teoria de cordas e aplicações

Teoria deCordas e

Aplicacoes

HenriqueBoschi FilhoIF – UFRJ

Introducao

Cordas

Supercordas

Teoria M eDualidades

Teorias deCalibre

BuracosNegros

Branas

Cordas ×Experiencia

AdS/CFT

Aplicacoes

Teoria de Cordas e Aplicacoes

Henrique Boschi Filho

IF – UFRJ

Minicurso apresentado na

2a. Semana da Fısica IF-UFRJ26 a 30 de abril de 2010

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1 Introducao

2 Cordas

3 Supercordas

4 Teoria M e Dualidades

5 Teorias de Calibre

6 Buracos Negros

7 Branas

8 Cordas × Experiencia

9 AdS/CFT

10 Aplicacoes

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Plano do curso

1a. aula: Motivacao e introducao a Teoria de Cordas.

2a. aula: Acao para cordas relativısticas. Supercordas eTeoria M.

3a. aula: Supergravidade. Teorias de Calibre. Buracos

Negros. Branas. Espacos de de Sitter e anti-de Sitter.D3-branas e AdS.

4a. aula: Uma revolucao na Teoria de Cordas, a

correspondencia AdS/CFT. Aplicacoes na Fısica dePartıculas.

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Livros de divulgacao sobre Cordas

Para uma Introducao qualitativa a Teoria de Cordas, boasleituras sao:

• The Little Book of String Theory,Steven S. Gubser (2010) =⇒

• O Universo Elegante: Supercordas,

dimensoes ocultas e a busca da teoriadefinitiva, Brian Greene (2003);

• Hyperspace: A Scientific Odyssey

Through Parallel Universes, TimeWarps, and the Tenth Dimension,

Michio Kaku (1994).

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Algumas paginas interessantes da web sobre cordas

http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html

http://superstringtheory.com/index.html

http://www.damtp.cam.ac.uk/research/gr/public/index.html

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Livro de Cordas (graduacao)

Nesse minicurso, veremos algunsaspectos da Teoria de Cordas,

como abordado no livro:

• A First course

in String Theory,Barton Zwiebach.

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Livro de cordas avancado (resumido)

Neste minicurso, tambemusaremos o livro

An Introduction to String Theoryand D-Brane Dynamics

Richard Szabo

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Motivacao: Por que estudar Teoria de Cordas?

• A Natureza e quantica e relativıstica.• A teoria que combina a mecanica quantica e a relatividade

especial e a Teoria Quantica dos Campos (TQC).• Das 4 interacoes fundamentais da Natureza, a TQC descreve

corretamente 3 delas: as interacoes eletromagneticas e asinteracoes nucleares forte e fraca.• De fato, a descricao atual pela TQC das interacoes

eletromagneticas e nuclear fraca e unificada na chamada teoriaeletrofraca.

• As interacoes fortes tambem podem ser unificadas com asinteracoes eletrofracas.

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Motivacao: Por que estudar Teoria de Cordas?

• A TQC nao e compatıvel com a Teoria da Relatividade Geral,

que descreve bem a gravitacao.• A TQC toma como hipotese que existem na Natureza

partıculas elementares puntiformes.A Teoria de Cordas e uma extensao da TQC e toma comohipotese a existencia de objetos unidimensionais, cujas

excitacoes seriam as partıculas que observamos.• A Teoria de Cordas contem naturalmente a gravitacao

(o graviton), alem de poder descrever as outras 3 interacoesfundamentais.

• A Teoria de Cordas e, portanto, a candidata natural a Teoriade Unificacao das interacoes fundamentais.

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Definicao de Cordas

As cordas sao objetos relativısticos unidimensionais que sedeslocam no espaco-tempo.

A superfıcie espaco-temporal descrita por uma corda ao sedeslocar e chamada de folha de mundo (worldsheet):

6

-

Folha de

mundo

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Definicao de Cordas (2)

Originalmente pensou-se que as cordas existiriam numespaco-tempo (relativıstico) de 4 dimensoes (3 espaciais e 1

temporal).Porem, ao quantizar a corda percebe-se nao seria possıvel

presevar a relatividade a menos que o espaco-tempo tenha umacerta dimensao crıtica D.• Para uma corda que so descreve partıculas bosonicas (isto e,

com spin inteiro, s = 0, 1, 2), D = 26.• Para uma corda que descreve tanto bosons quanto fermions

(spin semi-inteiro, s = 1/2, 3/2), D = 10. Essa e a chamadasupercorda, devido a simetria que e imposta entre fermions e

bosons (supersimetria).

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Por que quantizar a corda?

Em geral, as teorias quanticas sao obtidas a partir de teorias

classicas devidamente quantizadas.O que significa quantizar?

Por exemplo, na quantizacao canonica, significa que devemosimpor a relacao de comutacao [x,px] = i~, entre os

observaveis x e px.OBS.: O comutador entre duas quantidades A e B e definido

como [A, B] = AB − BA. Portanto, para duas grandezasclassicas quaisquer ele e identicamente zero.

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Como quantizar?

Um metodo de quantizacao alternativo e o de

integrais de caminho, proposto por Richard P.Feynman (Premio Nobel de Fısica, 1965).

Nesse caso, a quantizacao pode ser pensada co-

mo uma modificacao do princıpio de Hamilton:A trajetoria classica (de uma partıcula ou de um campo) e

aquela que extremiza a integral de acao:

S =

∫

dt L(q, q) ,

onde L(q, q) e a Langrengeana do sistema, em termos das

coordenadas generalizadas q ≡ (q1, q2, ...,qi, ...).

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Acao para Campos

Pode-se mostrar que o Princıpio de Hamilton implica nas

equacoes de Euler-Lagrange, para uma dada Lagrangeana.

Num sistema relativıstico, como e o caso do campoeletromagnetico, e usual escrever a integral de acao em termos

da Densidade de Lagrangeana L, de modo que

S =

∫

dtdD−1x L(φ, ∂µφ) ,ou seja

L(φ, ∂µφ) ≡

∫

dD−1x L(φ, ∂µφ) ,

onde φ ≡ φ(xµ) e o campo, xµ ≡ (ct, x1, x2, ..., xD−1) e

∂µφ ≡∂

∂xµφ

Em quatro dimensoes temos simplesmente xµ ≡ (ct, x, y, z).

