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ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT Rua Bento Gonçalves, 1171 – Telefone: 3592.1795 - CEP: 93010-220 – São Leopoldo – RS

COMPONENTE: Matemática PROFESSOR: César Lima Turma: 1º ano/2017

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Conjuntos

Introdução

Lembramos que conjunto, elemento e relação

de pertinência são considerados conceitos

primitivos, isto é, não aceitam definição.

Intuitivamente, sabemos que conjunto é uma

lista, coleção ou classe de objetos, pessoas,

números, etc.

Representação

Representamos conjunto por uma letra

maiúscula. Seus integrantes, que chamaremos

elementos, são colocados entre chaves separados

por vírgula.

Assim, por exemplo, podemos dizer que a

sucessão de números 0, 1, 2, 3, 4, ... formam um

conjunto denominado conjunto naturais, que

representamos por ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Relação de pertinência

• Se um elemento x faz parte de um conjunto A,

dizemos que:

x pertence ao conjunto A e escrevemos x ∈ A

• Se um elemento y não faz parte de um conjunto

A, dizemos que:

y não pertence ao conjunto A e escrevemos y ∉ A

Exemplos:

a) 5 ∈ ℕ b) 2

3 ∉ ℕ c) 0 ∈ ℕ d) −2 ∉ ℕ

Conjunto universo

Para resolver uma equação, um problema ou

desenvolver determinado tema em Matemática,

devemos retirar os elementos de que necessitamos

de um conjunto que os contenha. Esse conjunto

recebe o nome de conjunto universo e é

representado pela letra U.

Exemplos:

a) No conjunto A = {x ∈ ℕ | x2 – 3x +2 = 0}, x só

pode assumir valores que pertencem ao conjunto ℕ,

conjunto dos números naturais; portanto,

U = ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}.

b) Em B = {x ∈ ℤ | x2 + 5x + 6 = 0}, x só pode

assumir valores que pertencem ao conjunto ℤ,

conjunto dos números inteiros; portanto,

U = ℤ = {... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn representa conjunto da

seguinte maneira:

a)

b)

Subconjunto

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está

contido em B ou que A é subconjunto de B se, e

somente se, todo elemento do conjunto A também

for elemento de B. Representamos isso assim:

A ⊂ B.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3},

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = {−1, 0, 1, 2}, notamos

que:

• todos os elementos de A também são elementos

de B, logo A está contido em B e escrevemos

A ⊂ B.

• nem todos os elementos de C são elementos de B

(−1 ∈ C e −1 ∉ B), logo C não está contido em

B e escrevemos C ⊄ B.

Vejamos a ilustração desse exemplo no

diagrama de Venn:

A ⊂ B e C ⊄ B

Exercício resolvido

Sendo A = {x ∈ ℤ | (x–3)(x+4)(x–5)(2x–4) = 0}

e B = {x ∈ ℕ | x2 −5x + 6 = 0}, preencha as lacunas

com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄:

a) 2 ..... A b) 4 .... B c) B ..... A d) A ..... ℕ



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Solução:

Determinando os elementos de A, teremos:

(x – 3)(x + 4)(2x – 4)(x – 5)(2x – 4) = 0

x – 3 = 0 ou x + 4 = 0 ou x – 5 = 0 ou 2x – 4 = 0

Logo, x = 3 ou x = − 4 ou 2x = 4 ⇒ x = 2.

Assim, A = {−4, 2 3, 5}.

Determinando os elementos de B, teremos:

x2 – 5x + 6 = 0 onde ∆ = 1

x = 5 ± 1

2 ⇒ {

𝑥 = 2𝑜𝑢 𝑥 = 3

Assim, B = {2, 3}

Colocando corretamente os símbolos, teremos:

a) 2 ∈ A b) 4 ∉ B c) B ⊂ A d) A ⊄ ℕ

Exercício

Sendo A = {x ∈ Z | (3x + 9)(2x + 4)x(x – 1) = 0 e

B = { x ∈ ℕ | x2 – 7x = − 12}, preencha as lacunas

com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄:

a) 0 ---------- A b) 0 ---------- B

c) 3 ---------- A d) 3 ---------- B

e) B ---------- ℤ f) A ---------- ℕ

Operações com conjuntos

União

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Conjunto formado por todos os elementos de A

ou de B.

