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Tarefas de investigação sobre sucessões

Magda Pereira

Escola Secundária com 3º CEB do Sabugal

Manuel Joaquim Saraiva Departamento de Matemática da Universidade da Beira Interior, Covilhã

Tarefas de investigação

1. As sequências de Fibonacci

2. Sucessões com fósforos

3. Viagens pelo Mundo

4. Os números pitagóricos

5. A tabela de números

Ano: 11º ano de escolaridade

Notas gerais para o professor acerca da implementação

das tarefas de investigação

No decorrer da resolução das tarefas de investigação os alunos poderão trabalhar

em grupo, discutindo processos e resultados, registando-os num relatório escrito. Use o

método de questionamento ao longo de toda a investigação, mas de forma regrada e

orientada, de modo a não desvirtuar o processo de investigação. Poderão ser usadas

questões de carácter focalizador na fase inicial da conjectura (a fim de orientar o

raciocínio dos alunos); questões de carácter inquiritivo no decorrer da concepção e

implementação de um plano para testar a conjectura ou conjecturas feitas, a fim de

inquirir os alunos em raciocínios pontuais; e questões de carácter confirmativo na fase

final da investigação, ou seja, no estabelecimento de resultados (a fim de confirmar

todos os passos da investigação e consequentemente auxiliar os alunos a elaborarem um

relatório).

No final da aula de resolução de cada tarefa, peça aos alunos (por escrito e de

modo individual) uma reflexão crítica, de modo a que estes reflictam sobre o modo

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como decorreu o trabalho, quais as principais dificuldades e como é que foram

ultrapassadas, o que é que aprenderam e como decorreu o trabalho dentro do grupo. Esta

reflexão é importante para os alunos e para si, pois deste modo maximizará a sua

percepção do modo de raciocinar e das dúvidas dos alunos (e de cada um em particular).

Peça aos alunos que preparem as discussões das tarefas (coloque à disposição

dos mesmos uma caneta de acetato e um acetato, para os auxiliar na preparação da

discussão).

Durante a apresentação de cada grupo, estimule a discussão entre os grupos, de

modo a rentabilizar a exploração da tarefa e a provocar possíveis extensões.

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1. As Sequências de Fibonacci

Competências matemáticas envolvidas

A primeira tarefa de investigação, As Sequências de Fibonacci, é uma situação

da Natureza pub licada, por este matemático, no livro Liber Abaci (século XIII) – “A

sequência dos coelhos”. Pretende-se que: os alunos identifiquem regularidades nos

termos de uma sequência (finita ou infinita) dada; identifiquem a ordem de um termo

dessas sequências; construam o termo geral de uma sequência infinita dada; e, definam

uma dada sucessão por recorrência.

Implementação

Esta tarefa deve ser proposta na aula de introdução ao estudo das sucessões.

Porém, antes de proceder à sua implementação, deve introduzir-se (de forma guiada) o

conceito de sucessão, com a exploração de vários exemplos/modelos propostos, onde a

participação dos alunos será estimulada até à formalização do conceito de sucessão com

base na definição de função (já conhecida dos alunos). Como exemplo: “Consideremos

uma tablete de chocolate. Suponhamos que ela irá ser dividida em partes iguais pelos

alunos que se encontram numa sala. Comecemos por imaginar que apenas dois alunos

se encontram na sala. Qual a expressão matemática que permite representar a

quantidade de chocolate atribuída a cada aluno? E se houver na sala três alunos? E n

alunos?” Todas as conclusões devem ir sendo registadas no quadro, a fim de se manter

um fio condutor da discussão. Podem também ser exploradas, seguindo esta

metodologia, várias sucessões, tais como: ...,3

,2

,4,3nn

nn . Deve estimular-se a

representação gráfica deste tipo de situações, de modo a que fique evidente o domínio

de cada uma delas. Nesta fase deve formalizar-se o conceito de sucessão.

Após esta introdução às sucessões, deve-se começar o trabalho de investigação.

Comece por ler o enunciado da tarefa com os alunos e contextualizá- los historicamente.

Seguidamente, após terem percebido o enunciado, deixe-os trabalhar sobre a tarefa.

