TEORIA DE VAN TEORIA DE VAN HIELE HIELE

Desenvolvimento do Desenvolvimento do Raciocínio em GeometriaRaciocínio em Geometria

IDÉIAS DO MODELOIDÉIAS DO MODELO

Os alunos progridem segundo uma Os alunos progridem segundo uma seqüência de níveis de compreensão seqüência de níveis de compreensão

dos conceitos.dos conceitos. Progresso de um nível para o Progresso de um nível para o

seguinte ocorre através de seguinte ocorre através de

VIVÊNCIA DE ATIVIDADES ADEQUADAS VIVÊNCIA DE ATIVIDADES ADEQUADAS E ORDENADAS.E ORDENADAS.

IDÉIAS DO MODELOIDÉIAS DO MODELO(CONTINUAÇÃO)(CONTINUAÇÃO)

Elevação dos níveis depende Elevação dos níveis depende maismais de de APRENDIZAGEM ADEQUADAAPRENDIZAGEM ADEQUADA

do que de idade e maturação.do que de idade e maturação.

Cada nível é caracterizado por:Cada nível é caracterizado por:– Relações entre os objetos de estudo.Relações entre os objetos de estudo.– Linguagem própria.Linguagem própria.

CARACTERÍSTICAS DOS NÍVEISCARACTERÍSTICAS DOS NÍVEISNÍVEL 0 OU 1º NÍVELNÍVEL 0 OU 1º NÍVEL

RECONHECIMENTORECONHECIMENTO

VISUALIZAÇÃOVISUALIZAÇÃO

Comparação e Comparação e Nomenclatura das Nomenclatura das Figuras Geométricas Figuras Geométricas

– por sua por sua aparência globalaparência global– nãonão por suas partes ou por suas partes ou

propriedades.propriedades.

EXEMPLOEXEMPLO– Classificação de Classificação de

recortes de recortes de quadriláteros em quadriláteros em grupos de:grupos de:

QuadradosQuadrados RetângulosRetângulos ParalelogramosParalelogramos LosangosLosangos Trapézios.Trapézios.

NÍVEL 1 OU 2º NÍVELNÍVEL 1 OU 2º NÍVEL

ANÁLISEANÁLISE

AnáliseAnálise das figuras em das figuras em termos de seus termos de seus componentes.componentes.

ReconhecimentoReconhecimento de de suas propriedades.suas propriedades.

UsoUso dessas dessas propriedades para propriedades para resolver problemas.resolver problemas.

EXEMPLOEXEMPLO

Descrição de um Descrição de um quadrado através de quadrado através de propriedades:propriedades:

4 lados iguais.4 lados iguais. 4 ângulos retos.4 ângulos retos. Lados opostos iguais e Lados opostos iguais e

paralelos.paralelos.

NÍVEL 2 OU 3º NÍVELNÍVEL 2 OU 3º NÍVEL

DEDUÇÃO INFORMALDEDUÇÃO INFORMAL

ABSTRAÇÃOABSTRAÇÃO Alunos conseguem Alunos conseguem

estabelecer inter-relaçõesestabelecer inter-relações de propriedades de figuras de propriedades de figuras e entre figuras.e entre figuras.

Alunos são capazes de Alunos são capazes de deduzir propriedadesdeduzir propriedades de de uma figura e reconhecer uma figura e reconhecer classes de figurasclasses de figuras..

A inclusão de classes é A inclusão de classes é compreendida.compreendida.

EXEMPLOEXEMPLO

Num quadrilátero, se os lados Num quadrilátero, se os lados opostos são paralelos, então opostos são paralelos, então necessariamente os ângulos necessariamente os ângulos opostos são iguais.opostos são iguais.

Um quadrado é um retângulo Um quadrado é um retângulo porque possui todas as porque possui todas as propriedades de um propriedades de um retângulo.retângulo.

NÍVEL 2 OU 3º NÍVELNÍVEL 2 OU 3º NÍVEL(CONTINUAÇÃO)(CONTINUAÇÃO)

Percepção da Percepção da necessidadenecessidade de de uma uma definição precisadefinição precisa e de que e de que uma propriedades pode uma propriedades pode decorrer de outra.decorrer de outra.