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Notacao relativıstica

O produto escalar de dois vetores no espaco-tempo e

a · b ≡ aµbµ = aνbν = a0b0 + a1b1 + a2b2 + ... + aibi + ...

Metrica (espaco de Minkowski): η = diag(+ − − − ...)

(muito usada em cordas) de modo que aµ = ηµνaν. Logo

aµbµ = ηµνaµbν = a0b0 − a1b1 − a2b2 − ... − aibi − ...

OBS.: Em TQC e usual trabalhar com a metricaη = diag(− + + + ...). Neste caso

a · b = ηµνaµbν = −a0b0 + a1b1 + a2b2 + ... + aibi + ...

que difere da definicao anterior apenas por um sinal global.

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Exemplo

Intervalo invariante (3+1d):

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

Energia-momento

pµ = (E

c,~p)

pµpµ ≡ p2 =E2

c2− (~p)2

Relacao de Einstein

E2 = c2(~p)2 + m2c4

Logop2 = m2c2

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Equacoes de Euler-Lagrange

As equacoes de Euler-Lagrange usuais sao escritas como

d

dt

∂

∂qiL −

∂

∂qiL = 0

para as coordenadas generalizadas qi.

Para o caso de campos (relativısticos) elas sao substituıdaspelas equacoes

∂µ∂

∂(∂µφi)L −

∂

∂φi

L = 0

onde φi sao as componentes i do campo φ.

Note que os campos, em geral, dependem das coordenadas doespaco-tempo xµ ≡ (x0, x1, x2, ..., xD−1) e nao apenas do

tempo t.

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Integrais de Caminho

Na quantizacao por integrais de caminho de Feynman, todas as

“trajetorias” sao levadas em conta, e nao apenas a trajetoriaclassica que extremiza a integral de acao.

A interferencia entre as trajetorias da conta da quantizacao do

sistema.

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Integrais de Caminho (2)

Feynman postulou que a amplitude de transicao de um sistema

entre dois estados quaisquer e dada por:

A ∼∑

todas astrajetorias

ei~S[x(t)]

onde S[x(t)] e a acao classica escrita em termos das trajetoriasx(t) entre os estados inicial e final do sistema.

• A amplitude A e o chamado Propagador de Feynman entredois estados do sistema e a probabilidade dessa transicao

ocorrer e igual a P = |A|2 .• Feynman mostrou, por exemplo, que essa formulacao paraum sistema nao-relativıstico e equivalente a de Schrodinger.

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Como escrever uma acao para a corda?

Vamos comecar pelo caso de uma partıcula livre nao-relativıs-tica. Como L = T − V , e nesse caso V = 0 , temos que

Spart. nao-rel. =

∫

1

2mv2(t)dt ; v2 = ~v ·~v ; ~v =

d~x

dt.

Note que a dimensao de acao e igual a Energia × Tempo, eportanto igual a dimensao de momento angular, ou seja,

massa × velocidade × distancia.

Como seria a acao para uma partıcula livre relativıstica?

Queremos uma acao que seja invariante relativıstica, ou seja,

invariante por transformacoes de Lorentz.

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Como escrever uma acao para a partıcularelativıstica?

Os ingredientes de que dispomos para isso sao sua massa m, avelocidade da luz c e o comprimento invariante ds, definido por

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 .

Assim, levando em conta que uma acao deve ter dimensaoigual a dimensao de momento angular, escrevemos entao:

Spart. rel. = −m c

∫

ds .

Reescrevendo ds2 = c2dt2 − (d~x)2 e lembrando que ~v = d~xdt

,

temos

ds

cdt=

√

1 −

(

d~x

cdt

)2

=

√

1 −

(

v

c

)2

,

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A acao para uma partıcula relativıstica

Logo

Spart. rel. = −m c2

∫

dt

√

1 −

(

v

c

)2

.

Isto nos permite inferir que a Lagrangeana da partıcula livre

relativıstica e Lpart. rel. = −mc2√

1 −(

vc

)2.

Podemos determinar o momentum, ~p ≡ ∂L∂~v

= m~vq

1−( vc)

2, e a

Hamiltoniana, H ≡ ~p ·~v − L = mc2q

1−( vc)

2, de uma partıcula

livre relativıstica, a partir da Lagrangeana acima.

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A acao para uma partıcula relativıstica (2)

Podemos tambem escrever a acao em termos de um parametro

temporal τ . Para tal vamos reescrever ds em termos de dτ :

ds2 = −ηµνdxµdxν = −ηµνdxµ

dτ

dxν

dτdτ 2

Logo, a acao da partıcula livre relativıstica S = −mc∫

ds fica

Spart. rel. = −mc

∫

√

−ηµνdxµ

dτ

dxν

dτdτ

Dessa forma vemos que qualquer redefinicao do parametro τ

nao modifica a acao S. Portanto, essa acao e invariante porreparametrizacao (do parametro τ ).

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Como e a acao para a corda?

Por analogia com a partıcula relativıstica, cuja acao e

proporcional ao comprimento proprio∫

ds, postulamos que aacao da corda e proporcional a area da folha de mundo.

A superfıcie da folha de mundo pode ser escrita como aintegral sobre elementos infinitesimais na forma deparalelogramos de lados d~v1 e d~v2:

d~v1

-

d~v2

θ

dA = |d~v1||d~v2||senθ|

= |d~v1||d~v2|√

1 − cos2 θ

=√

|d~v1|2|d~v2|2 − |d~v1|2|d~v2|2 cos2 θ

=√

(d~v1 · d~v1)(d~v2 · d~v2) − (d~v1 · d~v2)2

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Como e a acao para a corda? (2)

Introduzindo os parametros (infinitesimais) dξ1 e dξ2,

podemos reescrever os lados do paralelogramo como

d~v1 =∂~x

∂ξ1dξ1 d~v2 =

∂~x

∂ξ2dξ2

de modo que a area do paralelogramo pode ser escrita como

dA = dξ1dξ2

√

(

∂~x

∂ξ1·

∂~x

∂ξ1

) (

∂~x

∂ξ2·

∂~x

∂ξ2

)

−

(

∂~x

∂ξ1·

∂~x

∂ξ2

)2

Esta expressao e, naturalmente, invariante por reparametriza-coes de dξ1 e dξ2.

