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teorema de Gauss ejemplos

Teorema de Gauss

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

26 de mayo de 2011


teorema

teorema de Gauss

teorema de Gauss~X : Ω→ R3 campo C1

S superficie cerrada tal que int(S) ∪ S ⊂ Ω

⇒ ∫∫S

~X .N dS =

∫∫∫int(S)

div ~Xdx dy dz


interpretación

interpretación física de la divergencia

interpretación de la divergencia

div ~X (p) = flujo en p x unidad de volumen


interpretación


p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de p

Gauss:∫∫∂Bε(p)

~X .N dS =∫∫∫

Bε(p) div ~X dV

TVM:∫∫∫

Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))

juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)

∫∫∂Bε(p)

~X .N dS

pasando al límite:

div ~X (p) = limε→0

1vol Bε(p)

∫∫∂Bε(p)

~X .N dS


interpretación


p punto cualquiera ~X campo diferenciable cerca de pGauss:

∫∫∂Bε(p)

~X .N dS =∫∫∫

Bε(p) div ~X dV

TVM:∫∫∫

Bε(p) div ~X dV = div ~X (q) vol(Bε(p))

juntando: div ~X (q) = 1vol Bε(p)

∫∫∂Bε(p)

~X .N dS

pasando al límite:

div ~X (p) = limε→0

1vol Bε(p)

∫∫∂Bε(p)

~X .N dS


interpretación


div ~X (p) > 0⇒ p fuente

flujo de ~X se aleja de p

div ~X (p) < 0⇒ p pozo

flujo de ~X se acerca a p


interpretación


si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia

⇒∫∫

S~X .N dS = 0 ∀S superficie cerrada

⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que salefluído incompresible


interpretación


si div ~X ≡ 0 en R3 → campo sin divergencia⇒∫∫




interpretación




⇐ también vale

la cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que salefluído incompresible


interpretación




⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficie

es igual a la que salefluído incompresible


interpretación




⇐ también valela cantidad de fluído que entra en cualquier superficiees igual a la que sale

fluído incompresible


interpretación






ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1~X = (3x + y + z, x2 + 2y + ez ,ex2

+ y2 + 4z)

S tetraedro de vértices(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)

calcular∫∫

S~X .N dS


ejemplo 1

ejemplo 1


+ y2 + 4z)

S tetraedro de vértices

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)

calcular∫∫

S~X .N dS


ejemplo 1

ejemplo 1


+ y2 + 4z)

S tetraedro de vértices(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)

calcular∫∫

S~X .N dS


ejemplo 1

ejemplo 1

Gauss:∫∫

S~X .N dS =

∫∫∫int S div ~X dV

div ~X = (3x + y + z)x + (x2 + 2y + ez)y + (ex2+ y2 + 4z)z

div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫

S~X .N dS = 9. vol(int S)∫∫

S~X .N dS = 3

2 > 0


ejemplo 1

ejemplo 1

Gauss:∫∫

S~X .N dS =



div ~X = 3 + 2 + 4 = 9

⇒∫∫


S~X .N dS = 3

2 > 0


ejemplo 1

ejemplo 1

Gauss:∫∫

S~X .N dS =



div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫

S~X .N dS = 9. vol(int S)

∫∫S~X .N dS = 3

2 > 0


ejemplo 1

ejemplo 1

Gauss:∫∫

S~X .N dS =



div ~X = 3 + 2 + 4 = 9⇒∫∫


S~X .N dS = 3

2 > 0


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)

S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1tal que z < 1

2 ,

con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0

calcular∫∫

S~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)

S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1

tal que z < 12 ,

con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0

calcular∫∫

S~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2~X = (2x + y ,−y + z,−z)

S subconjunto del elipsoide 2x2 + 8y2 + z2 = 1tal que z < 1

2 ,

con N( 1√2,0,0).(1,0,0) > 0

calcular∫∫

S~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2

observemos que S no es cerrada

para aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1

2⇒∫∫

S∪T~X .N dS =

∫∫∫V div ~X dV

div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2

observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficie

por ejemplo con una tapa T ⊂ z = 12

⇒∫∫

S∪T~X .N dS =


div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2

observemos que S no es cerradapara aplicar Gauss, hay que cerrar la superficiepor ejemplo con una tapa T ⊂ z = 1

2

⇒∫∫

S∪T~X .N dS =


div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2


2⇒∫∫

S∪T~X .N dS =


div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2


2⇒∫∫

S∪T~X .N dS =


div ~X = 2− 1− 1 = 0

⇒∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2


2⇒∫∫

S∪T~X .N dS =


div ~X = 2− 1− 1 = 0⇒∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS


ejemplo 2

ejemplo 2

parametricemos T

T = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 12

T = 2x2 + 82 ≤ 34 , z = 1

2T = 8

3x2 + 323 y2 ≤ 1, z = 1

2x = r

√3√8

cos θ

y = r√

3√32

sin θz = 1

2

con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)


ejemplo 2

ejemplo 2

parametricemos TT = 2x2 + 8y2 + z2 ≤ 1 ∩ z = 1

2

T = 2x2 + 82 ≤ 34 , z = 1

2T = 8

3x2 + 323 y2 ≤ 1, z = 1

2x = r

√3√8

cos θ

y = r√

3√32

sin θz = 1

2

con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)


ejemplo 2

ejemplo 2


2T = 2x2 + 82 ≤ 3

4 , z = 12

T = 83x2 + 32

3 y2 ≤ 1, z = 12

x = r√

3√8

cos θ

y = r√

3√32

sin θz = 1

2

con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)


ejemplo 2

ejemplo 2


2T = 2x2 + 82 ≤ 3

4 , z = 12

T = 83x2 + 32

3 y2 ≤ 1, z = 12

x = r

√3√8

cos θ

y = r√

3√32

sin θz = 1

2

con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)


ejemplo 2

ejemplo 2


2T = 2x2 + 82 ≤ 3

4 , z = 12

T = 83x2 + 32

3 y2 ≤ 1, z = 12

x = r√

3√8

cos θ

y = r√

3√32

sin θz = 1

2

con r ∈ (0,1), θ ∈ (0,2π)


ejemplo 2

ejemplo 2

N ≡ (0,0,1)

