Cálculo 2Prof.a Sueli Costa

Projeto : Integrais e Teoremas de Pappus

Introdução

Pappus (Alexandria - sec.III DC) em seu trabalho "Coleção" ( Sinagoga) descreve muitos dos

resultados de Arquimedes e estabelece na mesma linha de pensamento duas novas proposições

relacionando volumes e áreas ao centro de massa ou centroide de figuras (conceito este também

utilizado por Arquimedes). Estas idéias de Arquimedes foram tão férteis que influenciaram o

desenvolvimento de grande parte da Matemática como a concebemos hoje e suas muitas aplica-

ções. Destacamos a seguir dois trabalhos que são importantes seqüências destas idéias.

Figura 1

PrimeiroTeorema de Pappus : O volume do sólido de revolução gerado por uma região plana de

área A ao redor de um eixo é igual ao volume de um cilindro que tem por área da base a mesma

área, A, da região geratriz e por altura a distância percorrida pelo centróide após uma revolução

completa. ( Isto é V = C . A , onde C é comprimento da circunferência percorrida pelo centróide ao

rotacionar em torno do eixo, ou ainda V = 2 ! d . A , onde d é distância do centróide ao eixo de

revolu‡ao )

OBS: Os sólidos gerados pela rotação das duas regiões planas da figura 1 tem mesmo volume pois

estas tem mesma área e mesmo centróide

Segundo teorema de Pappus : A área S de uma superfície gerada pela revolução de uma curva é

igual a da superfície lateral de um cilindro que tem por raio a distância do centróide ao eixo de

revolução e por altura o comprimento L da curva .(Esta área é, portanto, o comprimento da

circunferência percorrida pelo centróide da curva vezes o comprimento da curva: S = 2 ! d . L)

OBS: Na figura acima temos uma curva geratriz e seu centro de massa. Na figura abaixo estão a

superfície de revolução gerada por esta curva e o cilindro que tem a mesma área lateral de acordo

com o segundo teorema de Pappus.

Parte I :Experimental

1 - Escolha um objeto gerado pela revolução de uma região (contornada não apenas

por segmentos de reta ).

2 - Molde a lateral com um arame. Chamaremos de curva C à curva geradora

descrita pelo arame e de R à região geradora do sólido de de revolução

que você pode moldar em cartão.

3 Estime experimentalmente o comprimento e centro de massa da curva C, a área e o

centro de massa da região R geradora, a área da superfície lateral, os

centros de massa da curva C e da região A. Determine as distâncias

destes centros de massa ao eixo de rotação.

4 Utilizando os dois teoremas de Pappus calcule aproximadamente o volume e área

lateral do objeto que escolheu

5 Estime, se possível, por outro método experimental os resultados do passo anterior

Parte II : Computacional

1 - Descreva por funções a curva C

2- Simule no computador o objeto que escolheu

3- Determine, usando integrais :

i) O comprimento e centro de massa da curva C .

ii) A área e centro de massa e a área da região A

iii) A superfície lateral do seu objeto de revolução

iv) O volume de seu objeto de revolução

4.- Compare 3) de i) a iv) com os dados experimentais que obteve na Parte I.

Comente estes resultados e outros fatos que julgar relevantes.