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Vamos, agora, passar a notacao padrao das cordas. As

coordenadas ~x chamaremos de Xµ incluindo a coordenadatemporal X0, isto e, Xµ = (X0, X1, X2, ...,XD−1).

Alem disso, vamos batizar os parametros ξ1 e ξ2 de τ e σ.

Usualmente, mas nao obrigatoriamente, τ e associado a umacoordenada temporal e σ a uma espacial, uma distancia

medida ao longo do comprimento da corda, por exemplo.

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3•Xµ(τ, σ)

σ KK

τ:

Folha de

mundo

corda

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Assim, a area varrida pela corda pode ser escrita como

dA = dτdσ

√

(

∂X

∂τ·

∂X

∂σ

)2

−

(

∂X

∂τ·

∂X

∂τ

) (

∂X

∂σ·

∂X

∂σ

)

onde∂X

∂τ·

∂X

∂τ=

∂Xµ

∂τ

∂Xµ

∂τ

e assim por diante, ja que na notacao relativısticaX · X = XµXµ .

Alem disso, nessa notacao a ordem dos termos na raizquadrada e trocada em relacao a anterior. Isto se deve a uma

diferenca de sinal entre as duas notacoes e para garantir que oradicando e sempre positivo.

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A acao da corda

E usual, ainda, introduzir a notacao compacta:

Xµ ≡∂Xµ

∂τ; Xµ′ ≡

∂Xµ

∂σ

de modo que a acao da corda relativıstica fica:

S = const.

∫

dτdσ

√

(X · X′)2 − (X · X)(X′ · X′)

= const.

∫

dτdσ

√

(X · X′)2 − (X)2(X′)2

onde a constante a frente da integral foi introduzida paragarantir a dimensao correta da acao. Essa constante pode serexpressa, por exemplo, definindo a tensao da corda T e usando

a velocidade da luz c.

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A acao da corda (2)

Para obter a dimensao Energia × tempo, e facil ver que

const. = T/c, ja que a integral acima tem dimensao de area.Assim, chegamos a acao da corda relativıstica

S = −T

c

∫ τf

τi

dτ

∫ σ1

0

dσ

√

(X · X′)2 − (X)2(X′)2

conhecida com acao de Nambu∗-Goto∗∗.(*) Yoichiro Nambu

Premio Nobel de Fısica 2008(**) Tetsuo Goto, Nihon Univ. (JPN)

(http://ptp.ipap.jp/link?PTP/46/1560/)

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Comentarios sobre a acao da corda

Naturalmente, por construcao, a acao de Nambu-Goto einvariante por reparametrizacoes em τ e σ.

E comum tambem escrever a tensao da corda como

T =c

2πα′

A constante α′ aparece na Fısica Hadronica, nas chamadastrajetorias de Regge, que sao relacoes entre a massa quadratica

e spin J de excitacoes hadronicas:

J ∼ α′ M2

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Historicamente...

Historicamente, as cordas foram propostas para explicar oespalhamento desses hadrons (partıculas que interagem via

forca nuclear forte).

Essa descricao, porem, apresentou algumas dificuldades.

Na mesma epoca, surgia a Cromodinamica Quantica (QCD),uma teoria quantica de campos que descreve corretamente as

interacoes fortes.

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Outra acao para a corda relativıstica

Uma outra acao para a corda relativıstica e

S = −1

4πα′

∫

dτdσ√

−g gab∂aXµ∂bXµ

onde a, b = 1, 2 , µ = 0, 1, 2, ...,D − 1 , gab e a metricabidimensional (induzida) na folha de mundo e g = det(gab).

Esta acao e conhecida como a acao de Polyakov (∗).

(∗) Alexander M. Polyakov,Dirac Medal (ICTP), 1986.

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Mais sobre acoes para a corda

A acao de Polyakov e classicamente equivalente a deNambu-Goto, ou seja, as duas geram as mesmas equacoes de

movimento. Porem, esta forma e mais simples de serquantizada por nao conter uma raiz quadrada.

Essa acao e interessante tambem poque ela pode ser estendida

ao caso da supercorda.

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Cordas Abertas e Fechadas

As cordas podem ser abertas ou fechadas:

Figura: http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html

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Cordas × Partıculas (Interacoes)

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Quantizacao das cordas

A partir da acao das cordas, ou de suas equacoes demovimento, podemos quantiza-las.

A quantizacao dessas cordas leva aos seguintes resultados:(conta longa, caps. 12 e 13, livro do Zwiebach)

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Quantizacao das cordas (2)

Propriedades Corda aberta Corda fechada

Spin 0 taquion dılatonM2 −α′ 0

Spin 1 foton –M2 0 –

Spin 2 – graviton

M2 – 0

Spin=0,1,2,... varios variosM2 ∝ α′ ∝ α′

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A quantizacao dessas cordas tambem implica na determinacao

da dimensao crıtrica, neste caso D = 26, para nao violar asimetria de Lorentz (relatividade especial).

Como todas as excitacoes desta corda tem spin inteiro,concluımos que se trata da corda Bosonica.

Do ponto de vista fenomenologico, os modos correspondentesao dılaton, ao foton, e ao graviton sao os mais interessantes.

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O modo do taquion (M2 = −α′) e interpretado como um

estado instavel da corda bosonica. Porem, alguns autoresargumentam que ele poderia ser util na descricao de tal

situacao em sistemas fısicos reais.

A instabilidade do modo taquionico pode ser entendida por

uma analogia mecanica: uma partıcula sujeita a uma forca quevaria linearmente com sua posicao. O potencial pode ser

atrativo (M2 > 0) ou repulsivo (M2 < 0).

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Modos massivos × Taquions

6

-

Modos massivos

M2>0-

6

-

Taquions

M2<0

-

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Supercorda

A partir dos resultados acima ficou claro que essa corda naopoderia descrever fermions, que existem na Natureza.

Para permitir que as cordas tivessem modos fermionicos a acaofoi modificada introduzindo coordenadas que anticomutamentre si, analogas ao campo de Dirac.

OBS.: O anticomutador e definido como A, B = AB + BA.

Alem disso, por consistencia e necessario impor uma simetriaque transfoma bosons em fermions e vice-versa, chamadasupersimetria.

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Supercordas

A corda com essas caracterısticas e chamada de Supercorda.