∫∫T~X .N dS =

= −∫

T z dS

= −12 .A(T )


ejemplo 2

ejemplo 2

N ≡ (0,0,1)∫∫T~X .N dS =

= −∫

T z dS

= −12 .A(T )


ejemplo 2

ejemplo 2

calculemos A(T )

Φr = (√

3√8

cos θ,√

3√32

sin θ,0)

Φθ = (−r√

3√8

cos θ, r√

3√32

cos θ,0)

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k√

3√8

cos θ√

3√32

sin θ 0

−r√

3√8

sin θ r√

3√32

cos θ 0

∣∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (0,0, 3

16 r)


ejemplo 2

ejemplo 2

calculemos A(T )

Φr = (√

3√8

cos θ,√

3√32

sin θ,0)

Φθ = (−r√

3√8

cos θ, r√

3√32

cos θ,0)

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k√

3√8

cos θ√

3√32

sin θ 0

−r√

3√8

sin θ r√

3√32

cos θ 0

∣∣∣∣∣∣∣

Φr ∧ Φθ = (0,0, 316 r)


ejemplo 2

ejemplo 2

calculemos A(T )

Φr = (√

3√8

cos θ,√

3√32

sin θ,0)

Φθ = (−r√

3√8

cos θ, r√

3√32

cos θ,0)

Φr ∧ Φθ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k√

3√8

cos θ√

3√32

sin θ 0

−r√

3√8

sin θ r√

3√32

cos θ 0

∣∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (0,0, 3

16 r)


ejemplo 2

ejemplo 2

A(T ) =∫∫

D ‖Φr ∧ Φθ‖dr dθ

A(T ) = 316

∫ 2π0 dθ

∫ 10 r dr

A(T ) = 316πr2|10

A(T ) = 316π∫∫

T~X .N dS = −1

2A(T )

= − 332π

∫∫S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS

= 332π


ejemplo 2

ejemplo 2

A(T ) =∫∫


A(T ) = 316

∫ 2π0 dθ

∫ 10 r dr

A(T ) = 316πr2|10

A(T ) = 316π

∫∫T~X .N dS = −1

2A(T )

= − 332π

∫∫S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS

= 332π


ejemplo 2

ejemplo 2

A(T ) =∫∫


A(T ) = 316

∫ 2π0 dθ

∫ 10 r dr

A(T ) = 316πr2|10

A(T ) = 316π∫∫

T~X .N dS = −1

2A(T )

= − 332π∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS

= 332π


ejemplo 2

ejemplo 2

A(T ) =∫∫


A(T ) = 316

∫ 2π0 dθ

∫ 10 r dr

A(T ) = 316πr2|10

A(T ) = 316π∫∫

T~X .N dS = −1

2A(T ) = − 332π

∫∫S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS

= 332π


ejemplo 2

ejemplo 2

A(T ) =∫∫


A(T ) = 316

∫ 2π0 dθ

∫ 10 r dr

A(T ) = 316πr2|10

A(T ) = 316π∫∫

T~X .N dS = −1

2A(T ) = − 332π∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS

= 332π


ejemplo 2

ejemplo 2

A(T ) =∫∫


A(T ) = 316

∫ 2π0 dθ

∫ 10 r dr

A(T ) = 316πr2|10

A(T ) = 316π∫∫

T~X .N dS = −1

2A(T ) = − 332π∫∫

S~X .N dS = −

∫∫T~X .N dS = 3

32π


ejemplo *

ejemplo *

observación importante

si ~X no es C1 en todo el interior de S, entonces el teorema deGauss no se cumple


ejemplo *

ejemplo *

ejemplo *~X = −c ~r

r3 campo gravitacional

∂Bε(0) esfera que encierra el origen⇒ ∫∫

∂Bε(0)

~X .N dS 6=∫∫∫

Bε(0)div ~X dV


ejemplo *

ejemplo *


r3 campo gravitacional∂Bε(0) esfera que encierra el origen

⇒ ∫∫∂Bε(0)

~X .N dS 6=∫∫∫

Bε(0)div ~X dV


ejemplo *

ejemplo *


r3 campo gravitacional∂Bε(0) esfera que encierra el origen⇒ ∫∫

∂Bε(0)

~X .N dS 6=∫∫∫

Bε(0)div ~X dV


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0

⇒∫∫∫

Bε(0) div ~X dV = 0

por otro lado:∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS= − c

ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −4cπ 6= 0


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫



~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS= − c

ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −4cπ 6= 0


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫


por otro lado:

∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS= − c

ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −4cπ 6= 0


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫



~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS= − c

ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −4cπ 6= 0


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫



~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS

= − cε2 A(∂Bε(0))∫∫

∂Bε(0)~X .N dS = −4cπ 6= 0


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫



~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS= − c

ε2 A(∂Bε(0))

∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −4cπ 6= 0


ejemplo *

ejemplo *

div ~X ≡ 0 en R3 \ 0⇒∫∫∫



~X .N dS = −c∫∫

S~rr3~rr dS

= −c∫∫

Sε2

ε4 dS= − c

ε2 A(∂Bε(0))∫∫∂Bε(0)

~X .N dS = −4cπ 6= 0

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