seja, a diferença de potencial entre os pontos A e B é a medida do

trabalho realizado para mover uma carga unitária e positiva de B até A dentro do campo elétrico em questão.

20- Diferença de potencial no campo de uma carga pontual

)R

1

R

1(

4

QVV

BA0

BA

(V), onde Q é a carga fonte do campo potencial presente na região e RA e

RB são as menores distâncias entre a carga fonte Q e os pontos A e B, respectivamente.

21- Diferença de potencial no campo de uma linha infinita de cargas

A

B

0

LBA

R

Rln

2VV

(V), onde L é a densidade linear de cargas presente na linha infinita, RA e RB

são as menores distâncias entre a linha e os pontos A e B respectivamente, e onde “ln” indica logaritmo natural.

22- Campo potencial absoluto de uma carga pontual

CR

1

4

QV

0

(V), onde R é a menor distância entre a carga fonte Q e o ponto onde se quer o

potencial absoluto e C é uma constante cujo valor depende da localização do zero de referência para potencias.

Para o caso em que o zero de referência é localizado no infinito o valor de C é zero.

23- Gradiente

zyx az

Va

y

Va

x

V

=V (cartesianas)

zaz

Va

V1a

V

=V (cilíndricas)

a

V

sinr

1a

V

r

1a

r

Vr=V (esféricas)

24- Relação entre V e E

VE

25- Energia armazenada no campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais

N

1m

mmVQ2

1W (J)

26- Energia armazenada no campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas

dv)E . D(2

1VdvW

volvol

vE (J), onde é a densidade volumétrica de cargas presente no volume v.

27- Corrente

dS . JIS

(A), onde J é o vetor densidade de corrente, medido em Ampères por metro quadrado

(A/m2) e S a superfície através da qual se quer medir o fluxo de corrente.

28- Densidade de corrente de convecção

UJ , onde é uma densidade volumétrica de cargas movendo-se com vetor velocidade U .

29- Equação da continuidade

t

J .

30- Condutores metálicos

EJ onde J é a densidade de corrente de condução, é a condutividade e E é o campo elétrico

aplicado ao meio.

ee , onde e é a densidade volumétrica eletrônica e e é a mobilidade do elétron.

31- Resistência de objetos condutores

dS . E

dL . E

I

VR

S

A

BAB

( )

32- Condições de fronteira condutor espaço-livre

0ED tt

sn0n ED (caso a fronteira seja condutor-dielétrico basta substituir 0 por R0 )

0DE no interior do condutor.

33- Materiais dielétricos

EP e0 (C/m2)

1Re , onde P é o vetor polarização, e é a susceptibilidade elétrica do material e E é o campo

elétrico aplicado.

bP . , onde b é a densidade de cargas de polarização.

PED 0 ou ED , onde R0

34- Condições de fronteira dielétrico-dielétrico

2t1t EE

2n21n1 EE

2t11t2 DD

2n1n DD

35- Capacitância

0V

QC , onde Q é o módulo da carga em um dos condutores do sistema e V0 é a diferença de potencial

entre os condutores.

35- Equação de Laplace:

0V2 descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões livres de cargas (exceto as

cargas fontes do campo V).

36- Equação de Poisson:

V2V descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões com cargas ( V ) e

permissividade ( ).

37- Laplaciano

2

2

2

2

2

22

z

V

y

V

x

VV

(Cartesianas)

2

2

2

2

2

2

z

VV1)

V(

1V

(Cilíndricas)

2

2

222

2

2

2 V

sinr

1)

V(sin

sinr

1)

r

Vr(

rr

1V

(Esféricas)

MAGNETOSTÁTICA

12-9

0 10 x 854,81036

1

F/m -7

0 10 x 4 H/m)

38- Lei de Biot-Savart:

2

R

R4

adLIHd

, onde dLI é um elemento diferencial de corrente, R é distância do elemento diferencial de

corrente ao ponto onde se quer o campo magnético e Ra é o vetor unitário apontando do elemento diferencial de

corrente para o ponto onde se quer H .

