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Navegao astronmica e derrotas 589

Trigonometria Plana e Esfrica

APNDICE AO CAPTULO 17

TRIGONOMETRIA PLANA E ESFRICA

1 INTRODUO

A Trigonometria Esfrica essencial para compreenso dos conceitos e resoluodos problemas de Navegao Astronmica e Navegao Ortodrmica. , ainda, impor-tante para entendimento dos princpios fundamentais de alguns sistemas de NavegaoEletrnica.

A Trigonometria Plana indispensvel para entendimento dos conceitos e resolu-o dos problemas de derrotas loxodrmicas, alm de ser usada em outros tipos e mtodosde navegao.

Assim, antes de prosseguir, necessrio recordar as noes e as frmulas daTrigonometria Plana e da Trigonometria Esfrica, o que possibilitar melhor compre-enso dos assuntos abordados nos Captulos seguintes.

2 TRIGONOMETRIA PLANA

I CONCEITOS E SINAIS DAS LINHASTRIGONOMTRICAS

a) Primeiro Quadrante: 0 a 90 (figura 17.A.1)

Figura 17.A.1 Primeiro Quadrante

sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)

cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)

tg a =sen a

= AT ; sinal positivo (+)cos a

sec a = 1

= OT ; sinal positivo (+)cos a

cosec a = 1

= OS ; sinal positivo (+)sen a

cotg a = 1

= BS ; sinal positivo (+) tg a

Navegao astronmica e derrotas


590

b) Segundo Quadrante: 90 a 180 (figura 17.A.2)

c) Terceiro Quadrante: 180 a 270 (figura 17.A.3.)

Figura 17.A.2 Segundo Quadrante

Figura 17.A.3 Terceiro Quadrante

sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)

cos a = OP = QM ; sinal negativo ()

tg a = sen a = AT ; sinal negativo () cos a

sec a = 1

= OT ; sinal negativo () cos a

cosec a = 1

= OS ; sinal positivo (+) sen a

cotg a = 1 = BS ; sinal negativo () tg a

sen a = PM = OQ ; sinal negativo ()

cos a = OP = QM ; sinal negativo ()

tg a =sen a

= AT ; sinal positivo (+)cos a

sec a = 1

= OT ; sinal negativo ()cos a

cosec a = 1

= OS ; sinal negativo ()sen a

cotg a = 1

= BS ; sinal positivo (+) tg a



sen a = PM = OQ ; sinal negativo ()

cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)

tg a =sen a

= AT ; sinal negativo ()cos a

sec a = 1

= OT ; sinal positivo (+)cos a

cosec a = 1

= OS ; sinal negativo ()sen a

cotg a = 1

= BS ; sinal negativo () tg a

Figura 17.A.4 Quarto Quadrante

QUADRANTE

LINHA

d) Quarto quadrante: 270 a 360 (figura 17.A.4)

II RESUMO DOS SINAIS DAS LINHASTRIGONOMTRICAS

PRIMEIRO SEGUNDO TERCEIRO QUARTO

0 a 90 90 a 180 180 a 270 270 a 360

SENO + + COSSENO + +TANGENTE + + SECANTE + +COSSECANTE + + COTANGENTE + +

III VARIAES DAS LINHAS TRIGONOMTRICAS

1o +1 a 0 0 a + + a 0 +1 a + + a +1

2o +1 a 0 0 a 1 a 0 0 a a 1 +1 a +

3o 0 a 1 1 a 0 0 a + + a 0 1 a a 1

4o 1 a 0 0 a +1 a 0 0 a + a +1 1 a

QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE

0 a +1



592

IV PRIMEIRAS RELAES ENTRE AS FUNESTRIGONOMTRICAS

sen ( a) = sen a tg ( a) = tg a sec ( a) = sec a

cos ( a) = cos a cotg ( a) = cotg a cosec ( a) = cosec a

sen (180 a) = sen a tg (180 a) = tg a

cos (180 a) = cos a cotg (180 a) = cotg a

sen (180 + a) = sen a tg (180 + a) = tg a

cos (180 + a) = cos a cotg (180 + a) = cotg a

sen (90 + a) = cos a tg (90 + a) = cotg a

cos (90 + a) = sen a cotg (90 + a) = tg a

V IDENTIDADES DA TRIGONOMETRIA PLANA

Em um crculo de raio unitrio (r = 1), teremos:

