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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

TEORIA DAS ESTRUTURAS

Caderno de Conteúdo e Exercícios da disciplina de Teoria das Estruturas do Curso de Engenharia Civil da Estácio de Sá, Unigran e Facsul.

Professor: Eng. Civil Talles Mello

www.tallesmello.com.br [email protected]

Acadêmico:

Campo Grande – MS

1ª Edição

2

Teoria das Estruturas – Prof. Talles Mello – www.tallesmello.com.br

Solicita-se aos usuários deste trabalho a apresentação de sugestões que tenham por objetivo aperfeiçoa-lo ou que se destinem à supressão de eventuais incorreções.

As observações apresentadas, mencionando a página, o parágrafo e a linha do texto a que se referem, devem conter comentários apropriados para seu entendimento ou sua justificação.

A correspondência deve ser enviada diretamente ao autor, por meio do e-mail: [email protected]

Ficha Catalográfica

Mello, Talles.

Teoria das Estruturas /Talles Teylor dos Santos Mello–Campo Grande,MS, 2019.

43 p. : il. color. – (Material didático)

Caderno de aula de exercícios da disciplina de Teoria das Estruturas da Estácio de Sá, Unigran e Facsul, de Campo Grande/MS.

1. Engenharia Civil – composição, proporção, etc. 2. Estruturas. 3. Apostila.I. Estácio. Unigran. Facsul. Curso de Engenharia Civil.II.Título.

CDD (20) 720.7

3


SumárioSumárioSumárioSumário

1 TRELIÇAS ................................................................................................................................ 4

1.1. DEFINIÇÃO .............................................................................................................................. 4

1.2. MÉTODOS DOS NÓS OU MÉTODO DE CREMONA ....................................................................... 4

1.3. TRELIÇA : EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 5

2. FLEXÃO SIMPLES ................................................................................................................ 10

2.1. PROJETO DE VIGAS ................................................................................................................ 11

2.2. FLEXÃO : EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 11

3. DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS (FLECHA) ...................................................................... 12

3.1. CONTRA-FLECHA .................................................................................................................. 12

3.2. MÓDULO DE ELASTICIDADE DOS MATERIAIS ........................................................................ 12

3.3. DESLOCAMENTO DE ACORDO O CARREGAMENTO .................................................................. 13

4. MÉTODO DE CROSS ............................................................................................................ 14

4.1. PRINCÍPIOS DO PROCESSO ..................................................................................................... 14

4.1.1. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO .................................................................................. 15

4.2. RIGIDEZ DAS BARRAS E COEFICIENTES DE TRANSMISSÃO ..................................................... 15

4.2.1. BARRA BI-ENGASTADA .................................................................................................................. 15

4.2.2. BARRA ENGASTADA-ROTULADA ................................................................................................... 15

4.3. CONVENÇÃO DE SINAIS ......................................................................................................... 16

4.4. COEFICIENTES DE DISTRIBUIÇÃO .......................................................................................... 16

4.5. MÉTODO DE CROSS: EXERCÍCIOS .......................................................................................... 17

5. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ..................................................................................... 29

5.1. TABELAS .............................................................................................................................. 32

5.2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: EXERCÍCIOS ....................................................................... 34

6. MÉTODO DAS FORÇAS ....................................................................................................... 40

ANEXO A ...................................................................................................................................... 42

ANEXO B ...................................................................................................................................... 43

4


1 Treliças

São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas

extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós.

Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas

apenas por forças normais.

Hipóteses de Cálculo:

1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito.

2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça.

3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas

extremidades.

4) As barras são solicitadas somente por esforço normal.

1.1. Definição

Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras

redondas, chatas, cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob forma geométrica

triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida,

com a finalidade de resistir a esforços normais apenas.

A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto

pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes,

viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc.

Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças:

• Método dos Nós ou Método de Cremona

• Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior freqüência)

1.2. Métodos dos Nós ou Método de Cremona

A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de

cada nó da treliça, seguindo-se os passos descritos a seguir:

(a) determinação das reações de apoio

(b) identificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou barra

comprimida)

5


(c) verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se sempre os cálculos pelo

nó que tenha o menor número de incógnitas.