Na verdade, existem 5 tipos diferentes de supercordas,

dependendo das condicoes de contorno que satisfazem e dassuas simetrias:

Tipos I, II A e B, e heteroticas SO(32) e E(8)×E(8).

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Os tipos de Supercordas

• Tipo I: A corda e supersimetrica (usual, N = 1);

• Tipo II: A corda tem supersimetria extendida (N = 2, doisfermions p/ cada boson);

IIA: espinores com quiralidade oposta, teoria nao-quiral

IIB: espinores com mesma quiralidade, teoria quiral

• Heteroticas: sao compostas de dois setores, um supermetricoD = 10 e outro nao com D = 26. A teoria resultante vive em

D = 10. As denominacoes SO(32) e E(8)×E(8) correspondem

aos grupos de simetria dessas cordas.

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Quiralidade

Um sistema quiral difere de sua imagem num espelho.

A quiralidade de uma partıcula e definida pela sua helicidadeque e a projecao de seu spin em relacao ao seu momentum.

Partıculas massivas viajam em velocidades inferiores a da luz etem qualquer quiralidade.

Neutrinos tem massa muito pequena (ainda nao medida) eportanto se movem praticamente na velocidade da luz. Logo

tem quiralidade definida.Neutrinos tem quiralidade esquerda e antineutrinos direita.

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Quiralidade de neutrinos e anti-neutrinos

(Elementary Particle Lecture Notes, Paolo Franzini - Roma U.)

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Teoria M

Existe uma Teoria M (Misterio, Mae, ou Matriz) em D = 11de onde viriam todas as supercordas.

A Teoria M, nao e conhecida por completo, apenas algumas de

suas propriedades.

Por exemplo, nao se conhece uma acao (completa) para essa

Teoria.

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Dualidades

Dualidades sao transformacoes que levam uma teoria em outra,

ou relacionam partes diferentes de uma mesma teoria.• O exemplo classico e do campo eletromagnetico:

As equacoes de Maxwell, no vacuo (em unidades apropriadas)

~∇ · ~E = 0 ~∇ · ~B = 0

~∇ × ~E = −∂~B

∂t~∇ × ~B =

∂~E

∂t

sao invariantes pelas substituicoes ~E → ~B e ~B → −~E.

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Dualidades em cordas

As 5 teorias de supercordas e a Teoria M estao relacionadas pordualidades.

Sao as dualidades S e T.

A dualidade S leva uma corda com acoplamento g1 numaoutra com g2 = 1/g1 , onde g1 e g2 sao adimensionais.

OBS.: (gcorda)2 ∼ GNewton

α′ .

A dualidade T leva uma corda enrolada sobre um cilindro de

raio R1 numa outra com raio R2 = `2/R1, onde ` e ummesmo comprimento fixo para as duas cordas.

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Dualidades entre as Teorias M e de Supercordas

http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html

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Dualidades entre as Teorias M e de Supercordas

R. Szabo, http://arxiv.org/abs/hep-th/0207142

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Mais uma vez...

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Teorias de Supergravidade

Sao teorias de campo para a gravitacao que sao tambem

supersimetricas.

Sao generalizacoes da Relatividade Geral, de Einstein.

Existem em varias dimensoes: 11, 10, 9, 8, ...

A Teoria M e descrita, em baixas energias, pela supergravidade

em D = 11.

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Mais Supergravidade

As Supercordas sao tambem aproximadas, em baixas energias

(i. e., modos nao-massivos), por teorias de supergravidade emD = 10.

Em particular, as supercordas do tipo IIA sao aproximadas pelasupergravidade IIA.

Analogamente, a supercorda IIB e aproximada em baixasenergias pela supergravidade IIB.

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Simetrias de Calibre

O eletromagnetismo e uma teoria invariante de calibre.Para ver isto, vamos lembrar que os campos eletrico ~E e

magnetico ~B podem ser univocamente determinados pelospotenciais escalar V e vetorial ~A:

~B = ~∇ × ~A ~E = −∂

∂t~A − ~∇V

Note, porem, que podemos modificar os potenciais escalar V e

vetorial ~A

~A′ = ~A + ~∇λ V′ = V −∂

∂tλ

onde λ = λ(x, y, z, t) e uma funcao escalar, sem alterar os

campos ~E e ~B.

Esta propriedade e chamada simetria de calibre.

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Simetrias de calibre (2)

Em notacao relativıstica, ~A e V sao as componentes espacial e

temporal do quadrivetor Aµ

Aµ = (V, ~A)

e a invariancia de calibre e expressa como

Aµ′ = Aµ +∂

∂xµ

λ

ou em notacao compacta

Aµ′ = Aµ + ∂µλ

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Teorias de calibre

Em 1954, C.N. Yang e R. Mills propuseram uma generalizacaodo campo eletromagnetico para um campo com simetria de

calibre estendida

Aaµ′ = Aa

µ + εabcλbAcµ + ∂µλa

onde a, b, c = 1, 2, 3 e portanto temos um conjunto com 3campos Aµ

a .

Note que o termo εabcλbAcµ e analogo a uma rotacao em tres

dimensoes, e portanto com simetria SO(3).

Usando notacao complexa, essa simetria e equivalente a SU(2),analoga a de momentum angular na mecanica quantica.

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Mais Teorias de calibre

Esses campos sao relevantes na descricao das interacoes fracas,associados as partıculas W+, W−, e Z0, descobertas no CERN

em 1983.

Essa simetria de calibre pode ser estendida para rotacoes emespacos complexos de N dimensoes, ou seja, para o grupo

SU(N).

As interacoes fortes sao entendidas hoje como as interacoesentre quarks e gluons, com simetria de calibre SU(3).

Teorias de grande unificacao usam grupos como o SU(5), ou

maiores, porem, sem confirmacao experimental.

Em resumo, as Teorias de Calibre SU(N) sao muito impor-tantes para descrever as interacoes fundamentais.

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Como surgem as Teorias de Calibre SU(N) na

Teoria de Cordas?

Ja vimos que a quantizacao das cordas abertas implica na

existencia de modos nao massivos, entre eles, o foton, que edescrito pela Eletrodinamica Quantica (Teoria Quantica para o

eletromagnetismo).

Como surgem os campos de Yang-Mills na Teoria de Cordas?

Esse problema foi resolvido logo no inıcio da Teoria de cordas,supondo que as pontas das cordas carregam certos fatores,

chamados de Chan-Paton, associados ao grupo SU(N).

