SUPERLISTA Prof. Carlos Vidigal Profa. Érika Vidigal

1) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2?

a) Sempre, pois é uma expansão binomial.

b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade.

c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo.

d) Quando o produto AB for comutativo com BA.

e) Se e somente se A = B.

2) Uma matriz real A é ortogonal se A.At = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta

de A. Se A =

zy

x2

1

é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

a) 4

1

b) 4

3

c) 2

1

d) 2

3

e) 23

3) A matriz M =

300

420está sendo usada para representar as coordenadas dos vértices A(0,

0),B(2, 0) e C(4, 3) de um triângulo ABC. Multiplicando-se M por uma constante k > 0, a matriz resultante da operação indicará os vértices do triângulo A’B’C’, de acordo com o mesmo padrão anterior de representação. Em tais condições, a área do triângulo A’B’C’ será igual a

a) 3k

b) 6k

c) k2

d) 3k2

e) 6k2

4) Seja a matriz A =

10

11. A soma dos elementos da matriz A100 é

a) 3.

b) 102.

c) 118.

d) 150.

f) 300.

5) Com relação à matriz

11

10A , a opção correta é:

a) 224 IA , sendo 2I a matriz identidade de ordem 2.

b) 222 IA , sendo 2I a matriz identidade de ordem 2.

c) AA21

d) 221 AA

e) 222 AA

6) O valor de a para que a igualdade matricial

11

12.

a1

11=

10

01 seja verdadeira é:

a) 1

b) 2

c) 0

d) -2

e) -1

7) Considere as matrizes A e B, tais que A =

53

21e A.B =

21311

814. A soma dos elementos da

primeira coluna da matriz B é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8) Considere as matrizes A =

zy

x1, B =

11

21 e C =

4536

54,com x, y, z números reais.

Se AB = C, a soma dos elementos da matriz A é:

a) 9.

b) 40.

c) 41.

d) 50.

e) 81.

9) Se o produto de matrizes

11

01.

201

110.

1

y

x

é a matriz nula, x + y é igual a:

a) 0

b) 1

c) -1

d) 2

e) -2

10) Sejam as matrizes A =

62

21e M =

y

x

1

1 , onde x e y são números reais e M é a matriz

inversa de A. Então o produto x y é:

a) 2

3

b) 3

2

c) 2

1

d) 4

3

e) 4

1

11) As matrizes A e B são quadradas de ordem 4 e tais que AB =

9000

0900

0090

0009

.

Determine a matriz BA.

12) Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a matriz quadrada

001

201

210

.

Se o determinante da matriz (M + xI) é uma função polinomial na variável x, a soma de suas raízes é igual a

a) -1.

b) 0.

c) 1.

d) 2.

e) 3.

13)Sejam A=(aij )4x3 e B=(bij )3x4 duas matrizes definidas por aij=i+j e bij=2i+j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c32 da matriz C? (94)

14) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde

A =

3

220

03

111

x

Com base na fórmula p(x) = detA, determine:

a) o peso médio de uma criança de 5 anos; (18)

b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30kg. (11)

15) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os

números inteiros x e y são tais que a matriz

y

x

11

43

012

tem traço igual a 4 e determinante igual a -19,

então o produto xy é igual a

a) - 4

b) - 3

c) - 1

d) 1

e) 3

16) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3.

Se A =

201

110

321

e B é tal que B-1 = 2A, o determinante de B será

a) 24

b) 6

c) 3

d) 6

1

e) 24

1

17) Dada a matriz A =

a1

23, uma matriz B, (2x2), e sabendo-se que det(AB) = 26,

a) expresse det(B) em termos de a.

b) Sendo B =

46

35

, calcule o valor de a.

a) det B = 23a

26

considerando que a 3

2

.

b) a = 5.

18) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n 2:

I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.

II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, …, n, então detA = a11 a22… ann.

III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por 2 +1e a segunda por 2 -1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então detB = detA.

Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)

a) apenas II.

b) apenas III.

c) apenas I e II.

d) apenas II e III.

e) todas.

19) Dadas as matrizes A =

15

x1e B =

x4

12 , a soma das raízes da equação det(A B) = -28 é:

a) 11

5

b) 11

3

c) 5

4

d) 3

11

e) 5

11

20) Sendo I a matriz identidade de ordem 2 e Muma matriz 2 2, tal que M3 = 8I, então o determinante de M é igual a:

a) 64

b) 8

c) 4

d) 2

e) 1

21) Usando o teorema de Laplace, calcule:

6022

1303

3011

1115

3

2

(0)

22) Usando triangulação, calcule:

411712

0141000

613900

512803

015000

(2700)

23) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi

a) 110

b) 120

c) 130

d) 140

e) 150

24)O sistema

1ycx

01)y(cx, onde c 0, admite uma solução (x, y) com x = 1. Então, o valor de c é:

a) -3

b) -2

c) -1

d) 1

e) 2

25)Dados os sistemas lineares,

S1:

2yx

0yx S2:

2yCxC

1yCxC

21

21

e admitindo-se que S1 e S2 são equivalentes,

a) defina o que são sistemas lineares equivalentes;

b) encontre os valores de C1 e C2.

