superintendÊncia de educaÇÃo universidade … · necessário que o professor busque...
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SECRETARIA DE ESTADO D A EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTUDUAL DE MARINGÁ
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUC ACIONAL
MATERIAL DIDÁTICO:
A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO ALTERNAT IVA
PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA – CONSTRUÇÕES NO GEOGEB RA:
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO E UMA ATIVIDADE COM
CIRCUNFERÊNCIA.
ÁREA: MATEMÁTICA
NOME DA PROFESSORA PDE: SILVIA TEREZA JULIANI BRAND T
NOME DA PROFESSORA ORIENTADORA: MÁRCIA MAIOLI
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ.
2007 – 2008
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SUMÁRIO:
APRESENTAÇÃO....................................... ........................................................3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.............................. ............................................4
TELA DO GEOGEBRA................................... ....................................................8
ATIVIDADES COM AS FUNÇÕES DO GEOGEBRA.............. .........................10
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO....................... .....................................17
ATIVIDADES COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA.......... ...................18
LOCALIZAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA.. ............25
ATIVIDADE COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA........... ....................26
CONSIDERAÇÕES FINAIS............................... ...............................................29
REFERÊNCIAS.................................................................................................30
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APRESENTAÇÃO
A necessidade do uso da tecnologia faz parte da realidade escolar
principalmente com a chegada dos computadores na Rede Pública de Ensino
no Estado do Paraná, para atender professores e alunos. Fazer uso desse
recurso é um desafio que requer o preparo dos professores e a utilização do
computador como um recurso didático.
Por isso apresentamos algumas atividades básicas para o reconhecimento das
principais funções do software educativo Geogebra e atividades matemáticas
que abordam os “pontos notáveis do triângulo” e a “localização do centro e do
raio de uma circunferência”, com o uso das ferramentas deste software.
Este material faz parte de um “caderno pedagógico” elaborado pelo grupo de
professores PDE, da disciplina de matemática, orientados por professores da
Universidade Estadual de Maringá e pode ser usado nos ensinos fundamental
e médio.
O objetivo principal desta produção é a utilização do “computador” como
ferramenta na prática pedagógica.
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OS COMPUTADORES CHEGARAM! COMO USÁ-LOS NAS AU LAS DE
MATEMÁTICA?
As escolas públicas da Rede Estadual do Paraná estão recebendo
computadores através do programa “Paraná Digital” e junto com eles está
surgindo a necessidade de se ter conhecimentos e metodologias para sua
utilização de forma pedagógica. Diante desta situação, percebemos que é
necessário que o professor busque conhecimentos e se atualize para utilizar
esse importante recurso (computador) como uma ferramenta pedagógica que o
auxilie no ensino de sua disciplina.
No ensino da Matemática, o uso do computador poderá proporcionar avanços
no processo ensino aprendizagem, contribuindo e desafiando professores e
alunos a torná-lo um aliado importante na construção do conhecimento.
Segundo VALENTE (1999), a utilização dos computadores na educação é tão
remota quanto o advento comercial dos mesmos.
O autor afirma que, já em meados da década de 50, apareceram as primeiras
experiências do seu uso na educação. No entanto, a ênfase dada nessa época
era praticamente a de armazenar informação em uma determinada seqüência e
transmiti-la ao aprendiz.
Hoje, a proposta para o uso dos computadores na educação é mais
diversificada e desafiadora do que simplesmente a de transmitir informação ao
aluno. O computador pode ser um auxiliar do processo de construção do
conhecimento e utilizado para enriquecer os ambientes de aprendizagem. A
simples presença das novas tecnologias não é por si só garantia de maior
qualidade na educação, pois a aparente modernidade pode mascarar um
ensino tradicional, baseado na recepção e memorização de informações.
O uso inteligente do computador na Educação está vinculado à maneira como
nós concebemos a tarefa na qual ele será utilizado. Se o utilizarmos como
máquina de ensinar, estaremos apenas informatizando os métodos de ensino
tradicionais.
Contudo, se o computador for utilizado como ferramenta pedagógica, onde ele
não é simplesmente o instrumento que ensina o aprendiz, mas a ferramenta
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com a qual este desenvolve, descreve, busca novas estratégias e soluciona
situações–problema, estaremos abordando a perspectiva Construcionista.
“Na abordagem Construcionista o computador não é o
detentor do conhecimento, mas uma ferramenta tutorada
pelo aluno e que lhe permite buscar informações em
redes de comunicação à distância, navegar entre nós e
ligações, de forma não-linear , segundo seu estilo
cognitivo e seu interesse momentâneo.” (ALMEIDA, 2000)
A autora ainda afirma que nessa perspectiva, é o aluno que coloca o
conhecimento no computador e indica as operações que devem ser
executadas para produzir as respostas desejadas.
