técnicas de capítulo 7 integração - professores...

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Capítulo 7Técnicas de Integração


7.4 Integração de Funções

Racionais por Frações Parciais

Nessa

seção, vamos

aprender

como

integrar funções

racionais

reduzindo-as a uma

soma de

frações

mais

simples.

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO


INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

Nesta seção mostraremos como integrarqualquer função racional (um quociente de polinômios) expressando-a como uma soma de frações mais simples, chamadas fraçõesparciais, que já sabemos como integrar.


Para ilustrar o método, observe que, levandoas frações 2/(x – 1) e 1/(x – 2) a um denominador comum, obtemos:

2

2 1 2( 2) ( 1)1 2 ( 1)( 2)

52

x xx x x x

xx x

+ − −= =

− + − ++

=+ −



Se revertermos o procedimento, veremoscomo integrar a função no lado direito dessaequação:

2

5 2 12 1 2

2ln | 1| ln | 2 |

x dx dxx x x x

x x C

+ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ − − +⎝ ⎠= − − + +

∫ ∫



Para ver como esse método de fraçõesparciais funciona em geral, consideramos a função racional

onde

P e Q

são

polinômios.

( )( )( )

P xf xQ x

=



FUNÇÃO PRÓPRIA

É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q.

Essa função racional é denominada própria.

Lembre-se de que se

•

No qual

an

≠

0, então

o grau

de P é

n, e escrevemos gr(P) = n.

11

1 0( ) n nn nP x a x a x a x a−

−= + + ⋅⋅⋅+ +


Se f é imprópria, isto é, gr(P) ≥ gr(Q), entãodevemos fazer uma etapa preliminardividindo P por Q (por divisão de polinômios).

•

Até

o resto

R(x) ser obtido, com gr(R) < gr(Q).

FRAÇÕES PARCIAIS


O resultado da divisão é

onde

S e R são

polinômios

também.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

P x R xf x S xQ x Q x

= = +

Equação 1FRAÇÕES PARCIAIS


Como o exemplo a seguir mostra, algumasvezes essa etapa preliminar é tudo de queprecisamos.

FRAÇÕES PARCIAIS


Encontre

•

Como o grau

do numerador

é

maior

que

o grau

do denominador, primeiro

devemos

fazer

a divisão.

3

1x x dxx+−∫

Exemplo 1FRAÇÕES PARCIAIS


•

Isso

nos

permite

escrever:

32

3 2

221 1

2 2ln | 1|3 2

x x dx x x dxx x

x x x x C

+ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= + + + − +

∫ ∫



A próxima etapa é fatorar o denominadorQ(x) o máximo possível.

É possível demonstrar que qualquerpolinômio Q pode ser fatorado como um produto de fatores lineares (da forma ax + b) e fatores quadráticos irredutíveis (da forma ax2 + bx + c, onde b2 – 4ac < 0).

FRAÇÕES PARCIAIS


Por exemplo, se Q(x) = x4 – 16, poderíamosfatorá-lo como:

2 2

2

( ) ( 4)( 4)( 2)( 2)( 4)

Q x x xx x x

= − +

= − + +

FATORANDO Q(x)


FATORANDO Q(x)

A terceira etapa é expressar a funçãoracional própria R(x)/Q(x) (da Equação 1) como uma soma de frações parciais daforma:

ou( )+ i

Aax b 2( )

++ + j

Ax Bax bx c


Um teorema na álgebra garante que ésempre possível fazer isso.

•

Explicamos

os

detalhes

para

os

quatro

casos

que ocorrem.

FATORANDO Q(x)


O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos.

Isso significa que podemos escrever

Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)…(akx + bk)

onde

nenhum

fator

é

repetido

(e nenhum

fator

é

múltiplo

constante

do outro).

CASO 1


Nesse caso o teorema das frações parciaisafirma que existem constantesA1, A2, . . . , Ak

tal que:

Essas constantes podem ser determinadascomo no exemplo seguinte.

1 2

1 1 2 2

( )( )

k

k k

AA AR xQ x a x b a x b a x b

= + + ⋅⋅⋅ ++ + +

Equação 2CASO 1


Calcule

•

Como o grau

do numerador

é

menor

que

o grau

do denominador, não

precisamos

dividir.

Fatoramos o denominador como:

2x3

+ 3x2

– 2x

= x(2x2

+ 3x

– 2) = x(2x

– 1)(x

+ 2)

•

Como o denominador

tem três

fatores

lineares distintos.