Devem ser os próprios alunos a experimentar a necessidade de usar a recorrência

através da tradução matemática da situação exposta. Se alguns alunos manifestarem

dúvidas, de como começarem a explorar, estimule a realização de esquemas, gráficos e

tabelas que traduzam a situação.

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Na aula de discussão da tarefa introduza alguma irregularidade no processo de

reprodução dos coelhos, situações que (quando exploradas pelos alunos) conduzem

necessariamente a hipóteses e propostas de resolução ricas e capazes de gerar

articulação de vários conceitos e raciocínios efectuados pelos diversos grupos da turma -

- como exemplo: “O que acontecerá se morrer um casal de coelhos numa das

gerações? Como se traduz matematicamente essa situação?”

A tarefa “As Sequências de Fibonacci”

Investigação: “Supondo que um casal de coelhos de um mês de idade é muito

novo para se reproduzir, mas suficientemente adulto para se reproduzir quando tem dois

meses de idade e que todos os meses, a começar no 2º mês, eles reproduzem um novo

casal de coelhos, macho e fêmea, quantos casais de coelhos haverá no início de cada

mês?”

Ø Traduz matematicamente a situação apresentada.

Leonardo Fibonacci (1175 – 1250) foi um famoso matemático

italiano da Idade Média. Filho de um mercador que tinha o

sobrenome de Bonaccio.

Leonardo Fibonacci foi encarregado dos negócios do pai e viajou

muito nos países mediterrâneos. Os seus interesses, porém, viraram-

se para as ciências e de regresso das suas viagens publicou a sua

obra mais famosa, Liber Abaci, que lhe permitiu aceder à corte de

Frederico II.

O Fibonacci foi igualmente atribuído o mérito de ter introduzido o

uso dos números chamados árabes. As sequências de Fiobonacci têm

origem no problema que se segue, publicado, por este matemático, no

livro Liber Abaci.

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2. Sucessões com fósforos

Competências matemáticas envolvidas

A segunda tarefa de investigação, Sucessões com fósforos, destina-se à

consolidação do conceito de sucessão (quer definida à custa de uma expressão para o

termo geral, quer definida por recorrência). A investigação destina-se à construção de

polígonos com fósforos. Pretende-se que os alunos definam a questão da investigação

resultante da extensão de um problema com sucessões de polígonos; conjecturem em

torno dessa questão; elaborem plano(s) para o teste dessa(s) conjectura(s); testem

essa(s) conjectura(s); comuniquem os resultados obtidos. Em cada pesquisa efectuada

os alunos devem dar continuidade às suas construções, obedecendo a uma regularidade.

Pretende-se em cada pesquisa, conseguir um modelo matemático (uma lei) que traduza

matematicamente a construção efectuada.

Implementação

Esta tarefa pode ser proposta na aula seguinte à aula de discussão da tarefa de

investigação As sequências de Fibonacci. Para esta aula coloque à disposição dos

alunos caixas de fósforos (uma para cada grupo de trabalho), o restante material é o

utilizado diariamente nas aulas de Matemática pelos alunos, tal como: papel, lápis,

borracha, esferográfica e calculadora.

O objectivo de cada sucessão construída (com fósforos) é conseguir um modelo

(uma lei) que traduza matematicamente a construção efectuada. Deste modo, pretende-

se que cada aluno trabalhe propriedades das sucessões, ainda que de modo implícito

(pois a formalização de certas propriedades e conceitos será mais tarde efectuada).

A tarefa “Sucessões com fósforos”

As duas situações que se seguem (que podes construir usando palitos) podem ser traduzidas matematicamente usando sucessões.

( I )

( II )

...

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Ø Constrói sucessões com fósforos. Investiga e define matematicamente essas

construções. Elabora um relatório, com o teu grupo de trabalho, onde constem os

passos da investigação.

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3. Viagens pelo Mundo

Competências matemáticas envolvidas

A terceira tarefa de investigação, Viagens pelo Mundo, destina-se a proporcionar

aos alunos, num contexto real, a necessidade do uso das sucessões na vida quotidiana e

em situações do dia a dia. É uma tarefa que pode ser novamente abordada no 12ºano,

aquando do estudo do cálculo combinatório (situações de contagens) e em cursos

superiores no âmbito da Teoria de Grafos. Esta tarefa permite ainda fazer referência e

estudar as propriedades existentes entre alguns números, concretamente os números

triangulares. A riqueza de discussões que podem descender da resolução desta

investigação apresenta-se como um meio de predispor os alunos para a investigação

matemática.