1.3. Treliça: Exercícios

1) Calcule as forças nas barras da treliça.

6



7


3) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf, P2 vale 4 tf e P3

vale 0,5 tf.

8



5) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf e P2 vale 4 tt.



9


8) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf e P2 vale 4 tf.



10


2. Flexão simples

No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de

momentos fletores. Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento

fletor Mx conhecido na seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se:

Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de

gravidade). Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana

após a atuação deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição

S’ após a atuação de Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte inferior da viga, observa-se

que o seu alongamento é proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as

tensões normais causadas por Mx nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao

longo de y e independentes de x. Assim, o diagrama de tensões será:

De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos

diversos pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as tensões

normais são provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo

x deve ser o próprio Mx. Logo a tensão normal será dada por:

� � �

� . �

Sendo: � → ��ã�

� → ��

� → ��â�� ℎ� �� é � �� çã� �� ã�

11


2.1. Projeto de vigas

O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos:

a) Calcular o momento fletor máximo;

b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento;

c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do

material;

d) Calcular as dimensões da seção transversal.

2.2. Flexão: exercícios

1) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500

N/cm², verifique a sua resistência à flexão.

2) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão

admissível é de 150 MPa e Ix = 5140 cm4.

12


3. Deslocamentos elásticos (flecha)

É o maior deslocamento vertical do plano da laje. Este valor deverá respeitar os limites

prescritos pela norma NBR 6118;

3.1. Contra-flecha

"Procedimento construtivo que consiste na introdução de deslocamentos verticais

ascendentes em vigotas, geralmente a meio vão, através de escoramento, de forma a prevenir a

formação de flechas elevadas, com deformação da laje após o término da construção. Valor da

translação vertical, de sentido oposto ao da flecha, na secção de meio vão de uma viga."

"É o deslocamento vertical intencional aplicado nas vigotas pré-fabricadas durante a

montagem das mesmas, por meio do escoramento, contrário ao sentido da flecha."

3.2. Módulo de Elasticidade dos Materiais

É uma grandeza proporcional à rigidez de um material quando este é submetido a uma

tensão externa de tração ou compressão. Basicamente, é a razão entre a tensão aplicada e a

deformação sofrida pelo corpo, quando o comportamento é linear, como mostra a equação E=δ/ε,

em que:

E= Módulo de elasticidade ou módulo de Young (Pascal)

δ= Tensão aplicada (Pascal)

ε= Deformação elástica longitudinal do corpo de prova (adimensional).

Imaginando-se uma borracha e um metal, e aplicando-se a mesma tensão em ambos,

verificaremos uma deformação elástica muito maior por parte da borracha comparada ao metal.

Isto mostra que o módulo de Young do metal é mais alto que o da borracha e, portanto, é

necessário aplicar uma tensão maior para que ele sofra a mesma deformação verificada na

borracha, veja figura abaixo.

13


Tabela com os módulos de elasticidade dos materiais.

Material GPa

Madeira 13.0

Aço 207 Concreto 21 Aluminio 69 Diamante 1000

Cobre 124

Vidro 65

3.3. Deslocamento de acordo o carregamento

14


4. Método de Cross

• Baseado no método dos deslocamentos

• Equação de equilíbrio de forças em torno dos nós

O Processo de Cross ou da Distribuição de Momentos consiste em obter os esforços nas

barras por equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó (o aplicado mais os de

engastamento perfeito das barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras.

Este processo foi proposto por Hardy Cross, em 1932, no artigo intitulado Analysis of

Continuous Frames by Distribuing Fixed End Moment, publicado no Proceedings of Americal

Society of Civil Engineers (Transactions). Concebidos principalmente para o cálculo de sistemas

de nós fixos cujos nós estão submetidos unicamente a rotações, o método foi generalizado para

os sistemas de nós deslocáveis, ou seja, que podem sofrem translações.

