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PROVA DE MATEMÁTICA – 1a AVALIAÇÃO – UNIDADE 3 – 2008.

3a SÉRIE E. M. _ COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO DA PROVA: PROF. OCTAMAR MARQUES

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

QUESTÕES DE 01 A 08 Assinale as proposições verdadeiras some os resultados e marque na Folha de Respostas. QUESTÃO 1. Considere a função f(x) = 42x3x +−−

É verdade que: 01) f possui inversa. 02) f é crescente 04) O único zero de f é igual a 7/3. 08) f é par 16) f(x) = – 4 ⇒ x ∈ {1, 3, 5, 7}. 32) (f o f)(1) = – 3 64) A solução da equação f(f(x)) = – 2 pertence ao intervalo [0, 1]. RESOLUÇÃO:

f(x) = 42x3x +−− ⇒

≥+−

<+−=⇒

≥−+−−

<−+−+−=

3 xse 1,x

3 xse 7,3xf(x)

03 xse 4,2x3x

03 xse 4,2x3xf(x)

Graficamente:

2

01) VERDADEIRA. Analisando o gráfico acima, pode-se concluir que f é uma função injetora, é uma função sobrejetora, portanto bijetora. Conclusão: f é uma função inversível. 02) FALSA. Ainda pela análise do gráfico chega-se à conclusão de que f é uma função decrescente. 04) VERDADEIRA.

O gráfico intercepta o eixo dos x no ponto

,0

3

7. Logo o único zero de f é igual a 7/3.

08) FALSA. f(x) ≠ f(– x). 16) VERDADEIRA. Analisando o gráfico, pode-se concluir que f(x) = – 4, se x ≥ 3, logo, – x + 1 = – 4 ⇒ x = 5 ∈ {1, 3, 5, 7}. 32) VERDADEIRA. Em f(f(1)) = – 3, fazendo, f(1) = a tem-se: f(a) = – 3 ⇒ a ∈ [3,∞[. Substituindo x por a em f(x) = – x + 1, tem-se: – a + 1= – 3 ⇒ a = 4 ⇒ f(1) = 4. Voltando ao gráfico vê-se que essa igualdade é verdadeira. 64) FALSA. Da equação f(f(x)) = – 2, tem-se, f(x) = 3. De f(x) = 3 e f(x) = – 3x + 7 ⇒ – 3x + 7 = 3 ⇒ x = 4/3 > 1. QUESTÃO 2.

2mFG

10mDC

10mED

15mEF

DC // AB e BC // FE

=

=

=

=

Considere o croquis de um lote de terreno, representado na figura acima.

Utilizando os valores ;7,13 = π = 3 e sen 150o = 2

1, é verdade que:

01) A área do triângulo de vértices F, E e D, é igual a 30m2. 02) A área do triângulo de vértices F, D e C é 117,50m2. 04) A área do triângulo de vértices F, C e H é 176,25m2. 08) A área do setor circular é 3m2 e a do retângulo ABHG é 26m2. 16) A área do setor é igual a 10% da área do triângulo de vértices F, E e D. 32) A área total do lote é 360,25m2.

3

RESOLUÇÃO:

Na figura traça-se EJ DI e CD// EJ ⊥ . O triângulo DEI é retângulo com um ângulo de 60o, no qual EI = ED.cos60o ⇒ EI = 10.0,5 = 5 e

CJ = DI = ED.sen60o = 10.2

3= 1,7 . 5 = 8,5

Então CDEJ é um trapézio retângulo, com altura medindo 8,5m e bases: DC = 10m e EJ =15m.

01) FALSA.

SDEF = 2o 37,5cm2

175.150.10.15.sen

2

1== .

02) VERDADEIRA.

SCDF = 2117,5m2

235

2

10.23,5

2

CD.CH=== .

04) VERDADEIRA.

SFCH = 2176,25m2

352,5

2

15.23,5

2

FH.CH=== .

08) VERDADEIRA.

SSETOR CIRCULAR = 22

3mπ4

π.2== e SABHG = 26m2.

16) FALSA.