sen2 a + cos2 a= 1

tg a = tg a = tg a =

cotg a = cotg a = cotg a =

sec2 a = 1 + tg2 a sec a =

cosec2 a = 1 + cotg2 a cosec a =

sen acos a

1tg a

1cotg a

cos asen a

1cos a

+ 1 sen2 a

sen a

sen a

+ 1 sen2 a

1sen a



VI SOMA, SUBTRAO, MULTIPLICAO E DIVISODE ARCOS

sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b

sen (a b) = sen a . cos b cos a . sen b

cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b

cos (a b) = cos a . cos b + sen a . sen b

VII FUNES TRIGONOMTRICAS EM UMTRINGULO RETNGULO

No tringulo retngulo ABC (figura 17.A.5) temos:

Figura 17.A.5 Tringulo Retngulo

tg (a + b) = tg a + tg b

1 tg a . tg b

sen 2a = 2 sen a . cos a

cos 2a = cos2 a sen2 a

tg 2a = 2 tg a1 tg2 a

sen a = + 1 cos a

2 2

cos a = + 1 + cos a

2 2

tg a = +1 cos a

2 1 + cos a

tg (a b) = tg a tg b1 + tg a . tg b

sen a = 2 sen a . cos a2 2

cos a = cos2 a sen2 a2 2

tg a = 2 tg

a 2

1 tg2 a 2

1 + cos a = 2 cos2 a 2

1 cos a = 2 sen2 a 2

sen B =b

=cateto oposto

a hipotenusa

cos B =c

=cateto adjacente

a hipotenusa

tg B =b

=cateto oposto

c cateto adjacente

sec B =a

=1

c cos B

cosec B =a

=1

b sen B

cotg B =c

=1

b tg B



594

Ainda no tringulo retngulo ABC, B e C so ngulos complementares, isto :

B + C = 90.

Ento:

sen B = b = cos C = cos (90 B)a

cos B = c = sen C = sen (90 B)a

tg B = b = cotg C = cotg (90 B)c

sec B = a = cosec C = cosec (90 B)c

cosec B = a = sec C = sec (90 B)b

cotg B = c = tg C = tg (90 B)b

VIII RESOLUO DO TRINGULO RETNGULO

Consideram-se 4 casos na resoluo dos tringulos retngulos:

1o CASO: Dados a hipotenusa e um ngulo agudo (a e B, respectivamente)

Lados: b = a . sen B ngulo: C = 90 B

c = a . cos B rea: S = 1

a2 . sen 2 B4

2o CASO: Dados um cateto e um ngulo agudo (b e B, respectivamente)

3o CASO: Dados os dois catetos (b e c)

4o CASO: Dados a hipotenusa e um cateto (a e b, respectivamente)

^ ^

^^

Lados: a = b ngulo: C = 90 Bsen B

c = b . cotg B rea: S =1 b2 . cotg B2

ngulos: tg B =b Hipotenusa: a =

bc sen B

C = 90 B rea: S =1 bc2

ngulos: sen B =b Lado: c =a

C = 90 B rea: S =1 bc =

b2 2

b) (a b) (a +

b) (a b) (a +



IX TRINGULO PLANO OBLIQUNGULO

Seja o tringulo obliqungulo ABC da figura 17.A.6. As seguintes Leis so teis pararesoluo desse tipo de tringulo:

Lei dos Senos: a b c

sen A sen B sen C

Lei dos Cossenos: a2 b2 + c2 2 bc cos A

X RESOLUO DO TRINGULO OBLIQUNGULO

Conforme os dados do problema, distinguiremos os 4 casos possveis (figura 17.A.6).

