tÉcnicas estatÍsticas aplicadas em climatologia simone e. teleginski ferraz departamento de...
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TÉCNICAS ESTATÍSTICAS APLICADAS EM CLIMATOLOGIA
Simone E. Teleginski Ferraz
Departamento de Física - UFSM
INTRODUÇÃOOs métodos e técnicas estatísticas são utilizados
em Climatologia basicamente para analisar o
tempo passado com o objetivo de inferir sobre
o provável comportamento futuro de alguma
variável.
A aplicação de técnicas estatísticas tem a
vantagem de compactar o enorme volume de
dados, medidos, por exemplo, em uma estação,
em uma simples tabela ou uma equação, capaz
de resumir todas as informações de modo a
facilitar as inferências sobre os dados.
UM POUCO DE HISTÓRIA
Surgiu na Antigüidade e se desenvolveu
paralelamente à própria civilização humana. Há
mais de 3.000 anos AC, os antigos egípcios
deixaram dados estatísticos sobre seus povos
gravados em monumentos históricos daquela
época, principalmente nas famosas pirâmides.
Os chineses realizaram um censo demográfico
no ano 2.275 AC e, bem mais tarde, os romanos
no ano 556 AC, também realizaram trabalho
bastante semelhante.
Nessas épocas, os censos concentravam-se
basicamente no levantamento do número de
habitantes, nascimentos, óbitos e forças
guerreiras, pois seus objetivos eram voltados a
fornecer dados confiáveis aos então
governantes.
Na era Cristã, principalmente no primeiro
milênio, houve também diversos censos
demográficos, notadamente em Israel e alguns
países do ocidente.
Entretanto, a partir do século XVI, a estatística
começou a ganhar importância, passando a ser
estudada por matemáticos e filósofos e,
conseqüentemente, foi introduzida nos currículos
das universidades.
DEFINIÇÃOÉ uma coleção de métodos para planejar
experimentos, obter dados e organizá-los,
resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles
extrair conclusões.
CONCEITOS IMPORTANTES
População: é uma coleção completa de todos os
elementos a serem estudados. Ex: conhecer a
altura de todos os habitantes do Brasil.
Amostra: é uma sub-coleção de elementos
extraídos de uma população. Ex: conhecer a altura
de um conjunto de habitantes do Brasil.
Quando o estudo trata de dados meteorológicos,
temos em mãos uma amostra, pois não
conhecemos a população, pois não há o registro
contínuo dos dados desde a origem do planeta.
Quando trabalhamos com amostras, os
resultados obtidos nos cálculos estatísticos são
utilizados para fazer inferências (generalizações)
sobre a população.
Exemplo:
Cera e Ferraz, 2007
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Precisamos manipular grande quantidade de
dados.
Estes devem ser organizados de tal forma a
facilitar o trabalho do investigador do fenômeno.
Devemos dispô-los de forma que consigamos
extrair de maneira fácil informações como: maior
e menor temperatura, quantos dias tiveram
temperaturas acima ou abaixo de um
determinado valor, etc. Para tanto, é elaborado
uma distribuição de freqüências.
A distribuição de frequências é uma tabela que
relaciona categorias ou classes de valores,
juntamente com contagens ou frequências do
número de valores que se enquadram em cada
categoria.
A distribuição de frequências pode ser
representada através de um histograma, que é
um gráfico cujas bases são os limites das classes
e as alturas são as frequências.
ELABORAÇÃO DE UMA DF
Temperatura média diária do mês de dezembro de
2004.
Dia °C Dia °C Dia °C Dia °C Dia °C Dia °C
1 18,9 7 22,4 13 19,1 19 22,4 25 22,6 31 23,2
2 18,7 8 23 14 18,9 20 23,7 26 21,2
3 18,4 9 20,9 15 20 21 18,3 27 21,2
4 23,2 10 18,3 16 25,1 22 16,1 28 20,1
5 22,3 11 17,5 17 21,5 23 17,2 29 21,4
6 22 12 18 18 20,8 24 19,8 30 22,2
Passo 1: Ordenar os elementos dos dados brutos em ordem crescente, indicando a freqüência absoluta de cada elemento. Dados brutos: São as observações. Freqüência absoluta: número de vezes que um valor aparece num conjunto de dados.
Passo 2: Determinar o número de intervalos de classe (K) – Usar regra de Sturges:
K = 1+3,3 (log10 n)K = 1+3,3 (log10 31)K = 1+3,3 (1,49)K = 5,9 6
Portanto, a distribuição de freqüências será constituída de 6 intervalos de classe.