Exemplo 22

3 2

2 12 3 2

x x dxx x x

+ −+ −∫

FRAÇÕES PARCIAIS


A decomposição em frações parciais do integrando (2) tem a forma:

2 2 1(2 1)( 2) 2 1 2x x A B C

x x x x x x+ −

= + +− + − +

Ex.: 2 – Equação 3FRAÇÕES PARCIAIS


Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessaequação pelo produto dos denominadores, x(2x – 1)(x + 2), obtendo:

x2

+ 2x

+ 1 = A(2x

– 1)(x

+ 2) + Bx(x

+ 2) + Cx(2x

– 1)



Expandindo o lado direito da Equação 4 e escrevendo-a na forma-padrão para ospolinômios, temos:

x2

+ 2x

+ 1 = (2A

+ B

+ 2C)x2

+ (3A

+ 2B

–

C) –

2A



Os polinômios na Equação 5 são idênticos, então seus coeficientes devem ser iguais.

O coeficiente de x2 do lado direito, 2A + B + 2C, deve ser igual ao coeficiente de x2 do lado esquerdo, ou seja, 1.

•

Do mesmo

modo, os

coeficientes

de x são

iguais

e os termos

constantes

também.



Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C:

2A

+ B

+ 2C

= 1

3A

+ 2B

–

C

= 2

–2A

= –1



Resolvendo, obtemos:

•

A

= ½

•

B

= 1/5

•

C

= –1/10



E assim,

2

3 2

1 1 12 10 10

2 12 3 2

1 1 1 1 1 12 5 2 1 10 2

ln | | ln | 2 1| | 2 |

+ −+ −

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟− +⎝ ⎠= + − − + +

∫

∫

x x dxx x x

dxx x xx x x K



Ao integrar o termo do meio, fizemosmentalmente a substituição u = 2x – 1, queresulta em du = 2 dx e dx = du/2.



Podemos usar um método alternativo paraencontrar os coeficientes A, B e C no Exemplo 2.

A Equação 4 é uma identidade; é verdadeirapara cada valor de x.

Vamos escolher valores de x que simplificama equação.

OBSERVAÇÃO


Se pusermos x = 0 na Equação 4, o segundo e o terceiro membros do ladodireito desaparecerão, e a equação será–2A = –1.

•

Ou

A

= ½.

OBSERVAÇÃO


Da mesma maneira, x = ½ dá 5B/4 = 1/4 e x = –2 dá 10C = –1.

•

Assim, B

= 1/5 e C = –1/10.

OBSERVAÇÃO


Você pode argumentar que a Equação 3 não é válida para x = 0, ½, ou –2.

•

Então, por

que

a Equação

4 deveria

ser válida

para aqueles

valores?

De fato, a Equação 4 é válida para todosos valores de x, até para x = 0, ½, e –2 .

•

Veja

o Exercício

69 para

uma

explicação.

OBSERVAÇÃO


Encontre , onde a ≠ 0.

•

O método

das frações

parciais

dá:

•

E portanto,

2 2

dxx a−∫

2 2

1 1( )( )

A Bx a x a x a x a x a

− = +− − + − +

( ) ( ) 1A x a B x a+ + − =



Usando o método da observação anterior.

•

Colocamos

x = a nesta

equação

e obtemos

A(2a) = 1. Assim, A =

1/(2a).

•

Se pusermos

x = –a, obteremos

B(–2a) = 1. E dessa

forma, B =

–1/(2a).



Então,

2 2

1 1 121 (ln | | ln | |)

2

⎛ ⎞= −⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

= − − + +

∫ ∫dx dx

x a a x a x a

x a x a Ca



Como ln x – ln y = ln(x/y), podemosescrever a integral como:

•

Veja

os

Exercícios

55-56 para

maneiras

de usar

a Fórmula

6.

2 2

1 ln2

dx x a Cx a a x a

−= +

− +∫

Ex.: 3 – Fórmula 6FRAÇÕES PARCIAIS


Q(x) é um produto de fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos.

Suponha que o primeiro fator linear (a1x +b1) seja repetido r vezes.

•

Isto

é, (a1

x +

b1

)r

ocorre

na

fatoração

de Q(x).

CASO 2


Então, em vez de um único termo A1/(a1x +b1) na Equação 2, usaríamos:

1 22

1 1 1 1 1 1( ) ( )r

r

A A Aa x b a x b a x b

+ + ⋅⋅⋅++ + +

Equação 7CASO 2


Para ilustrar, poderíamos escrever:

•

Mas

é

preferível

detalhar

um exemplo

mais

simples.

