tema nº 3 turbomaquinas respaldo 22

Flujo bidimensional en cascada.

Henry GuillénDepartamento de EnergíaLa Universidad del Zulia

Flujo bidimensional en cascada. Nomenclatura de la cascadaUn perfil de álabe de una cascada se puede mostrar como una línea curva convexa. Generalmente es un arco de círculo o parábola.

Donde: l = Cuerda del álabe = c b = Curvatura máxima (la profundidad); b = l cos (θ/2) (para arco circular)

a = Distancia del borde de ataque a la curvatura máxima t = Espesor del perfil (t(x)) θ = Ángulo de curvatura. θ = θ1 + θ2 (para arco circular); (θ1 y θ2 son ángulos que forman

la línea media con la cuerda en los bordes). λ = Ángulo con respecto a la dirección axial.

Flujo bidimensional en cascada

Para arco circular:

Borde de entrada (borde de ataque) α1’ = λ + θ1. Borde de salida (borde de estela) α2’ = λ – θ2. a/l = 0,5 y θ1 = θ2 = θ/2

Radio del arco: rl = l /2sen|θ/2| La profundidad: b = l cos (θ/2) La curvatura máxima: ymax = rl (1 – cos (θ/2)); θ = α1’ - α2’

Resumiendo: Los parámetros útiles para describir un álabe de cascada son: Forma de la curvatura. b/l: curvatura máxima a cuerda. a/l: distancia del borde de ataque a la curvatura máxima a cuerda. Tipo de distribución de espesores. La relación espesor máximo a cuerda (tmax/l).


NOMENCLATURA DE UN PERFIL ALAR

Borde de ataque Borde de salida

Extradós

Intradós

Cuerda

Espesor

Línea de curvatura media

Curvatura


ENSAYO AERODINAMICO DE CASCADAS DE ALABES

Flujo bidimensional en cascada. Las curvaturas y distribución de espesores de álabe se presentan generalmente en tablas de y/l y t/l en función x/l como se muestra:Tabla 1: Coordenadas del perfil base (yt) más común, x muestra la coordenada cordal, de borde de entrada al de salida, sobre la línea de curvatura para los C (para compresor) y sobre la cuerda para los NACA (Nacional Advisory Comité for Aeronautics, hoy NASA)

Primer dígito describe la curvatura máxima como porcentaje de la cuerda (% c).Segundo digito describe la distancia de máxima curvatura desde el borde de ataque en 1/10 del porcentaje de la cuerda.Dos últimos dígitos describe el máximo espesor como % de la cuerda.EjemplosNACA 4415Máxima curvatura al 4%Máxima curvatura localizada al 40% (0.4 cuerdas) del borde de ataqueMáximo espesor del 15% de la cuerdaNACA 0015 : Perfil simétrico (00). Máximo espesor del 15% de la cuerda.

Flujo bidimensional en cascada. Gráficos, que muestran datos de cascada de álabe NACA de la serie 65.

Flujo bidimensional en cascada. Esquema de geometría de una etapa de Turbina Axial - Esquema de geometría de una etapa de un Compresor Axial

Rotor Estator

1 2 2 3


Ejemplos de difusión

a) En un perfil aislado.b) En el conducto establecido entre dos perfiles.

Flujo bidimensional en cascada Cascada de Compresor

Notación de álabe

α1 = ángulo de entrada del flujo. α2 = ángulo de salida del flujo. α1’ = ángulo de entrada del álabe. α2’ = ángulo de salida del álabe. ξ = ángulo de posición (ángulo de ataque, ángulo de calado). θ = ángulo de curvatura. δ = ángulo de desviación. s = espaciamiento o paso. i = ángulo de incidencia. Є = α1 - α2: deflexión del fluido. i = α1 - α1’: incidencia. δ = α2 - α2’: desviación.s/l = relación paso cuerda (vale ½ para línea de curvatura de arco de círculo).ξ = ½ (α1, + α2,) (si la línea de curvatura es un arco circular).Para líneas de curvatura en arco de parábola de baja curvatura (es decir, pequeña b/l). Los ángulos de entrada y salida del álabe son:α1’ = ξ + tang ¹ (b/l/(a/l)²); α2’ = ξ - tang ¹ (b/l/(1- a/l)²).

Flujo bidimensional en cascada. Análisis de fuerzas en hileras de álabes.

Fuerzas tangencial y axial.

Flujo bidimensional en cascada. Análisis de fuerzas en hileras de álabes.

Fuerzas tangencial y axial.Se define velocidad media: Cm = Cx/cos αm

Donde: αm = arctang [½ (tg α1 + tg α2)].