Os alunos acompanham e Os alunos acompanham e formulam formulam argumentos argumentos informaisinformais..

NãoNão compreendem o significado compreendem o significado da dedução como um todo ou o da dedução como um todo ou o papel dos axiomas.papel dos axiomas.

Resultados obtidos Resultados obtidos empiricamente são usados em empiricamente são usados em conjunto com técnicas de conjunto com técnicas de dedução.dedução.

São capazes de acompanhar São capazes de acompanhar provas formais, mas provas formais, mas não de não de alterar a ordem lógica da alterar a ordem lógica da demonstração.demonstração.

EXEMPLOEXEMPLO

Descrição de um Descrição de um quadrado através de suas quadrado através de suas propriedades mínimas:propriedades mínimas:

– 4 lados iguais.4 lados iguais.– 4 ângulos retos.4 ângulos retos.

NÍVEL 3 OU 4º NÍVELNÍVEL 3 OU 4º NÍVEL

DEDUÇÃODEDUÇÃO

Domínio do processoDomínio do processo dedutivodedutivo e das e das demonstraçõesdemonstrações..

Reconhecimento de Reconhecimento de condições necessárias e condições necessárias e suficientes.suficientes.

Dedução Dedução como uma como uma maneira de estabelecer a maneira de estabelecer a teoria geométrica no teoria geométrica no contexto de um contexto de um sistema sistema axiomático.axiomático.

EXEMPLOEXEMPLO

Demonstração de Demonstração de propriedades de triângulos propriedades de triângulos e quadriláteros usando a e quadriláteros usando a congruência de triângulos.congruência de triângulos.

NÍVEL 3 OU 4º NÍVELNÍVEL 3 OU 4º NÍVEL(CONTINUAÇÃO)(CONTINUAÇÃO)

O aluno é capaz de construir O aluno é capaz de construir demonstrações e não apenas demonstrações e não apenas memorizá-las.memorizá-las.

Ele enxerga a possibilidade de Ele enxerga a possibilidade de desenvolver uma demonstração desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira.de mais de uma maneira.

Faz distinção entre uma Faz distinção entre uma afirmação e sua recíproca.afirmação e sua recíproca.

Compreende a interação das Compreende a interação das condições necessárias e condições necessárias e suficientes.suficientes.

Compreende a inter-relação e o Compreende a inter-relação e o papel de termos não definidos, papel de termos não definidos, axiomas, postulados, axiomas, postulados, definições, teoremas e definições, teoremas e demonstrações.demonstrações.

EXEMPLOEXEMPLO

A geometria euclidiana A geometria euclidiana como apresentada nos como apresentada nos cursos de graduação em cursos de graduação em Matemática.Matemática.

Fundamentos de Fundamentos de Geometria Plana.Geometria Plana.

Fundamentos de Fundamentos de

Geometria Espacial.Geometria Espacial.

NÍVEL 4 OU 5º NÍVELNÍVEL 4 OU 5º NÍVEL

RIGORRIGOR

Capacidade de Capacidade de compreender compreender demonstrações formais.demonstrações formais.

Estabelecimento de Estabelecimento de teoremas em diversos teoremas em diversos sistemas e comparação sistemas e comparação dos mesmos.dos mesmos.

EXEMPLOEXEMPLO

Geometrias não- Geometrias não- euclidianaseuclidianas..

Estabelecimento e Estabelecimento e Demonstração de Demonstração de teoremas em uma teoremas em uma geometria finitageometria finita..

PROPRIEDADES DO MODELOPROPRIEDADES DO MODELO

1.1. SEQÜENCIALSEQÜENCIAL

O aluno deve necessariamente O aluno deve necessariamente passar pelos vários níveis, passar pelos vários níveis, sucessivamente.sucessivamente.

O O sucessosucesso em um nível pressupõe a em um nível pressupõe a assimilação das estratégias dos assimilação das estratégias dos níveis anteriores.níveis anteriores.

PROPRIEDADES DO MODELOPROPRIEDADES DO MODELO(CONTINUAÇÃO)(CONTINUAÇÃO)

2.2. AVANÇOAVANÇO

ProgressãoProgressão (ou (ou nãonão) de um nível para outro ) de um nível para outro depende maisdepende mais

do do conteúdoconteúdo e e dos dos métodos de instrução recebidosmétodos de instrução recebidos

do que da idade.do que da idade.