Dessa forma, temos varias cordas correspondentes aos varioscampos do grupo SU(N).

Assim, naturalmente, as Teorias de Calibre SU(N) surgem naTeoria de Cordas.

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Cordas e Teorias de Calibre

Alem do fato de cordas gerarem campos de calibre SU(N),

existe uma relacao mais profunda entre essas duas teorias.

Em 1974, Gerardus ’t Hooft (∗) descobriu que amplitudes deespalhamento de cordas sao equivalentes a amplitudes de

espalhamento de teorias de Yang-Mills SU(N) no limiteN → ∞.

Como veremos adiante, este resultado

tera consequencias muito importantespara ambas as teorias.

(∗) Premio Nobel de Fısica, 1999.

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Buracos Negros

Sao solucoes das equacoes de Einstein, da Relatividade Geral,que contem singularidades essenciais (centro do BN) e

removıveis (Horizonte de eventos).

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Mais Buracos Negros

Os Buracos Negros usuais sao definidos em 3+1 dimensoes .A solucao de Schwarzschild pode ser escrita como

ds2 =

(

1 −2MG

r

)

dt2 −

(

1 −2MG

r

)−1

dr2 − r2dΩ2

onde M e sua massa, G = GNewton e dΩ2 = dθ2 + senθ2dφ2.

Essa solucao e estatica e esfericamente simetrica.

• r → 0 e uma singularidade essencial, enquanto r = 2MG euma singularidade de coordenadas (removıvel) e representa ohorizonte de eventos, alem do qual nenhuma informacao pode

ser obtida (classicamente) por um observador externo.

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Buracos Negros Carregados

Existem, tambem, solucoes com carga e/ou momentumangular.

Por exemplo, a solucao de Reissner-Nordstrom e

ds2 = f(r)dt2 − [f(r)]−1 dr2 − r2dΩ2

onde

f(r) = 1 −2MG

r+

Q2G

r2

e Q e a carga eletrica. Essa solucao tem dois horizontes

r± = MG

[

1 ±√

1 − Q2

M2G

]

A solucao extrema ocorre para M2 = Q2

Ge, neste caso, os

horizontes coincidem em r± = MG.

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Buracos Negros na Supergravidade

As teorias de supergravidade tambem admitem solucoes tipo

Buracos Negros.

Por exemplo, nas Teorias de Supergravidade IIA e IIB, surgem

diversas solucoes deste tipo, isto e, com singularidades ehorizontes, em varias dimensoes.

Alguns com simetria planar, que sao as chamadas BranasNegras.

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Membranas e objetos com mais dimensoes

Na Teoria de Cordas, surgem naturalmente objetosbidimensionais como uma Membrana, ou com p dimensoes

espaciais, que chamamos de p-branas.

Esses objetos tem um papel fundamental na moderna teoria decordas.

As pontas das cordas abertas vivem nas p-branas.

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p-Branas

As extremidades de uma supercorda, que se desloca em

D = 10, descrevem hipersuperfıcies em p=9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,ou ainda p= 2, 1 e 0 dimensoes.

Essas hipersuperfıcies (ou hipervolumes) sao as p-branas.

Para p = 0, 0-brana = pontoPara p = 1, 1-brana = linha ou corda

Para p = 2, 2-brana = superfıcie ou membranaPara p = 3, 3-brana = volume (mundo onde vivemos!)

Para p > 3, p-brana = hipervolume

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O que acontece com as extremidades de uma cordaaberta?

No caso nao-relativıstico unidimensional temos duas situacoestıpicas importantes:

• extremidade fixa(condicao de Dirichlet)

• extremidade “livre”(condicao de Neumann)

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O que acontece com as extremidades de uma cordaaberta? (2)

Para as cordas relativısticas, a situacao e analoga, porempode-se ter as condicoes de Neumann e Dirichlet simultanea-mente.

Como a supercorda vive em 9+1 dimensoes, ela pode satisfazer

as condicoes de Neumann para algumas coordenadas e deDirichlet para outras.

Uma Dp-brana e uma p-brana que impoe a corda condicoes de

Neumann para as coordenadas dentro da brana, ou seja,µ = 0, 1, 2, ..., p, enquanto as demais coordenadas

µ = p + 1, p + 2, ..., 9, obedecem condicoes de Dirichlet.

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Dp-Branas e cordas abertas

Cordas abertas podem ter

extremidades livresou presas a D-branas

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Mais Dp-branas e cordas abertas

E possıvel ter varias branas e varias cordas

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Branas e Teorias de Calibre SU(N)

Ja vimos que as cordas abertas tem como uma de suas

excitacoes o foton, e que para obter campos de calibre comsimetria SU(N) devemos impor que as pontas das cordas

carregem os fatores de Chan-Paton.

Por outro lado, as pontas das cordas andam sobre p-branas.

Assim podemos associar os ındices de Chan-Paton do grupoSU(N) com p-branas.

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Mais Branas e Teorias de Calibre SU(N)

Uma corda aberta que comecae termina na mesma branacarrega o grupo U(1)

(eletromegnetismo).

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Ainda sobre Branas e Teorias de Calibre SU(N)

Se uma corda aberta conecta duas branas com diferentes

ındices de Chan-Paton, entao ela carrega o grupo SU(2).

U(1) SU(2) U(1)

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Branas e SU(N)

Cordas abertas comecando e terminando em N branas

Excitacoes das cordas ⇒ Campos de calibre com simetria

SU(N)

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Dp-branas e cordas fechadas

Cordas fechadas tambem interagem com D-branas

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Como surgem as D-branas?

Poderıamos simplesmente postular sua existencia.

Porem, o mais interessante e que as D-branas surgem como

solucoes classicas das acoes das cordas.

De fato as acoes das cordas sao aproximadas em baixasenergias por acoes de supergravidade, e essas acoes tem as

D-branas como solucoes.

Essas D-branas guardam certas relacoes com as teorias decordas (supergravidade) das quais sao solucoes.

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D-branas e cordas

As solucoes encontradas sao:

Supercordas Dp-branas

I p = 1, 5, e 9

IIA p = 0, 2, 4, 6, e 8

IIB p = 1, 3, 5, e 7

Heteroticas —

Para as cordas bosonicas (em 26 dim.) existem Dp-branas parap= 0, 1, 2, ..., 25.