Aplicando el principio de continuidad ( m = ρCA):ρ1 Cx1 A1 = ρ2 Cx2 A2; se supone que: ρ1 = ρ2 y A1 = A2

Cx1 = Cx2 = Cx = CteCantidad de movimiento (F = ma)

Balance de fuerza en X (fuerza en la dirección X)∑Fx = m (Cx1 - Cx2)- P1s + P2s – X = m (Cx1 - Cx2)X = (P2 – P1) s (1) Fuerza axial

Balance de fuerza en Y (fuerza en la dirección Y)∑Fy = m (Cy1 – Cy2)Y = m (Cy1 – Cy2)

Y = ρ Cx s (Cy1 – Cy2) ó Y = ρ Cx2 s (tg α1 – tg α2) (2) fuerza tangencial

Flujo bidimensional en cascada. Pérdida de energía

Si hubo cambio en las presiones de estancamiento entonces hubo pérdidas en la entrada y salida.

Pérdidas de presión total (ΔP0) debido a la fricción superficial y efectos afines se expresa:

ΔP0/ ρ = (P1 – P2)/ ρ + ½(C1 – C2) (3)

Sustituyendo y resolviendo las ecuaciones (1) y (2) en (3) se obtiene la relación:

ΔP0/ ρ = 1/ ρs (- X + Y tg αm) (4)

Donde: tg αm = ½ (tg α1 + tg α2)

Flujo bidimensional en cascada. Pérdida de energía

Coeficiente de pérdida de presión total (ζ):

ζ = ΔP0 / ½ ρ Cx²

Coeficiente de aumento de presión (Cp):

Cp = (P1 – P2)/ ½ ρ Cx² = X/½ρ s Cx²

Coeficiente de fuerza tangencial (Cf): Cf = Y / ½ ρ s Cx² = 2 (tg α1 - tg α2)

Relación entre ζ , Cp y Cf se obtiene:

Cp = Cf tg αm - ζ

Flujo bidimensional en cascada. Sustentación (L) y arrastre (D) (resistencia aerodinámica)

L =lift D=drag

Son fuerzas de reacción ejercidas por el álabe sobre el fluido.

Flujo bidimensional en cascada. Sustentación (L) y arrastre (D) (resistencia aerodinámica)


Si el perfil es simétrico ante una corriente uniforme, se dice que no tiene ángulo de incidencia con respecto a la corriente y no aparece la sustentación, se dice que la sustentación es nula, es decir para que halla sustentación debe existir ángulo de incidencia.


para no hay sustentación

0

mayor curvatura de las líneas de corriente = circulación 0

0 c 0

si el ángulo de ataque sigue aumentando... ...y el alabe entra en

pérdida: la sustentación disminuye.

... la turbulencia aumenta... c c

Flujo bidimensional en cascada Las fuerzas de sustentación y arrastre se obtienen en función de las

fuerzas axial y tangencial.

Del diagrama:

Se tiene que:

L = X sen αm + Y cos αm (5) fuerza de sustentación

D = Y sen αm - X cos αm (6) fuerza de arrastre

X

Yαm

L D

Flujo bidimensional en cascada De la relación (4) Pérdida de presión total se puede escribir:

D = cos αm (Y tg αm – X) = s ΔP0cos αm (7)

Despejando X en (7), sustituyendo y resolviendo en (5) se obtiene:

L = ρ s Cx² (tg α1 - tg α2) sec αm – s ΔP0sen αm (8)

Las fuerzas de L y D pueden definirse en parámetros adimensionales:

Coeficiente de sustentación: CL = L / ½ ρ Cm² l; donde l es la cuerda.

Coeficiente de arrastre: CD = D / ½ ρ Cm² l

Flujo bidimensional en cascada Relacionando CL y CD con las ecuaciones (7) y (8) se tiene:

CD = (s ΔP0cos αm) / (½ ρ Cm² l) = ζ (s/l) cos³ αm

CL = (ρ s Cx² (tg α1 - tg α2) sec αm – s ΔP0sen αm)/ (½ ρ Cm²l)

= 2 (s/l) cos αm (tg α1 - tg α2) – CD tg αm (coeficiente de sustentación real)

Por otra parte relacionando las ecuaciones de Cf y CD

CL = (s/l) cos αm (Cf – ζ (sen2 αm)/2)

Flujo bidimensional en cascada Dentro del rango normal de funcionamiento de una cascada. Los

valores de CD son mucho menores que los de CL

Como CD < < CL; 0º ≤ αm ≤ 60º entonces CD tg αm se puede despreciar.

Si se desprecia CD se habla del Coeficiente “ideal” de sustentación.

CLideal = 2 (s/l) cos αm (tg α1 - tg α2)

A la relación entre L y D se denomina eficiencia aerodinámica y es aproximadamente:

L/D = CL/CD ≈ (2 sec²αm)/ ζ (tg α1 - tg α2) = (Cf sec²αm) / ζ

Flujo bidimensional en cascada Eficiencia de una cascada de compresor:

Puede definirse de la misma forma que la eficiencia de un difusor

ηc = ηD = (P2 – P1)/½ρ(C1² – C2²) = 1 - ΔP0 / ρ Cx²tg αm (tg α1 - tg α2)

Relacionando con ecuaciones anteriores se tiene que:

ηD = 1 – ζ / Cf tg αm como ζ / Cf ≈ sec²αm (CD/CL) se tiene que

ηD = 1 – 2 CD / CL sen²αm

Si CD / CL = Cte se tiene que δ ηD / δ αm = 4 CD cos2αm/ CL sen²2αm = 0

(Ver figura 3.6)

Flujo bidimensional en cascada De la figura 3.6. Se deduce ηD y CD / CL son funciones del αm

Si αmopt 45º se tiene que: ηD = 1 – 2 CD / CL

Flujo bidimensional en cascada Funcionamiento o actuación de cascada en compresoresPara una familia dada de cascada geométricamente

semejante:

ζ, α2 = f (α1,M1,Re)

Donde: M1 = C1/ (ρgRT1)½: Nº de Mach a la entrada del álabe. Re = ρ1C1l/μ: Nº de Reynolds a la entrada basado en la longitud de la

cuerda del álabe.

Los experimentos han demostrado que para: (Basado en la velocidad de entrada) Re > Recritico ≈ ζ, α2 ≠ f (M1,Re)

Los efectos del Nº de Mach se deprecian por que M1 < 0.3 Se tiene entonces para flujo se simplifica que:

ζ, α2 = f (α1)

Flujo bidimensional en cascada Las pérdidas totales cuando el álabe esta montado en la turbomáquina son:

ζT = ζ + ζDa + ζDs

Donde: Coeficiente de pérdida de presión total (ζ) (figura 3-10)

ζDa = 0.02 (s/H): Coeficiente de pérdida por fricción superficial en el anillo de paso (pérdida en las paredes del anillo).

H: Altura del álabe.

ζDs = 0.0018 CL²: Coeficiente de pérdidas secundarias

Flujo bidimensional en cascada Correlación de Howell para cascada de compresores(Condiciones dentro de diseño) (Figura 3-10)

Esta indica que: La deflexión (Є) y las pérdidas están en funciones de la incidencia, Re, M. Hay incidencias negativas y positivas. Las pérdidas son mínimas para incidencias próximas a cero y crecen más lentamente hacia

incidencias negativas que hacia las positivas. El margen de operativo está en el orden de una Є de 10º a 30º

Flujo bidimensional en cascada Howell: Trabajo todas las cascadas en una condiciones fijas (todas en un punto) llamada condición nominal Howell (condición de referencia). Se expresa:

Є* = 0.8 Єmax

Donde: M1 =Cte; Re = Cte; i = α1 – α’1; Є = α1 - α2; ζ = ΔP0 / ½ ρ C1²

En compresores: P2 > P1; el ángulo a la salida cambia mucho (hay pérdida); α2 ≠ α2’En turbinas: P2 < P1; el ángulo a la salida cambia muy poco (no varia); α2 ≈ α2’

Flujo bidimensional en cascada Caso típico de cascada de turbina (figura 3-12)


Caso típico de cascada de turbina (figura 3-12)

De esta figura se deduce que:

El ángulo de salida del flujo resulta menos sensible a la incidencia que en cascada de compresor, dando un rango operativo mayor.

Las incidencias positivas disparan las pérdidas más rápidamente que las negativas.

Los ángulos de reacción muestran un rango de operación con bajas pérdidas más amplio que el de los álabes de acción. Esto se debe a la aceleración de la corriente y a haberse usado bordes de ataque más gruesos

Flujo bidimensional en cascada Otras condiciones dentro de diseño: (figura 3-16)

Flujo bidimensional en cascada Є* = f (s/l, α2*, Re) = (Єmax - Єmin)/2

Re > 3x105; Є* = α1* - α2* (deflexión nominal)

tg α1* - tg α2* = 1.55/(1 + 1.5(s/l)); es aplicable con 0º ≤ α2* ≤ 40º

CL*ideal = 2 (s/l) cos αm* (tg α1* - tg α2*)

Desviación del flujo:(Howell)

δ* = mθ(s/l)n

Para cascada de compresor: n = ½; m = 0.23 (2(a/l))² + α2*/500

Para alabes guías de entrada del compresor: n = 1; m = 0.19 (Cte).

Nota: el valor de m depende de la forma de la línea de curvatura y de la colocación del álabe.


Ejemplo: Correlación Howell para condiciones dentro de diseño. Se utiliza la figura 3-16.

Una cascada de compresor tiene una relación paso-cuerda de uno y ángulo de entrada y salida de álabe de 50º y 20º, respectivamente. Si la línea de curvatura del álabe es un arco de círculo (es decir, a/l = 50%) y la cascada se diseña para funcionar en la condición nominal de Howell, determine la deflexión del fluido(Є*), la incidencia (i*) y el coeficiente de sustentación ideal (CLideal) en el punto de diseño.

Flujo bidimensional en cascada Solución

Cascada de compresor: s/l = 1; α1` = 50º ; α2` = 20º ; a/l = ½; a. Є* = ?; b. i* = ?; CLideal = ?Є* = ?Є* = α1* - α2* (deflexión nominal). Para hallar α2* δ* = mθ(s/l)n (Desviación nominal)

Para cascada de compresor: n = ½; m = 0.23 (2(a/l))² + α2*/500

Sustituyendo: δ* = [0.23 (2(a/l))² + α2*/500] θ(s/l)½; θ = α1` - α2` = 50º - 20º = 30º

También: δ* = α2* - α2`Igualando las ecuaciones: α2* - α2` = [0.23 (2(a/l))² + α2*/500] θ(s/l) ½

Resolviendo y despejando: α2*; α2* = [α2` + 0.23 (2(a/l))² θ(s/l) ½] / [ 1 - θ(s/l) ½/500]α2* = [20º + 0.23 (2(½))² 30º(1) ½] / [ 1 – 30º(1) ½/500]

α2* = 28.6º (ver gráfica 3-16 el valor de Є* comparar con el calculado)

Para hallar α1*: De la ecuación tg α1* - tg α2* = 1.55/(1 + 1.5(s/l))

α1*= arctg [1 + 1.5 (1) + tg (28.6)]; se tiene que: α1*= 49.6º

Є* = α1* - α2* = 49.6º - 28,6º = 21º (deflexión nominal)

i* = α1* - α1` = 49.6º - 50 = - 0.4 (incidencia nominal)

c. CLideal = 2 (s/l) cos αm* (tg α1* - tg α2*)

αm* = arctg [½(tg α1* - tg α2*)]; resolviendo: αm* = 40.75º

CLideal = 2 [0.758 (1.172 – 0.545)] ≈ 0.95

En conclusión: se observa que la δ* estimada es un valor importante para efectos del diseño, ya que, pequeño errores en está produce grandes cambios en la deflexión y por tanto en la actuación del compresor.

Flujo bidimensional en cascada Condición fuera de diseño: se utiliza la curva generalizada de Howell (figura 3-17). Si se conoce la

deflexión nominal (Є*) y la incidencia nominal (i*) se puede hallar la deflexión y el coeficiente de pérdida total.

Flujo bidimensional en cascada Ejemplo: Correlación de Howell para condiciones fuera de diseño. Se utiliza la

figura 3-17

En el ejemplo anterior con una cascada de s/l = 1; α1`= 50º y α2` = 20º las condiciones nominales son Є* = 21º e i* = - 0.4º. Supongamos que se desea conocer la actuación fuera de diseño de esta cascada para una incidencia i = 3.8º. Determine el coeficiente de pérdida total (ζ), el coeficiente de esfuerzo de sustentación tangencial (Cf), la eficiencia (ηD) y el coeficiente de sustentación real (CLreal).

Flujo bidimensional en cascada Solución

a.- Coeficiente de pérdida total (ζ) es:

ζ = ΔP0 / ½ ρ Cx2 = CD / (s/l) cos³ αm

tg αm = ½ (tg α1 + tg α2); donde: αm = arctg [½(tg α1 + tg α2)]

de: i = α1 - α1` ; se tiene: α1 = i + α1` = 3.8 + 50 = 53.8ºde: Є = α1 - α2; se tiene: α2 = α1 – Є

de la figura 3-17: se halla CD y Є/ Є*con:

(i – i*)/ Є* = [3.8 – (- 0.4)]/21 = 0.2; se tiene que: CD ≈ 0.017 y Є/ Є* ≈ 1.15De: Є/ Є* ≈ 1.15; Є = Є*(1.15) = 21(1.15) = 24.1º De allí: α2 = α1 – Є = 53.8º - 24.1º = 29.7º

αm = arctg [½(tg α1 + tg α2)] = arctg [½(tg 53.8º + tg 29.7º)] = 44.1º

ζ = CD / (s/l) cos³ αm = 0.017/cos ³(44.1º) = 0.0458

b.- Coeficiente de esfuerzo de sustentación tangencial (Cf):

Cf = 2 (tg α1 - tg α2) = 1.596

c.- La eficiencia (ηD):

ηD = 1 – ζ / Cf tg αm = 1 – 0.0458 / 1.596( 0.969) = 97%

d.- El coeficiente de sustentación real (CLreal):

CLreal = 2 (s/l) cos αm (tg α1 - tg α2) – CD tg αm =

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