Exemplo:

Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 4, 5}, então

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

A ∪ B

Intersecção

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Conjunto formado por todos os elementos

comuns a A e B.

Exemplo:

Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, então

A ∩ B = {2, 3}.

A ∩ B

Diferença

A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Conjunto formado pelos elementos que

pertencem a A e não pertencem a B.

Exemplo:

Se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3}, então

A – B = {5, 7} e B – A = ∅.

A – B = {5, 7}

B – A = ∅



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Complementar

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ ∁𝐵𝐴 = 𝐵 − 𝐴

Dados os conjuntos A e B, em que A ⊂ B,

chamamos de complementar de A em B (∁𝑩𝑨) o

conjunto formado pelos elementos que pertencem

a B e não pertencem a A.

Exemplo:

A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então

∁𝐵𝐴 = B – A = {4, 5}.

∁𝐵𝐴

Exercícios

1. Dados os conjuntos a seguir:

A = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta,

sábado, domingo}

B = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio,

junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro,

dezembro}

C = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s,

t, u, v, x, z}

D = { Português, Matemática, História,

Geografia, Ciência, Educação Artística, Inglês,

Educação Física}

Preencha as lacunas com ∈ ou ∉.

a) Português ..... D d) outubro …. B

b) terça ..... B e) r ..... A

c) a ..... E f) Alagoas ..... E

2. Seja A = {1, 2, 3, 5, 9}, B = {2, 3} e

C = {11, 12}. Preencha as lacunas com ⊂, ⊃, ⊄, ⊅ apropriado.

a) A ..... B c) C ..... A

b) B ..... A d) A ..... C

3. Se a = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 7} e

C = {2, 4, 6}, determine:

a) A ∪ B b) A ∩ B

c) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

4. Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6} e

C = {1, 2, 4}, encontre:

a) B – C b) ∁𝐴𝐶

Número de elementos da União de Conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos finitos e n(A) = o

número de elementos de A; n(B) = o número de

elemento de B; n(A ∪ B) = o número de elementos

de A ∪ B e n(A ∩ B) = o número de elementos de

A ∩ B.

A ∪ B = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

A ∩ B

Observação:

• Se A ∩ B = ∅, teremos n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

• O número de elementos da união de três

conjuntos é:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) –

− n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Exemplos:

a)

n(A) = 5

n(B) = 5

n(A ∩ B) = 2

Sendo n(A ∪ B) = n(a) + n(B) − n(A ∩ B), então

n(A ∪ B) = 5 + 5 – 2. Logo na n(A ∪ B) = 8.

b)

n(A) = 3

n(B) = 4

A∩B = ∅

n(A ∩ B) = 0

Sendo n(A ∪ B) = n(a) + n(B) − n(A ∩ B), então

n(A ∪ B) = 3 + 4 – 0. Logo na n(A ∪ B) = 7.



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Exercícios resolvidos

1. Determine n(D ∪ M) sendo

D = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e

M = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}.

Solução:

𝑛(𝐷) = 8𝑛(𝑀) = 8

𝑛(𝐷 ∩ 𝑀) = 4} 𝑛(𝐷 ∪ 𝑀) = 8 + 8 − 4 = 12

2. Em uma entrevista, 80% dos alunos leem o

jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo

aluno lê pelo menos um dos jornais, qual o

percentual de alunos que leem ambos os jornais?

Solução:

Como todos os alunos leem pelo menos um jornal,

n(A ∪ B) = 100%. Então:

n(A ∪ B) = n(a) + n(B) − n(A ∩ B)

100% = 80% + 60% − n(A ∩ B)

n(A ∩ B) = 40%

Exercícios

1. Calcule o número de elementos do conjunto

A ∪ B, sabendo que A, B e A ∩ B são conjuntos

com 90, 50, e 30 elementos, respectivamente.