8%.0,0837,5

3

S

S

DEF

CIRCULAR SETOR ===

32) VERDADEIRA. STOTAL = (37,5 + 117,5 + 176,25 + 3 + 26) = 360,25 m2.

4

QUESTÃO 3. Na figura ao lado temos uma esfera de raio R, inscrita num cone circular reto de raio 3cm e altura h = 4cm. O plano α , paralelo à base do cone, está à distância 2R cm desta base. É verdade que: 01) O raio da esfera é igual a 1,5 cm. 02) A área lateral do cone é igual a 15π cm2. 04) O volume da esfera é 4,5π cm3 e o do cone é 9π cm3. 08) A distância do plano α ao vértice do cone é igual a 1,5cm.

16) O volume do cone determinado pelo plano α é 16

3 πcm3.

32) O volume do tronco de cone determinado pelo plano α é 16

9 πcm3.

RESOLUÇÃO:

01) VERDADEIRA.. Os triângulos VDB e VBC são semelhantes, logo

1,5.R128R5R3R123

R

5

R4

BC

DO

VB

VO=⇒=⇒=−⇒=

−⇒=

02) VERDADEIRA. Como a altura e o raio do cone medem, respectivamente, 4cm e 3 cm, então a sua geratriz mede 5cm. SL = π r g ⇒ SL = π. 3 . 5 = 15πcm2. 04) FALSA.

VESFERA = ππππ

4,53

13,5

3

.(1,5)4.

3

R 433

=== cm3.(V)

VCONE = ππππ

213

36

3

4.9.

3

HR 2

=== cm3 (F)

5

08) FALSA. A distância do plano α ao vértice do cone é igual a 4 – 3 = 1cm. 16) VERDADEIRA.

4

3r

3

r

4

1=⇒= ⇒ V =

16

3

3

1.4

3.

3

Hr

2

2 ππ

π=

=

32) FALSA.

12π – 16

189

16

3192

16

312

πππππ =

−=−

QUESTÃO 4.

Na figura vemos o gráfico da função polinomial y = p(x). Sabe-se que p(x) é do terceiro grau e p(3) = – 2 . É verdade que: 01) O termo independente de x do polinômio p(x) é positivo. 02) p(x) não possui raízes complexas.

04) O coeficiente do termo em x3 do polinômio p(x) é igual a 4

1− .

08) A soma dos coeficientes de p(x) é igual a 2. 16) 1 é raiz do polinômio p(2x). 32) – 5 é raiz da equação p(x) = (x – 1)(x – 2). RESOLUÇÃO: Pelo gráfico se conclui que –1, 1 e 2 são raízes de p(x), logo pode-se escrever: p(x) = a(x + 1)(x – 1)(x – 2) e como p(3) = – 2: p(3) = a(4)(2)(1) = – 2 ⇒ 8a = – 2 ⇒ a = – 1/4 ⇒ p(x) = – 1/4 (x + 1)(x – 1)(x – 2)

6

01) FALSA.

O termo independente de x do polinômio p(x) é ( ) ( ) ( )2

1211

4

1−=−−−

02) VERDADEIRA. O gráfico de p(x), polinômio de grau 3, intercepta o eixo dos x em 3 pontos distintos, as suas raízes são números reais. 04) VERDADEIRA.

O termo em x3 do polinômio p(x) é igual a 3x

4

1.x.x.x

4

1−=− .