C1 = 2

3

e C2 = - 2

1

26) Num escritório há 3 impressoras: A, B e C. Em um período de 1 hora:

A e B juntas imprimem 150 folhas;

A e C juntas imprimem 160 folhas;

B e C juntas imprimem 170 folhas.

Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:

a) 60 folhas

b) 65 folhas

c) 75 folhas

d) 70 folhas

e) 80 folhas

27) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:

a) 68.

b) 75.

c) 78.

d) 81.

e) 84.

28) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações:

1º motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km.

2º motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km.

3º motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km.

Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava?

a) 820 km

b) 832 km

c) 798 km

d) 812 km

e) 824 km

29) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi

a) 1 800.

b) 1 500.

c) 1 400.

d) 1 000.

e) 800.

30) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas.

2000 maçãs, 3000 pêras e 5000 laranjas.

31) O sistema linear

2zy3x

1zyx

0zy5x

é:

a) Homogêneo e indeterminado.

b) Impossível e indeterminado.

c) Possível e determinado.

d) Possível e indeterminado.

32) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:

8 2z y ax

2 3z y 2x

8 z 2y x

a) Encontre o valor de a que torna o sistema impossível ou indeterminado.

b) Utilize o valor de a encontrado no item anterior para verificar se o sistema dado é impossível ou indeterminado.

a) a = 1. b) Sistema impossível.

33) Considere o sistema abaixo.

kykx

yx

yx

3

1

1

O conjunto formado por todos os valores reais de k, que tornam esse sistema possível, é:

a) 1,0,1

b) 10,

c) 01,

d) 11,

e) 0

34)Marilei vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x,y e z, respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão representados na tabela abaixo.

Dias Sacolas Tipo I

Sacolas Tipo II

Sacolas Tipo III

Total (R$)

Primeiro 0 1 2 13,00

Segundo 5 2 1 21,00

Terceiro 5 1 1 18,00

Com base nessa tabela, o valor de x + y + zé igual a:

a) R$ 30,00

b) R$ 25,00

c) R$ 20,00

d) R$ 15,00

e) R$ 10,00

35) O sistema linear

1bzx

1zby

1ybx

não admite solução se e somente se o número real b for igual a

a) -1.

b) 0.

c) 1.

d) 2.

e) -2.

36) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.

B =

zcd

ya

x

0,2

0,38,1

Calcule , para esse dia, o valor, em reais:

a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2 (1200)

b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. (3400)

49) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (aij)3x3, tal que aij= ij, é:

a) 33.

b) 25.

c) 52.

d) 43.

e) 26.

37) A toda matriz não nula [x y], corresponde um ponto P(x; y) no plano cartesiano, diferente da origem. Ao se

multiplicar essa matriz pela matriz

01

10 , o ponto P:

a) Sofre uma rotação anti-horária de 90º em torno da origem.

b) É projetado ortogonalmente no eixo das abscissas.

c) Sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas.

d) Sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas.

e) Sofre uma rotação horária de 90º em torno da origem.,

38) Calcule os determinantes:

a)41712

04100

63900

52803

05000

(90)

b)

20310

11510

203111

40620

11513

(0)

39) Calcule a inversa das matrizes:

31

52A

21

531A

11

21B

11

211B

101

719

203

C

301

312

2011C

0212

3121

5313

1121

D

Para responder às questões 40 e 41, leia o texto a seguir.

Criptologia é a área do conhecimento que reúne os estudos da criptografia e da criptoanálise. Ela é

considerada ciência há mais ou menos 25 anos. Antes, era tida como “arte”. Tanto a criptografia

como a criptoanálise são ramos da criptologia. “Cripto” vem do grego kryptos e significa “escondido,

oculto”. Graphos, também do grego, significa “escrever”. Logos significa “estudo, ciência”. Analysis

significa “decomposição”. Então, temos que criptologia é o estudo da escrita cifrada.

A criptografia é tão antiga quanto a escrita. Ela já fazia parte da escrita hieroglífica dos egípcios e os

romanos utilizavam-na como códigos (ou cifras) secretos para comunicar planos de guerra. O

conceito de cifra é dado ao par de algoritmos utilizados para a codificação e decodificação de uma

mensagem. O primeiro código de que se tem notícia foi utilizado por Caio Júlio César (100 – 44

a.C.), imperador romano.

Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Transforma-se a

mensagem numa matriz M com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à

sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir. Cria-se uma matriz C, invertível, que

é a chave codificadora. O produto MC é a matriz codificada que o recebedor irá receber. Para

decodificar a matriz recebida é necessário ter a chave decodificadora que é a matriz inversa de C,

isto é, . Para ler a mensagem o recebedor fará o produto .

LETRA A B C D E F G H I J K L M

NÚMERO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

LETRA N O P Q R S T U V W X Y Z

NÚMERO

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Atualmente a criptografia é bastante utilizada na internet. O grande envio de informações através da

rede mundial de computadores exige segurança no que diz respeito ao sigilo dessas informações.

Grande parte do avanço da criptografia se deve à matemática, que estuda e traça estratégias para

tornar as codificações mais complexas e difíceis de serem interpretadas por pessoas que queiram

possuir informações alheias para uso indevido (hackers). Os sistemas de segurança de bancos, lojas

e sites utilizam a criptografia para manter sigilosas as informações de clientes e usuários.

Adaptado de: http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Producao/2008intertech-

criptografia_1_.pdf.Acessado em 30/06/2012.

40)Você enviará para um amigo a palavra “amor”. Para isso, usará como chave a matriz [

]. A

matriz codificada que seu amigo receberá está representada por

(A)[

] (B)[

] (C) [

]

(D)[

] (E) [

]

41) Para seu amigo ler a mensagem que você enviou é preciso decodificá-la. A matriz decodificadora

é a matriz inversa da chave.

Qual é a chave decodificadora que seu amigo possui?

(A) [

] (B)[

] (C) [

]

(D) [

] (E) [

]

42) Francisco aderiu a um plano de telefonia chamado “Plano sob medida”. Esse plano é montado

pelo cliente de acordo com os serviços que ele quer usar. Francisco escolheu o plano com ligações

para telefone móvel da mesma operadora, telefone fixo e envio de torpedos. No primeiro mês pagou

R$ 74, 00 de conta e falou 150 minutos com telefone móvel, 40 minutos com telefone fixo e enviou

60 torpedos. No segundo mês pagou R$77,00 e falou 200 minutos com telefone móvel, 60 minutos

com telefone fixo e enviou 30 torpedos. Já no terceiro mêspagou R$ 86,00 e falou 100 minutos com

telefone móvel, 100 minutos com telefone fixo e enviou 40 torpedos.

Calcule o valor de cada serviço usado por Francisco.

43) Utilizando o método de Cramer, discuta a sistema {

.

44) Em um feriado um casal reuniu seus três filhos com as esposas e netos para assistir a um filme.

Cada filho deveria levar bolo, sorvete e suco em uma quantidade proporcional ao tamanho de sua

família.

Os filhos compraram os produtos em um supermercado próximo à casa dos pais. O primeiro filho

comprou dois bolos, três garrafas de suco e um pote de sorvete e pagou trinta reais; o segundo

comprou um bolo, uma garrafa de suco e um pote de sorvete e pagou vinte e um reais e cinquenta

centavos; o terceiro comprou três bolos, duas garrafas de suco e um pote de sorvete e pagou trinta e

dois reais e cinquenta centavos.

Agora responda: quanto custa o bolo nesse supermercado?

45) Considere as matrizes ,10

baA

dcB

21 e ,

10

01

I em que a, b,ce dsão números reais.

Marque, para cada uma das afirmativas abaixo, (V) verdadeira ou (F) falsa.

1 ( ) Se AB = I, então A + B = I.

2 ( ) Se A + B = I, então AB = I.

3 ( ) Se A-1 é a matriz inversa de A, e det(A-1)10 = 1024, então a = 2.

4 ( ) Se Bt é a matriz transposta de B, e

1

21X é solução do sistema

5

0XB t , então

2

10X

é solução do sistema

0

5BX .

Assinale a seqüência correta:

A) F F F V.

B) V F F V.

C) V V F F.

D) F F V F.

46) Considere a matriz

11

01

1

a

a

ba

A , em que a e b são números reais. Considere as informações

acima e marque para as afirmativas a seguir (V) verdadeira ou (F) falsa.

1 ( ) Se

001

010

101

B , então, AB = BA.

2) ( ) Se b< 0, então a matriz A tem inversa.

3) ( ) Fixando b > 0, o sistema linear

1

1

1

.

z

y

x

A é possível e determinado (isto é, tem exatamente

uma solução), exceto para dois valores de a.

4) ( ) Fixando a> 0, o sistema linear

0

0

0

.

z

y

x

A é possível e indeterminado (isto é, tem infinitas

soluções), exceto para um valor de b.

Assinale a seqüência correta:

A) F V F F.

B) V F V V.

C) V V F F.

D) F F V V.

E) F V V F.