teorema do valor médio e aplicaçõesdspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/13443/1/pdf -...

Universidade Estadual da Paraíba

Centro de Ciências Humanas e Exatas

Curso de Licenciatura em Matemática

Paula Maria Gomes da Silva

Teorema do Valor Médio e Aplicações

Monteiro - PB

2017

Paula Maria Gomes da Silva

Teorema do Valor Médio e Aplicações

Trabalho de Conclusão do Curso apresentadoao Centro de Ciências Humanas e Exatas daUniversidade Estadual da Paraíba, em cum-primento às exigências legais para a obtençãodo título de Graduado no Curso de Licencia-tura Plena em Matemática.

Orientador: Prof. Me. Luciano dos Santos Ferreira

Monteiro - PB

2017

É expressamente proibida a comercialização deste documento, tanto na forma impressa como eletrônica.Sua reprodução total ou parcial é permitida exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, desde que nareprodução figure a identificação do autor, título, instituição e ano da dissertação.

Teorema do valor médio e aplicações [manuscrito] / PaulaMaria Gomes da Silva. - 2017. 47 p. : il. color.

Digitado. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação emMATEMÁTICA) - Universidade Estadual da Paraíba, Centro deCiências Humanas e Exatas, 2017. "Orientação: Prof. Me. Luciano dos Santos Ferreira,Departamento de MATEMÁTICA".

S856t Silva, Paula Maria Gomes da.

21. ed. CDD 515.33

1.Teorema do Valor Médio. 2. Cálculo diferencial. 3.Cálculo integral. I. Título.

Este trabalho é dedicado aos meus pais Francisco Flor e Luiza Gomes pela força e apoio

que me proporcionaram durante toda esta longa caminhada.

Agradecimentos

A Deus por ter me dado força para superar todas as dificuldades e conseguir realizar

meu sonho.

Aos meus pais, a minha avó e meus irmãos por todo o amor que me deram, além

da educação, ensinamentos e apoio.

Ao meu orientador Luciano dos Santos, por todo o tempo que dedicou a me ajudar

durante o processo de realização deste trabalho.

A esta instituição (UEPB) e todo seu corpo docente, além da direção e administração

que sempre me acolheram dando condições necessárias para que eu alcançasse meus

objetivos.

Agradeço aos meus amigos, por confiarem em mim e estarem do meu lado em todos

os momentos da vida.

E enfim, a todos que contribuíram para a realização deste trabalho, fica registrado

aqui, o meu muito obrigado!

”Se fracassar, ao menos que fracasse

ousando grandes feitos, de modo que a sua

postura não seja nunca a dessas almas

frias e tímidas que não conhecem nem

a vitória nem a derrota.”

(Theodore Roosevelt)

Resumo

É perceptível que desde a antiguidade a matemática encontra-se presente em diversas

áreas sociais do conhecimento humano. O cálculo, um dos ramos dessa ciência, possui

como principais precursores os matemáticos Isaac Newton e Leibniz que no século XVII

trouxeram grandes avanços para o universo da matemática, contribuindo principalmente

para a criação do cálculo diferencial e integral. Além desses matemáticos, podemos destacar

a grande contribuição de outros matemáticos, dentre eles Cauchy e Lagrange. No presente

trabalho temos como objetivo estudar o Teorema do Valor Médio e apresentar algumas

aplicações. Faz-se necessário o estudo breve de conhecimento sobre: sequências, limite,

funções, derivadas, entre outros. O estudo do Teorema do Valor Médio é de grande

relevância, pois esse é tido como peça fundamental para a obtenção do desfecho de outros

resultados.

Palavras-chave: Teorema do Valor Médio. Cálculo. Aplicações.

Abstract

It is noticeable that from ancient times mathematics is present in several social areas of

human knowledge. The calculus, one of the branches of this science, has as main precursors

the mathematicians Isaac Newton and Leibniz who in the seventeenth century brought

great advances to the universe of mathematics, contributing mainly to the creation of

differential and integral calculus. Besides these mathematicians, we can highlight the great

contribution of other mathematicians, among them Cauchy and Lagrange. In the present

work we aim to study the Theorem of Average Value and present some applications. It

is necessary the brief study of knowledge about: sequences, limits, functions, derivatives,

among others. The study of the Theorem of Average Value is of great relevance, since this

is considered as fundamental piece to obtain the outcome of other results.

Key-words: Theorem of the Average Value. Calculation. Applications

Lista de ilustrações

Figura 1 – Augustin-Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Figura 2 – Joseph-Louis Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Figura 3 – Gráfico 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 4 – Gráfico 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 5 – Gráfico 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 6 – Gráfico 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 7 – Gráfico 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 HISTÓRIA DO CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 O Nascimento do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 História do Cálculo Diferencial e Integral . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUN-

ÇÕES CONTÍNUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Sequências e subsequências de números reais . . . . . . . . . . 18

3.2 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Ponto de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Limites de funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Funções Contínuas em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1 Aplicações do Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1 Consequências do Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . 41

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11

1 INTRODUÇÃO

A matemática é uma ciência que encontra-se intimamente ligada ao cotidiano

humano, desde os tempos mais remotos até os dias atuais, despertando o interesse de

muitos estudiosos da área. Por ser uma ciência do conhecimento muito ampla subdivide-se

em áreas, o cálculo é uma dessas áreas na qual iremos relatar de forma breve como nasceu.

Para isso partiremos do contexto histórico do seu surgimento, abordando os seus principais

percussores e as suas contribuições. Os matemáticos Isaac Newton e Leibniz no século XVII

trouxeram grandes avanços para o universo da matemática, contribuindo principalmente

para a criação do cálculo diferencial e integral. Além desses matemáticos, podemos destacar

a grande contribuição de outros, dentre eles Cauchy e Lagrange.

Tomando por base os postulados destes teóricos iremos nos deter no estudo do

Teorema do Valor Médio, bem como as suas aplicações. Para chegar a sua aplicação prática,

partiremos de conceitos importantes para que o nosso leitor conheça um pouco sobre

as definições que irão ser apresentadas neste trabalho, como sequências, limite, funções,

derivadas, entre outros.

O presente trabalho encontra-se dividido em quatro capítulos, no primeiro aborda-

mos a história do cálculo, desde o seu surgimento até as aplicações atuais, apresentando o

contexto histórico, bem como as contribuições de seus principais percussores. O segundo

capítulo encontra-se subdividido em seis tópicos nos quais abordamos conceitos como:

sequências e subsequências de números reais, limite de uma sequência, ponto de acumu-

lação, limites de funções reais, funções contínuas e funções contínuas em intervalos. O

terceiro capítulo aborda as derivadas, subdividindo-se em quatro tópicos, e por fim no

quarto capítulo trazemos o teorema do valor médio com algumas de suas aplicações.

Pesquisas como estas são de fundamentais importância na área acadêmica, pois

percebe-se que na Academia são utilizadas muitas fórmulas e teorias matemáticas, sem

que haja na maioria das vezes preocupação com o que há por trás do surgimentos de tais

resultados. O estudo do Teorema do Valor Médio é de grande relevância, pois esse é tido

como peça fundamental para a obtenção do desfecho de outros resultados.

12

2 HISTÓRIA DO CÁLCULO

Neste capítulo iremos apresentar notas históricas a respeito do nascimento do

cálculo abordando alguns dos matemáticos que contribuiram para esse feito matemático.

Essa abordagem serve para contribuir como se deu esse processo e como cada teórico

elaborou seus trabalhos para intensificar a discussão acerca do cálculo.

2.1 O Nascimento do Cálculo

A Matemática é uma ciência que desde a antiguidade encontra-se presente nas

atividades sociais como forma de facilitar o desenvolvimento de tarefas, desde as mais

básicas como contar objetos, até as mais complexas como, por exemplo, sua presença

no âmbito da construção civil, da astronomia, da medicina e da computação. Dessa

maneira, é notável que seu progresso esteja intimamente ligado aos avanços da sociedade,

pois a medida em que novas tecnologias vão sendo criadas faz-se necessário o auxilio da

matemática para colocá-las em prática.

O Cálculo encontra-se presente em diversos ramos da Matemática, o seu desenvol-

vimento ocorreu de maneira gradual fazendo-se presente desde o século XVII nas obras de

diversos matemáticos, tendo como principais percursores Isaac Newton e Leibniz.