08) FALSA. A soma dos coeficientes de p(x) é igual a p(1), e sendo 1 raiz de p(x), tem-se p(1) = 0. 16) VERDADEIRA. p(2x) = 1/4 (2x + 1)(2x – 1)(2x – 2). Substituindo x por 1: 1/4 (2 + 1)(2 – 1)(2 – 2) = 0 32) VERDADEIRA. –1/4 (x + 1)(x – 1)(x – 2) = (x – 1)(x – 2) ⇒ –1/4 (x + 1) = 1 ⇒ –x – 1 = 4 ⇒ x = –5. Questão 5. Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. É verdade que: 01) Com os elementos de A podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos. 02) Com os elementos de A podemos formar 60 números de 3 algarismos com, pelo menos, dois algarismos iguais. 04) Com os elementos de B podemos formar 100 números com 3 algarismos distintos. 08) Com os elementos de B podemos formar 36 números com 3 algarismos distintos que começam com algarismo ímpar e terminam com algarismo par. 16) Com os elementos de A podemos formar, pelo menos, 15 números de 5 algarismos distintos, tais que, alternadamente, seus algarismos sejam ímpares e pares. 32) Com os elementos de A podemos formar 20 números de 5 algarismos distintos, de modo que os algarismos ímpares fiquem sempre na ordem 1, 3 , 5. RESOLUÇÃO: 01) VERDADEIRA. Para a ordem das centenas tem-se 5 opções; escolhido o algarismo dessa ordem restam para a das dezenas 4 opções; escolhido o algarismo da ordem das dezenas, restam para a das unidades 3 opções, logo poderão ser formados 5×4×3 = 60 números com três algarismos distintos. 02) VERDADEIRA. Com os elementos de A podemos formar 53 = 125 números com três algarismos entre os quais existem 60 com todos os algarismos distintos (item anterior). Então poderão ser formados, ao todo, 125 – 60 = 65 números com pelo menos, dois algarismos iguais.

7

Logo é verdadeira a afirmação de que podemos formar 60 números com pelo menos, dois algarismos iguais. 04) VERDADEIRA. Para a ordem das centenas temos 5 opções (1, 2, 3, 4 ou 5); escolhido o algarismo da ordem das centenas, o 4 por exemplo, para a ordem das dezenas existem 5 opções de escolha ( 0, 1, 2, 3 ou 5); escolhido o algarismo da ordem das dezenas, o 5 por exemplo, restam 4 opções para a ordem das unidades. Logo ao todo são 5××××5××××4 = 100 números. 08) VERDADEIRA.

3a ORDEM 2a ORDEM 1a ORDEM ímpar Par ou ímpar par

1, 3 ou 5(escolhe-se o 5) Restam (0, 1, 3 ou 4) 0, 2 ou 4 (escolhe-se o 2) 3 opções 4 opções 3 opções

Logo poderão ser formados 3××××4××××3 = 36 números. 16) FALSA.

IMPAR PAR IMPAR PAR IMPAR 3 opções 2 opções 2 opções 1 opção 1 opção

Ao todo são 3××××2××××2××××1××××1 = 12 números. 32) VERDADEIRA. Colocados os algarismos 1, 3 e 5: _ 1 _ 3 _ 5 _, existem quatro posições para se colocar o algarismo 2, por exemplo. Colocados os algarismos 1, 2, 3 e 5: _ 1 _ 3 _ 5 _2 _, existem cinco posições para se colocar o algarismo 4. Logo podem ser formados, obedecendo-se a condição estabelecida, 4 ×××× 5 = 20 números. Questão 6. Sobre matrizes e determinantes é verdade que: 01) detA– 1 = – det A 02) Se A é uma matriz de ordem n, então det (nA) = n2 det A.

04) 6

2300

211x

1130

1210

=−

⇒ x ∈ {2, 3, 5, 7}

08) x = 2 é condição suficiente para a matriz A =

−

−

11

2x ser inversível.

16) Se o sistema

−=

0

n2

y

x

41

m2 é homogêneo e indeterminado, então

m = 8 e n = 2. 32) Se A é uma matriz inversível, então A X At = A– 1 ⇒ det X = (detA)– 3 . RESOLUÇÃO:

8

01) FALSA.

detA– 1 = detA

1.

02) FALSA. Se A é uma matriz de ordem n, então det (nA) = nn det A. 04) VERDADEIRA.

⇒=−++⇒=−⇒=−

+ 6)12392(x6

230

113

121

x(-1)6

2300

211x

1130

1210

13

2x = 6 ⇒ x = 3 ∈ {2, 3, 5, 7} 08) FALSA.

Para a matriz A =

−

−

11

2x ser inversível é suficiente que detA seja diferente de

zero: 2x02x011

2x≠⇒≠−⇒≠

−

−

16) VERDADEIRA.