Borba e Penteado (2005) afirmam que a relação entre a informática e a
Educação Matemática deve ser pensada como transformação da própria
prática educativa.
De acordo com o Documento das Diretrizes Curriculares de Matemática para a
Educação Básica do Estado do Paraná,
“O ensino da Matemática trata a construção do
conhecimento matemático sob uma visão histórica, de
modo que os conceitos devem ser apresentados,
discutidos, construídos e reconstruídos e também
influenciar na formação do pensamento humano e na
produção de conhecimentos por meio das idéias e das
tecnologias.”
Segundo Borba (1999), no contexto da Educação Matemática, os ambientes de
aprendizagem gerados por aplicativos informáticos podem dinamizar os
conteúdos curriculares e potencializar o processo de ensino e da aprendizagem
voltados à “Experimentação Matemática” com possibilidades do surgimento de
novos conceitos e novas teorias matemáticas.
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As Diretrizes Curriculares de Matemática ressaltam ainda que os recursos
tecnológicos sejam eles o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos
da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e
potencializado formas de resolução de problemas.
Borba e Penteado (2005) consideram as ferramentas tecnológicas interfaces
importantes no desenvolvimento de ações em Educação Matemática.
Destacam que abordar atividades matemáticas com os recursos tecnológicos
enfatiza um aspecto fundamental da disciplina, que é a experimentação.
De posse dos recursos tecnológicos, os estudantes desenvolvem argumentos e
conjecturas relacionadas às atividades com as quais se envolvem e que são
resultados dessa experimentação.
Torna-se necessário, portanto, buscar meios como softwares matemáticos, e
avaliar o potencial de cada um deles para o trabalho pedagógico. Por meio dos
softwares educacionais de modelagens ou simulação, os alunos podem ser
estimulados a explorar idéias e conceitos matemáticos, antes difíceis de
construir com lápis e papel, proporcionando assim, condições para descobrir e
estabelecer relações matemáticas.
Conforme Gravina e Santarosa (1998), “as novas tecnologias oferecem
instâncias físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, e isto
tem reflexos nos processos cognitivos, particularmente no que diz respeito às
concretizações mentais.”
Como vimos, os pesquisadores apontam a necessidade de o computador ser
utilizado nas escolas como ferramenta pedagógica. No entanto, nos sentimos
despreparados para essa nova realidade escolar.
Existem diversos softwares matemáticos que podem ser utilizados pelo
professor para enriquecer a aprendizagem. Dentre eles, citamos Cabri- entre
Géomètre, GeoGebra, Winplot, Régua e Compasso, outros.
Por ser um software gratuito, com versão em português e funcionar na
plataforma Linux, optamos por apresentar neste trabalho atividades
matemáticas utilizando o software Geogebra (disponível em
www.geogebra.org).
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Criado pelo prof. Dr. Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University, em
2001, o Geogebra é um software de matemática dinâmica para ser utilizado em
Educação Matemática nas escolas de Ensino Fundamental, Médio e Superior
que reúne geometria, álgebra e cálculo. O Geogebra é um software disponível
na rede para Download e escrito em linguagem Java. Foi traduzido para o
português por J. Geraldes e é objeto de estudos de um ex-aluno da
Universidade Estadual de Maringá, Humberto José Bortollossi.
Segundo Hohenwarter (2007), idealizador do software, “a característica mais
destacável do Geogebra é a percepção dupla dos objetos: cada expressão na
janela de Álgebra corresponde a um objeto na Zona de Gráficos e vice-versa”.
Por um lado o Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um
software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas.
Por outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente.
Assim, o Geogebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo,
duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si:
sua representação geométrica e sua representação algébrica.
É mais uma ferramenta que pode oferecer a oportunidade de dinamizar e
consolidar o trabalho pedagógico em matemática.
UM POUCO SOBRE O GEOGEBRA:
A proposta deste trabalho é apresentar uma breve introdução às ferramentas
do software Geogebra versão 3.0, auxiliando o leitor que não tem familiaridade
no manuseio destas ferramentas e propor algumas atividades para serem
realizadas com a ajuda do software. Outras informações poderão ser obtidas
no menu Ajuda do programa (em inglês) ou no endereço eletrônico
www.geogebra.org, onde também é possível fazer o download do programa.
No site estão todas as informações sobre instalação e ajuda.
Este trabalho foi inspirado no material do CEFET CAMPOS, disponível em:
http://www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf.
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A TELA DO GEOGEBRA
A figura abaixo representa a tela do Geogebra:
A barra de ferramenta do Geogebra está dividida nas janelas apresentadas
abaixo:
Cada janela contém várias ferramentas, para selecionar uma função, devemos
clicar sobre uma das janelas, lado direito inferior sobre a setinha, e arrastar o
cursor para baixo, quando a função desejada estiver selecionada é só dar um
clique.
