exercícios de teoria dos grafos -...

Exerccios deTeoria dos Grafos

http://www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/

Paulo FeofiloffDepartamento de Cincia da Computao

Instituto de Matemtica e Estatstica

Universidade de So Paulo

junho de 2011

http://www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/

FEOFILOFF 2

Sumrio

1 Conceitos bsicos 71.1 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Vizinhanas e graus de vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Caminhos e circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Unio e interseo de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Cortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9 Caminhos e circuitos em grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.10 Grafos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.11 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.12 Pontes e grafos aresta-biconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.13 Articulaes e grafos biconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.14 Florestas e rvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.15 Menores de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.16 Mapas planos e suas faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.17 Grafos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 Isomorfismo 59

3 Sntese de grafos com graus dados 65

4 Caracterizao de grafos bicolorveis 67

5 Conjuntos estveis 71

6 Cliques 77

7 Cobertura por vrtices 81

8 Colorao de vrtices 83

3

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9 Emparelhamentos 95

10 Emparelhamentos em grafos bipartidos 101

11 Emparelhamentos em grafos arbitrrios 107

12 Colorao de arestas 111

13 Conectores e conjuntos acclicos 117

14 Caminhos e circuitos mnimos 121

15 Circuitos e caminhos hamiltonianos 125

16 Coberturas por circuitos 131

17 Fluxo 137

18 Fluxo internamente disjunto 141

19 Caracterizao da planaridade 145

A Algumas dicas 149

B O alfabeto grego 153

Bibliografia 156

ndice Remissivo 157

Prefcio

A teoria dos grafos estuda objetos combinatrios os grafos que so umbom modelo para muitos problemas de matemtica, de computao, e deengenharia. A teoria dos grafos no propriamente uma teoria mas umacoleo de problemas. Muitos desses problemas so um interessante desafiointelectual e tm importantes aplicaes prticas.

O presente texto uma coleo de exerccios de teoria dos grafos. A mai-oria dos exerccios foi extrada dos livros de Bondy e Murty [BM08, BM76],Wilson [Wil79], Diestel [Die00, Die05], Bollobs [Bol98], Lovsz [Lov93], Mel-nikov et alii [MST+98], Lucchesi [Luc79] e Lovsz e Plummer [LP86]. Algunsoutros so subproduto de projetos de pesquisa. Autros ainda nasceram deconversas com professores, colegas e alunos.

O texto tem muitos links que levam de uma parte do texto a outra e apon-tam para material complementar. Para tirar proveito desses links preciso lero texto na tela do seu computador (e no impresso em papel).

O stio www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/ tem informaes adicionais,alm de uma verso atualizada do texto.

Organizao. O captulo 1 trata de conceitos bsicos. Cada um dos outroscaptulos aborda um problema clssico. Muitos desses problemas tm car-ter computacional: procura-se um algoritmo eficiente que receba um grafo eextraia dele uma certa informao. Alguns dos problemas so fceis, outrosso difceis; alguns j foram resolvidos, outros no.1

Em que ordem os captulos devem ser examinados? Depois de estudar aprimeira seo do captulo 1, sugiro que o leitor avance imediatamente para ocaptulo 2 e os seguintes, voltando ao captulo 1 somente quando isso se fizernecessrio. H um bom ndice remissivo que ajuda a localizar as definiesdos vrios conceitos.

1 Para vrios desses problemas no se conhece (ainda?) um algoritmo rpido, ou seja,no se conhece um algoritmo substancialmente melhor que examinar, pacientemente, umaenorme lista de candidatos a soluo. Em termos tcnicos, um problema desse tipo NP-completo ou NP-difcil. Veja os livros de GareyJohnson [GJ79], Harel [Har92] e Sipser [Sip97].

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FEOFILOFF 6

Classificao dos exerccios. Os nmeros dos exerccios tm prefixos. Oprefixo E genrico. Outros prefixos so mais especficos:

EF . . . exerccio particularmente fcil ou rotineiroED . . . exerccio difcilEDD . . . exerccio muito difcilEI . . . exerccio importanteEID . . . exerccio importante e difcilEIF . . . exerccio importante mas fcilEU . . . exerccio til como ferramenta tcnicaDD . . . desafio, problema em aberto

Terminologia tcnica em ingls. Boa parte da literatura da teoria dos gra-fos est escrita em ingls. Por isso, a definio de cada termo tcnico emportugus acompanhada, entre parnteses, do correspondente termo emingls. O termo em ingls tambm listado no ndice remissivo.

O idioma ingls determinou a escolha de muitos smbolos. Assim, porexemplo, o conjunto das arestas (= edges) de um grafo denotado por E eno por A, como seria mais natural em portugus.

Agradecimentos. Agradeo a Rogrio Brito por resolver vrias dificulda-des tipogrficos.

IMEUSP, So Paulo, dezembro de 2010P. F.

Captulo 1

Conceitos bsicos

Este captulo formaliza a noo de grafo, d vrios exemplos, e introduz al-guns conceitos bsicos da teoria (grau de vrtice, corte, subgrafo, conexo,componente, menor etc.). O captulo tambm introduz vrios tipos impor-tantes de grafos, como

caminhos,circuitos,rvores,grafos bipartidos,grafos biconexos,grafos planares, etc.

Sugiro que depois de estudar a primeira seo deste captulo o leitoravance imediatamente para os captulos seguintes. Mais tarde, quando hou-ver necessidade, o leitor poder voltar a este captulo para rever conceitose entender as sutilezas de algumas definies. Use o ndice remissivo paraencontrar as definies dos vrios conceitos.

Eis as sees deste captulo:1.1 Grafos1.2 Grafos bipartidos1.3 Vizinhanas e graus de vrtices1.4 Caminhos e circuitos1.5 Unio e interseo de grafos1.6 Grafos planares1.7 Subgrafos1.8 Cortes1.9 Caminhos e circuitos em grafos1.10 Grafos conexos

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1.11 Componentes1.12 Pontes e grafos aresta-biconexos1.13 Articulaes e grafos biconexos1.14 Florestas e rvores1.15 Menores de grafos1.16 Mapas planos e suas faces1.17 Grafos aleatrios

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1.1 Grafos

Um grafo (= graph)1 uma estrutura formada por dois tipos de objetos: vr-tices (= vertices) e arestas (= edges). Cada aresta um par no ordenado devrtices, ou seja, um conjunto com exatamente dois vrtices.2 Uma arestacomo {v, w} ser denota simplesmente por vw ou wv; diremos que a aresta vwincide em v e em w; diremos tambm que v e w so as pontas da aresta; di-remos, ainda, que os vrtices v e w so vizinhos (= neighbors), ou adjacentes(= adjacent).

EXEMPLO: os vrtices do grafo so t, u, v, w, x, y, z e as arestasso vw, uv, xw, xu, xy e yz. A figura abaixo uma representaogrfica desse grafo.

r r rrrr rPPPPPPP

PPP

PPPv

u

w yx

z

t

De acordo com nossa definio, um grafo no pode ter duas arestas dife-rentes com o mesmo par de pontas (ou seja, no pode ter arestas paralelas).Alm disso, as duas pontas de qualquer aresta so diferentes (ou seja, no hlaos). Alguns livros gostam de enfatizar esse aspecto da definio dizendoque o grafo simples; ns no usaremos este adjetivo. simples

Um grafo com conjunto de vrtices V e conjunto de arestas E denotadopor (V,E). Muitas vezes conveniente dar um nome ao grafo como um todo. (V,E)Se o nome do grafo G, o conjunto dos seus vrtices denotado por VG e o VG, EGconjunto das suas arestas por EG. O nmero de vrtices de G denotado por n(G)n(G) e o nmero de arestas por m(G); portanto,

m(G)

n(G) := |VG| e m(G) := |EG| .

O complemento de um grafo (V,E) o grafo (V, V (2) r E), onde V (2) V (2)o conjunto de todos os pares no ordenados3 de elementos de V . O comple-mento de G usualmente denotado por G. G

Um grafo G completo se EG = V(2)G . A expresso G um Kn uma Kn

abreviatura de G um grafo completo com n vrtices. Um grafo G vaziose EG = . A expresso G um Kn uma abreviatura de G um grafo Knvazio com n vrtices.

1 O termo foi usado pela primeira vez (no sentido que nos interessa aqui) por JamesJoseph Sylvester ( ). (Veja verbete na Wikipedia.)

2 Suporemos sempre que os conjuntos de vrtices e de arestas de qualquer grafo sofinitos e mutuamente disjuntos. Suporemos tambm que o conjunto de vrtices no vazio.

3 Diestel [Die05] escreve [V ]2. H quem escreva (V2

).

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sylvester.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sylvester.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester

FEOFILOFF Grafos 10

Exerccios

E 1.1 Faa uma lista de todos os grafos que tenham {a, b, c} por conjuntode vrtices.4 Faa a lista de modo que cada grafo aparea ao lado do seucomplemento.

E 1.2 Faa uma figura de um K5 e outra de um K5. Quantas arestas temum Kn? E um Kn?

E 1.3 A matriz de adjacncias de um grafo G a matriz A definida da se-guinte maneira: para quaisquer dois vrtices u e v,matriz de

adjacncias

A[u, v] =1 se uv EG ,0 em caso contrrio.

claro que a matriz indexada por VG VG. (A matriz de adjacncia umaespcie de figura do grafo. Ela tem certas vantagens sobre a figura pontos-e-linhas que usamos acima.)

Escreva a matriz de adjacncias do grafo definido no exemplo que apa-rece na pgina 9. Escreva a matriz de adjacncias de um K4. Qual a relaoentre a matriz de adjacncias de um grafo e matriz de adjacncias do seucomplemento?

E 1.4 A matriz de incidncias de um grafo G a matriz M definida da se-guinte maneira: para todo vrtice u e toda aresta e,matriz de

incidncias

M [u, e] =1 se u uma das pontas de e ,0 em caso contrrio.

claro que a matriz indexada por VG EG. (A matriz de incidncia umaespcie de figura do grafo. Ela tem certas vantagens sobre a figura pontos-e-linhas que usamos acima.)

Escreva a matriz de incidncias do grafo definido no exemplo que apa-rece na pgina 9. Escreva a matriz de incidncias de um K4. Quanto vale asoma de todos os elementos da matriz de incidncias de um grafo? Qual arelao entre a matriz de incidncias de um grafo e matriz de incidncias doseu complemento?

E 1.5 Os hidrocarbonetos conhecidos como alcanos tm frmula qumicaalcanosCpH2p+2, onde C e H representam molculas de carbono e hidrognio res-pectivamente. As molculas de alcanos podem ser representadas por grafoscomo os da figura 1.1.

4 Num conjunto, a ordem em que os elementos so apresentados irrelevante. Assim,{a, b, c} = {b, c, a} = {c, b, a}.

FEOFILOFF Grafos 11

Faa uma figura de uma molcula de metano C1H4. Quantas molculasdiferentes de C3H8 existem?

r rrr r rrr rr r r rr r rrrrr rr

r rrr

rr rr

rrrrr rFigura 1.1: Etano (C2H6), butano (C4H10) e isobutano (C4H10). Os vrti-ces em que incide uma s aresta representam tomos de hidrognio (H);os demais representam tomos de carbono (C). (Veja o exerccio 1.5.)

E 1.6 Seja V o produto cartesiano {1, 2, . . . , p}{1, 2, . . . , q}, isto , o conjuntode todos os pares ordenados5 (i, j) com i em {1, . . . , p} e j em {1, . . . , q}. Di-gamos que dois elementos (i, j) e (i, j) de V so adjacentes se

i = i e |j j| = 1 ou j = j e |i i| = 1 .

Essa relao de adjacncia define um grafo sobre o conjunto V de vrtices.Esse grafo conhecido como grade (= grid) p-por-q. grade

Quantas arestas tem a grade p-por-q? Escreva as matrizes de adjacnciae incidncia de uma grade 4-por-5.

r r rrrrr r rrr r

Figura 1.2: Uma grade 3-por-4 (veja exerccio 1.6).

E 1.7 Dados nmeros inteiros p e q, seja V o conjunto {1, 2, 3, . . . , pq2, pq1,pq}. Digamos que dois elementos k e k de V , com k < k, so adjacentes sek = k + q ou6

k mod q 6= 0 e k = k + 1.Essa relao de adjacncia define um grafo com conjunto de vrtices V .