2. Considerando o diagrama a seguir, determine:

a) n(A ∩ B) c) n(A ∪ B)

b) n(A – B) d) n(U)

3. Considerando o diagrama abaixo, determine:

a) n(A) e) n(A ∩ C)

b) n(B) f) n(A – B)

c) n(C) g) n[(A ∪ B) – C]

d) n(A ∩ B)

4. (FGV-SP) Um levantamento efetuado entre 600

filiados ao INSS mostrou que muitos deles

mantinham convênio com duas empresas

particulares de assistência médica, A e B, conforme

o quadro:

O número de filiados simultaneamente às empresas

A e B é:

a) 30 b) 90 c) 40 d) 25 e) 50

5. (Fatec-SP) O conjunto A tem 20 elementos,

A ∩ B tem 12 elementos e A ∪ B tem 60

elementos. O número de elementos do conjunto B

é:

a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52

6. Considerando o diagrama abaixo, determine:

a) n(A ∩ B) c) n(A ∪ B)

b) n(A ∩ B ∩ C) d) n(U)



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Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais (ℕ)

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} → o zero foi excluído

do conjunto ℕ.

Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)

ℤ = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, ...)

Subconjunto de ℤ

ℤ+ = {0, 1, 2, 3, ...}

ℤ− = {..., −5, −4, −3, −2, −1, 0}

Conjuntos dos Números Racionais (ℚ)

Todo número racional pode ser colocado na

forma 𝒂

𝒃, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0.

ℚ = {𝑥 | 𝑥 = 𝑎

𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝐚 ∈ ℤ, 𝐛 ∈ ℤ e 𝐛 ≠ 0}

Exemplos:

• Representação decimal de um número

Esses exemplos referem-se às decimais exatas ou

finitas.

a) 3

4= 0,75 b) −

1

2= −0,5

c) 4

5= 0,8 d)

3

100= 0,03

• Decimais Periódicas

Esses exemplos referem-se às decimais não

exatas, periódicas, que possuem um número

infinito de algarismos.

a) 4

9= 0,444 … b)

15

99= 0,1515 …

Podemos representar geometricamente os

números racionais sobre uma reta.

Conjunto dos Números Irracionais (𝐈)

O conjunto dos números irracionais é formado

por números decimais infinitos não periódicos e

não podem ser escritos na forma 𝑎

𝑏.

Exemplos:

a) Radicais do tipo √2, √3, √8 (raízes não exatas)

b) O número 𝜋 = 3,141592...

Conjunto dos Números Reais (ℝ)

É formado pela união do Conjunto dos Números

Racionais com o Conjunto dos Números

Irracionais.

ℝ = ℚ ∪ 𝐼 = {x |x é racional ou x é irracional}.

Como todo número racional é um número real,

podemos escrever ℚ ⊂ ℝ.

Resumindo conjuntos numéricos:


Complete corretamente com os símbolos ∈, ∉, ⊂

e ⊄.

a) √16 _ _ _ _ ℚ b) 20

4 _ _ _ _ ℕ∗

c) √−4 _ _ _ _ R d) {−1, 2, 4} _ _ _ _ ℤ

e) ℚ _ _ _ _ ℝ∗

Solução:

a) √16 ∈ ℚ (porque √16 = 4 ∈ ℚ)

b) ) 20

4 ∈ ℕ∗ (porque

20

4= 5 ∈ ℕ∗)

c) √−4 ∉ ℝ (porque nenhum número real elevado

ao quadrado resulta em – 4).

d) {−1, 2, 4} ⊂ Z (porque todos os elementos do

conjunto são números inteiros)

e) Q ⊄ ℝ∗ (porque 0 ∈ ℚ e 0 ∉ ℝ∗).

Exercício

Complete corretamente com os símbolos ∈, ∉, ⊂

e ⊄.

a) 0,757575 _ _ _ _ ℚ b) ℕ _ _ _ _ ℤ∗

c) ℤ− _ _ _ _ ℤ d) ℚ∗ _ _ _ _ R

e) ℚ _ _ _ _ ℝ∗ f) {2

3, 2, √9} _ _ _ _ ℚ

g) {√2, √3, √5} _ _ _ _ ℝ h) √−16 _ _ _ _ ℝ



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Relação de ordem no conjunto ℝ

Sejam dois números reais quaisquer, a e b:

• Entre a e b poderá ocorrer uma, e somente uma,

das relações:

a = b ou a > b ou a < b

• A desigualdade representada por a < b significa

que o número real a é menor que o número real

b.

