sumário dos capítulos 1 e 2 do livro megalitismo matemático · dos recintos, bem como o...

Furtado 1

Sumário dos capítulos 1 e 2 do livro Megalitismo Matemático O legado inaudito do Egito Antigo

R. P. T. Furtado

New York, outubro de 2018

Megalitismo Matemático® 2018

Megalithic Mathematics ©2016

[email protected]

Abstract O autor fornece evidências facilmente verificáveis de que os construtores da

Grande Pirâmide e dos recintos megalíticos (incluindo Stonehenge, Almendres e

Ales) usaram o mesmo sistema de coordenadas que usamos hoje, exceto que eles

utilizaram o meridiano da Grande Pirâmide como o ponto zero de longitude, e

construíram seus monumentos em latitudes e longitudes selecionados de acordo

com um sistema matemático. A latitude e a longitude de cada monumento estão

em relação matemática entre si e às coordenadas de outros monumentos em

correlação a constantes matemáticas e astronômicas.

Muitas dessas constantes, demonstradas neste trabalho de terem sido

incorporadas na colocação de monumentos megalíticos datando de 5000 A.C. e

adiante, são convencionalmente entendidas como não tendo sido descobertas

até milhares de anos depois. Por exemplo, a descoberta de várias dessas

constantes, assim como o desenvolvimento do sistema de coordenadas, são

creditadas aos gregos antigos (entre 500 e 100 A.C.).

A extensa série de relações matemáticas entre as coordenadas de diferentes

monumentos, e também sua coerência em método, indica que deve ter havido

alguma forma de contato entre os egípcios antigos e os construtores de recintos

megalíticos.

Furtado 2

Índice Página

Resumo ……………………………………………………………………..……………….……………………..…...………..……. 1

Índice ……..…………………………………………………………………………………………..……..………..…..……….……. 2

Capítulo 1

1.1 Introducão ……………………………………………..……….……………………………….………..……….…..…….…. 3

1.2 A colocação da Grande Pirâmide ……...…………..……………….……………………………………………...… 6

1.3 A colocação do Cromeleque dos Almendres ……….…………..…............................................... 11

1.4 A Latitude de Avebury, as pedras sarsen e Stonehenge ……………..…………….…………….………. 14

1.5 Stonehenge, astronomia e geometria ……….………………………………..………………………………..... 16

1.6 A colocação de Stonehenge: o primeiro de muitos exemplos ……………………………………….... 21

1.7 A relação geométrica entre as coordenadas de Stonehenge, da Grande Pirâmide, e de

Almendres ……………………………………………………………………………………………………….……………………. 22

1.8 Eventos remotos e datas sincrônicas (Parte 1) …..…….…………………..………………….………….…. 24

Capítulo 2

2.1 Ales stenar (as pedras de Ales) ……………………………………………………..…………………………….….. 29

2.2 A geometria da Grande Pirâmide e suas relações com Ales e Stonehenge …………………...... 31

2.3 Ales, Stonehenge, triângulos retângulos especiais e constantes matemáticas …..…….……… 36

2.4 Três locais-chave do complexo de Stonehenge: seu alinhamento, distribuição e longitudes

até a quarta casa decimal …….…..…………………………………………………………………………..….…..…….… 41

2.5 Stonehenge, pedreiras distantes, Bluestonehenge e a Pedra Dinas ……..…..…………………….. 47

2.6 Ales, uma pedreira distante e um local de desembarque …….…..……………….……….……...….. 52

2.7 Eventos remotos e datas sincrônicas (Parte 2) ………………………………….………..……..…….…….. 55

Apêndices …...…………………….………………………………………..……………………………..………..………………. 58

Bibliografia …..……………..………………………………………………………………..………………..…...………………. 63

Referências …..…………………………………………………………………………………………………..…...……….……. 80

Furtado 3

MEGALITISMO MATEMÁTICO O LEGADO INAUDITO DO EGITO ANTIGO

R. P. T. Furtado

Capítulo 1

1.1 Introdução

Os gregos antigos são geralmente creditados com a invenção do sistema de

coordenadas geográficas que usamos para definir localizações na superfície

terrestre.i As evidências apresentadas neste trabalho revelam que o sistema de

coordenadas que usamos hoje foi desenvolvido milhares de anos antes do

nascimento da civilização grega. Proponho que os construtores da Grande

Pirâmide e os construtores de recintos megalíticos1 (incluindo Stonehenge,

Almendres e Ales) usaram o mesmo sistema de coordenadas que usamos hoje,

exceto que eles usaram o meridiano da Grande Pirâmide como o ponto zero de

longitude. Eles construíram os monumentos megalíticos2 em coordenadas que

estão em proporção matemática umas às outras e a constantes astronômicas

e matemáticas. Por exemplo, a latitude da Grande Pirâmide e a longitude de

Stonehenge estão em relação matemática entre si em proporções de 10 para 11

( �� â�� (��,��°)

��=

�� (��,��°)

�� ).

1 Os recintos megalíticos são monumentos compostos por pedras de grandes dimensões.

As pedras são espaçadas de maneira regular ou uniforme, cercando ou delimitando um espaço.

As pedras foram colocadas em posição vertical com aproxidamente um terço do comprimento

total da pedra enterrada para suporte. Stonehenge, Avebury, Almendres e Ales estão entre os

maiores e mais proeminentes recintos megalíticos. O termo não inclui a Grande Pirâmide.

2 Monumentos megalíticos são estruturas construídas com pedras de grandes dimensões.

Existem muitos monumentos megalíticos no Egito e em outras partes do mundo, mas para

simplificar o texto o termo é usado em referência à Grande Pirâmide e aos recintos megalíticos

discutidos neste trabalho.

Furtado 4

O matemático, geógrafo e astrônomo grego Eratóstenes de Cirene (275-195

A.C.), é geralmente creditado de ter concebido a idéia de um sistema de

coordenadas, bem como o primeiro mapa com paralelos de latitude e meridianos

de longitude.ii No entanto, as equações matemáticas apresentadas neste trabalho

(relacionadas à colocação dos monumentos) e as datas de construção dos

monumentos indicam que um sistema de latitudes e longitudes estava em uso

pelo menos 4800 anos antes de Eratóstenes.

Proponho que os construtores megalíticos usaram um sistema de coordenadas

idêntico ao nosso, exceto que eles utilizaram um diferente meridiano principal.

Esse sistema de coordenadas, independentemente do meridiano principal

utilizado, é radicado em geodésia, astronomia, geometria e matemática.

Consequentemente, é possível que esse sistema de coordenadas tenha sido

desenvolvido independentemente mais de uma vez. Embora não tenhamos

registros indicando que os construtores megalíticos desenvolveram e usaram esse

sistema de coordenadas, existem registros que demonstram que eles tinham o

conhecimento necessário para desenvolver o sistema: por exemplo, papiros do

Egito Antigo evidenciam conhecimento de astronomia, geometria e matemática,

e sabemos que os monumentos egípcios e os recintos megalíticos foram

configurados e orientados de acordo com princípios geométricos e

astronômicos.iii A configuração de Stonehenge, por exemplo, inclui uma figura

geométrica que é composta de triângulos pitagóricos orientados para as

nascentes e os poentes da lua durante lunistícios.3 A orientação astronômica

dessa figura geométrica em Stonehenge só poderia ser obtida em alguns locais

muito específicos. Portanto, em grande medida, a colocação de Stonehenge foi

guiada pela orientação astronômica de sua geometria.iv

3 Lunistícios são eventos astronômicos semelhantes aos solstícios. Os solstícios ocorrem quando

o sol atinge o limite de suas declinações a cada seis meses (geralmente em 21 de junho e 21 de

dezembro). Os lunistícios occorrem quando a lua atinge o limite de suas declinações a cada

duas semanas (13,66 dias para ser exato). Devido a precessão axial (a mudança na orientação

do eixo de rotação da terra) o sol atinge uma declinação maxima ou minima a cada 12.886 anos

em um ciclo de aproximadamente 25.772 anos. Devido a precessão dos nodos lunares, a lua

atinge uma declinação máxima ou mínima a cada 9,3 anos em um ciclo de 18,6 anos.

Furtado 5

Proponho que os conhecimentos de astronomia e de geometria que se sabe

estar associados com a colocação e a orientação da Grande Pirâmide e dos

recintos megalíticos foram empregados em conjunto com as equações

matemáticas que apresento neste trabalho. As equações matemáticas devem ter

guiado a colocação dos monumentos juntamente com a orientação astronômica

da geometria dos monumentos. Esta geometria-orientação-astronomia e as

equações são independentes umas das outras, porém ambas foram

simultaneamente concretizadas com a colocação dos monumentos; se os

monumentos tivessem sido construídos a apenas alguns metros de distancia de

onde se encontram, nem as equações nem as relações de geometria-orientação-

astronomia teriam sido concretizadas.

Está bem estabelecido que muitas das pedras (e em alguns casos todas as

pedras) usadas na construção dos monumentos megalíticos foram transportadas

para os locais de construção. Em Stonehenge, por exemplo, não há pedreiras em

sua vizinhança e todas as pedras foram transportadas para o local de construção.

Pedras pesando até 50 toneladas cada foram transportadas por mais de 30

quilômetros, de Marlborough Downs a Stonehenge.v Como e por que as pedras

foram transportadas é assunto de muito debate.vi Proponho que as equações

matemáticas apresentadas neste trabalho fornecem uma das respostas para o

porque as pedras foram transportadas. Os monumentos megalíticos foram

construídos em coordenadas selecionadas de acordo com um sistema

matemático, independentemente da disponibilidade de pedras nas proximidades

das coordenadas.

Embora geralmente não seja aceito que os egípcios antigos tiveram contato

com os construtores de recintos megalíticos, alguns pesquisadores propõem que

o Egito Antigo influenciou ou liderou a construção de alguns recintos megalíticos,

especialmente Stonehenge.vii O Egito Antigo foi uma das civilizações mais

avançadas de sua época: eles inventaram uma lingua escrita; estabeleceram um

governo centralizado e leis; construíram cidades com ruas, bibliotecas,

restaurantes, mercados e centros religiosos; construiram as primeiras

embarcações; e desenvolveram várias disciplinas, incluindo medicina, agricultura,

Furtado 6

astronomia, matemática e engenharia.viii Ao contrário dos egípcios antigos, os

construtores de recintos megalíticos não construíram cidades e não inventaram

uma lingua escrita, mas o conhecimento de engenharia envolvido na construção

dos recintos, bem como o conhecimento de astronomia e geometria incorporados

em sua configuração e orientação, são tão sofisticados quanto os do Egito Antigo.

Portanto, foi sugerido que o Egito antigo deve ter influenciado ou liderado a

construção de recintos megalíticos, especialmente Stonehenge. As equações

matemáticas apresentadas neste trabalho evidenciam dados arqueológicos

facilmente verificáveis que sustentam teorias que os egípcios antigos tiveram

contato com os construtores de recintos megalíticos. Os construtores dos recintos

megalíticos os colocaram em coordenadas que estão em proporção matemática

às coordenadas da Grande Pirâmide, indicando que eles tinham conhecimento

das coordenadas da Grande Pirâmide.

Neste trabalho (um resumo dos capítulos 1 e 2 do livro ainda não publicado),

cinco monumentos megalíticos são discutidos: a Grande Pirâmide, Almendres,

Avebury, Stonehenge e Ales. Cada monumento é apresentado brevemente,

seguido por uma explicação de algumas das equações matemáticas que os

construtores megalíticos empregaram em sua colocação. O último subcapítulo de

cada capítulo aborda as datas de construção dos monumentos e de outros

eventos sincrônicos, a probabilidade de que o Egito Antigo influenciou a

colocação dos recintos megalíticos, e algumas conclusões.

1.2 A colocação da Grande Pirâmide

A Grande Pirâmide é sem dúvida a maior realização de engenharia do Egito

Antigo.ix É o maior monumento megalítico já construído e, por aproximadamente

quatro mil anos foi o edifício mais alto do mundo.x A Grande Pirâmide é também

uma das estruturas mais simétricas do mundo, e é bem conhecido que o

monumento foi configurado e orientado de acordo com princípios geométricos e

astronômicos.xi Por exemplo, a base da Grande Pirâmide é quase um quadrado

perfeito e seus quatro lados são orientados nas direções dos pontos cardeais com

uma precisão que só poderia ser alcançada através de observações astronômicas

prolongadas e cuidadosas.xii

Furtado 7

O vértice da Grande Pirâmide é situado no paralelo 29,9791 graus ao norte do

equador (29,9791°N).4 Foi proposto que a intenção dos egípcios era a colocação

da Grande Pirâmide no paralelo 30 graus ao norte do equador (isto é, um terço do

caminho entre o equador e o Pólo Norte, ou um duodécimo de um círculo),xiii mas

erraram por vários razões, inclusive devido à refração atmosférica (Lancaster-

Brown, 2013).xiv Se a intenção dos construtores da Pirâmide era colocá-la no

paralelo 30, então eles erraram por 0,0209 graus (uma distância de mais de 2300

metros). Em vez de errarem por 0,0209 graus, proponho que os construtores da

Grande Pirâmide a tenham colocado com precisão até a quarta casa decimal (com

precisão dentro de dez metros) e em uma relação matemática mais complexa

com o paralelo 30. Na Figura 1, a Grande Pirâmide é mostrada com os paralelos

de latitude que atravessam sua base norte, sua vértice e sua base sul. Os valores

dessas latitudes são mostrados à direita da pirâmide. À esquerda, três conjuntos

de equações mostram que essas latitudes estão em relação matemática com os

valores dos anos solar5, sideral6 e a duração média do ano em correlação ao ano-

calendário e ao paralelo 30.7

4 Fonte de Latitudes: Kingsland (1972) p. 3; LatLong.net; GeoHack; e Google Earth. 5 Ano solar, também conhecido como ano trópico, é o período de tempo em que Terra completa uma revolução ao redor do sol (365,2421 dias).

6 Ano sideral, também conhecido como ano sidéreo, é o período de tempo em que a Terra completa uma revolução ao redor do sol tomando como referência as estrelas (365,2563 dias). 7 Na primeira equação, a razão da fração escrita como 30 graus sobre o ano solar

(30°/365,2421 dias) é, até a quinta casa decimal, igual à razão da fração 29,9801

graus sobre o ano-calendário (29,9801°/365 dias).

Na segunda equação, a razão da fração 30 graus sobre a duração média do ano

(30°/365,2500 dias) é, até a quinta casa decimal, igual à razão da fração 29,9791

graus sobre o ano-calendário (29,9791°/365 dias).

Na ultima equação, a razão da fração 30 graus sobre o ano sideral (30°/365,2563

dias) é, até a quinta casa decimal, igual à razão da fração 29,9781 graus sobre o

ano-calendário (29,9781°/365 dias).

As seis frações possuem a mesma razão (0,08213) até a quinta casa decimal.

Figura 1

A colocação da Grande Pirâm

anos solar e sidereal.

A evidência matemática ilustrada na Figura 1 indica que os construtores da

Grande Pirâmide: (1) tinham conhecimento d

sideral até a quarta casa decimal; (2) usara

usamos hoje, de zero graus no equador a 90 graus nos polos (um total de 360

graus); e (3) planejaram a colocação, orientação e dimensões da base da Grande

Pirâmide de acordo com as equações

O astrônomo, geógrafo e matemático

creditado como sendo o primeiro a definir a precessão (por volta de 130

distinção entre os anos solar e sideral.

Grande Pirâmide, mostrada na Figura 1, indica que os

esse conhecimento pelo menos 2400 anos antes de Hiparco.

As equações apresentadas na Figura 1 revelam que os construtores da Grande

Pirâmide usaram o mesmo sistema de graus de latitude que usamos

registros conhecidos que indiquem ou mesmo sugiram que os

inventaram esse sistema de graus de latitude, muito menos que o empregaram

de maneira tão sofisticada. Os

invenção do sistema de coordenadas geográficas que usamos hoje (cerca de 220

150 A.C.).xvi A evidência matemática na Figura 1, no entanto, revela que os

��°��

(��,�� )

= ��,��

��(��

��°

�. �é�� (��,�� )

= ��,��

��(��

��°

�� (��,�� )

= ��,��

��(��

da Grande Pirâmide incorpora conhecimento dos valores


Grande Pirâmide: (1) tinham conhecimento das durações exatas dos anos solar e

sideral até a quarta casa decimal; (2) usaram o mesmo sistema de latitudes que


a colocação, orientação e dimensões da base da Grande

Pirâmide de acordo com as equações mostradas na Figura 1.

strônomo, geógrafo e matemático grego Hiparco de Nicéia

creditado como sendo o primeiro a definir a precessão (por volta de 130

distinção entre os anos solar e sideral.xv No entanto, a localização geográfica da

da na Figura 1, indica que os egípcios antigos

esse conhecimento pelo menos 2400 anos antes de Hiparco.


am o mesmo sistema de graus de latitude que usamos

registros conhecidos que indiquem ou mesmo sugiram que os egípcios antigos


de maneira tão sofisticada. Os gregos antigos geralmente são creditados com a

tema de coordenadas geográficas que usamos hoje (cerca de 220

A evidência matemática na Figura 1, no entanto, revela que os

��°

��á��)

��°

��á��)

��°

��á��)

Furtado 8

os valores dos


s dos anos solar e

m o mesmo sistema de latitudes que


a colocação, orientação e dimensões da base da Grande

Hiparco de Nicéia é geralmente

creditado como sendo o primeiro a definir a precessão (por volta de 130 A.C.) e a

No entanto, a localização geográfica da

egípcios antigos tinham


am o mesmo sistema de graus de latitude que usamos hoje. Não há

egípcios antigos


geralmente são creditados com a

tema de coordenadas geográficas que usamos hoje (cerca de 220-

A evidência matemática na Figura 1, no entanto, revela que os

29,9801°N

29,9791°N

29,9781°N

Furtado 9

construtores da Grande Pirâmide estabeleceram e empregaram o mesmo sistema

de latitudes milênios antes do nascimento da civilização grega antiga.