Se o sistema

−=

0

n2

y

x

41

m2 é homogêneo e indeterminado, então

2.n e 8m 2n e 0m8 0n2 e 041

m2==⇒==−⇒=−=

32) VERDADEIRA. Multiplicando à esquerda os dois membros da equação A X At = A– 1 por A– 1 ⇒ A– 1 A X At = A– 1 A– 1 ⇒ X At = (A– 1)2 . Multiplicando à direita os dois membros da equação X At = (A– 1)2 por (At)– 1 ⇒ X At(At)– 1 = A– 1 A– 1(At)– 1 ⇒ X = A– 1 A– 1(At)– 1 . Calculando o determinante dos dois membros desta última equação: det X = det (A– 1.A– 1 .(At)– 1) . Como o determinante do produto de matrizes de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes ⇒ det X = det (A– 1).det (A– 1).det((At)– 1) ⇒

det X = 332

)A(detdetA

1

detA

1.

detA

1 −=

=

.

Questão 7. Considere as relações em R: I) x2 + y2 = 16 II) 4x2 + 9y2 = 36 III) y2 = 4 – 3x

9

É verdade que: 01) O domínio da relação I é [– 4, 4]. 02) A imagem da relação II é [– 4, 4].

04) A função y = 3x4 − , implícita na relação III, é decrescente 08) O gráfico da relação I é uma circunferência e a área do triângulo eqüilátero nela

inscrito é igual a 12 3 u.a. 16) Um dos pontos de interseção da 1a bissetriz com o gráfico da relação III, é o ponto (–2, –2).

32) O lado do quadrado inscrito na curva definida pela relação II, é igual a 13

1312.

RESOLUÇÃO: 01) VERDADEIRA x2 + y2 = 16 é a equação de uma circunferência de centro na origem e raio 4.

02) FALSA. Analisando o gráfico ao lado pode-se concluir que a imagem da relação II é o intervalo [– 2, 2]

04) VERDADEIRA. 4x2 + 9y2 = 16 é a equação de uma elipse de centro na origem e eixo maior na horizontal. Analisando o gráfico ao lado pode-se concluir que a imagem da relação II é o intervalo [– 2, 2]

10

08) VERDADEIRA. A figura ao lado representa a situação da questão. Aplicando o teorema de Pitágoras ao

triângulo ADO: 16 = 4 + 4

a 2

⇒

64 = 16 + a2 ⇒ a = 48 ⇒ a = 34 . Pela figura vemos que h = 3.(r/2) = 3. 2 = 6 ⇒

SABC = =×

2

634 12 3 u.a.

OUTRA RESOLUÇÃO:

h = 3r = 6. h =2

3l⇒ 34

3

3126

2

3==⇒= l

l

.

3124

348

4

32

===l

S .

16) FALSA.

( ) ( )}1,1,44,{S1ou x 4x

253

x

043x2x

3x42x

xy3x42y −−=⇒

=−=

±−=

⇒=−+

−=⇒

=

−=

.

32) VERDADEIRA. 4x2 + 9y2 = 36 ⇒ 4x2 9y2 = 36– 4x2 ⇒

y = 3

4x36 2−⇒ B =

−

3

4x36x,

2

⇒

Como B pertence à primeira bissetriz:

⇒−=⇒−

= 222

43693

4x36x xx

13

1312quadrado do lado

13

136OAx3613 2 =⇒==⇒=x .

OUTRA RESOLUÇÃO: Sendo B (x,y) um ponto da primeira bissetriz, x = y, e na equação 4x2 + 9y2 = 36 pode-

se substituir y por x: 4x2 + 9x2 = 36 ⇒ 13x2 = 36 ⇒ x = 13

136

13

36= ⇒

O lado do quadrado é igual a 13

1321.

11

QUESTÃO 8. Considere as seqüências (an) e (bn) de termos gerais an = 2n – 1 e bn = 2n+1; 1 ≤ n ≤ 21. Pode-se afirmar que: 01) O termo central de (an) é igual a 21. 02) A soma dos termos de (an) é 441. 04) (bn) é uma progressão geométrica de razão 4.

08) A soma dos termos de ordem ímpar de (bn) é igual a ( )123

4 22− .