Passo 3: Determinar a amplitude dos intervalos de classe (h):
Sendo K o número de intervalos de classe e xmáx e xmín são respectivamente o maior e o menor valor do conjunto de dados.
h 1,7
Distribuição de freqüências da temperatura média
diária.Intervalos de Classe Freqüência Intervalos de Classe Freqüência
16,1 ≤ x < 17,8 3 17,8 ≤ x < 19,5 8
19,5 ≤ x < 21,2 7 21,2 ≤ x < 22,9 7
22,9 ≤ x < 24,6 4 24,6 ≤ x ≤ 26,3 1
k
1xh minmax
x
MEDIDAS DE POSIÇAO OU DE
TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
É impossível manipularmos todos os elementos da seqüência de dados, a não ser que sejam poucos. É importante sabermos onde os valores da seqüência se concentram, facilitando assim a análise. As medidas de posição ou de tendência central possibilitam determinar o valor localizado no centro ou no meio de um conjunto de dados.Há diferentes maneiras de definir o centro de um conjunto de dados, assim, há diferentes definições de medidas de tendência central como: média, mediana, moda e ponto médio.
MÉDIA ARITMÉTICA
Valor obtido somando-se todos os elementos do conjunto e dividindo-se a soma pelo número total de elementos.
sendo a média aritmética, xi os dados do conjunto amostral e n o número de valores.
A média aritmética depende de todos os valores da série e qualquer alteração de um deles altera seu valor. Esta medida é influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar a série.
n
xx
i
Cx
59,2031
2,232,22...7,189,18
MÉDIA HARMÔNICA
Usada como medida de tendência central para
conjuntos de dados que consistem em taxas de
variação, como por exemplo velocidades.
Obtém-se a média harmônica dividindo-se o
número n de valores pela soma dos inversos de
todos os valores.
ix
nx
1
Cx
36,20
2,23
1
2,22
1...
7,18
1
9,18
131
MÉDIA GEOMÉTRICA
Mais usada na administração e na economia para achar taxas médias de variação, de crescimento, ou razões médias. Dados n valores (todos positivos), a média aritmética é a raiz nma do seu produto.Por exemplo, determina-se a média geométrica de 2, 4, 10 multiplicando-se os três valores – o que dá 80, e tomando-se a raiz cúbica do resultado (porque há três valores). O resultado é 4,3. C48,202,23*2,22*...*7,18*9,18x 31
MÉDIA QUADRÁTICA
É utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral dadas em termos de sua média quadrática. Eleva-se cada valor ao quadrado, soma-se os resultados, divide-se o total pelo número n de valores e toma-se a raiz quadrada do resultado.
Por exemplo, a média quadrática de 2, 4, 10 é 6,3.
n
xx i
2
Cx
71,2031
)2,23()2,22(...)7,18()9,18( 2222
MEDIANA
É o elemento que ocupa a posição central de uma série de dados. Para encontrá-la os dados devem estar dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se a série tiver um número ímpar de dados o valor que estiver ocupando o meio da série será a mediana.Se tiver um número par de dados deve-se extrair a média aritmética dos dois valores centrais, uma vez que, o valor correspondente a mediana acha-se entre eles.A mediana dos dados fornecidos na tabela 1 corresponde a 20,9ºC.
MODA
Valor que ocorre com maior freqüência.Identificada apenas observando-se a série nos casos de dados não agrupados. Quando a série possuir dois valores com a mesma freqüência máxima, cada um deles é uma moda, e o conjunto diz-se bimodal. Se mais de dois valores ocorrerem com a mesma freqüência máxima, o conjunto é multimodal. A tabela 1 é multimodal, pois cinco valores (18,3; 18,9; 21,2; 22,4 e 23,2) aparecem com a mesma freqüência máxima.
PONTO MÉDIO
O ponto médio é o valor que está a meio
caminho entre o maior e o menor valor da série
de dados.
Para obtê-lo, somamos esses valores extremos e
dividimos o resultado por 2, como na expressão
a seguir :
O ponto médio dos dados da tabela 1 é:
2
valormenorvalormaiorPM
CPM
6,202
1,251,16
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE
VARIABILIDADE
MEDIDAS DE DISPERSÃOVimos que um conjunto de valores pode ser
sintetizado, por meio de procedimentos
matemáticos, em poucos valores
representativos.
Tais valores podem servir de comparação para
dar a posição de qualquer elemento do conjunto.