Newton nasceu na Inglaterra em 1642 enquanto jovem não se destacou por seus

estudos, tendo demonstrado certo grau de dificuldade nas questões de geometria no seu

exame de ingresso na Universidade de Cambridge. Após concluir a sua graduação, a

universidade na qual Newton estudava fechou devido um surto de peste, foi nesse período

de dois anos em que o matemático desenvolveu as suas principais ideias que até hoje são

explorados na área da Gravitação, Ótica e Cálculo.

Em uma monografia de 1669, que só circulou entre seus amigos e alunos(apenas em 1711 foi publicada), Newton expôs suas primeiras ideias sobreo cálculo. Por exemplo, usando a expansão generalizada de (x + a)p,resultado que obtivera anteriormente (salvo quando p é inteiro positivoa expansão é infinita), mostrou que a área sob a curva z = ax

p(p ∈ Q) éy = pax

p−1 (derivada de z, na terminologia moderna). Vice-versa, a áreasob a curva y = pax

p−1 é z = axp. Tudo indica que esta foi a primeira

vez na história da matemática que uma área foi obtida pelo processoinverso da derivação. Este resultado contém, em gérmen, a essência docálculo. (IEZZI, 2006, p.113)

O primeiro documento de Newton abordando o Cálculo foi um manuscrito prova-

velmente de 1666, que teve pouca circulação, tanto na época em que foi publicado, quanto

após sua morte. (ÁVILA, 1999, p.137)

Capítulo 2. HISTÓRIA DO CÁLCULO 13

O teórico Gottfried Wilhelm Leibniz cresceu em um contexto familiar completa-

mente diferente do de Isaac Newton, desde a infância teve a influência de seu pai e avô

que eram professores universitários. Leibniz dedicou-se a diversos ramos do conhecimento,

como direito, humanidades e filosofia, mas só passou a dedicar-se ao estudo matemático

após ser enviado para uma missão diplomática em Paris durante 4 anos. “Leibniz foi um

gênio universal. Sua obra toca praticamente todos os campos do conhecimento, dominando

a vida intelectual e exercendo influência marcante no pensamento filosófico de seu tempo

e a partir de então”. (ÁVILA, 1999, p.138)

Os estudos de Newton acerca do Cálculo são anteriores as de Leibniz, embora as

publicações dos trabalhos deste autor tenham ocorrido antes de Newton. Nessa época

surgiram rumores no cenário acadêmico de que Leibniz havia descoberto os estudos de

Newton em suas visitas a Inglaterra e publicado suas ideias, mas alguns séculos depois

pôde-se comprovar que tais alegações não eram verdadeiras.

Por algum tempo depois de Newton e Leibniz, os fundamentos do cálculopermaneceram obscuros e despercebidos, pois era a enorme aplicabilidadeda matéria o que atraia os primeiros pesquisadores. Por volta de 1700,a maior parte do cálculo que hoje se ver nos cursos de graduação já éde forma estabelecida, juntamente com tópicos mais avançados, como ocálculo de variações. O primeiro texto de cálculo foi publicado em 1696;seu autor o marquês de L’ Hospital (1661-1704) por uma acordo singular,publicou as lições que recebera que seu professor particular, JohannBernoulli. Nesse livro encontra-se a chamada regra de L’ Hospital, paradeterminar o limite de uma fração cujo numerador e cujo denominadortendem simultaneamente para zero. (EVES, 2004, p.444)

Os primeiros matemáticos que inovaram no campo do cálculo ao abordar conceitos

que ainda não haviam sido explorados, mas para desenvolver os seus pensamentos eles

buscaram inspiração em Arquimedes e Euclides “cujas obras eram então estudadas e

admiradas como modelo mais acabado de rigor, que perdurou até o início do século XIX”

(ÁVILA, 1999, p.244).

O Cálculo divide-se em duas partes que são consideradas fundamentos de grande

importância para essa área, na qual representam uma parcela relevante e rigorosa desse

ramo, são eles o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral, conceitos estes que serão abordados

no próximo item.

2.2 História do Cálculo Diferencial e Integral

Conforme abordamos na seção 2.1, o século XVII trouxe grandes avanços para o

universo da matemática, principalmente no que diz respeito ao Cálculo, com as inúmeras

contribuições de Isaac Newton e Leibniz; mas a maior contribuição que ocorreu nesse


período foi à criação do cálculo diferencial e integral; invenção destes dois matemáticos de

forma independente um do outro.

A origem do cálculo integral é bastante anterior ao diferencial, embora no mundo

acadêmico este seja apresentado primeiro que aquele. De acordo com Eves, 2004:

A ideia da integração teve origem em processos somatórios, ligados aocálculo de certas áreas e certos volumes e comprimentos. A diferenciação,criada bem mais tarde, resultou de problemas sobre tangentes a curvase de questões sobre máximos e mínimos. Mais tarde ainda, verificou-seque a integração e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo cadauma delas operação inversa da outra. (EVES, 2004, p.417).

Ambas as modalidades de cálculo, se desenvolveram a partir da Álgebra e da

Geometria, tem como foco o estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação

de quantidades. É importante ressaltar que além de Newton e Leibniz, outros estudiosos

contribuíram de maneira efetiva para o desenvolvimento do Cálculo. Dentre os quais

podemos destacar a grande contribuição de Augustin Louis Cauchy para o Cálculo, uma

vez que este inovou ao traçar o conceito de limite, que consistio na divisão formal entre o

Cálculo e a Matemática mais elementar.

Também podemos mencionar as contribuições de Bernhard Riemann, uma vez que

este estudioso dedicou-se ao cálculo integral de maneira aprofundada; os conceitos por ele

desenvolvidos são constantemente utilizados em cursos de Análise Matemática, através das

definições de soma superior e inferior. Muitos matemáticos além dos mencionados nesse

tópico contribuíram e ainda contribuem para o Cálculo Diferencial e Integral, uma vez

que suas descobertas continuam sendo aplicadas nas Ciências Naturais e Tecnologia.

Foi a partir da invenção destas duas espécies de cálculo que a matemática criativa

elevou-se a um maior patamar e a história da matemática elementar essencialmente teve

seu fim. Os conceitos destes mecanismos de cálculo tem tanta abrangência e utilização

no mundo moderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento deles

dificilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta. (EVES, 2004, p.417)

Referente ao cálculo integral é importante ressaltar que os primeiros fatos históricos

que envolvem as integrais tratam-se dos problemas de quadratura. Um dos principais

problemas enfrentados nesse período foi enfrentado pelos gregos, os quais tinham o objetivo

de encontrar o valor de uma superfície, medindo as suas áreas.

A seguir apresentaremos os matemáticos Augustin Louis Cauchy e Joseph Louis

Lagrange.


2.3 Cauchy

Augustin Louis Cauchy, Figura 1, nasceu em Paris, no dia 23 de agosto de 1789, e

faleceu em 1857, em Sceaux também na França, aos 68 anos de idade. Em uma de suas

últimas conversas ele proferiu a seguinte frase: “Os homens passam, mas suas realizações

perduram”. Cauchy estudou em boas escolas, seus pais eram muito instruídos, em sua

época de estudos acadêmicos resolveu alguns problemas matemáticos.

Figura 1 – Augustin-Louis Cauchy

Fonte: disponível em https://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy.

Esse teórico teve uma vasta produção no ramo da matemática, seus escritos foram

reunidos em diversos livros, bem como em cerca de 789 artigos científicos. “As numerosas

contribuições de Cauchy à matemática avançada incluem pesquisas em convergência e

divergência de séries infinitas, teoria das funções reais e complexas, equações diferenciais,

determinantes, probabilidade e física- matemática” (EVES, 2004, p.531) Em seus escritos

Cauchy deteve-se tanto ao campo da matemática pura quanto da matemática aplicada.

2.4 Lagrange

Joseph Louis Lagrange, Figura 2, nasceu em 25 de janeiro de 1736, em Turim

na Itália e faleceu em 10 de abril de 1813, em Paris. Filho de uma família abastada e

bem instruída, foi o primeiro dos onze irmãos a alcançar a idade adulta. A sua formação

acadêmica e o início da sua carreira profissional ocorreu na sua cidade natal, onde viveu


durante 30 anos, Lagrange formou em Turim, e foi professor na Escola de Artilharia, foi

também nesta cidade onde seus primeiros trabalhos foram publicados, bem como onde

fundou a Academia de Ciências.