39- Lei de Biot-Savart:

a) campo magnético de distribuições filamentares de corrente: 2

R

R4

adLIH

(A/m)

b) campo magnético de distribuições superficiais de corrente: 2

R

SR4

dS)aK(H

(A/m)

c) campo magnético de distribuições volumétricas de correntes: 2

R

volR4

dv)aJ(H

(A/m)

onde dLI = dSK

= dvJ onde I é a intensidade de corrente, K

é o vetor densidade superficial de corrente (corrente

em superfícies), medido em A/m, e J

é o vetor densidade de corrente (corrente em volumes), medido em A/m2.

40- Campo magnético do filamento infinito de corrente:

HaR2

IH

(A/m), onde I é a corrente convencional fluindo no filamento e R é a menor distância do

ponto onde se quer o campo magnético até filamento. O unitário do campo, Ha

, é normal ao plano formado por

I e R e tem o sentido determinado pela regra da mão direita (o dedo polegar da mão direita aponta no sentido do

fluxo da corrente convencional e os quatro dedos restantes enlaçam o condutor indicando o sentido do campo

magnético, como na figura abaixo).

(regra da mão direita para o sentido do campo magnético)

41- Campo magnético do filamento finito

H12 a )sin(sinR4

IH

, onde R é a menor distância entre a reta que contém o filamento finito (a

reta suporte) e o ponto onde se quer o campo magnético. O ângulo 1 é formado entre R e a reta que une o

ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente entra no filamento. O ângulo 2 é

formado entre R e a reta que une o ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente sai do

filamento.

O sinal do ângulo é positivo quando o sentido de crescimento dele (ele cresce sempre a partir de R) coincidir

com o da corrente. Na figura acima 1 é negativo e 2 é positivo. A direção de H é normal ao plano formado

entre R e I. O sentido é obtido pela regra da mão direita (o dedo polegar apontando o sentido da corrente e as

I 1

2

R

Ponto P

Filamento finito

Reta suporte do filamento

extremidades dos outros dedos quatro tocando o ponto onde se quer H, o ponto P). Na figura acima H seria

normal do plano do papel e apontaria para baixo, entrando no plano do papel no ponto P.

42- Lei Circuital de Ampère

IdL.H

, ou seja, a circulação do campo magnético é igual à corrente contínua envolvida no percurso

da mesma circulação. O vetor Ld

é tomado sobre o percurso de integração. O sentido da circulação é orientado

positivamente com o sentido da corrente através da regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido

positivo da corrente convencional e os quatro dedos restantes indicam o sentido positivo da circulação).

43- Campo magnético do cabo coaxial

43.1) para <a 2a2

IH

43.2) para a<<b

2

IH

43.3) para b<<c )bc(2

)c(IH

22

22

43.4) para >c 0H

44- Campo magnético da folha infinita percorrida por uma densidade de corrente )m/A( K

Na x K2

1H

, onde K

é o vetor densidade superficial de corrente e Na

é o vetor unitário normal à folha

e dirigido dela para o ponto onde se quer calcular o campo magnético.

44 – Campo de um solenoide infinitamente longo, com seção reta circular de raio “a”, com eixo de simetria

coincidindo com o eixo “z” e percorrido por uma densidade superficial de corrente uniforme na direção

azimutal aKK a

44.1 – Solenoide ideal: ar para aKH za

e ar para 0H

44.2 – solenoide de N espiras com comprimento “d”: Zad

NIH

para pontos próximos ao eixo de

simetria e distantes das extremidades.

45 – Rotacional

45.1 - Definição geral da componente do rotacional na direção N

N0S

NS

dL . Hlim)xH(

N

x x

a b c

x

Corrente I entrando no plano do papel

Corrente I saindo do plano do papel

y

45.2- Rotacional em cartesianas

zxy

yzx

x

yz a)y

H

x

H(a)

x

H

z

H(a)

z

H

y

H( H x

45.3- Rotacional em cilíndricas

zz

rz a)

H1)H(1(a)

H

z

H(a)

z

HH1( H x

Onde é a coordenada radial em cilíndricas, ou seja, a menor distância do eixo z a um ponto do espaço.

