Universidade da Madeira Centro de Competncia das Cincias Exactas e das Engenharias Medio e o erro de medio Docente: Professor Lus Gomes Disciplina: Tcnicas de Medida e Instrumentao Trabalho elaborado em Maro de 2011 por: Joo Vieira n 2057705Roberto Silva n 2027407 1 ndice 1.Resumo ........................................................................................................ 2 2.Introduo da teoria ..................................................................................... 3 2.1.Voltmetro e ampermetro ideais ............................................................ 3 2.2. Erros sistemticos e factor de correco .............................................. 3 2.3. Mtodo directo e indirecto .................................................................... 4 2.3.1. Mtodo voltmetro-ampermetro ..................................................... 4 2.4.Anlise da repetibilidade ....................................................................... 5 3.Lista de Material ........................................................................................... 5 4.Procedimento ............................................................................................... 6 4.1.Resistncia interna de um voltmetro .................................................... 6 4.1.1.Montagem do circuito equivalente de Thvenin .............................. 6 4.1.2.Clculo dos valores de tenso para o voltmetro ideal .................... 6 4.1.3.Clculodosvaloresdetenso,errorelativoefactordecorreco para um voltmetro no ideal ........................................................................ 7 4.1.4.Medio dos valores de tenso ...................................................... 8 4.2.Medio de uma tenso contnua .......................................................... 8 4.2.1.Mtodo Directo ................................................................................ 8 4.3.Medio de uma resistncia ................................................................ 12 4.3.1. Montagem de derivao longa ..................................................... 12 4.3.2. Montagem de derivao curta ...................................................... 13 5.Concluso .................................................................................................. 15 6.Bibliografia ................................................................................................. 16 2 1. Resumo Estetrabalhotevecomoobjectivoprincipalaintroduosmediese errosenvolvidosduranteassuasrealizaes.Anomenclaturautilizadafoi tambm objecto de estudo. Em primeiro lugar mediu-se a voltagem aos terminais de um circuito simples com o objectivo de verificar a influncia da resistncia interna de um voltmetro na medio da queda de tenso numa resistncia. Outroobjectivodestetrabalhoconsistiunaconsultadeparmetrosdas mediesedosinstrumentosutilizados.Paratal,calculou-seaincerteza associadaacadainstrumentodemedioeefectuaram-semediescomos respectivos instrumentos para verificao da repetibilidade dos resultados. Por fim, estudaram-se dois esquemas de medio de uma resistncia pelo mtodovoltmetro-ampermetro.Nesteltimopontooobjectivoprincipal passouporcalcularecompararoserrosassociadosentreasduasformasde medio e finalmente a escolha do esquema de medio mais correcto. 3 2.Introduo da teoria 2.1.Voltmetro e ampermetro ideais Duranteasmediesefectuadasnasdisciplinasanterioresnareade electrnica,considerou-sequeosaparelhosdemedioeramideais.Um voltmetroidealapresentaumaresistnciainternainfinitaenquantoum ampermetro ideal apresenta uma resistncia interna nula.Narealidadetalnosesucedeeasresistnciasdestesaparelhos podeminfluenciarnasmediesefectuadasseaordemdegrandezadas resistnciasassociadasaoscircuitosforprximadaordemdegrandezadas resistnciasdestesaparelhos,actuandoassimcomoumdivisorde tenso/corrente. 2.2. Erros sistemticos e factor de correco Os erros associados a uma medio podem (de uma maneira geral) ser classificados em trs categorias: Erros aleatrios Erros sistemticos Erros grosseiros O erro sistemtico consiste num erro que se mantm inalterado durante um conjunto de medies. Este erro pode ser calculado subtraindo mdia dos valores obtidos com erro sistemtico o valor verdadeiro da mensuranda. Contudo, visto que o valor real de uma grandeza um parmetro conhecido atumacertapreciso,oerrosistemticoeseusmotivosnopodemser absolutamente conhecidos. Outro mtodo de conhecer o erro sistemtico atravs de: eA = v - () em que v consiste na tenso real e vV na tenso medida [1].Umaformadesuavizaroerrosistemtico,consistenautilizaodofactor de correco. Resumidamente, o factor de correco consiste numa constante qualmultiplicadooresultadoobtidonamedioparacompensaroerro sistemtico e pode ser calculado por [1]: C= v() 4 2.3. Mtodo directo e indirecto Usualmente o valor de uma grandeza pode ser obtido atravs de vrios mtodos nomeadamente o mtodo directo ou o mtodo indirecto. Mtodo Directo neste mtodo a grandeza a medir obtida atravs de um aparelho de medio que apresenta o valor dessa grandeza e no o valordegrandezasrelacionadasagrandezapretendida.Amediode uma resistncia por parte de um ohmmetro um exemplo deste mtodo [1]. Mtodo Indirecto por oposio ao mtodo directo, no mtodo indirecto agrandezapretendidacalculadaatravsdeoperaesentrea(s) grandeza(s)fornecida(s)pelosaparelhosdemedio.Comoexemplo deste mtodotem-se amedio de umaresistnciaatravsdo mtodo voltmetro-ampermetro [1]. 2.3.1. Mtodo voltmetro-ampermetro Sendoestemtodoummtodoindirectoparaamediodeuma resistncia,oclculodovalorresistivoefectuadoapartirdorcio tenso/correntedosvaloresfornecidospelosrespectivosvoltmetroe ampermetros.Amediodaresistnciapodeserefectuadaapartirdas montagens ilustradas na figura 1: Figura 1: variaes do mtodo voltmetro-ampermetro. a) Montagem de derivao longa; b) Montagem de derivao curta. Emqualquerumadasmontagens,amedioapresentaumerro sistemticoassociadosresistnciasinternasdosaparelhos.Amontagem maisadequadavariacomovalordasresistnciasinternasdosaparelhose com R, podendo ser conhecida por: nd = A +_A2+. Av() em que A corresponde resistncia interna do ampermetro e v resistncia internadovoltmetro.Casox > ndeve-seusaramontagemdederivao longa. Caso x < n deve-se usar a montagem de derivao curta [3]. 5 2.4.Anlise da repetibilidade A repetibilidade de instrumento de medio consiste num parmetro que descreveaaproximaodosvaloresobtidossucessivamenteparaamesma mensuranda.Talrepetibilidadepodeseravaliadaatravsdefactorescomoa mdia( ),desviopadro(s),desviomdio(o)eerrorelativo(e)associadosaos valores de medio obtidos. Tais parmetros podem ser calculados por: s = _ -k(k - )2Lk=1 o =k|k -Lk=1| e = o () em que o nmero total de medies efectuadas, e k a frequncia que a medio de ndice aparece [1]. 3. Lista de Material Equipamento: Fonte de alimentao: Topward 6303A Multmetros Fluke 111, Fluke 87 e Wavetek 25XT Acessrios: Placa de montagem Fios condutores Componentes: Resistncias 1k, 100k, 10M 6 4. Procedimento O procedimento deste trabalho foi dividido em trs partes: Resistncia interna do um voltmetro Medio de uma tenso contnua Medio de uma resistncia Aolongodoprocedimentofeitoumaanlisecrticaentreosresultados tericos e os resultados prticos. 4.1.Resistncia interna de um voltmetro 4.1.1.Montagem do circuito equivalente de Thvenin Montou-seocircuitodafigura2.Apesardasimplicidadeaparentedo circuito(umafontedetensoeumaresistncia),estecircuitopretende representar o equivalente de Thvenin de outro circuito. Sendo assim possvel usaraabordagemdescritanasalneasseguintesparamedir/verificara influncia da resistncia de um voltmetro em qualquer circuito. Figura 2: equivalente de Thvenin de um circuito mais complexo. dereferirqueparaoestudodaresistnciainternadovoltmetro, utilizaram-se(nasrestantesalneasdestasubseco)trsvaloresparaa resistnciadocircuitorepresentadonafigura2:=K0; = 0; =H0. 4.1.2.Clculo dos valores de tenso para o voltmetro ideal Calcularam-seosvaloresmedidosporumvoltmetroidealquandoligado aosterminaisAeBdafigura2.Considerandoaresistnciainternado voltmetro infinita (caso ideal), tem-se: 7 = vv + = () sendoqueVcorrespondetensoaosterminaisdovoltmetroeRVa resistncia interna do voltmetro. 4.1.3.Clculodosvaloresdetenso,errorelativoefactorde correco para um voltmetro no ideal Nestepontovoltaram-seacalcularquaisosvaloresdetensomedidos aos terminais A e B do circuito ilustrado pela figura 1, mas desta feita, para um voltmetroreal.Consultandoodatasheetdovoltmetroutilizado(Fluke87), verificou-se que a sua resistncia interna de 10M. Tendo em conta a resistncia interna do voltmetro, calcularam-se para os trsvaloresdeRmencionadosnaalnea4.1.1.qualatensoobtidaaos terminaisdovoltmetro,oerrorelativoeofactordecorreco.Por(1)e(2) tem-se: Para R = 1K v = .H0H0 +K0 = ,999999eA = 4,9999995-55=-, = -,% C = ,999999 = , Para R = 100K v = .H0H0 +K0 = ,9eA = ,9 -=-, =-% C = ,9 = , Para R = 10M v = .H0H0 +H0 = ,eA = , -=-, = -% 8 C = , = Verifica-sequeoerrorelativoacadamedioaumentaconformea ordemdegrandezadaresistnciaRseaproximadaordemdegrandezada resistncia interna do voltmetro. 4.1.4.Medio dos valores de tenso Ligaram-seosterminaisdovoltmetroFluke87aosterminaisAeBdo circuito representado pela figura 2. Com a tenso na fonte a 4,99V, obtiveram-se os seguintes resultados: Para R = 1K; V = 4,990V Para R = 100K; V = 4,950V Para R = 10M; V = 2,61V Verifica-sequeosresultadosexperimentaisestoprximosdos resultadosdaanliseterica.Outroaspectoateremcontaconsisteno aumentodoerrosistemticoquandoaordemdegrandezadaresistncia interna do voltmetro prxima da ordem de grandeza da resistncia a medir. 4.2.Medio de uma tenso contnua Estepontoconsistenamediodatensofornecidaporumafontede tensoatravsdedoismtodosapresentadosnoponto2.3.(naseco introduo),nomeadamente os mtodos directo e indirecto. 4.2.1.Mtodo Directo Ajustou-seafontedetensoparaumvaloremtornodos8Vsemter preciso no valor para o qual a fonte estava realmente ajustada. dereferirqueaincertezaassociadaaumamediopodeserobtida atravs de duas maneiras: MetadedoLSBquandonoexisteespecificaodaincerteza, considera-se(pordefeito)metadedoalgarismomenos significativo. + ( % o nroo + I)quandoespecificadanodatasheet,aincertezatemduascomponentes.Aprimeiraest relacionadacomoerroassociadoaoaparelhodemedio (circuitosinternos,etc)enormalmenteconsistenuma percentagemdovalormedido( % o nroo).Asegunda componenteestrelacionadacomoADCdoinstrumentoe 9 apresentaumnmerodebits(menossignificativos)aserem somados incerteza( I). dereferirqueosmutmetrosutilizadosnestepontoforamos multmetrosFluke87eFluke111.Consultandoasespecificaesdecada instrumento, calculou-se a incerteza associada a cada medio de uma tenso contnua em torno dos 8V: Fluke 87: Paraesteinstrumentoodatasheetespecificaqueaincertezade +(,%+). Calculando o valor da incerteza da medio:Incro= 8, - ,%+, = ,8 +, = +, () Fluke 111: Paraesteinstrumentoodatasheetespecificaqueaincertezade: +(,%+).Nestepontoutilizou-seamdiadasincertezasassociadass medies descritas na tabela 1. Calculando o valor da incerteza da medio: Incro = 8, - ,%+, = ,9 + , = = +,()De seguida, efectuaram-se e registaram-se vinte medies tenso nos terminaisdafontedetensocomosdoismultmetrosanteriormente mencionados. A tabela 2 ilustra os resultados obtidos.Tabela 1: Medio de vinte valores da fonte de tenso com o multmetro Fluke 87 e Fluke 111, respectivamente. Fluke 87 Fluke 111 ndicek1 ndicek12 Leitura (V)xk8,45 Leitura (V) xk 8,458,46 Frequnciaik20 Frequncia ik 155 Ambasasleiturassoapresentadascomtrsalgarismossignificativos, assim sendo o intervalo de confiana associada a cada leitura o mesmo, no sepodendotirarqualquerconclusoprviarelativamentedispersodos resultados. Para verificar a repetibilidade das medies, calcularam-se os diferentes parmetrosestatsticosmencionadosnaalnea2.4(daintroduo).Por(4) obteve-se: 10 Tabela 2: valores dos diferentes parmetros para estatstica. x s Fluke 878,45V0mV0mV0% Fluke 111 8,4525V, 3,75 ,% Por (6) e (7) previa-se que o Fluke 87 apresentaria menor disperso (e consequentementemelhorrepetibilidade)nosresultadosobtidos,vistoa incertezaassociadaacadamedioserinferiorincertezadoFluke111.A tabela2confirmaestamelhorrepetibilidadedoFluke87prevista anteriormente. 4.2.2. Mtodo Indirecto Com a fonte de tenso apresentando o mesmo valor utilizado no mtodo directo, montou-se o circuito ilustrado pela figura 3. Figura 3: montagem utilizada para medio da tenso no mtodo indirecto. Comoabordadodaalnea2.3.,pretende-secalcularatensoVcom base na corrente obtida pelo ampermetro. Visto que os valores em tenso obtidos pela fonte podem variar entre 0 e 30Vearesistnciautilizadade1k(ignorou-searesistnciasinternado ampermetroporterumaordemdegrandezamuitoinferioraRx),pelo datasheetdomultmetroFluke87,aincertezaassociadaaestagamade valores de corrente (de 0 a 30mA) de +(,%+). Assim sendo, o intervalo de valores de tenso dado por: Incro= 8, - ,%+, = +, (8) por conseguinte: ]ontc= (8,+, ). u = 8,+, (9) Para o multmetro Wavetek 25XT tem-se: 11

Incro= 8, - ,%+, = +,() por conseguinte: ]ontc= (8,+, ). u = 8,+,() De seguida, ligaram-se os multmetros Fluke 87 e Wavetek 25XT em funodeampermetrocomoilustradonafigura2obtendo-seosvalores apresentados na tabela 3. Tabela 3: : Medio de vinte valores de corrente com o multmetro Fluke 87 e Wavetek 25XT, respectivamente e clculo da tenso. Fluke 87 Wavetek 25XT ndicek12ndicek123 Frequncia xk 128Frequncia xk 659 Leitura (mA) ik 8,548,55Leitura (mA) ik 8,418,428,43 Resistncia ()R10001000 Resistncia ()R100010001000 Tenso (V) R. ik 8,548,55Tenso (V) R. ik 8,418,428,43 Tenso mdia (V)8,544Tenso mdia (V)8,4215 ApesardeoWavetek25XTapresentarmenorrepetibilidadenas mediesrelativamenteaoFluke87,apresentavaloresdemediomais prximosdovalorobtidoatravsdomtododirecto.Estefactosugerequea resistnciainternadoWavetek25XTsejainferiordoFluke87 aproximando-se mais ao caso ideal. Esta suposio no pode ser confirmada, vistoaresistnciainternadoWavetek25XTnoconstarnasfolhasde caractersticas fornecidas do aparelho. 12 4.3.Medio de uma resistncia 4.3.1. Montagem de derivao longa Procedeu-seamontagemdederivaolongailustradapelocircuitoda figura 3. Figura 4: montagem de derivao longa.

Clculo do erro na medio da resistncia Calcularam-seoserrosdemediodaresistncia,tendoemcontaas especificaesdomultmetrosFluke87eFluke111.Calculou-seoerro absoluto: o = A = 0() sendoRAaresistnciainternadoAmpermetroFluke87.Oerro relativo dado por: c =oRx = RARx=0k0 =-3 = ,% Clculo do valor da resistncia Apsamontagemdocircuitoilustradopelafigura3,utilizou-seo multmetro Fluke 111 como funo de voltmetro e o Fluke 87 com funo de ampermetrovistoquepelodatasheetoFluke111noadequadopara medircorrentesnaordemdosmA,tendo-seposteriormentecalculadoovalor da resistncia. Tabela 4:clculo da resistncia para a montagem de derivao longa. Fluke 111Tenso8,44V Fluke 87Corrente84,7 A Resistncia calculada99645,8 13 Pela tabela 4, verifica-se que o valor da resistncia calculado prximo do valor da resistncia Rx ,que quando medida directamente com o multmetro foi de 99,2K.4.3.2. Montagem de derivao curta Procedeu-seamontagemdederivaocurtailustradapelocircuitoda figura 4. Figura 5: circuito de derivao curta. Clculo do erro na medio da resistncia Tendo-senovamenteporbaseasespecificaesdosmultmetros utilizados na alnea 4.3.1.2. ,calculou-se o erro na medio da resistncia. O erro absoluto dado por: o =Rx2Rv +Rx =k2N +k = ,99Ku () Em que Rv corresponde o valor da resistncia interna do voltmetro e . O erro relativo dado por: c =oRx =RxRx +Rv = 9,9 . -3 = ,99% () Clculo do valor da resistncia Apsamontagemdocircuitoilustradopelafigura4,utilizou-se novamente o multmetro Fluke 111 como funo de voltmetro e o Fluke 87 com funo de ampermetro. Tabela 5: clculo da resistncia para a montagem de derivao curta. Fluke 111Tenso8,43V Fluke 87Corrente85,5 A Resistncia calculada98596,5 14 Comparao dos resultados obtidos Pelos resultados obtidos para a resistncia nas tabelas 4 e 5, verifica-se quepelomtododederivaolongaobtm-seumresultadomaisprximodo valor da resistncia utilizado no circuito (100k) quando comparado ao mtodo de derivao curta. Os erros absolutos e relativos, como j era esperado, foram maioresnamontagemdederivaocurtadoquenamontagemdederivao longa. Comoreferidoanteriormentenaalnea2.3.1.,omtododovoltmetro-ampermetro mais indicado para a anlise deste circuito, poderia ser facilmente obtido atravs de (3). Assim sendo, o valor obtido para a Rind de: nd = , +,2 +. (,)(7)= 9uvisto que Rx superior a RIn , confirma-se que a montagemmais apropriada nesta situao a de longa derivao. 15 5. Concluso ComofinalizardoprimeirotrabalhoparaacadeiradeTcnicasde MedidaeInstrumentaotraduziram-seconceitostericosanvelprtico nomeadamenteodesempenhoeainfluencianosresultadosobtidospelos aparelhos de medio utilizados. Emprimeirolugarverificou-secomoaresistnciainternadeum voltmetropodeinfluenciaramediodeumatensonumaresistncia.Esta influnciatemnormalmentemaiorimpactoseaordemdegrandezada resistncia a medir for prxima da ordem de grandeza da resistncia interna do voltmetro. Relativamente aos mtodos de medio directo e indirecto, observou-se umamaiorfiabilidadedosresultadosnoprimeiromtodorelativamenteao mtodo indirecto. O facto das resistncias internas dos ampermetros variarem consoante o modelo juntamente com a incerteza associada da cada resistncia (X)resultamnumamenorfiabilidadenosresultadosporoposioaomtodo directo que nica incerteza consiste na resistncia interna do voltmetro. Porfim,estudaram-seeprojectaram-sedoistiposdemontagens indirectas para o clculo de uma resistncia, nomeadamente as montagens de derivao longa e derivao curta. Os resultados prticos esto de acordo com aanlisetericaumavezqueosresultadosmaisprximosdovalorrealda resistncia(medidosdirectamentecomummultmetro)foramobtidospelo mtodo que apresentava menor erro na medio (mtodo de derivao longa). Esteaspectofoitambmconfirmadopor(3)substituindoosvaloresresistivos do circuito. Umaspectodeinteresseverificadoporpartedoselementosdogrupo, consistiunapercepodecomodifcilcontrolartodososerrossistemticos duranteuma medio.Nocasodestetrabalho,noseconsiderouaincerteza associada s resistncias bem como influncia da fonte de tenso na medio porsimplificaodosclculos.Contudoquantosmaisparmetrosforem considerados,maisexactasseroasnossasmedies(apesardoserros aleatrios). 16 6. Bibliografia [1] AurlioCampilho,InstrumentaoEletrnica.MtodoseTcnicasde Medio, FEUP Edies, 1 edio, 2000. [2] http://www.if.ufrj.br/teaching/metrol/metro.html acedido a 7/03/2011 [3]Gomes, L. A. A. O., "Apontamentos de Tcnicas de Medida e Instrumentao", Universidade da Madeira, 2011