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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
SOLUCIONÁRIOSOLUCIONÁRIOSOLUCIONÁRIOSOLUCIONÁRIO
APAPAPAPOOOOSSSSTTTTILAILAILAILA DDDDEEEE ÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRA
Realização:
2012
1. Matrizes
1.3. Questões
______________________________________________________
1.
A = e B =
AB = = =
BA = = =
2.
A = B, tal que B² =A
Bmxn . Bmxn = A2x2 → m = 2 e n = 2
B =
a² + BC = 3 b.(a + d) = -2 → (a + d) = -2/b -2/b = -4/c → 2b = c
ab + bd = -2 c.(a+d) = -4 → (a + d) = -4/c
ca + dc = -4
cb + d² = 3
Substituindo 2b = c
a² + 2b² = 3 → 2b² = 3 – a²
ab + bd = -2 3 – a² = 3 – d² → a² = d² → a = ±d
2b² + d² = 3 → 2b² = 3 – d²
Se a = -d
a.b + b.d = -2 → -db + bd = -2 → 0 = -2 (Absurdo!)
Então a = d, já que db + bd = -2 → bd = -1 (Possível)
Substituindo a = d
a² + 2b² = 3
ab + ab = -2 → ab = -1 → b = -1/a [d = a e 2b = c] → c = -2/a
A matriz se torna então:
B =
B² =
a² + 2/a² = 3
-1 – 1 = -2 a² + 2/a² = 3 chamando x = a²
-2 – 2 = -4 x + 2/x = 3 → x² + 2 = 3x → x² - 3x +2 = 0
2/a² + a² = 3
∆ = b²- 4ac = (-3)² -4.(1).(2) = 9 – 8 = 1
Como x = a²
P/ x’ = 2 → 2 = a² → a =
P/ x” = 1 → 1 = a² → a =
Então, há 4 possíveis valores para a:
Então, há 4 possíveis matrizes B:
• a =
B1 =
• a =
B2 =
• a = 1
B3 =
• a = -1
B4 =
3.
A ≠ 0 e AB = AC, A, B, C têm multiplicação definida
a) B = C ?
Amxn . Baxb = Amxn . Ccxd
Sabe-se que Amxn . Baxb = Mmxb n = a
Amxn . Ccxd = Mmxd n = c
Mmxb = Mmxd , então b = d. E n = a, n = c. Então, a = c.
Então: Amxn.Bnxb = Amxn.Cnxb → (A-1.A).B = (A-1.A).C = IB = IC, então B = C.
b) Se existir Y tal que YA = I, B = C ?
Sabe-se que a matriz identidade tem a forma Inxn
Então Ynxm.Amxn = Inxn
AB = AC
Amxn.Baxb = Amxn . Ccxd
Ynxm.Amxn.Baxb = Ynxm.Amxn.Ccxd
Inxn.Baxb = Inxn.Ccxd b = d , n = a = c
Mnxb Mnxd
Y.A.B = Y.A.C → I.B = I.C → B = C
4.
A e B são comutativas se AB = BA
Encontrar M = que sejam comutativas com
x.1 + y.0 = 1.x + 1.z → x = x + z → z = 0
z.1 + w.0 =0.x + 1.z → z = z
x .1 + y.1 = 1.y + 1.w → x + y = y + w → x = w
z.1 + w.1 = 0.y + 1.w → z + w = w → z = 0
Então M, para obedecer ao sistema acima, deve ser da forma:
5.
A =
a) A² = A.A →
A³ = A².A = A.A²
(I) (II)
(I) A².A =
(II) A.A² =
Então A³ =
b) f(x) = x³ - 3x² + 4, f(A) = ?
f(A) =
f(A) =
f(A) =
c) g(x) = x² - x – 8, g(A) = ?
g(A) =
g(a) =
6.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7.
Amxm e Bmxm A é invertível, então A.A-1 = A-1.A = I
Mostrar por indução que (A.B.A-1)n = A.Bn.A-1
Supõe-se que (ABA-1)n = ABnA-1 é verdadeiro.
Então:
P/ n = 1 (A.B.A-1)1 = A.B1.A-1 = A.B.A-1
P/ n = 2 (A.B.A-1)2 = (A.B.A-1).(A.B.A-1) = A.B.(A-..A).B.A-1 = A.B.I.B.A-1 = A.B2.A-1
Supõe-se que para n = k, a afirmativa é verdadeira.
Então
(A.B.A-1)k = A.Bk.A-1
Então se deve provar que para n = k + 1 a afirmativa é verdadeira.