PROPRIEDADES DO MODELOPROPRIEDADES DO MODELO(Continuação)(Continuação)

3.3. INTRÍNSECO E EXTRÍNSECOINTRÍNSECO E EXTRÍNSECO

Os objetos inerentes a um nível tornam-se os objetos do Os objetos inerentes a um nível tornam-se os objetos do ensino no nível seguinteensino no nível seguinte

Nível 0 – Percebe-se apenas a Nível 0 – Percebe-se apenas a formaforma da figura da figura. .

Entretanto, a figura é determinada por suas propriedades Entretanto, a figura é determinada por suas propriedades

Nível 1 – Figura é analisa e seus componentes e propriedades são Nível 1 – Figura é analisa e seus componentes e propriedades são descobertos.descobertos.

PROPRIEDADES DO MODELOPROPRIEDADES DO MODELO(CONTINUAÇÃO)(CONTINUAÇÃO)

4.4. LINGÜÍSTICALINGÜÍSTICA

Cada nível tem seus próprios símbolos e seus Cada nível tem seus próprios símbolos e seus próprios sistemas de relações que ligam esses próprios sistemas de relações que ligam esses

símbolos.símbolos.

““Correto” – muda de significado conforme o nível.Correto” – muda de significado conforme o nível.

Níveis 0 e 1: quadrado pode ser diferente de retângulo.Níveis 0 e 1: quadrado pode ser diferente de retângulo.

Nível 2 : O quadrado é retângulo.Nível 2 : O quadrado é retângulo.

PROPRIEDADES DO MODELOPROPRIEDADES DO MODELO(CONTINUAÇÃO)(CONTINUAÇÃO)

5.5. COMBINAÇÃO INADEQUADACOMBINAÇÃO INADEQUADA

Aluno em um nível e o curso em outro nível: Aluno em um nível e o curso em outro nível:

Aprendizado e Progresso podem não ocorrer.Aprendizado e Progresso podem não ocorrer.

Professor, material didático, conteúdo, vocabulário em Professor, material didático, conteúdo, vocabulário em um nível mais alto do que o aluno: um nível mais alto do que o aluno:

Aluno não será capaz de acompanhar os processos de pensamentoAluno não será capaz de acompanhar os processos de pensamento

que estão sendo empregados.que estão sendo empregados.

FASES DO APRENDIZADOFASES DO APRENDIZADO

Progresso ao longo dos níveis depende mais da Progresso ao longo dos níveis depende mais da instrução recebida do que da idade ou da instrução recebida do que da idade ou da

maturidade.maturidade.

MÉTODO, ORGANIZAÇÃO DO CURSO, MÉTODO, ORGANIZAÇÃO DO CURSO,

CONTEÚDO E MATERIAL USADOCONTEÚDO E MATERIAL USADO

SÃO FUNDAMENTAIS.SÃO FUNDAMENTAIS.

Os Van Hiele propõem 5 fases seqüenciais de Os Van Hiele propõem 5 fases seqüenciais de aprendizado.aprendizado.

FASE 1: FASE 1: INTERROGAÇÃO/INFORMAÇÃOINTERROGAÇÃO/INFORMAÇÃO

Professor e Alunos conversam e desenvolvem atividades Professor e Alunos conversam e desenvolvem atividades envolvendo os objetos de estudo do respectivo nível.envolvendo os objetos de estudo do respectivo nível.

EXEMPLO: ATIVIDADES COM LOSANGO, NÍVEL 2.EXEMPLO: ATIVIDADES COM LOSANGO, NÍVEL 2. O que é um losango?O que é um losango?

O que é um quadrado?O que é um quadrado? O que é um paralelogramo?O que é um paralelogramo?

O que eles têm de semelhante? E de diferente?O que eles têm de semelhante? E de diferente? Um quadrado é um losango?Um quadrado é um losango? Um losango é um quadrado?Um losango é um quadrado?

Objetivos:Objetivos:Conhecimento prévio dos alunos.Conhecimento prévio dos alunos.Mostrar aos alunos a direção dos estudos.Mostrar aos alunos a direção dos estudos.