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Como usar a Teoria de Cordas para descrever aFısica que observamos?

A corda bosonica vive em D=26 e contem taquions.

As supercordas contem excitacoes bosonicas e fermionicas evivem em D=10.

Para conectar as cordas com o mundo que observamos com

D=3+1, em geral propoe-se que as dimensoes extras, alem das4 usuais, sejam curvas ou enroladas, com tamanhos muito

pequenos.

Esse procedimento e chamado de compactificacao das

(super)cordas.

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Compactificacao

A compactificacao mais simples para uma supercorda e aquelaque supoe que as 10 dimensoes do espaco-tempo sao decom-postas em um espaco de Minkowski com 4 dim. × hiperesfera

com 6 dimensoes.

Nessa compactificacao, o raio da hiperesfera seria muito menorque um proton ou neutron e por isso nao teria sido ainda

observada em experimentos.

Essa compactificacao, assim como outras, preve ainda aexistencia de uma torre infinita de partıculas, numa situacao

analoga a um poco quantico infinito.

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Poco quantico infinito

Uma partıcula presa num poco

quantico infinito possui infinitosautoestados, n= 1, 2, 3, ...

Essa situacao corresponde a uma

partıcula presa numa caixa comparedes impenetraveis.

Essa situacao e tambemanaloga a corda presa

numa (hiper)esfera.

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Mais compactificacao

Existem compactificacoes menos simetricas e mais sofisticadas

do que a da hiperesrefera.

Os espacos compactos gerais sao as chamadas variedades de

Calabi-Yau e constituem uma area ativa de pesquisa da Fısica eda Matematica.

Uma ideia tambem explorada e considerar cordas em espacoscurvos. Esse problema em geral e bastante complexo. Porem,

para alguns espacos curvos simples (simetricos) e possıvelencontrar alguns resultados interessantes.

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Os espacos de de Sitter

Os espacos de de Sitter sao, juntamente com o espaco de

Minkowski, os espacos mais simetricos, entre as solucoes dasequacoes de Einstein, da Relatividade Geral.

O espaco de de Sitter (dS) usualcorresponde a superfıcie de uma

esfera. A geometria desse espacoe R1 × S3, onde R1 e um eixo

real representando o tempo, e S3

e uma hiperesfera tridimensional.

OBS.: S2 e a esfera usual. =⇒

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O espaco de anti-de Sitter

O espaco chamado de anti-de Sitter (AdS) corresponde asuperfıcie de um hiperboloide

x21

a2+

x22

b2−

x23

c2= 1 ou −

x21

a2−

x22

b2+

x23

c2= 1

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Qual a importancia do espaco AdS para as Cordas?

Ja vimos que as branas sao solucoes da supergravidade quedescrevem as cordas no regime de baixas energias.

As branas tem massa e carga e portanto deformam o espacoonde vivem as as cordas encurvando-o.

Portanto seria importante considerar as cordas nesse espacocurvo produzido pelas branas.Maldacena, em 1997, considerou uma pilha de N D3-branas

extremas justapostas, resultando na seguinte metrica

ds2 = [f(r, R)]−1/2(−dt2 +d~x2) + [f(r, R)]1/2(dr2 +r2dΩ25)

onde f(r, R) = 1 + R4

r4e R4 = N/(2π2T3) , sendo T3 a

tensao de cada D3-brana. Nesta solucao, o horizonte esta emr = 0.

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AdS e Cordas

Na regiao longe do horizonte, r >> R , este espaco reduz-seao espaco chato de Minkowski em 10 dimensoes.

Na regiao proxima do horizonte, r << R , este espaco reduz-se ao espaco de anti-de Sitter em 5 dimensoes vezes uma hi-

peresfera de 5 dimensoes (AdS5 × S5):

ds2 =r2

R2(−dt2 + d~x2) +

R2

r2(dr2 + r2dΩ2

5)

E conveniente introduzir a variavel z ≡ R2/r, de modo que

este espaco pode ser reescrito, nas chamadas coordenadas dePoincare, como:

ds2 =R2

z2(−dt2 + d~x2 + dz2) + R2dΩ2

5

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AdS e Cordas (2)

Dessa forma, as branas produzidas pelas cordas encurvam oespaco, que bem proximo a elas, se aproxima do espaco de

anti-de Sitter vezes uma hiperesfera.A fronteira desse espaco corresponde a regiao z = 0, alem do“ponto”z → ∞.

E importante observar que a fronteira do AdS5, nessascoordenadas, e o espaco de Minkowski com 4 dimensoes.

Como e a fronteira do AdS5 × S5 ?Note que a metrica do AdS “explode”em z → 0, enquanto o

raio R do S5 permanece constante. Dessa forma, o raio dahiperesfera vai a zero quando comparado ao tamanho do AdS.

Assim, efetivamente a fronteira do AdS5 × S5 e um espaco de

Minkowski de 4 dimensoes vezes uma hiperesfera cujo raio vaia zero.

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AdS e Cordas (3)

Este resultado levou Maldacena a deduzir que existe umarelacao entre a teoria de supercordas IIB (que gera asD3-branas) num espaco AdS5 × S5 de 10 dimensoes e

teorias de campo num espaco de Minkowski de 4dimensoes.

Ele deduziu este resultado no limite de baixas energias da

teoria de cordas em que ela e aproximada pela supergravidade,e conjecturou que este resultado vale para qualquer energia.

Essa conjectura ainda nao foi demonstrada, mas existem varias

evidencias de que estaria correta.

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A correspondencia AdS/CFT

Teorias de supercorda em 10d e a teoria M em 11d,

definidas em espacos AdSd+1 × Sn, sao equivalentes ateorias de campo SU(N) supersimetricas, com N → ∞,

no espaco de Minkowski em d dimensoes.

De fato, essas teorias de campo SU(N) supersimetricas temsupersimetria extendida (varios fermions para cada boson) esao conformes (CFT), isto e, nao possuem nenhuma escala

(energia, comprimento, massa, etc) com a qual possamos fazercomparacoes.

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Cordas ×

Experiencia

AdS/CFT

Aplicacoes

Teorias Conformes

Teorias conformes nao tem qualquer escala.

Ainda assim, tem aplicacao em varias areas da Fısica, porexemplo:

• Teoria das transicoes de fase (materia condensada);

• Cromodinamica quantica em altas energias, isto e, emenergias E >> MProtonc

2.