Mas não é o bastante dar uma das medidas de
posição para caracterizar perfeitamente um
conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por
exemplo, que a temperatura média de duas
cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim
somos levados a pensar a respeito do clima
dessas cidades.
Em uma delas a temperatura poderá variar entre
limites de muito calor e de muito frio e, haver,
ainda, uma temperatura média de 24ºC. A outra
poderá ter uma variação pequena de
temperatura, mas mantendo uma média de
24ºC.
Vemos, então, que a média – ainda que
considerada como um número que tem a
faculdade de representar uma série de valores –
não pode, por si mesma, destacar o grau de
homogeneidade ou heterogeneidade que existe
entre os valores que compõem um conjunto.
Exemplo:
X: 70, 70, 70, 70, 70
Y: 68, 69, 70, 71, 72
Z: 5, 15, 50, 120, 160
Entretanto, é fácil notar que o conjunto x é mais
homogêneo que os conjuntos y e z, já que todos
os valores são iguais a média.
O conjunto y, por sua vez, é mais homogêneo
que o conjunto z, pois há menor diversificação
entre cada um de seus valores e a média é
representativa.
Média aritmética = 70
Chamando de dispersão a maior ou menor
diversificação dos valores de uma variável em
torno de um valor de tendência central.
Podemos dizer que o conjunto x apresenta
dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto
y apresenta uma distribuição ou variabilidade
menor que o conjunto z.
Portanto, para qualificar os valores de uma dada
variável, a Estatística recorre às seguintes
medidas de dispersão: amplitude total, desvio-
padrão e a variância.
AMPLITUDE TOTAL
É a diferença entre o maior e o menor valor
deste. Para calculá-la, basta subtrair o menor
valor do maior.
Quanto maior a amplitude total de um conjunto
de dados, maior é a dispersão ou variabilidade
dos valores.
A amplitude total da tabela é: AT = 25,1 – 16,1
= 9º C
É instável, pois se deixa influenciar pelos valores
extremos, que são, na sua maioria, devidos ao
acaso.
mínmáx xxAT
DESVIO-PADRÃO
O desvio-padrão e a variância são medidas que
fogem a essa falha, pois levam em consideração
a totalidade dos valores da variável em estudo, o
que faz delas índices de variabilidade bastante
estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente
empregados.
Assim, pode-se definir o desvio-padrão como
uma medida da magnitude do espalhamento ou
dispersão dos dados em relação à média da
série.
O cálculo do desvio-padrão amostral (s) é:
Para o desvio-padrão populacional () é:
Observa-se que para a população é substituído
por e n-1 por N.
Uma regra que auxilia na interpretação do valor
de um desvio-padrão é a regra empírica,
aplicável somente a conjuntos de dados
aproximadamente em forma de sino.
21
n
xxs i
2N
xi
x
A REGRA 68-95-99
A REGRA 68-95-99 PARA OS DADOS DA TABELA
VARIÂNCIA
É uma medida estatística da dispersão dos dados
em torno da média de um conjunto de dados.
É obtida quando não extraímos a raiz quadrada
do desvio-padrão. A variância amostral é
definida como:
a variância populacional é:
A variância dos dados da tabela 1 é 4,86º C.
N
xi
2
2
1
2
2
n
xxs i
SEPARATRIZES
SEPARATRIZES
A mediana caracteriza uma série de valores
devido à sua posição central. Além disso, ela
separa a série em dois grupos que apresentam
o mesmo número de valores.
Existem outras medidas que não são medidas de
tendência central, mas estão ligadas à mediana
relativamente à sua segunda característica, já
que se baseiam na sua posição na série.
Essa medidas denominadas de quantis ou
fractis, são juntamente com a mediana,
conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
O quantil, por sua vez, é o nome genérico para
outras medidas, como as que dividem o conjunto
de dados em 4, 10 ou 100 partes, por exemplo.
Estas são denominadas de quartil, decil e
percentil, respectivamente.
Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem o conjunto
dos dados em quatro subconjuntos de tal forma
que:
Os decis dividem o conjunto de dados em 10
partes iguais. Os nove decis D1, D2, D3,..., D9 são
tais que 10% dos elementos situam-se abaixo de
D1, 10% entre D1 e D2 e assim por diante. A
mediana é o quinto decil.
Os percentis dividem o conjunto dos dados
ordenados em 100 partes iguais. A mediana é o
qüinquagésimo percentil.
