Solucoes da Lista de Exerccios

Unidade 4

1. a) Como 4! = 24 e 24 = 16, de fato temos n! > 2n para n = 4.Suponhamos que a desigualdade valha para algum n 4, ou sejan! > 2n. Multiplicando os dois lados da desigualdade por n + 1,obtemos (n+1)! > (n+1)2n > 2.2n = 2n+1 (a ultima desigualdadevale porque n + 1 > 2 para todo n 4). Logo, a desigualdadetambem vale para n+ 1. Portanto, por inducao, ela e valida paratodo n 4.

b) Como 7! = 5040 e 37 = 2187, de fato temos n! > 3n para n = 7.Suponhamos que a desigualdade valha para algum n 7, ou sejan! > 3n. Multiplicando os dois lados da desigualdade por n + 1,obtemos (n+1)! > (n+1)3n > 3.3n = 3n+1 (a ultima desigualdadevale porque n + 1 > 3 para todo n 7). Logo, a desigualdadetambem vale para n+ 1. Portanto, por inducao, ela e valida paratodo n 7.

c) Como1

3+

1

4=

7

12>

13

24, a desigualdade vale para n = 2.

Suponhamos que ela seja valida para algum n 2, ou seja,1

n+ 1+

1

n+ 2+ + 1

2n>

13

24. Subtraindo

1

n+ 1e somando

1

2n+ 1+

1

2n+ 2a ambos os lados da desigualdade, obtemos

1

n+ 2+

1

n+ 2+ + 1

2(n+ 1)>

13

24+

1

2n+ 1+

1

2n+ 2 1n+ 1

=

13

24+

2(n+ 1) + (2n+ 1) 2(2n+ 1)2(n+ 1)(2n+ 1)

=13

24+

1

2(n+ 1)(2n+ 1)>

13

24. Logo, a desigualdade tambem e valida para n+ 1. Portanto,

por inducao, ela e valida para todo n 2.d) Como 1 + 2

2 < 4 = 22, a desigualdade vale para n = 2. Ela

tambem vale para n = 3, ja que 1 + 3

22 < 23. Suponhamosque ela seja valida para algum n 3, ou seja, 2n > 1 + n2n1.Multiplicando os dois lados da desigualdade por 2, obtemos 2n+1 >

1

2(1 + n

2n1) = 2 + n

2

2n. Mas, para todo n 3, temosn

2 = n+ (

2 1)n > n+ 0, 4n > n+ 1. Logo, a desigualdadetambem vale para n + 1. Portanto, por inducao, a propriedadevale para todo n 2.

2. Certamente a propriedade vale para n = 2: basta 1 = 2.3 3 pesagempara determinar o mais leve e o mais pesado. Suponhamos que 2n 3pesagens sejam suficientes para determinar o mais leve e o mais pesadodentre objetos a1, a2, . . . , an (onde n 2 ) e suponhamos que um objetoadicional an+1 seja acrescentado. Com 2n 3 pesagens, determinamoso mais leve e o mais pesado dentre a1, a2, . . . , an. Com duas pesagensadicionais, comparamos estes dois objetos com o adicional, determi-nando o mais leve e o mais pesado dentre os n + 1 objetos, utilizandono total 2n 3 + 2 = 2(n + 1) 3 pesagens. Logo, a propriedadetambem vale para conjuntos com n+1 objetos. Portanto, por inducao,vale para conjuntos com n objetos para todo n 2.

3. Nao e possvel tomar n < 42 porque nao existem inteiros nao negativosx e y tais que 7x + 8y = 41 (basta verificar diretamente para y =0, 1, . . . , 5). Por outro lado, 7.6 + 8.0 = 42, mostrando que 42 pode serescrito nesta forma. Suponhamos que, para um certo n 42, existaminteiros x e y tais que 7x+8y = n. Se x 1, entao x1 0 e podemosobter n+ 1 como 7(x 1) + 8(y+ 1) = 7x+ 8y+ 1 = n+ 1. Por outrolado, quando x = 0, temos necesseriamente y 6. Usando o fato deque 7.7 8.6 = 1, temos n + 1 = 7x + 8 + 1 = 7x + 8y + 7.7 8.6 =7(x+ 7) + 8(y 6), o que mostra que n+ 1 pode ser escrito na forma7x+8y, onde x e y sao inteiros nao negativos. Portanto, por inducao,para todo natural n 42 existem inteiros nao negativos x e y tais que7x+ 8y = n.