FERRAMENTAS
JANELA DE
GRÁFICOS
JANELA DE
ÁLGEBRA
LINHA/ENTRADA
DE COMANDOS
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Algumas dicas
• O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para
anular as últimas operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z
(desfazer) e ctrl+y (refazer), esta opção também é encontrada no canto
superior da tela .
• Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá
informações de como proceder para utilizá-la
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• O menu “Exibir – Protocolo de Construção“ fornece uma tabela listando
todos os passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve
para revisar a construção passo a passo utilizando as teclas de seta.
Apresentaremos algumas atividades básicas para a familiarização com as
principais funções do Geogebra:
ATIVIDADE 01
1- Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha.
No menu Exibir aparece essas três funções, sempre que precisar, você
poderá ativá-las ou desativá-las.
2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto , e dê um
clique na área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos
seguintes pontos: A (2, 1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2)
3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com
o lado direito do mouse e aparecerá uma janela. Selecione a opção
Propriedades e em seguida a opção Cor. No lado esquerdo dessa janela
aparecem os pontos. Clique neles, um a um, e na cor desejada. Para a
operação ser concluída, clique em Fechar.
4- Utilizando a ferramenta polígono , clique sobre os pontos e forme o
Polígono ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.
5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para
mudar a cor dos pontos, clicando dentro do polígono com o lado
direito do mouse.
6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram
de cor. O objeto Poly1 traz a medida da área do Polígono P. Os objetos
a, b, c, d, são as medidas dos lados deste polígono.
7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada,
clique dentro dele com o lado direito do mouse, a seguir, clique em
Propriedades escolha a opção Estilo, movimente com o mouse a seta de
Preenchimento que pode intensificar ou diminuir sua cor.
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8- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover ,
clique no polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre
um dos pontos e mova. Clique sobre um dos lados e mova. Observe que
a figura se altera.
9- Para salvar a atividade realizada, selecione o menu Arquivo clique na
opção Gravar.
ATIVIDADE 02
1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo, na janela que surge
selecione Novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra, Malha e nem o
Eixo. A Janela de Álgebra também pode ser fechada, clicando no x que
aparece em seu canto superior direito.
3- Construa uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos
, selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer
no plano.
4- Renomeie os pontos A e B para C e D. Para isso, clique sobre o ponto
com o lado direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção
Renomear. Digite a letra que você identificará o ponto e clique em
Aplicar.
5- Mova a reta. Para isso selecione o botão Mover e clique num dos
pontos e arraste.
6- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito
do mouse sobre a reta e selecione Exibir rótulo.
7- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a
cor dos pontos e do polígono).
8- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do
mouse, selecione Propriedades e na função Estilo podemos aumentar
ou diminuir a espessura da reta movendo a seta correspondente.
Também nesta janela pode-se mudar o estilo da reta para pontilhado.
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9- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.
10-Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na
ferramenta Reta paralela , a seguir clique na reta r e no ponto P
(ou vice-versa).
11- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que
acontece com a reta paralela.
ATIVIDADE 03
1- Abra um arquivo novo.
2- Para esta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.
3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa
o segmento AB.
4- Caso não esteja aparecendo o rótulo do segmento clique com o lado
direito do mouse sobre ele e selecione a opção Exibir rótulo. Você terá
então, o segmento a.
5- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio
ou centro e clique nos pontos A e B.
6- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto
médio C. Selecione a ferramenta Reta perpendicular ,clique no
segmento e no ponto C.
7- Selecione o botão Mover e mova os pontos.
ATIVIDADE 04
1- Abra um arquivo novo.
2- Nesta atividade, não utilizaremos as opções Janela de Álgebra e Eixo.
3- Construa duas semi-retas de mesma origem. Selecione a opção Semi-
reta definida por dois pontos . Clique em dois pontos distintos na
área de trabalho. Usando o mesmo procedimento, construa a semi-reta
AC.
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4- Marque o ângulo formado pelas duas semi-retas. Selecione a ferramenta
Ângulo e clique sobre os pontos no sentido horário.
5- É importante destacar que duas semi-retas, determinam dois ângulos, e
que para marcar o ângulo interno você deve selecionar a ferramenta
Ângulo e clicar nos pontos no sentido horário, BÂC (como ilustra a figura
abaixo), o segundo ponto sempre será o vértice. Caso queira marcar o
ângulo externo você deverá clicar nos pontos CÂB, nesta ordem.
6- Movimente os pontos para aumentar ou diminuir o ângulo.
ATIVIDADE 05
1- Abra um arquivo novo.