Esse sistema de latitudes poderia ter sido desenvolvido independentemente

mais de uma vez, porque é baseado em princípios naturais de geodésia,

astronomia, geometria e matemática. Ele mede a distância angular de um local ao

norte ou ao sul do equador, iniciando em zero graus no equador até 90 graus nos

polos (um total de 360 graus). O equador fornece uma posição inicial natural para

medir a latitude (é um círculo máximo, perpendicular ao eixo da Terra e

equidistante dos pólos). Vários povos antigos dividiram o círculo em 360 graus (ou

partes), ou usaram um calendário de 12 meses de 30 dias cada (um total de 360

dias), incluindo os egípcios antigos.8 A escolha de medir a circunferência de um

círculo e a duração de um ano em 360 unidades, divididas em 12 partes cada uma

contendo 30 unidades, poderia ter ocorrido independentemente mais de uma

vez, porque esses valores são radicados em astronomia e matemática.xvii

O número 360 é uma aproximação do número de dias em um ano (365,25 dias

em média), bem como do número de dias em 12 luas cheias (354,36 dias), e é um

número excelente para um sistema matemático eficiente.9

8 Por exemplo: (1) O calendário civil do Egito antigo, baseado no ano solar e estabelicido cerca de 4200 A.C., consistia de 12 meses de 30 dias com um total de 360 dias. Entre o fim do ano-velho e antes do começo do ano-novo eles celebravam 5 dias intercalares, que era um período de transição independentes e separados do ano velho e do ano novo; (2) o Rigveda, também chamado de Livro dos Hinos e escrito entre 1700-1100 A.C., contém uma passagem que descreve uma roda com 12 bordas e 360 partes; (3) os gregos antigos dividiram o círculo em 360 partes cerca de 200 A.C., mas presume-se que o sistema tem origem na astronomia babilônica; (4) o calendário da Babilônia remonta a 2000 A.C. e também consistia de 12 meses de 30 dias com um total de 360 dias; e (5) por volta de 500 D.C. os babilônios invencionaram a roda do zodiaco, dividida em 12 constelações cada uma ocupando um espaço de 30 graus de longitude celeste, apesar de existirem pelo menos 13 constelações no plano da eclíptica e suas longitudes celestes variarem entre aproximadamente 10 graus (Escorpião) e 45 graus (Virgem). Referências para esta nota de rodapé: (1) Breasted (1914) p. 23-24; West (1993) p. 95, 99; Neugebauer (1969) p. 25, 81; (2) Griffith (1896) Hymn 1.164.48, p. 90; Kak (2003) p.863; Dietrich (2011) p.164; (3) Hansen and Gray (2010) p. 43; Neugebauer (1969) p. 25; Linton (2004) p. 52; Haselberger (2000) p. 284, 288; Conway and Guy (2012) p. 17; (4) Cajori (1893) p. 7, 8; Neugebauer (1969) p. 25, 81; Englund (1988) p.124-125; (5) McClure (2015); Plait (2016).g

9 Por exemplo: (1) o número 360 é um número altamente composto (a highly composite number) com 24 divisores, e é o menor número que é divisível por todos os números naturais exceto 7; consequentemente, (2) num sistema de 360 graus um angulo reto tem 90 graus

Furtado 10

É possível que tenhamos herdado indiretamente esses sistemas do Egito

Antigo através da Grécia Antiga. Sabemos que houve contato entre a Grécia e o

Egito e, em 332 A.C. Alexandre o Grande conquistou o Egito para o Império

Greco-macedônio.10 No entanto, não há registros conhecidos que sugiram que os

gregos antigos adotaram esse sistema de latitudes do Egito. Novamente, dado o

fato de que esse sistema de latitudes é radicado em príncipios de geodésia,

astronomia, e matemática, ele poderia ter sido desenvolvido independentemente

mais de uma vez. Essa discussão continua no próximo subcapítulo com a

introdução do Cromeleque dos Almendres11 e a equação matemática que deve

ter sido empregada por seus construtores na escolha da latitude e longitude onde

o monumento foi construído.

1.3 A colocação do Cromeleque dos Almendres

O Cromeleque dos Almendres, também conhecido como o Stonehenge

português, é o maior recinto megalítico da Península Ibérica e um dos maiores da

Europa. Quando completo, Almendres consistia de dois recintos concêntricos

circulares e dois recintos concêntricos elipsóides com o seu eixo principal

(360°÷4=90°), um triângulo equilátero tem três ângulos de 60 graus (180°÷3=60°), e um duodécimo do círculo tem exatamente 30 graus (360°÷12=30°); (3) Se ao invês de dividir o círculo em 360 graus nós o dividíssimos de acordo com a duracão do ano (365,25), um angulo reto teria 91,3125 graus (365,25°÷4=91,3125°), um triângulo equilátero teria três ângulos de 60,875 graus (365,25°÷3=60,875°), e um duodécimo do círculo teria o valor de 30,4375 graus (365,25°÷12=30,4375°); e (4) se nós dividíssimos o círculo de acordo com a duração do ano qual seria o valor a ser usado? Existem várias candidatos: o ano-calendário (365 days); o ano bissexto (366 dias); o ano solar (365,242 dias); o ano sidereal (365,256 dias); a duração média do ano (365,250 dias); o calendário lunar (354 dias); e a duração de 12 luas cheias (354,36 dias); (5) além disso, a média entre o ano bissexto (366 dias) e o calendário lunar (354 dias) é exatamente 360 dias ((366+354) ÷ 2 = 360). Concluindo, o uso do calendário com 360 dias e a divisão do círculo em 360 graus tem origem em princípios astronômicos e matemáticos. 10 O macedônio Alexandre Magno, também conhecido como Alexandre o Grande, conquistou o Egito em 332 A.C. Após a morte de Alexandre, Ptolomeu I Sóter ascendeu ao poder, iniciando um reino Helenístico com sede no Egito. A dinastia Ptolomaica iniciou-se por volta de 323 A.C., e por volta de 30 A.C. chegou ao fim com a morte de Cleópatra VII e a conquista romana.

11 Cromeleque é um termo usado para descrever alguns monumentos megalíticos pré-históricos.

orientado na direção leste

continha aproximadamente 150 pedras, mas, como a

megalíticos, agora faltam várias pedras;

As pedras foram talhadas

pedra, e muitas tem uma forma

pedras têm de dois a três metros de altura e pesam várias toneladas cada uma.

As pedras foram presumivelmente transportadas para o local a partir de dois

afloramentos rochosos; o mais próximo fica a aproximadamente 250

Almendres, o outro se encontra

Figure 2 O Cromeleque dos Almendres

Os construtores de Almendres não deixaram nenhum registro escrito que

conhecemos. Esse também é o caso

megalíticos; tudo o que sabemos sobre esses monumentos vem d

arqueológicas. Pesquisas revela

Pirâmide e os outros recintos megalíticos discutidos neste

configurado e orientado de acordo com

Proponho que os construtores de Almendres usaram o mesmo sistema de

coordenadas que usamos hoje e colocaram seu monumento em coordenadas

estão em relação matemática

orientado na direção leste-oeste (Figura 2). Quando completo

proximadamente 150 pedras, mas, como a maioria dos monumentos

megalíticos, agora faltam várias pedras; atualmente contém

e suas superficies aplainadas com ferramentas de

tem uma forma cilíndrica, oval ou amendoada.xix

pedras têm de dois a três metros de altura e pesam várias toneladas cada uma.


afloramentos rochosos; o mais próximo fica a aproximadamente 250

se encontra a um quilômetro de distância.xxi

romeleque dos Almendres por volta de 4000 A.C.

Almendres não deixaram nenhum registro escrito que

e também é o caso de Stonehenge e de ou

udo o que sabemos sobre esses monumentos vem d

. Pesquisas revelaram que Almendres, assim como a Grande

Pirâmide e os outros recintos megalíticos discutidos neste

e orientado de acordo com princípios geométricos e astronômicos.


coordenadas que usamos hoje e colocaram seu monumento em coordenadas

matemática entre si e com o meridiano da Grande Pirâmide.

._______. 0 10

Escala de metros

Furtado 11

completo, Almendres

dos monumentos

m 94 pedras.xviii

com ferramentas de xix Muitas das

pedras têm de dois a três metros de altura e pesam várias toneladas cada uma.xx


afloramentos rochosos; o mais próximo fica a aproximadamente 250 metros de

Almendres não deixaram nenhum registro escrito que

utros recintos

udo o que sabemos sobre esses monumentos vem de evidências

como a Grande

Pirâmide e os outros recintos megalíticos discutidos neste trabalho, foi

métricos e astronômicos.xxii


coordenadas que usamos hoje e colocaram seu monumento em coordenadas que

e com o meridiano da Grande Pirâmide.

Furtado 12

É relevante resaltar que, antes da invenção do GPS12 a única maneira de calcular

as coordenadas de um determinado local requeria cálculos cuidadosos, realizados

com observações sistemáticas de eventos astronômicos repetidos. A configuração

geométrica e as orientações astronômicas de Almendres (e outros monumentos

megalíticos) indicam que seus construtores tinham alguns dos conhecimentos

básicos necessários para realizar tais cálculos.

A construção dos círculos concêntricos do Cromeleque dos Almendres

antecede as elipses concêntricas. O centro dos círculos concêntricos situa-se na

latitude 38,557 graus ao norte do equador, e sua longitude é 39,194 graus a oeste

do meridiano da Grande Pirâmide.13 Como podemos ver na Figura 3, a latitude de

Almendres (38,557°) está para 360 dias, assim como a sua longitude (39,194°)

está para 366 dias (o ano bissexto). Em outras palavras, a razão da fração escrita

como a latitude de Almendres sobre 360 dias (38,557° ÷ 360 = 0,107°) é igual à

razão da fração escrita como a longitude de Almendres sobre 366 dias (39,194° ÷

366 = 0,107°).

Figura 3

As proporções matemáticas entre as coordenadas de Almendres.

12 GPS é o Sistema de Posicionamento Global que consiste de tecnologias de localização via satélites. A sigla GPS, utilizada internacionalmente, se origina na terminologia em inglês, Global Positioning System.

13 O centro dos círculos concêntricos do Cromeleque dos Almendres situa-se na latitude 38,557 graus norte do equador e no meridiano 8,060 graus oeste do meridiano de Greenwich. A Grande Pirâmide situa-se no meridiano 31,134 graus leste do meridiano de Greenwich (Fonte de latitudes: SIPA, UNESCO, e Google Earth). Visto que Almendres é situado a oeste de Greenwich e a Grande Pirâmide a leste de Greenwich, para calcular a longitude de Almendres em relação ao meridiano da Grande Pirâmide nós simplesmente adicionamos suas respectivas longitudes. Portanto, Almendres é situado 39,194 graus oeste do meridiano da Grande Pirâmide (8,060° + 31,134° = 39,194°).

�� (��,��°)

�� =

�� (��,��°)

�� (�� )

Furtado 13

A equação apresentada na Figura 3 indica que os construtores de Almendres:

(1) usaram o mesmo sistema de latitudes que usamos hoje, de zero graus

no equador a 90 graus nos pólos (dividindo o círculo em 360 graus);

(2) usaram o mesmo sistema de longitudes que usamos hoje (também dividindo o

círculo em 360 graus), mas (3) usaram o meridiano da Grande Pirâmide como

o meridiano principal (também referido como o ponto zero de longitude);

(4) usaram um calendário igual ao usado pelos egípcios antigos, com 360 dias;xxiii

e (5) incorporaram anos bissextos no seu calendário adicionando 6 dias após seu

ano-calendário (360 + 6 dias).14

A equação matemática mostrada na Figura 3 indica que os construtores de

Almendres usaram o mesmo sistema de coordenadas que usamos hoje, exceto

com um meridiano principal diferente. Mesmo com um diferente meridiano

principal, o sistema de coordenadas usado pelos construtores de Almendres é

essencialmente o mesmo sistema que usamos hoje. O sistema é composto de

paralelos de latitude e meridianos de longitude, cada um dividindo o círculo

em 360 graus. Esse sistema de coordenadas poderia ter sido desenvolvido

independentemente mais de uma vez, pois é baseado em princípios naturais de

geodésia, astronomia, geometria e matemática. Como já foi discutido, o equador

fornece uma posição inicial natural para medir a latitude (é um círculo máximo,

perpendicular ao eixo da Terra e equidistante dos pólos), portanto, poderia ter

sido escolhido independentemente mais de uma vez. Ao contrário da latitude,

não há posição inicial natural para medir a longitude. O meridiano de Greenwich

foi adotado como o "Meridiano Principal" ou o "ponto zero de longitude" em

1884 na Conferência Internacional do Meridiano em Washington. Antes da

adoção do meridiano de Greenwich como o meridiano principal a maioria das

nações marítimas utilizava meridianos locais como seu próprio meridiano

principal. Como a posição inicial para medir longitude é arbitrária, está dentro das

14 O calendário civil do Egito antigo consistia de 12 meses de 30 dias com um total de 360 dias. Entre o fim do ano-velho e antes do começo do ano-novo eles celebravam 5 dias, que era um período de transição independentes e separados do ano velho e do ano novo. O calendário egípcio não incluía anos bissextos, isto é, entre o fim do ano-velho e antes do começo do ano-novo eles nunca celebravam 6 dias.

Furtado 14

expectativas que os construtores megalíticos, há milhares de anos atrás, tenham

estabelecido um meridiano diferente como seu ponto zero de longitude. As

longitudes dos monumentos discutidos neste trabalho, proponho, todos

utilizaram o meridiano da Grande Pirâmide como seu ponto zero de longitude.

A relação matemática entre as coordenadas de Almendres indica que seus

construtores tinham conhecimento do meridiano da Grande Pirâmide, o que por

sua vez acarreta a conclusão que eles tiveram alguma forma de contato com os

egípcios antigos, um assunto desenvolvido em subcapítulos seguintes.

1.4 A latitude de Avebury, as pedras sarsen e Stonehenge

Avebury está localizado na Inglaterra e consiste em vários monumentos,

incluindo o maior Henge15 da Europa. Imediatamente dentro do Henge há um

recinto megalítico conhecido como o Círculo Exterior; esse é supostamente o

maior recinto megalítico do mundo.xxiv Dentro do Círculo Exterior, há dois grandes

recintos megalíticos conhecidos como os Círculos Norte e Sul (veja a Figura 4).

Existem inúmeros outros monumentos em torno de Avebury, incluindo Silbury

Hill, o maior Montículo16 pré-histórico na Europa. O complexo de Avebury rivaliza

ou supera Stonehenge como o maior complexo megalítico da Grã-Bretanha.xxv

Os construtores de Avebury devem ter usado o mesmo calendário (com 360

dias), e o mesmo sistema de latitudes usado pelos construtores da Grande

Pirâmide e de Almendres, de zero graus no equador a 90 graus nos polos (com um

15 Henge (palavra inglesa cuja pronuncia aproximada, em português-Br, é Rêndi) é um recinto de rituais criado com a construção de um banco e vala de terra, geralmente circulares ou ovais, contornando uma area plana em seu interior. Enquanto alguns Henges contém importantes estruturas rituais, como recintos de pedras ou de madeira em tora, outros Henges são desprovidos de qualquer estruturas rituais imponenentes.

16 Montículos são pequenos montes formados de pedras, cascalho, terra, areia, detritos, ou outros materiais. Existem montículos (naturais) e Montículos (construídos). Os Montículos são geralmente associados com sepultamentos.

total de 360 graus). Como discutido anteriormente (

número 360 é um número altamente composto e

todos os números naturais

graus, que é a latitude no centro da Avebury (Figura 5).

Figure 4

Configuração parcial do complexo de Avebury por volta

Figura 5

A latitude de Avebury e sua relação com o número 360

17 Fonte de latitude: GeoHack

��°

� =

._______________0

Escala de metro

omo discutido anteriormente (na nota de rodapé

um número altamente composto e o menor número divisível por

is exceto 7, e 360 graus dividido por 7 é igual a 51,4285

graus, que é a latitude no centro da Avebury (Figura 5).17

Configuração parcial do complexo de Avebury por volta de 2600

tude de Avebury e sua relação com o número 360.

Fonte de latitude: GeoHack e Google Earth.

