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REGRESSÃO ESPACIAL

Flávia F. Feitosa

BH1350 – Métodos e Técnicas de Análise da Informação para o PlanejamentoJulho de 2015

Análise de regressão é uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada ( Y variável resposta/ saída/dependente) pela outra ou outras (X variáveis indicadoras/ preditoras/ explicativas/ independentes).

Y = aX + b

NETER J. et al. Applied Linear Statistical Models. Boston, MA: McGraw-Hill, 1996.

ANÁLISE DE REGRESSÃO

1. Seleção e Preparação das Variáveis

2. Escolha e Ajuste do Modelo de Regressão

3. Diagnóstico para verificar se o modelo ajustado é adequado

Ajuste do modelo (R2, Teste F, Testes t para coef., etc.)

Multicolinearidade (FIV)

Análise dos Resíduos

Etapas da Análise de Regressão

Se modelo for adequado, resíduos devem refletir as propriedades impostas pelo termo de erro do modelo.

LINEARIDADE DO MODELO


Não Linearidade

0

X

Res

íduo

NORMALIDADE DOS RESÍDUOS: Suposição essencial para que os resultados do ajuste do modelo sejam confiáveis.


Outros diagnósticos: Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov

HOMOCEDASTICIDADE (Variância Constante)


Outros diagnósticos: Teste de Breush-Pagan, Goldfeld-Quandt

0

X

Variância Não Constante

Res

íduo

PRESENÇA DE OUTLIERS

Gráfico resíduos padronizados vs. Valores Ajustados


Pontos Influentes: DFFITS, DFBETA, Distância de Cook.

INDEPENDÊNCIA

Gráfico resíduos padronizados vs. Valores Ajustados


Outros Diagnósticos: Teste de Durbin-Watson

Autocorrelação espacial: Mapa dos resíduos, Índice de Moran

X

0

Erros Correlacionados

Res

íduo

MODELO ADEQUADO


0

Res

íduo

X

DADOS ESPACIAISCaso a hipótese de independência espacial das observações seja FALSA DEPENDÊNCIA ESPACIAL

EFEITOS ESPACIAIS: Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa)


Como verificar? Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da

regressão (ex. Índice de Moran dos resíduos)

Dica para o trabalho final do curso

• Exportar tabela com os resíduos do modelo de regressão (SPSS)• Unir esta tabela com o shapefile original (“join” no QGIS) e

visualizar os resíduos (Mapa dos resíduos)• Os resíduos estão espacialmente correlacionados? Calcular o Índice

de Moran dos Resíduos no GeoDa (com teste de pseudo-significância)


São José dos CamposCrescimento Populacional 91-00 X Densidade Populacional 91

1. Mapear os resíduos da regressão – índícios de correlação

2. Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0,45

3. Testes de pseudo-significância indicam autocorrelação espacial significativa

Exemplo

As observações não são independentes espacialmente.

Portanto... temos uma violação das nossas premissas.

Dependendo da natureza da dependência, parâmetros estimados pelo método dos mínimos quadrados será ineficiente ou inconsistente.

E agora?

Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais

Autocorrelação Espacial Constatada!!!

Incorpora a estrutura de dependência espacial no modelo

PREMISSA: Assumimos que conhecemos a estrutura de dependência

espacial (ela não é estimada) Premissa forte? Sim! Porém não tão forte quanto assumir que todas as

observações são independentes espacialmente Matrizes de ponderação tipicamente consideradas:

contiguidade (queen, rook...) ou distância (n vizinhos mais próximos...)

Regressão Espacial

Podem ser globais ou locais

Globais: inclui no modelo de regressão um parâmetro para capturar a estrutura de autocorrelação espacial na área de estudo como um todo.

Locais: parâmetros variam continuamente no espaço

Regressão Espacial

Global LocalEstatísticas dizem respeito à região como um todo (1 valor)

Disagregações locais das estatísticas globais (Muitos valores)

Estatísticas globais e não mapeáveis

Estatísticas locais e mapeáveis

Ênfase nas similaridades da região Ênfase nas diferenças ao longo do espaço

Procura regularidades ou “leis” Procura por exceções ou “hot-spots” locais

Ex.: Regressão Clássica, Spatial Lag, Spatial Error

Ex.: GWR, Regimes Espaciais

Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.

Global vs. Local

PREMISSAÉ possível capturar a estrutura de correlação espacial num

único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão).