Não mostrou gosto pela matemática até ler, com dezessete anos deidade, um trabalho de Edmund Halley sobre o uso da álgebra na óptica(1693). Sozinho e sem ajuda entregou-se aos estudos na matemática,estabelecendo correspondência, aos dezoito anos de idade, com Euler eGiulio di Fagnano (1682 - 1766; matemático italiano). Ao final de umano de trabalho árduo e constante tornou-se professor, ainda bem jovem,na academia militar local. (SANCHEZ, 2007, p.4 )

Figura 2 – Joseph-Louis Lagrange

Fonte: disponível em https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange

Um dos primeiros trabalhos de Lagrange foi uma carta enviada a Euler, na qual

ele lhe encaminhou a resolução de um problema matemático denominado isoperimetral,

tal problema já vinha sendo discutido por inúmeros matemáticos da época há mais de

meio século. Tal ousadia e habilidade despertaram o interesse de Euler, que percebeu a

capacidade deste “novo” matemático.

Antes da resolução apresentado por Lagrange, Euler já havia declarado que não

estava conseguindo resolver tal problema de forma puramente analítica, ficando bastante

surpreso pela capacidade de um rapaz 30 anos mais jovem que ele conseguir. Esse feito

colocou Lagrange em posição de prestígio entre os matemáticos que viriam a seguir.

Ele ocupa lugar de destaque entre os maiores matemáticos do século XVIII, junta-

mente com Leonhard Euler, os quais foram amigos pessoais e resolveram alguns problemas

juntos. Conforme menciona Sanchez na seguinte passagem de seu artigo:


Quando, em 1772, a Academia de Paris propôs - pela segunda vez - umprêmio para qualquer um que conseguisse apresentar uma solução para aaceleração média do movimento da Lua, Lagrange ganhou, em associaçãocom Euler. Eles não resolveram o problema, mas ganharam o prêmio comum ensaio sobre o problema de três corpos (problema este que permanecesem solução analítica até hoje) (SANCHEZ, 2007, p.4 )

Lagrange ocupou lugar de destaque na matemática e buscou inovar, diferentemente

de inúmeros estudiosos da sua época ele não buscou encontrar novas aplicações para as

teorias de Leibniz e Newton, seus objetivos eram mais ambiciosos, sua principal preocupação

era explicar de forma rigorosa o porquê e o funcionamento dos cálculos.

18

3 NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE,

FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS

Em Análise Matemática a ideia de limite ocupa uma posição de destaque. Neste

ramo da Matemática os principais conceitos ou resultados normalmente estão associados a

algum tipo de limite.

Maciel 2005, afirma que "A maneira mais simples, do ponto de vista pedagógico, de

se introduzir o conceito de limite é por meio de sequências de números reais". Passaremos

a estudar definições e resultados de limites que serão utilizados nos capítulos seguintes

do nosso trabalho. Primeiramente, iremos estudar algumas proposições importantes a

respeito de sequências e subsequências que conduzem a resultados do Teorema de Bolzano-

Weierstrass que será utilizado no decorrer do presente capítulo.

3.1 Sequências e subsequências de números reais

Uma sequência de números reias é uma função

a : N −→ R

n Ô→ a(n) = an

que a cada n ∈ N associa um número an ∈ R, chamado de termo geral ou de n-ésimo

termo da sequência. Representamos uma sequência por (an)n∈N, ou (a1, a2, ..., an...) ou

simplesmente por (an).

Exemplo 3.1. Observaremos a seguir alguns exemplos de sequências:

a) ( 1n)n∈N ou (1, 1

2, 1

3, 1

4, 1

5, ...)

b) (n)n∈N ou (1, 2, 3, 4, 5, ...)

c) (√

2)n∈N ou (√

2,√

2,√

2,√

2,√

2, ...)

d) ((−1)n)n∈N ou (−1, 1, −1, 1, −1, ...)

É importante fazer a distinção entre a notação (a1, a2, ..., an...), para a sequência

{an; n ∈ N}, para a sua imagem. Na notação, (a1, a2, ..., an...) entende-se a listagem de um

número infinito de termos, enquanto que sua imagem tanto pode ser infinita, como finita

e até mesmo ser uma conjunto unitário, como ocorre com qualquer sequência constante,

como, por exemplo, a sequencia do item c) do exemplo 2.1.

Capítulo 3. NOÇÕES DE SEQUÊNCIAS, LIMITE, FUNÇÕES E FUNÇÕES CONTÍNUAS 19

Uma subsequência de uma sequência (an) é a restrição da mesma a um subconjunto

infinito N′ = {n1 < n2 < ... < nk < ...} ⊂ N. Escrevemos (ank)k∈N ou (an1, an2

, ... ank, ...)

ou (ank) para denotar uma subsequência.

Exemplo 3.2. Considere a sequência

((−1)n)n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, ...)

e sejam P = {2, 4, 6, 8, 10, ...} o subconjunto de N formado pelos naturais pares e I =

{1, 3, 5, 7, 9, ...} o formado pelos naturais ímpares. Temos que P e I são infinitos. Para

estes subconjuntos temos as seguintes subsequências da sequência original:

((−1)n)n∈P = (1, 1, 1, 1, 1, ...)

e

((−1)n)n∈I = (−1, −1, −1, −1, −1, ...).

Observaremos que se N′ é um subconjunto próprio e infinito de N e se a : N → R é

uma sequência, então, a rigor, a subsequência a|N ′ : N′ → R não seria uma sequência uma

vez que seu domínio é N′ Ó= N. No entanto, podemos sempre considerar uma subsequência

como uma função real cujo domínio é N.

Dizemos que uma sequência é limitada superiormente quando existe M ∈ R

tal que

an ≤ M, ∀n ∈ N

e é dita limitada inferiormente quando também existe M ∈ R tal que

an ≥ M, ∀n ∈ N.

Quando (an) é simultaneamente limitada superiormente e inferiormente dizemos

que é limitada, o que é equivalente a dizer que existe M > 0 tal que

| an |≤ M, ∀n ∈ N.

Evidentemente, toda subsequência de uma sequência limitada superiormente, infe-

riormente ou os dois casos é também limitada superiormente, inferiormente ou os dois.


Uma sequência (an) é denominada não decrescente quando an ≤ an+1 para todo

n ∈ N. Quando vale a desigualdade estrita dizemos que a sequência é crescente. Analoga-

mente, define-se sequências não crescentes e sequências decrescentes. Classificamos

tais tipos de sequências como sequências monótonas.

3.2 Limite de uma Sequência

Definição 3.1. Dizemos que um número L é o limite de uma sequência (an) se, para

cada ǫ > 0, existe N(ǫ) ∈ N tal que | an − L |< ǫ para todo n ≥ N(ǫ).

Quando uma sequência (an) possui limite L dizemos que (an) converge para L,

ou é convergente para L, e denotamos tal fato simbolicamente por limn→∞ an = L, ou

lim an = L ou ainda por an −→ L.

Quando uma sequência não é convergente dizemos que é divergente.

Observação: Na definição 2.1 escrevemos N(ǫ) ∈ N para explicitar a dependência do

natural N ao número ǫ > 0 dado. No entanto, para não sobrecarregar a notação e sempre

que não houver risco de ambiguidade, escreveremos simplesmente N .

Proposição 3.1. O limite de uma sequência convergente é único.

Demonstração. Seja (an) convergente. Suponhamos, por contradição, que an −→ L e

an −→ L′ com L Ó= L′. Vamos supor, sem perda da generalidade, que L > L′. Sendo

assim, podemos tomar ǫ = L−L′

2> 0. Neste caso existiriam N1 e N2 em N tais que

| an − L |< ǫ, ∀n ≥ N1 e | an − L′ |< ǫ, ∀n ≥ N2. Agora, se n > max{N1, N2} teríamos

an ∈(

3L′ − L

2,

L + L′

2

)

∩(

L + L′

2,

3L − L′

2

)

= ∅,

o que é um absurdo.