Geometricamente, se a < b, então a está situado

à esquerda de b na reta real:

• A desigualdade representada por a > b significa

que o número real a é maior que o número real b.

Geometricamente, se a > b, então a está situado

à direita de b na reta real:

• Também é comum escrevermos:

a ≤ b (lê-se: a é menor que b ou a é igual a b)

a ≥ b (lê-se: a é maior que b ou a igual a b)

• Um número real c está entre a e b se, e somente

se, a < c e c < b. Podemos representar isto como

uma dupla desigualdade: a < c < b.

Intervalos Reais

Denomina-se intervalo qualquer subconjunto dos

números reais. Dados dois números reais a e b,

com a < b, temos:

• Intervalo aberto

]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}

As bolinhas vazias (∘) indicam que os extremos

não pertencem ao intervalo.

• Intervalo fechado

[a, b] = { x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

As bolinhas cheias ( ) indicam que os extremos

pertencem ao intervalo.

• Intervalos semi-abertos à direita

[a, b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}

• Intervalo semi-aberto à esquerda

]a, b] = { x ∈ ℝ | a < x ≤ b}

• Intervalos infinitos

a) ]c, + ∞[ = {x ∈ ℝ | x > c} = ]c, + ∞)

b) ]−∞, c[ = {x ∈ ℝ | x < c} = (−∞, c[

c) [c, + ∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ c} = [c, + ∞)

d) ] −∞, c] = { x ∈ ℝ | x ≤ c} = (−∞, c]

Os símbolos + ∞ (mais infinito) e − ∞ (menos

infinito) não representam, especificamente,

nenhum número real. O conjunto dos números reais

pode ser representado como um intervalo aberto:

ℝ = ]− ∞, + ∞[ = (− ∞, + ∞)


Sendo A = [0, 3] e B = [1, 5[, determine:

a) A ∪ B c) A – B

b) A ∩ B d) ∁ℝ𝐴



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Solução:

Temos:

ℝ

A

B

A ∪ B

A ∩ B

A – B

∁ℝ𝐴

Logo:

a) A ∪ B = [0, 5[

b) A ∩ B = [1, 3]

c) A – B = [0, 1[

d) ∁ℝ𝐴 = ]− ∞, 0[ ∪ ]3, + ∞[

Exercícios

1. Sendo A = [2, 7]] e B = ]3, 8], determine:

a) A ∪ B b) A ∩ B

2. Sendo A = [1, 3[, B = [2, 4[, determine:

a) A ∪ B b) A ∩ B

c) A − C



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Símbolo Nome Explicação

{ , } chaves o conjunto de... Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.

{ | } tal que Ex: R+ = {x ∈ R | x³ ≥ 0} significa que R+ é o conjuntos dos números pertencentes aos reais TAL QUE esses números sejam maiores ou iguais a zero.

∅ { } conjunto vazio

Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. Ex: A={1,2,3} e B={4,5,6} A ∩ B= ∅

∀ para todo

Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: ∀ x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.

∈ pertence Indica relação de pertinência. Ex: 5 ∈ N. Significa que o 5 pertence aos números naturais.

∉ não pertence

Ex: −1 ∉ N. Significa que o número −1 não pertence aos números naturais.

⊂ está contido Ex: N ⊂ Z, ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

⊄ não está contido

Ex: R ⊄ N, ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.

⊃ contém Ex: Z ⊃ N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.

∪ união de conjuntos

Lê-se como "A união B" Ex: A={5,7,10} e B={3,6,7,8} A ∪ B = {3,5,6,7,8,10}

∩ intersecção de conjuntos

Lê-se como "A intersecção B" Ex: A={1,3,5,7,8,10} e B={2,3,6,7,8} A ∩ B={3,7,8}

A−B diferença de conjuntos

Lê-se como "diferença de A com B". É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Ex: A−B = {X | x A e x ∉ B}

< 𝑒 > comparação É menor que, é maior que x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y

≤ 𝒆 ≤ comparação é menor ou igual a, é maior ou igual a x≤y significa: x é menor ou igual a y; x≥y significa: x é maior ou igual a y

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