Faa uma figura do grafo com parmetros p = 3 e q = 4. Faa uma figurado grafo com parmetros p = 4 e q = 3. Qual a relao entre esses grafos e agrade definida no exerccio 1.6?

E 1.8 O grafo dos movimentos da dama, ou simplesmente grafo da dama, dama

5 Um par ordenado uma sequncia de comprimento 2. Numa sequncia, a ordem doselementos essencial. Assim, (1, 2) 6= (2, 1) e (1, 2, 1) 6= (1, 1, 2).

6 A expresso k mod q denota o resto da diviso de k por q, ou seja, k/q bk/qc.

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definido assim: os vrtices do grafo so as casas de um tabuleiro de xadrezcom t linhas e t colunas (no tabuleiro usual temos t = 8) e dois vrtices soadjacentes se uma dama (= queen) do jogo de xadrez pode saltar de um delespara o outro em um s movimento. Para deixar claro o nmero de linhas ecolunas do tabuleiro, podemos dizer que esse o grafo da dama t-por-t. (Vejafigura 1.3.)

Faa uma figura do grafo da dama 4-por-4. Escreva as matrizes de adja-cncia e incidncia do grafo da dama 4-por-4. Quantas arestas tem o grafo dadama 8-por-8? Quantas arestas tem o grafo da dama t-por-t?

E 1.9 O grafo do cavalo t-por-t definido assim: os vrtices do grafo so ascavalocasas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vrtices soadjacentes se um cavalo (= knight) do jogo de xadrez pode saltar de um delespara o outro em um s movimento. (Veja figura 1.3.)

Faa uma figura do grafo do cavalo 3-por-3. Escreva as matrizes de ad-jacncia e incidncia do grafo do cavalo 3-por-3. Quantas arestas tem o grafodo cavalo 8-por-8? Quantas arestas tem o grafo do cavalo t-por-t?

Figura 1.3: Tabuleiros de xadrez 8-por-8. A figura esquerda indica todosos vizinhos do vrtice no grafo da dama (veja exerccio 1.8). A da direitaindica todos os vizinhos do vrtice no grafo do cavalo (veja exerccio 1.9).

E 1.10 O grafo do bispo t-por-t definido assim: os vrtices do grafo so asbispocasas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vrtices soadjacentes se um bispo (= bishop) do jogo de xadrez pode saltar de um delespara o outro em um s movimento.

Faa uma figura do grafo do bispo 4-por-4. Escreva as matrizes de adja-cncia e incidncia do grafo do bispo 4-por-4. Quantas arestas tem o grafo dobispo 8-por-8? Quantas arestas tem o grafo do bispo t-por-t?

E 1.11 O grafo da torre t-por-t definido assim: os vrtices do grafo so astorrecasas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vrtices soadjacentes se um torre (= rook) do jogo de xadrez pode saltar de um delespara o outro em um s movimento.

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Faa uma figura do grafo da torre 4-por-4. Escreva as matrizes de adja-cncia e incidncia do grafo da torre 4-por-4. Quantas arestas tem o grafo datorre 8-por-8? Quantas arestas tem o grafo da torre t-por-t?

E 1.12 O grafo do rei t-por-t definido assim: os vrtices do grafo so as reicasas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vrtices soadjacentes se um rei (= king) do jogo de xadrez pode saltar de um deles parao outro em um s movimento.

Faa uma figura do grafo do rei 4-por-4. Escreva as matrizes de adjacn-cia e incidncia do grafo do rei 4-por-4. Quantas arestas tem o grafo do rei8-por-8? Quantas arestas tem o grafo do rei t-por-t?

E 1.13 O grafo das palavras definido assim: cada vrtices uma palavra da palavraslngua portuguesa e duas palavras so adjacentes se diferem em exatamenteuma posio. (Esse grafo uma adaptao do ladders do Stanford Graph-Base [Knu93].) Por exemplo, rato e ralo so adjacentes, enquanto ralo erota no so. Faa uma figura da parte do grafo definida pelas palavrasabaixo:

caiado cavado cavalo girafa girava ralo ramo rata ratoremo reta reto rota vaiado varado virada virado virava

Escreva as matrizes de adjacncia e incidncia do grafo.

E 1.14 Para qualquer inteiro positivo k, um cubo de dimenso k (ou k-cubo) cubo o grafo definido da seguinte maneira: os vrtices do grafo so todas assequncias7 b1b2 bk de bits8; dois vrtices so adjacentes se e somente sediferem em exatamente uma posio. Por exemplo, os vrtices do cubo dedimenso 3 so 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111; o vrtice 000 adjacenteaos vrtices 001, 010, 100 e a nenhum outro; e assim por diante. O cubo dedimenso k ser denotado por Qk. Qk

Faa figuras dos cubos Q1, Q2 e Q3. Escreva as matrizes de adjacncia eincidncia de Q3. Quantos vrtices tem Qk? Quantas arestas tem Qk?

E 1.15 Seja X o conjunto {1, 2, 3, 4, 5} e V o conjunto X(2) (portanto, V oconjunto de todos os subconjuntos de X que tm exatamente 2 elementos).Digamos que dois elementos v e w de V so adjacentes se v w = . Essarelao de adjacncia sobre V define o grafo de Petersen.9 Faa uma figura Petersendo grafo. Escreva as matrizes de adjacncia e incidncia do grafo. Quantosvrtices e quantas arestas tem o grafo?

7 A expresso b1b2 bk uma abreviatura de (b1, b2, . . . , bk).8 Portanto, cada bi pertence ao conjunto {0, 1}.9 Referncia ao dinamarqus Julius Petersen ( ). (Veja verbete na Wikipedia.)

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Petersen.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Julius_Petersen

FEOFILOFF Grafos 14

E 1.16 Seja V o conjunto de todos os subconjuntos de {1, 2, . . . , n} que tmexatamente k elementos, sendo k n/2. Digamos que dois elementos v e wde V so adjacentes se v w = . Essa relao de adjacncia sobre V define ografo de Kneser K(n, k).10 Em particular, K(5, 2) o grafo de Petersen. FaaKneserfiguras de K(n, 1), K(n, n), K(n, n1), K(4, 2), K(5, 3), K(6, 2) e K(6, 3).

E 1.17 O grafo dos estados do Brasil definido assim: cada vrtice um dosestadosestados da Repblica Federativa do Brasil; dois estados so adjacentes se tmuma fronteira comum. Faa um desenho do grafo. Quantos vrtices tem ografo? Quantas arestas?

E 1.18 Considere as grandes cidades e as grandes estradas do estado de SoPaulo. Digamos que uma cidade grande se tem pelo menos 300 mil habitan-tes. Digamos que uma estrada grande se tiver pista dupla (como a SP300,por exemplo). Digamos que duas grandes cidades so adjacentes se umagrande estrada ou uma concatenao de grandes estradas liga as duas cida-des diretamente (ou seja, sem passar por uma terceira grande cidade). Faacidadesuma figura do grafo das grandes cidades definido pela relao de adjacnciaque acabamos de descrever.

E 1.19 Seja V um conjunto de pontos no plano. Digamos que dois dessespontos so adjacentes se a distncia entre eles menor que 2. Essa relaode adjacncia define o grafo dos pontos no plano (sobre o conjunto V ). Faapontos

no plano uma figura do grafo definido pelos pontos abaixo.

(0, 2) (1, 2) (2, 2)(0, 1) (1, 1) (2, 1)(0, 0) (1, 0) (2, 0)

Escreva as matrizes de adjacncia e incidncia do grafo.

E 1.20 Dado um conjunto V , seja E o conjunto definido da seguinte maneira:para cada par no ordenado de elementos de V , jogue uma moeda; se o resul-tado for cara, acrescente o par a E. O grafo (V,E) assim definido aleatrioaleatrio(= random).

Pegue sua moeda favorita e faa uma figura do grafo aleatrio com vr-tices 1, . . . , 6. Agora repita o exerccio com uma moeda viciada que d caracom probabilidade 1/3 e coroa com probabilidade 2/3.

E 1.21 Seja S uma matriz de nmeros inteiros. Suponha que as linhas de Sso indexadas por um conjunto V e que as colunas so indexadas pelo mesmoconjunto V . O grafo da matriz S definido da seguinte maneira: o conjuntomatriz

10 Lsl Lovsz usou esse grafo em 1978 para provar uma conjectura proposta por M. Kne-ser em 1955.

FEOFILOFF Grafos 15

de vrtices do grafo V e dois vrtices i e j so adjacentes se S[i, j] 6= 0.O grafo de S est bem definido? Que condies preciso impor sobre a

matriz para que o grafo esteja bem definido?

E 1.22 Suponha dados k intervalos de comprimento finito, digamos I1, I2,. . . , Ik, na reta real. Digamos que dois intervalos Ii e Ij so adjacentes seIi Ij 6= . Essa relao de adjacncia define um grafo com conjunto devrtices {I1, I2, . . . , Ik}. Esse um grafo de intervalos. intervalos

Faa uma figura do grafo definido pelos intervalos [0, 2], [1, 4], [3, 6], [5, 6]e [1, 6]. Escreva as matrizes de adjacncia e incidncia do grafo.

E 1.23 Seja uma relao de ordem parcial sobre um conjunto finito V . Por-tanto, a relao transitiva (se x y e y z ento x z), antissimtrica(se x y e y x ento x = y) e reflexiva (x x para todo x). Digamosque dois elementos distintos x e y de V so adjacentes se forem comparveis,ou seja, se x y ou y x. Essa relao de adjacncia define o grafo decomparabilidade da relao . compara-

bilidadeFaa uma figura do grafo de comparabilidade da relao usual de inclu-so entre a coleo de todos os subconjuntos de {1, 2, 3}.

E 1.24 Duas arestas de um grafoG so adjacentes se tm uma ponta comum.Essa relao de adjacncia define o grafo das arestas de G. De modo maisformal, o grafo das arestas (= line graph) de um grafo G o grafo (EG, A) em das arestasque A o conjunto de todos os pares de arestas adjacentes de G. (H quemdiga [Per09] grafo lineal no lugar de grafo das arestas.) O grafo das arestas deG ser denotado por L(G). (Veja a figura 1.4.) L(G)

Faa uma figura de L(K3). Faa uma figura de L(K4). Escreva as matri-zes de adjacncia e incidncia de L(K4). Quantos vrtices e quantas arestastem L(Kn)? Faa uma figura do grafo L(P ), sendo P o grafo de Petersen (vejaexerccio 1.15).

PPPPPPPPPP

PPPr r rr

rr rvu

w yx

z

tHHH

vu

yzvw wx

uxxy

ss s

s s sFigura 1.4: Um grafo (esquerda) e o seu grafo das arestas (direita).

FEOFILOFF Grafos bipartidos 16

1.2 Grafos bipartidos

Sejam U e W dois conjuntos mutuamente disjuntos (isto , U W = ). SejaE um conjunto de pares no ordenados da forma (u,w) com u U e w W .Dizemos ento que

(U W,E) um grafo bipartido (= bipartite graph). Para explicitar U eW , podemos dizerque o grafo (U,W )-bipartido.11

H quem goste de dizer que o objeto (U,W,E) um bigrafo (= bigraph)[LP86]. O conceito atraente, mas no vamos us-lo.

Um grafo (U,W )-bipartido completo se, para todo u em U e todo wem W , o par uw uma aresta. Se |U | = p e |W | = q, dizemos que o grafo um Kp,q.Kp,q

Todo K1,q uma estrela (= star). Se q 2, o centro da estrela o nicoestrelavrtice que incide em duas ou mais arestas. (Se q < 2, a estrela no temcentro.)

Figura 1.5: Um grafo bipartido completo.

Exerccios

EF 1.25 Uma pequena fbrica tem cinco mquinas 1, 2, 3, 4 e 5 e seisoperrios A, B, C, D, E e F . A tabela especifica as mquinas que cadaoperrio sabe operar:

A 2, 3 B 1, 2, 3, 4, 5C 3 DE 2, 4, 5 F 2, 5

Faa uma figura do grafo bipartido que representa a relao entre operriose mquinas.

11 Podemos dizer que o par (U,W ) uma bipartio do conjunto de vrtices do grafo.De modo mais geral, uma partio de um conjunto A um conjunto {X1, X2, . . . , Xk} deconjuntos no vazios tal que X1 X2 Xk = A e Xi Xj = para cada i 6= j.(A exigncia de que os elementos da partio no sejam vazios s vezes relaxada.) Sek = 2, temos uma bipartio. No faz sentido dizer X1 uma das parties de A. DigaX1 um dos elementos da partio.