O significado intuitivo do fato de (an) possui limite L é que, estabelecendo-se uma

margem de erro mediante um número positivo ǫ, podemos aproximar todos os termos da

sequência, a partir de N(ǫ), por L e o erro cometido com esta aproximação é menor que ǫ.

Proposição 3.2. Toda sequência convergente é limitada .

Demonstração. Seja (an) uma sequência convergente para L. Considerando ǫ = 1 temos

que existe N ∈ N tal que | an − L |< 1, para todo n ≥ N . Como

| an |=| an − L + L |≤| an − L | + | L |


então, para todo n ≥ N temos | an |< 1+ | L |. Tomemos agora

M = max{| a1 | , | a2 | , ... , | aN−1 | , 1+ | L |}

e obtemos | an |≤ M, ∀n ∈ N, demonstrando que (an) é limitada.

Proposição 3.3. Seja (an) uma subsequência convergente para L. Então toda subsequência

de (an) converge para L.

Demonstração. Sejam (ank) uma subsequência de (an). Em primeiro lugar observaremos

que, sendo n1 < n2 < n3 < ... < nk..., temos n1 ≥ 1, n2 ≥ 2, n3 ≥ 3 e, em geral nk ≥ k

para todo k ∈ N. Consideremos ǫ > 0 dado. Então existe N ∈ N tal que n > N acarreta

| an − L |< ǫ.

Em particular, para nk ≥ N temos | ank − L |< ǫ. Mas nk ≥ k para todo k ∈ N e,

portanto,

k ≥ N ⇒ nk ≥ N ⇒| an − L |< ǫ.

Em outras palavras limk→∞ an = L.

Proposição 3.4. Seja (an) uma sequência não descrescente e limitada superiormente.

Então (an) é convergente.

Demonstração. Sendo (an) uma sequência limitada superiormente então M = sup{an ; n ∈N}. Mostraremos que M é o limite de (an). De fato, dado ǫ > 0 existe n ∈ N tal que

M − ǫ < aN .

Sendo (an) não decrescente temos que n ≥ N acarreta em an ≥ aN . Como M =

sup{an ; n ∈ N} então

n ≥ N ⇒ M − ǫ < aN ≤ an ≤ M < M + ǫ,

ou seja | an − M |< ǫ, para todo n ≥ N.

A partir desse resultado, temos o seguinte corolário:

Corolário: Todo sequência monótoma e limitada é convergente.

Teorema 3.1. (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada possui uma subsequência

convergente.

Demonstração. É suficiente mostrar que toda sequência (limitada ou não) possui uma

subsequência monótona. Em seguida, usando a hipótese de a sequência ser limitada segue,


do corolário da proposição 2.4, o resultado. Para justificar que toda sequência possui

uma subsequência monótona, considere (an) uma sequência qualquer. Dizemos que um

de seu termo an é um termo destacado se am ≤ an para todo m > n. Por exemplo, uma

sequência monótona não decrescente não possui termos destacados, enquanto que para

uma sequência monótona não crescente todos os seus termos são destacados. Denotemos

por D o conjunto dos índices n tais que an é um termo destacado de (an). As possibilidades

de D são:

D é infinito. Isto é, D = {n1 < n2 < n3 < ... < nk < ...}. Neste caso, sendo an1,

destacado, am ≤ an1 para todo m > n1.

Em particular an2 ≤ an1. Do mesmo modo que am ≤ an2, para todo m > n2, em particular

an3 ≤ an2. Assim, a subsequência (an1, an2, ...ank, ...) é monótona não crescente.

D é finito. Sendo assim, seja n1 ∈ N maior que todos os elementos de D. Então an1 não

é destacado, logo podemos encontrar an2 com n2 > n1, e an2 > an1. Do mesmo modo

an2 não é destacado e podemos prosseguir construindo uma subsequência de (an) que é

monótona crescente.

D é vazio. Neste caso, como já observemos anteriormente, a própria sequência (an) é

monótona não decrescente.

Sabendo-se agora que toda sequência possui uma subsequência monótona, e as

subsequências de uma sequência limitada são também limitadas, segue o resultado.

3.3 Ponto de acumulação

Definição 3.2. Dado um subconjunto S ⊂ R, dizemos que um ponto de x0 ∈ R é um

ponto de acumulação de S se para cada C > 0 existe x ∈ S tal que 0 <| x − x0 |< C.

O conjunto dos pontos de acumulação de S é chamado de derivada de S e é denotado por

S ′.

Exemplo 3.3. Considere o seguinte conjunto:

S = {12, 2

3, 3

4, 4

5, ..., n

n+1, ...}, então o ponto x0 = 1 é um ponto de acumulação de S.

Proposição 3.5. Se x0 é um ponto de acumulação de S ⊂ R então existe uma sequência

(xn) de pontos de S, com xn Ó= x0 para todo n ⊂ N, satisfazendo limn→∞ xn = x0.

Demonstração. Como x0 é um ponto de acumulação de S então, para cada ǫ > 0 existe

x ∈ S tal que 0 <| x − x0 |< ǫ. Em particular, para cada n ∈ N existe xn ∈ S tal que

0 <| xn − x0 |< 1n.

Portanto, limn→∞ xn = x0.


Definição 3.3. Um subconjunto A de R denomina-se aberto se para cada x ∈ A existe

ǫ > 0 tal que Vǫ(x) ⊂ A.

Definição 3.4. Um subconjunto F de R é denominado fechado se seu complementar

R − F é aberto.

Proposição 3.6. Um subconjunto F ⊂ R é fechado se, e somente se, F contém todos os

seus pontos de acumulação.

Demonstração. Suponhamos que F é fechado. Mostraremos que nenhum ponto de R − F

pode ser ponto de acumulação de F . Seja x0 ∈ R − F . Sendo R − F aberto, existe ǫx0> 0

tal que V ǫx0(x0) ⊂ R − F . Neste caso Vǫx0

(x0) ∩ F = ∅. Em outras palavras, não existe

x ∈ F tal que 0 <| x − x0 |< ǫx0. Portanto, x0 não é ponto de acumulação de F .

Reciprocamente, suponhamos que F contém todos os seus pontos de acumulação. Seja x0

um ponto arbitrário de R− F . Temos, por hipótese, que x0 não é ponto de acumulação de

F . Sendo assim, existe ǫx0> 0 tal que para todo x ∈ F vale Vǫx0

(x0) ∩ F = ∅. Em outras

palavras, V ǫx0(x0) ⊂ R − F , o que mostra que R − F é aberto e, consequentemente, F é

fechado.

Os conjuntos fechados podem também ser caracterizados em termos de limites de

sequências de seus pontos, conforme estabelece a proposição seguinte.

Proposição 3.7. Uma condição necessária e suficiente para que um conjunto F ⊂ R

seja fechado é que, para qualquer sequência convergente (xn) de pontos de F tem-se

limn→∞ xn ∈ F.

Demonstração. Suponhamos que F ⊂ R é um subconjunto fechado e seja (xn) uma

sequência convergente para x ∈ R, com xn ∈ F para todo n ∈ N. Somente duas situações

pode ocorrer: ou existe n0 ∈ N tal que xn0= x, e neste caso já temos que x ∈ F , ou

então x Ó= xn para todo n ∈ N e, neste caso, para cada ǫ > 0 existe N ∈ N tal que

0 <| xn − x |< ǫ para todo n ≥ N . Em outras palavras, x é um ponto de acumulação de

F , e pela proposição 2.6 segue que x ∈ F . Suponhamos agora que F contém os limites de

todas as sequências convergentes. Mostremos que f ′, o conjunto dos pontos de acumulação

de F , está contido em F . Se f ′ = ∅, então f ′ ⊂ F . Se f ′ Ó= ∅, seja x ∈ f ′. Pela proposição

2.5 existe uma sequência (xn) de pontos F tal que limn→∞ xn = x e, portanto, x ∈ F .

Assim, em qualquer caso tem-se f ′ ⊂ F , ou seja, F é fechado.

3.4 Limites de funções reais

Definição 3.5. Sejam S um subconjunto de R, a um ponto de acumulação de S e

f : S Ô→ R uma função real. Dizemos que L ∈ R é o limite de f em a, e escrevemos


limx→a f(x) = L, quando para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ S e 0 <| x − a |< δ

acarreta | f(x) − L |< ǫ.

