Tcnicas de Construes Grcas

Washington Soares Alves

Partindo do principio que as derivadas so usadas no estudo das retas tan-gentes e taxas de variao, faremos agora mais uma aplicao que correspondeao desenvolvimento de tcnicas para construes grcas.Iniciaremos o estudo dessas tcnicas, isto , o processo de construo, usando

os seguintes elementos.

TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

A idia em que se baseia o teste da derivada primeira est indicada nas gurasabaixo:

A funo f da Fig. 01 tem uma derivada positiva e as retas tangentes a seugrco tm coecientes angulares positivos, isso implica que a funo em questo uma funo crescente, isto , para todo x1 < x2 a funo f (x1) < f (x2).J a Fig. 02, a funo f tem uma derivada negativa e as retas tangentes aseu grco possuem coecientes angulares negativos, dessa forma, temos umafuno decrescente, ou seja, x1 < x2 tem-se f (x1) > f (x2).

Denio (Teste da derivada primeira em um ponto): Uma funof crescente (respectivamente decrescente) num ponto xo, se existe umintervalo aberto I contendo xo tal que f (x) < f (xo) (f (x) > f (xo)), para xem I esquerda de xo e f (xo) < f (x) (f (xo) > f (x)), para x em I direitade xo.

Teorema (Teste da derivada primeira em um ponto): Se a derivadaf 0 (xo) existe e positiva, ento, a funo f crescente em xo. Se a derivada negativa, ento, f decrescente em xo.

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Exemplo: a funo x3 x crescente ou decrescente em x = 0?Soluo: Fazendo f (x) = x3x, a derivada da funo f f 0 (x) = 3x21.Agora, pelo teorema, tem-se

f 0 (0) = 3:02 1 = 1;e como a derivada negativa nesse ponto, tem-se que a funo f decrescente

quando x = 0.

Denio (Teste da derivada primeira num intervalo aberto): Umafuno f crescente em um intervalo I, se, para quaisquer x1 e x2 em I, comx1 < x2, tivermos f (x1) < f (x2). A funo decrescente no intervalo, sef (x1) > f (x2), para todo par de nmeros x1 e x2.

Teorema (Teste da derivada primeira num intervalo aberto): Se aderivada f 0 (x) existe e positiva para todo x em um intervalo aberto, ento, afuno crescente neste intervalo. Se a derivada negativa no intervalo aberto,ento, a a funo decrescente.

Exemplo: Determinar onde a funo f (x) = x2 crescente e onde ela decrescente.Soluo: a derivada da funo f (x) = x2

f 0 (x) = 2x3 = 2x3:

Veja que para todo x > 0, a derivada negativa, enquanto que para todox < 0, a derivada positiva. Portanto, a funo denida por f (x) = x2

decrescente no intervalo x > 0 (derivada negativa) e crescente no intervalox < 0 (derivada positiva). Veja a gura abaixo.

-4 -2 0 2 4

0.5

1.0

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

f (x) = x2 = 1x2 f0 (x) = 2x3 = 2x3

2

MXIMOS E MNIMOS RELATIVOS

Denio: Uma funo f tem um mximo relativo em xo, se f (x) 6 f (xo),para todo x em um intervalo aberto contendo xo. A funo tem um mnimorelativo em xo, se f (x) > f (xo) para todo x em um intervalo aberto contendoxo.

PONTOS CRTICOS

Denio: O ponto xo um ponto crtico de uma funo f , se f denida emum intervalo aberto contendo xo e f 0 (xo) zero ou no existe.

Observao: Se o grco de uma funo tem uma reta tangente num pontocrtico, ento, a reta tangente horizontal. De acordo o prximo teorema, mx-imos e mnimos relativos de uma funo s podem ocorrer em pontos crticos.

Teorema: Se f tem um mximo ou mnimo relativo em xo, ento, xo umponto crtico de f .

Exemplo: Traar o grco do polinmio 14x4 2x2. Mostrar os pontos

crticos e os mximos e mnimos relativos.Soluo: Consideremos f (x) = 14x

4 2x2, a sua representao grca dada por

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

6

8

x

y

A derivada da funo f

f 0 (x) =d

dx

1

4x4 2x2

= 4:

1

4x41 2:2x21 = x3 4x

= xx2 4 = x (x+ 2) (x 2)

3

Veja que em

f 0 (x) = 0 =) x (x+ 2) (x 2) = 0 =)8 0

0 < 1 < 2 e

f 0 (1) = (1) (1 + 2) (1 2)= (1) (3) (1) = 3 < 0

2 < 3 e

f 0 (3) = (3) (3 + 2) (3 2)= (3) (5) (1) = 15 > 0

Dessa forma, podemos fazer uma anlise do grco com mais riqueza dedetalhes, veja que

para x < 2; f 0 (x) < 0 =) f (x) decrescente;para 2 < x < 0; f 0 (x) > 0 =) f (x) crescente;para 0 < x < 2; f 0 (x) < 0 =) f (x) decrescente;

e para x > 2; f 0 (x) > 0 =) f (x) crescente;

Observao: Uma funo pode ter um ponto crtico sem que haja um mx-imo ou um mnimo relativo, um exemplo de funo que cumpre essa condio f (x) = x3, (ver grco abaixo) a derivada da funo f 0 (x) = 3x2, e quandof 0 (x) = 0 =) x = 0, portanto a funo tem um ponto crtico e uma tangentehorizontal (eixo x) para x = 0, sem que haja mximo ou mnimo relativo.

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-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

TESTE DA DERIVADA SEGUNDA

Veremos agora como o estudo das derivadas segundas pode auxiliar no processode traados de grcos de funes.A derivada segunda de uma funo corresponde derivada da derivada da

funo. Usaremos como notao:

f 00 (x) oud2f

dx2(notao de Leibniz)

Para derivadas de ordem superior, faz-se uso da mesma analogia, isto

f000(x) ou

d3f

dx3; f

(4)

(x) oud4f

dx4; ; f (n) (x) ou d

nf

dxn:

0.1 Concavidade e o teste da derivada segunda

A derivada primeira, f 0 (x), de uma funo o coeciente angular da reta tan-gente a seu grco em x.Se esse coeciente angular cresce, quando x cresce, ento, o grco da curva

voltada para cima e dizemos que tem concavidade voltada para cima.Pela inclinao da tangente vericamos que a derivada da funo positiva

e crescente, consequentemente a derivada segunda, f 00 (x), positiva.Se o coeciente angular decresce, quando x decresce, ento, o grco da

curva voltado para baixo e dizemos que tem concavidade voltada para baixo.Pela inclinao da tangente vericamos que a derivada da funo positiva

e decrescente, consequentemente a derivada segunda negativa.

Denio (concavidade): O grco de uma funo f tem a concavidadevoltada para cima, para x pertencente um intervalo, se, neste intervalo, o coe-ciente angular fx da reta tangente uma funo crescente. O grco tem aconcavidade voltada para baixo, para x pertencente a um intervalo, se fx a uma funo decrescente.

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Teorema (Teste da derivada segunda): Se a derivada segunda fx de umafuno f positiva num intervalo aberto, ento, o grco de f tem concavidadevoltada para cima, para x pertencente a esse intervalo. Se a derivada segunda negativa no intervalo, ento, o grco tem concavidade voltada para baixo,para x nesse intervalo

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