2- Nesta atividade, utilizaremos a Janela de Álgebra. Desative a opção
Eixo.
3- Crie dois pontos A e B.
4- Crie uma reta passando por esses dois pontos.
5- Desenhe um triângulo qualquer fora da reta criada. Selecione a opção
Polígono .
6- Para Construir um triângulo congruente a este. Selecione a opção
Reflexão com relação a uma reta . Clique sobre o triângulo
construído e depois sobre a reta. Aparecerá um triângulo congruente ao
primeiro.
7- Mude sua cor.
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8- Observe na Janela de Álgebra e compare as medidas dos lados dos dois
triângulos.
9- Movimente a reta e os triângulos.
ATIVIDADE 06
1- Abra um arquivo novo
2- Nesta atividade, utilizaremos a Janela de Álgebra. Desative a opção
Eixo.
3- Construa um triângulo qualquer.
4- Marque os ângulos internos desse triângulo.
5- Clique com o cursor na caixa de comando Entrada que fica no canto
inferior esquerdo da Janela. Digite a soma α+β+γ e pressione a tecla
Enter. Essas letras encontram-se à direita desta entrada. Dê um clique
na letra correspondente a um dos ângulos e esta aparecerá na caixa de
entrada.
6- Observe que na janela de álgebra aparecerá a soma δ.
7- Mova os vértices e observe os ângulos na janela algébrica.
ATIVIDADE 07
1- Abra um arquivo novo.
2- Nesta atividade utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.
3- Digite na caixa de entrada a função F(x)=-2x-1 e pressione a tecla
Enter. Surgirá o gráfico na área de trabalho e sua função na janela
algébrica.
4- Mude a cor da reta.
5- Digite na caixa de entrada G(x)=x^2+6x+1e pressione a tecla Enter.
Sempre que for digitar um expoente digite o acento (^) antes.
6- Para ajustar a posição do gráfico, selecione a opção , Deslocar
eixo. Com essa ferramenta selecionada é só clicar na área de trabalho
que você moverá toda a área de trabalho e não apenas a figura.
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7- Com a ferramenta Interseção de dois objetos ativada, clique sobre
a parábola e depois na reta.
8- Aparecerá na Janela Algébrica as coordenadas destes pontos.
ATIVIDADE 08
1- Construa um hexágono, selecione a ferramenta , polígono regular,
e clique em dois pontos no plano, na janela que abrirá digite 6 que é o
número de lados do polígono.
2- Trace a mediatriz do lado AB do hexágono. Utilize a ferramenta
Mediatriz e clique sobre os pontos A e B. Com o mesmo
procedimento construa a mediatriz do lado BC.
3- Marque a interseção dessas duas mediatrizes. Renomeie esse ponto de
interseção para O (centro do polígono)
4- Selecione a ferramenta Circulo definido pelo centro e um de seus pontos
. Clique no ponto O e sobre um dos vértices do polígono.
5- Para esconder as mediatrizes, clique com o lado direito do mouse sobre
a mediatriz e selecione Exibir objeto.
6- Para construir uma circunferência com um raio determinado, utilize a
ferramenta Segmento definido por dois pontos e clique em dois
pontos quaisquer na área de trabalho. Esta medida corresponde a
abertura de um compasso (raio).
7- A medida deste segmento pode ser apresentada também com seu valor,
para isso clique com o lado direito do mouse selecione Propriedades e
na função Exibir rótulo selecione Nome & Valor. Aparecerá o rótulo i
seguido de sua medida.
8- Construa uma circunferência usando a ferramenta circulo dados centro e
raio , clique sobre um ponto qualquer fora do polígono e digite i na
janela que abrirá pedindo a medida do raio.
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9- Com a ferramenta Mover clique em um dos pontos do segmento i e
ajuste a medida que desejar. Observe o que acontece com o circulo.
10- Vamos transportar o polígono para um documento qualquer (Word).
11- Você pode ajustar o polígono na posição e tamanho que quiser antes de
transportá-lo, basta clicar em Mover, e clicar nos pontos em azul,
que são objetos livres da construção. Com este botão selecionado
também é possível mover os rótulos dos objetos.
12- Você também pode ampliar ou reduzir as figuras com os botões e
respectivamente, após selecionar os botões é só clicar na área de
trabalho, você estará alterando toda a área de trabalho e não só a
figura.
13- Para ajustar a posição, você ainda tem a opção , Deslocar eixo,
com essa ferramenta selecionada é só clicar na área de trabalho e
arrastar que moverá toda a área de e não apenas a figura.
14- Selecione a figura que será transportada (polígono). Para isso clique na
ferramenta , clique em um ponto próximo a figura e arraste o
cursor formando um retângulo onde a figura ficará inscrita .