FEOFILOFF Grafos bipartidos 17

EF 1.26 Quantas arestas pode ter um grafo (U,W )-bipartido?

EF 1.27 Quantas arestas tem um Kp,q? Quantas arestas tem um Kp,q?

E 1.28 Faa uma figura de um K3,4. Escreva as matrizes de adjacncia e inci-dncia de um K3,4. Faa uma figura de uma estrela com 6 vrtices.

E 1.29 verdade que o grafo do bispo t-por-t bicolorvel?

E 1.30 Que aparncia tem a matriz de adjacncias de um grafo bipartido?

E 1.31 A matriz da bipartio de um grafo (U,W )-bipartido definida as-sim: cada linha da matriz um elemento de U , cada coluna da matriz umelemento de W e no cruzamento da linha u com a coluna w temos um 1 se uw uma aresta e temos um 0 em caso contrrio.

Escreva a matriz da bipartio do grafo do exerccio 1.25. Adote a bipar-tio bvia: U = {A, . . . , F} e W = {1, . . . , 5}.

FEOFILOFF Vizinhanas e graus de vrtices 18

1.3 Vizinhanas e graus de vrtices

A vizinhana (= neighborhood) de um vrtice v em um grafo G o conjuntode todos os vizinhos de v. Este conjunto ser denotado por

NG(v)

ou simplesmente por N(v).12 O grau (= degree) de um vrtice v em um grafoN(v)G o nmero de arestas que incidem em v. O grau de v ser denotado por

dG(v)

ou simplesmente por d(v). evidente que d(v) = |N(v)| para todo vrtice v.d(v)Um vrtice v isolado se d(v) = 0.

O grau mnimo e o grau mximo dos vrtices de um grafo13 G so osnmeros(G)

(G) (G) := minvVG

dG(v) e (G) := maxvVG

dG(v)

respectivamente. A mdia dos graus de G, ou seja, 1|V |

vV d(v), ser deno-tada por (G).14 Como veremos no exerccio 1.43, (G) = 2m(G)/n(G).(G)

Um grafo regular se todos os seus vrtices tm o mesmo grau, ou seja,se = . Um grafo r-regular se d(v) = r para todo vrtice v. Um grafocbico o mesmo que um grafo 3-regular.

Exerccios

EF 1.32 Quais so os graus dos vrtices de uma estrela (veja a seo 1.2)?

EF 1.33 Se G um Kn, quanto valem (G) e (G)? Quanto valem os par-metros e de um Kp,q (veja a seo 1.2)?

EF 1.34 Para r = 1, 2, 3, faa uma figura de um grafo r-regular com 12 vrti-ces.

E 1.35 Quais so os graus dos vrtices de uma molcula de alcano (veja exer-ccio 1.5)?

E 1.36 Calcule os valores dos parmetros , e no k-cubo (veja exerc-cio 1.14) e no grafo de Petersen (veja exerccio 1.15 ou figura 1.6).

12 Alguns autores dizem Adj (v) em lugar de N(v). Outros dizem (v).13 A expresso grau mnimo de um grafo no muito gramatical, uma vez que grau

de um grafo no faz sentido.14 Ao contrrio de e , a notao no uma unanimidade.


r rrr r rrr

rrXXQQQCCCC

JJ A

AAA

ZZZZ

Figura 1.6: Grafo de Petersen. Veja exerccios 1.15 e 1.36.

E 1.37 Calcule os valores dos parmetros e no grafo dos estados do Brasil(veja exerccio 1.17).

E 1.38 Calcule os valores dos parmetros , e no grafo da dama (vejaexerccio 1.8) e no grafo do cavalo (veja exerccio 1.9).

E 1.39 Seja A a matriz de adjacncias (veja exerccio 1.3) eM a matriz de inci-dncias (veja exerccio 1.4) de um grafoG. Quanto vale a soma dos elementosda linha v de A? Quanto vale a soma dos elementos da linha v de M?

EU 1.40 Seja G um grafo (U,W )-bipartido. Suponha que G r-regular, comr > 0. Mostre que |U | = |W |.

E 1.41 verdade que todo grafo com pelo menos dois vrtices tem dois vr-tices com o mesmo nmero de vizinhos? Em outras palavras, se um grafotem mais de um vrtice, verdade que tem dois vrtices distintos v e w taisque |N(v)| = |N(w)|? (Uma maneira informal de dizer isso: verdade que emtoda cidade com pelo menos dois habitantes residem duas pessoas que tmexatamente o mesmo nmero de amigos na cidade?)

EI 1.42 Mostre15 que, em todo grafo, a soma dos graus dos vrtices igual aodobro do nmero de arestas. Ou seja, todo grafo (V,E) satisfaz a identidade

vV d(v) = 2|E| . (1.1)

EF 1.43 Mostre que a (G) = 2m(G)/n(G) para todo grafo G.

EF 1.44 Mostre que todo grafoG tem um vrtice v tal que d(v) 2m(G)/n(G)e um vrtice w tal que d(w) 2m(G)/n(G). verdade que todo grafo G temum vrtice x tal que d(x) < 2m(G)/n(G)?

E 1.45 Mostre que em qualquer grafo tem-se 2m/n .

15 Mostre = prove.


E 1.46 Mostre que todo grafo com n vrtices tem no mximo n(n 1)/2 ares-tas.

EU 1.47 Mostre que em qualquer grafo o nmero de vrtices de grau mpar necessariamente par.

E 1.48 Quantas arestas tem o grafo da dama 8-por-8 (veja exerccio 1.8)?Quantas arestas tem o grafo da dama t-por-t?

E 1.49 Quantas arestas tem o grafo do cavalo 4-por-4 (veja exerccio 1.9)?Quantas arestas tem o grafo do cavalo t-por-t?

E 1.50 Quantas arestas tem um grafo r-regular com n vrtices?

E 1.51 Quantas arestas tem o cubo de dimenso k?

E 1.52 Quantas arestas tem o grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de umgrafo G?

E 1.53 Seja G o complemento de um grafo G. Calcule (G) e (G) em funode (G) e (G).

E 1.54 Seja G um grafo tal que m(G) > n(G). Mostre que (G) 3.

E 1.55 Suponha que um grafo G tem menos arestas que vrtices, ou seja, quem(G) < n(G). Mostre que G tem (pelo menos) um vrtice de grau 0 ou (pelomenos) dois vrtices de grau 1.

ED 1.56 Escolha dois nmeros naturais n e k e considere o seguinte jogo paradois jogadores,A eB. Cada iterao do jogo comea com um grafoG que temn vrtices (no incio da primeira iterao tem-se EG = ). Em cada iteraompar (primeira, terceira, etc.), o jogador A escolhe dois vrtices no adjacen-tes u e v e acrescenta uv ao conjunto de arestas do grafo. Em cada iteraopar (segunda, quarta, etc.), o jogador B faz um movimento anlogo: escolhedois vrtices no adjacentes u e v e acrescenta uv ao conjunto de arestas dografo. O primeiro jogador a produzir um grafo G tal que (G) k perde ojogo. Problema: determinar uma estratgia vencedora para A e uma estrat-gia vencedora para B.

FEOFILOFF Caminhos e circuitos 21

1.4 Caminhos e circuitos

Esta seo introduz dois tipos muito simples mas muito importantes de gra-fos. Para quaisquer objetos v1, v2, v3, . . . , vn distintos dois a dois, o grafo(

{v1, v2, v3, . . . , vn} , {v1v2, v2v3, . . . , vn1vn})

um caminho (= path). Por exemplo, o grafo ({x, y, w, z}, {xy, yw,wz}) umcaminho.16

Portanto, um grafo um caminho se seus vrtices podem ser ordenadosde tal maneira que o primeiro seja adjacente ao segundo, o segundo adja-cente ao terceiro, etc., o penltimo adjacente ao ltimo e que no haja outrasadjacncias entre os vrtices alm dessas. Em outras palavras, um grafo G um caminho se VG admite uma permutao17 (v1, v2, . . . , vn) tal que

{vivi+1 : 1 i < n} = EG .

Os vrtices v1 e vn so os extremos do caminho; os demais vrtices so inter-nos.18 Diremos que esse caminho liga v1 a vn.

O caminho que acabamos de descrever pode ser denotado simplesmentepor v1v2 vn. Por exemplo, se dissermos o caminho xywz estaremos nos v1v2 vnreferindo ao grafo ({x, y, w, z}, {xy, yw,wz}).

Para quaisquer objetos v1, v2, v3, . . . , vn distintos dois a dois, com n 3, ografo (

{v1, v2, v3, . . . , vn} , {v1v2, v2v3, . . . , vn1vn, vnv1})

um circuito (= circuit = polygon).19 Em outras palavras, um grafo G um circuito20 se VG tem 3 ou mais elementos e admite uma permutao(v1, v2, . . . , vn) tal que

{vivi+1 : 1 i < n} {vnv1} = EG .

Esse circuito pode ser denotado simplesmente por v1v2 vnv1. As-v1v2 vnv1sim, se dissermos o circuito xyzx, estaremos nos referindo ao grafo

({x, y, z}, {xy, yz, zx}).

16 Convm insistir que, para ns, caminhos so grafos. Em alguns livros, caminhos sotratados como sequncias de vrtices e no como grafos.

17 Uma permutao de um conjunto X uma sequncia em que cada elemento de Xaparece uma e uma s vez.

18 Alguns autores [Per09] dizem que um caminho s caminho se tiver 2 ou mais vrtices.Para ns, entretanto, o grafo ({v}, ) um caminho. Esse detalhe no to irrelevante quantopode parecer.

19 Alguns autores dizem ciclo (= cycle) no lugar de circuito.20 Observe que, para ns, um circuito um grafo. Em alguns livros, circuitos so tratados

como sequncias (de um certo tipo) e no como grafos.


r r r r r rrrr rr SSSS##cc##ccFigura 1.7: Um caminho e um circuito.

O comprimento de um caminho ou circuito G o nmero m(G). claroque um caminho de comprimento m tem m + 1 vrtices e um circuito com-primento m tem m vrtices.21

Um tringulo, quadrado, pentgono e hexgono o mesmo que um cir-cuito de comprimento 3, 4, 5 e 6 respectivamente.

Exerccios

EF 1.57 Faa uma figura de um caminho de comprimento 0, de um caminhode comprimento 1 e de um caminho de comprimento 2. Faa uma figura deum circuito de comprimento 3 e de um circuito de comprimento 4. Por que adefinio de circuito tem a restrio n 3?

EF 1.58 Seja V o conjunto {a, b, c, d, e} e E o conjunto {de, bc, ca, be}. Verifi-que que o grafo (V,E) um caminho. Agora suponha que F o conjunto{bc, bd, ea, ed, ac} e verifique que o grafo (V, F ) um circuito.

EF 1.59 Faa um figura do caminho 1 2 4 3 5. Faa um figura do caminho1 3 2 4 3 5. Faa um figura do circuito 1 2 4 3 5 1.

EF 1.60 Verifique que o caminho u v w x y z tambm pode ser denotado porz y xw v u. Verifique que essas duas expresses representam o mesmo cami-nho.

EF 1.61 Considere o circuito u v w x y z u. Mostre que z y xw v u z tambm um circuito. Mostre que qualquer permutao cclica como w x y z u v w,por exemplo tambm um circuito. Mostre que todas essas expressesrepresentam o mesmo circuito.

EF 1.62 Exiba as matrizes de adjacncias e incidncias de um caminho decomprimento 4. Exiba as matrizes de adjacncias e incidncias de um circuitode comprimento 5.

EF 1.63 verdade que o grafo do cavalo 3-por-3 um circuito?

21 A expresso tamanho de um caminho vaga e ambgua: no se sabe se estamosfalando do nmero de vrtices ou do nmero de arestas do caminho.


EF 1.64 Verifique que a grade 1-por-n um caminho de comprimento n 1.Quais grades so circuitos?

EF 1.65 Suponha que P um caminho de comprimento n1 e O um circuitode comprimento n. Quanto valem (P ), (P ), (O) e (O)?

EF 1.66 Faa uma figura do complemento de um caminho de comprimento 3.Faa uma figura do complemento de um caminho de comprimento 4. Faauma figura do complemento de um circuito de comprimento 5. Faa umafigura do complemento de um circuito de comprimento 6.