Em resumo: limx→a f(x) = L ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃δ > 0 \ 0 <| x − a |< δ ⇒| f(x) − L |< ǫ.

Exemplo 3.4. Mostre que limx→2(3x + 1) = 7.

Solução: Tomando | f(x) − L |< ǫ, obtemos

| 3x + 1 − 7 |< ǫ

| 3(x − 2) |< ǫ

| x − 2 |< ǫ

3.

De | x − a |< δ, obtemos

| x − 2 |< δ.

Fazendo δ = ǫ3. Portanto, dado qualquer ǫ > 0, considere δ = ǫ

3. Se 0 <| x − 2 |< δ ⇒

| 3x + 1 − 7 |=| 3(x − 2) |= 3 | x − 2 |< 3δ = 3 ǫ3

= ǫ.

Logo, limx→2(3x + 1) = 7.

Proposição 3.8. Seja f : S −→ R uma função real e a um ponto de acumulação de S.

Então limx→a f(x) = L se, e somente se, para cada sequência (xn) de pontos de S com

xn Ó= a para todo n ∈ N e limx→+∞ xn = a tem-se limx→+∞ f(xn) = L.

Demonstração. (⇒) Por hipótese, limx→a f(x) = L, ou seja, para todo ǫ > 0 existe δ > 0

tal que 0 <| x − a |< δ ⇒| f(x) − L |< ǫ.

Considere uma sequência (xn) de pontos de S com xn Ó= a para todo n ∈ N e limx→+∞ xn =

a. Então para δ > 0 existe n0 ∈ N tal que

∀n ≥ n0 ⇒| xn − a |< δ.

Logo, ∀n ≥ n0 ⇒| xn − a |< δ ⇒| f(xn) − L |< ǫ.

Portanto, limx→+∞ f(xn) = L.

(⇐) Por hipótese, toda sequência (xn) de pontos de S com xn Ó= a para todo n ∈ N

e limx→+∞ xn = a tem-se limx→+∞ f(xn) = L. Ou seja, dado ǫ > 0 existem δ > 0 e n0 ∈ N

tal que

∀n ≥ n0 ⇒| xn − a |< δ ⇒| f(xn) − L |< ǫ. (3.1)

Queremos provar que limx→+∞ f(x) = L.


Faremos por contradição, ou seja, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que

0 <| xn − a |< δ ⇒| f(x) − L |≥ ǫ.

Para δ = 1n

> 0, existe xn ∈ S com xn Ó= a para todo n ∈ N tal que

| xn − a |< 1

n⇒| f(xn) − L |≥ ǫ. (3.2)

O que é um absurdo, basta comparar (3.1) e (3.2).

Logo, limx→a f(x) = L.

3.5 Funções Contínuas

Definição 3.6. Sejam f : S −→ R uma função definida em um subconjunto não vazio de

R e x0 um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua em x0, se limx→x0f(x) =

f(x0), isto é, se para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ S e | x−x0 |< δ ⇒| f(x)−f(x0) |<ǫ.

Exemplo 3.5. Seja f : R −→ R tal que f(x) = x. Então f é contínua em todo ponto

x0 ∈ R.

Solução: Dado x0 ∈ R, mostraremos que f é contínua em x0 ∈ R. De fato, dado ǫ > 0,

tome δ = ǫ. Assim, ∀x ∈ R e | x − x0 |< δ ⇒| f(x) − f(x0) |=| x − x0 |< δ = ǫ.

Logo, f é contínua em x0 ∈ R.

Quando f : S −→ R não é contínua em x0 ∈ S dizemos que é descontínua em x0,

ou que x0 é uma descontinuidade de f .

A função f : S −→ R é contínua em a, se satisfaz as seguintes condições:

i) f está definida em a;

ii) existe o limite de f em a;

iii) limx→a f(x) = f(a).

Se pelo menos um dos três itens acima não for verdadeiro, então f é descontínua

em x0.

Exemplo 3.6. Verifique se a função f : R −→ R dada por:

f(x) =

x2−4

x−2, se x Ó= 2

3 , se x = 2


é contínua no ponto a = 2.

Solução: Vejamos;

i) f(2) = 3.

ii) limx→2 f(x) = limx→2x2

−4x−2

= limx→2(x+2)(x−2)

(x−2)= limx→2(x + 2) = 2 + 2 = 4.

iii) limx→2 f(x) = 4 Ó= 3 = f(2).

Logo, f não é contínua em a = 2.

3.6 Funções Contínuas em Intervalos

Teorema 3.2. Consideremos [a, b] um intervalo fechado e limitado de R. Então toda

função contínua f : [a, b] −→ R é limitada.

Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que f não fosse limitada. Então, para cada

n ∈ N existiria um ponto xn em [a, b] tal que | f(xn) |> n. Sendo [a, b] um limitado

então (xn) seria uma sequência limitada e, pelo Teorema de Bolzano 2.1, possuiria uma

subsequência (xnj) convergente para um ponto α ∈ R. Sendo [a, b] um fechado de R

segue, da proposção 2.7, que α ∈ [a, b]. Pela continuidade de f teríamos que (f(xnj)) seria

convergente (exatamente para f(α)) e, em particular, seria limitada. Mas isso não poderia

ocorrer pois | f(xnj) |> nj. Logo f terá que ser limitada.

Teorema 3.3. (Teorema do Máximo e do Mínimo) Sejam [a, b] um intervalo fechado e

limitado e f : [a, b] → R uma função contínua. Então existem α e β em [a, b] tais que

f(α) ≤ f(x) ≤ f(β)

para todo x ǫ [a, b].

Demonstração. Pelo Teorema anterior 3.2, temos que f([a, b]) é um subconjunto limitado

de R, logo existem

m = infx ∈ [a,b]

f(x)

e

M = supx ∈ [a,b]

f(x).


Mostremos que existem α e β em [a, b] tais que f(α) = m e f(β) = M , isto é, o máximo e

o mínimo são atingidos em pontos de [a, b]. Suponhamos, por contradição, que o máximo

M não é atingido, ou seja, f(x) < M para todo x ∈ [a, b]. Seja g : [a, b] → R dada por

g(x) = 1M−f(x)

. Temos que g é contínua e g(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema 2.2

existe K > 0 tal que 0 < g(x) ≤ K, para todo x ∈ [a, b]. Ou seja, 1M−f(x)

≤ K, para todo

x ∈ [a, b]. Ou ainda, f(x) ≤ M − 1k, para todo x ∈ [a, b]. Mas isso é uma contradição, pois

M − 1K

< M e M é supremo de f em [a, b]. A demonstração para o caso do ínfimo é feita

de maneira análoga.

28

4 DERIVADAS

Antes de definirmos Derivadas iremos salientar de forma breve o conceito de

tangentes e velocidades a partir de limite.

4.1 Reta tangente

Definição 4.1. A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é a reta

que passa por P e que tem a inclinação

m = limx→a

f(x) − f(a)

x − a(4.1)

desde que esse limite exista.

Exemplo 4.1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto

P (1, 1).

Solução: Temos aqui a = 1 e f(x) = x2, logo a inclinação é

m = limx→1

f(x) − f(1)

x − 1= lim

x→1

x2 − 1

x − 1

= limx→1

(x − 1)(x + 1)

x − 1

= limx→1

(x + 1) = 1 + 1 = 2.

Usando a forma ponto-inclinação da reta, encontramos que uma equação da reta tangente

em (1, 1) é

y − 1 = 2(x − 1)

ou

y = 2x − 1.

Capítulo 4. DERIVADAS 29

4.2 Velocidades

Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t),

na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que

descreve o movimneto é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre

t = a e t = a + h a variação na posição será de f(a + h) − f(a). A velocidade média nesse

intervalo é

velocidade média =deslocamento

tempo=

f(a + h) − f(a)

h

que é mesmo que inclinação da reta secante PQ da Figura 3.

Figura 3 – Gráfico 1

Fonte: STEWART, 2009, p. 131.

Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez

menores [a, a + h]. Em outras palavras, fazemos h tender a 0. Considere a velocidade

(ou velocidade instantânea) v(a) no instante t = a como o limite dessas velocidades

médias:

v(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h.