25% Q1 25% Q2 25% Q3 25%
OBTENÇÃO DOS QUANTIS
1. dispor os dados em ordem crescente;
2. colocar um n° de ordem para cada valor
(i=1, ..., i=N);
3. determinar a ordem quantílica: Pi=i/(N+1)
4. calcular o quantil Q(P) para uma ordem
quantílica Pi :
a) se P coincidir com algum Pi já obtido, então:
Q(P)=Q(Pi)=yi
b) se P não coincidir, haverá um índice i tal que
Pi<P<Pi+1, onde Q(P) será obtido por interpolação,
onde: Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]
Exemplo:Dados: 104, 5, 43, 123, 58, 63, 12, 71 e 32; O
quartil inferior Q(0,25),o superior Q(0,75) e o
primeiro tercil Q(0,333) são:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 5 12 32 43 58 63 71 104 123
Pi=i/
(N+1)
1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
Q(0,25)=[Q(0,20)+Q(0,30)]=(12+32)/2=22
Q(25%) = 22
Q(0,75)=[Q(0,70)+Q(0,80)]=(71+104)/2=87,5
Q(75%)=87,5
O primeiro tercil está entre 30% e 40%, cujos
quantis respectivos são 32 e 43, portanto:
Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]
Q(33,3%)=32+{[33,3-30]/40,0-30,0]}*[43-32]
=32+(3,3/10,0)*11 = 35,63
ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS
SÉRIE TEMPORAL
É um conjunto cronológico (ordenado no tempo)
de observações, por ex.: registros de
temperatura diária de uma cidade, as vendas
diárias de uma loja, a temperatura de um
paciente a cada hora, entre outros.
A análise de tais dados tem por objetivo
determinar se eles apresentam algum padrão
não-aleatório. Por vezes, o que se deseja é,
realmente localizar esses padrões não-
aleatórios, que podem então ser usados para
predições quanto ao futuro.
Outras vezes, o objetivo é constatar a ausência
de padrões não aleatórios. Nesses casos, os
padrões não-aleatórios são encarados como um
sinal de que determinado sistema ou processo
está fora de controle.
A análise de séries temporais (AST) tem grande
importância como informação para a previsão do
futuro. O estudo do comportamento das
variações ocorridas no passado em dados de
interesse permite-nos prever as variações que
poderão ocorrer no futuro.
OBJETIVOS DA AST
Descrição: consiste em conhecermos o
comportamento de uma ST. O primeiro passo na
análise é elaborar o gráfico da série temporal
com o objetivo de observar as principais
propriedades da série como: tendência, ciclo
sazonal e valores extremos (valores que não
parecem consistentes com os demais).
Explicação: quando as observações são
tomadas de duas ou mais variáveis, podemos
estar interessados em saber se a variação de
uma série pode explicar a variação das outras.
OBJETIVOS DA AST
Previsão: dada uma série temporal observada,
pode-se querer prever os valores futuros desta.
Controle: implica na geração de séries
temporais para medir a qualidade de um
processo. Exemplo: medir o peso de um
determinado produto após ser embalado para o
consumo. Isto tem como objetivo saber se está
sendo embalado com excesso ou falta.
SÉRIES TEMPORAIS E ESPACIAIS
Quando medidas em um ponto fixo sobre um
período de tempo, a série é chamada de série
temporal.
Medidas em um tempo fixo sobre uma série de
localidades no espaço originam uma série
espacial.
Ambas as séries fornecem medidas de uma
variável dependente tal como a temperatura ou
umidade como função de uma variável
independente, tal como o tempo, t, ou local, x.
SÉRIES CONTÍNUAS E DISCRETASUma série temporal é dita contínua quando as
observações são feitas continuamente no tempo.
A série temporal constituída por medidas
tomadas em intervalos de tempo espaçados
regularmente, até um número finito de N dados é
denominada série discreta.
O período total de medidas em uma série
discreta é P = Nt, ou seja, o número total de
dados multiplicado pelo intervalo de tempo em
que os dados são medidos.
FUNÇÕES DETERMINÍSTICAS E NÃO-DETERMINÍSTICAS
Uma série temporal pode ser uma função x aleatória ou não-determinística de uma variável independente t. Na maioria das situações, a função x(t) será uma função do tempo, mas em outras situações pode ser uma função de outro parâmetro físico, como por exemplo, do espaço. Uma característica das séries temporais é que seu comportamento futuro não pode ser previsto exatamente, como seria o caso de uma função ‘determinística’ do tempo.
Se medirmos a temperatura do ar todos os dias
e verificarmos a presença de um ciclo diurno.