E 1.67 Quantos caminhos diferentes existem com conjunto de vrtices{1, 2, 3}? Quantos circuitos diferentes existem com conjunto de vrtices{1, 2, 3}? Quantos circuitos diferentes existem com conjunto de vrtices{1, 2, 3, 4}?

E 1.68 verdade que todo grafo 2-regular um circuito?

E 1.69 Seja G um grafo com n(G) 3, (G) = 2 e (G) = 1. Se G temexatamente dois vrtices de grau 1, verdade que G um caminho?

FEOFILOFF Unio e interseo de grafos 24

1.5 Unio e interseo de grafos

A unio de dois grafos G e H o grafo (VGVH , EGEH). natural denotaresse grafo por G H .G H

A interseo de dois grafos G e H o grafo (VGVH , EGEH). naturaldenotar esse grafo por G H . Para evitar grafos sem vrtices, s trataremosG Hda interao G H se VG VH no for vazio.

Dois grafos G e H so disjuntos se os conjuntos VG e VH so disjuntos,ou seja, se VG VH = . evidente que EG e EH tambm so disjuntos nessecaso.

Exerccios

EF 1.70 Seja G um grafo completo com conjunto de vrtices {1, 2, 3, 4, 5} e Hum grafo completo com conjunto de vrtices {4, 5, 6, 7, 8}. Faa figuras dosgrafos G H e G H .

E 1.71 SejaG o grafo do bispo eH o grafo da torre (veja exerccios 1.10 e 1.11).Mostre que G H o grafo da dama.

EF 1.72 Seja G o circuito 1 2 3 4 5 6 1 e H o caminho 4 7 8 5. Faa figuras dosgrafos G H e G H .

E 1.73 Seja P um caminho com extremos u a v eQ um caminho com extremosv e w. Mostre que se VP VQ = {v} ento o grafo P Q um caminho.

E 1.74 Suponha que os caminhos P e Q tm os mesmos extremos, digamos ue v. Suponha ainda que VP VQ = {u, v}. Em que condies o grafo P Q um circuito?

E 1.75 Sejam A, B e C os conjuntos {1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7} e {9, 10, 11}. Seja G ografo (A,B)-bipartido completo. Seja H o grafo (B,C)-bipartido completo.Faa figuras dos grafos G H e G H .

E 1.76 Uma roda (= wheel) qualquer grafo da forma G H , onde G umcircuito eH uma estrela (veja a seo 1.2) com centro v tal que VHr{v} = VG.Faa figuras de rodas com 4, 5 e 6 vrtices. Quanto valem os parmetros m, e de uma roda com n vrtices?

FEOFILOFF Grafos planares 25

1.6 Grafos planares

Um grafo planar se pode ser desenhado no plano sem que as curvas querepresentam arestas se cruzem. Esta definio imprecisa, mas suficiente porenquanto. Daremos um definio melhor na seo 1.16.

Exerccios

EF 1.77 Verifique que todo caminho planar. Verifique que todo circuito planar.

EF 1.78 Mostre que toda grade (veja exerccio 1.6) planar.

E 1.79 Mostre que o grafo dos estados do Brasil (veja exerccio 1.17) planar.

E 1.80 O grafo dos pontos no plano descrito no exerccio 1.19 planar?

E 1.81 Mostre que todo K4 planar. verdade que todo K5 planar?

E 1.82 Mostre que todo K2,3 planar. verdade que todo K3,3 planar?

E 1.83 Mostre que o grafo Q3 (veja exerccio 1.14) planar. O grafo Q4 tam-bm planar? O grafo Q5 planar?

E 1.84 O grafo do bispo t-por-t (veja exerccio 1.10) planar?

E 1.85 O grafo da dama t-por-t (veja exerccio 1.8) planar? O grafo do ca-valo t-por-t (veja exerccio 1.9) planar?

FEOFILOFF Subgrafos 26

1.7 Subgrafos

Um subgrafo de um grafo G qualquer grafo H tal que VH VG e EH EG. conveniente escrever H G para dizer que H subgrafo de G.H G

Um subgrafo H de G gerador (= spanning) se VH = VG. (H quem digaabrangente no lugar de gerador [Per09].)

Um subgrafo H de G prprio se VH 6= VG ou EH 6= EG. s vezes conveniente escrever H G para dizer que H subgrafo prprio de G.22H G

O subgrafo deG induzido por uma parte23 X de VG o grafo (X,F ) ondeF o conjunto EG X(2). Esse subgrafo denotado porG[X]

G[X] .

Para qualquer subconjunto X de VG, denotaremos por G X o sub-GXgrafo G[VG r X]. Se v um vrtice de G ento G v uma abreviaturaG vde G {v}.

Se e uma aresta de G ento G e o grafo (VG, EG r {e}). De modoG emais geral, seA uma parte de EG entoGA o grafo (VG, EGrA). claroGAque G A um subgrafo gerador de G.

Exerccios

EF 1.86 Suponha que H um subgrafo de G. Se VH = VG, verdade queH = G? Se EH = EG, verdade que H = G?

EF 1.87 Seja G um grafo, V uma parte de VG e E uma parte EG. verdadeque (V , E ) um subgrafo de G?

EF 1.88 Seja G um grafo (U,W )-bipartido. Mostre que os subgrafos G[U ] eG[W ] so vazios.

E 1.89 Repita o exerccio 1.42: Use induo24 no nmero de arestas do grafopara provar que todo grafo (V,E) satisfaz a identidade

vV d(v) = 2|E| .

EF 1.90 Mostre que todo subgrafo induzido de um grafo completo com-pleto. verdade que todo subgrafo induzido de um caminho um caminho? verdade que todo subgrafo induzido de um circuito um caminho?

22 De modo geral, escreveremos X Y ou Y X para dizer que o conjunto X subconjunto prprio de Y , ou seja, que X Y mas X 6= Y .

23 Uma parte de um conjunto o mesmo que um subconjunto do conjunto.24 Induo a arte de reduzir um problema a uma verso menor dele mesmo.


EF 1.91 Seja v um vrtice e e uma aresta de um circuitoO. Mostre que o grafoO v um caminho. Mostre que o grafo O e um caminho.

E 1.92 Mostre que todo subgrafo de um grafo planar planar. Em outraspalavras, se um grafo G tem um subgrafo no planar ento G no planar.

E 1.93 Sejam v e w dois vrtices de um grafo G. Suponha que d(v) = (G) ed(w) = (G). verdade que (Gv) = (G)1? verdade que (Gw) =(G) 1?

EF 1.94 Verifique que o grafo do bispo t-por-t um subgrafo do grafo dadama t-por-t. Verifique que o grafo da torre t-por-t um subgrafo do grafoda dama t-por-t.

E 1.95 O grafo Q3 subgrafo de Q4?

EF 1.96 Seja G o grafo representado na figura 1.8 e X o conjunto {a, b, f, e,g, l}. Faa uma figura de G[X].

r r rrrrr

r r r rr b d

f g h

k l

a

e

i j

c

Figura 1.8: Veja exerccios 1.96, 1.115 e 1.116.

E 1.97 (BOM!) Seja H o grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de um grafo G(portanto, H = L(G)). Mostre que H no contm K1,3 como subgrafo in-duzido, ou seja, mostre que no existe subconjunto X de VH tal que H[X] um K1,3. Mostre que a recproca no verdadeira.

E 1.98 Seja H o grafo das arestas (veja exerccio 1.24) de um grafo G (por-tanto, H = L(G)). Seja H um subgrafo induzido de H . Mostre que H ografo das arestas de algum grafo G.

E 1.99 Dado grafo G e inteiro k, encontrar um subconjunto mximo X de VGtal que (G[X]) k. (Ou seja, dentre os subconjuntos X de VG que tm apropriedade (G[X]) k, encontrar um de cardinalidade mxima.)


E 1.100 Seja G um grafo tal que n(G) > 1 e (G) 12(G). Mostre que G tem

um vrtice x tal que(G x) (G) .

Em outras palavras, mostre que possvel retirar um vrtice sem com issoreduzir a mdia dos graus do grafo.

E 1.101 Mostre que todo grafo G com pelo menos uma aresta tem um sub-grafo H tal que

(H) > (H)/2 mas (H) (G) .

FEOFILOFF Cortes 29

1.8 Cortes

Suponha que X um conjunto de vrtices de um grafo G. O corte associadoa X o conjunto de todas as arestas que tm uma ponta em X e outra emVG rX . O corte associado a X ser denotado por (X)

G(X)

ou simplesmente por (X).25 (Alguns autores preferem escrever (X) ouat(X).)

Dizemos que os cortes () e (VG) so triviais. evidente que os cortestriviais so vazios.

claro que |({v})| = d(v) para todo vrtice v. Para qualquer conjuntoX de vrtices, diremos que |(X)| o grau de X e denotaremos esse nmeropor d(X): d(X)

d(X) := |(X)| .

Um corte (= cut = coboundary) em um grafo G qualquer conjunto daforma (X), onde X uma parte de VG. (Um corte , portanto, um conjuntode arestas e no de vrtices.)

Exerccios

EF 1.102 Seja X um conjunto de vrtices de um grafo G. Mostre que(VG, (X)) um subgrafo gerador bipartido de G.

E 1.103 Seja G o grafo representado na figura 1.8. verdade que o conjunto{ae, ef, fj, jk, cd, dh} um corte?

r r rrrrr

r r r rr b d

f g h

k l

a

e

i j

c

Figura 1.9: Veja o exerccio 1.103.

E 1.104 Encontre o menor corte no trivial que puder no grafo da dama8-por-8. Encontre o maior corte no trivial que puder no grafo da dama.

25 No confunda com a letra grega .

FEOFILOFF Cortes 30

E 1.105 Encontre o menor corte no trivial que puder no grafo do bispot-por-t.

E 1.106 Encontre o menor corte que puder no grafo de Petersen. Encontre omaior corte que puder no grafo de Petersen.

EF 1.107 Para qualquer conjunto X de vrtices, denotamos por N(X), o con-N(X)junto dos vrtices em VGrX que tm um ou mais vizinhos emX . verdadeque d(X) = |N(X)| para todo X?

EI 1.108 Mostre que para qualquer grafo G e qualquer parte X de VG tem-sexX dG(x) = 2m(G[X]) + dG(X) . (1.2)

(Isso uma generalizao do exerccio 1.42.)

E 1.109 Suponha que todos os vrtices de um grafo G tm grau par. ver-dade d(X) par para todo subconjunto X de VG?

Suponha que todos os vrtices de um grafoG tm grau mpar. verdaded(X) mpar para todo subconjunto prprio e no vazio X de VG?

E 1.110 (CORTE GRANDE) Mostre que em todo grafo (com dois ou mais vr-tices) existe um corte que contm pelo menos a metade das arestas do grafo.Em outras palavras, mostre que todo grafo G tem um conjunto X de vrticestal que d(X) 1

2m(G).

E 1.111 (BOM!) Mostre que todo grafo G tem um subgrafo gerador bipar-tido H que satisfaz a condio dH(v) dG(v)/2 para todo vrtice v.

Operaes sobre cortes

E 1.112 (DIFERENA SIMTRICA) Mostre que (X Y ) = (X) (Y ) paraquaisquer conjuntos X e Y de vrtices de um grafo. Aqui, A B denota aABdiferena simtrica26 dos conjuntos A e B.

E 1.113 (SUBMODULARIDADE) Mostre que em qualquer grafo G, paraquaisquer subconjuntos X e Y de VG,

d(X Y ) + d(X Y ) d(X) + d(Y ) .

26 A diferena simtrica de dois conjuntos A e B o conjunto (A r B) (B r A). fcilverificar que AB = (A B) r (A B).

FEOFILOFF Cortes 31

E 1.114 (Consequncia de 1.113) Sejam v e w dois vrtices de um grafo G.Um isolador qualquer subconjunto de VG que contm v mas no contm w.Um isolador X mnimo se d(X) d(X ) para todo isolador X . Mostre quese X e Y so isoladores mnimos ento X Y e X Y tambm so isoladoresmnimos.

FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 32

1.9 Caminhos e circuitos em grafos

Se um caminho v1 vp subgrafo de G, dizemos simplesmente que v1 vp um caminho em G ou que G contm o caminho v1 vp. Por exem-plo, se dissermos que u v w z um caminho em G, devemos entender que({u, v, w, z}, {uv, vw,wz}) um subgrafo de G. Conveno anloga vale paracircuitos que so subgrafos de G.27

Se v e w so os dois extremos de um caminho em G, cmodo dizer queo caminho vai de v a w ou que comea em v e termina em w. Mas precisousar estas expresses com cautela pois caminhos so objetos estticos e notm orientao.

Um caminho P em um grafo G mximo se G no contm um caminhomximode comprimento maior que o de P . Um caminho P em G maximal se nomaximalexiste caminho P em G tal que P P .

Exerccios

EF 1.115 Seja G o grafo representado na figura 1.8. verdade que e a b f g k um caminho em G? verdade que e a b f c d um caminho em G? verdadeque e a b f g k j i e um circuito em G?

E 1.116 Seja G o grafo da figura 1.8. verdade que G contm um circuitode comprimento 6? verdade que G contm um circuito induzido de com-primento 6? (Ou seja, verdade que existe um subconjunto X de VG tal queG[X] um circuito de comprimento 6?) Exiba um caminho induzido de com-primento 3 em G. (Ou seja, exiba um conjunto X de vrtices tal que G[X] um caminho de comprimento 3.) Exiba um caminho de comprimento 3 emG que no seja induzido.

EU 1.117 Sejam P um caminho com extremos x e x e seja Q um caminhocom extremos y e y. Suponha que VP VQ 6= . Mostre existe um caminhocom extremos x e y no grafo P Q (veja seo 1.5).

Pergunta adicional: Se z um vrtice em VP VQ, verdade que existe,no grafo P Q, um caminho de x a y que passa por z?

E 1.118 Encontre um circuito de comprimento mnimo no grafo de Petersen(veja exerccio 1.15 ou figura 1.6). Encontre um circuito de comprimento m-ximo no grafo de Petersen. Encontre um caminho de comprimento mximono grafo de Petersen.

27 Eu gostaria de dizer subcaminho de G e subcircuito de G. Infelizmente, essasexpresses no so usadas na literatura.


EF 1.119 Verifique que o grafo do cavalo 3-por-3 contm um circuito. Encon-tre o circuito mais longo que puder no grafo do cavalo 4-por-4.

E 1.120 Encontre o mais longo caminho que puder no grafo da dama. En-contre o mais longo circuito que puder no grafo da dama.

E 1.121 O grafo de Heawood28 tem conjunto de vrtices {0, 1, 2, . . . , 13}.Cada vrtice i vizinho de (i+ 1) mod 14 e de (i+ 13) mod 14.29 Alm disso,cada i vizinho de um terceiro vrtice, que depende da paridade de i: sei par ento ele vizinho de (i + 5) mod 14 e se i mpar ento ele vizi-nho de (i + 9) mod 14. Faa uma figura do grafo. Encontre um circuito decomprimento mnimo no grafo de Heawood.

E 1.122 Suponha que um grafo G tem um circuito mpar. Mostre que G tam-bm tem um circuito mpar induzido, ou seja, que existe um conjunto X devrtices tal que G[X] um circuito mpar. Algo anlogo vale para circuitospares?

E 1.123 D um exemplo de um grafoG e um caminho emG que seja maximalmas no seja mximo.

EU 1.124 (BOM!) Suponha que d(v) k para todo vrtice v de um grafo.Mostre que o grafo tem um caminho de comprimento pelo menos k. (Suges-to: tome um caminho maximal.)30

O problema poderia ter sido formulado assim: mostre que todo grafo Gcontm um caminho com pelo menos (G) + 1 vrtices.

EU 1.125 Seja G um grafo tal que (G) 2. Prove que G tem um circuito.

E 1.126 Seja G um grafo tal que (G) 3. Prove que G tem um circuito decomprimento par.

E 1.127 Seja k um nmero natural maior que 1. Suponha que d(v) k paratodo vrtice v de um grafoG. Mostre queG tem um circuito de comprimentopelo menos k + 1. Em outras palavras, mostre que G tem um circuito compelo menos (G) + 1 vrtices, desde que (G) > 1. (Veja exerccio 1.124.)

E 1.128 Seja G um grafo com n > 1 vrtices e pelo menos 2n arestas. Mostreque G tem um circuito de comprimento 2 log2 n.

28 Percy John Heawood ( ). (Veja verbete na Wikipedia.)29 A expresso i mod j denota o resto da diviso de i por j.30 O captulo 15 discute o importante mas difcil problema de encontrar um caminho de

comprimento mximo em um grafo.

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Heawood.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Heawood


E 1.129 Seja G um grafo sem circuitos de comprimento menor que 5. Mostreque n(G) (G)2 + 1.

E 1.130 Mostre que todo grafo G com pelo menos k n(G) arestas contm umcaminho de comprimento k. (Combine os exerccios 1.101 e 1.124.)

Caminhos e circuitos versus cortes

Dizemos que um corte (X) separa um vrtice x de um vrtice y X contm xmas no contm y. ( claro que se (X) separa x de y ento X separa y de x.)

E 1.131 Seja P um caminho num grafo G. Seja X um conjunto de vrticesque contm um e apenas um dos extremos de P . Mostre que EP (X) 6= .

EI 1.132 Prove que, para qualquer par (x, y) de vrtices de qualquer grafo,vale uma e apenas uma das seguintes afirmaes: (1) um caminho liga x a you (2) um corte vazio separa x de y. (Outra maneira de formular a mesmaquesto: prove que existe um caminho de x a y se e somente se nenhum cortevazio separa x de y.)

E 1.133 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente que receba vrticesv e w de um grafo G e encontre um caminho que vaqi de v a w ou mostre quetal caminho no existe.

Passeios, trilhas e ciclos

Um passeio (= walk) em um grafo qualquer sequncia finita (v0, v1, v2, . . . ,vk1, vk) de vrtices tal que vi adjacente a vi1 para todo i entre 1 e k. (Osvrtices do passeio podem no ser distintos dois a dois.) Dizemos que ovrtice v0 a origem do passeio e que vk o trmino do passeio. Dizemostambm que o passeio vai de v0 a vk e que o passeio liga v0 a vk.

As arestas do passeio so v0v1, v1v2, . . . , vk1vk. O comprimento do pas-seio o nmero k.

Uma trilha (= trail) um passeio sem arestas repetidas, isto , um passeiocujas arestas so distintas duas a duas. claro que o comprimento de umatrilha igual cardinalidade do seu conjunto de arestas.

Um passeio simples se os seus vrtices so distintos dois a dois, ouseja, se no tem vrtices repetidos. evidente que todo passeio simples ,em particular, uma trilha.

Um passeio (v0, . . . , vk) fechado (= closed) se sua origem coincide com otrmino, ou seja, se v0 = vk.


Um ciclo (= cycle) uma trilha fechada, ou seja, um passeio fechado semarestas repetidas.31

EU 1.134 Seja (v0, v1, v2, . . . , vk) um passeio com origem r e trmino s emum grafo G. Mostre que G tem um caminho com extremos r e s. Maisespecificamente, mostre h um caminho com extremos r e s no subgrafo({v0, v1, v2, . . . , vk} , {v0v1, v1v2, . . . , vk1vk}) de G.

E 1.135 Suponha que (v0, . . . , vk) uma passeio fechado em um grafo G. verdade que G tem um circuito?

EU 1.136 Seja (v0, v1, v2, . . . , vk) um ciclo em um grafo G. Mostre que h umcircuito no subgrafo ({v1, v2, . . . , vk}, {v0v1, v1v2, . . . , vk1vk}) de G.

EF 1.137 Sejam v0, . . . , v5 alguns vrtices (no necessariamente distintos doisa dois) de um grafoG. Quais das seguintes afirmaes so verdadeiras: (1) sev0v1v2v3v4v5 um caminho em G ento (v0, v1, v2, v3, v4, v5) um passeio sim-ples; (2) se v0v1v2v3v4v5v0 um circuito em G ento (v0, v1, v2, v3, v4, v5, v0) um ciclo; (3) se (v0, v1, v2, v3, v4, v5) uma trilha ento v0v1v2v3v4v5 umcaminho; (4) se (v0, v1, v2, v3, v4, v5, v0) um ciclo ento v0v1v2v3v4v5v0 umcircuito.

31 De acordo com essa definio, um ciclo pode ter comprimento 0. J um circuito, pordefinio, tem comprimento pelo menos 3.

FEOFILOFF Grafos conexos 36

1.10 Grafos conexos

Em qualquer grafo G, dizemos um vrtice v est ligado a um vrtice w se Gcontm um caminho com extremos v ew. evidente que a relao simtrica:se v est ligado a w ento tambm w est ligado a v.

Um grafo conexo (= connected) se seus vrtices so ligados dois a dois.Em outras palavras, um grafo conexo se v ligado a w para cada par (v, w)de seus vrtices.

Exerccios

E 1.138 Mostre que todo grafo completo conexo. Mostre que todo caminho um grafo conexo. Mostre que todo circuito um grafo conexo.

EIF 1.139 Seja e uma aresta e v um vrtice de um circuito O. Mostre que ografo O e conexo. Mostre que O v conexo.

EF 1.140 Seja e uma aresta e v um vrtice de um caminho P . Em que condi-es P e conexo? Em que condies P v conexo?

E 1.141 O grafo do cavalo 3-por-3 conexo? O grafo do bispo t-por-t co-nexo?

E 1.142 Mostre que o grafo Qk conexo (qualquer que seja k).

EF 1.143 Suponha que um subgrafo geradorH de um grafoG conexo. Mos-tre que G conexo.

EF 1.144 Seja G um grafo e X uma parte prpria e no vazia de VG (isto , X VG). Mostre que o grafo G (X) no conexo.

EI 1.145 Mostre que um grafo G conexo se e somente se (X) 6= paratodo subconjunto prprio e no vazio X de VG (ou seja, para todo X tal que X VG).

EF 1.146 Quais das seguintes afirmaes so verdadeiras para qualquergrafo G? 1. Se G conexo ento (X) 6= para todo X tal que X VG.2. Se G conexo ento (X) 6= para algum X tal que X VG. 3. Se(X) 6= para todo X tal que X VG ento G conexo. 4. Se (X) 6= para algum X tal que X VG ento G conexo.


E 1.147 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente que decida se umgrafo conexo. O que o seu algoritmo devolve (ou seja, qual a sada doalgoritmo)?

E 1.148 Seja G um grafo (U,W )-bipartido tal que |U | k e |W | k. Mostreque se (G) > k/2 ento G conexo.

E 1.149 Sejam x, y e z trs vrtices de um grafo conexo G. verdade que Gtem um caminho que contm x, y e z?

E 1.150 Mostre que dois vrtices v ew de um grafo esto ligados se e somentese existe um passeio de v a w. (Veja fim da seo 1.4.)

EF 1.151 Seja X um conjunto de vrtices de um grafo conexo G. verdadeque G[X] conexo?

EU 1.152 Sejam P e Q dois caminhos tais que VP VQ 6= . Mostre que ografo P Q (veja seo 1.5) conexo.

EU 1.153 Sejam G e H dois grafos conexos tais que VG VH 6= . Mostre queo grafo G H (veja seo 1.5) conexo.

EF 1.154 Sejam G e H dois grafos. Quais das seguinte implicaes so ver-dadeiras? 1. Se VG VH = ento G H no conexo. 2. Se G H conexoento VG VH 6= . 3. Se G H no conexo ento VG VH = .

EU 1.155 (BOM!) Suponha que um certo vrtice x de um grafo G ligado acada um dos demais vrtice. Mostre que G conexo.

EU 1.156 Seja O um circuito em um grafo conexo G. Mostre que G e conexo para toda aresta e de O.

E 1.157 Seja v um vrtice de grau 1 num grafo conexo G. Mostre que o grafoG v conexo.

E 1.158 Suponha que G um grafo conexo com pelo menos uma aresta. verdade que existe uma aresta a tal que G a conexo?

EF 1.159 Seja G um grafo conexo e seja v um dos extremos de um caminhomaximal (veja pgina 32) em G. verdade que G[N(v)] conexo?


E 1.160 (BOM!) Mostre que todo grafo conexo G com dois ou mais vrticestem um vrtice v tal que G v conexo.

EI 1.161 Prove que todo grafo conexo com n vrtices tem pelo menos n 1arestas. Em outras palavras, mostre que em todo grafo conexo G tem-se

m(G) n(G) 1 .