4.1. Princípios do Processo

O processo desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução

por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da

estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação. Depois da aplicação das

cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado

é bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos

nós não provoque mais rotações. Isto significa que o estado de equilíbrio foi atingido.

Segundo Cross, a ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas

resume-se em simples operações aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de

Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três problemas: a determinação dos

momentos de engastamento perfeito, da rigidez de cada viga e do fator de distribuição de carga

de cada membro da estrutura em consideração.

Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado

que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito

nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição.

Para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito

desequilibrados entre os membros conectados na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o

momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de carga.

Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos

transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. Somam-se todos os momentos

15


das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. Para uma

estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de um nó, a solução é aproximada

(Processo Iterativo).

4.1.1. Momentos de Engastamento Perfeito

Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados em

tabelas. O anexo B apresenta a expressão de alguns momentos de engastamento em função do

carregamento e do tipo de vinculação das barras.

4.2. Rigidez das Barras e Coeficientes de Transmissão

A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento aplicado nesse nó capaz de

provocar um giro unitário neste nó.

4.2.1. Barra bi-engastada

A rigidez da barra bi-engastada (Figura 1b) é dado por �!"#

$, o qual equivale ao

momento que surge no nó A devido ao giro unitário desse mesmo nó.

O giro unitário do nó A produz o aparecimento de um momento no nó B de mesmo

sentido da rotação em A (Figura 1b). Desta forma, o coeficiente de transmissão de um momento

de um nó para outro nó engastado, supondo a barra com inércia constante, é definido como

sendo a relação sendo MB e MA os momentos nas extremidades B e A da barra,

devido ao giro unitário na extremidade A.

(a) Viga (b) Momentos devidos ao giro unitário em A Figura 1: Viga bi-engastada

4.2.2. Barra engastada-rotulada

(a) Viga (b) Momento devido ao giro unitário em A Figura 2: Viga engastada-rotulada

16


4.3. Convenção de Sinais

Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado

positivo o momento que atua no nó no sentido horário (mantendo a convenção de esforço

positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário).

(a) No nó e na barra (b) Momentos de engastamento perfeito Figura 3: Convenção de momentos positivos

4.4. Coeficientes de Distribuição

Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na Figura 4. O único grau de liberdade da

estrutura é a rotação (ϕ) do nó A.

Figura 4: Pórtico plano indeslocável

Devido à atuação do binário M (Figura 5a), as barras irão se deformar e os esforços

internos nas extremidades das mesmas serão proporcional à rigidez das mesmas e à rotação

sofrida pelo nó A (Figura 5b).

Figura 5: Pórtico sujeito a um binário M

No nó, estes momentos atuam com o sentido inverso pois representam os esforços das

barras sobre o nó (Figura 6). Para que haja equilíbrio deve-se ter ∑MA=0.

k1 φ + k2 φ + k3 φ −M = 0 ou (k1 + k2 + k3 )⋅ φ = M ou ∑ ki φ = M

Figura 6: Momentos atuando no nó A da Figura 4-5b.

17


Como M e ki são conhecidos, logo obtém-se o valor da rotação φ em A.

Os momentos nas extremidades dos elementos são determinados por:

Donde podemos concluir que um binário aplicado no nó irá se distribuir pelas barras que

concorrem neste nó proporcionalmente à rigidez de cada uma das barras deste nó.

Chama-se de coeficiente de distribuição (βi), da barra i, a relação

Já foram introduzidos todos os conceitos necessários à utilização do processo de Cross.

No caso de existirem cargas atuando ao longo das barras, os esforços de engastamento perfeito

devem ser levados em conta no equilíbrio dos nós.

4.5. Método de Cross: Exercícios

Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo.

Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços

solicitantes.

1)

18


2)

19


3)

20


Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Os

trechos têm inércias, EI, distintas. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.

4)

5)

21


6)

Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo.

Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços

solicitantes.

7)

22


8)

9)

23


10)

24


11)

25


12)

26


4.6. Método de Cross: Exemplo

Figura 8.6 – Viga contínua com duas deslocabilidades.

Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 8.12.