Teoria deCordas e

Aplicacoes


Introducao

Cordas

Supercordas


Teorias deCalibre

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AdS/CFT

Aplicacoes

AdS/CFT e a Fısica de Partıculas

A correspondencia AdS/CFT abre a possibilidade deinterpretar a teoria de cordas em 10d (AdS5 × S5) como

uma teoria de campos SU(N) supersimetrica em 4d, evice-versa.

Como ja vimos, os campos que descrevem as 3 interacoesfundamentais, exceto a gravidade, sao descritos por teorias de

calibre com grupos de simetria U(1), SU(2) e SU(3).

De fato, o grupo SU(N), com N >> 1 contem os gruposcitados acima como casos particulares.

Ou seja, teorias de calibre SU(N), potencialmente, podem

descrever a Fısica do modelo padrao U(1) × SU(2) × SU(3).

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Mais AdS/CFT

Na proposta original de Maldacena, a teoria M em 11d noAdSd+1 × Sn tambem e equivalente a teorias de calibre SU(N)

supersimetricas em d dimensoes chatas.

Em particular, ele mostrou que a teoria M no espacoAdS7 × S4 e dual a uma teoria de Yang-Mills em 6 dimensoes .

Outro exemplo e o da teoria M no AdS4 × S7 que e dual a

teoria de calibre SU(N) com supersimetria extendida N = 8em 3 dimensoes chatas.

Este exemplo, em particular, tem sido usado em varias

aplicacoes na Fısica da materia condensada onde o sistema deinteresse tem simetria planar, isto e, pode ser descrito

convenientemente em 2+1 dimensoes, como o efeito Hallquantico (inteiro e fracionario) e a supercondutividade.

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Cordas e a Caverna de Platao

No mito da caverna de Platao, algumas pessoas vivem presas aparede de uma caverna, sem nunca ter saıdo dela.

So o que veem sao sombras de objetos e pessoas que vivem

fora da caverna projetadas sobre uma de suas paredes.

So ouvem as vozes e os sons produzidos fora da caverna.

Assim, so percebem o mundo como uma projecao bidimen-

sional do que ocorre fora da caverna.

A partir da correspondencia AdS/CFT, podemos imaginar quenosso mundo de 3+1 dimensoes e uma projecao do mundo das

cordas em 10d.

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O Princıpio Holografico

Bekenstein e Hawking mostraram que buracos negros tem

entropia diferente de zero e que ela e proporcional a area deseu horizonte, e nao ao seu volume.

Inspirado neste resultado, ’t Hooft, enunciou em 1993 o

princıpio holografico:

Toda teoria quantica incluindo a gravitacao num espaco de Ddimensoes e descrita por uma teoria quantica (sem gravitacao)em D − 1 dimensoes.

A correspondencia AdS/CFT pode ser interpretada como uma

realizacao do princıpio holografico.

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Mais AdS/CFT e partıculas

E claro que na proposta de Maldacena, a teoria SU(N) em 4dtem N >> 1, e supersimetrica (N = 4) e conforme.

Portanto, para obter uma teoria mais proxima da Fısica do

modelo padrao das partıculas e preciso quebrar a supersimetriae a simetria conforme, alem de reduzir N.

Algum progresso ja foi conseguido nessa direcao, sem

entretanto, chegar ao modelo padrao.

Vamos, agora, descrever alguns modelos com essas

propriedades e algumas de suas aplicacoes.

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Modelo de Witten para a QCD holografica

Para descrever a QCD, que tem pelo menos uma escala (massa

do Proton, por exemplo), devemos modificar a correspondenciaAdS/CFT de modo a introduzir alguma escala.

Witten propos que a QCD pode ser obtida da Teoria de

cordas num espaco AdS com um buraco negro em seuinterior. Neste caso, o raio do horizonte do buraco negrodefine uma escala de comprimento para o modelo, quebrando a

simetria conforme.Witten tambem propos que os fermions desse modelo satisfa-

riam condicoes antiperiodicas nas dimensoes compatas, en-quanto os bosons satisfariam condicoes periodicas, quebrando a

supersimetria.E possıvel calcular massas para os Glueballs (estados ligados de

gluons) nesse modelo.

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Cordas e o espalhamento de Glueballs

Em 2001, Polchinski e Strassler usaram o fato que uma escalamınima de energia na teoria de calibre SU(N) corresponde auma certa regiao do espaco AdS (fatia) para calcular o espa-

lhamento de glueballs.

Neste trabalho eles reobtiveram a amplitude de Veneziano,corrigida por um fator envolvendo a curvatura do espaco AdS,

de modo a descrever corretamente o espalhamento de hadronsno regime de angulos fixos.

Com isso, uma das objecoes a descricao das interacoes fortes

pela teoria de cordas estava superada.

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O modelo de parede rıgida

Usando a ideia de Polchinski e Strassler, Boschi e Bragapropuseram considerar que as cordas (e os campos) na fatia do

AdS satisfariam uma condicao de contorno (Neumann ouDirichlet, p. ex.) sobre uma “parede”(fim da fatia) e com issocalcular massas para glueballs, sem a necessidade de incluir um

BN no AdS.

Os glueballs escalares no AdS sao descritos pelo campo dodılaton (escalar) e nesse espaco esses campos sao descritos por

funcoes de Bessel J2(kz) onde z e a quinta dimensao.

As massas dos glueballs escalares, vem entao da condicao decontorno imposta sobre as funcoes de Bessel.

Assim, as massas dos glueballs escalares sao determinadaspelos zeros da funcao de Bessel.

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Massas para Glueballs escalares em 3+1d

QCD3+1 Rede, N=3 BN-AdS Fatia AdS

0++ 1.61 1.61 (dado) 1.61 (dado)

0∗++ 2.8 2.38 2.64

0∗∗++ - 3.11 3.64

0∗∗∗++ - 3.82 4.64

0∗∗∗∗++ - 4.52 5.63

0∗∗∗∗∗++ - 5.21 6.62

Rede: Morningstar e Peardon; Teper 1997BN-AdS: Csaki, Ooguri, Oz e Terning, JHEP 1999

Fatia AdS: HBF e N Braga, JHEP 2003.