51,4285° (Latitude de Avebury)

__________. 150

os

Furtado 15

nota de rodapé 9), o

o menor número divisível por

graus dividido por 7 é igual a 51,4285

de 2600 A.C.

Furtado 16

Quando completo, Avebury continha um total de aproximadamente 180

pedras. Infelizmente, como a maioria dos monumentos megalíticos, agora faltam

várias pedras, e atualmente o monumento contém aproximadamente 40 pedras.

Algumas dessas pedras pesam mais de 50 toneladas e medem 5,5 metros

de altura.xxvi As pedras são de arenito de silício e são chamadas pedras sarsen.

As pedras sarsen são oriundas de Marlborough Downs, dois ou mais quilômetros

a nordeste de Avebury.xxvii Muitas das pedras que compunham Avebury podem

estar em Stonehenge. Stonehenge continha aproximadamente 160 pedras;

metade delas também eram pedras sarsen de Marlborough Downs.xxviii

Stonehenge, no entanto, está a mais de 30 quilômetros ao sul de Marlborough

Downs. Pesando até 50 toneladas cada, as pedras sarsen em Stonehenge foram

presumivelmente levadas através de Avebury, e podem ter sido talhadas e

erguidas em Avebury antes de serem transportadas para Stonehenge.xxix Como e

por que as pedras em Stonehenge, Avebury e outros monumentos foram

transportados é assunto de muito debate.xxx Apesar de que provavelmente nunca

saberemos com certeza quais métodos foram empregados no transporte das

pedras, proponho que as equações matemáticas discutidas neste trabalho

fornecem uma das respostas do porque as pedras foram transportadas. Os

monumentos foram construídos em coordenadas selecionadas de acordo com um

sistema matemático, independentemente da disponibilidade de pedras na

vizinhança das coordenadas.

1.5 Stonehenge, astronomia e geometria

Stonehenge é indiscutivelmente o recinto megalítico mais espetacular do

mundo devido a um plano único e sofisticado, bem como o tamanho das pedras,

seus tamanhos uniformes, o aplainamento de suas superfícies e as distâncias que

foram transportadas.xxxi O transporte destas enormes pedras por longas distâncias

assinala que esse local teria um significado especial para os construtores de

Stonehenge. De fato, vários princípios da astronomia, geometria e matemática

são simultaneamente concretizados nesse local. Alguns exemplos do significado

astronômico e geométrico do local onde Stonehenge se encontra são

apresentados brevemente neste subcapítulo.

Furtado 17

Está bem estabelecido que Stonehenge foi configurado de acordo com

princípios geométricos, e que sua geometria foi orientada para nascentes e

poentes do sol e da lua durante seus solstícios e lunistícios. Há três figuras

geométricas principais em Stonehenge: um retângulo, um círculo e uma

ferradura, todos os três construídos com pedras sarsen de Marlborough Downs,

isto é, todas as pedras ainda presentes nessas três figuras são pedras sarsens.

A colocação das pedras 91, 92, 93 e 94 formaram um retângulo composto de dois

triângulos retângulos pitagóricos 5-12-13.xxxii Os lados longos do retângulo e uma

das suas diagonais foram orientados para nascentes e poentes da lua durante os

lunistícios18 (Figura 6).xxxiii Dentro do retângulo estava o Círculo Sarsen com 30

pedras erguidas na vertical, e sobre elas mais 30 pedras foram posicionadas

horizontalmente formando um anel contínuo de pedras (Figura 7). Dentro do

Círculo Sarsen, um recinto em forma de ferradura foi construído, aberto na

direção da nascente do solstício de verão. Para um observador em pé no centro

de Stonehenge durante esse evento astronômico, a primeira aparição do sol

ocorre no centro da Avenida19 (Figura 7). À medida que o sol nasce, seu disco

inteiro torna-se visível em sua totalidade diretamente acima da pedra 96, cujo

topo aparece nivelado com a linha do horizonte para o observador no centro de

Stonehenge (Figura 8).xxxiv O alinhamento em direção ao nascer do sol do solstício

de verão cruza os lados longos do retângulo em ângulos retos quase perfeitos.xxxv

18 Como mencionado anteriormente (nota de rodapé 3), os lunistícios occorrem quando a lua atinge o limite de suas declinações a cada duas semanas (13,66 dias para ser exato). Devido a precessão dos nodos lunares, a lua atinge uma declinação máxima ou mínima a cada 9,3 anos em um ciclo de 18,6 anos. Essas declinações são nomeadas: nascente ao norte do lunistícios maior; nascente ao sul do lunistícios maior; poente ao norte do lunistícios maior; poente ao sul do lunistícios maior; nascente ao norte do lunistícios menor; nascente ao sul do lunistícios menor; poente ao norte do lunistícios menor; poente ao sul do lunistícios menor.

19 A Avenida é uma estrutura de terra formada por valas e bancos de terra paralelas que começavam perto do rio Avon e terminavam em Stonehenge, percorrendo uma distância de quase três quilômetros.

Figura 6

O retângulo de Stonehe

O círculo externo representa o horizonte visto de Stonehenge. A distância

entre o monumento e o horizonte não está em escala.

Poente ao norte lunistício menor

Poente ao norte lunistício maior

Pedra 93

O retângulo de Stonehenge e sua orientação em direção aos lunistícios


o horizonte não está em escala.

Poente ao norte lunistício

Nascente ao sul lunistício menor

Nascente ao sul lunistício maior

.______________0

Escala de

Pedra 94

Pedra 91

Pedra 92

Furtado 18

aos lunistícios.


Nascente ao sul lunistício

_________. 50 de metros

Figura 7

Configuração parcial do complexo de

visto de Stonehenge. A distância entre o horizonte e o monumento não está em escala.

As diferentes partes do monumento são desenhadas

horizonte, a área cinzenta circular representa

Stonehenge 1. A Avenida Stonehenge,

paralelos, se estende a nordeste de Stonehenge 1. Dentro de Stonehenge 1, o

Stonehenge foi orientado para

com seu anel contínuo de pedras. Dentro do círculo estava o recinto

para o nascer do sol do solstício de verão. Durante o nascer do sol do solstício de verã

primeira aparição do sol ocorre no centro da

do sol do solstício de verão cruz

perfeitos.

Poente ao norte lunistício menor

Poente ao norte lunistício maior

.__________. 0 50

Escala de metros

Pedra 93

parcial do complexo de Stonehenge. O círculo externo representa o horizonte


As diferentes partes do monumento são desenhadas em escala umas às outras. Dentro do

cinzenta circular representa a vala-e-banco de terra

A Avenida Stonehenge, também formada por valas e bancos

ste de Stonehenge 1. Dentro de Stonehenge 1, o

oi orientado para os lunistícios. Dentro do retângulo estava o Círculo Sarsen,

com seu anel contínuo de pedras. Dentro do círculo estava o recinto em ferradura, aberto

para o nascer do sol do solstício de verão. Durante o nascer do sol do solstício de verã

primeira aparição do sol ocorre no centro da Avenida. O alinhamento em direção ao nascer

do sol do solstício de verão cruza os lados longos do retângulo em ângulos ret

Nascente ao sul lunistício maior

Poente ao norte lunistício

Pedra 96

Pedra 92

Pedra 91

Pedra 93

Pedra 94

Furtado 19

Stonehenge. O círculo externo representa o horizonte


escala umas às outras. Dentro do

banco de terra nomeados

e bancos de terra

ste de Stonehenge 1. Dentro de Stonehenge 1, o retângulo de

. Dentro do retângulo estava o Círculo Sarsen,

erradura, aberto

para o nascer do sol do solstício de verão. Durante o nascer do sol do solstício de verão, a

venida. O alinhamento em direção ao nascer

os lados longos do retângulo em ângulos retos quase

Nascente ao sul lunistício menor

Nascente do solstício de verão

Pedra 96

Furtado 20

Figura 8

O nascer do sol do solstício de verão como visto do centro de Stonehenge.

Devido a princípios naturais de astronomia, geometria, geodésia e topografia a

orientação astronômica de Stonehenge (na Figura 7) só pode ser obtida entre as

latitudes 50,7 e 51,7 graus ao norte ou ao sul do equador.xxxvi Dentro dessa faixa

de um grau de latitude, a orientação astronômica de Stonehenge poderia ter sido

obtida em qualquer longitude, dependendo inteiramente das altitudes do

horizonte para cada um dos alinhamentos apresentados. Não são muitos os locais

que fornecem as altitudes adequadas, incluindo a área imediata em torno de

Stonehenge. Por exemplo, afastando-se de Stonehenge em qualquer direção

muda gradualmente as altitudes dos horizontes e, consequentemente, muda o

ponto no horizonte onde nascentes e poentes ocorrem. Isso, por sua vez, mudaria

os ângulos entre os alinhamentos para esses nascentes e poentes, e a orientação

astronômica dessa geometria não seria possível. A construção de Stonehenge

nesse local em particular é significativa porque o local permite a orientação

astronômica de sua geometria. Além disso, os valores da latitude e da longitude

desse local estão em relação matemática com as coordenadas da Grande

Pirâmide e de Almendres, assuntos apresentados nos subcapítulos seguintes.

Furtado 21

1.6 A colocação de Stonehenge: o primeiro de muitos exemplos

Os construtores de Stonehenge colocaram o monumento em coordenadas que

estão em proporção matemática às coordenadas da Grande Pirâmide. Este

subcapítulo aborda a longitude de Stonehenge.

A Grande Pirâmide situa-se na latitude 29,97 graus ao norte do equador.

Stonehenge situa-se a 32,96 graus a oeste do meridiano da Grande Pirâmide.20

A relação entre essas coordenadas é mostrada na Figura 9, onde a latitude da

Grande Pirâmide está para 10, assim como a longitude de Stonehenge está para

11, com uma precisão de duas casas decimais. Ou seja, a razão da fração escrita

como a latitude da Grande Pirâmide sobre 10 (29,97°÷10 = 2,99°), é igual à razão

da fração escrita como a longitude de Stonehenge sobre 11 (32,96°÷11 = 2,99°).

Em outras palavras, a latitude da Grande Pirâmide dividida por 10 e multiplicada

por 11 é igual à longitude de Stonehenge (29,97°÷ 10 × 11 = 32,96°).

Figura 9

As proporções entre a latitude da Grande Pirâmide e a longitude de Stonehenge

A equação mostrada na Figura 9 indica que os construtores de Stonehenge:

(1) tinham conhecimento da latitude da Grande Pirâmide; (2) tinham

conhecimento do meridiano da Grande Pirâmide e (3) o utilizaram como o ponto

zero de longitude.

20 Stonehenge situa-se a 1,8261 graus oeste de Greenwich. A Grande Pirâmide situa-se a 31,1342 graus leste do meridiano de Greenwich (fonte de coordenadas: UNESCO and Google Earth). Visto que Stonehenge está a oeste de Greenwich e a Grande Pirâmide a leste de Greenwich, para calcular a longitude de Stonehenge em relação ao meridiano da Grande Pirâmide nós simplesmente adicionamos suas respectivas longitudes. Portanto, Stonehenge situa-se a 32,9603 graus a oeste do meridiano da Grande Pirâmide (1,8261° + 31,1342° = 32,9603°).

�� â�� (��,��°)

��=

�� (��,��°)

��

Furtado 22

Note (na Figura 9) que a longitude de Stonehenge está em uma relação

matemática com a latitude e a longitude da Grande Pirâmide; a longitude de

Stonehenge (32,96°) foi medida a partir do meridiano da Grande Pirâmide e ao

mesmo tempo está em proporção matemática à latitude da Grande Pirâmide.

As equações nas Figuras 1 e 9 indicam que, por razões matemáticas e

astronômicas, os construtores de Stonehenge escolheram a longitude de

Stonehenge depois que a latitude da Grande Pirâmide foi escolhida. Como

discutido no subcapítulo 1.2, a colocação da Grande Pirâmide incorpora em suas

latitudes os valores do ano solar e do ano sideral com uma precisão de quatro

casas decimais (Figura 1). Esses valores, nos quais a colocação da Grande Pirâmide

é vinculada, são independentes de qualquer consideração com as coordenadas de

Stonehenge, enquanto a longitude de Stonehenge, medida do meridiano da

Grande Pirâmide, está em proporção matemática com a latitude da Grande

Pirâmide (Figura 9). O fato da longitude de Stonehenge ter sido escolhida depois,

e em relação às coordenadas da Grande Pirâmide, indica que os construtores de

Stonehenge haviam adquirido conhecimento das coordenadas da Grande

Pirâmide. O conhecimento das coordenadas da Grande Pirâmide poderia ter sido

obtido através de contato direto com os egípcios antigos ou indiretamente

através de terceiros, através de contato com os construtores de Almendres, por

exemplo. Esse assunto é desenvolvido nos seguintes subcapítulos, após a

introdução de uma relação matemática entre as coordenadas de Stonehenge, da

Grande Pirâmide e de Almendres.

1.7 A relação geométrica entre as coordenadas de Stonehenge, da Grande

Pirâmide e de Almendres

A colocação de Stonehenge concretiza de maneira independente e simultânea

tanto a orientação astronômica de sua geometria (Figuras 6, 7 e 8), como a

equação matemática empregada em sua colocação geográfica (Figura 9).

Independentemente de ambos os pontos, as coordenadas de Stonehenge

Furtado 23

também estão em proporção geométrica às coordenadas da Grande Pirâmide e à

longitude de Almendres.

Os parágrafos seguintes apresentam essa relação geométrica entre as

coordenadas de Stonehenge, da Grande Pirâmide e de Almendres. A latitude de

Stonehenge parece ter sido derivada matematicamente, com o uso do Teorema

de Pitágoras e os valores de algumas das coordenadas já discutidas. Essas

coordenadas são a longitude de Stonehenge, a longitude e a latitude da Grande

Pirâmide e a longitude de Almendres (ver Figuras 3 e 9).

Tomando o meridiano da Grande Pirâmide como o ponto zero de longitude, o

valor da longitude de Almendres é de 39,19 graus, que também acontece de ser o

valor exato da distância, em graus, entre as coordenadas da Grande Pirâmide e

Stonehenge (ver Figura 10). Na Figura 10, um triângulo retângulo é desenhado

com Stonehenge e a Grande Pirâmide nos vértices A e B. O valor do lado-a desse

triângulo (21,20 graus) é a diferença entre as latitudes de Stonehenge (51,17

graus) e da Grande Pirâmide (29,97 graus).21 O valor do lado-b é a diferença entre

os meridianos de Stonehenge e da Grande Pirâmide (32,96 graus). Note que a

hipotenusa desse triângulo retângulo tem o valor de 39,19 graus, que é o mesmo

valor da longitude de Almendres. No Teorema de Pitágoras, mostrado na Figura

10, a longitude de Almendres ao quadrado (39,19²), menos a longitude de

Stonehenge ao quadrado (32,96²), é igual a 21,20 graus ao quadrado (lado-a²).

A geometria mostrada na Figura 10 indica que os construtores de Stonehenge:

(1) tinham conhecimento funcional do Teorema de Pitágoras 2500 anos antes de

Pitágoras; (2) tinham conhecimento da latitude e da longitude da Grande

Pirâmide; (3) tinha conhecimento da longitude dos Almendres; e (4) construiram

Stonehenge em coordenadas que estão em proporção geométrica aos valores das

coordenadas da Grande Pirâmide e da longitude de Almendres. Essa relação

geométrica revela que deve ter havido alguma forma de conexão entre os

construtores desses monumentos.

21 Fontes de coordenadas: Google Earth; UNESCO, 1986; and Hawkins, 1965, p.155

Figura 10

A relação geométrica e

Pirâmide, Stonehenge e Almendres.

As dimensões dos monumentos não estão em escala.

1.8 Eventos remotos e datas

O Egito Antigo foi uma das civilizações mais duradouras da história do

mundo.xxxvii A origem do Egito pré

6000 A.C.,22 com os adventos da agricultura e assentamentos neolíticos surgindo

22 As datas apresentadas neste trabalho com o desenvovlimento de novas tecnologias.

(Longitude de

(valor da longitude de

↓ Longitude de Almendres² – ↓ 39,19² –

c² –

A relação geométrica entre os valores das coordenadas da Grande

Pirâmide, Stonehenge e Almendres.

As dimensões dos monumentos não estão em escala.

Eventos remotos e datas sincrônicas (Parte 1)

foi uma das civilizações mais duradouras da história do

A origem do Egito pré-histórico ou pré-dinástico data de cerca de

com os adventos da agricultura e assentamentos neolíticos surgindo

neste trabalho podem mudar com o resultado de novas com o desenvovlimento de novas tecnologias.