Isso significa que a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da reta tangente em

P .


Exemplo 4.2. Suponha que uma bola tem a função posição dado por s = f(t) = 4, 9t2

dado em metros e t em segundos.

a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos?

b) Qual a velocidade da bola quando ela atinge a posição 450 m?

Solução: Precisaremos encontrar a velocidade tanto quando t = 5 tanto quando a bola

atinge a posição, de modo que é eficiente começar encontando a velocidade em um instante

geral t = a. Usando a equação de movimento s = f(t) = 4, 9t2, temos

m = limh→0

f(a + h) − f(a)

h= lim

h→0

4, 9(a + h)2 − 4, 9a2

h

= limh→0

4, 9(a2 + 2ah + h2 − a2)

h= lim

h→0

4, 9(2ah + h2)

h

= limh→0

4, 9(2a + h) = 9, 8a.

a) A velocidade após 5 s é de v(5) = (9, 8)(5) = 49m/s.

b) Uma vez que o posto de observação está 450 m acima do solo, a bola vai atingir o chão

em t1, quando s(t1) = 450, isto é,

4, 9t21 = 450.

Isso fornece

t21 =

450

4, 9e t1 =

√

450

4, 9≈ 9, 6 s.

A velocidade com que a bola atinge a posição é, portanto,

v(t1) = 9, 8t1 = 9, 8

√

450

4, 9≈ 94 m/s.

4.3 Derivadas

Dedicamos esta seção ao estudo de algumas definições e de alguns reultados

das funções deriváveis. Nas seções anteriores do presente capítulo estudamos a ideia de

retas tangentes e velocidades com a interpretação fisíca de um ponto. Como já estamos

familiarizados com esses conhecimentos passaremos a estudar as propriedades básicas da

noção de derivada, enfatizando resultados que conduzam a informações sobre a função a

partir de informações sobre a sua derivada.


Definição 4.2. Seja I ⊂ R um intervalo aberto e f : I −→ R uma função. Dizemos que

f é derivável em x0 ∈ I se existe o limite

limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

. (4.2)

O limite (3.2) quando existe é denotado por f ′(x0) e denominado derivada da

função f no ponto x0.

Fazendo em (4.2) h = x − x0, ou seja, x = x0 + h, temos que x −→ x0 se, e somente

se, h −→ 0. Assim quando o limite existe, escrevemos

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h. (4.3)

Observaremos a seguir outras notações para a derivada de uma função em um

ponto:

D f(x0) , df

dk(x0) ou df

dk|x=x0

.

Derivada lateral à direita de f em x0 é

f ′d(x0) = limh→x+

f(x0 + h) − f(x0)

h.

Derivada lateral à esquerda de f em x0 é

f ′c(x0) = limh→x−

f(x0 + h) − f(x0)

h.

Se f é derivável em x0 se, e somente se, existem as derivadas laterais em x0 e

f ′d(x0) = f ′c(x0) = f ′(x0).

Quando f ′(x) existe em todo x ∈ I dizemos que f derivável em I.

Exemplo 4.3. Seja f : R −→ R definida por f(x) = x. Mostre que f é derivável em

x0 ∈ R.

Solução: De fato, temos:

f(x0 + h) = x0 + h e f(x0) = x0.

Assim, obtemos que

f ′(x0) = limh→0f(x0+h)−f(x0)

h= limh→0

x0+h−xh

= limh→0hh

= limh→0 1 = 1.

Exemplo 4.4. Mostre que a função f : R −→ R definida por f(x) =| x | não é derivável

em x0 = 0.


Solução: De fato, vamos calcular as derivadas laterias:

Temos:

f ′d(0) = limh→0+

f(0 + h) − (0)

h=

= limh→0+

| 0 + h | − | 0 |h

=

= limh→0+

| h |h

= limh→0+

1 = 1

e

f ′e(0) = limh→0−

f(0 + h) − (0)

h=

= limh→0−

| 0 + h | − | 0 |h

=

= limh→0−

| h |h

= limh→0−

−h

h

= limh→0−

−1 = −1.

Como f ′d(0) Ó= f ′e(0), logo f ′(x0) não existe, ou seja, f não é derivável em x0 = 0.

Proposição 4.1. Seja f : I → R uma função derivável em um ponto x0 ∈ I, onde I é

um intervalo aberto. Então f é contínua em x0.

Demonstração. Considere a seguinte igualdade:

f(x) = f(x0) +f(x) − f(x0)

x − x0

.(x − x0) com x Ó= x0. (4.4)

Por hipótese, f é derivável em x0, ou seja,

f ′(x0) = limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

existe.

Passando ao limite em 3.4, quando x → x0, obtemos:

limx→x0

f(x) = limx→x0

f(x0) + limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

. limx→x0

(x − x0) =


limx→x0

f(x) = f(x0) + f ′(x0).0 =

limx→x0

f(x) = f(x0).

Logo, f é contínua em x0.

Observação: A recíproca da proposição 3.1 não é verdadeira (função contínua não implica

em derivável). Considere a função contínua f(x) =| x |, mas no exemplo 3.4 mostramos

que f não é derivavel em x0 = 0.

A proposição a seguir apresenta as propriedades algébricas da derivada.

Proposição 4.2. Sejam f e g funções definidas em um intervalo aberto I e deriváveis

em x0 ∈ I. Então:

i) f + g é derivável em x0 e (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),

ii) fg é derivável em x0 e (fg)′(x0) = f(x0)g′(x0) + f ′(x0)g(x0),

iii) Se g Ó= 0 então f

gé derivável em x0 e

(

f

g

)

′

(x0) =f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)

[g(x0)]2.

Demonstração. Por hipótese, temos:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h

e

g′(x0) = limh→0

g(x0 + h) − g(x0)

h

existem.

i) Temos:

(f + g)′(x0) = limh→0

(f + g)(x0 + h) − (f + g)(x0)

h=

= limh→0

[

f(x0 + h) + g(x0 + h) − f(x0) − g(x0)

h

]

=


= limh→0

[

f(x0 + h) − f(x0)

h+

g(x0 + h) − g(x0)

h

]

=

= limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h+ lim

h→0

g(x0 + h) − g(x0)

h=

= f ′(x0) + g′(x0).

ii) Temos:

(fg)′(x0) = limh→0

(fg)(x0 + h) − (fg)(x0)

h=

= limh→0

f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0)g(x0)

h=

= limh→0

f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0 + h)g(x0) + f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0)

h=

= limh→0

f(x0 + h)

[

g(x0 + h) − g(x0)

h

]

+

[

f(x0 + h) − f(x0)

h

]

g(x0) =

= limh→0

f(x0 + h) . limh→0

g(x0 + h) − g(x0)

h+ lim

h→0

[

f(x0 + h) − f(x0)

h

]

. g(x0) =

= f(x0) .g′(x0) + f ′(x0) . g(x0).

iii) Temos:

(

f

g

)

′

(x0) = limh→0

(

f

g

)

(x0 + h) −(

f

g

)

(x0)

h=

= limh→0

f(x0+h)g(x0+h)

− f(x0)g(x0)

h=

= limh→0

1

h

[

f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0 + h)

g(x0 + h)g(x0)

]

=


= limh→0

1

h

[

f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0) − f(x0)g(x0 + h)

g(x0 + h)g(x0)

]

=

= limh→0

1

g(x0 + h)g(x0)

[(

f(x0 + h) − f(x0)

h

)

g(x0) − f(x0)

(

g(x0 + h) − g(x0)

h

)]

=1

g(x0)g(x0)[f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)] =

=f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)

[g(x0)]2 .

Proposição 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam f : I −→ R e g : J −→ R funções definidas,

respectivamente, nos intervalos abertos I e J com f(I) ⊂ J . Suponha que f é derivável

em x0 ∈ I e g derivável em f(x0) ∈ J . Então gof é derivável em x0 e

(gof)′(x0) = g′(f(x0)).f ′(x0).

Demonstração. Suponha que f ′(x0) Ó= 0, ou seja, f(x) Ó= f(x0). Então:

(gof)′(x0) = limx→x0

(gof)(x) − (gof)(x0)

x − x0

=

= limx→x0

g(f(x)) − g(f(x0))

x − x0

=

= limx→x0

g(f(x)) − g(f(x0))

f(x) − f(x0)

f(x) − f(x0)

x − x0

=

= limx→x0

g(f(x)) − g(f(x0))

f(x) − f(x0)lim

x→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

=

= g′(f(x0))f ′(x0).