16) O primeiro termo da seqüência cn = na

1, maior que

81

4, é o termo de ordem 11.

32) A soma dos infinitos termos da seqüência de termo geral nb

1é igual a

2

1.

RESOLUÇÃO: 01) VERDADEIRA. A seqüência (an) tem 21 termos, logo o seu termo central é o termo de ordem: (21 + 1) : 2 = 11. Como an = 2n – 1, a11 = 2. 11 – 1 = 21. 02) VERDADEIRA. a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ......, a21 = 41 ⇒ a seqüência (an) é uma progressão aritmética

onde a1 = 1 e r = 2, logo S21 = ( )

4142

.21411=

+.

04) FALSA. Sendo bn = 2n+1, tem-se: b1 = 4, b2 = 8, b3 = 16, b4 = 32,..., b21 = 222 que constitui uma progressão geométrica de razão 2. 08) VERDADEIRA. Os termos de ordem ímpar de (bn): 4, 16, 64,...222 formam uma P.G. de razão 4 de 11 termos.

( )1q

1qaS

n1

n−

−= ⇒

( )( )12

3

4

14

144 2211

−=−

−.

16) VERDADEIRA.

Cn = 01)81(2n

8n850

1)81(2n

48n81

81

4

12n

1<

−

−⇒<

−

+−⇒<

−

A raiz do numerador é n = 8

85 e a raiz do denominador é n =

2

1.

12

Pela tabela ao lado que apresenta o estudo

da variação do sinal da fração 1)81(2n

8n85

−

−

buscando determinar o intervalo em que ela assume valores negativos em função de n. Como 1 ≤ n ≤ 21, n é o menor número

inteiro pertencente ao intervalo

∞,

8

85 ,

então n = 11.

32) VERDADEIRA.

Consideremos dn = nb

1 =

+12

1,.......,

32

1,

16

1,

8

1,

4

1n

que é uma P.G. de razão 2

1.

Sn =2

1

1

2

4

1

2

11

4

1

q1

a 1=×=

−

=−

QUESTÃO 9.

Considere o sistema matricial

=+

=+

AYX

BBYAX, onde A =

02

12 e B =

−11

11.

Calcule o determinante da matriz X. RESOLUÇÃO:

=+

=+

AYX

BBYAX. Tirando o valor de Y na segunda equação e substituindo na primeira

tem-se: ( ) ( )

−=−

−=−

=−+

⇒

=−+

−=

AIBXBA

BABBXAX

BBXBAAX

BX)B(AAX

XAY.

Substituindo A e B:

⇒

−

−=

−−

02

12

10

01

11

11X

11

11

02

12

−

−=

⇒

−

−−

−=

21

03X

11

01

12

11

11

11X

11

01

Multiplicando à esquerda os dois membros da equação Pela inversa da matriz

11

01:

6detX24

03X

21

03

11

01X

11

01

11

01=⇒

−

−=⇒

−

−

−=

−

RESPOSTA: detX = 6

13

QUESTÃO 10. Uma dívida foi paga em 20 prestações mensais, cada prestação sendo igual à anterior acrescida de k reais. A segunda prestação foi igual a R$ 46,00, e a sétima foi igual a R$ 76,00.

Sendo x reais a soma de todas as prestações, calcule o valor da expressão 20

x.

RESOLUÇÃO: A informação: “Uma dívida foi paga em 20 prestações mensais, cada prestação sendo igual à anterior acrescida de k reais” nos conduz à conclusão de que a seqüência numérica formada pelas prestações forma uma progressão aritmética de razão k, a2 = 46 e a7 = 36. Assim: a7 = a2 + (7 – 2).k ⇒ 76 = 46 + 5k ⇒ k = 6. Temos então: a2 = a1 + k ⇒ 46 = a1 + 6 ⇒ a1 = 40 ⇒ a20 = 40 + 19k = 40 + 6.19 = 154

Conclusão: ( ) ( )

x19402

2015440

2

kaaS

20120 ==

×+=

+= ⇒ 97

20

1940

20

x== ⇒

RESPOSTA: 97.