15- Com o polígono selecionado abra o menu Arquivo, selecione a opção
Exportar e depois clique em Copiar para a área de transferência.
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16- Feito isso é só abrir o documento para onde a figura será transportada,
e pressionar as teclas Ctrl+V ou a opção Colar.
1- PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
Cada polígono recebe um nome próprio de acordo com o número de seus
lados. O polígono de menor número de lados é o triângulo, que resulta da
interligação de três segmentos de reta consecutivos, não-colineares
(MARCHESI, 1997).
Vejamos algumas notações no triângulo:
Vértices: são identificados por letras latinas maiúsculas.
Lados: são identificados por letras latinas minúsculas, que correspondem às
letras dos vértices opostos a esses lados. Exemplo:
Os vértices localizados nas extremidades de um lado são chamados vértices
adjacentes e o outro é o vértice oposto. Nesse caso, o lado “a” apresenta B e C
como vértices adjacentes e A é o vértice oposto.
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Segundo Isaías Marchesi Júnior, qualquer lado pode ser considerado base do
triângulo e as condições de existência de um triângulo são:
a) A soma das medidas dos dois lados menores deve ser maior do que a
medida do terceiro lado;
b) A soma dos ângulos internos sempre será 180º.
Os pontos notáveis de um triângulo são os pontos em que se interceptam as
três alturas, as três bissetrizes, as três medianas e as três mediatrizes deste
triângulo.
ATIVIDADES COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA:
Estas atividades têm como principais objetivos: localizar e definir ortocentro,
incentro, baricentro e circuncentro, por meio da construção e da análise de um
triângulo qualquer.
Atividade 1.1: Ortocentro.
1) Abrir um arquivo novo, desativar eixo e malha.
2) Representar um triângulo qualquer com vértices A, B e C.
3) Criar uma perpendicular ao lado AB, passando por C e outra ao lado BC
passando por A;
4) Marcar o ponto de intersecção das retas perpendiculares. Esse ponto
será rotulado por “D”.
5) Mover um dos vértices do triângulo e observar se o ponto “D” permanece
na intersecção das retas perpendiculares;
6) Representar a perpendicular ao lado AC, passando por B. Essa reta
passa pelo ponto “D”? É possível mover o ponto “D”? Por quê?
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7) Ocultar as perpendiculares.
8) Marcar os ângulos internos do triângulo com seus nomes e medidas.
Caso os ângulos não fiquem visíveis, ativar a ferramenta mover e
arrastar as medidas dos ângulos para fora do triângulo.
9) O ponto “D” é o ortocentro da figura. Escreva o que você entendeu
sobre o que vem a ser ortocentro, por meio das construções.
10) Movimentar o vértice A e observar as medidas dos ângulos internos da
figura e registrar o que acontece quando:
a) O ortocentro está na parte interna do triângulo?
b) E na parte externa do triângulo?
c) O ortocentro coincide com um dos três vértices?
11) Mover o vértice B ou C e verificar se ocorrem as mesmas observações
anteriores.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS:
Ao iniciar o trabalho, a régua e o compasso poderão anteceder as construções
no computador.
O professor precisa destacar que “uma” altura de um triângulo é o segmento de
reta perpendicular a um lado do triângulo com extremidades nesse lado e no
vértice oposto a ele.
No final da atividade, os alunos deverão ter clareza de que um triângulo tem
três alturas e que elas se interceptam num ponto que recebe o nome de
ortocentro.
.Conjecturar que:
1) Quando o ortocentro pertence à região interna da figura, o triângulo é
acutângulo;
2) Se o ortocentro coincidir com qualquer um dos três vértices da figura, o
triângulo é retângulo;
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3) Caso o ortocentro esteja na região externa da figura, o triângulo é
obtusângulo.
Atividade 1.2: Incentro.
1) Abrir um arquivo novo, desativar o eixo e a malha.
2) Construir um triângulo qualquer e nomear os seus vértices por A, B e C.
Esses pontos podem estar alinhados?
3) Representar os ângulos internos: CAB, ABC e BCA. Mover para fora da
figura os nomes e as medidas desses ângulos.
4) Criar a bissetriz correspondente ao ângulo CAB outra bissetriz em
relação ao ângulo ABC. Selecionar a ferramenta bissetriz e
acionar os ângulos CAB e ABC.
5) A bissetriz dividiu cada ângulo interno em duas “partes”. Você acha que
uma dessas partes é maior que a outra?
6) Marcar a intersecção das bissetrizes. Esse ponto será rotulado de “D”.
7) Criar a bissetriz do ângulo interno BCA. Fazer os registros das suas
observações. Essa última bissetriz também passa pelo ponto “D”?