Se f ′(x0) = 0, então temos dois casos:

1) caso: f(x) = f(x0), segue que,


g(f(x)) − g(f(x0))

x − x0

= limx→x0

g(f(x0)) − g(f(x0))

x − x0

=


= limx→x0

0 = 0 = g′(f(x0))0 = g′(f(x0))f ′(x0).

2) caso: f(x) Ó= f(x0), segue que,


(gof)(x) − (gof)(x0)

x − x0

= limh→0

g(f(x)) − g(f(x0))

x − x0

=

= limx→x0

g(f(x)) − g(f(x0))

f(x) − f(x0)

f(x) − f(x0)

x − x0

= g′(f(x0))f ′(x0).

4.4 Teorema de Rolle

Passaremos a estudar o Teorema de Rolle que apresentara importantes resultados

que serão utilizados no capítulo seguinte para a demostração do Teorema do Valor Médio

que segundo (LEITHOLD, 1994, p.230) é baseada num caso particular deste Teorema.

Seja I ⊂ R um intervalo e f : I −→ R uma função. Dizemos que f assume um

máximo absoluto em x0 ∈ I se f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ I. Se a desigualdade

f(x1) ≥ f(x) ocorre apenas em uma vizinhança de Vδ(x1) ⊂ I dizemos que f assume um

máximo local em x1, Figura 4.

x0 : ponto de máximo absoluto;

x1 : ponto de máximo local;

f(x0) : valor de máximo absoluto;

f(x1) : valor de máximo local.

Quando temos f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ I dizemos que f assume um mínimo

absoluto em x0 e quando for f(x1) ≤ f(x) apenas para x restrito a uma vizinhança de

Vδ(x1) ⊂ I dizemos que f assume um mínimo local em x1, Figura 5

x0 : ponto de mínimo absoluto;

x1 : ponto de mínimo local;

f(x0) : valor de mínimo absoluto;

f(x1) : valor de mínimo local.

Os pontos onde f assume um máximo (local ou absoluto) ou um mínimo (local ou

absoluto) são chamados de extremos de f . Se x0 é um ponto interior de I e se x0 for

um extremo absoluto de f então x0 é um extremo local de f .




Proposição 4.4. Sejam I um intervalo aberto de R, f : I → R uma função e x0 um

extremo local de f . Se f for derivável em x0 então f ′(x0) = 0.

Demonstração. Vamos admitir que f assume um máximo local em x0 (o caso de mínimo

local é análogo). Então existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).


Portanto,

f(x) − f(x0)

x − x0

=

≤ 0 , se x0 < x < x0 + δ ,

≥ 0 , se x0 − δ < x < x0.(4.5)

Agora, como existe f ′(x0), necessariamente temos

limx→x−

0

f(x)−f(x0)x−x0

= f ′(x0) = limx→x+

0

f(x)−f(x0)x−x0

.

Mas, pela equação 4.5, temos

limx→x−

0

f(x)−f(x0)x−x0

≥ 0 e limx→x+

0

f(x)−f(x0)x−x0

≤ 0.

Portanto, f ′(x0) = 0.

Teorema 4.1. (Teorema de Rolle) Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em

(a, b) com f(a) = f(b). Então existe c ǫ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demonstração. Se for f(x) = f(a) para todo x ǫ (a, b), como f(a) = f(b), então f é

constante em [a, b] e, portanto, f ′(x) = 0 para todo x ǫ (a, b). Assim, podemos supor

que existe x ǫ (a, b) tal que f(x) Ó= f(a). Sendo f contínua em [a, b], pelo Teorema 3.3

(Teorema do Máximo e do Mínimo), f possui extremos absolutos em [a, b]. Como estamos

supondo que f não é constante em (a, b) e pelo fato de que f(a) = f(b), então pelo menos

um dos pontos de extremo absoluto de f pertence a (a, b). Seja c tal ponto. Segue da

Proposição 4.4 que f ′(c) = 0.

Exemplo 4.5. Vamos aplicar o Teorema de Rolle à função posição s = f(t) de um objeto

em movimento. Se o objeto estiver no mesmo local em dois instantes diferentes t = a e

t = b, então f(a) = f(b). O Teorema de Rolle afirma que existe algum instante do tempo

t = c entre a e b no qual f ′(c) = 0; isto é, a velocidade é 0.

39

5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

A partir dos resultados estudados nos itens anteriores, estudaremos nesta seção o

Teorema do Valor Médio (TVM).

O TVM foi desenvolvido pela primeira vez pelo matemático italiano Joseph Louis

Lagrange. O matemático francês Augustin Louis Cauchy também apresentou esse resultado

de forma mais geral em relação a definição dada por Lagrange. O resultado deste Teorema

é considerado um resultado de grande relevância no ramo matemático e é tido como peça

fundamnetal para obtenção de desfechos de outros teoremas, como por exemplo o Teorema

Fundamental do Cálculo.

O TVM de Lagrange é apresentado da seguinte forma:

Teorema 5.1. (Teorema do Valor Médio de Lagrange) Seja f : [a, b] −→ R uma função

que é contínua em [a, b] e é derivável em (a, b). Então existe c ǫ (a, b) tal que

f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a. (5.1)

É possível interpretar o TVM geometricamente. Passaremos a ver como essa

interpretação aconteçe e em seguida demonstraremos algebricamente.

Traçando o esboço da função f , [f(b) − f(a)]/(b − a) é a inclinação do segmento de

reta que liga os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)). O TVM admite a existência de um ponto

sobre a curva da reta A e B, onde a reta tangente é paralela à reta secante por A e B;

isto é, existe um número c em (a, b), tal que como mostra a Figura 6.


Tornando o eixo x coicidente com a reta secante AB, pode-se observar que o TVM

é uma generalização do Teorema de Rolle, o qual será usando para a sua demosntração.

Prova do Teorema 4.1. Uma equação da reta que passa por A e B na Figura 6 é

Capítulo 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 40

y − f(a) =f(b) − f(a)

b − a(x − a)

⇔ y =f(b) − f(a)

b − a(x − a) + f(a).

Seja F (x) a medida da distância vertical entre o ponto (x, f(x)) do gráfico da função f e

o ponto correspondente sobre a reta secante por A e B; então,

F (x) = f(x) − f(b) − f(a)

b − a(x − a) − f(a) (5.2)

Verificaremos que a função F satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle.

A função F é contínua no intervalo fechado [a, b], pois é a soma de f com uma

função polinominal linear, ambas as quias são contínuas no intervalo. Logo a primeira

condição é satisfeita por F. A segunda condição está satisfeita para F , pois f é derivavél

em (a, b). De (5.2), segue que F (a) = 0 e F (b) = 0. Portanto, a terceira condição do

Teorema de Rolle está satisfeita por F .

Uma vez que F satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que

existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que F ′(c) = 0. Mas

F ′(x) = f ′(x) − f(b) − f(a)

b − a.

Assim,

F ′(c) = f ′(c) − f(b) − f(a)

b − a

Logo, existe um número c em (a, b), tal que

0 = f ′(c) − f(b) − f(a)

b − a

⇔ f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a

como queriamos demonstrar.

Cauchy, como mencionado anteriormente apresentou o TVM de forma mais geral:

Teorema 5.2. (Teorema do Valor Médio de Cauchy) Sejam f e g funções contínuas reais

contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Então existe c ǫ (a, b) tal que

(f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c).


Demonstração. Consideremos a função ϕ definida em [a, b] por

ϕ(x) = (f(b) − f(a))g(x) − (g(b) − g(a))f(x).

Temos que ϕ é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e ϕ(a) = ϕ(b). Portanto, a função

ϕ está nas condições do Teorema de Rolle. Logo existe c ǫ (a, b) tal que ϕ′(c) = 0. Mas,

para todo xǫ(a, b) temos

ϕ′(x) = (f(b) − f(a))g′(x) − (g(b) − g(a))f ′(x).

Logo, para x = c temos

(f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c)

como queríamos demonstrar.