E 1.162 Seja G um grafo tal que (G) n(G)/2. Mostre que G conexo.

E 1.163 Seja G um grafo tal que (G) bn(G)/2c.32 Mostre que G conexo.(Mostre que o resultado o melhor possvel no seguinte sentido: existemgrafos desconexos com d(v) bn/2c 1 para todo vrtice v.)

EF 1.164 Suponha que d(v) + d(w) n 1 para todo par (v, w) de vrticesno adjacentes de um grafo G. Mostre que G conexo.

E 1.165 Mostre que todo grafo com n vrtices e mais que 12(n 1)(n 2)

arestas conexo.

EF 1.166 Seja G um grafo e k um nmero natural. Mostre que d(X) kpara todo X tal que X VG se e somente se G F conexo para todosubconjunto F de EG tal que |F | < k.

E 1.167 Prove que se um grafo G no conexo ento seu complemento G conexo.

E 1.168 Prove que se um grafo G conexo ento o grafo das arestas L(G)tambm conexo.

E 1.169 Sejam P e Q dois caminhos de comprimento mximo em um grafoconexo G. Mostre que P e Q tm um vrtice em comum.

32 Por definio, bxc o nico inteiro i tal que i x < i+ 1.

FEOFILOFF Componentes 39

1.11 Componentes

Um subgrafo conexoH de um grafoG maximal (com relao propriedadede ser conexo) se no faz parte de um subgrafo conexo maior, ou seja, se noexiste grafo conexo H tal que H H G.

Um componente de um grafo G qualquer subgrafo conexo maximalde G. O nmero de componentes de um grafo G ser denotado por c(G)

c(G) .

claro que um grafo conexo se e somente se tem um s componente.

Exerccios

E 1.170 Quantos componentes tem o grafo do cavalo 3-por-3? Quantos com-ponentes tem o grafo do bispo t-por-t?

E 1.171 Seja a uma aresta e v um vrtice de um caminho P . Mostre que P atem exatamente dois componentes. Mostre que P v tem um ou dois com-ponentes.

E 1.172 Seja a uma aresta e v um vrtice de um circuito O. Mostre que O atem um s componente. Mostre que O v tem um s componente.

E 1.173 Seja P um caminho e S uma parte prpria de VP . Prove quec(P S) |S|+ 1.

E 1.174 Seja O um circuito e S uma parte de VO tal que 0 < |S| < n(O). Proveque c(O S) |S|.

EU 1.175 Seja G um grafo tal que (G) 2. Descreva os componentes de G.

E 1.176 Seja G um grafo 2-regular. Mostre que cada componente de G umcircuito.

EF 1.177 Mostre que, em qualquer grafo, todo vrtice pertence a um e apenasum componente. Em outras palavras, mostre que em qualquer grafo G osconjuntos de vrtices de todos os componentes formam uma partio de VG.

EF 1.178 Seja H um componente de um grafo G. Mostre que G(VH) = .

FEOFILOFF Componentes 40

EF 1.179 Seja X um conjunto de vrtices de um grafo G. Prove ou desprovea seguinte afirmao: Se X VG e G(X) = ento G[X] um compo-nente de G.

E 1.180 SejaX um conjunto no vazio de vrtices de um grafoG. Mostre queG[X] um componente de G se e somente se G[X] conexo e G(X) = .

EI 1.181 Seja x um vrtice de um grafo G. Seja X o conjunto de todos osvrtices ligados a x. Mostre que G[X] um componente de G.

E 1.182 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente que receba um vr-tice x de um grafo G e calcule o conjunto de vrtices do componente de Gque contm x.

E 1.183 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente que calcule o n-mero de componentes de qualquer grafo dado.

EF 1.184 Seja X um conjunto de vrtices de um grafo G. Suponha quec(GX) > |X|+ 1. verdade que G no conexo?

E 1.185 SejaH um subgrafo gerador de um grafoG. Mostre que c(H) c(G).

E 1.186 Seja e uma aresta de um grafo G. Mostre que c(G) c(G e) c(G) + 1 para qualquer aresta e de G.

E 1.187 Seja v um vrtice de um grafo conexo G. Mostre que o nmero decomponentes de G v no passa de d(v).

E 1.188 Seja G um grafo conexo e suponha que d(v) par para todo vrtice vde G. Mostre que, para qualquer vrtice v, o nmero de componentes deG v no passa de 1

2d(v).

E 1.189 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente para o seguinte pro-blema: Dado um grafo G e um nmero natural k, encontrar um conjunto Xde no mais que k vrtices que maximize o nmero de componentes deGX .

EI 1.190 Mostre que em todo grafo G tem-se

m(G) n(G) c(G) .

E 1.191 Sejam n, m e c os nmeros de vrtices, de arestas e de componentes,respectivamente, de um grafo G. Mostre que

m 12(n c)(n c+ 1) .

FEOFILOFF Pontes e grafos aresta-biconexos 41

1.12 Pontes e grafos aresta-biconexos

Uma ponte (= bridge) ou istmo (= isthmus) ou aresta de corte (= cut edge) emum grafo qualquer aresta e tal que {e} um corte. Em outras palavras, e uma ponte se {e} = (X) para algum conjunto X de vrtices.

Um grafo aresta-biconexo (= edge-biconnected) se cada par de seus vrti-ces ligado por dois caminhos sem arestas em comum.33 Em outras palavras,o grafo aresta-biconexo se, para cada par (r, s) de seus vrtices, existem doiscaminhos P e Q, ambos com extremos r e s, tais que EP EQ = . Convmrestringir esta definio a grafos com trs ou mais vrtices. Assim, grafoscom um vrtice apenas no so considerados aresta-biconexos.

Exerccios

EF 1.192 O grafo do bispo t-por-t tem pontes?

E 1.193 Suponha que um grafo G tem uma ponte uv. Que aparncia tem amatriz de adjacncias deG? Que aparncia tem a matriz de incidncias deG?

EF 1.194 Seja uv uma aresta de um grafo G. Mostre que uv uma ponte se esomente se u v o nico o caminho em G que vai de u a v.

EF 1.195 Seja e uma aresta de um grafo G. Mostre que e uma ponte se e so-mente seGe tem mais componentes queG. (Veja tambm o exerccio 1.186.)

E 1.196 Suponha que todos os vrtices de um grafo G tm grau par. Mostreque G no tem pontes.

E 1.197 Seja r um nmero natural maior que 1. Seja G um grafo bipartidor-regular. Prove que G no tem pontes.

EF 1.198 Seja G o grafo que tem vrtices a, b, . . . , g e arestas ab, bc, cd, de, ec,bf , gb, ag. Quais das arestas pertencem a circuitos? Quais das arestas sopontes?

EI 1.199 (PONTES VERSUS CIRCUITOS) Prove que, em qualquer grafo, todaaresta de um e apenas um de dois tipos: ou ela pertence a um circuito dografo ou uma ponte.

33 Em algumas reas da Computao, diz-se que um tal grafo tolerante a falhas.

FEOFILOFF Pontes e grafos aresta-biconexos 42

E 1.200 Que aparncia tem um grafo se todas as suas arestas so pontes?Que aparncia tem um grafo se cada uma de suas arestas pertence a um cir-cuito?

E 1.201 Seja G um grafo conexo e X uma parte de VG tal que d(X) = 1.Mostre que os grafos induzidos G[X] e G[X] so ambos conexos.

E 1.202 (ALGORITMO) Construa um algoritmo que encontre as pontes deum grafo.

EF 1.203 Mostre que todo circuito aresta-biconexo. Mostre que caminhosde comprimento no nulo no so aresta-biconexos.

E 1.204 O grafo do bispo 3-por-3 tem dois componentes. Mostre que cadacomponente aresta-biconexo.

EF 1.205 Seja G um grafo aresta-biconexo. Mostre que G conexo e no tempontes.

EI 1.206 (RECPROCA DE 1.205) Seja G um grafo conexo, sem pontes, comtrs ou mais vrtices. Mostre que G aresta-biconexo.34 (Compare com oexerccio 1.132.)

EF 1.207 Mostre que m(G) n(G) para todo grafo aresta-biconexo G.

34 Veja generalizao no captulo 17, exerccio 17.7.

FEOFILOFF Articulaes e grafos biconexos 43

1.13 Articulaes e grafos biconexos

Uma articulao (= articulation) ou vrtice de corte (= cut vertex) num grafoG um vrtice v tal que G v tem mais componentes que G.

Um grafo biconexo (= biconnected) se cada par de seus vrtices estiverligado por dois caminhos internamente disjuntos.35 Mais precisamente, umgrafo biconexo se, para cada par (r, s) de seus vrtices, existem caminhos Pe Q, ambos com extremos r e s, tais que VP VQ = {r, s}. Portanto, um grafo biconexo se e somente se cada par de seus vrtices pertence a um circuito.

Convm restringir o conceito a grafos com trs ou mais vrtices. Assim,grafos com um ou dois vrtice no so considerados biconexos.

Exerccios

E 1.208 Seja v um vrtice de um grafo G. Mostre que v uma articulao se esomente se existem dois vrtices x e y em VGr{v} tais que (1) algum caminhoem G vai de x a y e (2) todo caminho de x a y contm v.

E 1.209 Seja v uma articulao de um grafo G. Que aparncia tem a matrizde adjacncias de G? Que aparncia tem a matriz de incidncias de G?

EF 1.210 verdade que todo grafo sem articulaes no tem pontes? ver-dade que todo grafo sem pontes no tem articulaes?

E 1.211 (ALGORITMO) Construa um algoritmo que encontre as articulaesde um grafo.

E 1.212 Mostre que todo circuito biconexo.

E 1.213 O grafo do bispo 3-por-3 tem dois componentes. Mostre que apenasum deles biconexo.

EF 1.214 Mostre que todo grafo aresta-biconexo (com 3 ou mais vrtices) biconexo. Mostre que grafos biconexos (com trs ou mais vrtices) no tmpontes.

E 1.215 (ARTICULAES VERSUS CIRCUITOS) Suponha que todo par de vr-tices de um grafo G pertence a um circuito. Mostre que G no tem articula-es.

35 Em algumas reas da Computao, diz-se que um tal grafo tolerante a falhas.

FEOFILOFF Articulaes e grafos biconexos 44

EF 1.216 Seja G um grafo biconexo. Mostre que G no tem articulaes.

EI 1.217 (RECPROCA DE 1.216) Seja G um grafo conexo com trs ou maisvrtices. Suponha que G no tem articulaes. Mostre que G biconexo.36

E 1.218 (COROLRIO DE 1.217) Seja G um grafo conexo com 3 ou mais vr-tices. Suponha que G no tem articulaes. Mostre que todo par de vrticesde G pertence a um circuito.

E 1.219 Exiba um grafo dotado da seguinte propriedade: quaisquer 2 vr-tices do grafo pertencem a um mesmo circuito mas h 3 vrtices que nopertencem a um mesmo circuito.

E 1.220 Seja G um grafo conexo sem articulaes. Mostre que se (G) 3ento G tem um vrtice v tal que G v conexo e no tem articulaes.(Compare com o exerccio 1.160 na seo 1.10.)

36 Veja generalizao no captulo 18, exerccio 18.9.

FEOFILOFF Florestas e rvores 45

1.14 Florestas e rvores

Esta seo trata de duas espcies importantes de grafos: as florestas e as r-vores. rvores podem ser entendidas como uma generalizao de caminhos(veja os exerccios 1.224 e 1.225).

Uma floresta (= forest), ou grafo acclico, um grafo sem circuitos. Essadefinio pode ser reformulada assim: um grafo uma floresta se cada umade suas arestas uma ponte (veja exerccio 1.221).

Uma rvore (= tree) uma floresta conexa. claro que cada componentede uma floresta uma rvore.37

Uma folha (= leaf ) de uma floresta qualquer vrtice da floresta que te-nha grau 1.

Exerccios

EI 1.221 Mostre que um grafo uma floresta se e somente se cada uma desuas arestas uma ponte. (Veja o exerccio 1.199.)

EF 1.222 Mostre que todo caminho uma rvore.

EF 1.223 Mostre que toda estrela (veja a seo 1.2) uma rvore.

