TEOREMA DE MORLEY: O QUE OS TRINGULOS AINDA PODEM NOS REVELAR

Daniel Cordeiro de Morais Filho, UFCG Arthur Cavalcante Cunha, UFCG

Amauri da Silva Barros, UFAL

Nvel Intermedirio INTRODUO

Problemas de Geometria sempre encantaram os admiradores da Matemtica. Como

a Geometria uma das mais antigas manifestaes matemticas da humanidade,

era de se esperar, h alguns sculos atrs, que os mais importantes resultados sobre

tringulos j tivessem sido descobertos e estabelecidos. Mas isso no verdade. No

comeo do sculo passado ainda se estava descobrindo resultados envolvendo

tringulos, e sobre um desses belos resultados que falaremos neste artigo.

O PROBLEMA

Como sabemos, as bissetrizes de um tringulo qualquer, semirretas que dividem os

ngulos internos em dois ngulos congruentes, se intersectam em um ponto

chamado incentro. Esse ponto tem a interessante propriedade de ser o centro de

uma circunferncia inscrita no tringulo. O famoso matemtico grego Euclides

(c.325 a.C-c.365 a.C.) provou esse resultado no Livro IV dos seus Elementos

(Proposio 4), h pelo menos 24 sculos!

Nessa direo, a histria guardou uma pergunta bem natural que parece no ter sido

feita ao longo dos sculos: e se dividirmos os ngulos internos de um tringulo em

trs partes iguais? Encontraremos algum resultado tambm interessante? Vejamos.

As duas semirretas que dividem um ngulo interno de um tringulo em trs ngulos

congruentes chamam-se trissetrizes. As trissetrizes de um tringulo geram seis

pontos de interseo. H alguma propriedade interessante que envolve esses

pontos? Para ver o que ocorre, preciso distinguir um pouco mais essas

trissetrizes. Diremos que duas trissetrizes so adjacentes quando partem de vrtices

opostos pertencentes a um mesmo lado do tringulo e formam o menor ngulo que

uma trissetriz pode formar com esse lado.

Una os pontos de interseo das trissetrizes adjacentes de um tringulo qualquer.

Voc obter um tringulo. Observe melhor, mais do que isso, voc descobrir um

resultado surpreendente: o tringulo obtido sempre um tringulo eqiltero! Vide

figura a seguir.

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Figura 1: O Tringulo equiltero DEF chamado Tringulo de Morley.

Esse o Teorema de Frank Morley (1860-1937), matemtico anglo-americano,

presidente da American Mathematical Society no binio 1919-1920, que provou

esse teorema no final do Sculo XIX (vide uma pequena bibliografia de Morley em

[1]). Na verdade, a demonstrao do teorema como conhecido hoje s foi publicada

em 1929 ([2]).

O enunciado do teorema o seguinte:

Teorema de Morley: Em um tringulo qualquer, a unio dos pontos de interseo das

trissetrizes adjacentes forma um tringulo equiltero.

Uma animao do teorema pode ser vista em [3].

Porque esse problema importante

Bem, alm de ser um belo resultado, esse problema envolve um dos antigos

problemas famosos da Matemtica, que a trisseco de um ngulo em trs

ngulos congruentes. Saber se possvel fazer isso para qualquer ngulo usando

apenas rgua e compasso um problema famoso, que levou 20 sculos para ser

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resolvido, e a soluo negativa (vide [4]): no possvel, em geral, trissectar

ngulos com rgua e compasso. Por essa razo, talvez os resultados envolvendo

trisseco de ngulos tenham sido considerados desinteressantes, e velado o

teorema at ser descoberto e provado apenas no comeo do sculo XX. Mas,

convenhamos, na prtica, ningum precisa trissectar um ngulo para descobrir ou

provar o Teorema de Morley!

Em segundo lugar, das demonstraes possveis desse teorema (e h vrias, dos

mais variados gostos, e algumas at bem modernas. Vide [5].) optamos pela que

usasse certos resultados vistos na Trigonometria, que s vezes so apenas

memorizados pelos estudantes do Ensino Mdio. Na maioria das vezes, esses

resultados so apenas apresentados sem qualquer aplicao de destaque que

merecesse estud-los. Nossa demonstrao tambm fornece a oportunidade de usar

algumas identidades trigonomtricas como as que transformam produtos em soma,

bem como uma aplicao das Leis dos Senos e dos Cossenos em um nico

problema.