Lado-b

Longitude de Stonehenge)

32,96°

Lado-c ongitude de Almendres)

39,19°

Lado-a

21,20°

51,17°N

29,97°N

↑

Meridiano Principal

(Ponto zero de longitude)

Longitude de Stonehenge² = a² 32,96² = 21,20²

b² = a²

Furtado 24

ntre os valores das coordenadas da Grande

foi uma das civilizações mais duradouras da história do

dinástico data de cerca de

com os adventos da agricultura e assentamentos neolíticos surgindo

podem mudar com o resultado de novas pesquisas ou

a

21,20°

51,17°N

29,97°N

Meridiano Principal

(Ponto zero de longitude)

Furtado 25

em todo o Egito.xxxviii Os hieróglifos surgiram por volta de 3200 A.C.,xxxix e o Egito

dinástico se aglutinou por volta de 3200-3000 A.C. com a unificação dos reinos do

Alto e do Baixo Egito sob o primeiro faraó.xl O Egito dinástico prosperou de cerca

de 3200-3000 A.C. a 350 A.C., uma continuidade sociocultural rivalizada apenas

pela civilização chinesa.xli

Segundo a cronologia egípcia convencional, a Grande Pirâmide foi construída

por faraó Khufu (anteriormente conhecido como Quéops) por volta de

2550 A.C.xlii O cromeleque dos Almendres é aproximadamente 2500 anos mais

antigo que a Grande Pirâmide, sendo um dos mais antigos monumentos

megalíticos do mundo. Atividades de construção em Almendres começaram antes

de 5000 A.C. Esta fase de construção é nomeada Almendres 1 e consistia apenas

nos dois círculos de pedra concêntricos. O monumento foi completado com a

forma representada na Figura 2 por volta de 4000 A.C., nomeado Almendres 2.

Todas as atividades de construção em Almendres, bem como sua ocupação,

chegaram ao fim por volta de 3000 A.C.xliii A ocupação de Almendres chegou ao

fim em torno da mesma época que a unificação do Alto e do Baixo Egito ocorreu,

o que também é na época em que a construção de Stonehenge começou.

Atividades de construção em Stonehenge começaram por volta de 3000 A.C. com

a escavação da vala-e-banco (nomeado Stonehenge 1, veja a Figura 7).

O erguimento das pedras sarsen (fase nomeada Stonehenge 3) começou por

volta de 2600 A.C.xliv A maior aldeia neolítica já encontrada na Inglaterra está

situada a menos de três quilômetros de Stonehenge e foi datada de cerca de

2600-2500 A.C.xlv Note que a construção da aldeia neolítica, a construção das

pedras sarsen em Stonehenge e a construção da Grande Pirâmide começaram na

mesma época (2600-2500 A.C.).

A construção da Grande Pirâmide começou aproximadamente 2500 anos após

a construção de Almendres 1, e aproximadamente 500 anos após a construção de

Stonehenge 1. Embora Almendres e Stonehenge sejam mais antigos que a Grande

Pirâmide, do ponto de vista matemático, suas coordenadas devem ter sido

escolhidas depois das coordenadas da Pirâmide terem sido escolhidas.

Primeiramente, note que (na Figura 1) as latitudes da Grande Pirâmide

Furtado 26

incorporam os valores do ano solar e do ano sideral com precisão de quatro casas

decimais; depois observe (na Figura 9) que a longitude de Stonehenge, medida a

partir do meridiano da Grande Pirâmide, está em relação matemática com a

latitude da Grande Pirâmide. De modo similar, a relação matemática entre as

coordenadas de Almendres (na Figura 3) é inteiramente dependente em sua

longitude sendo medida a partir do meridiano da Grande Pirâmide. A natureza

dos tipos de conhecimento incorporados nessas equações (nas Figuras 1, 3 e 9)

indicam que as coordenadas da Grande Pirâmide foram escolhidas primeiro e, a

partir de então, as coordenadas de Almendres e Stonehenge foram escolhidas.

Consequentemente, se as datas de construção dos monumentos estão corretas,

então as coordenadas da Grande Pirâmide devem ter sido escolhidas milênios

antes de sua construção começar. Também é possível, no entanto, que a

construção da Grande Pirâmide e de vários outros monumentos egípcios

antecedam as estimativas atuais. O exemplo mais famoso, e o caso mais forte

para a revisão das datas de construção de monumentos do Egito Antigo, é o da

Grande Esfinge.xlvi A Grande Pirâmide e a Grande Esfinge estão intimamente

associadas; elas estão em proximidade (a menos de 400 metros de distância), e

suas construções são creditadas a um pai e seu filho (respectivamente, Khufu e

Khafre). Que a Esfinge possa ter sido construída muito antes do que é

reivindicado pela cronologia egípcia convencional é significativo porque indica

que havia atividade megalítica adjacente à Grande Pirâmide (e às suas

coordenadas) antes do início da construção de Stonehenge e Almendres.

De acordo com a cronologia egípcia convencional, a Grande Pirâmide foi

construída pelo faraó Khufu por volta de 2550 A.C., e a Grande Esfinge

foi construída por seu filho, o faraó Khafre, por volta de 2500 A.C. Alguns

egiptólogos e vários estudiosos em outros campos indicaram que essa datação da

Grande Esfinge é baseada em evidências circunstanciais inadequadas e é

contradita por evidências geológicas e documentais que sugerem fortemente

que a Esfinge é muito mais antiga.xlvii A Grande Esfinge está dentro de uma vala.

O corpo da Esfinge e a vala foram esculpidas no leito rochoso. Pedras removidas

do leito rochoso foram usadas na construção de dois templos adjacentes à

Esfinge. Deixadas ao acaso, os templos e a vala da Esfinge se enchem de areia

Furtado 27

soprada pelos ventos do deserto e apenas a cabeça e o dorso da Esfinge

permanecem visíveis acima das areias. Concepções acadêmicas predominantes

tomam como certo que a Estela da Esfinge,23 localizada entre as pernas dianteiras

da Esfinge, indica que o faraó Khafre liderou a construção da Esfinge. Esta teoria

tem sido contestada por vários motivos, incluindo que o nome na Estela não é

Khafre, e mesmo se fosse, a tradução correta da Estela não é a "construção" da

Esfinge, mas uma "restauração" ou uma "escavação" (para remover a areia da

Vala da Esfinge).xlviii Outro exemplo é a Estela do Inventário, que foi interpretada

como descrevendo como o Faraó Khufu descobriu um templo adjacente à Esfinge,

indicando que a Esfinge e os templos já estavam lá antes do reinado de seu filho

Khafre.xlix

A evidência mais forte de que a Esfinge é muito mais antiga do que as

conjecturas ortodoxas que datam dos anos de 1900, não vem das traduções ou

possíveis erros de tradução de textos egípcios antigos, mas da geologia. Vários

geólogos estudaram a deterioração por erosão na Grande Esfinge e concluíram

que o monumento é muito mais antigo do que proposto pela cronologia egípcia

convencional.l O professor Robert Schoch,24 por exemplo, concluiu que a esfinge

foi construída por etapas, e o entalhe inicial do corpo da Esfinge começou por

volta de 5000 A.C. ou antes (Schoch 1992 a 2012, e Schoch e Aquinas 2005).li

Em 1990, Schoch apresentou suas descobertas na Reunião Anual da Sociedade

Geológica Estadunidense,25 e centenas de geólogos concordaram que a Esfinge

deve ser milhares de anos mais velha do que é sugerido pela cronologia egípcia

convencional. Esta análise data o início da construção da Esfinge por volta da

mesma época que a construção de Almendres.

Textos egípcios antigos e geologia indicam que a Esfinge é muito mais antiga

do que a estimativa proposta pela cronologia egípcia convencional. Se o faraó

Khafre é creditado com a construção de um monumento cujo entalhe inicial

23 Uma Estela é uma grande pedra, erguida na posição vertical e contendo textos ou gravuras talhados em relevo.

24 Robert Schoch é geólogo, geofísico e Professor Associado de Ciências Naturais na Universidade de Boston.

25 Em inglês: Annual Meeting of the Geological Society of America.

Furtado 28

começou milhares de anos antes de seu reinado, então talvez o mesmo seja o

caso com o Faraó Khufu e a Grande Pirâmide. De acordo com a cronologia egípcia

convencional, a Grande Pirâmide foi construída como um local de sepultamento

por volta de 2540-2560 A.C., mais de seis séculos após a invenção dos hieróglifos.

No entanto, nenhum enterro jamais foi descoberto na Grande Pirâmide (ou em

qualquer outra pirâmide egípcia), e não há hieróglifos em seus corredores e

câmaras. A maioria dos monumentos egípcios contém textos hieroglíficos

pintados ou esculpidos nas pedras, e todos os sepultamentos faraônicos

descobertos até agora contém textos hieroglíficos mortuários. Embora exista a

possibilidade que encontraremos a câmara funerária do Faraó Khufu na Grande

Pirâmide,26 que provavelmente conteria os textos hieroglíficos mortuários, parece

que, os egípcios antigos optaram por não esculpir um único hieróglifo nas pedras

da Grande Pirâmide, ou que sua construção ocorreu antes da invenção de

hieróglifos.

Se a Grande Pirâmide foi realmente construída por volta de 2550 A.C.—mais de

seis séculos após a invenção dos hieróglifos—é possível que sua colocação (de

acordo com os princípios matemáticos e astronômicos mostrados na Figura 1)

fosse um segredo restrito a alguns poucos, talvez explicando por que os egípcios

antigos não esculpiram hieróglifos na Grande Pirâmide, e também por que nunca

descobrimos quaisquer estelas, paletas ou papiros descrevendo o sistema de

coordenadas, a colocação da Grande Pirâmide, ou os valores dos anos solar e

sideral. Por outro lado, se a construção da Grande Pirâmide antecede a invenção

dos hieróglifos, então talvez na época em que os hieróglifos foram inventados

o conhecimento por trás da colocação da Grande Pirâmide tinha sido esquecido.

Essa possibilidade, por sua vez, também explicaria a ausência de hieróglifos na

Pirâmide, bem como a ausência de quaisquer estelas, paletas ou papiros

descrevendo o sistema de coordenadas, a colocação da Grande Pirâmide e os

valores dos anos solar e sideral.

26 Em 2017 um espaço vazio foi descoberta durante as Pesquisas realizadas pelo grupo nomeado ScanPyramids Mission. Essas pesquisas foram conduzidas pela Universidade do Cairo e o Instituto francês HIP. Esse espaço vazio ainda não foi explorado, pois não há acesso conhecido. Para mais informações visite www.scanpyramids.org e www.hip.institute.

Capítulo 2

2.1 Ales stenar (as pedras de Ale

Ales stenar, também conhecido como o Stonehenge

recintos megalíticos da Europa.

(Figura 11).liii Recintos em forma de

países escandinavos. O Barco de

megalítico em forma de barco

megalíticos mais bem preservados da Europa, contendo 59 das 60 pedras

originalmente continha.lv

geólogos como oriundas

quilômetros a nordeste de Ales.

pedras de Ales; são elas a Pedra da P

pedras M1 e M3). Essas duas pedras

medem 3,5 metros (Pedra d

M1 Pedra da Proa

Figure 11

A configuração de Ales stenar

.________________. 0 20 Escala de metros

(as pedras de Ales)

Ales stenar, também conhecido como o Stonehenge sueco, é um dos maiores

recintos megalíticos da Europa.lii Ales foi configurado na forma de um

Recintos em forma de barco são encontrados principalmente nos

. O Barco de Ales tem a reputação de ser o maior recinto

megalítico em forma de barco do mundo.liv Ales é também um dos recintos

megalíticos mais bem preservados da Europa, contendo 59 das 60 pedras

Quatro dessas 59 pedras foram identificadas p

oriundas de uma região que se encontram a mais de 23

quilômetros a nordeste de Ales.lvi Dessas quatro pedras, duas são as maiores

Pedra da Proa e a Pedra da Popa (também

Essas duas pedras pesam mais de cinco toneladas cada e

edra da Proa) e 2,5 metros de altura (Pedra da

da Popa

M3 Pedra

M4 Pedra do Leme

Ales stenar.

0 20

N ↑

Furtado 29

, é um dos maiores

na forma de um barco

são encontrados principalmente nos

tem a reputação de ser o maior recinto

Ales é também um dos recintos

megalíticos mais bem preservados da Europa, contendo 59 das 60 pedras que

foram identificadas por

a mais de 23

Dessas quatro pedras, duas são as maiores

opa (também nomeadas

pesam mais de cinco toneladas cada e

a Popa).lvii

Furtado 30

Proponho que Ales, de forma semelhante a Almendres, Stonehenge e a Grande

Pirâmide, foi construído em coordenadas selecionadas de acordo com um sistema

matemático. A latitude e a longitude de Ales estão em proporção matemática

(1) entre si, (2) com as coordenadas de Stonehenge, (3) com as coordenadas da

Grande Pirâmide e (4) com as coordenadas do afloramento rochoso nomeado

Branteträsk, que foi identificado como a provável fonte das quatro pedras

transportadas para Ales.lviii

O primeiro exemplo desta série de relações matemáticas entre as coordenadas

desses monumentos megalíticos é uma continuação da equação discutida no

subcapítulo 1.6 (e reproduzida na Figura 12.1), onde a latitude da Grande

Pirâmide dividido por 10 e multiplicado por 11 é igual à longitude de Stonehenge.

A fração que tem a latitude de Stonehenge como seu numerador e a longitude de

Ales27 como seu denominador também segue as mesmas proporções, conforme

mostrado na Figura 12.2. Em outras palavras, a latitude da Grande Pirâmide

dividida por 10 e multiplicada pela longitude de Ales (17,07°) é igual à latitude de

Stonehenge (51,17°).

Figura 12

As proporções entre a longitude de Ales e a latitude de Stonehenge.

27 Ales é situado 14,0544 graus leste de Greenwich (Fonte de coordenadas: LatLong.net e Google Earth). A Grande Pirâmide é 31,1342 graus leste de Greenwich. Pelo motivo que Ales e a Grande Pirâmide estão ambos a leste de Greenwich, para calcular a longitude de Ales em relação à Grande Pirâmide nós subtraimos suas respectivas longitudes. Portanto, Ales é 17,0798 graus oeste do meridiano da Grande Pirâmide (31,1342° - 14,0544° = 17,0798°).

12.1 �� â�� (��,��° )

��=

�� (��,��°)

��

12.2 ��,��°

��=

��,��°

��= ��,��° (�� )

��,��° (�� )

Furtado 31

O exemplo da Figura 12 indica que os construtores de Ales: (1) tinham

conhecimento da longitude da Grande Pirâmide; (2) usaram o mesmo sistema de

longitudes usado pelos construtores de Stonehenge e de Almendres, utilizando o

meridiano da Grande Pirâmide como o ponto zero de longitude; (3) tinham

conhecimento da latitude de Stonehenge; e (4) tinham conhecimento da razão

entre as coordenadas da Grande Pirâmide e Stonehenge. Os subcapitulos a seguir

irão expandir as relações entre esses monumentos.

2.2 A geometria da Grande Pirâmide e suas relações com Ales e Stonehenge

Vimos nos subcapítulos anteriores que os construtores de recintos megalíticos

colocaram seus monumentos em coordenadas que estão em relação matemática

com as coordenadas da Grande Pirâmide (Figuras 3, 9, 10 e 12). Proponho que os

construtores de Ales e de Stonehenge planejaram não apenas a colocação, mas

também as dimensões de seus recintos, de acordo com os mesmos princípios que

os egípcios antigos incorporaram à geometria da Grande Pirâmide

As proporções geométricas da Grande Pirâmide têm sido objeto de estudo

durante séculos. Não há registros do Egito Antigo relacionados ao plano da

Grande Pirâmide, mas sua orientação, dimensões e proporções são bem

conhecidas porque é o monumento megalítico mais extensivamente pesquisado

do mundo.lix Embora nunca tenhamos descoberto nenhum documento egípcio

relacionado ao plano ou à construção da Grande Pirâmide, papiros matemáticos

indicam um interesse na geometria de pirâmides. Por exemplo, os cinco últimos

problemas matemáticos do Papiro de Rhind28 calculam o ângulo de inclinação de

pirâmides (problemas 56 a 60).lx Embora as soluções para os problemas do Papiro

de Rhind não estejam relacionadas à Grande Pirâmide ou a qualquer outra

pirâmide egípcia, o Papiro indica simplesmente que os egípcios antigos estavam

interessados no ângulo de inclinação de pirâmides. Note que ao construir uma

pirâmide seus lados podem ser inclinados em qualquer ângulo, e que cada

pirâmide no Egito tem um ângulo de inclinação diferente. Por exemplo: o ângulo

28 O Papiro de Rhind, também conhecido como o Papiro de Ahmes, é datado por volta de 1650 A.C. e é um dos mais famosos e o mais bem preservado exemplo de matemática dos egípcios antigos.

de inclinação da Grande Pirâmide é de 51,844 graus;

graus; a pirâmide de Menkaure é de 51,7 graus; e a pirâmide vermelha é de 43,3

graus. O ângulo de inclinação de uma pirâmide está associado às proporções

entre sua base, altura, diagonal, apót

Grande Pirâmide, várias teorias foram avançadas para descrever sua geometria e

proporções. Uma dessas teorias é conhecida como a "

aresta". A teoria da inclinação da

base da Grande Pirâmide é proporcional à sua altura em uma proporção

de 10 para 9 (veja a Figura 13). Segundo o matemático e escritor canadense Roger

Herz-Fischler em seu livro The Shape of the Great Pyramid

da aresta “resulta em um ângulo

a terceira casa decimal, é idêntico ao

As dimensões medidas da Grande Pirâmide diferem da

aresta por apenas cerca de 0,03% (ve

Figura 13

A geometria da Grande Pirâmide de acordo com

a teoria de inclinação da aresta

29 Frase traduzida por Furtado: no original, Herzinclination α of 51.844° which, to three decimal places, is identical with the observed value” (Herz-Fischler, 2000).