Implementação

Antes de implementar esta tarefa dedique algumas aulas à resolução de

problemas e à exploração de situações que proporcionem a aprendizagem dos seguintes

conceitos: sucessão monótona crescente, sucessão monótona decrescente, sucessão não

monótona, infinitamente grande positivo e negativo e infinitésimo. Estes conceitos

podem ser introduzidos de modo heurístico usando exemplos da realidade, da semi-

realidade, ou puramente matemáticos. Após o estudo de algum destes conceitos,

proponha aos alunos a realização de uma tarefa de exploração livre; por exemplo, a

criação de uma situação da natureza, do quotidiano, de outras disciplinas, ou acerca de

qualquer outro tema (à escolha dos alunos), que possa ser traduzida matematicamente

através de uma sucessão monótona (crescente ou decrescente) e/ou não monótona, ou

através de um infinitamente grande positivo (ou negativo) e/ou infinitésimo. É natural

que a articulação deste tipo de tarefa aberta com resolução de exercícios e problemas se

traduza numa experiência matemática nova para os alunos, e rica, pois a maturidade

matemática que daí possa advir traduzir-se-á certamente numa mais valia em relação à

autonomia dos alunos e à forma como eles percepcionam a disciplina.

Para a aula de resolução da tarefa Viagens pelo Mundo os alunos não precisam

de material especial. Assim, o material necessário é o usual, já do conhecimento dos

mesmos, para as aulas de Matemática. No decorrer da resolução dos alunos estimule a

representação analítica dos registos que eles efectuarem, quer das situações iniciais

simples (com três ou quatro zonas), quer das situações mais complexas (com n zonas).

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A elaboração de esquemas é de grande importância, quer para a compreensão da tarefa

em si, quer para a possibilidade de criar extensões (nomeadamente com a geometria). É

natural que os alunos resolvam analiticamente a tarefa usando o método da recorrência.

Porém, na fase da discussão, encaminhe heuristicamente os alunos, para a definição da

situação usando apenas um único termo.

A tarefa “Viagens pelo Mundo”

Os números pitagóricos

Pretende-se fazer um passeio por Portugal, visitando as sete zonas assinaladas no mapa. Vamos chamar de “um percurso” o caminho que une duas

regiões quaisquer de Portugal.

Ø Quantos percursos diferentes podem ser formados entre as regiões de Portugal?

Ø E se considerarmos os percursos entre as cidades de cada uma dessas regiões?

Ø Existe alguma lei geral que nos permita considerar todos os percursos que unem todas as cidades de um país? E do mundo?

INVESTIGUEM ...

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4. Os números pitagóricos

Competências matemáticas envolvidas

A quarta tarefa de investigação, Os Números Pitagóricos, tem como finalidade

descobrir fórmulas de vários números figurados (números pitagóricos). Esta

investigação proporciona: por um lado, o aprofundamento do conhecimento histórico ao

nível da Matemática (útil para a fundamentação da própria investigação e

consequentemente para o envolvimento dos alunos nesta tarefa); por outro lado, permite

estudar, de modo aprofundado, várias relações existentes entre os números.

Implementação

Na aula seguinte (à aula de discussão da terceira tarefa de investigação) comece

por trabalhar, de modo intuitivo, o conceito de limite de uma sucessão, com o auxílio da

calculadora gráfica. Em seguida, proceda à exploração de várias situações de sucessões

monótonas e limitadas. Promova a discussão de alguns exemplos de sucessões, que

embora não sendo monótonas, convirjam para um limite. Em seguida, disponibilize

algumas aulas para a resolução de exercícios e problemas (do manual dos alunos e/ou

fichas de trabalho) acerca dos conceitos estudados até ao momento.

Antes de dar inicio à tarefa de investigação, proceda à introdução do conceito de

progressão aritmética (pode fazê- lo recordando construções efectuadas pelos alunos

com fósforos, que possam ser traduzidas por meio de uma progressão aritmética).