Alternativas Spatial Lag Models (SAR): atribuem a autocorrelação

espacial à variável resposta Y. (Spatial Autoregressive Modeling)

Spatial Error Models (CAR): atribuem a autocorrelação ao erro. (Conditional Autoregressive Modeling)

Modelos com Efeitos Espaciais Globais

PREMISSA: A variável Yi é afetada pelos valores da variável resposta nas áreas vizinhas a i.

Y = WY + X +

= coeficiente espacial autoregressivo - medida de correlação espacial ( = 0, se autocorrelação é nula - hipótese nula)

W = matriz de proximidade espacialWY expressa a dependência espacial em Y

Exemplo: Valor dos imóveis

Modelo Spatial Lag

Modelo Spatial Error

PREMISSA: As observações são interdependentes graças a variáveis não mensuradas, e que são espacialmente correlacionadas

Ou seja: efeitos espaciais são um ruído!

Por que ele ocorre? Porque não conseguimos modelar todas as características de uma unidade geográfica que podem influenciar as regiões vizinhas.

Assume que, se pudéssemos adicionar as variáveis certas para remover o erro do modelo, o espaço não importaria mais.

MODELO: Y = X + = W + ξ

W = erro com efeitos espaciais = medida de correlação espacialξ = componente do erro com variância constante e não

correlacionada.

Modelo Spatial Error

DIAGNÓSTICO PARA AUXILIAR NA ESCOLHA DE UM MODELO OU OUTRO

Testes Multiplicadores de Langrange (Langrange Multiplier Tests, Anselin et al. 1996)

Executa regressão dos resíduos em relação às variáveis originais e aos resíduos das áreas vizinhas

LM-Lag: testes para dependência em relação às variáveis originais nas áreas vizinhas – lag dependence

LM-Error: testes para dependência em relação aos resíduos nas áreas vizinhas - error dependence

Spatial Lag & Spatial Error

Motivações diferentes, porém próximos em termos formais.

Ambos partem do pressuposto de que o processo espacial analisado é estacionário

e pode ser capturado em um único parâmetro.

Spatial Lag & Spatial Error

Porém isto nem sempre é verdade!

É importante verificar se padrões diversos de associação espacial estão presentes.

Uma Solução Exploratória:

Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial

Distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão

Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)

Não significantes

p = 0.05 [95% (1,96s)]p = 0.01 [99% (2,54s)]p = 0.001 [99,9% (3,2s)]

% Exclusão

Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais DISCRETOSVariações espaciais modeladas de maneira discreta.

Regimes Espaciais

Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais CONTÍNUOSVariações espaciais modeladas de forma contínua, com

parâmetros variando no espaço.

Geographically Weighted Regression – GWR. [Regressão Geograficamente Ponderada]

Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

Modelos com Efeitos Espaciais Locais

A ideia é regionalizar a área de estudo obtendo sub-regiões com seu padrão próprio.

Realizar regressões separadas para cada sub-região.

Regimes Espaciais

Regionalizações da área de estudo

Diferentes tipos de variabilidade espacial

Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais – regionalização tipo k-medias espacial

Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão

Regimes Espaciais

Análise de Regressão: Idosos = f (Domicílios Sem Esgoto)

Regressão LinearR2 = 0,35

Regressão EspacialRegiões Adm (R2 = 0,72)Regimes Espaciais (R2 = 0,83)

Para dados socioeconômicos: modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados

melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais.

Impacto de Regimes Espaciais

1. Análise gráfica dos resíduos2. Mapear os resíduos – concentração de resíduos

negativos ou positivos em parte do mapa indica presença de autocorrelação espacial

3. Índice de Moran dos resíduos4. Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos

baseados no coeficiente de determinação (R 2) serão incorretos.

5. Utilização do AIC – critério de informação de Akaike , a avaliação do ajuste é penalizada por função do número de parâmetros (é preferível o modelo com o menor valor AIC).

Diagnóstico de Modelos de Efeitos Espaciais

Longevidade X Renda

Regressão Simples

Spatial Lag Regimes Espaciais

R2 ajustado 0.280 0.586 0.80

AIC 379.84 306.51 260.09

Indice Moran dos resíduos

0.620 0.01 0.020

Comparação das Regressões

Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância a este ponto.