(A.B.A-1)k+1 = (A.B.A-1)k.(A.B.A-1) = (A.Bk.A-1).(A.B.A-1) = A.Bk.(A-1.A).B.A-1 =
A.Bk.I.Bk.B.A-1 = A.Bk.B.A-1 = A.B(k+1).A-1
8.
Resp.: a12 = 4; a13 = 2; a23 = -4;
9.
a) Resp.: A matriz S é simétrica
b) Resp.: A matriz P é antissimétrica.
2. Determinantes
2.3. Questões
________________________________________________________________________
1. A = e B =
a) detA + detB = (1.0 – 2.1) + (3.1 – 0.(-1)) = -2 + 3 = 1
b) det(A + B) = = = 4 – 1 = 3
2.
a) det(AB) = det(BA)
det(AB) = detA.detB e det(AB) = detB.detA
Como detA.detB = detB.detA
Temos que det(AB) = det(BA) Afirmativa verdadeira!
b) A afirmativa é verdadeira!
c) det(2A) = 2detA
Sabe-se que det(x.A) = xndetA
Portanto det(2A) = 2ndetA
A afirmativa é falsa!
d) det(A²) = (detA)²
det(A²) = det(A.A) = detA.detA = (detA)²
A afirmativa é verdadeira!
3.
a) A =
D = a14c14 + a24c24 + a34c34 + a44c44
cij = (-1)i + j .
c24 = (-1)2+4 = 1 . (11 + 7) = 18
c34 = (-1)3+4 = -1 . (12 - 10) = -2
D = 0.c14 + 1.18 + 3.(-2) + 0.c44 = 18 – 6 = 12
b) A =
D = a14c14 + a24c24 + a34c34 + a44c44
cij = (-1)i + j .
c14 = (-1)1+4 = -1 . (2i – i² + I + 3i) = -1.(6i + 1) = -6i - 1
c24 = (-1)2+4 = 1 . (7i + 2i + i²) = 9i – 1
c44 = (-1)4+4 = 1 . (12 + i² + 9 + 4i - 1) = 21 – 1 + 3i = 20 + 3i
D = -i.(-6i - 1) + i.(9i – 1) + 0.c34 + 1.(20 +3i) = 5 + 3i
4.
D = a11c11 + a12c12 + a13c13 + a14c14
cij = (-1)i + j .
c11 = (-1)1+1 =
D = a1
5. = (-1)1+1
D = (b – a)(c² - a²) – (c – a)(b² - a²) = (b – a)(c – a)(c + a) – (c – a)(b – a)(b + a)
= (b – a)(c – a)(c + a – b – a) = (b – a)(c – a)(c – b) = (-1)(a – b)(c –a )(-1)(b – c)
= (a – b )(b – c)(c – a)
6.
a) detA = 1 , A-1 = A
Se A é invertível, então temos que
Como detA = 1 ,
adjA é a matriz transposta dos cofatores de A. Ou seja, sendo C a matriz dos
cofatores de A, adjA = Ct. Como detA = 1, C = A. Então adjA = At. Da mesma
forma, como detA = 1, At = A. Portanto, adjA = A.
Desta forma, temos que A-1 = A.
Afirmativa verdadeira!
b) Se A é invertível, então temos que
A é matriz triangular superior, ou seja A = (aij) e aij = 0 sempre que i > j.
adjA a matriz transposta dos cofatores de A. Ou seja, sendo C a matriz dos
cofatores de A, adjA = Ct.
Como A é matriz triangular superior, aij = 0 sempre que i > j, C é matriz triangular
inferior, aij = 0 sempre que i < j, e Ct é matriz triangular superior, aij = 0 sempre
que i > j.
Desta forma, A-1 também é matriz triangular superior.
A afirmativa é verdadeira!
c) Sendo A = , k1 = k2 = k3 = ... = kn = k
Temos que detA = k1 . (-1)1+1 . k2 . (-1)1+1 . k3 . (-1)1+1 . ... . kn-2 . (-1)1+1 .
detA = k1 . k2 . k3 . ... . kn-2 . kn2 = k . k . k . … . k . k2 = kn-2 . k2 = kn
A afirmativa é verdadeira!
d) Sendo A = , uma matriz triangular superior
Temos que detA = a11 . (-1)1+1 . a22 . (-1)2+2 . a33 . (-1)3+3. ... . a(n-2)(n-2) . (-1)n-2+n-2 .
detA = a11 . a22 . a33 . ... . a(n-2)(n-2) . a(n-1)(n-1) . ann
A prova é análoga para uma matriz triangular inferior.