Na aula de implementação da tarefa, proceda à leitura do enunciado da mesma e

faça uma pequena introdução histórica (importante para que os alunos se adaptem à

tarefa e ao que nela lhes é pedido). Esta tarefa, de cariz puramente matemático,

apresenta-se como uma forma de criar analogias e relações importantes (as propriedades

dos números explorados). Ao mesmo tempo, a actividade desenvolvida pelos alunos, no

decorrer da resolução da mesma, pode ter uma dupla funcionalidade: criar

conhecimento; e, ao mesmo tempo, exercitar esse conhecimento (através da busca, e

consequente experimentação e refutação constante, de números que obedeçam a uma

regularidade que os gera).

Estimule, novamente, a realização de esquemas pois estes, além de facilitarem a

investigação dos alunos, permitem uma exploração de extensões mais rica (na fase da

discussão). Promova a escrita matemática dos resultados (quer através da recorrência,

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quer usando uma lei única), pois deste modo estará a contribuir para o desenvolvimento

da capacidade de abstracção dos alunos.

A tarefa “Os números pitagóricos”

Investigação: Os Números Pitagóricos

Ø Escolhe números pitagóricos (figurados) e investiga acerca da(s) regularidade(s)

da sucessão que o(s) gera. Todos os resultados e raciocínios devem ser detalhadamente explicitados num relatório.

Um exemplo de uma sucessão de números pitagóricos:

A sucessão de Números Hexagonais

... (a sequência continua) H(1)=1 H(2)=6 H(3)=15 H(n)= ?

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5. A tabela de números

Competências matemáticas envolvidas

A quinta tarefa de investigação, A Tabela de Números, consta de uma tabela de

números, aparentemente simples, mas que permite uma grande diversidade de pesquisas

no âmbito das sucessões, quer numéricas, quer geométricas. Pretende-se que os alunos

investiguem Matemática em torno de uma dada tarefa, inserida no âmbito das sucessões.

Os alunos poderão relacionar e manusear com total liberdade os conceitos que

considerarem úteis e pertinentes nas pesquisas que efectuarem.

Implementação

Antes de propor a tarefa A tabela de números proceda à introdução do conceito

de progressão geométrica. Pode fazê- lo através de uma tarefa de exploração, de modo a

que os alunos construam esse conceito, ou usando situações problemáticas e guiando-os

(de modo heurístico) para o conceito em causa. Dedique algumas aulas à prática dos

conceitos gerais de sucessões estudados até ao momento.

Na aula de implementação da tarefa, após ler o enunciado com os alunos, e

quando os alunos começarem a trabalhar, pode surgir alguma inadaptação resultante do

carácter abstracto do enunciado. No entanto, deve incentivar os alunos na busca de

regularidades que se verifiquem sempre na tabela. Em caso de total inadaptação dos

alunos, alerte-os para a análise da tabela segundo as suas diagonais, linhas ou colunas, e

deixe-os investigar. À semelhança das outras tarefas, deve promover a escrita

matemática das descobertas a fim de promover o desenvolvimento dessa capacidade, a

par do desenvolvimento da capacidade de abstracção.

Caso a conexão com os conceitos estudados no tema das sucessões não seja feito

pelos alunos de modo natural, questione-os nesse sentido (com questões pouco

orientadas, mas pertinentes); desse modo estará a desenvolver a flexibilidade

matemática dos alunos e a capacidade de relacionarem conceitos estudados. Na fase de

discussão dos resultados, estenda (sempre que possível) as explorações efectuadas (à

semelhança do proposto nas tarefas atrás esplanadas).

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A tarefa “A tabela de números”

Investigação: Observem atentamente a seguinte tabela de números.

Detectam alguma(s) regularidade(s)?

... 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 ...

2 3 4 5 6 7 8 9 8 9 8 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 8 9 8 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 8 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 9 8 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 8 9 8 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 4 5 6 7 8 9 8 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7 8 9 8 9 8 7 6 5 4 3 2 ... 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 ...

Investiguem a existência de sucessões na tabela. Façam um relatório com todos os raciocínios que efectuarem e com todas as conclusões a que chegarem (pesquisas escolhidas, caminhos seguidos e porquê, raciocínios e conclusões).