Os cálculos destes coeficientes para o primeiro nó são:

&'( �

)"#

*)"#

*+

!"#

,

� 0,36 � &'( �

!"#

,)"#

*+

!"#

,

� 0,64

Para o segundo nó, tem-se:

&2' � &23 �

!"#

,!"#

,+

!"#

,

� 0,50

Figura 8.12 – Processo de Cross para a viga contínua da Figura 8.6 (momentos em kNm).

O processo mostrado na Figura 8.12 inicia no Estágio 0, que corresponde a uma situação

de engastamento perfeito. Observa-se que existe desequilíbrio de:

–64,0 + 114,0 = +50,0 kNm

No primeiro nó. O segundo nó tem um desequilíbrio de:

–114,0 + 84,0 = –30,0 kNm.

No Estágio 1, o primeiro nó é equilibrado. No caso geral de uma estrutura com várias

deslocabilidades, não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós: qualquer nó

27


desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado. Entretanto, o processo converge mais

rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele

instante for o nó a ser equilibrado. . O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas

equilibrantes:

– (+50,0) ⋅0,36 = –18,0 kNm;

– (+50,0) ⋅0,64 = –32,0 kNm.

Conforme está mostrado na Figura 8.12, após o equilíbrio do nó as parcelas equilibrantes

são sublinhadas para indicar que os momentos fletores acima naquele nó estão em equilíbrio

(somados dão um valor nulo). O equilíbrio desse nó não transmite momento fletor para a

esquerda pois a extremidade oposta da barra à esquerda é articulada. A parcela transmitida para a

direita é igual à metade da parcela equilibrante (t = 1/2):

–32,0 ⋅1/2 = –16,0 kNm.

Esta parcela transmitida vai se somar ao momento fletor na seção à esquerda do segundo

nó. Como este nó ainda não foi equilibrado, o seu desequilíbrio total agora é:

–114,0 + 84,0 – 16,0 = –46,0 kNm.

No Estágio 2, o equilíbrio do segundo nó resulta em parcelas equilibrantes iguais (as

parcelas aparecem sublinhadas na Figura 8.12):

–(–46,0) ⋅0,50 = +23,0 kNm.

As parcelas transmitidas nesse equilíbrio são iguais também:

+23,0 ⋅1/2 = +11,5 kNm.

A parcela transmitida para a direita vai para a seção do engaste. A única consequência é

que esta parcela se soma ao momento fletor inicial na seção do engaste (que absorve qualquer

valor de momento fletor). A parcela transmitida para a esquerda, por sua vez, desequilibra o

primeiro nó já equilibrado. Não tem problema: é só começar um novo ciclo de equilíbrio nodal,

iterando até convergir. O desequilíbrio de +11,5 kNm no primeiro nó é equilibrado no Estágio 3.

As parcelas equilibrantes são:

– (+11,5) ⋅0,36 = –4,1 kNm;

– (+11,5) ⋅0,64 = –7,4 kNm.

Estes valores foram aproximados de tal maneira que, utilizando uma casa decimal,

resultasse em uma soma exatamente igual a –11,5 kNm, dessa forma forçando o equilíbrio de

momentos fletores dentro da precisão desejada.

Observa-se que um procedimento semelhante é feito no Estágio 4, que equilibra a parcela

transmitida de –3,7 kNm. Os valores das parcelas equilibrantes de +1,9 kNm e +1,8 kNm foram

obtidos de maneira a somar exatamente +3,7 kNm, mesmo que em princípio eles devessem ser

28


iguais (os dois coeficientes de distribuição de momento no nó são iguais a 0,50). Com esse

procedimento, os momentos fletores finais do processo vão satisfazer o equilíbrio com o número

de casas decimais especificados para precisão.

No Estágio 4 as parcelas transmitidas para a esquerda e para a direita são iguais (+0,9

kNm). Como se está utilizando apenas uma casa decimal para representar os valores de

momentos, o arredondamento da metade de +1,9 kNm poderia ter sido para cima ou para baixo.

Optou-se por arredondar para baixo pois isso vai fazer o processo iterativo convergir mais

rapidamente. Observe que as diferenças de valores são muito pequenas (da ordem da precisão

especificada).