Entretanto, não conseguimos determinar uma
relação determinística que possa ser ajustada a
cada intervalo dessa série de dados porque
diversos fatores podem estar causando variações
nessa medida (exemplo, nebulosidade, entradas
de frentes, alteração dos ventos por circulações
locais, etc.).
Se compararmos uma série temporal de
temperatura em um determinado sítio em dois
anos distintos, podemos verificar visualmente
que esses dois trechos da série não se parecem
um com outro.
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Como diferentes secções de uma série temporal
se parecem uma com a outra apenas nas suas
propriedades médias, é necessário descrever
essas séries por leis de probabilidades ou
modelos.
Assim, os valores possíveis das séries temporais
a um dado tempo t são descritos por uma
variável aleatória x(t) e sua associada
distribuição de probabilidades.
O conjunto ordenado de variáveis aleatórias
{x(t)} em associação com sua distribuição de
probabilidades é chamado de processo
estocástico.
ESTACIONARIDADE
Linha preta: diferentes secções são ‘parecidas’
processo estacionário
Linha vermelha: tendência de aumento
processo não-estacionário
e de desmatamento são ditas não-estacionárias.
Na prática, as séries são usualmente de três tipos:
Séries que exibem propriedades de
estacionaridade em longo período, (ex: saídas de
geradores de ruído).
Séries que possuem uma razoável
estacionaridade em períodos curtos, (ex:
medidas de turbulência na atmosfera, etc.).
Séries que são não estacionárias, no sentido que
suas propriedades estão continuamente
mudando com o tempo, (ex: temperatura em
altas e médias latitudes, ventos, etc.).
A maior parte dos métodos que trata com não-
estacionaridade de séries temporais está
baseada em técnicas para remover ou filtrar a
parte não-estacionária, deixando apenas a parte
que pode ser tratada como estacionária.
Em climatologia, utilizamos esse tipo de técnica
quando desejamos conhecer o comportamento
das anomalias de uma determinada variável.
Uma maneira de resolver este problema é
processar os dados de forma que permitam que
uma subseqüente estacionaridade seja
assumida.
Por exemplo: gerar uma nova série com média
constante igual a zero. A fim de produzir
uma série com média e variância constante,
seria necessário transformar essas anomalias em
anomalias normalizadas: xx S
x
S
xxz
Por exemplo: em latitudes médias as
temperaturas tendem a ser mais frias durante o
inverno e a sua variabilidade mais alta.
Uma aproximação possível para
transformar séries de temperaturas mensais em
uma série (aproximadamente) estacionária seria
calcular as 12 médias mensais e os 12 desvios-
padrão e então aplicar anterior usando
diferentes médias e desvios-padrão para o mês
do calendário apropriado.
ELEMENTOS DAS ST
Tendência: descreve um movimento suave, a
longo prazo, dos dados, para cima ou para baixo.
Podem estar relacionadas ao crescimento
populacional de uma região, ao aumento das
temperaturas devido ao efeito do aquecimento
global, entre outros.
Variações cíclicas: existe um padrão cíclico
quando as variações apresentam certo grau de
regularidade, entretanto com período diferente
de um ano. São exemplos de ciclos: as manchas
solares, a demanda de bens duráveis, etc.
Variações sazonais: os fenômenos sazonais
estão associados às estações do ano. A diferença
entre o sazonal e o cíclico é o tempo entre duas
cristas consecutivas; no caso dos ciclos, esse
tempo é diferente de um ano; no sazonal é de
um ano.
O ciclo sazonal também pode receber a
denominação de ciclo anual. Como exemplo de
eventos sazonais pode-se citar a variação da
temperatura ao longo do ano, os artigos de
estação, como, sorvetes e ovos de páscoa, entre
outros.
Variações irregulares: são variações
aleatórias, que não apresentam regularidade.
Como por exemplo, nas medidas horárias de
temperatura do ar sabemos que ao longo de 24
horas teremos a influência do ciclo diário de
insolação (componente conhecida), entretanto,
vários outros fatores (componentes
desconhecidas) estarão influenciando as
medidas, como nebulosidade e ventos, sem que
possamos saber a contribuição efetiva destes.
DECOMPOSIÇÃO DAS ST EMTENDÊNCIA E SAZONALIDADE
A tendência pode ser isolada de uma série
através da análise de regressão linear simples ou
da análise de regressão não linear simples,
dependendo do conjunto de dados.
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Este é o tipo de regressão mais usado na prática.