E 1.224 Seja (v1, v2, v3, . . . , vn) uma sequncia de objetos distintos dois a dois.Para cada j, seja i(j) um ndice em {1, . . . , j1}. Mostre que o grafo

({v1, v2,

v3, . . . , vn} , {v2vi(2), v3vi(3), . . . , vnvi(n)})

uma rvore. (Compare a maneiracomo o grafo foi definido com a definio de caminho na seo 1.4.) (Com-pare com o exerccio 1.225.)

E 1.225 Seja T uma rvore. Mostre que existe uma permutao (v1, v2, . . . , vn)de VT dotada da seguinte propriedade: para j = 2, . . . , n, o vrtice vj ad-jacente a exatamente um dos vrtices do conjunto {v1, . . . , vj1}. (Comparecom o exerccio 1.224.)

E 1.226 Seja e uma das arestas de uma floresta F . Mostre que c(F e) =c(F ) + 1.

37 Em algumas disciplinas, a palavra rvore traz mente as ideias de pai e filho. Nopresente contexto, entretanto, as expresses pai de um vrtice e filho de um vrtice nofazem sentido. (Eles s adquirem sentido se um dos vrtices da rvore for escolhido parafazer o papel de raiz. Se r a raiz da rvore ento o pai de qualquer outro vrtice v ovrtice adjacente a v no nico caminho (veja exerccio 1.228) que liga v a r. Todo vizinho dev que no seja o pai de v filho de v.)


EI 1.227 Uma grafo G conexo minimal (ou minimamente conexo) se G conexo mas, para toda aresta e, o grafo G e no conexo. Mostre quetoda rvore um grafo conexo minimal. Mostre a recproca: que todo grafoconexo minimal uma rvore.

EI 1.228 Seja (x, y) um par de vrtices de uma floresta F . Mostre que existeno mximo um caminho em F com extremos x e y.

E 1.229 (RECPROCA DE 1.228) Suponha que um grafo G tem a seguintepropriedade: para todo par (x, y) de vrtices, existe no mximo um caminhoem G com extremos x e y. Mostre que G uma floresta.

E 1.230 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente que decida se umgrafo dado uma rvore.

E 1.231 Seja v uma folha de uma rvore T . Mostre que T v uma rvore.

EU 1.232 Mostre que toda rvore com pelo menos uma aresta tem pelo me-nos duas folhas.

E 1.233 Mostre que toda floresta F tem pelo menos (F ) folhas.

EI 1.234 Prove que em toda rvore T tem-se

m(T ) = n(T ) 1 .

(Compare com o exerccio 1.161.)

EI 1.235 Seja G um grafo conexo G tal que m(G) = n(G) 1. Prove que G uma rvore.

E 1.236 Seja F uma floresta tal que m(F ) = n(F ) 1. Prove que F umarvore.

EI 1.237 Mostre que um grafo F uma floresta se e somente se

m(F ) = n(F ) c(F ) .

(Compare com o exerccio 1.190.)

E 1.238 Seja T uma rvore com dois ou mais vrtices. Seja X o conjunto dosvrtices de T cujo grau maior que 2. Mostre que T tem 2 +

xX (d(x) 2)

folhas.


E 1.239 Seja T uma rvore com vrtices 1, . . . , n. Suponha que os grausdos vrtices 1, 2, 3, 4, 5, 6 so 7, 6, 5, 4, 3, 2 respectivamente e que os vrtices7, . . . , n so folhas. Determine n (e portanto o nmero de folhas da rvore).

E 1.240 Seja T uma rvore com p + q vrtices. Suponha que p dos vrticestm grau 4 e q so folhas. Mostre que q = 2p+ 2.38

E 1.241 Seja T uma rvore com pelo menos trs vrtices. verdade que ocomplemento T de T conexo a menos que T seja um estrela?

E 1.242 Sejam P,Q,R trs caminhos em uma rvore e T . Suponha que VP VQ 6= , VQ VR 6= e VP VR 6= . Prove que VP VQ VR 6= .

E 1.243 Mostre que toda floresta planar.

38 Imagine que os vrtices de grau 4 so tomos de carbono e os de grau 1 so tomosde hidrognio. O grafo representa ento a molcula do hidrocarboneto CpHq . Veja o exerc-cio 1.5.

FEOFILOFF Menores de grafos 48

1.15 Menores de grafos

Esta seo introduz uma generalizao do conceito de subgrafo conhecidacomo menor. Pode-se dizer que um menor descreve a estrutura grossa dografo, enquanto um subgrafo descreve a estrutura fina. Menores tm umpapel importante no estudo da planaridade (captulo 19), da colorao devrtices (captulo 8) e de diversos outros problemas.

Um grafo H um menor39 (= minor), ou subcontrao, de um grafo G seVH uma subpartio40 {V1, . . . , Vp} de VG tal que

cada subgrafo G[Vi] conexo e se Vi adjacente a Vj em H ento h uma aresta de Vi a Vj em G

(mas pode existir uma aresta de Vi a Vj em G sem que Vi seja adjacente a Vjem H). A expresso H um menor de G tambm usada, num sentidomais amplo, para dizer que H isomorfo a um menor de G.

De maneira muito informal, podemos dizer que H um menor de G seH pode ser obtido a partir de um subgrafo de G por sucessivas operaesde contrao de arestas. (A contrao de uma aresta uv faz coincidir osvrtices u e v.)

Figura 1.10: O grafo direita, H , um menor do grafo esquerda, G.(Trata-se de um menor muito especial, pois V1 Vp = VG.)

Um grafo H um menor topolgico (= topological minor) de um grafo Gse VH VG e existe uma funo P que associa um caminho em G a cadaaresta de H de tal modo que

para cada aresta xy de H , o caminho P (xy) tem extremos x e y e notem vrtices internos em VH e se xy e uv so duas arestas distintas de H ento P (xy) e P (uv) no

tm vrtices internos em comum.

39 s vezes digo minor, pois no me habituo a usar a palavra menor como substantivo.40 Uma subpartio de um conjunto V uma coleo {V1, . . . , Vp} de subconjuntos no

vazios de V tal que Vi Vj = sempre que i 6= j.


A expresso H um menor topolgico de G tambm usada, num sentidomais amplo, para dizer que H isomorfo a algum menor topolgico de G.

Um menor topolgico um tipo especial de menor, embora isso no sejaimediatamente aparente. (Veja o exerccio 1.253.)

Se H um menor topolgico de G, diz-se tambm que G contm umasubdiviso de H porque possvel obter um subgrafo de G a partir de Hpor meio de sucessivas operaes de subdiviso de arestas. (Cada sub-diviso de uma aresta introduz um novo vrtice de grau 2 no interior daaresta.)

Exerccios

EF 1.244 Seja H um subgrafo de um grafo G. Mostre que H um menortopolgico de G.

EF 1.245 Seja H um subgrafo de um grafo G. Mostre que H isomorfo a ummenor de G.

E 1.246 Mostre que um grafo G tem um menor topolgico isomorfo a K3 see somente se G contm um circuito.

E 1.247 Mostre que um grafo G tem um menor isomorfo a K3 se e somentese G contm um circuito.

E 1.248 Seja G o grafo do rei num tabuleiro 4-por-4. Seja u o vrtice de coor-denadas (2, 2) e v o vrtice de coordenadas (3, 3). Mostre que G+ uv no temsubgrafo isomorfo a K4 mas tem um menor topolgico isomorfo a K4.

E 1.249 Seja G o grafo do rei num tabuleiro 5-por-5. Seja u o vrtice de coor-denadas (2, 2) e v o vrtice de coordenadas (4, 4). Mostre que G+ uv no temsubgrafo isomorfo a K4 mas tem um menor isomorfo a K4.

Seja x o vrtice de coordenadas (2, 4) e y o vrtice de coordenadas (4, 2).Mostre que G+ uv + xy tem um menor isomorfo a K4.

E 1.250 Mostre que o grafo de Petersen tem um menor isomorfo a K5 (masno tem subgrafo isomorfo a K5 nem menor topolgico isomorfo a K5).

E 1.251 Mostre que o grafo de Petersen tem um menor topolgico isomorfoa K3,3. Mostre que o grafo de Petersen tem um menor isomorfo a K3,3.

E 1.252 Mostre queK3,3 isomorfo a um menor topolgico do cuboQ4. Mos-tre que K5 um menor topolgico de Q4.


EI 1.253 Seja H um menor topolgico de G. Mostre que H isomorfo a ummenor de G. Mostre que a recproca no verdadeira.

EI 1.254 Seja H um menor de um grafo G. Suponha que (H) 3. Proveque H isomorfo a um menor topolgico de G. D um bom exemplo paramostrar que a condio (H) 3 essencial.

E 1.255 Se H (isomorfo a) um menor de G, escrevemos H G. Mostre queH G uma relao de ordem. Mais precisamente, mostre que

1. G G,2. se H G e G H ento H = G,3. se H G e G F ento H F .

Mostre tambm que a relao -menor-topolgico-de uma relao de or-dem.

FEOFILOFF Mapas planos e suas faces 51

1.16 Mapas planos e suas faces

J dissemos na seo 1.6 que, grosso modo, um grafo planar se pode ser de-senhado no plano41 sem que as arestas se cruzem. A definio exata envolveos conceitos de curva e mapa plano, que passamos a discutir.

Uma curva42 qualquer conjunto de pontos no plano R2 que seja topo-logicamente homeomorfo ao intervalo fechado [0, 1] da reta. Em outras pala-vras, um subconjunto c de R2 uma curva se existe uma bijeo topologica-mente contnua do intervalo [0, 1] em c. As imagens de 0 e 1 sob essa bijeocontnua so os extremos da curva.43

Um mapa plano44 um par (V , E) de conjuntos finitos, sendo V um con- VEjunto de pontos do plano e E um conjunto de curvas tal que

os extremos de cada curva so elementos de V , o interior de cada curva disjunto de V , o interior de cada curva disjunto de todas os demais curvas, duas curvas diferentes tm no mximo um extremo em comum.

Os elementos de V so os pontos45 do mapa e os de E so as curvas46 do pontoscurvasmapa.

Figura 1.11: O mapa da esquerda no plano. O mapaplano da direita representa um K4.

O grafo de um mapa plano (V , E) definido da maneira bvia: o con- grafo demapajunto de vrtices do grafo V e dois vrtices v e w so adjacentes no grafo se

existe uma curva em E com extremos v ew. (Ser necessrio tomar muito cui-dado com a notao, uma vez que a letra V est sendo usada para designartanto o conjunto de pontos de um mapa plano quanto o conjunto de vrticesdo correspondente grafo. Analogamente, a letra E est sendo usada para

41 Do ponto de vista tcnico, seria mais cmodo usar a superfcie da esfera no lugar doplano. Mas os resultados so equivalentes.

42 Teria sido tecnicamente mais correto dizer arco ou at arco poligonal.43 Por definio, os dois extremos so distintos.44 Alguns autores dizem grafo plano. No confunda esta expresso com grafo planar.45 Prefiro no dizer vrtices para evitar confuso com os vrtices de um grafo.46 Prefiro no dizer arestas para evitar confuso com as arestas de um grafo.


designar tanto o conjunto de curvas de um mapa plano quanto o conjunto dearestas do correspondente grafo.)

Dizemos que um mapa plano M representa um grafo G se o grafo de Mmaparepresenta

grafo isomorfo (veja captulo 2) a G. Em geral, um grafo pode ser representadopor muitos mapas planos diferentes.

Um grafo G planar se for representvel por um mapa plano, ou seja, seexistir um mapa plano cujo grafo isomorfo a G. Esta a verso precisa dadefinio vaga que demos na seo 1.6.

Exerccios

E 1.256 Veja o jogo de planaridade em www.planarity.net.

E 1.257 O grafo de Petersen (veja figura 1.6) planar?

E 1.258 Seja G um K5 (isto , um grafo completo com 5 vrtices). Mostre queG e planar qualquer que seja a aresta e de G. Repita o exerccio com K3,3(veja figura 19.1) no lugar de K5.

EF 1.259 Mostre que um grafo planar se e somente se cada uma de suascomponentes planar.

E 1.260 Seja e uma ponte de um grafo G. Mostre que G planar se e somentese G e planar.

Seja v uma articulao de G. Mostre que G planar se e somente se Gv planar.

Faces e dualidade planar

O suporte de um mapa plano (V , E) o conjunto V E (trata-se, obvia-

mente, de um subconjunto de R2).47 Em outras palavras, o suporte do mapa o conjunto de todos os pontos de R2 que so pontos do mapa ou pertencema curvas do mapa.