No último estágio (Estágio 6) ocorre o mesmo que no Estágio 4. As parcelas

equilibrantes de +0,1 kNm e +0,2 kNm não são iguais, mas equilibram o momento

desequilibrante de –0,3 kNm com uma casa decimal. Neste estágio, a parcela transmitida para a

esquerda (metade de +0,1 kNm) foi arredondada para um valor nulo. Dessa forma o primeiro nó

permaneceu em equilíbrio e o processo termina. Deve-se observar que as parcelas transmitidas

sempre decrescem em módulo, o que garante a convergência do processo iterativo. Isso se deve a

dois motivos. Primeiro, as parcelas equilibrantes decrescem em módulo em relação ao momento

desequilibrante em cada nó pois os coeficientes de distribuição de momento são no máximo

iguais a uma unidade (em geral, menores do que uma unidade). Segundo, porque os coeficientes

de transmissão de momento também são menores do que uma unidade.

Os valores dos momentos finais nas extremidades de todas as barras, mostrados no final

da tabela da Figura 8.12, são determinados com base no acúmulo (soma com sinal) dos

momentos fletores de todos os estágios do processo. O diagrama de momentos fletores na viga

contínua é mostrado na Figura 8.13 desenhado do lado da fibra tracionada.

Figura 8.13 – Diagrama de momentos fletores da viga contínua da Figura 8.6.

29


5. Método dos Deslocamentos

Neste método determinam-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, a partir

destes, os esforços; as incógnitas são os deslocamentos.

O método pode ser usado para analisar qualquer estrutura, isostática ou hiperestática. A

única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a viga bi-engastada.

No caso de estruturas reticuladas, que são formadas por barras ligadas por pontos nodais

denominados “nós”, o número de incógnitas será o número de deslocamentos nodais ou o

número total de “graus de liberdade” (GL) de todos os nós da estrutura.

Define-se grau de liberdade de um nó a direção possível deste se deslocar. No caso de

estruturas planas, no plano XY (Figura 1a), existem três direções possíveis de deslocamento para

cada nó: translação paralela ao eixo X; translação paralela ao eixo Y e rotação em torno do eixo

Z (Figura 1b).

Em uma extremidade livre, assim como numa extremidade ligada a um vínculo, também

existe um nó.

(a) Sistema de referência (b) Direções possíveis de deslocamento Figura 1: Sistema de referência e direções possíveis de deslocamento

No caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá

apenas 2GL: translação paralela ao eixo Y (1) e rotação em torno do eixo Z (2) (Figura 2).

Figura 2: Graus de liberdade de uma viga

Quando existirem forças horizontais aplicadas nas vigas, estas serão modeladas como

pórtico plano.

O método consiste em inicialmente fixar a estrutura, introduzindo-se vínculos fictícios,

tornando a estrutura cinematicamente determinada, com grau de hiperestaticidade maior do que a

estrutura real, porém, mais fácil de se resolver. Consideram-se as cargas aplicadas nas barras e

calculam-se os esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa (sistema principal).

Impõem-se em seguida os deslocamentos nos nós e calculam-se os esforços decorrentes

destes na estrutura. Por superposição de efeitos calculam-se os esforços totais que devem estar

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em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós. Chega-se a um sistema de equações de

equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura.

Para estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de

todos os nós. É por isto que este método é mais conveniente para utilização em programas

computacionais de que o Método das Forças.

Exemplo - Viga engastada-apoiada

Seja a viga engastada-apoiada de rigidez à flexão EI mostrada na Figura 4a. Esta viga

apresenta apenas um grau de liberdade, a rotação em B (θB) (Figura 4b). As vigas de maneira

geral apresentam 2 graus de liberdade por nó.

(a) Viga engastada-apoiada (b) Deformada da viga engastada-apoiada Figura 4: Viga engastada-apoiada e sua deformada

Primeiramente fixa-se a estrutura e calculam-se os esforços de engastamento perfeito.

Calcula-se, para a estrutura fixa, o esforço (momento) que surge na barra na direção do GL

devido ao carregamento externo (Figura 5).