1

aresta

Grande Pirâmide é de 51,844 graus; a pirâmide de Khafre é de 53

pirâmide de Menkaure é de 51,7 graus; e a pirâmide vermelha é de 43,3


entre sua base, altura, diagonal, apótema e aresta. Com base nas dimensões da


proporções. Uma dessas teorias é conhecida como a "teoria da

inclinação da aresta propõe que a metade da


Figura 13). Segundo o matemático e escritor canadense Roger

The Shape of the Great Pyramid, a teoria da

um ângulo teórico de inclinação α de 51,844

, é idêntico ao valor observado”29 (Herz-Fischler, 2000).

As dimensões medidas da Grande Pirâmide diferem da teoria da

por apenas cerca de 0,03% (veja Apêndice 1).

A geometria da Grande Pirâmide de acordo com

a teoria de inclinação da aresta.

Frase traduzida por Furtado: no original, Herz-Fischler escreve “gives a theoretical angle of which, to three decimal places, is identical with the observed value”

1/2 �� 10

= �� 9

aresta altura

Furtado 32

pirâmide de Khafre é de 53

pirâmide de Menkaure é de 51,7 graus; e a pirâmide vermelha é de 43,3


. Com base nas dimensões da


teoria da inclinação da

da diagonal da


Figura 13). Segundo o matemático e escritor canadense Roger

a da inclinação

graus que, até

Fischler, 2000).lxi

teoria da inclinação da

gives a theoretical angle of which, to three decimal places, is identical with the observed value”

Furtado 33

A teoria da inclinação da aresta não é a única teoria que descreve as

proporções da Grande Pirâmide com grande precisão. A “teoria de pi” e a “teoria

do triângulo de Kepler” também descrevem as proporções da Grande Pirâmide.

É relevante enfatizar que a Grande Pirâmide é uma das estruturas mais precisas

e simétricas já construídas, e que sua base é quase um quadrado perfeito: cada

um dos quatro lados da Pirâmide tem quase o mesmo comprimento (com menos

de 0,1% de diferença entre dois lados); e suas quatro quinas são ângulos retos

quase perfeitos (cada uma com erro menor que 0,1 graus).lxii

A teoria de pi indica uma relação entre a altura da pirâmide e o perímetro de

sua base.lxiii A teoria de pi é ilustrada na Figura 14, onde um quadrado é

desenhado representando o perímetro da base da Grande Pirâmide. À sua direita,

um círculo é desenhado com uma circunferência igual ao perímetro da base da

Pirâmide. O raio desse círculo é igual à altura da pirâmide. Outra maneira de

descrever a teoria de pi é mostrada na Figura 15, onde o comprimento (de

qualquer um dos quatro lados) da base Grande Pirâmide, dividido por meio pi

(onde pi é denotado pela letra grega π) é igual à altura da Pirâmide. As dimensões

medidas da Grande Pirâmide diferem na equação da teoria de pi em

aproximadamente 0,01% (veja Apêndice 2).lxiv

Figura 14

As proporções da Grande Pirâmide de acordo com a teoria de pi.

O quadrado representa a base da Grande Pirâmide. O círculo é desenhado

com uma circunferência igual ao perímetro da base da Pirâmide. O raio do

círculo é igual à altura da Pirâmide.

A teoria do triângulo de Kepler

segue os princípios da proporção áurea

1,618033…, e é denotada pela letra grega fi (

apótema da Pirâmide dividido por fi (

da Pirâmide. As dimensões da Grande Pirâmide diferem

triângulo de Kepler em aproximadamente 0,05% (

Figura 15 A geometria da Grande Pirâmide de acordo com a teoria de pi

Além das teorias mostradas nas Figuras 13 a 16,

propostas para descrever as proporç

não se ajusta às suas dimensões reais. Por exemplo, o historiador grego Heródoto

(485-425 A.C.) mencionou em seus escritos que

igual à sua altura”.lxvi Heródoto estava incorreto, e su

tomada apenas como um exemplo da antiguidade do interesse nas proporções da

Grande Pirâmide.

É bem conhecido e amplamente aceito que os

proporção áurea às proporções de muitas obras de arte, bem como 30 A proporção áurea também é conhecida como a proporção de ouro, número de ouro, número áureo, divina proporção, seção divina, proporção em extrema razão, divisão em extrema razão, média e extrema razão, seção áurea, razão áurea, razão de ouro, áurea excelência e também razão de Fídias.

��

½ � = altura

altura

A teoria do triângulo de Keplerlxv propõe que a geometria da Grande Pi

proporção áurea.30 A proporção áurea tem o valor de

618033…, e é denotada pela letra grega fi (φ). Como mostra a Figura 16, o

apótema da Pirâmide dividido por fi (φ) é igual a metade do comprimento da base

As dimensões da Grande Pirâmide diferem na equação da teoria do

roximadamente 0,05% (veja Apêndice 3).

Figura 16 A geometria da Grande Pirâmide A geometria da Grande Pirâmide de

teoria de pi. acordo com a teoria do triângulo de Kepler.

Além das teorias mostradas nas Figuras 13 a 16, diversas outras teorias foram

as proporções da Grande Pirâmide, mas a maioria delas


) mencionou em seus escritos que “cada lado da Grande Pirâmide é

Heródoto estava incorreto, e sua declaração pode ser


É bem conhecido e amplamente aceito que os gregos antigos incorporaram a

às proporções de muitas obras de arte, bem como

urea também é conhecida como a proporção de ouro, número de ouro, rção, seção divina, proporção em extrema razão, divisão em

extrema razão, média e extrema razão, seção áurea, razão áurea, razão de ouro, áurea excelência e também razão de Fídias.

altura

��ó��

�= ½ base

Furtado 34

propõe que a geometria da Grande Pirâmide

A proporção áurea tem o valor de

φ). Como mostra a Figura 16, o

é igual a metade do comprimento da base

a equação da teoria do

A geometria da Grande Pirâmide de acordo com a teoria do triângulo de

outras teorias foram

ões da Grande Pirâmide, mas a maioria delas


cada lado da Grande Pirâmide é

a declaração pode ser


incorporaram a

às proporções de muitas obras de arte, bem como em várias

urea também é conhecida como a proporção de ouro, número de ouro, rção, seção divina, proporção em extrema razão, divisão em

extrema razão, média e extrema razão, seção áurea, razão áurea, razão de ouro, áurea

base

Furtado 35

estruturas, incluindo o Partenon (construído por volta de 450 A.C.). De fato, os

gregos antigos são geralmente creditados com a descoberta da proporção áurea

(data desconhecida31), e também por terem calculado pi com precisão sem

precedentes (por volta de 250 A.C.32).lxvii As proporções da Grande Pirâmide, no

entanto (mostradas nas Figuras 13 a 16), demonstram que os egípcios antigos

também incorporaram conhecimento de matemática em suas estruturas, e que

eles tinham conhecimento dos valores de pi (π) e fi (φ) mais de 2.000 anos antes

dos gregos antigos.

Proponho que os construtores de Stonehenge e de Ales também incorporaram

pi e fi nas dimensões de seus monumentos porque, como veremos, suas

dimensões estão em proporção matemática às dimensões da Grande Pirâmide.

Na Figura 17.1, veja que a aresta da Grande Pirâmide dividida por pi (π) é igual ao

comprimento total de Ales, da Pedra da Proa até a Pedra do Leme (Apêndice 4).

Na Figura 17.2, veja que o aresta da Grande Pirâmide dividido por 2 fi (2φ) é

igual ao comprimento de Ales medido da Pedra da Proa até a Pedra da Popa

(Apêndice 5).33 Na Figura 17.3, veja que a altura da Grande Pirâmide dividida por

meio-pi (½ π) é igual à circunferência do anel de Stonehenge34 (Apêndice 6).

As proporções entre as dimensões da Grande Pirâmide, Stonehenge e Ales,

mostradas nas Figuras 17.1 a 17.3, sugerem algum tipo de contato ou relação

entre seus construtores.

No subcapítulo seguinte as coordenadas de Stonehenge e Ales são mostradas

em relações matemáticas com pi e fi.

31 O documento mais antigo conhecido onde a proporção áurea é descrita foi escrito por Euclides (Elements, Book 6, por volta de 300 A.C.).

32 Por volta de 250 A.C. Arquimedes usou um método (reductio ad absurdum ou o método da exaustão, em Treatise, proposition 3) que lhe permitiu determinar que o valor de pi é menor que 3 e 1/7 (3,1428…) e maior que 3 e 10/71 (3,1408…).

33 É interessante notar que a geometria da Grande Pirâmide também está em proporção ao valor de 2 fi. A Grande Pirâmide, como qualquer outra pirâmide, tem quatro apótemas. A soma dos quatro apótemas dividido por 2 fi é igual ao comprimento de sua base (veja Apêndice 7).

34 Isto é, a circunferência interna do anel contínuo de pedras (posicionado horizontalmente sobre as pedras verticais do Círculo Sarsen).

Furtado 36

Figura 17

As proporções entre as dimensões da Grande Pirâmide, Stonehenge e Ales.

2.3 Ales, Stonehenge, triângulos retângulos especiais e constantes matemáticas

Em geometria, um triângulo retângulo especial possui alguma característica

regular que facilita cálculos sobre o triângulo, ou para os quais existem alguma

fórmula. Triângulos retângulos especiais podem ser baseados em ângulo ou lado.

Um triângulo retângulo especial baseado em ângulo pode ter ângulos que:

formam uma proporção simples, como 30-60-90 ou 45-45-90; ângulos que estão

em uma progressão geométrica; ou ângulos que incluem números especiais,

como pi e fi. Um triângulo retângulo especial baseado em lado pode ter lados

que: formam uma proporção inteira, como 3-4-5 ou 5-12-13; formam uma

progressão geométrica; ou lados que incluem números especiais, como pi ou fi.

Note que o triângulo de Kepler usado para descrever as proporções da Grande

Pirâmide (na Figura 16), e os dois triângulos 5-12-13 usados na configuração do

retângulo de Stonehenge (nas Figuras 6 e 7) são exemplos de triângulos

retângulos especiais baseados em lado.

As longitudes de Ales e Stonehenge estão relacionadas com os dois tipos de

triângulos retângulos especiais. Nos dois exemplos seguintes, as longitudes de

Ales e Stonehenge são mostradas em relação a triângulos baseados em lados que

incorporam o valor de fi em relação aos números 17 e 33, que são valores muito

17.1 Aresta da ��a�� â�� (��,��)

�= Comprimento de Ales de Proa a Leme (69,8 m)

17.2 Aresta da ��a�� â�� (��,��)

� ɸ= Comprimento de Ales de Proa a Popa (68m)

17.3 Altura da ��a�� â�� (��,��)

½π= Circunferência do anel de Stonehenge (93,35m)

distintos em astronomia e matemática.

desenhado e o lado-a é dado o valor de

de 17 graus. Usando o Teorema de Pitágoras, mostrado na equação 18.1, o

resultado para o lado-c do triângulo

de Ales até a segunda casa decimal.

Figura 18 A relação geométrica entre a longitude de Ales e

35 Por exemplo, o número 33 é: o menor repdígito impar (odd repdigit) que não é um número primo; o menor número Diofantino que ainda não foi representado na equação a³+b³=c³; o maior número inteiro positivo que não pode ser escrito como a soma de diferentes números triangulares; um número semiprimo, e um número inteiro de Blum com os dois fatores primários sendo números inteiros de Gauss; o primeiro número no primeiro grupo de três semiprimos; a soma dos primeiros quatro fatoriais positivos; e um número de Størmer (um número arcotangente-irreducivel). A lua completa 12 fases (12 meses lunares, ou 12 lunações) em 354,367 dias enquanto a terra completa sua orbita ao redor do sol em 365,242 dias. Consequentemente, a lua retorna a uma mesma posição em relação ao sol a cada 33 anoA importância do número 33 e outros exemplos de sua incorporação na colocação de outros monumentos megalíticos serão discutidos em mais detalhes em futuras publicações. O número 17 e sua conexão com os recintos megalíticos, na medida de minhas pesquisamomento desta publicação, se limita a Ales stenar. Alguns exemplos da significância matemática do número 17 incluem: 17 é a soma dos quatro primeiros números primos e o único número primo que é a soma de quatro números primos consecutivos (2, 3, 5,primeiro número que pode ser quadrado de duas maneiras diferentes, isso é, 17 é o menor número n onde x³+y²=n tem duas soluções diferentes; e existem 17 sistemas de coordenadas ortogonais curuma simetria conforme) em que as trêssolucionadas usando a técnica de separação de variáveis.

18.1 b² + a² = c²

em astronomia e matemática.35 Na Figura 18 um triângulo retângulo é

a é dado o valor de fi (Ф), enquanto o lado-b é dado


c do triângulo é 17,0768... graus, que é o valor da longitude

a segunda casa decimal.

A relação geométrica entre a longitude de Ales e fi.

úmero 33 é: o menor repdígito impar (odd repdigit) que não é um número primo; o menor número Diofantino que ainda não foi representado na equação a³+b³=c³; o maior número inteiro positivo que não pode ser escrito como a soma de diferentes números

res; um número semiprimo, e um número inteiro de Blum com os dois fatores primários sendo números inteiros de Gauss; o primeiro número no primeiro grupo de três semiprimos; a soma dos primeiros quatro fatoriais positivos; e um número de Størmer (um

irreducivel). A lua completa 12 fases (12 meses lunares, ou 12 lunações) em 354,367 dias enquanto a terra completa sua orbita ao redor do sol em 365,242 dias. Consequentemente, a lua retorna a uma mesma posição em relação ao sol a cada 33 anos. A importância do número 33 e outros exemplos de sua incorporação na colocação de outros monumentos megalíticos serão discutidos em mais detalhes em futuras publicações. O número 17 e sua conexão com os recintos megalíticos, na medida de minhas pesquisamomento desta publicação, se limita a Ales stenar. Alguns exemplos da significância matemática do número 17 incluem: 17 é a soma dos quatro primeiros números primos e o único número primo que é a soma de quatro números primos consecutivos (2, 3, 5,

ser escrito como a soma de um número ao cubo e um número ao quadrado de duas maneiras diferentes, isso é, 17 é o menor número n onde x³+y²=n tem duas soluções diferentes; e existem 17 sistemas de coordenadas ortogonais curvilineares (dentro de uma simetria conforme) em que as três-variáveis da equação de Laplace podem ser solucionadas usando a técnica de separação de variáveis.

Lado-b 17°

Lado

Ф Lado-c

(Longitude of Ales) 17,07°

b² + a² = c² → 17² + Ф² + = 17,0768²…

Furtado 37

Na Figura 18 um triângulo retângulo é

é dado o valor


graus, que é o valor da longitude

úmero 33 é: o menor repdígito impar (odd repdigit) que não é um número primo; o menor número Diofantino que ainda não foi representado na equação a³+b³=c³; o maior número inteiro positivo que não pode ser escrito como a soma de diferentes números

res; um número semiprimo, e um número inteiro de Blum com os dois fatores primários sendo números inteiros de Gauss; o primeiro número no primeiro grupo de três semiprimos; a soma dos primeiros quatro fatoriais positivos; e um número de Størmer (um

A lua completa 12 fases (12 meses lunares, ou 12 lunações) em 354,367 dias enquanto a terra completa sua orbita ao redor do sol em 365,242 dias. Consequentemente, a lua retorna a uma

A importância do número 33 e outros exemplos de sua incorporação na colocação de outros monumentos megalíticos serão discutidos em mais detalhes em futuras publicações. O número 17 e sua conexão com os recintos megalíticos, na medida de minhas pesquisas até o momento desta publicação, se limita a Ales stenar. Alguns exemplos da significância matemática do número 17 incluem: 17 é a soma dos quatro primeiros números primos e o único número primo que é a soma de quatro números primos consecutivos (2, 3, 5, 7); é o

escrito como a soma de um número ao cubo e um número ao quadrado de duas maneiras diferentes, isso é, 17 é o menor número n onde x³+y²=n tem duas

vilineares (dentro de variáveis da equação de Laplace podem ser

Lado-a

Ф

Na Figura 19 um triângulo retângulo é desenhado e o lado

fi (Ф), enquanto o lado-c é dado o valor de 33 graus. Usando o Teorema de

Pitágoras, mostrado na equação 19.1, o

32,9603... graus, que é o valor da longitude de Stonehenge, no seu centro, até a

quarta casa decimal.

Figura 19 A relação geométrica entre a longitude de Stonehenge e

Nos dois exemplos seguintes

mostradas em relação à geometria d

em ângulos, com o uso de fórmula

A fórmula para a longitude de Stonehenge é mostrada na Figura 20, o

ângulo alfa (α) multiplicado pelo logaritmo natural (

é igual ao ângulo beta (β).