5.1 Aplicações do Teorema do Valor Médio

Passaremos a estudar algumas aplicações do Teorema do Valor Médio que podem

ser apresentadas a partir de seus resultados.

5.1.1 Consequências do Teorema do Valor Médio

Podemos ter como primeira consequência a recíproca do fato trivial de que a

derivada de uma função constante é igual a zero, ou seja, se a derivada de uma função é

zero, temos que a função é constante. Porém, a princípio nada nos assegura que este fato

seja verdadeiro. E se existir uma função desconhecida, sendo essa estranha e não constante,

cuja derivada fosse zero?

Usando o Teorema do Valor Médio podemos provar que tal função estranha não

existe. Podemos provar este resultado no corolário 1, onde nesse coralário e nos demais,

vamos considerar f e g contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis em (a, b).

Corolário 1 (Funções com derivada zero)

Se f ′(x) = 0 em (a, b), então f é uma função constante em [a, b], isto é, existe um número

real k, tal que, f(x) = k, qualquer que seja o ponto x de [a, b].

Demonstração. Seja x ∈ (a, b]. Apliquemos o teorema do valor médio em [a, b]. Então

existe c ∈ (a, x), tal que,

f(x) − f(a) = f ′(c)(x − a).


Como f ′(x) = 0 em (a, b), tem-se f ′(c) = 0. Assim, f(x) = f(a), para todo x em

(a, b]. Porém, obviamente, esta igualdade vale para todo x em [a, b]. Assim, f é constante

em [a, b].

Corolário 2 (Funções com derivadas iguais)

Suponha que f ′(x) = g′(x) para todo x no intervalo (a, b). Então, f e g diferem por uma

constante, isto é, existe um número real k, tal que

f(x) = g(x) + k;

para todo x em [a, b].

Demonstração. Considere a função h(x) = f(x) − g(x). Então, h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0,

para todo x em (a, b). Logo, pelo Corolário 1, h(x) = k para todo x em [a, b] e alguma

constante k real, ou seja,

f(x) − g(x) = k, que é equivalente a f(x) = g(x) + k.

Interpretação geométrica

Como as duas funções f e g diferem por uma constante, o gráfico de f pode ser obtido a

partir do gráfico de g, ou vice-versa, por uma translação vertical. Além disso, como estas

funções têm a mesma derivada em cada ponto x de [a, b], seus gráficos têm retas tangentes

paralelas nos correspondentes pontos (x, f(x))e(x, g(x)). Por isso estes gráficos são ditos

paralelos.


Exemplo 5.1. Se f ′(x) = 3 sen x e f(0) = 2, determine a função f .

Solução: Observe que a derivada da função g(x) = −3 cos x é f ′(x) = 3 sen x. Assim, f e

g diferem por uma constante, isto é, f(x) = g(x) + k = −3 cos x + k, onde k é um número

real qualquer. Como f(0) = 2, temos que f(0) = −3 + k = 2, ou seja, k = 5. Assim,


f(x) = −3 cos x + 5.

Exemplo 5.2. Suponha que f ′(x) = k em um intervalo de [a, b], com k Ó= 0 real. Prove

que f é uma reta.

Solução: Seja g(x) = kx + b. Então, g′(x) = k. Logo, f e g diferem por uma constante, ou

seja, f(x) = g(x) + c, onde c é real. Assim,

f(x) = kx + b + c = kx + d,

onde d = b + c. Logo, f é uma reta.

Corolário 3 (Funções crescentes e decrescentes)

i) Se f ′(x) > 0 para todo x em [a, b], então f é uma função crescente em [a, b].

ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em [a, b], então f é uma função decrescente em [a, b].

Demonstração. item i)

Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o Teorema do Valor Médio

no intervalo [m, n]. Como este intervalo está contido em [a, b], as hipóteses do teorema do

valor médio continuam válidas em [m, n]. Assim, existe um ponto c em (m, n), tal que

f(n) − f(m) = f ′(c)(n − m).

Como, por hipótese, f ′(c) > 0 e (n − m) > 0, segue que

f(n) − f(m) > 0

isto é,

f(m) < f(n).

Como m e n são pontos quaisquer em [a, b], segue que f é uma crescente em [a, b].

Demonstração. item ii)

Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m > n. Aplicamos o Teorema do Valor Médio

no intervalo [m, n]. Como este intervalo está contido em [a, b], as hipóteses do teorema do

valor médio continuam válidas em [m, n]. Assim, existe um ponto c em (m, n), tal que

f(n) − f(m) = f ′(c)(n − m).


Como, por hipótese, f ′(c) < 0 e (n − m) < 0, segue que

f(n) − f(m) > 0,

isto é,

f(m) < f(n).

Como m e n são pontos quaisquer em [a, b], segue que f é uma decrescente em

[a, b].

Exemplo 5.3. Seja f uma função de classe C1. Use o Teoema do Valor Médio para

mostrar que se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), então f é constante no intervalo (a, b).

Solução: Seja p ∈ (a, b) fixo. Dado x ∈ (a, b), com x Ó= p, usando o teorema do valor médio

podemos garantir a existência de um ponto c (que depende de x) no intervalo aberto com

extremidades p e x tal que

f(x) − f(p)

x − p= f ′(c).

Como, por hipótese, f ′(c) = 0, segue que f(x)−f(p)x−p

= 0. Logo, f(x) − f(p) = 0, isto é,

f(x) = f(p), para todo x Ó= p. Isto mostra que f é constante no intervalo (a, b).

Exemplo 5.4. Dada a função f(x) = x3 −5x2 −3x, comprove que as hipóteses do Teorema

do Valor Médio estão satisfeitas para a = 1 e b = 3. Então, encontre todos os números c

no intervalo aberto (1, 3), tais que

f ′(c) =f(3) − f(1)

3 − 1.

Solução: Como f é uma função polinomial, ela será contínua e derivável para todos os

valores de x. Logo, as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para todo a e

b. Temos:

f ′(x) = 3x2 − 10x − 3

e

f(1) = −7 e f(3) = −27.

Logo,


f(3) − f(1)

3 − 1=

−27 − (−7)

2= −10.

Equacionando f ′(c) = −10, obtemos

3c2 − 10c − 3 = −10

3c2 − 10c + 7 = 0

(3c − 7)(c − 1) = 0

c =7

3e c = 1.

Como 1 não está no intervalo aberto (1, 3), o único valor possível para c é 73.

46

6 CONCLUSÃO

Diante da importância da matemática no conhecimento humano e o cálculo como

ramo dessa ciência, abordamos conhecimentos a respeito do seu nascimento dando enfoque

aos principais percursores e alguns de seus feitos. Com o objetivo de fazer um estudo sobre

o Teorema do Valor Médio e mostrar algumas de suas aplicações, nesse trabalho fizemos

uma revisão a respeito de outros resultados matemáticos, como sequências, subsequências,

derivadas, entre outros, com o intuito de possibilitar maior amadurecimento ao tema

em estudo. Pesquisas como estas são fundamentais na área acadêmica, pois percebe-se

que na Academia são utilizadas muitas fórmulas e teorias matemáticas, sem que haja na

maioria das vezes preocupação com o que há por trás do surgimentos de tais resultados.

O estudo do Teorema do Valor Médio é extremamente importante, pois esse é tido como

peça fundamental para a obtenção do desfecho de outros resultados.

47

REFERÊNCIAS

.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Introdução á Análise Matemática. São Paulo:

Blucher, 1999.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da

UNICAMP, 2004.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções

de integral. São Paulo: Saraiva S.A, 2006.

LEITMOLD. Louis. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Editora Harbra

ltda, 1994.

MACIEL, A. Bezerra; LIMA, O. Alves. Introdução à análise real. Campina Grande:

Eduepb, 2005.

SANCHEZ, Dario. Joseph Louis Lagrange e o desenvolvimento da Mecânica

Clássica. 2007.

STEWART, James. Cálculo. 6.ed. São Paulo: Cengage Learning,2009.

W.Bianchini, A.R.Santos. Capítulo 17, Teorema do Valor Médio Disponivel em:

http://www.im.ufrj.br/ waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo17.pdf.Acessadoem03/03/2017.

teorema do valor médio e aplicaçõesdspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/13443/1/pdf -...

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