1o CASO: Dados um lado e dois ngulos quaisquer (a, A e B)

Lados: b =a . sen B ngulo: C = 180 (A + B) sen A

c =a . sen C rea: S =

a2 . sen B . sen (A + B) sen A 2 sen A

2o CASO: Dados dois lados e o ngulo que eles formam (a, b e C)

ngulos: tg A + B = cotg C Lado: c =

a . sen C

2 2 sen A

tg A B =a b . cotg C rea: S =

ab . sen C 2 a + b 2 2

ou: tg A = a . sen Cb a . cos C

e: B = 180 (A + C)

3o CASO: Dados os trs lados (a, b e c)

==

=

2p c b a : Permetro =++

B) (A180 C :ou ; ab

b) (p a) (p

2

C sen

2ac

b c a B cos :ou ;

ac

c) (p a) (p

2

B sen

2bc

a b c Acos :ou ;

bc

c) (p b) (p

2

A sen:ngulos

222

222

+==

+==

+==

Figura 17.A.6 Tringulo Plano Obliqungulo

aC

c

A

b

B

c) (p b) (p a) (p p S : rea =



596

4o CASO: Dados dois lados e o ngulo oposto a um deles (a, b e A)

3 TRIGONOMETRIA ESFRICA

I FINALIDADE DA TRIGONOMETRIA ESFRICA

O navegante admite que a Terra tem forma esfrica, com o propsito de simplificar asoluo dos problemas de Navegao Astronmica. Por outro lado, os astros so supostosestar projetados sobre a superfcie interna de uma imensa esfera, denominada Esfera Celes-te, de raio infinito e concntrica com a Terra.

Eis porque, quando um navegante efetua Navegao Astronmica, o seguinte procedi-mento se impe:

1o. Observar astros que lhe parecem estar na superfcie interna da Esfera Celeste; e

2o. resolver tringulos esfricos pertencentes superfcie interna dessa esfera (fi-gura 17.A.7).

A RESOLUO DESTES TRINGULOS ESFRICOS CONSTITUI, PARAO NAVEGANTE, O FIM PRINCIPAL DA TRIGONOMETRIA ESFRICA.

Figura 17.A.7 Tringulo Esfrico na Esfera Celeste

ngulos: sen B =b . sen A Lado: c =

a . sen C a sen A

C = 180 (A + B) rea: S =1 ab . sen C2



As Tbuas para Navegao Astronmica (PUB. 229, PUB. 249, RADLER, NORIE, etc.)constituem, na realidade, uma srie de solues pr-computadas de tringulos esfricos, paratodas as combinaes possveis de Latitude, Declinao e ngulo Horrio (ou ngulo no plo),a fim de facilitar ao navegante a resoluo do tringulo de posio e a determinao rpida eprecisa do ponto no mar.

II PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS TRINGULOSESFRICOS

TRINGULO ESFRICO a poro da superfcie esfrica compreendida entre trsarcos de circunferncias mximas, cada um deles inferior a 180.

Os ngulos do tringulo esfrico ABC (figura 17.A.8) so simbolizados com as letras A,B, C e os lados opostos, com as minsculas respectivas: a, b, c. A cada tringulo esfrico ABC,de lados menores que 180, corresponde um ngulo tridrico convexo, 0ABC, cujo vrticeest no centro O da esfera. Os lados do tringulo esfrico tm por medida as faces respectivasdo ngulo tridrico correspondente. Realmente, a medida de cada lado igual medida dorespectivo ngulo central:

lado a = ngulo central BOC

lado b = ngulo central AOC

lado c = ngulo central AOB

Figura 17.A.8 Tringulo Esfrico A B C

Os ngulos do tringulo esfrico tm por medida os diedros do ngulo tridrico cor-respondente:

A = diedro OCAB B = diedro OABC C = diedro OACB



598

| b c | < a < b + c| c a | < b < c + a| a b | < c < a + b

Propriedades dos tringulos esfricos:

1a. A soma dos 3 lados de um tringulo esfrico maior que 0 e menor que 360.