Demonstrao do Teorema de Morley

Consideremos o tringulo ABC, da Figura 1, com ngulos internos ,a BAC

b ABC e .c ACB Consideremos tambm o tringulo ,DEF formado pela

interseo das trissetrizes adjacentes relativas a esses ngulos.

A ideia dessa demonstrao calcular os comprimentos dos lados do

tringulo ,DEF mostrando que so iguais. Como usaremos a Lei dos Senos, seja

R o raio da circunferncia inscrita ao tringulo .ABC Vamos mostrar que

8 sen sen sen .3 3 3

a b cDE EF FD R

Iremos usar as seguintes identidades trigonomtricas:

1. 2

sen 4sen sen sen3 3 3

x x xx

2. 21

sen 1 cos 22

x x

3. 1

sen sen = cos cos2

x y x y x y

4. 2 2

cos cos cos cos3 3 3 3

a b c c c

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4

5. 1

cos cos cos cos2 2 2

x y x yx y

Pela Lei dos Senos aplicada ao tringulo ABC, e pela identidade (1) temos

26. 2 8 sen sen sen .

sen 3 3 3

BC a a aR BC R

a

Considere agora o tringulo BDC. As medidas de seus ngulos internos so:

,3 3

b cCBD BCD e

23 2.

3 3 3 3 3

b cb c b c aBDC

Agora, aplicando a Lei dos Senos ao tringulo BDC e usando a igualdade (6)

obtemos:

3

2 23 3 3

sen

sen sen sen

b

a b a

BCBC CDCD

2

3 3 3 3

23

8 sen sen sen sen

sen

a a a b

a

RCD

7. 8 sen sen sen .3 3 3

a b aCD R

Fazendo o mesmo para o tringulo ACE, resulta em

8. 8 sen sen sen .3 3 3

a b bCE R

Para encontrar o comprimento do lado DE, usaremos a Lei dos Cossenos ao

tringulo CDE, e por (7) e (8):

2 2 2 2 cos3

cDE CD CE CD CE

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5

2 2 2 2 2 29. 64 sen sen sen sen 2sen sen cos .3 3 3 3 3 3 3

a b a b a b cDE R

Para simplificar a escrita, chamemos

= 8 sen sen ,3 3

a bM R donde

2 2 2 2= 64 sen sen .3 3

a bM R

De (2) e (3), segue da expresso (9) que

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2= 1 cos 1 cos 2 cos cos cos .2 3 2 3 2 3 3 3

a b a b a b cDE M

De (4) e (5), obtemos

2 2 1 2 2 2 2= 1 1 cos cos cos cos cos cos2 3 3 3 3 3 3

a b a b c c cDE M

2 2 2 2 2 2= 1 cos cos cos cos cos 1 cos .3 3 3 3 3 3 3

c a b a b c c c cM M M sen

Logo,

= sen =8R sen sen sen .3 3 3 3

c a b cDE M

Se fizermos o mesmo procedimento para os tringulos BDF e AFE, encontraremos

que o comprimento dos lados DF e EF do tringulo DEF tambm dado por

= = 8R sen sen sen .3 3 3

a b cDF EF

Portanto, como DE, DF e EF so iguais, o tringulo DEF equiltero. Como

queramos demonstrar.

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Concluso

Em [3] pode-se encontrar 23 demonstraes desse teorema. Nossa demonstrao

baseia-se no artigo [5], onde pode ser encontrado um detalhado histrico desse

teorema, que parece ter cado no gosto de muitos. Enfim, ficar famoso por provar,

em pleno Sculo XX, um teorema da Geometria Elementar um fato que muitos

gostariam de ter tido o privilgio de que ocorresse com eles. Coisas da Histria,

coisas da Matemtica...

BIBLIOGRAFIA

[1] http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/morley.html

[2] American Journal of Mathematics, F. Morley, 51 (1929), pp. 465-472.

[3] http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml

[4] Gonalves, Adilson; Introduo lgebra, IMPA (1999).

[5] Cletus O. Oakley e Justine Davis, The Morley Trisector Theorem, Amer. Math Monthly

(1978), p. 737-745.O artigo pode ser encontrado na pgina

http://www.haverford.edu/math/cgreene/399/morley/morley.pdf.