4. Certamente a propriedade vale para n = 3, ja que existem trianguloscom 3 angulos agudos. Suponhamos que a propriedade vale para algumn = 3, isto e, existe um polgono convexo com n lados e exatamentee angulos agudos. Tomemos um destes angulos agudos, de medida e tracemos uma reta que intersecta apenas os lados que formam esteangulo, de modo a determinar um triangulo com um outro angulo agudoe um obtuso (por exemplo, um triangulo com angulos iguais a 45

2,

135 2

e . Esta reta produz um polgono convexo com n + 1 lados,

2

ainda com 3 angulos agudos. Logo, a propriedade vale para n + 1.Portanto, por inducao, vale para todo n natural.

5. A expressao do termo geral esta correta para n = 1 e n = 2, ja quea1 = 3 = 2

1 + 1 e a2 = 5 = 22 + 1. Suponhamos que ela esteja correta

para n e n+ 1. Entao an+2 = 3an+1 2an = 3(2n+1 + 1) 2(2n + 1) =3.2n+1 2n+1 + 1 = 2n+2 + 1. Logo, a expressao tambem esta corretapara n+ 2. Portanto, por inducao, ela e valida para todo n natural.

6. A expressao esta correta para n = 0 e n = 1, ja que F0 = 0 =(1+5

2

)0( 152

)05

e F1 = 1 =

(1+5

2

)(15

2

)5

. Suponhamos que a ex-pressao esteja correta para n e n + 1. Entao Fn+2 = Fn + Fn+1 =(

1+5

2

)n( 152

)n5

+

(1+5

2

)n+1( 152

)n+15

=(1+5

2

)n(1+ 1+

5

2

)5

(15

2

)n(1+ 1

5

2

)5

=(1+5

2

)n(1+5

2

)25

(15

2

)n(15

2

)25

=(1+5

2

)n+2( 152

)n+25

.

Logo, a expressao tambem esta correta para n + 2. Portanto, porinducao, ela esta correta para todo n natural

7. a) A propriedade vale para n = 1, ja que F1 = 1 e F3 1 = 2 1 =1. Suponhamos que ela seja valida para um natural n, ou seja,F1 + F2 + + Fn = Fn+2 1. Somando Fn+1 aos dois lados daigualdade, obtemos F1 +F2 + +Fn+Fn+1 = Fn+1 +Fn+21 =Fn+3 1, o que mostra que a igualdade tambem vale para n+ 1.Portanto, por inducao, ela vale para todo n natural.

b) A propriedade vale para n = 1, ja que F1 = F2 = 1. Suponhamosque ela seja valida para um natural n, ou seja, F1 + F3 + +F2n1 = F2n. Somando F2n+1 aos dois lados da igualdade, obtemosF1 +F3 + +F2n1 +F2n+1 = F2n+F2n+1 = F2n+2, o que mostraque a igualdade tambem vale para n + 1. Portanto, por inducao,ela vale para todo n natural.

c) A propriedade vale para n = 1, ja que F2 = 1 e F3 1 = 1.Suponhamos que ela seja valida para um natural n, ou seja, F2 +

3

F4 + + F2n = F2n+1 1. Somando F2n+2 aos dois lados daigualdade, obtemos F2+F4+ +F2n+F2n+2 = F2n+1+F2n+21 =F2n+3 1, o que mostra que a igualdade tambem vale para n+ 1.Portanto, por inducao, ela vale para todo n natural.

d) A propriedade vale para n = 1, ja que F 21 = F1F2 = 1. Su-ponhamos que ela seja valida para um natural n, ou seja, F 21 +F 22 + + F 2n = FnFn+1. Somando F 2n+1 aos dois lados da igual-dade, obtemos F 21 + F

22 + + F 2n + F 2n+1 = FnFn+1 + F 2n+1 =

Fn+ 1(Fn + Fn+1) = Fn+ 1Fn+ 2, o que mostra que a igual-dade tambem vale para n+1. Portanto, por inducao, ela vale paratodo n natural.