0 < a + b + c < 360

2a. A soma dos 3 ngulos de um tringulo esfrico maior que 2 retos e menor que 6 retos.

180 < A + B + C < 540

3a. Cada lado de um tringulo esfrico menor que a soma e maior que a diferena dosoutros dois.

4a. Se 2 lados de um tringulo esfrico so iguais, os ngulos opostos tambm soiguais. A recproca verdadeira.

Se a = b, ento A = B (e reciprocamente)

5a. Ao maior lado se ope o maior ngulo e vice-versa.

6a. A soma de dois ngulos menor que o terceiro acrescido de 180 e a diferena menor que o suplemento do terceiro.

A + B < C + 180 A B < 180 C

III FRMULAS GERAIS DA TRIGONOMETRIA ESFRICA

A Trigonometria Esfrica estabelece relaes convenientes entre os 6 elementos de umtringulo esfrico (3 lados e 3 ngulos), tornando possvel o clculo de 3 desses elementos,quando forem conhecidos os outros 3.

Assim, cada elemento desconhecido calculado em funo de outros 3, proporcionan-do, em cada caso, uma combinao de 4 elementos. Como so 6 os elementos de um tringulo,temos que ver quantas combinaes poderemos fazer com esses 6 elementos 4 a 4.

Deste modo, com 15 frmulas teremos abrangido todos os casos de resoluo a seguirexpostos.

1o CASO: COMBINAO DE 3 LADOS A CADA UM DOS NGULOS

Da figura 17.A.9, obtm-se: tg b = AL sec b = OLtg c = AK sec c = OK

Cnm PA

n

n

m= PA

4

46

1 x 2 x 3 x 46 x 5 x 4 x 3 15= = = = 15



Os tringulos planos retilneos KOL e KAL permitem-nos escrever:

KL2 = OL2 + OK2 2 x OL x OK x cos a

KL2 = AL2 + AK2 2 x AL x AK x cos A

Igualando e substituindo:

sec2 b + sec2 c 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b + tg2 c 2 . tg b . tg c . cos A ou seja:

2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b sec2 b + tg2 c sec2 2 tg b . tg c . cos A

Dividindo por (2) ambos os membros da igualdade acima, teremos:

sec b . sec c . cos a = 1 + tg b . tg c . cos A

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por cos b . cos c, vir:

1 . 1 . cos a . cos b . cos c = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A . cos b . cos ccos b cos c cos b cos c

Por deduo semelhante, chegaramos s outras duas combinaes, completandoassim o grupo das chamadas FRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMTRICAESFRICA:

2o CASO: COMBINAO DE 3 NGULOS A CADA UM DOS LADOS

Por simples aplicao da propriedade do tringulo polar ou suplementar, chega-ramos ao seguinte conjunto de frmulas:

Figura 17.A.9

Donde cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B

cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C



600

3o CASO: COMBINAO DE 2 NGULOS A 2 LADOS OPOSTOS (ANALOGIA DOSSENOS OU LEI DOS SENOS)

Partindo das frmulas fundamentais, por fceis substituies algbricas, deduzir-amos:

4o CASO: COMBINAO DE 4 ELEMENTOS CONSECUTIVOS (FRMULA DASCOTANGENTES), NOS SENTIDOS MOSTRADOS NA FIGURA 17.A.10

Com origem nas frmulas fundamentais, chegaramos s ltimas 6 frmulas, atin-gindo o total das 15 combinaes procuradas:

Todo o trabalho restante da Trigonometria Esfrica se resume, praticamente, nasimplificao destas frmulas gerais, que so suficientes para resolver qualquer caso cls-sico que se apresente.