8) O que você entendeu por bissetriz?
9) Ocultar as bissetrizes (clicar com o lado direito do mouse sobre cada
uma delas e selecionar a função exibir objeto).
10) Representar uma reta perpendicular ao lado BC da figura, passando
pelo ponto “D”.
11) Marcar o ponto de intersecção “E”, da perpendicular com o lado BC.
12) Construir uma circunferência com centro em “D” e passando pelo ponto
“E”. O que ocorreu?
13)Observar que a circunferência obtida no item de número 12 tangencia os
três lados do triângulo.
14) Destacar os pontos: “F” e “G”, intersecções da circunferência com o
triângulo. Qual é a relação dos lados do triângulo com a circunferência?
15) Ocultar a perpendicular.
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16) Representar os segmentos de reta: DE, DF, DG e compará-los dois a
dois usando a ferramenta relação entre dois objetos o que
ocorreu? Fazer todos os registros.
17) Mover os vértices A, B ou C. O que acontece com as medidas dos lados
do triângulo e com a circunferência inscrita no triângulo?
18) O ponto “D” é um elemento de destaque no triângulo. Por quê? Que
nome ele recebe?
19) Por que o ponto “D” eqüidista dos lados do triângulo?
20) De acordo com a sua construção, observação e análise, o que vem a
ser incentro?
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS:
A expectativa ao final da atividade é de que os alunos compreendam o
significado de bissetriz, construam e registrem de forma clara o que
entenderam sobre o que vem a ser incentro.
O professor fará a intervenção para formalizar os conceitos de:
Incentro: é o ponto onde se interceptam as bissetrizes do triângulo;
Bissetriz: uma bissetriz de um triângulo é o segmento contido na semi-reta que
é bisssetriz de um ângulo do triângulo, com extremidades no vértice do ângulo
e em um ponto do lado oposto. O ângulo por onde passa a bissetriz fica
dividido em duas partes congruentes.
Observação: a ferramenta bissetriz no Geogebra quando acionada, nos dá a
representação de uma “reta”, dividindo o ângulo interno em duas partes
congruentes.
Registrar todas as propriedades referentes à localização e definição do incentro
observadas durante as construções.
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Atividade 1.3: Baricentro.
1) Abrir um arquivo novo, desativar o eixo e a malha e criar um triângulo
com vértices A, B e C.
2) Representar o ponto médio do lado AB da figura.
3) Traçar o segmento de reta que une os pontos D(ponto médio do lado AB
do triângulo) e o ponto “C”(vértice oposto ao lado AB). O segmento
obtido é chamado de mediana do triângulo em relação ao lado AB.
4) Localizar o ponto médio “E” do lado AC do triângulo.
5) Criar o segmento de reta com extremos em “E” e em “B”. O segmento
obtido é chamado de mediana do triângulo em relação ao lado AC.
6) Marcar a intersecção dos segmentos DC e EB, o ponto será nominado
por “F”.
7) Localizar o ponto médio “G” do lado BC.
8) O que você entendeu por mediana?
9) Criar o segmento de reta com extremos em “G” e em “A”. O que pode
ser observado? Esse último segmento também passa pelo ponto “F”? O
ponto “F” obtido é chamado de baricentro do triângulo ABC.
10) Mover os vértices A, B ou C. O que acontece com a figura? E se
movimentarmos os pontos médios dos lados do triângulo (D, E e G), o
que ocorre? Fazer todos os registros.
11) O que você entendeu por baricentro?
12) Você sabia que o baricentro é o centro de gravidade do triângulo? O que
isso significa? Pesquisar e anotar todas as informações a esse respeito.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS:
Inicialmente os alunos poderão fazer as suas construções de modo informal.
São imprescindíveis na execução deste trabalho: a experimentação, a
discussão e a análise das construções.
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Se surgirem diferentes formas de representação, elas deverão ser levadas em
consideração, pois existem diversas formas de construções geométricas
relativas a um mesmo objeto.
Ao final da atividade o professor deverá formalizar as definições de:
Baricentro: é o ponto onde se interceptam as medianas do triângulo;
Mediana do Triângulo: segmento de reta que une um vértice ao ponto médio de
seu lado oposto.
Fazer todos os registros das características e propriedades resultantes das
construções.
Atividade 1.4: Circuncentro.
1) Criar um arquivo novo, desativar eixo e malha.
2) Representar um triângulo qualquer ABC, com os nomes e as medidas
dos seus ângulos internos.
3) Marcar os pontos médios dos lados AB, AC e BC da figura.
4) Traçar uma reta perpendicular em relação ao lado AB, passando pelo
seu ponto médio.
5) Construir a reta perpendicular em relação ao lado AC, passando pelo
seu ponto médio.
6) Marcar a intersecção das duas perpendiculares, esse ponto será
nomeado por “G”.
7) Representar a reta perpendicular em relação ao lado BC, passando pelo
seu ponto médio. O que você observa em relação a essa perpendicular
e as duas outras que foram construídas anteriormente? Elas se
interceptam num mesmo ponto? Em qual ponto?
8) Cada reta perpendicular traçada representa a mediatriz de um lado do
triângulo e cada lado do triângulo um segmento de reta.
9) Pelas construções o que você entendeu por mediatriz?
10) O ponto “G”, intersecção das três mediatrizes, recebe o nome de
circuncentro.
11) Registrar o que você compreendeu a respeito do significado de
circuncentro.
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12) Ocultar as mediatrizes (clicar com o lado direito do mouse sobre cada
uma das retas perpendiculares e acionar: exibir objeto).
13) Construir uma circunferência com centro em “G” passando pelo vértice
A. O que ocorre?
14) Mover os vértices A, B ou C e observar: o ponto “G” é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo?
Sugestão: representar os segmentos de reta GA, GB e GC e compará-
los dois a dois, por meio da ferramenta relação entre dois objetos .
15) Ao mover os vértices A, B ou C do triângulo, o ponto “G”(circuncentro)
passa a ocupar diversas localizações na figura:
a) Quando o circuncentro estará na região interna do triângulo?
b) E na região externa do triângulo?
c) Quando o circuncentro estará sobre um dos lados da figura?
16) Por que o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo ABC?
Desafio: É possível que o ortocentro, o incentro, o baricentro e o circuncentro
sejam coincidentes?
Sugestão: as construções são imprescindíveis para as análises e conclusões.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS:
Propor a atividade com o intuito de que ela possa ser realizada de modo
informal até se chegar aos conceitos e propriedades dos elementos
geométricos, que vão surgindo através das construções e observações.
Provocar uma discussão entre os alunos sobre as principais propriedades
diferenciais dos pontos notáveis do triângulo e registrá-las para análise.
O professor deverá formalizar as seguintes definições:
Mediatriz: reta perpendicular a um segmento de reta AB, passando pelo seu
ponto médio.
Circuncentro: é o ponto de encontro das três mediatrizes relativas aos lados de
um triângulo.
Diferenciar incentro de circuncentro:
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a) O incentro: é o centro da circunferência inscrita no triângulo, ou seja, a
circunferência tangencia os lados do triângulo.
b) O ciruncentro: é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo , ou
seja, a circunferência passa pelos vértices do triângulo.
Demonstrar através das construções, em qual situação os pontos: ortocentro,
incentro, baricentro e circuncentro coincidem em um triângulo. Registrar,
analisar e discutir os resultados, para o reconhecimento das propriedades
desses elementos notáveis.
2- LOCALIZAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNC IA
.
Circunferência: a curva que revoluc ionou o mundo.
Sentado à beira do fogo, o homem pré-histórico vislumbrava a lua cheia e via
em seu contorno uma grande circunferência. Algo que lembrava as figuras
formadas pelas ondas provocadas na água quando atirava uma pedra no lago.
A forma circular era tão presente que até nos olhos dos companheiros lá
estava ela, absolutamente perfeita.
A adoção da circunferência no cotidiano da humanidade foi um passo natural:
inventou-se a roda. A partir daí, mais e mais aplicações dessa forma
geométrica vêm fazendo parte da nossa vida.
Observe à sua volta os círculos e circunferências presentes em quase todo tipo
de máquina: automóveis, aviões, radares, relógios, etc. Note os paralelos e
meridianos utilizados para demarcar o nosso planeta. Enfim, procure e você
encontrará circunferências em lugares inimagináveis.
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Invenções espetaculares surgiram com a idéia de circunferência. Por exemplo,
até o ano de 1930 os laboratórios de física nuclear dispunham de aceleradores
de partículas apenas na forma linear. Esses aparelhos são compostos por uma
seqüencia de eletrodos ocos dispostos em linha reta, através dos quais
partículas são aceleradas utilizando-se voltagem alternada. O inconveniente
desse tipo de acelerador é que necessitam de uma extensão muito grande para
se conseguir altas velocidades das partículas. Por volta de 1930, o físico
americano Ernest O. Lawrence contornou essa dificuldade, inventando o
cíclotron , no qual as partículas são aceleradas em trajetórias circulares
(PAIVA, 1999).
Segundo Manoel Paiva:
Sendo C um ponto de um plano e r uma medida positiva, chama-se
circunferência de centro C e raio r o conjunto dos pontos do plano que
distam de C a medida r.
A reunião de uma circunferência com o conjunto de seus pontos interiores é
chamada de círculo .