Para tanto, uma reta é ajustada ao conjunto de
dados e, após, subtraída do mesmo. As equações de regressão linear são as seguintes:
btaYt
22 )t(tn
yttynb
n
tbya
Exemplo:
Substituindo os valores acima nas equações de a e b:
Cálculos para a obtenção de uma equação de
tendência linear.Ano Período
(t)
Dados (y) ty t2 Ano Período
(t)
Dados (y) ty t2
1954 1 10 10 1 1964 11 14 154 121
1955 2 11 22 4 1965 12 10 120 144
1956 3 9 27 9 1966 13 18 234 169
1957 4 11 44 16 1967 14 16 224 196
1958 5 12 60 25 1968 15 20 300 225
1959 6 15 90 36 1969 16 22 352 256
1960 7 13 91 49 1970 17 14 238 289
1961 8 17 136 64 1971 18 21 378 324
1962 9 16 144 81 1972 19 17 323 361
1963 10 13 130 100 1973 20 21 420 400
t= 210, y =300, ty = 3497, t2=2870
tYt 54,052,9
SÉRIE FINAL SEM TENDÊNCIA
VARIAÇÕES SAZONAIS
Nos estudos climatológicos é interessante
remover a componente sazonal das séries
temporais, pois ela é muito intensa,
principalmente nas regiões extratropicais, o que
acaba mascarando as outras componentes das
séries.
Para removê-la um método usado é o da
subtração das normais.
SÉRIE FINAL SEM SAZONALIDADE
ANÁLISE HARMÔNICA
ANÁLISE HARMÔNICA
A análise harmônica consiste da representação
de flutuações ou variações em uma série
temporal que se originou da adição de uma série
de funções seno e cosseno.
Estas funções trigonométricas são “harmônicos”
que são escolhidos como tendo freqüências que
são múltiplas da freqüência “fundamental”
determinada pelo tamanho amostral da série de
dados.
FUNÇÃO SENO OU COSSENO
REPRESENTAÇÃO DE UMA ST COM UMA FUNÇÃO HARMÔNICA
Três dificuldades: 1) O argumento de uma função trigonométrica é um ângulo, enquanto os dados da série são função do tempo.2) As funções cosseno e seno flutuam entre +1 e -1, enquanto os dados geralmente flutuam entre diferentes limites. 3) A função cosseno tem máximo valor para = 0 e = 2. Ambos seno e cosseno podem assim estar posicionados arbitrariamente na horizontal com respeito aos dados.
A solução para o primeiro problema aparece
quando consideramos o comprimento dos dados
(n) como constituindo um ciclo completo, ou
período fundamental. Uma vez que o período
fundamental corresponde a 360º ou 2 radianos
em medida angular, é fácil reescalar
proporcionalmente o tempo à medida angular
usando: 360/
360
n
t
ciclotempodeunidadesn
tempodeunidadet
ciclo
Os outros dois problemas são resolvidos
deslocando a função seno para cima/baixo, e
então “esticando” ou “comprimindo”
verticalmente até que seu intervalo corresponda
ao dos dados. Mas como?
Uma vez que a média de uma onda seno pura é
zero, simplesmente adicionar o valor médio da
série de dados ao seno assegura que o mesmo
irá flutuar em torno do valor médio.
O “esticamento” pode ser obtido pela
multiplicação por uma constante C1 que é
conhecida como amplitude.
n
tCyyt
2cos1
TRANSFORMAÇÃO DE UM COSSENO NUMA ST
PASSO A PASSO
Temos o gráfico dos 12 meses, de janeiro a dezembro (linha com ). A temperatura média anual é 46,1 °F (linha contínua horizontal). A temperatura média mais quente é 68,8°F em julho e a mais fria é 22.2°F em janeiro.A curva na parte inferior (linha com ▲) é a função cosseno.A linha com ◊ mostra a curva deslocada para o nível da temperatura média anual. O estiramento aproximado foi feito escolhendo como C1 a metade da diferença entre os dois valores extremos.
PASSO A PASSO
Finalmente a curva precisa ser deslocada para a direita, de modo a coincidir com os dados. O máximo da série de dados ocorre em julho, então, calculando o deslocamento da fase:
O resultado é a aplicação deste valor em (linha com *):
6
7
12
7221
n
t
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DIVERSOS HARMÔNICOS
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kk
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Aou
AouA
B
AA
Be
AC
B
Como vimos os fenômenos meteorológicos
podem ser compostos por diversos harmônicos
ou variabilidades, no próximo item vamos ver
algumas dessa variabilidades.