CASO 2

3

2 3 2 2 3

1( 1) 1 ( 1) ( 1)

x x A B C D Ex x x x x x x

− += + + + +

− − − −


Encontre

•

A primeira

etapa

é

dividir.

•

O resultado

da

divisão

de polinômios

é:

4 2

3 2

2 4 11

x x x dxx x x− + +− − +∫

4 2

3 2

3 2

2 4 1141

1

x x xx x x

xxx x x

− + +− − +

= + +− − +



A segunda etapa é fatorar o denominador

Q(x) = x3 – x2 – x + 1.

•

Como Q(1) = 0, sabemos

quex – 1 é

um fator

e obtemos:

3 2 2

2

1 ( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1)

x x x x xx x xx x

− − + = − −= − − +

= − +



Como o fator linear x – 1 ocorre duas vezes.

A decomposição em frações parciais é:

2 2

4( 1) ( 1) 1 ( 1) 1

x A B Cx x x x x

= + +− + − − +



Multiplicando pelo mínimo denominadorcomum, (x – 1)2 (x + 1), temos:

2

2

4 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 2 ) ( )

= − + + + + −

= + + − + − + +

x A x x B x C xA C x B C x A B C



Agora igualamos os coeficientes:

02 4

0

+ =− =

− + + =

A CB C

A B C



Resolvendo, obtemos:

A =

1

B =

2

C = -1



Assim, 4 2

3 2

2

2

2

2 4 11

1 2 111 ( 1) 1

2ln | 1| ln | 1|2 1

2 1ln2 1 1

− + +− − +

⎡ ⎤= + + + −⎢ ⎥− − +⎣ ⎦

= + + − − − + +−−

= + − + +− +

∫

∫

x x x dxx x x

x dxx x x

x x x x Kx

x xx Kx x



Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete.Se Q(x) tem o fator ax2 + bx + c, onde b2 – 4ac < 0, então, além das frações parciais nasEquações 2 e 7, a expressão para R(x)/Q(x) terá um termo da forma

em que A e B são as constantes a seremdeterminadas.

CASO 3

2

Ax Bax bx c

++ +


Por exemplo, a função dada porf(x) = x/[(x – 2)(x2 + 1)(x2 + 4) tem umadecomposição em frações parciais da forma

CASO 3

2 2

2 2

( 2)( 1)( 4)

2 1 4

− + ++ +

= + +− + +

xx x x

A Bx C Dx Ex x x


O termo dado em (9) pode ser integradocompletando o quadrado e usando a fórmula

CASO 3 Fórmula 10


Calcule

•

Como x3

+ 4x =

x(x2

+ 4) não

pode

ser mais

fatorado,

escrevemos:

2

3

2 44

x x dxx x− ++∫

2

2 2

2 4( 4) 4

x x A Bx Cx x x x

− + += +

+ +



Multiplicando por x(x2 + 4), temos:

2 2

2

2 4 ( 4) ( )( ) 4

x x A x Bx C xA B x Cx A

− + = + + +

= + + +



Igualando os coeficientes, obtemos:

A

+ B

= 2 C

= –1 4A

= 4

•

Então, A =

1, B =

1, e C = –1.



Então,

2

3 2

2 4 1 14 4

x x xdx dxx x x x− + −⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫



Para integrar o segundo termo, o dividimosem duas partes:

2 2 2

1 14 4 4

x xdx dx dxx x x−

= −+ + +∫ ∫ ∫



Fazemos a substituição u = x2 + 4 na primeiradas integrais de modo que du = 2x dx.

Calculamos a segunda integral usando a Fórmula 10 com a = 2:



Calcule

•

Como o grau

do denominador

não

é

menor

que

o do numerador, primeiro

dividimos

e obtemos.

2

2

4 3 24 4 3

− +− +∫

x x dxx x

2

2

2

4 3 24 4 3

114 4 3

x xx x

xx x

− +− +

−= +

− +



Observe que o termo quadrático 4x2 – 4x + 3 é irredutível, porque seu discriminante éb2 – 4ac = –32 < 0.

•

Isso

significa

que

este

não

pode

ser fatorado, então não

precisamos

usar

a técnica

da

frações

parciais.



Para integrar a função dada completamos o quadrado no denominador:

•

Isso

sugere

que

façamos

a substituição

u =

2x – 1.