O objetivo principal desta atividade é a localização do centro e do raio de uma
circunferência, sem o uso de medidas numéricas, por meio do software
Geogebra.
ATIVIDADE COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA:
1) Desativar o eixo, a malha e a janela algébrica e construir uma
circunferência que passa por três pontos.
2) Nomear os pontos por A, B e C.
3) Representar a mediatriz dos pontos A e B e a mediatriz dos pontos B e
C.
4) Marcar a intersecção das duas mediatrizes e nomear por O.
5) Construir os segmentos de reta: AO, BO e CO, rotulá-los e destacá-los
em colorido. O que eles representam na circunferência?
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6) O ponto “O” representa o centro da circunferência? Por quê?
Sugestão: comparar os segmentos d,e e f, dois de cada vez,usando a
ferramenta .
7) Mover os pontos A, B ou C. O que ocorre com a localização do ponto
“O”? E com as medidas dos segmentos AO, BO e CO?
8) Por que as mediatrizes determinaram o centro da circunferência?
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS:
Após a proposta da atividade, os alunos terão liberdade para as suas
construções.
Por meio da construção e da análise, os alunos deverão compreender que “a
circunferência de centro O e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos
C do plano, tais que o segmento OC = raio” (GERÔNIMO, 2005).
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É importante a compreensão de mediatriz. Por isso, qualquer dúvida é só rever
a atividade que aborda o estudo sobre mediatriz, tendo em mente que:
“Chamamos mediatriz de um dado segmento à reta perpendicular ao
segmento, passando pelo seu ponto médio e que todos os pontos desta
mediatriz eqüidistam dos extremos desse segmento” (BARBOSA, 2006).
Registrar todas as etapas de representação para análise, discussão e
formalização dos conceitos dos elementos geométricos que fizeram parte das
construções: circunferência, pontos, segmento de reta (raio) e mediatriz.
Diferenciar circunferência de círculo.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
O material construído, com o uso do software Geogebra, ainda não foi
disponibilizado para o uso pedagógico.
A intenção inicial, é que este material seja levado ao conhecimento dos
professores de matemática dos ensinos fundamental e médio, das escolas da
Rede Pública de Ensino do Paraná, em caráter presencial, nos respectivos
núcleos dos professores PDE, autores desta proposta de trabalho.
O material poderá ser utilizado também na “intervenção escolar” estabelecida
pelo Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), em 2008 e a partir daí,
por meio da sua apresentação, execução e análise estará sujeito à
modificações.
A expectativa dessa proposta de trabalho, com o uso de softwares educativos
para aulas de matemática, é de que o computador não venha representar a
solução dos problemas da educação, mas possa ser um aliado da escola como
recurso didático-pedagógico no processo da aquisição de conhecimentos.
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REFERÊNCIAS:
ALMEIDA, M.E. – Proinfo: Informática e formação de professores / Secretaria de Educação a Distância . vol. 1 e 2, Brasília: Ministério da Educação, SEED, 2000.
BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, RJ: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
BONGIOVANNI, V.; LEITE, O. R. V.; LAUREANO, J. L. T. Matemática e Vida . São Paulo: Editora Ática, 1997.
BORBA, M.C.- Tecnologias informáticas na educação matemática e reorganização do pensamento. In: BICUDO, M.A.V. (org.). Pesquisa em educação matemática : concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p.285 – 295.
BORBA, M.C. & PENTEADO, M.G.– Informática e Educação Matemática , Belo Horizonte: autêntica, 2005.
CEFET- Centro Federal de Educação Tecnológicas de Campos. Software GeoGebra, disponível em: http://www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf
GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria Plana e Espacial: Um Estudo Axiomático. Maringá, PR: Massoni, 2005.
GUELLI, O. Matemática: uma aventura do pensamento . São Paulo: Editora Ática, 2001.
GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M.- A aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados . IV Congresso RIBIE. Brasília. 1998. Disponível em: <http://euler.mat.ufrgs.br/~edumatec/artigos/a1.pdf >. Acesso em: 04/05/2007.
HOHENWARTER, M. GeoGebra Quickstart: Guia rápido de referência sobre o GeoGebra , disponível em: <http://www.mtm.ufsc.br/~jonatan/PET/geogegraquickstart_pt.pdf>. Acesso em: 20/06/2007.
LOPES, E. T.; KANEGAE, C. F. Desenho Geométrico: Texto e Atividades. São Paulo: Editora Scipione, 1992.
MARCHESI, I. J. Desenho Geométrico. São Paulo: Editora Ática, 1997.
PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Editora Moderna, 1999.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educaç ão Básica . Curitiba, 2006.
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VALENTE, J.A. – O computador na sociedade do conhecimento , Campinas,SP, 1999.
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