8. A propriedade vale para n = 1 e n = 2, ja que F1 = 1 >(32

)1e

F2 = 1 =(32

)0. Suponhamos que a desigualdade seja valida para n e

n+ 1. Entao Fn+2 = Fn + Fn+1 =(32

)n2+

(32

)n1=

(32

)n2 (1 + 3

2

)=(

32

)n2 (52

)>

(32

)n2 (94

)=

(32

)n. Logo, a desigualdade vale para n+ 2.

Portanto, por inducao, vale para todo n natural.

9. Como 2 e primo, a propriedade vale para n = 2. Suponhamos que elaseja valida para todo natural k tal que 2 k n. Se n + 1 nao forprimo, entao pode ser expresso na forma a.b, onde a e b sao numerosnaturais maiores que 1 e menores que n+1. Portanto, pela hipotese deinducao, cada um dos numeros a e b e primo ou um produto de primos,o que mostra que n+ 1 e um produto de primos. Logo, a propriedadetambem vale para n+ 1. Logo, por inducao (completa), a propriedadevale para todo n natural.

10. A afirmativa e verdadeira se o numero de palitos e 1, 2, 3 ou 4. Noprimeiro caso, o primeiro jogador nao tem uma estrategia vencedora,ja que e obrigado a tirar o unico palito e perde o jogo. Nos demais,ele pode, tirando 1, 2 ou 3 palitos, respectivamente, deixar o segundojogador com apenas um palito e, assim, garantir a vitoria. Suponhamosagora, que a propriedade seja verdadeira para todo natural k menor ouigual a n e consideremos um jogo com n + 1 palitos. Se n + 1 4,a afirmativa e verdadeira, como mostrado acima. Caso contrario, se oresto da divisao de n+1 por 4 nao e 1, o primeiro jogador pode sempreretirar 1, 2 ou 3 palitos de modo a deixar o segundo jogador com um

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numero de palitos menor ou igual a n tal que o resto da divisao por 4e 1. Pela hipotese de inducao, esta nao e uma posicao vencedora parao segundo jogador e, portanto, o primeiro ganha o jogo. Por outrolado, se o resto da divisao de n + 1 por 4 for 1, o primeiro jogadornao tem uma estrategia vencedora, ja que qualquer jogada faz com queo segundo tenha uma quantidade de palitos menor ou igual a n, comresto da divisao por 4 diferente de 1, podendo assim ganhar o jogo.Logo, a propriedade vale para n+1 palitos. Portanto, por inducao valepara qualquer quantidade de palitos.

11. a) Se dois pontos nao estao conectados por um caminho, pode-se liga-los por um segmento sem que um ciclo seja criado. Por outro lado,se dois pontos estao conectados por dois caminhos diferentes, elesformam um ciclo. Logo, ao final do processo cada par de pontosesta ligado por um unico caminho.

b) A propriedade vale para n = 1, ja que, neste caso, o numero desegmentos e 0 = 1 1. Suponhamos que a propriedade valhapara todos os conjuntos nos quais o numero de pontos seja menorou igual a n e suponhamos que o processo foi encerrado paraum conjunto com n+ 1 pontos. A retirada de qualquer segmentodesta configuracao decompoe o conjunto de pontos em dois outros,respectivamente com n1 e n2 pontos, tais que n1 + n2 = (n +1). Em cada um destes conjuntos nao ha ciclos e acrescentando-se qualquer segmento forma-se um ciclo. Assim, como n1 ne n2 n, ha neles, pela hipotese de inducao, n1 1 e n2 1segmentos. Logo, o numero total de segmentos com n+ 1 pontose (n1 1) + (n2 1) + 1 = n1 + n2 1 = n. Logo, a propriedadevale para conjuntos com n+1 pontos. Portanto, por inducao, valepara conjuntos com quaisquer quantidade de pontos.

12. O argumento nao funciona na passagem de n = 1 para n = 2.

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