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Massas para Glueballs escalares em 2+1d

QCD2+1 Rede Rede BN-AdS Fatia AdS

N=3 N→ ∞0++ 4.329 4.065 4.07 (dado) 4.07 (dado)

0∗++ 6.52 6.18 7.02 7.00

0∗∗++ 8.23 7.99 9.92 9.88

0∗∗∗++ - - 12.80 12.74

0∗∗∗∗++ - - 15.67 15.60

0∗∗∗∗∗++ - - 18.54 18.45

Rede: Morningstar e Peardon; Teper 1997BN-AdS: Csaki, Ooguri, Oz e Terning, JHEP 1999

Fatia AdS: HBF e N Braga, JHEP 2003.

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Massas para barions leves

O modelo de parede rıgida foiposteriormente aplicado ao

calculo de massa para barionsleves de spin 1/2 e 3/2

As massas tambem sao deter-minadas pelos zeros de funcoesde Bessel

Teramond e BrodskyPRL 2005, 2006;

0 2L

4 6

2

0

4

6

8

1-2005 8694A7

N (939)N (1520)

N (2220)

N (1535)

N (1650)

N (1675)

N (1700)

N (1680)

N (1720)

N (2190)

N (2250)

N (2600)

2

0

4

6

8

∆ (1232)

∆ (1620)

∆ (1905)

∆ (2420)

∆ (1700)

∆ (1910)

∆ (1920)

∆ (1950)

(b)

(a)

(Ge

V2)

∆ (1930)

S=3/2

S=1/2

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Massas para mesons leves

Idem para mesons leves (Teramond e Brodsky PRL 2005, 2006)

L L

0

2

4

(Ge

V2)

(a) (b)

0 2 4 0 2 4 1-2005 8694A10

ω (782) ρ (770) π (140)

b1 (1235)

π2 (1670)

a0 (1450)

a2 (1320)

f1 (1285)

f2 (1270)

a1 (1260)

ρ (1700) ρ

3 (1690)

ω3 (1670)

ω (1650)

f4 (2050)

a4 (2040)

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Mais mesons leves

O modelo de parede rıgida tambem foi aplicado por Erlich,

Katz, Son e Stephanov (PRL 2005) para calcular as massas demesons vetoriais

0

1

2

3

4

5

6

0 2 3 4 5 6

Experiment0.93*n

1

m2

n, GeV2

nρ(770)

ρ(1450)

ρ(1700)

ρ(1900)

ρ(2150)

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Glueballs de spins mais altos

O modelo de parede rıgida tambem foi usado para calcular as

massas de Glueballs com varios spins:

Dirichlet lightest 1st excited 2nd excitedglueballs state state state

0++ 1.63 2.67 3.69

2++ 2.41 3.51 4.564++ 3.15 4.31 5.40

6++ 3.88 5.85 6.218++ 4.59 5.85 7.00

10++ 5.30 6.60 7.77

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Mais Glueballs de spins mais altos

Neumann lightest 1st excited 2nd excitedglueballs state state state

0++ 1.63 2.98 4.33

2++ 2.54 4.06 5.474++ 3.45 5.09 6.56

6++ 4.34 6.09 7.628++ 5.23 7.08 8.6610++ 6.12 8.05 9.68

Massas dos estados de glueballs JPC (com J par) expressas emGeV. A massa do 0++ e um dado obtido dos resultados darede [H.B.F., Nelson Braga and Hector Carrion PRD 2006]

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Trajetoria de Regge para Glueballs e o Pomeron

Uma vez determinadas as massas para os Glueballs, comoconhecemos seus spins, podemos determinar seus

comportamentos J × M2

As curvas nesses graficos correspondem as trajetorias de Regge.

No caso de trajetorias lineares temos:

J = α0 + α′ M2 .

Para Neumann e estados J++ com J = 2, 4, ..., 10 achamos

α′ = ( 0.26 ± 0.02 )GeV−2 ; α0 = 0.80 ± 0.40

consistente com a do Pomeron

α′EXP = 0.25 GeV−2 ; α0EXP = 1.08

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Trajetoria de Regge para Glueballs e o Pomeron (2)

5 10 15 20 25 30 35 40

2

4

6

8

10

M 2 (GeV

2 )

J

Condicoes de Neumann

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Plasma de quarks e gluons

Em altas temperaturas, as interacoes fortes ficam

desconfinadas, formando um plasma de quarks e gluons.

Esse plasma existe em estrelas muito densas e quentes e ecriado em colisoes de ıons pesados, realizadas no RHIC, em

Brookhaven, EUA.

Os resultados do RHIC indicam que esse plasma se comportacomo um fluido ideal, isto e, um sistema fortemente

interagente porem com viscosidade muito pequena.

O primeiro calculo de viscosidade desse sistema compatıvel comos resultados experimentais foi feito por Policastro, Son e

Starinets (PRL 2001) usando o modelo de Witten (buraconegro no AdS) com temperatura finita ( 6= 0).

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AdS/CFT e Confinamento

Maldacena (PRL 1998) mostrou como usar a correspondenciaAdS/CFT para calcular as linhas de Wilson, que descrevem o

comportamento confinante/desconfinante de teorias de calibre.

Ele calculou essa quantidade para a teoria SU(N) supersi-metrica N = 4 em 4d, a partir de cordas no AdS5 × S5.

O resultado que ele encontrou foi que essa teoria nao e

confinante, isto e, um par partıcula antipartıcula pode serseparado com uma energia finita.

No modelo de parede rıgida, foi mostrado que a teoria e

confinante, como ocorre com quarks e antiquarks num meson(HBF, Braga e Ferreira, PRD 2006).

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Outras aplicacoes

Outros problemas na Fısica de partıculas, como o espalhamento

profundamente inelastico, tambem podem ser descritos atravesde modelos inspirados na correspondencia AdS/CFT. Veja, por

exemplo:

• Polchinski e Strassler, JHEP 2002;

• Ballon Bayona, HBF e Braga, JHEP 2008 a, b, c;

• Miranda, Ballon Bayona, HBF e Braga, JHEP 2009;

• Ballon Bayona, HBF, Braga e Torres, JHEP 2010.

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Para informacoes sobre o grupo de Teoria de Cordasdo IF - UFRJ acesse a pagina:

http : //omnis.if.ufrj.br/∼boschi/grupo−cordas.html

teoria de cordas e aplicações

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