FASE 2: ORIENTAÇÃO DIRIGIDAFASE 2: ORIENTAÇÃO DIRIGIDA

Exploração do conteúdo através do material organizado Exploração do conteúdo através do material organizado pelo professor.pelo professor.

Pequenas tarefas com o objetivo de suscitar respostas Pequenas tarefas com o objetivo de suscitar respostas específicas.específicas.

EXEMPLO: ATIVIDADES COM O GEOPLANO.EXEMPLO: ATIVIDADES COM O GEOPLANO.

Construir um losango de diagonais iguais. Construir um Construir um losango de diagonais iguais. Construir um maior e outro menor.maior e outro menor.

Construir um losango com 4 ângulos retos.Construir um losango com 4 ângulos retos. Construir um losango com 3 ângulos retos.Construir um losango com 3 ângulos retos. Construir um losango com 2 ângulos retos.Construir um losango com 2 ângulos retos. Construir um losango com 1 ângulo reto.Construir um losango com 1 ângulo reto.

FASE 3: EXPLICAÇÃOFASE 3: EXPLICAÇÃO Baseando-se nas experiências anteriores, os alunos Baseando-se nas experiências anteriores, os alunos

expressam e trocam suas visões sobre o que observaram.expressam e trocam suas visões sobre o que observaram.

Papel do Professor: Orientar os alunos no uso de uma Papel do Professor: Orientar os alunos no uso de uma linguagem precisa e adequada.linguagem precisa e adequada.

É nessa fase que o sistema de relações de níveis fica É nessa fase que o sistema de relações de níveis fica evidente.evidente.

EXEMPLO: ATIVIDADE COM LOSANGOS (CONTINUAÇÃO)EXEMPLO: ATIVIDADE COM LOSANGOS (CONTINUAÇÃO)

– Quais as figuras e as propriedades que emergiram das Quais as figuras e as propriedades que emergiram das atividades precedentes?atividades precedentes?

FASE 4: ORIENTAÇÃO LIVREFASE 4: ORIENTAÇÃO LIVRE Tarefas mais complexas:Tarefas mais complexas:

Tarefas com muitos passos.Tarefas com muitos passos. Tarefas que podem ser concluídas de diversas maneiras.Tarefas que podem ser concluídas de diversas maneiras. Tarefas de final aberto.Tarefas de final aberto.

EXEMPLO: EXEMPLO: Dobre uma folha de papel ao meio, e depois outra vez ao meio.Dobre uma folha de papel ao meio, e depois outra vez ao meio. Tente imaginar que tipo de figura você obteria se cortasse o canto formado Tente imaginar que tipo de figura você obteria se cortasse o canto formado

pelas dobras.pelas dobras. Justifique a sua reposta antes de efetuar o corte.Justifique a sua reposta antes de efetuar o corte. Que tipo(s) de figuras você obterá se cortar o canto segundo um ângulo de Que tipo(s) de figuras você obterá se cortar o canto segundo um ângulo de

30º ?E de 45º? 30º ?E de 45º? Descreva os ângulos no ponto de interseção das diagonais.Descreva os ângulos no ponto de interseção das diagonais. O ponto de interseção está em que ponto das diagonais?O ponto de interseção está em que ponto das diagonais? Porque a área do losango é dada com a metade do produto das 2 Porque a área do losango é dada com a metade do produto das 2

diagonais?diagonais?

FASE 5: INTEGRAÇÃOFASE 5: INTEGRAÇÃO Os alunos revêem e sumarizam o que Os alunos revêem e sumarizam o que

aprenderam com o objetivo de formar uma visão aprenderam com o objetivo de formar uma visão geral da nova rede de objetos e relações.geral da nova rede de objetos e relações.

O professor pode auxiliar nessa síntese O professor pode auxiliar nessa síntese “fornecendo apanhados globais” do que os alunos “fornecendo apanhados globais” do que os alunos aprenderam.aprenderam.

É importante que esses sumários não apresentem É importante que esses sumários não apresentem nada de novo.nada de novo.

EXEMPLO: EXEMPLO: As propriedades do losango que emergiram seriam As propriedades do losango que emergiram seriam sumarizadas e suas origens revistas.sumarizadas e suas origens revistas.