ângulos alfa e beta somam 90 graus, h

mostrada na Figura 20. A solução é mostrada nas equações 20.1 e 20.2

alfa é 32,9608 graus, que é a longitude de Stonehenge (fora do recinto, mas

dentro da vala-e-banco), até a quarta casa decimal. Discutiremos

resultados para a longitude de Stoneh

seguinte.

36 O logaritmo natural, que tem o valor de

dos números mais importantes em matemática e é fundamental em probabilidade e estatísticaPi também desempenha um papel em algumas equações de probabilidade

19.1 c² –

Na Figura 19 um triângulo retângulo é desenhado e o lado-a é dado o valor de

c é dado o valor de 33 graus. Usando o Teorema de

Pitágoras, mostrado na equação 19.1, o resultado para o lado-b do triângulo

graus, que é o valor da longitude de Stonehenge, no seu centro, até a

A relação geométrica entre a longitude de Stonehenge e fi.

os dois exemplos seguintes, as longitudes de Stonehenge e Ales são

mostradas em relação à geometria de triângulos retângulos especiais base

em ângulos, com o uso de fórmulas que incluem pi e o logaritmo natural.

A fórmula para a longitude de Stonehenge é mostrada na Figura 20, o

α) multiplicado pelo logaritmo natural (℮) e dividido por meio pi (

β). Pelo motivo que em qualquer triângulo retângulo

ângulos alfa e beta somam 90 graus, há apenas uma solução para a fórmula

ra 20. A solução é mostrada nas equações 20.1 e 20.2

9608 graus, que é a longitude de Stonehenge (fora do recinto, mas

banco), até a quarta casa decimal. Discutiremos ess

resultados para a longitude de Stonehenge em mais detalhes n

, que tem o valor de 2,718281828… e é representado pela letra

meros mais importantes em matemática e é fundamental em probabilidade e estatísticatambém desempenha um papel em algumas equações de probabilidade.

– a² = b² → 33² – Ф² = 32,9608²…

Lado-b (Longitude of Stonehenge)

32,9608°

Lado-c 33°

Furtado 38

a é dado o valor de

c é dado o valor de 33 graus. Usando o Teorema de

b do triângulo é

graus, que é o valor da longitude de Stonehenge, no seu centro, até a

s de Stonehenge e Ales são

triângulos retângulos especiais baseados

o logaritmo natural.36

A fórmula para a longitude de Stonehenge é mostrada na Figura 20, onde o

℮) e dividido por meio pi (½ π)

qualquer triângulo retângulo

apenas uma solução para a fórmula

ra 20. A solução é mostrada nas equações 20.1 e 20.2; ângulo

9608 graus, que é a longitude de Stonehenge (fora do recinto, mas

sse e os outros

enge em mais detalhes no subcapítulo

e é representado pela letra ℮, é um

meros mais importantes em matemática e é fundamental em probabilidade e estatística.

Lado-a

Ф

Figura 20 A longitude de Stonehenge (32baseado em ângulo.

A fórmula para a longitude de Ales é mostrad

(α) multiplicado pelo logaritmo natural (

ao ângulo beta (β). A única solução para ângulos alfa e beta é mostrada nas

equações 21.1 e 21.2: o ângulo alfa é de 17

Ales, no seu centro, é 17,079… graus a oeste do meridiano da Grande Pirâmide.

21.1 � × ℮

½�= β →

21.2 angle α + angle β = 90° → 32.9608°... + 57.0391°... = 90°

20.1 � × ℮

½π=

20.2 angle α + angle β = 90

α= 32,9608

21.1 α × ℮ × ½π = β

21.2 angle α + angle β = 90°

α = 17,0

Figura 21 A longitude de Ales (17,07°) de acordo com o triângulo retângulo especial baseado em ângulo.

A longitude de Stonehenge (32,9608°) de acordo com o triângulo retângulo

A fórmula para a longitude de Ales é mostrada na Figura 21, onde o ângulo alfa

(α) multiplicado pelo logaritmo natural (℮) e multiplicado por meio pi (½ π)

única solução para ângulos alfa e beta é mostrada nas

equações 21.1 e 21.2: o ângulo alfa é de 17,078… graus, enquanto a longitud

079… graus a oeste do meridiano da Grande Pirâmide.

β → ��.��°… × ℮

½�= 57.0391°…

α + angle β = 90° → 32.9608°... + 57.0391°... = 90°

β → ��,��°… × ℮

½π= 57,0391°…

α + angle β = 90° → 32,9608°... + 57,0391°... =

= 32,9608° (Longitude of Stonehenge)

= β → 17,078°...× ℮ × ½π = 72,921°...

le β = 90° → 17,078°... + 72,921°... = 90°

,07° (Longitude of Stonehenge)

α × ℮ × ½π = β

� × ℮

½π= β

A longitude de Ales (17,07°) de acordo com o triângulo retângulo especial

Furtado 39

retângulo especial

onde o ângulo alfa

pi (½ π) é igual

única solução para ângulos alfa e beta é mostrada nas

078… graus, enquanto a longitude de

079… graus a oeste do meridiano da Grande Pirâmide.

α + angle β = 90° → 32.9608°... + 57.0391°... = 90°

°... = 90°

β

A longitude de Ales (17,07°) de acordo com o triângulo retângulo especial

Furtado 40

O conceito do logaritmo natural, de que há registro histórico, remonta aos

anos 1600 (D.C.).lxviii No entanto, as evidências discutidas nas Figuras 20 e 21

indicam que Ales e Stonehenge (construídos milênios antes) têm o valor do

logaritmo natural incorporado em sua localização geográfica. As coordenadas de

Ales e Stonehenge também estão relacionadas entre si com o uso do logaritmo

natural e da proporção áurea. Na Figura 22, a latitude de Ales multiplicada por fi

(Ф) e dividida pelo logaritmo natural (℮) é igual à longitude de Stonehenge. Esse é

o segundo exemplo de uma relação matemática entre as coordenadas de

Stonehenge e Ales: a primeira foi mostrada na Figura 12 (duplicada sob a Figura

22), onde os valores da latitude da Grande Pirâmide, a longitude e a latitude de

Stonehenge, e a longitude de Ales foram demonstradas de estar em proporção

matemática umas as outras.

As semelhanças nos princípios matemáticos associados às coordenadas de

Ales e Stonehenge (Figuras 18 a 21), as proporções matemáticas entre suas

coordenadas (Figuras 12 e 22) e as proporções entre as dimensões de Ales,

Stonehenge e a Grande Pirâmide (Figura 17), juntos indicam que os construtores

de Ales e de Stonehenge devem ter tido alguma forma de contato. Voltaremos a

este tópico no final deste capítulo, juntamente com a discussão das datas de

construção dos monumentos.

�a�. �� a�� â��

10=

��. �� ℎ�� 11

= �a�. �� ℎ��

��. ��

Duplicação parcial da Figura 12.

�� (��,��°) × �

℮ = �� ℎ�� (32,96°)

Figura 22 As proporções entre a latitude de Ales e a longitude de Stonehenge.

2.4 Três locais-chave do complexo de Stonehenge: sua dis

e longitudes até a quarta casa

Este subcapítulo se concentra em três locais

Stonehenge: a pedra 96, a pedra 95 e o centro de Stonehenge

Círculo Sarsen, que também é o centro do

retângulo, e da vala-e-banco

geometricamente espaçados. Além disso, as longitudes des

coincidem com os resultados das equações já mencionadas com uma precisão de

quatro casas decimais.

Os três locais estão alinhados com o nascer do sol do solstício de verão; como

mostrado na Figura 23, para um observador em pé no centro de Stonehenge

(indicado com a letra C), o disco cheio do sol se torna visível em sua totalidade

diretamente acima da pedra 96, cujo topo aparece nivelado com

do horizonte (veja Figura 8,

Figura 23

O centro de Stonehenge, a pedra 95 e a pedra 96

do sol do solstício de verão. As pedras 96, 93 e 92 formam dois triângulos 5

Pedra 93

Pedra 92

chave do complexo de Stonehenge: sua distribuição,

casa decimal

se concentra em três locais-chave do complexo de

Stonehenge: a pedra 96, a pedra 95 e o centro de Stonehenge - isto é, o centro do

arsen, que também é o centro do recinto em forma de

banco. Esses três locais são alinhados astronomicamente e

geometricamente espaçados. Além disso, as longitudes desses três locais

om os resultados das equações já mencionadas com uma precisão de



m a letra C), o disco cheio do sol se torna visível em sua totalidade

diretamente acima da pedra 96, cujo topo aparece nivelado com

(veja Figura 8, duplicada abaixo). A pedra 96 foi colocada ao longo

O centro de Stonehenge, a pedra 95 e a pedra 96 estão alinhadas em direção ao nascer

do sol do solstício de verão. As pedras 96, 93 e 92 formam dois triângulos 5-12

↑ Pedra 96

Pedra 95

Pedra 96

Figura 8 (duplicada

Furtado 41

ção, alinhamento

chave do complexo de

o é, o centro do

forma de ferradura, do

. Esses três locais são alinhados astronomicamente e

es três locais

om os resultados das equações já mencionadas com uma precisão de



m a letra C), o disco cheio do sol se torna visível em sua totalidade

diretamente acima da pedra 96, cujo topo aparece nivelado com a linha

foi colocada ao longo

estão alinhadas em direção ao nascer

12-13.

↑ Pedra 96

duplicada)

desse alinhamento também em relação geométrica às pedras 92 e 93 do

retângulo de Stonehenge; el

5-12-13. Esse é o segundo exemplo d

configuração do complexo de Stonehenge; o primeiro foi n

retângulo de Stonehenge (n

de dois triângulos 5-12-13.

Como visto na Figura 23, a pedra 95 está

centro de Stonehenge. A colocação da pedra 95 segue o princípio da

áurea em relação a esses dois outros locais

Stonehenge e a pedra 96 são estabelecidos como pontos A e B.

A e B é intersectada de acordo com a

que indica a localização da pedra 95,

três locais é mostrada novamente na equação 24.1, onde a distância entre o

centro de Stonehenge e a pedra 96

áurea (ɸ) é igual à distância entre o centro de Stonehenge e

pedra 95 (anotado como A—

Figura 24

A borda norte da pedra 95 está entre o centro de

Stonehenge e a pedra 96 de acordo com a proporção áurea.

alinhamento também em relação geométrica às pedras 92 e 93 do

nehenge; elas formam um triângulo composto de dois triângulos

e é o segundo exemplo de triângulos 5-12-13 apresentados n

do complexo de Stonehenge; o primeiro foi na configuração

retângulo de Stonehenge (no subcapítulo 1.5, Figuras 6 e 7), também composto

Como visto na Figura 23, a pedra 95 está deitada no chão entre a pedra 96

centro de Stonehenge. A colocação da pedra 95 segue o princípio da

es dois outros locais-chave. Na Figura 24, o centro de

são estabelecidos como pontos A e B. A dis

A e B é intersectada de acordo com a proporção áurea, estabelecendo o ponto C,

que indica a localização da pedra 95, em sua borda norte. A relação entre esses


Stonehenge e a pedra 96 (anotado como A—B) dividida pela

) é igual à distância entre o centro de Stonehenge e a borda

—C).

24.1 ��

�= A—C

A borda norte da pedra 95 está entre o centro de

Stonehenge e a pedra 96 de acordo com a proporção áurea.

Furtado 42

alinhamento também em relação geométrica às pedras 92 e 93 do

s formam um triângulo composto de dois triângulos

13 apresentados na

configuração do

e 7), também composto

no chão entre a pedra 96 e o

centro de Stonehenge. A colocação da pedra 95 segue o princípio da proporção

chave. Na Figura 24, o centro de

A distância entre

, estabelecendo o ponto C,

norte. A relação entre esses


B) dividida pela proporção

borda norte da

A colocação da pedra 95 também segue o princípio da

relação à pedra 96 e ao perímetro sudoeste do

perímetro sudoeste do Círculo

pontos A e B; a distância entre A e B é intersectada de acordo com a

áurea estabelecendo ponto C, que indica

A relação entre esses três loca

distância entre o perímetro

como A—B) dividido pela

perímetro sudoeste do Círculo

como A—C).

Figura 25

A borda sul da pe

de acordo com a

O complexo de Stonehenge é ilustrado na Figura 26. Os resultados da

matemática e geometria apresentados anteriormente (indicando a longitude de

Stonehenge) são mostrados imediatamente abaixo do complexo, e abaixo deles

suas respectivas equações são reproduzidas:

A colocação da pedra 95 também segue o princípio da proporção áurea

o perímetro sudoeste do Círculo Sarsen. Na Figura 25,

írculo Sarsen e a pedra 96 são estabelecidos como

A e B; a distância entre A e B é intersectada de acordo com a

ponto C, que indica a localização da borda sul da pedra 95.

s três locais é mostrada novamente na equação 25.1, onde a

o sudoeste do Círculo Sarsen e a pedra 96

B) dividido pela proporção áurea (ɸ) é igual à distância entre

írculo Sarsen e a borda sul da pedra 95 (anotado

25.1 ��

�= A—C

A borda sul da pedra 95 está entre o círculo sarsen e a pedra 96

de acordo com a proporção áurea.



ados imediatamente abaixo do complexo, e abaixo deles

suas respectivas equações são reproduzidas:

Furtado 43

proporção áurea em

arsen. Na Figura 25, o

são estabelecidos como

A e B; a distância entre A e B é intersectada de acordo com a proporção

a localização da borda sul da pedra 95.

é mostrada novamente na equação 25.1, onde a

pedra 96 (anotado

al à distância entre o

a borda sul da pedra 95 (anotado

e a pedra 96



ados imediatamente abaixo do complexo, e abaixo deles

Furtado 44

• O resultado do triângulo especial baseado em ângulo (da Figura

20), incorporando pi e o logaritmo natural, é 32,9608 graus, como mostrado

novamente na Figura 26.1.

• O resultado do triângulo especial baseado em lado (da Figura 19),

incorporando o número 33 e phi, é 32,9603 graus, mostrado novamente na

Figura 26.2.

• A proporção entre as coordenadas da Grande Pirâmide e

Stonehenge (Figuras 9 e 12) representa a longitude de Stonehenge como

32,96 graus (com precisão até a segunda casa decimal); esse valor é interpretado

na Figura 26.3 como 32,9600 graus.

• O resultado da equação que relaciona a latitude de Ales à

longitude de Stonehenge (da Figura 22) é 32,96 graus (com precisão até a

segunda casa decimal), representado na Figura 26.4 novamente como 32,9600

graus.

Observe que os quatro resultados nas Figuras 26.1 a 26.4 são longitudes

dentro da vala-e-banco com precisão de quatro casas decimais. Observe também

que o resultado na Figura 26.2 indica o centro de Stonehenge com uma precisão

de quatro casas decimais. Finalmente, observe que os outros três resultados

(Figuras 26.1, 26.3 e 26.4) não correspondem a nenhum dos três locais-chave do

complexo de Stonehenge. No entanto, se movermos a malha de longitudes

0,0005 graus (35 metros) a leste, como mostrado na Figura 27, todas as quatro

equações se alinham com os três locais-chave com uma precisão de quatro casas

decimais. Proponho que a intenção dos construtores de Stonehenge era a

colocoção dos três locais-chave de acordo com o plano mostrado na Figura 27.

Dada a complexidade de medir longitudes por meio de observações

astronômicas, é possível que os construtores de Stonehenge acreditaram que eles

haviam realmente realizado o plano mostrado na Figura 27 para a colocação dos

três locais principais.

Figura 26

As longitudes dos três locais

estabelecidos pelos princípios matemáticos apresentados neste

(nas Figuras 26.1 a 26.4).

Fig. 26.1

α=32,9608°

32,960

ocais-chave do complexo de Stonehenge e os valores

estabelecidos pelos princípios matemáticos apresentados neste

Fig. 26.2

��.�� â��

��

Fig. 26.3

Fig. 26.4

�� ×

℮

Fig. 26.4

32,9603° 32,9600° 32,9608°

Furtado 45

do complexo de Stonehenge e os valores

estabelecidos pelos princípios matemáticos apresentados neste trabalho

��=

��,��°

��

32,9600° � = 32,9600°

Figura 27

Movendo a grade de longitudes a 0,0005 graus leste, os resultados das

quatro equações (nas Figuras 27.1 a 27.4) combinam as coordenadas dos

três locais chave do complexo de Stonehenge com a quarta casa decimal.

