subespaço, base e dimensão sejam uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo...
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Subespaço, base e dimensão
Sejam uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo
m nA nW 0.Ax
(a) Se e pertencem a , então também pertencem a .
xy
W x y
W
(b) Se pertence a , então também pertence a para todo escalar .
x
W x W
O espaço solução do é um subespaço de . ou
0Ax n
Exemplos páginas 150-151
0Ax
Todo subespaço é espaço solução de .
Definição (Geração de um Subespaço)
Seja um subespaço de , dizemos que:W n
Os vetores pertencem a , geram ; ou
1,..., kv v
W W
é um conjunto de geradores de ; ou
W 1,..., kv v
é o subespaço gerado por ;W 1,..., kv v
Se qualquer vetor de é combinação linear de . W 1,..., kv v
Exemplo 1:
Sejam e vetores , tais que é um conjunto de geradores de , qualquer é combinação linear de e .
1 1,2v 2 2,3v
1 2,v v
2W v W
1v
2v
1 2v v v
p/ e 1
1
1v
2v
1 2
2
x
y
3
1 p/
1v
2v
1 2
2
x
y
3
2
11v
2v
1 p/
1v
2v
1 2
2
x
y
3
2
1v
2v
3/ 2
p/
1
1
1
2 p/
p/ 2
1v
2v
1 2
2
x
y
3
2
4
3
1v
2v
1 p/
1v
2v
1 2
2
x
y
3
P/ 0
2v
2 p/
4
6
Teorema I: Seja subespaço de e um conjunto de vetores de que:
WW
n 1,..., mv v
i são L.I
ii Geram W
Então, um conjunto com mais de m vetores em é L.D.W
Exemplo 2: Um conjunto com m vetores em será L.D se m>n.n( Ex: m=3 e n=2 )
x
y
x
y
x
y
x
y
Definição (Base) : Seja um subespaço de , dizemos
que um subconjunto de é uma base de , se : W n
1,..., kv v W W
1,..., kv v i é um conjunto de geradores de ; e W
ii 1,..., kv v
é L.I
Seja uma reta que passa pela origem. Como o vetor diretor é não nulo e gera todos os pontos da reta, então ` é uma base de
, , , , W x y z t a b c t , ,v a b c
v
W
Exemplo 3:
v
v
v
x
y
Exemplo 4:
Seja um plano que passa pela origem . Encontre uma base para o plano
3, , 0W x y z ax by cz W
Um ponto satisfaz a equação se e somente se
, ,P x y z 0ax by cz
0ax b c z y e
ax b c b c
xa a
1
x b ca
Para todo e para ., 0a
Assim, o plano pode ser descrito comoW
1, , ,W b c
a
Ou pode ser escrito como uma soma de vetores
, ,b c
a a
,0,1 ,1,0c b
a a
O que equivale a:
1 2 ,v v v
tal que v W
Logo é uma base do plano , pois é combinação linear de e ; e e são L.I.
1 2,v v
W v
1v
2v
1v
2v
Em um conjunto com mais de n vetores é L.D.n
L.I L.D
Máx de L.IMín de geradores
Dimensão