•

Então, du = 2 dx, e x = ½(u + 1).

2 24 4 3 (2 1) 2− + = − +x x x



Assim,Exemplo 6FRAÇÕES PARCIAIS


OBSERVAÇÃO

O Exemplo 6 ilustra o procedimento geralpara se integrar uma fração parcial daforma

onde2

Ax Bax bx c

++ +

2 4 0b ac− <


Completamos o quadrado no denominador e então fazemos a substituição que traz a integral para a forma

•

Então, a primeira

integral é

um logaritmo, e a segunda é

expressa

em

termos

de tg-1.

OBSERVAÇÃO

2 2 2 2 2 2

1Cu D udu C du D duu a u a u a

+= +

+ + +∫ ∫ ∫


Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveisrepetidos.

Se Q(x) tem um fator (ax2 + bx + c)r ondeb2 – 4ac < 0.

CASO 4


Então, em vez de uma única fração parcial(9), a soma

ocorre

na

decomposição

em

frações

parciais

de R(x)/Q(x).

Cada um dos termos de (11) pode ser integrado primeiro completando o quadrado.

CASO 4

1 1 2 22 2 2 2( ) ( )

+ + ++ + ⋅⋅⋅+

+ + + + + +r r

r

A x B A x B A x Bax bx c ax bx c ax bx c

Fórmula 11


Escreva a forma da decomposição emfrações parciais da função

3 2

2 2 3

1( 1)( 1)( 1)

+ +− + + +

x xx x x x x



Temos:3 2

2 2 3

2 2

2 2 2 3

1( 1)( 1)( 1)

1 1 1

( 1) ( 1)

x xx x x x x

A B Cx D Ex Fx x x x x

Gx h Ix Jx x

+ +− + + +

+ += + + +

− + + ++ +

+ ++ +



Calcule

•

A forma da

decomposição

em

frações

parciais

é:

2 3

2 2

1 2( 1)

x x x dxx x

− + −+∫

2 3

2 2 2 2 2

1 2( 1) 1 ( 1)

x x x A Bx C Dx Ex x x x x

− + − + += + +

+ + +



Multiplicando por x(x2 + 1)2, temos:

3 2

2 2 2

4 2 4 2 3 2

4 3 2

2 1( 1) ( ) ( 1) ( )( 2 1) ( ) ( )

( ) (2 ) ( )

− + − +

= + + + + + +

= + + + + + + + +

= + + + + + + + +

x x xA x Bx C x x Dx E xA x x B x x C x x Dx ExA B x Cx A B D x C E x A



Se igualarmos os coeficientes, obteremos o sistema

•

Que

tem a solução

A

= 1, B

= –1, C

= –1, D

= 1, E

= 0.

01

2 21

1

A BC

A B DC EA

+ == −+ + =+ = −=



Então,Exemplo 8FRAÇÕES PARCIAIS


Observamos que algumas vezes as fraçõesparciais podem ser evitadas na integraçãode funções racionais.

Por exemplo, embora a integral

possa

ser calculada

pelo

método

do Caso

III.

EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS

2

2

1( 3)x dx

x x++∫


É muito mais fácil observar que se u = x(x2 + 3) = x3 + 3x, então du = (3x2 + 3) dx e assim

231

32

1 ln | 3 |( 3)x dx x x C

x x+

= + ++∫

EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS


Algumas funções não racionais podem ser transformadas em funções racionais pormeio de substituições apropriadas.

•

Em

particular, quando

um integrando

contém

uma expressão

da

forma n√g(x), então

a substituição

u = n√g(x) pode

ser eficaz.

SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES


Calcule

•

Seja

•

Então, u2

= x +

4

•

De modo

que, x =

u2

– 4 e dx = 2u du

Exemplo 9

4x dxx+

∫

4u x= +

SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES


•

Portanto,

2

2

2

2

4 24

2442 1 4

x udx u dux u

u duu

duu

+=

−

=−

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

∫

Exemplo 9SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES


Podemos calcular essa integral fatorando u2

– 4 em (u – 2)(u + 2).



E usando as frações parciais ou a Fórmula 6 com a = 2:

2

4

2 84

1 22 8 ln2 2 2

4 22 4 2ln4 2

x dxx

duduu

uu Cu

xx Cx

+

= +−

−= + ⋅ +

⋅ +

+ −= + + +

+ +

∫

∫ ∫


técnicas de capítulo 7 integração - professores...

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