Fig. 27.1

α=32,9608°


ões (nas Figuras 27.1 a 27.4) combinam as coordenadas dos


Fig. 27.2

32,9608° 32,9603° 32,9600°

�a�. �� a�� â��

10

Fig. 27.3

�� × �

℮

Fig. 27.4

Furtado 46


ões (nas Figuras 27.1 a 27.4) combinam as coordenadas dos


�� = 32,9600°11

� = 32,9600°

Furtado 47

2.5 Stonehenge, pedreiras distantes, Bluestonehenge e a Pedra Dinas

O número original de pedras contidas em Stonehenge pode ter totalizado

cerca de 160. Cerca de 80 delas eram pedras sarsen de Marlborough Downs e 80

eram pedras azuis do País de Gales. O termo pedras azuis é aplicado a diversos

tipos de rocha, todas originárias de diferentes partes do País de Gales, a cerca de

200 km de Stonehenge.lxix Dessas 80 pedras azuis que já estiveram em

Stonehenge, apenas 43 permanecem. Elas pesam até quatro ou cinco toneladas

cada, com exceção da pedra do altar (também conhecida como pedra 80) que

pesa entre oito e dez toneladas.lxx Muitas destas 43 pedras foram identificados

por geólogos como originárias das montanhas Prescelly (veja Figura 28). As pedras

azuis das montanhas Prescelly foram presumivelmente transportados para a

costa, enviadas por barco ao longo da costa até o rio Avon , levadas rio acima e

desembarcadas ao lado da Avenida Stonehenge. A Avenida era composta de valas

e bancos de terra paralelos que começavam perto do rio e terminavam em

Stonehenge, percorrendo uma distância de quase três quilômetros. Embora a

Avenida não seja uma rota direta para Stonehenge, é o caminho mais fácil para

transportar as pedras do rio até Stonehenge.lxxi

De agosto de 2008 a agosto de 2009, arqueólogos do grupo Stonehenge

Riverside Project escavaram uma área entre as margens do rio Avon e a Avenida

Stonehenge, e em 2010 eles publicaram a descoberta de um recinto megalitíco

que ficava no local.lxxii O recinto, nomeado Bluestonehenge, continha até 25

pedras azuis, das quais nenhuma se encontra no local.lxxiii O co-diretor do

Stonehenge Riverside Project e arqueólogo da Universidade de Manchester,

Julian Thomas, declarou: “Elas [as pedras azuis que se encontravam em

Bluestonehenge] poderiam ter sido levadas para Stonehenge, e é possível que

algumas das pedras azuis que estão erguidas lá, anteriormente estavam erguidas

aqui em Bluestonehenge”37 (Thomas, 2010).lxxiv

Note que o transporte e uso das pedras azuis e das pedras sarsen são

semelhantes. Em ambos os casos, as pedras foram transportadas de uma pedreira

37 Traduzido por Furtado. O texto em inglês é: “They [the bluestones] could have been taken to Stonehenge, and it’s possible some of the bluestones standing there now once stood at Bluestonehenge” (Julian Thomas, 2010).

distante para Stonehenge. A caminho de Stoneh

levadas através de Bluestonehenge e as pedras sarsen foram levadas através

de Avebury; as pedras foram provavelmente

monumentos antes de serem levadas para Stonehenge.

Figura 28

Mapa mostrando os locais de Stonehenge, Bluestonehenge, Avebury, as

montanhas Prescelly, Marlboro Downs e o

A localização de Bluestonehenge

haver pedras no monumento sugerem que Bluestonehenge

auxiliar a construção de Stonehenge. O posicionamento exato de Bluestonehenge

em relação a Stonehenge também indica seu papel coadjuvante na construção de

Stonehenge. Bluestonehenge foi colocado em um relacionamento

5-12-13 com Stonehenge. O mapa da Figura 29, representando a Terra com sua

montanhas

distante para Stonehenge. A caminho de Stonehenge, as pedras azuis

s através de Bluestonehenge e as pedras sarsen foram levadas através

de Avebury; as pedras foram provavelmente erguidas como parte desses

monumentos antes de serem levadas para Stonehenge.


Prescelly, Marlboro Downs e o rio Avon.

Bluestonehenge—entre o rio e a Avenida—e

haver pedras no monumento sugerem que Bluestonehenge foi construído para

construção de Stonehenge. O posicionamento exato de Bluestonehenge


Stonehenge. Bluestonehenge foi colocado em um relacionamento geométrico de

com Stonehenge. O mapa da Figura 29, representando a Terra com sua

Rio Avon

Inglaterra

País de Gales

montanhas Prescelly

Furtado 48

pedras azuis foram

s através de Bluestonehenge e as pedras sarsen foram levadas através

como parte desses


o fato de não

foi construído para

construção de Stonehenge. O posicionamento exato de Bluestonehenge


geométrico de

com Stonehenge. O mapa da Figura 29, representando a Terra com sua

Inglaterra

superfície curva, mostra: Stonehenge; Bluestonehenge; a Avenida; o

um triângulo esférico desenhado com Stonehenge e Bluestonehenge nos vértices

A e B. O vértice A do triângul

Stonehenge, enquanto o vértice

perímetro do Bluestonehenge toca o

esférico mostra uma relação geométrica

Bluestonehenge; as mesmas proporções

de Stonehenge e mostradas

(Subcapítulo 2.4).

Figura 29

A relação geométrica de 5

Embora seja possível, devido à sua proximidade com Stonehenge, que

Bluestonehenge possa ter sido colocado

simplesmente medindo distâncias no solo,

utilizada. No exemplo a seguir, parece improvável que essa técnica simples tenha

sido prática ou sequer possível.

quilômetros entre Stonehenge,

superfície curva, mostra: Stonehenge; Bluestonehenge; a Avenida; o


A do triângulo esférico corresponde ao centro exato de

Stonehenge, enquanto o vértice B contém Bluestonehenge dentro dele; o

perímetro do Bluestonehenge toca os lados 13 e 5 do triângulo. Es

esférico mostra uma relação geométrica de 5-12-13 entre Stonehenge

as mesmas proporções (5-12-13) incorporadas na configura

e mostradas nas Figuras 6 e 7 (Subcapítulo 1.5) e na Figura 23

Não está em

de 5-12-13 entre Stonehenge e Bluestonehenge


Bluestonehenge possa ter sido colocado (nesta relação geométrica de 5

medindo distâncias no solo, essa talvez não tenha sido a técnica

No exemplo a seguir, parece improvável que essa técnica simples tenha

sequer possível. Um alinhamento de aproximadamente 230

entre Stonehenge, Bluestonehenge, as pedreiras das pedra

1,798° oeste de Greenwich

51,178°

Avenida

rio Avon

Furtado 49

superfície curva, mostra: Stonehenge; Bluestonehenge; a Avenida; o rio Avon ; e


o esférico corresponde ao centro exato de

Bluestonehenge dentro dele; o

. Esse triângulo

entre Stonehenge e

incorporadas na configuração

1.5) e na Figura 23

está em escala

13 entre Stonehenge e Bluestonehenge.


(nesta relação geométrica de 5-12-13)

a talvez não tenha sido a técnica

No exemplo a seguir, parece improvável que essa técnica simples tenha

Um alinhamento de aproximadamente 230

pedras azuis nas

1,798° oeste de Greenwich

78° Norte

Furtado 50

montanhas Prescelly e a Pedra Dinas sugere que os construtores de Stonehenge

tinham conhecimento de trigonometria esférica.

Antes de expandir o tópico desse alinhamento, note que a Pedra Dinas é uma

pedra solitária. Pedras solitárias são geralmente associadas a pontos de referência

marcando limites territoriais, nascentes, rotas, locais de reunião ou enterros.lxxv

Proponho que outro propósito principal de algumas pedras solitárias pode ter

sido o de marcar as coordenadas que estão em uma relação matemática a um

recinto megalítico associado. No caso da Pedra Dinas, sugiro que a pedra foi

erguida marcando o alinhamento com as pedreiras Prescelly, Stonehenge e

Bluestonehenge, marcando uma relação matemática com a latitude de

Stonehenge e possivelmente marcando a rota das pedras azuis; todos esses

tópicos são discutidos abaixo.

Geólogos identificaram os afloramentos rochosos Carn Menyn e Carn Goedog

nas montanhas Prescelly como o local de origem de muitas das pedras azuis em

Stonehenge.lxxvi Carn Menyn e Carn Goedog estão a quase 220 quilômetros

de distância de Stonehenge. Carn Menyn é um dos pontos mais altos das

montanhas Prescelly e é o maior afloramento rochoso da região; Carn Goedog se

encontra a aproximadamente dois quilômetros a noroeste de Carn Menyn.

Desde Carn Menyn e Carn Goedog, a distância mais curta até a costa é em direção

à Baia de Cardigan, a aproximadamente 12 quilômetros de distância. A menos de

um quilômetro das margens da Baía de Cardigan encontramos a Pedra Dinas.

O mapa da Figura 30, representando a terra com sua curvatura, mostra da

esquerda para a direita: a Pedra Dinas; Carn Goedog; Carn Menyn; Stonehenge;

Bluestonehenge; e um círculo máximo desenhado usando a Pedra Dinas e

Bluestonehenge como pontos de referência. O círculo máximo passa por Carn

Goedog, Carn Menyn e Stonehenge. No sopé do afloramento de Carn Menyn há

uma grande pedra, talhada e aplainada, agora caida e quebrada, que poderia no

passado ter sido erguida mas isso é incerto.lxxvii Se a pedra foi erguida, ela também

poderia ter funcionado como um marcador para o mesmo alinhamento desse

círculo máximo.

Figura 30

O alinhamento do círculo máxim

Menyn, Stonehenge e Bluestonehenge

Dado que a distância entre a Pedra Dinas e Bluestonehenge é de mais de

230 quilômetros, não seria possível

círculo máximo no solo. O alinhamento

calculado matematicamente primeiro, e depois disso as coordenadas foram

localizadas astronomicamente (isto é,

observações sistemáticas de eventos astro

ter sido o caso no que diz respeito à colocação da Grande Pirâmide, Almendres,

Ales e Stonehenge.

Pedra Dinas

Carn Goedog

Carn Menyn

círculo máximo entre a Pedra Dinas, Carn Goedog, Carn

Menyn, Stonehenge e Bluestonehenge


não seria possível medir e estabelecer esse alinhamento

no solo. O alinhamento com esse círculo máximo

ticamente primeiro, e depois disso as coordenadas foram

astronomicamente (isto é, localizadas com cálculos realizados com

observações sistemáticas de eventos astronômicos repetidos). Esse também deve


País de Gales

Inglaterra

rio Avon

Carn Goedog

Carn Menyn

Stonehenge Bluestonehenge

Furtado 51

edra Dinas, Carn Goedog, Carn


e alinhamento com o

círculo máximo deve ter sido

ticamente primeiro, e depois disso as coordenadas foram

cálculos realizados com

e também deve


Inglaterra

Bluestonehenge

Furtado 52

Além disso, a latitude da Pedra Dinas está em relação matemática com a

latitude de Stonehenge. Na Figura 31, observe que a razão da fração com a

latitude de Stonehenge (51,1788°) sobre o calendário egípcio (360 dias) é igual à

razão da fração com a latitude de Dinas (52,0114°)38 sobre o ano bissexto (366

dias). Ao longo do alinhamento com o círculo máximo (mostrado na Figura 30), a

Pedra Dinas deve ter sido erguida nesta latitude por causa de sua relação

matemática com a latitude de Stonehenge. Note que do contrário, a Pedra Dinas

poderia ter sido colocada mais perto ou mais longe da costa, em qualquer lugar

ao longo desse alinhamento com o círculo máximo.

Figure 31

A proporção matemática entre a latitude de Stonehenge e a latitude da

Pedra Dinas.

2.6 Ales, uma pedreira distante e um local de desembarque

Das 59 pedras em Ales 55 são presumivelmente pedras erráticas coletadas dos

arredores, enquanto quatro pedras foram identificadas por geológos como

quartzito oriundas de uma região localizada entre as cidades de Simrishamn e

Gilslövhammar. Existem vários afloramentos rochosos de quartzito entre

Simrishamn e Gilslövhammar, e o afloramento chamado Branteträsk, que contém

várias gravuras esculpidas no afloramento e também uma pedra erguida em

posição inclinada, foi identificado como a provável fonte das quatro pedras de

quartzito em Ales (Nils-Axel Mörner, 2012, 2014, 2015; Nils-Axel Mörner e Bob G.

Lind, 2010 e 2012).lxxviii Em linha reta, Branteträsk se encontra a aproximadamente

23 quilômetros a nordeste de Ales (Figura 32). Embora a rota e os métodos

empregados no transporte das pedras de Branteträsk não sejam conhecidos com

certeza, parece provável que os construtores de Ales tenham enviado as pedras 38 Fonte de latitude: Royal Commission on the Ancient and Historical Monuments of Wales; The Modern Antiquarian; e Google Earth.

�� (��,��°)

��á�� í�� (�� )=

�� (��,��°)

�� (�� )

por embarcação ao longo da costa

ambos adjacentes à costa; e

o transporte sobre a terra de mais de 25 quilômetros para menos de um

quilômetro. Além disso, Nils

provável local de desembarque

metros a sudeste de Ales (veja a Figura 32)

Figura 32

Mapa mostrando os locais de: Ales;

o provável local de desembarqu

Devido à ereção das pedras de Branteträsk em Ales, pode

locais estão agora geologicamente associados. A evidência apresentada a seguir

também mostra uma clara

podemos ver na Figura 33.1

Ales stenar

ao longo da costa pelas seguintes razões: Branteträsk e Ales são

e transportar as pedras por via aquática


quilômetro. Além disso, Nils-Axel Mörner e Bob G. Lind já identificaram um

desembarque perto de Ales, a uma distância de apenas 350

(veja a Figura 32).lxxix

Ales não está em escala

apa mostrando os locais de: Ales; o afloramento rochoso de Branteträsk; e

desembarque das pedras de Branteträsk perto de Ales

pedras de Branteträsk em Ales, pode-se dizer que os dois

geologicamente associados. A evidência apresentada a seguir

mostra uma clara relação matemática entre os dois locais

Figura 33.1, a longitude de Ales (17,0798°) está

Suécia

Ales stenar

Mar Báltico

Provável local de desembarque das pedras de Branteträsk

Branteträsk

Furtado 53

: Branteträsk e Ales são

teria reduzido


Axel Mörner e Bob G. Lind já identificaram um

perto de Ales, a uma distância de apenas 350

Ales não está em escala

de Branteträsk; e

perto de Ales.

se dizer que os dois

geologicamente associados. A evidência apresentada a seguir

dois locais. Como

está para o ano

Mar Báltico

rovável local de desembarque

Furtado 54

bissexto (366 dias), assim como a longitude de Branteträsk (16,7957°)39 está para

o calendário egípcio (360 dias). Na Figura 33.2, vemos que a longitude de Ales

está para o calendário egípcio (360 dias), assim como a longitude de Branteträsk

está para o calendário lunar (354 dias). Na Figura 33.3, a longitude de Branteträsk

está para o calendário egípcio (360 dias), assim como a longitude do provável

local de desembarque perto de Ales (17,0740°)40 está para o ano bissexto (366

dias).

Figure 33 As relações matemáticas entre as longitudes de Branteträsk, Ales e do provável local de desembarque das pedras de Branteträsk perto de Ales.

Proponho que os construtores de Ales (1) escolheram usar pedras de

Branteträsk por causa das relações matemáticas entre as longitudes de

Branteträsk e Ales (nas Figuras 33.1 e 33.2), (2) ergueram a pedra em Branteträsk

como um marcador para essas relações matemáticas, (3) também ergueram as

quatro pedras de Branteträsk em Ales como um marcador dessas relações

matemáticas, e (4) escolheram o local de desembarque perto de Ales também de

acordo com uma relação matemática com a pedreira de Branteträsk (Figura 33.3).

39 Branteträsk situa-se a 55,5103 graus norte do equador e 14,3385 graus leste de Greenwich (fonte de coordenadas; Google Earth; veja Mörner 2012, 2014, 2015). Portanto, Branteträsk está a 16,7957 graus oeste do meridiano da Grande Pirâmide (31,1342° - 14,3385° = 16,7957°).

40 A longitude do provável local de desembarque é 14,0602 graus leste de Greenwich (fonte de coordenadas: Google Earth; veja Mörner 2012, 2014, 2015), portanto, 17,0740 graus oeste do meridiano da Grande Pirâmide (31,1342° - 14,0602° = 17,0740°).

33.1 �� (��,��°)

�� (�� ) =

�� ä�� (��,��°)

��á�� í�� (�� )

33.2 �� (��,��°)

��á�� í�� (�� ) =

�� ä�� (��,��°)

��á�� (�� )

33.3 ��.�� ä�� (��,��°)

��á�� í�� (�� )=

��. �� (��,��°)

�� (�� )

Furtado 55

As pedras de Branteträsk que se encontram erguidas em Ales, bem como

as pedras azuis em Stonehenge e as pedras de Aswan na Grande Pirâmide, devem

ter sido transportadas por via aquática. Como mencionado, transportar as pedras

de Branteträsk por via aquática teria reduzido o transporte sobre a terra de mais

de 25 quilômetros para menos de um quilômetro. No caso de Stonehenge, se as

pedras azuis tivessem sido transportados por terra das montanhas Prescelly para

Stonehenge, as pedras teriam sido transportadas por uma distância de

aproximadamente 400 quilômetros; o envio das pedras por via aquática teria

reduzido o transporte sobre a terra para menos de 20 quilômetros. No caso da

Grande Pirâmide, as pedras usadas na Câmara do Rei e em suas camâras de alívio

são oriundas de Aswan, que se encontra aproximadamente 700 quilômetros ao

sul da Pirâmide. A Grande Pirâmide e as pedreiras de Aswan são adjacentes ao rio

Nilo e as pedras de Aswan foram presumivelmente transportadas rio abaixo;

enquanto não há registros conhecidos para a construção da Grande Pirâmide

especificamente, há registros que evidenciam que os egípcios antigos

transportaram outros megálitos por via aquática.lxxx

Embora em cada um desses casos a rota e os métodos empregados no

transporte das pedras sejam incertos, parece razoável concluir que as tecnologias

conhecidas de terem sido empregadas pelos egípcios antigos também estavam

disponíveis para os construtores de Stonehenge e Ales. Como argumentado ao

longo deste trabalho, as relações matemáticas entre as coordenadas e as

dimensões desses monumentos megalíticos indicam que deve ter havido alguma

forma de contato entre os egípcios antigos e os construtores desses recintos

megalíticos.

