Teoria dos Grafos

Entendendo os grafos

• Relações entre os membros de um conjunto Um conjunto pode possuir elementos que possuem

alguma relação entre si. Por exemplo, um conjunto pode consistir de uma coleção de pessoas, países, carros, etc. Supondo o conjunto que consiste numa coleção de pessoas, duas pessoas, ou seja, dois elementos do conjunto podem possuir uma relação entre si, nesse exemplo, essas pessoas podem ser parentes.

Entendendo os grafosO problema de Euler:

A cidade de Königsberg que pertencia a antiga Prússia, é banhada pelo rio Pregel que, ao atravessar a cidade se ramifica forma uma ilha (Kneiphof) que está ligada à restante parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam efetuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não era possível encontrar tal percurso. Será que tinham razão?

Entendendo os grafos

Leonhard Euler , em 1736, não somente elucidou a natureza desse problema, como acabou por criar uma teoria que se aplica a vários problemas desse tipo.

Euler pensou: “este é um tipo de problema no

qual as distâncias envolvidas são irrelevantes, o que importa é como as várias porções de terra estão interligadas entre si.”

Ele usou um modelo simplificado das ligações entre as regiões.

Euler estabeleceu um teorema que diz em que condições é possível percorrer cada linha exatamente uma vez e voltar ao ponto inicial. Foi o primeiro teorema da Teoria dos Grafos.

Euler provou que para o problema das 7 pontes de Königsberg não existia solução...

Um grafo é uma estrutura G(V,E) em que V é o um conjunto finito não vazio e E é um conjunto de pares não ordenados de elementos distintos de V.

Visualmente, os grafos são representados por um conjunto de

pontos e um conjunto de linhas ou setas ligando esses pontos.

V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (4, 3), (5, 1)}

Definições básicas

• Laço: uma aresta que incide com um único vértice é chamada de laço.

• Orientação – é a direção para a qual uma seta aponta. Se a aresta não tiver seta, diz-se que ela não tem orientação.

• Incidente – Diz-se que uma aresta é incidente com os vértices que ela liga (não importa a orientação).

• Vértices Adjacentes – dois vértices são adjacentes se estão ligados por uma aresta.

• Vértice isolado – Um vértice é dito isolado se não existe aresta incidente sobre ele.

• Arestas paralelas – Duas arestas incidentes nos mesmos vértices (não importa a orientação). Ou seja, se a1 = (v,w) e a2 = (v,w), então as arestas a1 e a2 são paralelas.

• Ordem – Ordem de um grafo é definida pelo número de vértices.

• Dimensão – A dimensão de um grafo representa o número de arestas desse grafo.

• Passeio – É uma sequência de vértices e arestas com eventual repetições de ambos.

• Caminho – É uma sequencia de arestas adjacentes que liga dois vértices, sem repetições de arestas.

• Circuito – É um caminho que acaba e começa no mesmo vértice, repetições de arestas.

• Grafo conexo – É um grafo em que para cada par de vértices existe pelo menos um passeio que os une.

• Grau – Grau de um vértice v equivale ao número de arestas incidentes sobre ele (um laço equivale a duas arestas)

Caminhos de Euler

• Um grafo G conexo possui caminho euleriano se e somente se ele tem exatamente zero ou dois vértices de grau impar.

• Portanto, prova-se que o problema das 7 pontes de Königsberg, não tem solução pelo fato de existir mais de 2 vértices com grau ímpares no grafo resultante do problema.

Grafos Dirigidos

Basicamente, um grafo é chamado dirigido se suas arestas possuem orientação.

Matriz de vértices

Dado um grafo dirigido de n vértices, podemos associar ao grafo uma matriz M = [mij] de tamanho n x n chamada matriz de vértices, cujos elementos são definidos da seguinte maneira:

Logo, por definição:i – Todas as entradas são 1 ou 0.ii – Todas as entradas na diagonal principal são 0.

Teorema: Seja M a matriz de vértices de um grafo dirigido e seja m(r)

ij o (i,j)-ésimo elemento de Mr, então m(r)

ij é igual ao número de conexões de r passo de Pi para Pj.

Panelas

Um subconjunto de um grafo dirigido é chamado panela se satisfaz as três condições a seguir:

• i - O subconjunto contém pelo menos três vértices;

• ii - para cada par de vértices Pi e Pj no subconjunto, ambos Pi→ Pj e Pj → Pi são verdadeiros;

• iii - O subconjunto é tão grande quanto possível, ou seja, não é possível acrescentar mais um vértice ao subconjunto e ainda satisfazer a condição ii

Grafos dirigidos por dominância• Um grafo dirigido por dominância é um grafo dirigido tal que, para

qualquer par de vértices distintos Pi e Pj, ocorre Pi → Pj ou Pj → Pi, não ambos.

• Em grafos dirigidos por dominância, existe pelo menos um vértice do qual existem conexões de 1 ou 2 passos para qualquer outro vértice.

• O poder de um vértice num grafo dirigido por dominância é o número total de suas conexões de 1 e de 2 passos para os outros vértices do grafo. Alternativamente, o poder de um vértice Pi é a soma das entradas da i-ésima linha da matriz A = M + M2, onde M é a matriz de vértices do grafo dirigido.

• Exemplo – Torneio de Tênis

Suponha que cinco tenistas jogam exatamente uma vez entre si e que os resultados são indicados no grafo dirigido por dominância a seguir:

A matriz de vértices do grafo é:

Então:

A soma das linhas de A é: 1ª linha - 4; 2ª linha - 9; 3ª linha - 2; 4ª linha - 4; 5ª linha - 7 Como a segunda linha tem a maior soma de entradas, o vértice P2 deve ter uma conexão

de um ou dois passos com cada um dos demais vértices (o que pode ser verificado observando a representação gráfica do grafo).

Podemos também, dessa maneira, classificar os tenistas quanto ao seu “poder”: O segundo

tenista é o mais forte, o quinto tenista vem depois, seguido pelo primeiro e quarto tenistas empatados, e por último o terceiro tenista, o mais fraco entre eles.

Exercícios

• Construa a matriz dos vértices da cada um dos grafos explicitados abaixo:

Exercícios

• Desenhe um diagrama do grafo correspondente a cada uma das seguintes matrizes de vértices: