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MEDIÇÃO E ERRO

CAPÍTULO 1

INSTRUMENTAÇÃO ELETRÔNICA MODERNA

TÉCNICAS DE MEDIÇÃO

Albert D. Helfrick

William D. Cooper

CAPÍTULO 1

PRECISION dc MEASUREMENTS AND STANDARDS

David S. Luppold

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INTRODUÇÃO

Metrologia é a ciência das medições.

Um simples pedaço de fio metálico sofre alteração

com a idade, temperatura, humidade, pressão e

outras condições ambientais.

A variabilidade das propriedades dos materiais e

equipamentos é um limitante para medidas

exatas e precisas.

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A Metrologia existe para determinar o valor verdadeiro

das medidas.

Na prática: este objetivo jamais é atingido, apenas é

aproximado.

Base para se chegar ao valor verdadeiro:

Valor medido = Valor verdadeiro + erro

Valor verdadeiro = Valor medido – erro

Diversos tipos de erros: alguns determinados outros

estimados.

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1.1 - DEFINIÇÕES

Sistema: combinação de 2 ou mais elementos, sub-

sistemas e partes necessárias para realizar uma ou mais

funções.

Função de um Sistema de Medição: atribuir de forma

objetiva e empírica um número a uma propriedade ou

qualidade de um objeto de forma a descrevê-lo.

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Resultado de uma medição: objetivo (independente do

observador) e empírico (baseado em procedimentos

experimentais).

Deve haver uma correspondência entre as quantidades

numéricas e as propriedades descritas.

Para que serve um sistema de medição?

1. Monitoramento de um processo;

2. Controle de um processo.

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Instrumento: dispositivo através do qual se pode

determinar o valor ou magnitude de uma

grandeza.

Medição: é o processo que envolve um

instrumento para determinar uma variável física.

Medida: é o resultado do processo de medição.

Instrumento eletrônico: baseia-se em princípios

elétricos ou eletrônicos para se efetuar a medição.

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Erro: é a diferença entre o valor verdadeiro e o

valor lido com o instrumento.

Erro absoluto = Resultado – valor verdadeiro.

Erro relativo = Erro absoluto/valor verdadeiro.

Erro relativo especificado como percentual do

fundo de escala.

Erro relativo especificado como percentual da

leitura.

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Característica estática de um sistema de medição:

quando a variável medida muda muito lentamente com o

tempo.

Característica dinâmica de um sistema de medição:

quando a variável medida muda rapidamente com o

tempo. É influenciada pelas estáticas.

São estudadas separadamente.

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ACURÁCIA (EXATIDÃO)

Acurácia: qualidade que caracteriza a capacidade de um

instrumento de medição fornecer resultados próximos ao

valor verdadeiro da grandeza medida.

Valor verdadeiro, ideal ou exato: valor obtido quando as

medições são realizadas utilizando um método ideal.

Método ideal: quando especialistas concordam que os

resultados foram feitos com suficiente acurácia para a

aplicação pretendida para as medidas.

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Acurácia de um Instrumento: determinada através de um

processo de calibração estática.

Calibração estática: todas as entradas do sensor são

mantidas constantes, exceto a que é estudada, que é variada

lentamente. Os resultados na saída do sensor são

registrados. Curva de calibração.

Valor da quantidade de entrada: deve ser conhecido.

Quantidade conhecida: medida com padrões. Determinada

com pelo menos 10 vezes mais acurácia que o sensor que

está sendo calibrado.

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Classe (Accuracy Class) : Definido como o erro percentual

da medida, com referência a um valor convencional, que é a

faixa de medida ou o fundo de escala.

Comparação entre instrumentos: todos os instrumentos que

pertencem à mesma classe de acurácia têm o mesmo erro de

medida quando a entrada aplicada não excede sua faixa

nominal e trabalha sob as condições especificadas.

Sensor de deslocamento de classe 0.2 com fundo de escala

de 10 mm.

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O valor numérico de uma grandeza e seu erro devem ser

expresso com valores numéricos compatíveis.

O resultado numérico de uma medição não deve ter mais

figuras significativas que aquelas consideradas confiáveis

levando em conta a incerteza do resultado.

Exemplos: 35 N ± 1 N

35 N ± 0,1 N

35,5 N ± 1 N

35,5 N ± 10%

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PRECISÃO (Precision)

Precisão: qualidade que caracteriza a capacidade de um

instrumento de medição fornecer a mesma leitura quando

repetidamente medir a mesma quantidade sob as mesmas

condições prescritas (ambiental, operador, etc) sem

considerar a coincidência ou discrepância entre o resultado

e o valor verdadeiro.

Precisão implica em concordância entre medidas

sucessivas.

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Acurácia Baixa Alta

Precisão

Baixa

Alta

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SENSIBILIDADE (Sensitivity)

Sensibilidade (ou fator de escala - scale factor) é a

inclinação da curva de calibração, seja ela constante ou

não ao longo da faixa de medida.

Se y = f(x), a sensibilidade S(xa) = dy/dx (p/ x=xa)

Para y = kx + b S=k

Para y = k + b

S= 2kx

Portanto, neste último caso, muda de um ponto para outro

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LINEARIDADE (Linearity)

Linearidade: descreve a proximidade entre a curva de

calibração de um sensor ou instrumento e uma linha reta.

A linearidade indica o quanto a sensibilidade é constante.

Quando a linearidade é constante é mais fácil fazer a

conversão da leitura para o valor medido. Basta se

multiplicar a leitura por um valor constante para se saber o

valor da entrada.

Com o advento dos microcontroladores, este problema já não

é tão complexo.

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RESOLUÇÃO (Resolution)

Resolução: é a menor variação do sinal de entrada que

resultará em uma variação mensurável da saída.

Sistemas com mostradores digitais: a resolução

corresponde ao incremento digital.

Sistemas com mostradores analógicos: a resolução

teórica é zero. Na prática: VD a VD/10.

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Faixa de Indicação (FI)

É o intervalo entre o menor e o maior valor que o

mostrador do Sistema de Medição (SM) tem condições

de apresentar como indicação direta.

Em um mesmo SM pode-se selecionar várias faixas de

indicação. Cada uma é denominada faixa nominal.

Faixa de Medição (FM): é o conjunto de valores do

mensurando para o qual admite-se que o erro de um

instrumento de medição mantém-se dentro de limites

especificados.

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Zona Morta: faixa na qual o sinal de entrada varia sem

dar início a uma mudança observável na saída.

Deriva (Drift): mudança indesejável que ocorre no sinal

medido, com o passar do tempo, causada por fatores

ambientais ou por fatores intrínsecos ao sistema. Em

consequência, o zero desta medida é deslocado.

Histerese: propriedade de um elemento sensor

evidenciada pela dependência do sinal de saída da

história de excursões anteriores.

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O ERRO DE MEDIÇÃO

É caracterizado como a diferença entre o valor da

indicação do SM e o valor verdadeiro do mensurando:

E = I – VV

Na prática: valor verdadeiro convencional: VVC

E = I – VVC

VVC: valor conhecido com erro não superior a 1/10 do

erro de medição esperado.

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Não existe SM perfeito.

Não se consegue eliminar completamente o erro de

medição!

É possível, porém, delimitá-lo!

Mesmo sabendo da existência do erro de medição, é ainda

possível obter informações confiáveis da medição, desde

que a ordem de grandeza e a natureza do erro sejam

conhecidos.

E = Es + Ea + Eg

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Erro sistemático (Es)

É a parcela do erro sempre presente nas medições

realizadas em idênticas condições de operação. Ex:

dispositivo mostrador com ponteiro torto.

Causas: Problemas de

1) Calibração 2) Desgaste 3) Construtivo

4) Princípio de medição 5) Condições ambientais.

O valor do erro sistemático pode variar ao longo da faixa

de medição.

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Erro aleatório (Ea)

Quando uma medição é repetida diversas vezes, nas

mesmas condições, observam-se variações nos valores

obtidos. Valores obtidos: acima e abaixo do valor médio.

O efeito é provocado por erro aleatório.

Causas: folgas, atritos, vibrações, flutuação da tensão da

rede elétrica, instabilidades internas, flutuações das

condições ambientais.

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Erro grosseiro (Eg)

É decorrente do mau uso ou do mau funcionamento do

SM.

Ex: 1) Leitura errônea 2) Operação indevida do SM

3) Dano do SM.

Valor imprevisível.

Facilmente detectável.

Não é considerado nos textos didáticos.

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Estimação dos Erros de Medição

Se o erro de medição fosse perfeitamente conhecido,

poderia ser corrigido e sua influência anulada.

Erro sistemático: pode ser bem conhecido.

Erro aleatório: difícil de ser estimado. Pode-se modelá-lo

como tendo distribuição aproximadamente normal com

média zero. Incerteza de uma medição.

Assim, não é possível compensar totalmente o erro de

medição.

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A incerteza de uma medição é o intervalo, em torno de

um valor determinado, na qual o valor medido e o

valor verdadeiro da quantidade desconhecida

provavelmente estão.

National Bureau of Standards (NBS): “as incertezas são

baseadas nos limites estimados dos erros sistemáticos mais

3 vezes o desvio padrão dos erros aleatórios ou

randômicos.”

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Efeitos randômicos instantâneos causam erros

randômicos instantâneos nas medições.

Quando os erros são totalmente randômicos eles

obedecem às leis da Estatística e seu valor médio para um

número infinito de medições é zero.

Em outras palavras, se houvesse possibilidade de se

efetuar um número infinito de medições, o erro randômico

seria zero.

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Como isto não é possível, o efeito acumulado do erro

randômico instantâneo está presente.

Quando os erros são causados por efeitos completamente

randômicos, as leis da Estatística predizem a forma geral

da curva de distribuição de erros.

Além disso, estas leis tornam possível estabelecer um valor

prático para os erros randômicos em um conjunto finito

de medições.

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Enfatizamos: não há medidas exatas. Medida mesmo

com acurácia melhor que 1 ppm é aproximada. A

magnitude real do erro é desconhecida.

Alguns limites de erros:

Ponte de Wheatstone 4232-3-B Northrup: ± (0,01% da

leitura + 0,001 Ω) na faixa até 1,1 M Ω.

Potenciômetro Guildline: (0,001% da leitura + 0,5 µV)

Régua de 1 m subdividida em mm: a medição pode ser

feita até o mm mais próximo. Limite do erro: ± 0,5 mm.

Pode ser expresso como: 0,5 mm/1000 mm = ± 0,05 %

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FIGURAS SIGNIFICATIVAS

O número de figuras significativas em que uma medida é

expressa é uma indicação de sua precisão. Quanto maior for

o número de figuras significativas, maior a precisão da

medida.

O resultado numérico de uma medição (medida) não deve ter

mais figuras significativas que aquelas consideradas

confiáveis levando em conta a incerteza do resultado.

Exemplos: 82 Ω 2 Figuras Significativas

82,4 Ω 3 Figuras Significativas

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População de uma cidade: aproximadamente 250 mil

habitantes.

2,5 x habitantes 2,50 habitantes

Velocidade da luz: 299 792 458 m/s

Velocidade da luz: 300 mil km/s 3,0 x

3,00 x

“É costume registrar uma medida com os dígitos que

expressam que o valor registrado é aquele que é o mais

próximo do valor verdadeiro”.

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Tensão da rede elétrica: 127,4 V.

Oura maneira de expressar (Helfrick/Cooper): 127,4 ± 0,05

V. A tensão lida está entre 127,35 V e 127,45 V.

Quando um número de medições é realizada, em um esforço

para se obter a melhor medida possível (mais próxima do

valor verdadeiro), o resultado é usualmente expresso como a

média aritmética de todas as medidas, com a faixa de

valores possíveis expressa como o máximo desvio desta

média.

Exemplo 1.1 .

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Quando duas ou mais medidas com diferentes graus de

acurácia são adicionadas, o resultado é somente tão

exato quanto a menos exata das medidas.

Exemplo 1.2

Na multiplicação, o número de figuras significativas

pode aumentar rapidamente, mas somente o número de

figuras apropriado deve ser mantido na resposta.

Exemplo 1.3

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Se dígitos extras são acumulados na resposta , eles devem

ser descartados ou arredondados.

Na prática usual, se o dígito a ser descartado é menor que

5, o dígito anterior permanece inalterado.

Se o dígito a ser descartado é ≥5, o dígito anterior é

incrementado de 1.

Exemplo 113,46 — 113

113,74 — 114

Exemplos: 1.4 a 1.6

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ANÁLISE ESTATÍSTICA

Uma análise estatística das medidas é uma prática comum

porque ela possibilita a determinação da incerteza das

medidas.

O resultado de um determinado processo de medição pode

ser determinado a partir de uma amostra de dados sem

informação detalhada dos distúrbios e ruídos.

Para se utilizar métodos estatísticos e se fazer interpretações

significativas, é necessário geralmente efetuar-se um grande

número de medições.

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Também os erros sistemáticos devem ser pequenos

comparado aos erros aleatórios. Evidentemente, o

tratamento estatístico não remove os erros sistemáticos.

Média aritmética (Arithmetic mean)

Representa o valor mais provável de uma série de medições

feitas. A melhor aproximação é quando se realiza um grande

número de medições de uma mesma quantidade. (Exemplo

1.1)

Desvio da média (Deviation from the mean)

É a diferença entre uma determinada medida e o valor médio

de um grupo de medidas. Positivo ou negativo.

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Exemplo 1-9

Desvio Médio (Average Deviation)

É a soma dos valores absolutos dos desvios dividido pelo

número de medições. É uma indicação da precisão dos

instrumentos utilizados para fazer as medições. Um

instrumento altamente preciso tem um baixo desvio médio

entre as medições.

Exemplo 1-10

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Desvio Padrão ( Standard Deviation)

É a raiz quadrada da soma dos desvios da média elevados ao

quadrado dividido pelo número de medições, se o número de

medições for muito grande, e pelo número de medições menos

um se o número de medições não for muito grande.

A maioria dos resultados científicos são expressos em termos

do desvio padrão. Mesma unidade das medidas.

Variança (Variance or Mean Square Deviation)

É o desvio padrão elevado ao quadrado.

As varianças são aditivas.

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PROBABILIDADE DOS ERROS

Distribuição Normal dos Erros

Tabela 1-1

Figura 1-1

A Curva Gaussiana ou Normal

A Lei Normal ou Gaussiana forma a base do estudo

estatístico dos efeitos randômicos ou aleatórios. É baseada

nas seguintes afirmações:

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a) Todas as medições incluem pequenos distúrbios

denominados erros randômicos;

b) Erros randômicos podem ser positivos ou negativos;

c) Há igual probabilidade de erros positivos e negativos;

d) Erros pequenos são mais prováveis que erros grandes;

e) Grandes erros são muito improváveis

f) Há igual probabilidade de erros positivos e negativos, de

modo que a probabilidade de um certo erro será

simétrica em torno do valor zero.

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ERRO PROVÁVEL

A área sob a curva de probabilidade Gaussiana entre os

limites de -∞ e +∞ representa o número total de

observações.

A área sob a curva entre –σ e +σ representa os casos que

diferem da média não mais que 1 desvio padrão. 68,28%

dos casos estão entre os limites de –σ e +σ.

Tabela 1-2

A quantidade r=±0,6745σ é denominada erro provável.

Exemplo 1-11

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ERROS LIMITES

Na maioria dos instrumentos de medida a acurácia é

garantida como um percentual do fundo de escala.

Componentes de circuitos (resistores, capacitores, etc) a

acurácia é garantida como um percentual de seu valor

especificado.

Os limites dos desvios dos valores especificados são

conhecidos como erros limites ou erros garantidos.

Exemplo 1-12

Exemplo 1-13 Exemplo 1.14

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ERROS LIMITES

É muito comum a necessidade de se realizar medições ou

cálculos combinando erros garantidos (limites).

Exemplo 1-13

É altamente improvável que todos os 3 componentes tenham

erro máximo em seus valores.

Assim sendo, é muito pouco provável que o erro no valor de

tensão no exemplo 1-13 seja 0,3%.

Exemplo 1.14