Figura 5: Esforços devidos ao carregamento externo

Em seguida, impõe-se o deslocamento θB no nó e calculam-se os esforços

correspondentes. Como na verdade a estrutura não é fixa, o nó B sofre um deslocamento θB.

Impõe-se este deslocamento no nó e calcula-se o esforço correspondente na barra, na direção do

GL (Figura 6). Este esforço será proporcional ao deslocamento imposto (θB), proporcionalidade

está dada pelo coeficiente de rigidez da barra (4EI /l).

Figura 6: Esforço devido ao deslocamento θB imposto

31


-1

= .

Finalmente efetua-se o equilíbrio de forças em torno do nó B. Por superposição de efeitos

calcula-se o esforço total na extremidade da barra e iguala-se à força (momento) aplicada no nó

Resolvendo-se esta equação, cuja incógnita é θB, obtém-se:

De uma maneira geral, pode-se escrever a equação de equilíbrio de forças:

Sendo FEP o esforço de engastamento perfeito; S o coeficiente de rigidez; d o

deslocamento e A a ação (força ou binário) aplicada no nó.

Para sistematizar o Método dos Deslocamentos, ao invés de se impor os deslocamentos

reais, impõem-se deslocamentos unitários na direção dos GL. Para d1 = 1 tem-se

(Figura 7). Logo, para d1 = θB tem-se ou MB =S11.θB = S11.d1, onde S11

representa o esforço na barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1.

Figura 7: Esforço na barra causado por um deslocamento unitário

De uma maneira geral, tem-se para um grau de liberdade a seguinte equação de equilíbrio

de forças na direção 1:

Para muitos graus de liberdade encontra-se um sistema de equações de equilíbrio de

forças:

Onde {FEP} é o vetor de esforços de engastamento perfeito; [S] é a matriz de rigidez da

estrutura; {D} é o vetor de deslocamentos nodais e {A} é o vetor de ações nodais. Cada

coeficiente Sij da matriz de rigidez (onde: i = efeito, j = causa), representa o esforço na barra na

direção ou GL i, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de liberdade j.

Δ1 β11 β12 β10

Δ2 β21 β22 β20

32


5.1. Tabelas

33


34


5.2. Método dos deslocamentos: Exercícios

1. Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas

abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de

esforços solicitantes.

a)

b)

35


c)

2. Utilize o Método dos deslocamentos e o método de Cross para encontrar as reações de

apoio das vigas abaixo. Os trechos têm inércias, EI, distintas. Trace, também, os

diagramas de esforços solicitantes.

a)

36


b)

c)

37


3. Utilize o Método dos deslocamentos e o método de Cross para encontrar as

reações de apoio das vigas abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace,

também, os diagramas de esforços solicitantes.

a) b)

38


c)

d)

39


e)

f)

40


6. Método das Forças

A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática

é somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não

satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para a superposição

restabelecer as condições de compatibilidade.

Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoladamente todas as

condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam reestabelecidas quando se

superpõem todos os casos básicos.

A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura

isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. Essa estrutura

isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos

liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos.

6a) O Método das Forças propriamente

Seja a estrutura abaixo, 3 (três) vezes hiperestática que desejamos resolver:

6a2) Forma Principal

6a3) Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos

6a4) Equações de Compatibilidade

O giro em A deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste)

O giro em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste)

O deslocamento horizontal em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de

terceira espécie (engaste)

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Assim possuímos um sistema de 3 (três) equações e com 3(três) incógnitas, que pode ser

resolvido por qualquer processo.

Os deslocamentos são os deslocamentos em uma estrutura isostática onde:

Reescrevendo o sistema de equações de forma matricial teremos:

3a5) Cálculo das solicitações finais que podem ser obtidas pelo Princípio da Superposição de Efeitos.

Matriz de Flexibilidade

Vetor de incógnitas

Vetor de Termos Independentes

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Anexo A

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Anexo B

teoria das estruturas - tallesmello.com.br · resume-se em simples operações aritméticas, o que...

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