45.4- Rotacional em esféricas

a)

H

r

)rH((r

1a)

r

)rH(H

sin

1(r

1a)

H)sinH((

rsin

1 H x rr

r

onde r é a coordenada radial em esféricas, ou seja, a menor distância da origem a um ponto no espaço.

46 – Teorema de Stokes

S

dS).H x (dL . H

, onde a integral de superfície é tomada sobre a superfície limitada pelo

percurso da circulação.

47- Densidade de Fluxo Magnético

HB

(Wb/m2), onde R0

)m/Henry( 10.4 7

0

é a permeabilidade do espaço livre e R é a permeabilidade relativa do meio. Se o

meio for o espaço livre 0

48- Fluxo Magnético

S

dS . B

(Wb)

49- Lei de Gauss do magnetismo

0dS . BS

(o fluxo magnético total através de uma superfície fechado é nulo)

50- Equações de Maxwell para campos estacionários na forma pontual

0E x

(a circulação do campo eletrostático é nula)

J H x

(lei de Ampère na forma pontual)

D .

(lei de Gauss na forma pontual – note que representa densidade de carga)

0B .

(forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo)

51- Equações de Maxwell para campos estacionários na forma integral

0dL . E

IdL . H

vol

v

S

dvQdS . D

, onde v representa densidade volumétrica de cargas.

0dS . BS

52- Potencial Escalar Magnético Vm

mV- H

, 0J

, ou seja, essa relação somente é válida em regiões onde não exista fluxo de corrente. O

potencial magnético é medido em Ampère.

dL . HVmA

B

AB

(onde o percurso não pode fechar em torno de correntes)

É possível definir uma “diferença de potencial magnético” VmAB entre dois pontos A e B desde que o percurso

de integração não seja fechado em torno de correntes. Se o percurso AB fechar em torno de correntes a função

potencial magnético escalar passa a ser multi-avaliada.

53- Potencial Vetor Magnético

A x B

, onde A

é o potencial vetor magnético medido em (Wb/m). O Potencial Vetor Magnético

aponta sempre no sentido da corrente que cria o campo.

A partir da Lei de Biot-Savart e da definição de potencial vetor é possível mostrar que:

R4

dLIA 0

para correntes filamentares

S

0

R4

dSKA

para correntes superficiais

vol

0

R4

dvJA

para correntes volumétricas

O potencial vetor magnético pode ser visualizado como uma fotografia fora de foco das distribuições de

corrente.

54- Força sobre uma carga Q em movimento dentro de um campo elétrico E

.

E QF

55- Força sobre uma carga Q em movimento com velocidade U

dentro de um campo magnético B

.

)B x U(QF

56- Equação de Lorentz: força sobre uma carga Q em movimento com velocidade U

dentro de um campo

elétrico E

e magnéticoB

)B x UE(QF

57- Força provocada por um campo magnético estacionário B

sobre um fluxo filamentar de corrente de

intensidade I (A)

B x dLIF

58- Força provocada por um campo magnético estacionário B

sobre um fluxo superficial de corrente K

(A/m)

dS)B x K(FS

59- Força provocada por um campo magnético estacionário B

sobre um fluxo volumétrico de corrente J

(A/m2)

dv)B x J(Fvol

60- Força e torque sobre percursos fechados de corrente

A força total exercida por um campo magnético uniforme B

sobre um circuito fechado de corrente é nula. O

torque não é nulo e é dado por:

B x mT

, onde SIm

é o vetor momento de dipolo magnético. Ele representa uma pequena espira na qual

flui corrente convencional de intensidade I (A). O vetor S

tem módulo igual à área da espira e aponta orientado

com o fluxo da corrente convencional de acordo com a regra da mão direita como mostra a figura a seguir.

O torque tem como finalidade o alinhamento entre os campos magnético do dipolo e o aplicado externamente.

61-Magnetização

vn

1i

i0v

mv

1limM

(A/m)

bIdL . M

, onde bI representa correntes de magnetização.