Uma face (= face) de um mapa plano (V , E) qualquer regio do com-plemento do suporte do mapa, ou seja, qualquer componente conexo nosentido topolgico48 do conjunto R2 r

(V

E). A fronteira de cada face

47 Se X = {X1, X2, . . . , Xk} entoX denota o conjunto X1 X2 Xk.

48 O conceito topolgico de conexo formalmente anlogo ao conceito de conexo dateoria dos grafos: uma parte X do plano conexa se, para quaisquer pontos x e x em X ,existe uma curva com extremos em x e x cujos pontos esto todos em X .

http://www.planarity.net/


formada por pontos e curvas do mapa; o nmero de curvas na fronteira deuma face f o grau de f .

Seja G o grafo de um mapa plano M com 3 ou mais pontos. Se G bi-conexo ento as faces de M so bem comportadas: cada face topologica-mente homeomorfa a um disco; a fronteira de cada face corresponde a umcircuito no grafo do mapa; cada curva pertence fronteira de exatamenteduas faces diferentes.

O grafo das faces, ou grafo dual, de um mapa plano M definido daseguinte maneira: os vrtices do grafo so as faces do mapa e duas facesso adjacentes se suas fronteiras tm pelo menos uma curva em comum.49

(Note que o grafo dual definido a partir de um mapa e no a partir do grafodo mapa. Um grafo planar pode ser representado por vrios mapas planosdiferentes,50 e cada um desses mapas tem o seu grafo dual.)

Um exemplo: o grafo dos estados do Brasil que examinamos no exerc-cio 1.17 o grafo dual do mapa do Brasil.

Exerccios

E 1.261 Seja M um mapa plano e suponha que o grafo do mapa um cami-nho. Mostre que M tem apenas uma face.

Seja M um mapa plano e suponha que o grafo do mapa um circuito.Mostre que M tem exatamente duas faces (e as duas faces tm a mesma fron-teira).

E 1.262 Mostre que um mapa plano tem uma e uma s face se e somente seo grafo do mapa uma floresta.

E 1.263 Considere um mapa plano que representa uma grade p-por-q. Quan-tas faces tem o mapa?

E 1.264 Seja M um mapa plano que representa uma grade 3-por-4. Faa umafigura do grafo das faces (ou seja, do grafo dual) de M .

E 1.265 Quantas faces tem um mapa plano que representa o cubo Q3?

49 O estudo da dualidade planar fica mais limpo se a definio de grafo liberalizadapara permitir arestas paralelas (ou seja, duas ou mais arestas diferentes com o mesmo parde pontas) e laos (ou seja, uma aresta com duas pontas iguais). claro que a definio demapa plano deve ser liberalizada de acordo. Prefiro no adotar essa liberalizao no presentetexto. Para compensar, ser necessrio evitar ocasionalmente grafos que tm articulaes ouvrtices de grau 2.

50 Mas veja o exerccio 1.284.


E 1.266 Faa uma figura dos grafos das faces de cada um dos mapas planosdesenhados nas figuras 1.12 e 1.13.

Figura 1.12: Faa uma figura do grafo dualde cada um dos mapas planos da figura.

Figura 1.13: Faa uma figura do grafo dualde cada um dos mapas planos da figura.

E 1.267 Seja G um K5 e e uma aresta de G. Seja M um mapa plano querepresenta G e. Seja G o grafo das faces (ou seja, o grafo dual) de M . Faauma figura de G. Verifique que G planar. Exiba uma representao plana,digamos M, de G. Faa uma figura do grafo das faces de M.

E 1.268 D um exemplo de um grafo conexo planar que possa ser represen-tado por dois mapas planos com diferentes nmeros de faces.

EI 1.269 (FRMULA DE EULER51) Seja (V , E) um mapa plano cujo grafo conexo. Mostre que

|V | |E|+ |F | = 2 , (1.3)onde F o conjunto das faces do mapa. (Verifique que a frmula falsa emmapas cujos grafos no so conexos.)

E 1.270 Seja F o conjunto das faces de um mapa plano (V , E). Suponha queo grafo do mapa aresta-biconexo. Mostre que

fF d(f) = 2|E|, sendo d(f)

o grau da face f .

51 Leonhard Euler ( ). Veja verbete na Wikipedia.

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Euler


EI 1.271 Seja G um grafo planar com 3 ou mais vrtices. Mostre que

m(G) 3n(G) 6 . (1.4)

(Comece tratando do caso em que G aresta-biconexo.) Como so as facesde um mapa plano com n pontos e exatamente 3n 6 curvas?

EF 1.272 verdade que todo grafo G com m(G) 3n(G) 6 planar?

E 1.273 Deduza da desigualdade (1.4) que K5 no planar.

E 1.274 Seja G um grafo com 3 ou mais vrtices e cintura (veja captulo 14)no inferior a 4. Mostre que seG planar entom(G) 2n(G)4. (Comparecom o exerccio 1.271.) Deduza da que K3,3 no planar. Deduza da que Q4no planar.

E 1.275 Seja G um grafo bipartido com 3 ou mais vrtices. Mostre que se G planar ento m(G) 2n(G) 4.

E 1.276 Seja G um grafo (U,W )-bipartido. Mostre que se G planar entom(G) 2|U |+ 2|W | 4.

E 1.277 SejaG um grafo e k um nmero natural no inferior a 3. Suponha queG tem pelo menos 1

2(k+2) vrtices e cintura no inferior a k. Mostre que seG

planar ento m(G) (n(G) 2)k/(k 2). (Compare com o exerccio 1.274.)

EI 1.278 Mostre que todo grafo planar tem pelo menos um vrtice de grauno superior a 5. Em outras palavras, mostre que (G) 5 para todo grafoplanar G.

E 1.279 D exemplo de um grafo planar que no contm vrtices de graumenor que 5.

E 1.280 Seja G um grafo bipartido planar. Mostre que (G) 3.

E 1.281 Seja G um grafo com 11 ou mais vrtices. Mostre que G e o seucomplemento G no podem ser ambos planares.

E 1.282 Um mapa plano auto-dual (= self-dual) se o seu grafo for isomorfoao seu grafo dual. Mostre que se (V , E) auto-dual ento 2|V | = |E| + 2.Mostre que nem todo mapa plano (V , E) tal que 2|V | = |E|+ 2 auto-dual.


EI 1.283 Seja G o grafo de um mapa plano M com 3 ou mais vrtices. Supo-nha que G biconexo e no tem vrtices de grau 2 (ou seja, (G) 3). Seja Go grafo das faces (isto , o grafo dual) do mapa M . Mostre que G planar.

Seja M um mapa plano que representa G. Seja G o grafo das facesde M. Mostre que G = G, ou seja, que G isomorfo a G.

ED 1.284 (TEOREMA DE WHITNEY) Todo grafo planar 3-conexo tem essen-cialmente um nico mapa plano. O essencialmente significa que todos osmapas planos so equivalentes. Dois mapas so equivalentes se as fronteirasdas faces (entendidas como conjuntos de arestas) so idnticas.

E 1.285 Um mapa plano M exoplano se seus pontos estiverem todos nafronteira de uma mesma face. Um grafo G exoplanar (= outerplanar) se forrepresentvel por um mapa exoplano.

Mostre que K4 no exoplanar. Mostre que K2,3 no exoplanar.

E 1.286 Seja M um mapa exoplano (veja o exerccio 1.285). Seja f a face cujafronteira contm todos os pontos de M . Seja G o grafo das faces (isto , ografo dual) de M . Mostre que G f uma rvore.

FEOFILOFF Grafos aleatrios 57

1.17 Grafos aleatrios

Seja V o conjunto {1, . . . , n} e seja G(n) a coleo de todos os grafos com VG(n)conjunto de vrtices V . claro que

|G(n)| = 2N , com N :=(n2

).

Qualquer propriedade de grafos (como, por exemplo, a propriedade de ser Nconexo)52 define uma subcoleo de G(n). Assim, convm confundir os con-ceitos de propriedade e subcoleo de G(n). Diremos que quase todografo tem determinada propriedade P(n) se

limn

|P(n)||G(n)|

= 1 .

Uma maneira de estudar o conjunto G(n) baseada na introduo deuma medida de probabilidade nesse conjunto. Seja p um nmero no inter-valo (0, 1) e escolha cada elemento de V (2), independentemente, com proba-bilidade p. (Veja exerccio 1.20.) Se A o conjunto dos pares escolhidos, ento(V,A) um grafo aleatrio em G(n). A probabilidade de que o grafo (V,A)assim construdo seja idntico a um determinado elemento de G(n) que tenham arestas

pm (1 p)Nm .

Se p = 12

ento todos os 2N grafos em G(n) so equiprovveis: a probabilidadede obter qualquer um deles 1/2N .

Exerccios

EF 1.287 Mostre que quase todo grafo em G(n) tem mais que 10000 arestas.

E 1.288 Prove que quase todo grafo G em G(n) conexo. (Veja a seo 1.17.)

52 Naturalmente, s estamos interessados em propriedades invariantes sob isomorfismo(veja o captulo 2).

FEOFILOFF Grafos aleatrios 58

Captulo 2

Isomorfismo

Dois grafos so isomorfos se tm a mesma estrutura. A definio precisado conceito um pouco trabalhosa, como veremos a seguir.

Um isomorfismo (= isomorphism) entre dois grafos G e H uma umabijeo1 f de VG em VH tal que, para todo par (v, w) de elementos de VG, v ew so adjacentes em G se e somente se f(v) e f(w) so adjacentes em H .

Dois grafos G e H so isomorfos (= isomorphic) se existe um isomorfismoentre eles. A expresso G = H uma abreviatura de G isomorfo a H. =Em outras palavras, dois grafos so isomorfos se possvel alterar os nomesdos vrtices de um deles de tal modo que os dois grafos fiquem iguais.

PROBLEMA DO ISOMORFISMO: Decidir se dois grafos dados so iso-morfos.

Exerccios

E 2.1 Os grafos G e H descritos a seguir so iguais?

VG = {a, b, c, d} EG = {ab, bc, cd, da}VH = {a, b, c, d} EH = {ab, bd, dc, ca}

E 2.2 Os grafos G e H descritos a seguir so isomorfos?

VG = {a, b, c, d, e, f, g} EG = {ab, bc, cd, cf, fe, gf, ga, gb}VH = {h, i, j, k, l,m, n} EH = {hk, nj, jk, lk, lm, li, ij, in}

E se trocarmos hk por hn em EH?

1 Uma bijeo uma funo f de um conjunto A em um conjunto B tal que (1) f(a) 6=f(a) sempre que a 6= a e (2) para todo b em B existe a em A tal que b = f(a).

59

FEOFILOFF Isomorfismo 60

E 2.3 Os grafos da figura 2.1 so isomorfos?

Figura 2.1: Os grafos da figura so isomorfos? Veja exerccio 2.3.

E 2.4 Mostre que dois caminhos so isomorfos se e somente se tm o mesmocomprimento. Mostre que dois circuitos so isomorfos se e somente se tm omesmo comprimento.

E 2.5 Faa uma lista de todos os grafos sobre o conjunto de vrtices {1, 2, 3, 4}que sejam dois a dois no isomorfos. (Em outras palavras, faa uma lista degrafos dois a dois no isomorfos tal que todo grafo com vrtices 1, 2, 3, 4 sejaisomorfo a algum grafo da lista.)

E 2.6 Para n = 1, 2, 3, . . . , faa uma lista de todas as rvores sobre o conjuntode vrtices {1, 2, 3, . . . , n} que sejam duas a duas no isomorfas.

E 2.7 Os grafos da figura 2.2 so isomorfos dois a dois?

rr

rr

r r rrr

rZZZZZZ

A

AAAAA

CCCCCC

Q

QQQ

XXX

J

J

rrr

r rrr

rrraaa

JJJ

EEEE

AAAAAAAAA

!!!

bbbbb

"""

""

ZZZ

rr r r r

rrr

r r

TTTTT

TTTTT

@@@@

CCCCC

aa!!PPPPP

Figura 2.2: Os grafos so dois a dois isomorfos? Veja exerccio 2.7.

E 2.8 Os grafos da figura 2.3 so isomorfos? Justifique.

E 2.9 Os grafos da figura 2.4 so isomorfos? Justifique.

E 2.10 Sej

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