A afirmativa é falsa!
7.
= -29
8. = 0
9.
, em que n= a.d – b.c
3. Sistemas Lineares
c. Questões
________________________________________________________________________
1.
a) kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
D =
D = k³ - 3k + 2 = k³ - 3k +3 – 1 = (k³ - 1) + 3(1 – k) = (k – 1)(k² + k + 1) – 3(k – 1) = (k²
+ k + 1 – 3)(k – 1) = (k² + k – 2)(k – 1) = (k + 2)(k – 1)²
P/ k = 1
D = Dx = Dy = Dz = = 0 → Sistema Possível e Indeterminado
P/ k = -2
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = 1
D = = 0
Dx = = 9
Sistema Impossível
Dy = = 9
Dz = = 9
P/
Sistema Possível e Determinado
b) x + y + kz = 2
3x + 4y +2z = k
2x + 3y - z = 1
D =
D = 9k – 8k + 3 – 6 = k – 3
P/ k = 3
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = 1
D = = 0
Dx = = 0
Sistema Possível e Indeterminado
Dy = = 0
Dz = = 0
P/
Sistema Possível e Determinado
2.
a) x + y + z = 1
2x - 3y + 7z = 0
3x - 2y + 8z = 4
0 = 1 (Absurdo!)
Sistema Impossível.
b) x - y + 2z = 4
3x + y + 4z = 6
x + y + z = 1
Chamando z = λ , temos x = 5/2 - 3λ/2 e y = -3/2 + λ/2
,
c) 2x - y + 5z = 19
x + 5y - 3z = 4
3x + 2y + 4z = 25
d) x + 3y + z = 0
2x + 7y + 4z = 0
x + y - 4z = 0
3.
a) Fazendo x = 0
2y – w = 2 w + 2 = 2y 2y = 2z → y = z
2z – w = 2 w + 2 = 2z
2y + 2z – w = 4 → 2y + 2y – w = 4 → 4y – w = 4
4y + 4z – 3w = 8 → 4y + 4y – 3w = 8 → 8y – 3w = 8
-12y + 3w = -12
8y – 3w = 8
-4y = -4 → y = 1 → z = 1
w = 4y – 4 → w = 4 – 4 → w = 0
b)
,
c)
d) Toda matriz-solução obtida em b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em
c) com a solução particular encontrada em a).
4.
a) 3x + 5y + 12z - w = -3
x + y + 4z - w = -6
2y + 2z + w = 5
,
b) 3x + 5y + 12z - w = -3
x + y + 4z - w = -6
2y + 2z + w = 5
2z + kw = 0
D = a11c11 + a21c21 + a31c31 + a41c41
cij = (-1)i + j .
c11 = (-1)1+1 = 1 . (2k – 4 – 8k – 2) = -6k – 6
c21 = (-1)2+1 = -1 . (10k – 4 – 24k – 10) = 14k + 14
D = 3.( -6k – 6) + 1.( 14k + 14) + 0.c31 + 0.c41 = -18k – 18 + 14k + 14 = -4k – 4
-4k – 4 = 0 → k = -1 (Sistema impossível)
5.
x1 + x2 + 5x3 – 8x4 = 1
x1 + 4x2 + 13x3 – 3x4 = 1
-2x1 + x2 – 2x3 + 21x4 = -2
3x2 + 8x3 + 5x4 = 0
4. Vetores
c. Questões
________________________________________________________________________
1. a) (8,9,4)
b) (-4,28,10)
c) (10,22,9)
d) (9,10,15)
5. Operações com vetores
c. Questões
________________________________________________________________________
2.
a) -8, b) -43, c) 1,75
3.
a) (4, -1, 3), b) (-6, 12, -30), c) (-13, -9, 20), d) -9, e) (-1, 17, 7)
4. Assumindo um dos vetores como (x,1,1) temos que x=-1. Assim temos o outro vetor como (-
4, -5, 1), para serem unitários basta dividi-los pelas suas normas. Existem outras soluções
dependendo dos valores arbitrários escolhidos como neste caso (x,1,1)..