Y(i) = (i)X +

Y(i): variável que representa o processo no ponto i.(i): parâmetros estimados no ponto i.

Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

GWR – Geographically Weighted Regression

y = b0 + b1x1 + e regressão “clássica”simples com um preditor

b0 , b1 é o mesmo para toda área

Se existe alguma variação geográfica na relação essa variação fica incluída como erro.


y(i) = b0(i) + b1(i) x1 + e(i) GWR

b0(i), b1(i) para cada ponto i do espaço há um b0 e b1 diferentes

Existe uma função (kernel) sobre cada ponto do espaço que determina todos os pontos da regressão local que é poderada pela distância. Pontos mais próximos do ponto central tem maior peso.

Assim como no kernel – a escolha da largura da banda é importante (pode ser fixa ou adaptável à densidade dos dados)


Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.

LARGURA DE BANDA

FUNÇÃO DE PONDERAÇÃO


Modelos Locais vs. Modelos Globais

Mesmas técnicas de análise do ajuste do modelo, porém comparação é problemática

GWR apresentará sempre melhores ajustes pois envolve o ajuste de muito mais parâmetros

Sugestão: medida AIC, que leva em consideração a complexidade do modelo.

Ajuste do Modelo GWR

Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis.

Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora)


Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora)Mapa de resíduos (I = 0,04) :


Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita (preditora)

CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de 2013. Bento Gonçalves, RS.

Distribuição espacial de consumo residencial de água e renda da população em 2010. Fonte: SNIS (2010) e IBGE (2010).

EXEMPLO

Cons

umo

de Á

gua

per C

apita

(m

3/di

a/an

o)

Renda per Capita (R$)

Análise Exploratória

Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora)


MODELO DE REGRESSÃO LINEAR GLOBAL

Var iável β Desvio Padrão

Estatística t

(constante) 4,25.(10-3) 4,55.(10-4) 9,3 RENDA 41.(10-6) 8,2.(10-7) 49

Coeficiente de determinação: R2 = 0,36 Teste F: F = 2499,1

Mas será que esta relação, entre consumo de água e renda, ocorre da mesma

maneira em todo o país???

O ESPAÇO IMPORTA!!!


GWR:





Os menores coeficientes estimados para a variável RENDA foram observados em municípios do Estado do Rio Grande do Sul ...

....e os maiores em Alagoas.





Região do Município de Traipu (AL) maior coeficiente estimadoUm aumento de R$ 1 na renda per capita da população está associado a um incremento do consumo de água de 100,3 ml/dia/hab.

Região do município de Floriano Peixoto (RS) um dos menores coeficientes significativos (t-valor > 1,96): Um aumento de R$ 1 na renda per capita da população está associado a um aumento do consumo de 10,22 ml/dia/hab.

Hipóteses???


De maneira geral, as regiões apresentadas como aquelas onde a elevação da renda está relacionada a um maior incremento do consumo (áreas mais escuras) tendem a coincidir com as áreas onde o aumento do poder de consumo – que acompanhou o recente processo de estabilização econômica, crescimento econômico e ampliação dos programas redistributivos – apresentou os maiores impactos na redução da pobreza e extrema pobreza do país.

Considerações sobre os Resultados


São regiões onde a redução da pobreza ampliou de maneira expressiva o acesso a recursos básicos para a manutenção de vida desta população, entre eles a água potável.

Já em regiões como a Sul, caracterizada por níveis mais elevados de renda, um aumento na renda tende a gerar um impacto menor no aumento do consumo de bens essenciais como a água e, provavelmente, maior no consumo de bens de outra natureza.

Considerações sobre os Resultados

Spatial Regression Analysis: A Workbook (Luc Anselin): http://geodacenter.asu.edu/system/files/rex1.pdf

Fitting and Interpreting Spatial Regression Models: An Applied Survey (Roger Bivand): http://www.nek.lu.se/ryde/NordicEcont09/Papers/bivand.pdf

Tutoriais

http://geodacenter.asu.edu/system/files/rex1.pdf

http://www.nek.lu.se/ryde/NordicEcont09/Papers/bivand.pdf

GeoDa Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error)

SPRING e TerraviewÍndice de Moran, LISA map

GWR 4.0GWR

Softwares

PRÁTICARegressão Espacial

Spatial Lag e Spatial Error com o Software GeoDa GWR com o Software GWR 4.0

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