Acos . b cos Asen . Ccotg b sen . ccotg

B cos . a cos B sen . Ccotg a sen . ccotg

Acos . c cos Asen . Bcotg c sen . bcotg

C cos . a cos C sen . Bcotg a sen . bcotg

C cos . b cos C sen . cotg A b sen . acotg

B cos . c cos B sen . cotg A c sen . acotg

+=

+=

+=

+=

+=

+=

Figura 17.A.10

B

C

A

c

b

a

cos A = cos B . cos C + sen B . sen C . cos a

cos B = cos A . cos C + sen A . sen C . cos b

cos C = cos A . cos B + sen A . sen B . cos c

==sen asen A

sen bsen B

sen csen C



IV SIMPLIFICAO DAS FRMULAS GERAIS NOSCASOS DOS TRINGULOS ESFRICOSRETNGULOS E RETILTEROS

TRINGULO ESFRICO RETNGULO aquele que tem um ngulo igual a 90.

TRINGULO ESFRICO RETILTERO aquele que tem um lado igual a 90.

Fazendo parte dos 3 elementos dados de um tringulo esfrico um ngulo igual a 90(tringulo esfrico retngulo), ou um lado igual a 90 (tringulo esfrico retiltero), evidenteque este elemento ir simplificar a combinao escolhida, como se verifica no quadro a seguir,no qual so apresentadas as frmulas gerais e as frmulas simplificadas que atendem reso-luo de qualquer caso dos tringulos esfricos retngulos e retilteros.

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A cos a = cos b . cos c cos A = cotg b . cotg c

cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B cos b = sen c . cos B

cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C cos c = sen b . cos C

cos A = cos B . cos C + sen B . sen C . cos a cos a = cotg B . cotg C cos A = cos B . cos C

cos B = cos A . cos C + sen A . sen C . cos b cos B sen C . cos b

cos C = cos A . cos B + sen A . sen B . cos c cos C sen B . cos c

sen a =

sen b sen b sen a . sen B sen B = sen b . sen A sen A sen B

sen a = sen c sen c sen a . sen C sen C = sen c . sen A

sen A sen C

sen b =

sen c sen B sen C

cotg a . sen c = cotg A . sen B + cos c . cos B cotg a = cotg c . cos B cotg A = cos c . cotg B

cotg a . sen b = cotg A . sen C + cos b . cos C cotg a = cotg b . cos C cotg A = cos b . cotg C

cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C cotg b = cotg B . sen C

cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A cotg B = cotg b . sen c

cotg c sen cotg C . sen B + cos a . cos B cotg c = cotg C . sen B

cotg c sen cotg C = cotg c . sen b

FRMULAS GERAIS FRMULAS SIMPLIFICADAS A = 90 a = 90

=

=

=

=

=a

= cotg C . sen A + cos b . cos A

.

. b



602

V FRMULAS EMPREGADAS NA RESOLUO DOSTRINGULOS ESFRICOS OBLIQUNGULOS

1o CASO: DADOS OS TRS LADOS (a, b, c)

2o CASO: DADOS OS TRS NGULOS (A, B, C)

Figura 17.A.11

B

ab

C

c

A

3o CASO: DADOS DOIS LADOS E O NGULO COMPREENDIDO (A, b, c) FIGURA 17.A.11

2c b a

p sendo ; a) (p sen . p sen

c) (p sen . b) (p sen

2A

tg ++

=+=

c) (p sen . p sen

b) (p sen . a) (p sen

2C

tg

b) (p sen . p sen

c) (p sen . a) (p sen

2B

tg

+=

+=

B) (S cos . A)(S cosC) (S cos . S cos

2c

tg

2b

tg

2CB A

S sendo ; 2a

tg

+=

+=

++=+=

C) (S cos . A) (S cosB) (S cos . S cos

C) (S cos . B) (S cosA) (S cos . S cos



m cos

m) ~ (c cos . b cos a cos =

ssv A c. sen b. sen c) ~ (bssv assv +=

Para o clculo do lado a podemos empregar a frmula:

Em que o argumento auxiliar m dado por tg m = tg b. cos A ou, ento, lanar mo dafrmula do SEMI-SENO-VERSO:

oportuno recordar que se denomina semi-seno-verso (ssv) de um ngulo A expres-so:

fcil demonstrar a igualdade acima, desde que nos lembremos das seguintes iden-tidades:

multiplicando a segunda frmula por ( 1), teremos:

somando 1 a cada um dos membros, ficar:

como:

ou, ento:

2

A sen

2

A cos Acos

1 Acos Asen

22

22

=

=+

2

A sen

2

A cos Acos 22 +=

2

A sen

2

A cos 1 Acos 1 22 +=-

2

Asen A)cos (1

2

1 e ;

2

Asen 2 Acos1 22 ==

sen2 A + cos2 A

= 1, teremos: 2 2

2

Asen A)cos - (1

2

1 ssv A 2 ==

1 cos A = sen2 A + cos2 A cos2 A + sen2 A

2 2 2 22



604

O semi-seno-verso (ssv) empregado na soluo do tringulo de posio em vriasTbuas para Navegao Astronmica. Em ingls, denominado haversine (hav). esta anotao empregada na Tbua Norie.

Quanto aos ngulos B e C, podem ser obtidos por meio das ANALOGIAS DE NEPER:

O lado a tambm pode ser obtido, aps o clculo dos ngulos B e C, utilizando a ANA-LOGIA DE NEPER:

4o CASO: DADOS DOIS NGULOS E O LADO COMPREENDIDO (LADO COMUM)

Dados: A, b, C

Utiliza-se a resoluo pela decomposio em tringulos retngulos.

Na figura 17.A.12, o ngulo B pode ser calculado pela frmula

2

Acotg .

2c b

sen

2c b

sen

2

C Btg

2

Acotg .

2c b

cos

2c b

cos

2

C Btg

+=

+=

+

2c b

tg .

2C B

cos

2C B

cos

2a

tg +

+

=

sen

Acos . sen B cos =

Figura 17.A.12

C

A

B

c

ab

Yd



Em que o argumento auxiliar Y dado por cotg Y = tg A . cos b, e o ngulo d = C Y.Ou, ento, lanando mo da frmula do SEMI-SENO-VERSO:

Os lados a e c podem ser calculados por meio das ANALOGIAS DE NEPER:

Calculados os lados a e c, pode-se utilizar a frmula seguinte, para calcular o nguloB, obtida da ANALOGIA DE NEPER:

5o CASO: DADOS DOIS LADOS E O NGULO OPOSTO DE UM DELES (a, b, A)

Na figura 17.A.13, temos:

2

C Atg .

2c a

cos

2c a

cos

2

Bcotg

++

=

Figura 17.A.13

m

c

dA

b a

B

2b

tg .

2C A

cos

2C A

cos

2

c atg

+=

+

2b

tg .

2C A

sen

2C A

sen

2

c atg

+=

Y d

ssv (180 B) = ssv (A + C) sen A. sen C . ssv b

C



606

Sinais de d e d:

As grandezas m e Y sero sempre positivas.

As grandezas d e d sero positivas quando A e B forem do mesmo quadrante; quandoA e B no forem do mesmo quadrante, os valores de d e d sero precedidos do sinal (menos). Os sinais de d e d saem diretamente das frmulas acima, para cos d e cos d.

6o CASO: DADOS DOIS NGULOS E O LADO OPOSTO A UM DELES (A, B, b)

sen B =sen A . sen b

sen a

c = m + d tg m = cos A . tg b cos d =cos m . cos a

cos b

C = Y + d cotg Y = cos b . tg A cos d =cos Y . tg b

tg a

sen a =sen A . sen b

sen B

c = m + d cotg m = cos A . tg b cos d = cotg B . cos m

cotg A

C = Y + d tg Y = cos b . tg A cos d = cos Y . cos B

cos A

Figura 17.A.14

Na figura 17.A.14, temos:

AB

a

m

b

d

C

dY

c



Sinais de d e d:

Os sinais de Y e m so sempre positivos.

Os sinais de d e d so sempre iguais, pois estes so sempre do mesmo quadrante(o que acontece, igualmente, com m e Y). Os sinais de d e d saem diretamentedas frmulas acima, para cos d e cos d.

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