5. C = √2
6. m = - 4
8.
a = (3, 6, -7)
b = (3x, y + 2,21)
3 x 3x + 6 x (y+2) -7 x 21 = 9x+6y-135 = 0
X = (135 – 6y)/9
Sendo x = 1, y = 21; b = (3,23,21)
9.
a) 3
b) 4i + 13j – 10k ; (4,13,-10)
c) -22
d) -118
6. Espaços vetoriais
a. Questões
_____________________________________________________________________
1. Usando as operações com matrizes verifica-se para elementos de M(2,2) são fechadas para a soma e multiplicação por escalar e verifica-se as propriedades da
soma(associativa, comutativa, elemento neutro, oposto) e multiplicação(distributiva por
vetor, distributiva por escalar, associativa, neutro).
Dica: quando necessário use a matriz nula, O onde todos os elementos são nulos, e
também a matriz identidade.
2. Foram definidas as operações de soma e multiplicação por escalar. Agora verifica-se as
propriedades da soma e multiplicação.
Dicas:
1. use as definições das operações. Por exempo:
(r(f+g))(x) = r(f+g)(x)=r(f(x)+g(x))=rf(x)+rg(x) = (rf)(x)+(rg)(x) = (rf + rg)(x).
2 .Outra é que você deve usar funções como N(x) = 0, O(x) = -f(x) e I(x)=f-
1(x).
3.Pode-se usar funções particulares para verificar, como f(x)=ax, por
exemplo.
7. Subespaços vetoriais
a. Questões
______________________________________________________
1.
a) Seja , temos de verificar as seguintes
condições:
1. :
�
�
2. Seja , então
є W:
�
�
3. Seja , então :
�
�
Logo, está provado que W é um subespaço vetorial de .
B) Seja , temos de verificar as seguintes
condições:
1. :
�
�
2. Seja , então
є U:
�
�
3. Seja , então :
�
�
Logo, está provado que U é um subespaço vetorial de .
3.
a) , logo:
1.
� (OK)
2. Seja , então
є :
�
3. Seja , então :
�
Logo é um subespaço vetorial de .
, logo:
1.
� (OK)
2. Seja , então
є :
�
3. Seja , então :
�
Logo, é um subespaço vetorial de .
, logo:
1.
� (OK)
2. Seja , então
є :
�
3. Seja , então :
�
Logo, é um subespaço vetorial de .
b) , logo:
1.
� (OK)
2. Seja , então
є :
� (NÃO SATISFAZ)
Logo, W não é um subespaço vetorial de
4.
Resp: b, c e d.
5.
a) Sim
b) Não
c) Não
6.
Resp: Sim.
8. Combinação linear
a. Questões
_____________________________________________________
1.
� Nenhum
2.
a)
b) Não há solução.
3.
a)
b) Não há solução.
c)
d) , onde .
4.
�
5.
Resp: Coeficientes a = 2 e b = 4
6.
Resp: q(t) = p1(t) – 3p2(t) + p3(t)
9. Dependência e independência linear
c. Questões
____________________________________________________
1.
Seja , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos que:
�
�
Sabemos que, para eles serem LD, x e y devem aceitar soluções diferentes de 0. Para isso,
temos:
�
Se , a única solução será , logo os vetores serão LI.
2.
Sejam os vetores , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos:
�
�
Logo, para os vetores serem LD, o sistema tem de aceitar soluções diferentes de 0. Então,
�
3.
a) Sejam os polinômios e , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos:
�
�
�
Após os cálculos, encontramos que , logo há infinitas soluções para esse
sistema, o que significa que os polinômios são LD.
4.
a) Sejam os vetores , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos:
�
�
�
Após os cálculos, encontramos que , logo há infinitas soluções para esse
sistema, o que significa que os vetores são LD.
b) Sejam os vetores , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos:
�
�
Logo, há infinitas soluções
c) Sejam os vetores , temos:
�
Logo,
Logo, há infinitas soluções .
d) Sejam os vetores , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos:
�
�
Logo, há infinitas soluções .
5.
Sejam os vetores , temos:
�
Logo,
Pela Regra de Cramer, temos:
�
�
�
Após os cálculos, encontramos que , então o sistema possui
infinitas soluções e os vetores são LD.
6.
Temos:
Substituindo pelas combinações dos x’s e agrupando os termos:
Sabendo que { } é L.I.:
Tendo como única solução . Portanto { } é L.I.
7.
Temos que e são L.D. ��
(�) (Provando a ida)
; admitindo soluções além da trivial.
Se � .
Se � .
(�) (Provando a volta)
Então:
; como pode ser diferente de zero:
; portanto para valores arbitrários de e basta fazermos que
dessa forma haverá soluções além da trivial.