HM m

, onde m é a susceptibilidade magnética do material.

mR 1

bJM x

, onde bJ

é a densidade de correntes de magnetização.

S

bb dS . JI

62- Relações gerais entre B e H

HB

, onde R0

)MH(B 0

e HM m

63- Condições de Fronteiras Magnéticas

Componentes Normais : 1N2N BB , 1N

2

12N HH

, 1N

2 m1

12m1N

2

12m2N M

HM

Componentes Tangenciais: KHH 2t1t

onde K é o módulo do vetor densidade de corrente que poderia

existir na fronteira entre os dois meios. Caso não exista corrente na fronteira as componentes tangenciais de H

são contínuas.

Uma relação vetorial mais geral para o caso da existência de correntes nas fronteiras seria:

Ka x )HH( N1221

, onde 12Na

é o vetor unitário normal à fronteira e dirigido do meio 1 para o meio 2.

KBB

2

2t

1

1t

vD e KMM 2m1t

1m

2m2t

Mão Direita

m

Corrente convencional I

Área S

Vetor momento de dipolo

magnético

64- Circuitos Magnéticos

S

L

(Ae/Wb), – Relutância de um material linear, homogêneo e isotrópico de comprimento L, área

de seção reta S e permeabilidade .

mV , onde é o fluxo magnético fluindo no circuito magnético. Essa fórmula somente pode ser

aplicada para calcular “quedas” de potencial magnético em meios lineares, homogêneos e isotrópicos, nos quais

R é constante.

Em materiais não lineares mV é calculada a partir da equação: B

A

mAB dL . HV

, que, para casos em que

supomos o campo magnético uniforme na seção reta do circuito magnético, pode ser calculada como HLVm ,

onde L é o comprimento da seção e H deve ser obtido a partir da curva de magnetização (curva B-H) do

material.

A fonte que alimenta um circuito magnético (o conjunto de N espiras percorrido por corrente I) pode ser

representada como: NIV fonte m

65- Energia potencial armazenada em um campo magnético estacionário em que B

está linearmente relacionado

com H

dv H . B2

1W

vol

H

66 – Indutância e Indutância Mútua

Auto Indutância: I

NL

(Henry/m), onde o produto N é o enlace de fluxo e I a corrente que gera o enlace de

fluxo.

Indutância mútua entre os circuitos 1 e 2: 1

1222 1

I

NM

, onde 12 é o fluxo produzido por I1 que envolve o

caminho da corrente filamentar I2 e N2 é o número de espiras do circuito 2

21M12 MM

CAMPOS VARIANTES NO TEMPO

12-9

0 10 x 854,81036

1

F/m -7

0 10 x 4 H/m)

67- Lei de Faraday

dt

dNfem

(volts)

68- Força eletromotriz

dL . Efem

, onde E

é um campo não conservativo, ou seja, não é um campo elétrico originário de

separação de cargas eletrostáticas.

69- Força eletromotriz “Transformadora”

Sd . )t

B(dL . EfemS

(V), onde B

é um campo magnético variando no tempo enlaçando um

percurso condutor estacionário.

70- Força eletromotriz “Geradora”

dL . )B x U(dL . Efem

(V), onde U

é a velocidade com que um percurso condutor se move

dentro do campo magnético uniforme B

.

71 – Densidade de Corrente de Deslocamento

t

DJd

(A/m2), onde D

é uma densidade de fluxo elétrico variando com o tempo.

Sd . JIS

dd

(A)

72 – Equações de Maxwell na forma Integral

t

B -E x

(forma pontual da Lei de Faraday)

t

DJ H x

(lei de Ampère par campos dinâmicos)

vD .

(lei de Gauss na forma pontual onde v representa densidade volumétrica de carga variando

no tempo).

0B .

(forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo)

73 – Equações de Maxwell para campos dinâmicos na forma Integral

Sd . )t

B(dL . ES

t

DIdL . H

S

volS

dvQdS . D

, onde representa densidade volumétrica de cargas variando no tempo

0dS . BS