2.7 Eventos remotos e datas sincrônicas (Parte 2)

A Revolução Neolítica41 começou por volta de 6000 A.C. no Egito, e por volta

de 4000 A.C. começou tanto nas Ilhas Britânicas quanto na Península Escandinava.

Nas Ilhas Britânicas, a revolução neolítica provavelmente foi trazida por colonos

da Europa continental: o crescimento populacional da Grã-Bretanha entre 4100 e

41 A Revolução Neolítica, ou Transição Demográfica Neolítica (as vezes chamadade Revolução Agrícola), foi a transição em grande escala do estilo de vida de caçador-coletor e nômade para uma vida agrícola e sedentária, tornando possível o crescimento populacional.

Furtado 56

3400 A.C. sugere uma migração em grande escala do continente, e de

3400 A.C. em diante, o regionalismo cultural foi substituído por estilos mais

uniformes em artefatos e construção em toda a Grã-Bretanha.lxxxi A construção

de Bluestonehenge é datada aproximadamente na mesma época, por volta de

3400 A.C.lxxxii A data de ereção da Pedra Dinas é desconhecida, mas outros

monumentos megalíticos nas proximidades de Dinas—incluindo o maior dólmen42

megalítico no País de Gales—datam de cerca de 3500-3400 A.C.lxxxiii

Embora a construção de Ales seja datada muito mais tarde (entre 1500 A.C. e

600 D.C.), atividade megalítica adjacente a Ales é também datada por volta de

3500 A.C.lxxxiv Um dólmen situado a 40 metros ao leste da Pedra da Popa de Ales,

bem como uma fogueira situada a apenas um metro ao norte da Pedra da Proa,

são ambos datados por volta de 3500 A.C.lxxxv As pedras que compunham o

dólmen não estão mais no local, mas as impressões deixadas no solo indicam que

eram pedras muito grandes; o arqueólogo Bengt Söderberg sugere que essas

pedras estão agora erguidas em Ales (Söderberg, 2012). As pedras que

compunham o dólmen eram provavelmente pedras erráticas coletadas dos

arredores, porque as quatro pedras de Branteträsk foram transportadas para Ales

muito mais tarde; atividades na pedreira Branteträsk e também no provável local

de desembarcação das pedras perto de Ales são datados por volta de 800 A.C.lxxxvi

As datas desses e de outros eventos na Península Escandinava, nas Ilhas

Britânicas e no Egito Antigo claramente coincidem. Nas Ilhas Britânicas e na

Península Escandinava, a Revolução Neolítica começou aproximadamente na

mesma época, por volta de 4000 A.C. Alguns séculos depois, por volta de 3600-

3400 A.C., atividades megalíticas adjacente a Ales, Stonehenge e a Pedra Dinas

começaram. Por volta de 3200-3000 A.C., os reinos do Alto e do Baixo Egito são

unificados em um único reino, iniciando o período conhecido como o Período

Arcaico, e por volta de 3000 A.C. a construção de Stonehenge 1 (a vala-e-banco)

começou.

42 Os dólmens são monumentos megalíticos que serviam como túmulos coletivos. Os dólmens consistem de uma câmara sepulcral formada por duas ou mais pedras erguidas na posição vertical, e sobre elas, em posição horizontal, uma ou mais pedras formam o teto da câmara. Os dólmens são a estrutura megalítica mais difundida na Europa. O dólmen mencionado acima é chamado Pentre Ifan.

Furtado 57

Por volta de 2680-2650 A.C., o período conhecido como o Imperío Antigo

do Egito começou. Por volta de 2550 A.C., de acordo com a a cronologia egípcia

convencional, a Grande Pirâmide foi construída. E por volta de 2600-2500 A.C.

a Aldeia Neolítica perto de Stonehenge foi construída, as pedras azuis são

removidas de Bluestonehenge e levadas para Stonehenge, e a construção de

pedras azuis e pedras sarsen em Stonehenge começaram.

Por volta de 1650 A.C., os hicsos invadiram o Egito, encerrando o período

conhecido como Império Médio do Egito. Por volta de 1600-1500 A.C., atividades

de construção em Stonehenge chegaram ao fim. Por volta de 1550 A.C. os hicsos

foram expulsos do Egito e o período conhecido como o Império Novo do

Egito começou. E por volta de 1500 A.C. a construção de Ales começou.lxxxvii

Dadas as inúmeras outras semelhanças e as relações matemáticas entre esses

monumentos, a simultaneidade entre as datas dessas construções e as datas

desses eventos não são meras coincidências.

A sincronia entre as datas de construção desses monumentos e de grandes

eventos no Egito Antigo, em conjunto com as relações matemáticas entre as

coordenadas e as dimensões desses mesmos monumentos indicam que deve ter

havido alguma forma de conexão entre os egípcios antigos e os construtores

desses recintos megalíticos.

R. P. T. Furtado New York, novembro de 2018

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Apêndices

Apêndice 1: A teoria da inclinação da aresta (subcapítulo 2.2, Figura 13)

A teoria da inclinação da aresta descreve a proporção entre

Pirâmide e sua altura. Os comprimentos

acordo com a pesquisa de J.H. Cole (Cole, 1925), são mostrad

A teoria da inclinação da aresta é calculada nas figuras A

das meia-diagonais da Pirâmide

146,60 metros. A diferença entre

(146,64 metros) é de somente quatro

2.2, usando a altura da Pirâmide como ponto de partida

novamente apresenta apenas 4 centimetros de diferença

meia-diagonais, e dentro dos valores das quatro me

162,97 metros).

A-2.1 �é��

A-2.2 �� (��

Figura A-2 A geometria da Grandearesta

Meia-diagonal noroeste (N-O

Meia-diagonal nordeste (N-E

Meia-diagonal sudoeste (S-O

Meia-diagonal sudeste (S-E

Média das meia-diagonais = 162,89 metros

Altura = 146,64 metros

Figura A-1 Os comprimentos das meiacom a pesquisa de J. H. Cole (Cole, 1925)

A teoria da inclinação da aresta (subcapítulo 2.2, Figura 13)

A teoria da inclinação da aresta descreve a proporção entre a metade da diagona

Os comprimentos das meia-diagonais e da altura da Grande Pirâmide, de

de J.H. Cole (Cole, 1925), são mostrados na Figura A-1.

A teoria da inclinação da aresta é calculada nas figuras A-2.1 e A-2.2. Na Figura

da Pirâmide (162,89 metros) dividido por 10 e multiplicado por

rença entre esse resultado (146,60 meters) e a altura da Grande Pirâmide

quatro centimetros (menos de 0,03% de diferença

Pirâmide como ponto de partida, o resultado é 162

enas 4 centimetros de diferença (menos de 0,03%) para

dentro dos valores das quatro meia-diagonais (que medem de

�� (��,�� )

�� x 9 = 146,60 metros

��,�� )

� x 10 = 162,93 metros

nde Pirâmide de acordo com a teoria da inclinação da

O) = 162,89 metros

E) = 162,82 metros

O) = 162,88 metros

E) = 162,97 metros

diagonais = 162,89 metros

Os comprimentos das meia-diagonais e da altura da Grande Pirâmide de acordo Cole (Cole, 1925)

N-O

S-O

N-E

S-E

Furtado 58

diagonal da Grande

da Grande Pirâmide, de

2.2. Na Figura A-2.1 a média

cado por 9 é igual a

60 meters) e a altura da Grande Pirâmide

de diferença). Na Figura A-

162,93 metros que

para a média das

que medem de 162,82 a

146,60 metros

inclinação da

da Grande Pirâmide de acordo

Furtado 59

Apêndice 2: A teoria de pi (subcapítulo 2.2, Figura 15)

A equação para a teoria de pi descreve a proporção entre a altura da Grande Pirâmide e o

comprimento de sua base. A altura da Grande Pirâmide e os comprimentos dos quatro lados de

sua base—de acordo com a pesquisa de J.H. Cole (Cole, 1925)—são mostrados na Figura A-3.

A teoria de pi é calculada nas Figuras A-4.1 e A-4.2. Na Figura A-4.1 a média dos

comprimentos da base da Pirâmide (230,36 metros) dividido por meio pi é igual a 146,65

metros. A diferença entre esse resultado (146,65 metros) e a altura da Grande Pirâmide (146,64

meters) é de somente um centimetro (menos de 0,01% de diferença). Na Figura A-4.2, usando a

altura da Grande Pirâmide como ponto de partida, o resultado é 230,34 metros, somente dois

centimetros de diferença (também menos de 0,01% de diferença) do valor estabelicido por J. H.

Cole em sua pesquisa.

A-4.1 �é�� (��,�� )

½ � = 146,65 metros

A-4.2 altura (146,64 metros) X ½ π = 230,34 metros

Figura A-4 A geometria da Grande Pirâmide de acordo com a teoria de pi

N

Base norte (N) = 230,25m Base oeste (O) = 230,35m Base sul (S) = 230,45m Base leste (L) = 230,39m O L

Média das bases = 230,36m

Altura = 146,64m

S

Figura A-3

O Comprimento dos lados da base da Grande Pirâmide de acordo com a pesquisa

de J. H. Cole (Cole, 1925)

Furtado 60

Apêndice 3: A teoria do triângulo de Kepler (subcapítulo 2.2, Figura 16)

A teoria do triângulo de Kepler descreve a proporção entre o apótema da Grande Pirâmide

em relação a metade do comprimento de sua base. Os comprimentos dos apótemas e das

metades de sua base—de acordo com a pesquisa de J. H. Cole (Cole, 1925)—são mostradas na

Figura A-5.

A teoria do triângulo de Kepler é calculado nas Figuras A-6.1 e A-6.2. Na Figura A-6.1 a

média dos apótemas (186,46 metros) dividido por fi é igual a 115,24 metros. Esse resultado

(115,24 metros) difere da metade da média das bases (115,18 metros) por 6 centimeters

(aproximadamente 0,05%). Na Figura A-6.2, usando a metade da média das bases (115,18

meters) como ponto de partida, o resultado é 186,36 metros, que difere por 10 centimetros

(outra vez por volta de 0,05%) do valor médio dos apótemas (186,46 meters).

A-6.1 ��ó�� é�� (��,�� )

�= 115,24 metros

A-6.2 média das metades da base (115,18 metros) x � = 186,36 metros

Figura A-6

A geometria da Grande Pirâmide de acordo com a teoria do triângulo de Kepler

Metade das bases Apótemas Base norte = 230,25 metros ÷2= 115,12 metros Apótema norte = 186,55 metros Base oeste = 230,35 metros ÷2= 115,17 metros Apótema oeste = 186,45 metros Base sul = 230,45 metros ÷2= 115,22 metros Apótema sul = 186,38 metros Base leste = 230,39 metros ÷2= 115,19 metros Apótema leste = 186,46 metros

Média das bases = 230,36 metros ÷2= 115,18 metros Média dos apótemas = 186,46 metros Altura = 146,64m

Figura A-5

Os comprimentos dos apótemas, metade das bases, e altura da Grande Pirâmide de

acordo com a pesquisa de J. H. Cole (Cole, 1925)

Furtado 61

Apêndice 4: A proporção entre a aresta da Grande Pirâmide e o comprimento de Ales da

Pedra da Proa até a Pedra do Leme (Subcapítulo 2.2, Figure 17.1)

Os comprimentos das arestas da Grande Pirâmide—de acordo com a pesquisa J. H. Cole

(Cole 1925)—são mostradas na Figura A-7. O comprimento de Ales da Pedra da Proa até a

Pedra do Leme—de acordo com Söderberg, Mörner e Lind, e o Swedish National Heritage

Board—é 69,8 metros (Söderberg, 2012, p.15; Mörner e Lind 2012, p.1; Magnus Andersson et

al., 2013, p.11).

Na Figura A-8.1 o valor médio da aresta da Grande Pirâmide (219,17 metros) dividido por pi

é igual a 69,76 metros. A diferença entre esse resultado (69,76 metros) e o comprimento de

Ales (69,8 meters) é de somente quatro centimetros (uma diferença de aproximadamente

0,05%). Na Figura A-8.2, usando o comprimento de Ales (69,8 meters) como ponto de partida, a

diferença entre o resultado (219,28 metros) e o valor médio da aresta (219,17 metros) é de 11

centimetros (outra vez uma diferença de cerca de 0,05%).

A-8.1 aresta da Grande Pirâmide (219,17 metros)

� = 69,76 metros

A-8.2 comprimento de Ales (69,8 metros) x π = 219,28 metros

Figure A-8

As proporções entre a aresta da Grande Pirâmide em relação ao comprimento de

Ales da Pedra da Proa até a Pedra do Leme

Aresta noroeste = 219,17 metros

Aresta sudoeste = 219,16 metros

Aresta sudeste = 219,23 metros

Areste nordeste = 219,12 metros

Média das arestas = 219,17 metros

Figura A-7

O comprimento das arestas da Grande Pirâmide

Furtado 62

Apêndice 5: A proporção entre a aresta da Grande Pirâmide e o comprimento de Ales desde a

Pedra da Proa até a Pedra da Popa (subcapítulo 2.2, Figura 17.2)

A média do comprimento da aresta da grande Pirâmide é 219,17 metros (veja Figura A-7).

De acordo com Malmström, Lind, e o Swedish National Heritage Board, o comprimento de Ales

da Pedra da Proa até a Pedra da Popa é aproxidamente 68 metros (Malmström, 2008, p.8; Lind,

1996, Ales stenar: The Sun Ship’s design; Trinks et al., 2012, p.5). Na Figura A-9.1 o valor médio

da aresta da Grande Pirâmide (219,17 metros) dividido por 2 fi é igual a 67,72 metros.

A diferença entre esse resultado (67,72 meters) e o comprimento de Ales (68 metros) é de 28

centimetros (aproximadamente 0,4% de diferença). Na Figura A-9.2, usando o comprimento de

Ales (68 metros) como ponto de partida, o resultado (220,05 metros) difere por

aproximadamente 0,4% do valor médio da aresta da Pirâmide (219,17 metros).

Apêndice 6: A proporção entre a altura da Grande Pirâmide e a circunferência de Stonehenge

(subcapítulo 2.2, Figura 17.3)

A altura da Grande Pirâmide é 146,64 metros (Cole, 1925). A circunferência interna do anel

de Stonehenge, de acordo com Flinders Petrie, é 93,19 metros (Petrie, 1880, p.23; veja Michell,

2008, p.29). Na Figura A-10.1 a altura da Grande Pirâmide (146,64 metros) dividido por meio-pi

é igual a 93,35 metros. A diferença entre esse resultado (93,35 metros) e a circunferência

interna de Stonehenge (93,19 metros) é de aproximadamente 0,2%. Na Figura A-10.2, usando a

circunferência de Stonehenge (93,19 metros) como ponto de partida, a diferença entre o

resultado desta equação (146,38 metros) e a altura da Grande Pirâmide (146,64 meters)

também é de aproximadamente 0,2%.

A-10.1 �� â�� (��,�� )

½ � = 93,35 metros

A-10.2 circunf. interna do anel de Stonehenge (93,19 metros) x ½ π = 146,38 metros

Figure A-10 As proporções entre a altura da Grande Pirâmide e a circunferência interna do anel de Stonehenge

A-9.1 aresta da Grande Pirâmide (219,17 metros)

2ɸ = 67,72 metros

A-9.2 comprimento de Ales (68 metros) x 2ɸ = 220,02 metros

Figure A-9 As proporções entre a aresta da grande Pirâmide e o comprimento de Ales da Pedra da Proa até a Pedra da Popa

Furtado 63

Apêndice 7: As proporções da Grande Pirâmide em relação ao valor de 2 fi (subcapítulo 2.2,

nota de rodapé 33)

O valor da soma dos quatro apótemas da Grande Pirâmide (usando os valores da pesquisa de

J. H. Cole, mostrados na Figura A-5) é 745,84 metros. A soma dos quatro apótemas (745,84

metros) dividido por 2 fi é igual a 230,47 metros. A diferença entre esse resultado (230,47

metros) e o valor médio da base da Pirâmide (230,36 metros—Figura A-3) é menos de 0,05%.

_____________________________________________________

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sumário dos capítulos 1 e 2 do livro megalitismo matemático · dos recintos, bem como o...

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